高一数学下期末考试题附答案
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一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，将答案直接填在下表中） （1）0
sin 75的值等于
（A （B （C （D
（2
（A ）0cos 220 （B ）0cos80 （C ）0sin 220 （D ）0
sin80 （3）化简sin()sin cos()cos x y x x y x +++等于
（A ）cos(2)x y + （B ） cos y （C ）sin(2)x y + （D ）sin y （4）下列函数中是周期为π的奇函数的为（ ） （A ）x y 2
sin 21-= （B ）)32sin(3π
+=x y （C ）2
tan x
y =（D ）)2sin(2π+=x y （5）为了得到函数13sin 25y x π??=- ???，x R ∈的图象，只需把函数1
3sin 2
5y x π??=+ ?
??的图象上所有点
（A ）向左平行移动
25π个单位长度 （B ）向右平行移动25π个单位长度 （C ）向左平行移动45π个单位长度 （D ）向右平行移动45
π
个单位长度
（6）已知tan 2α=，tan 3β=，且α、β都是锐角，则α＋β等于
（A ）
4π （B ）43π （C ）4
π或43π
（D ）43π或45π
（7）已知a ＝（2，3），b ＝（x ，－6），若a ∥b ，则x 等于
（A ）9 （B ）4 （C ）－4 （D ）－9 （8）已知a 、b 是两个单位向量，下列四个命题中正确的是
（A ）a 与b 相等 （B ）如果a 与b 平行，那么a 与b 相等 （C ）a ·b ＝1 （D ）a 2＝b 2 （9）在△ABC 中，已知AB ＝（3，0），AC ＝（3，4），则cos B 的值为
（A ）0 （B ）
53 （C ）5
4
（D ）1 （10）已知|a |＝3，|b |＝4（且a 与b 不共线），若(a k ＋b )⊥(a k －b )，则k 的值为
（A ）－
43 （B ）43 （C ）±43 （D ）±3
4 （11）已知|a |＝3，b ＝（1，2），且a ∥b ，则a 的坐标为
（A ）（
5，5） （B ）（－5，－5
）
（C ）（
5，－5） （D ）（5，5）或（－5，－5
） （12）已知向量a ＝（1，－2），b ＝13,
x ?
?
??
?
，若a ·b ≥0，则实数x 的取值范围为 （A ）2(0,)3 （B ）2(0,]3
（C ）(,0)-∞∪2[,)3+∞ （D ）(,0]-∞∪2[,)3
+∞ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
（13）在三角形ABC 中，已知a 、b 、c 是角A 、B 、C 的对边，且a ＝6，b ＝32，A ＝4
π，则角B 的大小为 . （14）已知3cos 45
x π??
+
= ??
?，则sin 2x 的值为 . （15）若将向量)1,2(=绕原点按逆时针方向旋转4
π
，得到向量b ，则向量b 的 坐标是
（16）已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为3
π
，则向量2a －3b 与a ＋5b 的夹角大小为 . 一、选择题
二、填空题
（13） （14） （15） （16）
三、解答题（本题共6小题，满分共70分）
（17）（本小题满分10分）已知12cos 13θ=-
，3,
2πθπ??∈ ???，求tan 4πθ?
?- ???
的值.
（18）（本小题满分12分）已知函数()sin y A x ω?=+，x R ∈（其中A ＞0，ω＞0，
||?＜
2
π
)的部分图象如图所示，求这个函数的解析式.
（19）（本小题满分12分）
如图，飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔25000米，速度为3000米/分钟，飞行员先在点A 看到山顶C 的俯角为300，经过8分钟后到达点B ，此时看到山顶C 的俯角为600，则山顶的海拔高度为多少米. （参考数据：2＝，3＝，6＝）.
