第三节Jordan标准型4
矩阵理论(第三章矩阵的标准型)
100
2100 2 2101 2 0 100 101 2 1 2 1 0 2100 1 2101 2 1
第一节
矩阵的相似对角形
一、矩阵的特征值与特征向量 1、相似矩阵：设V是n维线性空间，T是线性变换， e1, e2,…,en与e'1,e'2,…,e' 是两组基，过渡矩阵 P，则T在这两组基下的矩阵A与B相似，
i
1
i Js
这些约当块构成的分块对角阵J，称为A的约当标准形。
J2
例5 Jordan标准形。
例5的初级因子为 ( 1),( 1),( 2) Jordan标准形为
1 J 1 2
2、k级行列式因子：特征矩阵A(λ)中所有非零的k 级子式的首项（最高次项）系数为1 的最大公因 式Dk(λ)称为 A(λ)的k级行列式因子。
A( ) E A
例5 求矩阵的特征矩阵的行列式因子 解：特征矩阵为
1 1 E A 2
若A能与对角形矩阵相似，对角阵是由特征值构 成的P是由对应特征值的特征向量构成的。
例3
解：
4 6 0 A 3 5 0 3 6 1
100 A ，计算：
4 A E 3 3
6
0
5 0 (1 )2 ( 2) 0 6 1
3级因子，因为
0 0 0 2 1 1 2 3 3 0
1
3
0 0 0, 2 0
2 2(( 1)3 ,( 1)2 ( 2), 2 2 7,0,...) 1
4级因子
Jordan 标准型定理的简单证明
Jordan 标准型定理的简单证明我们要说的这个证明在思想上没有什么先进之处，只是把老想法用新语言说了一遍，但是这的确是最简单的说法！定理设A是V上的幂零线性变换，则存在V的一组基使得A在这组基下的矩阵是一些Jordan 块的和。
证明：对V的维数n归纳。
n=1显然，设dimV<n时结论成立，考虑dimV=n。
这时A的像空间A(V)是V的子空间且dimA(V)<dimV，所以根据归纳假设存在A(V)中的一组基{v1,Av1,…,Aa1−1v1},{v2,Av2,…,Aa2−1v2},⋯,{vm,Avm,…,Aam−1vm}.其中Aa1v1=Aa2v2=⋯=Aamvm=0。
显然Aa1−1v1,…,Aam−1vm都属于KerA。
下面把Aa1−1v1,…,Aam−1vm扩充为KerA的一组基，比如说扩充为Aa1−1v1,…,Aam−1vm,w1,…,wr.并选取ui∈V使得Aui=vi。
我们断言向量组{u1,Au1,…,Aa1u1},{u2,Au2,…,Aa2u2},⋯,{um,Aum,…,Aamum},{w1,…,wr}构成V的一组基。
如果这一断言成立，那么A在这组基下显然就是Jordan 标准型。
注意现在Aa1u1,…,Aamum,w1,…,wr构成KerA的一组基。
这组向量的线性无关性很好证，假设这些向量的某个线性组合L等于0，两边用A作用以后，Aa1u1,…,Aamum,w1,…,wr这些项被消掉，剩下的是一个只含有v1,…,Aa1−1v1,…,vm,…,Aam−1vm的线性组合为0 的等式，所以它们前面的系数都是0，即u1,…,Aa1−1u1,…,um,…,Aam−1um这些项在L中实际上不出现，从而L中只包含Aa1u1,…,Aamum,w1,…,wr这些项。
但是这些项是KerA的一组基，所以它们前面的系数也都是0。
要证明这组向量是一组基，只要再算算维数即可。
这组向量一共有a1+⋯+am+r+m个。
【线性代数】06-Jordan标准型
【线性代数】06-Jordan标准型 现在就来研究将空间分割为不变⼦空间的⽅法，最困难的是我们还不知道从哪⾥着⼿。
你可能想到从循环⼦空间出发，⼀块⼀块地进⾏分割，但这个⽅案的存在性和唯⼀性都不能解决。
不变⼦空间分割不仅要求每个⼦空间V'是不变的，还隐含要求V'之外元素的像不落在V'中，这⼀条就导致从局部开始分割的⽅案是⾏不通的。
