[配套K12]2017-2018学年高中数学 第三单元 三角恒等变换 3.1.1 两角和与差的余弦学

3.1.1 两角和与差的余弦 学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.
知识点 两角和与差的余弦公式
思考1 如何用角α，β的正弦、余弦值来表示cos(α－β)呢？有人认为cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试举出两例加以说明.
思考2 单位圆中(如图)，∠AOx ＝α，∠BOx ＝β，那么A ，B 的坐标是什么？OA →与OB →的夹角
是多少？
思考3 请根据上述条件推导两角差的余弦公式.
思考4 如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？
梳理两角和与差的余弦公式
Cα＋β：cos(α＋β)＝__________________.
Cα－β：cos(α－β)＝____________________.
类型一利用两角和与差的余弦公式求值
例1 计算：(1)cos(－15°)；(2)cos 15°cos 105°－sin 15°sin 105°.
反思与感悟利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路：
(1)把非特殊角转化为特殊角的差或和，正用公式直接求解.
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差或和的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值.
跟踪训练1 求下列各式的值.
(1)cos 105°；(2)cos 46°cos 16°＋sin 46°sin 16°.
类型二给值求值
例2 已知α，β均为锐角，sin α＝8
17，cos(α－β)＝
21
29
，求cos β的值.
反思与感悟 三角恒等变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最基本的变换.常见的有
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，
α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12
[(β＋α)－(β－α)]等. 跟踪训练2 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α，β∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos β的值.
类型三 给值求角
例3 已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2
，求β的值.
反思与感悟 求解给值求角问题的一般步骤：
(1)求角的某一个三角函数值.
(2)确定角的范围.
(3)根据角的范围写出所求的角.
跟踪训练3 已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213
，
且α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2，2π，求角β的值.
1.计算cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6
的值是( ) A.0 B.12 C.22 D.32
2.若a ＝(cos 60°，sin 60°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则a ·b 等于( ) A.22 B.12 C.32 D.－12
3.设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin α＝35，则2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A.75 B.15 C.－75 D.－15
4.已知sin α＋sin β＝35，cos α＋cos β＝45
，求cos(α－β)的值.
5.已知sin α＝－45，sin β＝513
，且180°<α<270°，90°<β<180°，求cos(α＋β)的值.
1.公式C α－β与C α＋β都是三角恒等式，既可正用，也可逆用.要注意公式的结构特征.如： cos αcos β±sin αsin β＝cos(α∓β).
2.要注意充分利用已知角与未知角之间的联系，通过恰当的角的变换，创造出应用公式的条件进行求解.
3.注意角的拆分技巧的积累，如：
α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β＝α＋β2＋α－β2
等.
答案精析
问题导学
知识点
思考1 不正确．
例如：当α＝π2，β＝π4
时， cos(α－β)＝cos π4＝22
， 而cos α－cos β＝cos π2－cos π4＝－22
， 故cos(α－β)≠cos α－cos β；
再如：当α＝π3，β＝π6
时， cos(α－β)＝cos π6＝32
， 而cos α－cos β＝cos π3－cos π6＝1－32
，故cos(α－β)≠cos α－cos β. 思考2 A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)．
OA →与OB →的夹角是α－β.
思考3 ①OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos(α－β)＝cos(α－β)，
②OA →·OB →＝cos αcos β＋sin αsin β.
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
思考4 用－β代换cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的β便可得到． 梳理 cos αcos β－sin αsin β cos αcos β＋sin αsin β
题型探究
例1 解 (1)原式＝cos(30°－45°) ＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°
＝32×22＋12×22＝6＋24
. 跟踪训练1 解 (1)
原式＝cos(150°－45°)
＝cos 150°cos 45°＋sin 150°sin 45°
＝－
32×22＋12×22 ＝2－64. (2)原式＝cos(46°－16°)＝cos 30°＝
32. 例2 解 因为α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝817<12，所以0<α<π6. 所以α－β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π6， 又因为cos(α－β)＝2129<32
， 所以－π2<α－β<－π6
. 所以cos α＝1－sin 2α＝
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫8172＝1517，
sin(α－β)＝－1－cos
2α－β ＝－1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫21292＝－2029， 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝1517×2129＋817×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2029＝155493
. 跟踪训练2 解 ∵α，β∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴α＋β∈(0，π)．
又∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114
， ∴sin α＝1－cos 2α＝437
， sin(α＋β)＝1－cos 2α＋β＝5314
. 又∵β＝(α＋β)－α，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314
×437＝12. 例3 解 由cos α＝17，0<α<π2
，
得sin α＝1－cos 2α＝ 1－1
72＝437. 由0<β<α<π2，得0<α－β<π2
. 又∵cos(α－β)＝1314
，
∴sin(α－β)＝1－cos
2α－β ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314
. 由β＝α－(α－β)，
得cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)，
即cos β＝17×1314＋437×3314＝12
， 又∵0<β<π2，∴β＝π3
. 跟踪训练3 解 由α－β∈⎝
⎛⎭⎪⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213， 得sin(α－β)＝513
. 由α＋β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213， 得sin(α＋β)＝－513
. ∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×513
＝－1. 又∵α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴2β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，3π2， ∴2β＝π，则β＝π2
. 当堂训练
1．C 2.A 3.B
4．解 ∵(sin α＋sin β)2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫352， (cos α＋cos β)2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫452，
以上两式展开，两边分别相加，得
2＋2cos(α－β)＝1，∴cos(α－β)＝－12
. 5．解 因为sin α＝－45，180°<α<270°，所以cos α＝－35
. 因为sin β＝513
，90°<β<180°， 所以cos β＝－1213
. 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝3665＋2065＝5665
.。