（20）（本小题满分12分）
2 22 6 x y O
已知|a|＝3，|b|＝2，且3a＋5b与4a－3b垂直，求a与b的夹角.（21）（本小题满分12分）
已知向量a＝（
3
cos
2
x
，
3
sin
2
x
），b＝（cos
2
x
，－sin
2
x
），且[0,]
2
x
π
∈.
（Ⅰ）用cos x表示a·b及|a＋b|；
（Ⅱ）求函数f(x)＝a·b＋2|a＋b|的最小值.
（22）（本小题满分12分）
已知向量a、b、c两两所成的角相等，并且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3.（Ⅰ）求向量a＋b＋c的长度；
（Ⅱ）求a＋b＋c与a的夹角.
参考答案
三、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12 答案
A
B
B
D
D
B
C
D
A
D D
C
四、填空题 （13）
6π （14）725 （15）)223,22( （16）2
π 五、解答题
（17）解：∵12cos 13θ=-
，且3,
2π
θπ??
∈ ?
??
，∴ 5sin 13θ=-， 则 5tan 12θ=， ∴ tan 4πθ?
?- ???＝tan 11tan θθ-+ ＝51125112-+＝－717.
（18）解：（Ⅰ）根据题意，可知A ＝22， 且4
T
＝6－2＝4，所以T ＝16，
于是 ω＝
28T ππ= 将点（2，22）代入22sin 8y x π???
=+ ???
，得 2222sin 28π???=?+ ???， 即sin 4π???
+ ???
＝1， 又||?＜2π，所以?＝4π.
从而所求的函数解析式为：22sin 8
4y x π
π??=+
???，x R ∈
（19）解：如图，过C 作AB 的垂线，垂足为D ，
依题意，AB ＝3000·8＝24000米， 由∠BAC ＝300，∠DBC ＝600，
则∠BCA ＝300，∴ BC ＝24000米， 在直角三角形CBD 中， CD ＝BC ·0
sin 60
＝24000·＝20784米，
故山顶的海拔高度为25000－20784＝4216米. （20）解：∵ 3a ＋5b 与4a －3b 垂直，
∴ （3a ＋5b ）·（4a －3b ）＝0， 即 12|a |2＋11a ·b －15|b |2＝0，
由于|a |＝3，|b |＝2，∴ a ·b ＝－
4811
， 则 cos ,||||a b a b a b ?<>=
?＝－811， 故a 与b 的夹角为8arccos 11??
- ???
.
（21）解：（Ⅰ）a ·b ＝3cos
2x cos 2x －3sin 2x sin 2
x
＝cos2x ＝2cos 2x －1，
|a ＋b |2|cos x |， ∵ [0,
]2
x π
∈，∴ cos x ≥0，∴ |a ＋b |＝2cos x .
（Ⅱ）f (x )＝a ·b ＋2|a ＋b |＝2cos 2x －1＋4cos x ＝2(cos x ＋1)2－3， ∵ [0,
]2
x π
∈，∴ 0≤cos x ≤1， ∴ 当cos x ＝0时，f (x )取得最小值－1.
（22）解：（Ⅰ）设向量a 、b 、c 两两所成的角均为θ，则θ＝0或θ＝
23
π
， 又|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3. 则当θ＝0时，
a ·
b ＝|a |·|b |cos θ＝2， b ·
c ＝|b |·|c |cos θ＝6， c ·a ＝|c |·|a |cos θ＝3，
此时 |a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a ＝14＋22＝36，∴ |a ＋b ＋c |＝6； 当θ＝
23
π
时， a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝－1， b ·c ＝|b |·|c |cos θ＝－3， c ·a ＝|c |·|a |cos θ＝－
32
，
此时 |a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a ＝14－11＝3，∴ |a ＋b ＋c |. （Ⅱ）当θ＝0，即|a ＋b ＋c |＝6时，a ＋b ＋c 与a 的夹角显然为0；
当θ＝
23π，即|a ＋b ＋c | （a ＋b ＋c ）·a ＝－3
2
，且|a ＋b ＋c |·|a |
π
. 。