另外，这种⽅法也⽆法保障分割的唯⼀性，因为分割过程依赖每个⼦空间的选取。
1. 化零多项式 看来还是得从全局出发，期望找到某个属性，它能将空间完美分割。
那么⾸先要将整个空间V放置在\mathscr{A}的某个属性下，然后按这个属性再进⾏细分。
这⼀步该如何跨出是很艰难的，想必历史上也并不是⼀蹴⽽就得来的。
前⾯我们已经做了⼀些简单的铺垫，最重要的⼀个是，变换的多项式所具有的不变⼦空间。
你可能问过⾃⼰，对⼀般的变换，是否有对其成⽴的恒等式？如果可以在多项式中找到这个等式就更好了。
想法是很好的，但在⾛向结论时却需要⼀个巧妙的构造，我不知道数学家们是如何得到的，毕竟⾃⼰的素养还不够。
回顾特征矩阵\lambda I-A，你既可以把它看成是矩阵系数的多项式，也可以看成是以多项式为元素的矩阵。
但在所有的变形中，其实我们默认\lambda是域K中的元素，⽽不是任意的不定元。
所以变形得到的等式也不能草率地当作⼀般多项式看待，尤其不能随便⽤⼀个矩阵带⼊到式⼦中，这⼀点⼀定要弄清楚。
但庆幸的是，还真有⼀个特殊情况，矩阵是可以代⼊多项式等式的。
考察特征矩阵的任意⼀个等式（1），展开左式并对应到右式，得到⼀系列等式（2）。
等式两边分别乘上I,A,A^2,\cdots并相加，就得到0=f(A)，这就仿佛是将矩阵A代⼊了等式（1）。
但这种代⼊⼀般是很难成⽴，它是得益于特征矩阵的特殊形式，我们可以把这个有趣的性质当做结论，(\lambda I-A)g(\lambda)=(\lambda I-A)(\lambda^mB_m+\lambda^{m-1}B_{m-1}+\cdots+B_0)=\lambda^nC_n+\lambda^{n-1}C_{n-1}+\cdots+C_0=f(\lambda)\tag{1}-AB_0=C_0;\;B_0-AB_1=C_1;\;B_1-AB_2=C_2;\cdots B_{n-1}-AB_n=C_n;\;B_n-AB_{n+1}=0;\cdots B_m=0\tag{2} 特别地，取g(\lambda)为\lambda I-A的伴随矩阵，等式右边就是\varphi(\lambda)I，从⽽有Hamilton-Caylay定理成⽴（公式（3），请参考抽象代数多项式⾥的余数定理）。
Jordan标准形
3.1 Jordan 标准型
矩阵理论第3讲 - 1
内容回顾
相似矩阵的定义及性质
定义: 设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P ，使得
P 1 AP B
则称矩阵 B 是矩阵A 的相似矩阵， 或称矩阵 A 与矩阵 B 相似，记作 A B 对 A 进行运算 P
AP 称为对 A 进行相似变换， 可逆矩阵 P 称为把矩阵 A 变成矩阵 B 的相似变换矩阵。
Jordan标准形
如何将矩阵A化为Jordan标准形J
A (aij ) C nn , E A是A的特征矩阵，记为 A（）。
1、k 级行列式因子： A( ) 中所有非零的k 阶子式的首项系 数为1的最大公因式 Dk ( )
2、不变因式： Dk ( ) d1 ( ) D1 ( ), d k ( ) (1 k n) Dk 1 ( ) Dk ( ) d1 ( )d 2 ( )d k ( ) (k 1,n) 3、初级因子：将 A( ) 的每个次数大于0的不变因式分解成互 不相同的一次因式的方幂的乘积，这些一次因式方幂（相同 的出现必须按出现次数计算）就是 A( ) 的初级因子
矩阵理论第3讲 - 18
Jordan标准形 举例（1）：
1 0 1 A 1 2 0 4 0 3
1 1 J 1 2
p2 p3 ) 可得 AP PJ 设相似变换矩阵 P ( p1 ，由
Ap1 p1 Ap2 p1 p2 Ap 2 p 3 3 ( I A) p1 0 ( I A) p2 p1 (2 I A) p 0 3
从而 D2 ( ) D1 ( ) 1 于是 A( 的不变因子为： )
matlab jordan标准型
matlab jordan标准型MATLAB是一种用于数学计算、数据分析和可视化的高级编程语言和环境。
在MATLAB中，我们可以使用不同的工具箱来解决各种数学和工程问题。
其中，jordan标准型是线性代数中的一个重要概念，它在控制系统、信号处理和电力系统等领域有着广泛的应用。
在本文中，我们将介绍如何使用MATLAB来计算一个矩阵的jordan标准型，并且讨论一些相关的应用和技巧。
首先，让我们来看一下jordan标准型的定义。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP为jordan标准型，即：P^-1AP = J = diag(J1, J2, ..., Jr)。
其中，每个Ji都是一个大小为ni的Jordan块，满足Ji = λiI + Ni，其中λi为特征值，Ni为对应的Jordan块。
在MATLAB中，我们可以使用函数jordan来计算一个矩阵的jordan标准型。
下面，我们来看一个具体的例子。
假设我们有一个3阶方阵A：A = [1 1 0; 0 2 0; 0 1 3]我们可以使用MATLAB来计算A的jordan标准型。
首先，我们需要使用函数eig来计算A的特征值和特征向量：[V, D] = eig(A)。
其中，V是A的特征向量矩阵，D是A的特征值矩阵。
然后，我们可以使用特征值和特征向量来计算jordan标准型：[P, J] = jordan(A)。
在这里，P是可逆矩阵，J是A的jordan标准型。
通过这样的计算，我们可以得到A的jordan标准型J，以及对应的可逆矩阵P。
除了计算jordan标准型，MATLAB还提供了一些相关的函数和工具，用于分析和处理jordan标准型。
例如，我们可以使用函数jordanForm来直接计算一个矩阵的jordan标准型，而不需要先计算特征值和特征向量。
此外，MATLAB还提供了一些函数来计算jordan块的大小和结构，以及计算jordan块的指数函数和幂函数。
矩阵论-Jordan标准型
d1
dm
={|(iI A) 0},由亏加秩定理得：
dimE(i )= dim N (i I A)
n r(iI A)
n r(P1(i I A)P)
n r(i I P1AP)
n r(iI D)
n (n di ) di.
3) 1),在E(i )(1 i m)中各取一组基，合起来有n个向量，
第三节 Jordan标准型
一、可对角化矩阵
定义：n阶方阵A若相似于一个对角阵，则称A为可对 角化矩阵（或称单纯矩阵）
注1：对角阵的和，积，逆（若存在）仍是对角阵， 其对角线的元就是它的特征值.
注2：若线性变换T的矩阵为可对角化矩阵，等价 于T在某基下的矩阵为对角阵.
定理1: 设A Cnn , A的全部互异特征根为1, , m ,
定理4：A() B() A()与B()有完全一致的不变因子.
初等因子： C上多项式可分解成一次因子的幂的乘积,设A()的不变 因子d1(), , dr ()的分解为：
dd21
( (
) )
( (
)e11 1
)e21 1
( (
2 2
)e12 )e22
dr () ( 1)er1 ( 2 )er2
1 0 -2 T（e1, e2, e3）=（e1, e2, e3） 0 0 0 ，
-2 0 4 问：1）T可否对角化；
2）若T可对角化，试求满秩阵P，使P-1AP为对角阵.
例3：若A Fnn ,且A2 =A（幂等阵），则A必可对角化.
证明：设()=2 -=(-1),由条件知(A)=0，所以 m A()|(), m A()无重根，故结论成立.
例6，例7
定理6：设A,B Cnn ,则A与B相似当且仅当I-A与I-B 等价，即A B I-A I-B.
jordan标准型求法例题
jordan标准型求法例题Jordan标准型是一种将线性规划问题转化为矩阵形式的表达方式。
通过将约束条件和目标函数转化为矩阵和向量形式，可以更加方便地进行计算和分析。
下面将介绍一个实际应用中的线性规划问题，并将其转化为Jordan标准型。
假设一家公司生产两种产品A和B，每种产品的生产需要消耗一定数量的资源。
设产品A每单位生产需要消耗3个资源1和2个资源2，产品B每单位生产需要消耗2个资源1和4个资源2、同时，公司每个月资源1的供应量为300个，资源2的供应量为200个。
公司对产品A和B的销售利润分别为10元和15元。
现在希望制定一个生产计划，以使得公司在有限的资源供应下能够最大化利润。
该问题可以表示为如下的数学模型：目标函数：Maximize 10A + 15B约束条件：3A+2B≤3002A+4B≤200A≥0B≥0根据Jordan标准型的转化规则，将目标函数和约束条件转化为矩阵形式：目标函数矩阵：[1015]*[A]=[10A+15B]约束条件矩阵：[32]*[A]≤[300][24]*[B]≤[200]由此可以得到Jordan标准型的数学表达式为：Maximize C * XSubject to A * X ≤ B其中C为1x2的矩阵[1015]，X为2x1的矩阵[AB]，B为2x1的矩阵[300200]。
为了将该问题转化为Jordan标准型，需要对约束条件进行一些调整和变换。
首先，将不等式约束转化为等式约束，添加松弛变量以使等式约束具有正确的系数。
然后，将约束条件按照矩阵形式进行表示。
两个约束条件可以进行如下的变换：3A+2B+S1=3002A+4B+S2=200其中S1和S2为松弛变量，表示多出来的资源量。
将目标函数和约束条件转化成矩阵形式：目标函数矩阵：[1015]*[A]=[10A+15B]约束条件矩阵：[3210]*[A]=[300][2401]*[B]=[200]最终，根据Jordan标准型的定义，可以将问题转化为如下形式：Maximize C * XSubject to A * X ≤ B其中C为1x4的矩阵[101500]，X为4x1的矩阵[ABS1S2]，B为2x1的矩阵[300200]。
jordan标准型求法经典例题
jordan标准型求法经典例题Jordan标准型是线性方程组的一种特殊形式，它能够将线性方程组转化为更简洁、更易于求解的形式。
在本文中，我们将介绍Jordan标准型的概念，并给出一个经典的例题来帮助读者更深入地理解它。
首先，让我们回顾一下线性方程组的一般形式。
对于一个包含n个未知数和m个方程的线性方程组，可以写成如下的矩阵形式：```Ax=b```其中A是一个m×n的矩阵，x是一个n×1的列向量，b是一个m×1的列向量。
我们的目标是求解出x的值，使得方程组成立。
而Jordan标准型将线性方程组转化为如下的形式：```Jx=y```其中J是一个m×n的Jordan矩阵，x和y与前述相同，但是J的结构要比A更加简洁和易于处理。
接下来，我们给出一个具体的例题来帮助读者理解Jordan标准型的应用。
考虑如下的线性方程组：```2x1+x2+x3-x4=03x1-x2-2x3+3x4=05x1+2x2+2x3+4x4=0```我们首先将其写成矩阵形式：```A=[[2,1,1,-1],[3,-1,-2,3],[5,2,2,4]]```接下来，我们会通过一系列的行变换将A转化为Jordan标准型。
首先，我们通过交换方程组的顺序，将第三行移至第一行：```A1=[[5,2,2,4],[2,1,1,-1],[3,-1,-2,3]]```然后，我们将A1的第三行减去2倍的第二行，将其结果作为新的第三行：```A2=[[5,2,2,4],[2,1,1,-1],[-1,-1,-3,5]]```接下来，我们用A2的第三行加上A2的第二行，并将其结果作为新的第三行：```A3=[[5,2,2,4],[2,1,1,-1],[1,0,-2,4]]```现在，我们应用一个简化的行变换，将A3的第三行除以2，使得该行的首元素变为1：```A4=[[5,2,2,4],[2,1,1,-1],[0.5,0,-1,2]]```接下来，我们可以继续进行类似的行变换操作。
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( A − λ1E )x = p21
− 2 − 2 6 x1 3 − 1 − 1 2 x2 = 0 − 1 − 1 2 x 1 3
无解
即以
p11, p21
为链头是不太合适的。 为链头是不太合适的。
得
− 8 p21 = 1 2
链头一节链
− 8 1 − 1 P= 1 0 0 2 −1 0
P −1
1 0 0 2 − 1 = 0 − 1 − 6 − 1
0 − 2 0 −1 P AP = 0 − 1 1 0 0 − 1
= (λ + 2 ) λ2 + 2λ + 1
(
) = (λ + 2)(λ + 1)2
λ1 = λ 2 = −1, λ 3 = −2
( A − λ1E )x = θ
即
2 − 1 x1 0 − 2 +1 − 2 + 1 0 x2 = 0 0 1 4 1 x3 0
标准型与相似变换阵。 求A的Jordan标准型与相似变换阵。
解：
f (λ ) = λE − A = 0
λ −2
λ1 = λ 2 = λ 3 = λ4 = 2
( A − 2E )x = θ
即： 0 0 0 0
3 0 0 x1 0 0 0 x 2 =θ 0 0 0 x 3 0 3 0 x 4
二、相似变换阵于Jordan小块的关系 相似变换阵于 小块的关系
令P = (P 1 P2 L Pr )
Pj含有k j列
P −1 AP = diag( J k1 J k2
AP = Pdiag ( J k1 J k2
J k3
J k3
L J kr )
L J kr )
AP = ( P1 J k1 P2 J k2
p1 , p2 ,L , pk j 构成一个链称为 Jordan链 的特征向量。 k称为长度， p1 称为链头 它是关于 λ j的特征向量。 称为长度，
三.例题 例题
例1
2 0 A= 0 0
3 0 0 2 0 0 0 2 0 0 3 2
λ −2 −3 0 λ −2
0 0 0 0 0 λ −2 −3 0 0 (λ − 2 )4 = 0
3 0 0 x1 0 0 0 0 x 2 1 / 3 x = 0 0 0 0 3 x 0 3 0 4 0
得
0 1 p12 = 3 0 0
无解。 无解。
− 1 p11 = 1 0
3 p21 = 0 1
( A − λ1E )x = p11
− 2 − 2 6 x1 − 1 − 1 − 1 2 x2 = 1 − 1 − 1 2 x 0 3
− 2 2 − 1 A= 0 −2 0 1 4 0 求相似变换阵P使 相似。 求相似变换阵 使A 和Jordan阵J相似。 阵 相似
例2
λ+2
解： f ( λ ) = λ E − A =
0 −1
−2 1 λ+2 0 −4
λ
λ+2 1 = (λ + 2) = (λ + 2 )(λ (λ + 2 ) + 1) −1 λ
选
* p21 = k1 p11 + k 2 p21
3k 2 − k1 = k1 k 2
k1 , k 2待定。
− 2 − 2 6 x1 3k 2 − k1 − 1 − 1 2 x2 = k1 − 1 − 1 2 x k 2 3
P3 J k3
L Pr J kr )
= ( AP1
从而
AP2
AP3 L APr )
j = 1,2L , r
APj = Pj J k j (λ j )
( AP = (Ap
j
令Pj = p1 p2 p3 L L pkj
1
)
Ap2 Ap3 L L Apk j
)
= Ap1 Ap2 Ap3 L L Apk j
2 0 = 0 0
0 0 0 3 0 0 0 0 1 0 3 0
2 0 0 0
3 0 0 2 0 0 0 2 0 0 3 2
0 0 0 2 1 0 0 3 0 0 1 0 0 2 0 0 6 0 0 0 1/ 3 0 0 = 0 0 2 1 0 2 2 0 0 1/ 3 0 6 0 0 0 1 0 0 0 0 2
1 λ 0 λ 0
λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ 0 0 0 0 0 1 λ
(λ ) λ
1
0
λ
0
0 1 λ
LL
λ 1 0 0 0 λ 1 0 0 0 λ 1 0 0 0 λ 0 0 0 0
0 0 0 1 λ
(
)
0 1 0 0
= p1 p2 p3
(
λj 1 0 λj L L pk j 0 O M 0 0
)
λj 1
O O L 0
0 0 0 1 λj
= (λ j p1 λ j p2 + p1 λ j p3 + p2 L L λ j pk j ( − 1 0
例3
−1 − 2 6 A = −1 0 3 −1 −1 4
求相似变换阵A使 和 相似。 求相似变换阵 使P和Jordan阵J相似。 阵 相似 解：
λ +1 2 λE − A = 1 λ
1
−6 −3 1 λ −4
即特征值为： 即特征值为： λ1
0
0 0 0 0 1/ 3 1 0
P −1
1 0 = 0 0
0 0 0 3 0 0 0 0 1 0 3 0
1 0 0 1/ 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/ 3 1 0
1 0 −1 P AP = 0 0
1 p11 = 0 − 1
− 1 p12 = 0 0
为一个Jordan链 链 为一个
( A − λ3 E )x = θ
0 2 − 1 x1 0 0 0 0 x2 = 0 1 4 2 x 0 3
1 0 p11 = 0 0 0 1/ 3 p12 = 0 0
从而有一个链
( A − 2 E )x = p21
0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 x1 0 0 0 0 x2 0 x = 0 0 0 0 3 0 3 0 x4 1 3 0 0 x1 0 0 0 0 x2 0 x = 1 / 3 0 0 0 3 x 0 0 3 0 4
有两个线性无关的解
1 0 p11 = 0 0
0 0 p21 = 0 1
是链头． 是链头．
( A − 2 E )x = p11
0 0 0 0
0 0 0 0
3 0 0 x1 1 0 0 0 x 2 0 x = 0 0 0 0 3 0 3 0 x 4 0
1 p11 = 0 − 1
− 1 2 − 1 x1 0 0 − 1 0 x2 = 0 1 4 1 x 0 3
得
这是链头
( A − λ1E )x = p11
2 − 1 x1 1 − 2 +1 − 2 + 1 0 x2 = 0 0 1 4 1 x3 − 1 得 −1 −1 p12 = 0 0
1 0 − 2 2 − 1 − 8 1 − 1 0 0 2 − 1 0 − 2 0 1 0 0 − 1 − 6 − 1 1 4 0 2 −1 0
0 − 2 0 − 8 1 − 1 − 2 = − 1 − 8 0 1 0 0 = 0 1 6 1 2 − 1 0 0
J k (λ )称为特征值 λ 的 k阶Jordan小块.
k1 + k 2 + L + k r = n
的特征值。 λ1 , λ 2 ,L , λ r为矩阵 A 的特征值。 k (λ i )由A唯一确定， J 唯一确定，
i
A的这个相似阵称为 A的Jordan标准型。 标准型。
其中： ordan小 其中：J ordan小 块有如下形式
= λ2 = λ3 = 1
λ1 = 1 的特征向量
( A − E )x = θ
− 2 − 2 6 x1 0 − 1 − 1 3 x2 = 0 − 1 − 1 3 x 0 3
可得两个线性无关的特征向量
Jordan标准型 标准型
定理： 一、Jordan定理： 定理 是一个n阶方阵 设A是一个 阶方阵，则存在非奇阵 使 是一个 阶方阵，则存在非奇阵P使
J k1 (λ1 ) J k2 (λ2 ) J k3 (λ3 ) P −1 AP = O J kr (λr ) 1 0 L 0 λ 1 L 0 λ 0 其中： 其中： J k ( λ ) = 0 O O O M L O 1 λ M 0 L L 0 λ