全国重点高中华中师大一附中2009年高中自主招生考试数学测试真题附答案
华中师大一附中高中招生考试数学含参考答案
2007年华中师大一附中高中招生考试——数学（考试时间：80分钟，总分：100分）一、选择题：（每小题4分，共24分）1、如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠A =90°，2==AC AB ，⊙A 与BC 相切，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．21π-B ．31π-C ．41π-D ．51π- 2、已知)200712007(21n n x -=，n 是大于1的自然数，那么n x x )1(2+-的值是（ ） A ．20071 B ．20071- C ．2007)1(n - D ．20071)1(n - 3、设两数19x +1和92x +74之中的较大者为f (x )，若f (x )≥0，则实数x 的取值范围为（ ） A ．4637-≥x B ．191-≥x C ．4373-≥x D ．4373-≤x 4、如图，在△ABC 中，M 为BC 边的中点，MI ∥CA ，且MI 与∠A 的平分线AI 相交于点I ．若AB =10，AC =16，则MI 的长度为（ ） A ．3 B ．27 C ．4 D ．29 5、设0＜a ＜b ＜c ，实数x ，y （x ＞y ）满足2x +2y =a +b +c ，2xy =ac ，则x ，y 的取值范围是（ ）A ．a ＜x ＜b ，0＜y ＜aB ．b ＜x ＜c ，0＜y ＜aC ．a ＜x ＜c ，0＜y ＜aD ．b ＜x ＜c ，0＜y ＜c6、已知a 为自然数，关于x 的方程0412=+---a x a x 至少有一个整数根，则a 可取值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：（每小题5分，共20分）7、设1x ，2x 是方程032=-+x x 的两个根，那么1943231+-x x 的值为_____________．8、已知二次函数a x x y +-=2的图像与x 轴的两个不同交点到原点的距离之和不超过5，则实数a 的取值范围为_____________．9、自然数a 、b 、c 、d 满足条件1≤a ＜b ＜c ＜d ≤2007，a +b +c +d =ad +bc ，设abcd 的最大值为m ，最小值为n ，则=+6nm _____________． 10、如图，已知射线OM 与射线ON 互相垂直，A 是直径PQ 为2cm 的半圆形铁片上一点，且弧AQ 的度数为60°，动点P 从点O 沿射线OM 开始滑动，同时动点Q 在ON 上滑动，当点Q 滑至点O 停止时，点A 所经过的路程是_____________．三、解答题（共4小题，13+13+15+15共56分）11、如图，AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，PF 分别交AB 、BC 于点E 、D ，交⊙O 于点F 、G ，且BE 、BD 的长恰好是关于x 的方程0)134(622=+++-m m x x 的两根（其中m 是实数）．（1）求BE 和BD 的长．（2）若36=⋅EF GE ，求∠A 的度数．12、学校食堂改建一个开水房，计划用电炉或煤烧水，但用煤烧水时也要用电鼓风及时排气，用煤烧开水时每吨开水的费用为S 元，用电炉烧开水时每吨开水的费用为P 元．且S =5x +0.2y +5，y y P -+=76202.10，其中x 为每吨煤的价格，y 为每百度电的价格，如果烧煤时费用不超过用电炉的费用，则用煤烧水，否则就用电炉烧水．（1）如果每吨煤的价格为135元，当两种方法烧水费用相同时，每百度电的价格应为多少元？ （2）如果每百度电价不低于60元，为了确保用煤烧水，则每吨煤的最高价是多少？13、将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．设A、P两点间的距离为x．（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？证明你的结论．（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出此时x 的取值范围．（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．14、是否存在满足下列条件的锐角△ABC：其三边的长及一条高的长是四个连续的整数，且这条高将△ABC分成的两个直角三角形的边长均为整数，若存在这样的锐角三角形，求出所有满足条件的锐角三角形的边长，若不存在，请说明理由．2007年华中师大一附中高中招生考试——数学参考答案一、选择题：（每小题4分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案CDAABC二、填空题：（每小题5分，共20分） 题号 789 10答案416＜a ≤-2011)33(-cm三、解答题（共4小题，13+13+15+15共56分）11、解：（1）0)134(4362≥++-=∆m m ⇒0)2(2≤+m ⇒m =－2 原方程即为3096212==⇒=+-x x x x 即BE =BD =3． （2）由相交弦定理得BE ·AE =GE ·EF ⇒32=AE △PBC ∽△PAB ⇒PAPBAB BC =BE =BD ⇒∠BDE =∠BED ⇒∠BDP =∠AEP 又∠PBD =∠PAE ⇒△PBD ∽△PAE ⇒AEBDPA PB =∴23323sin ====AE BD AB BC A ⇒∠A =60°．12、解：（1）当x =135时，S =P 即0762*******.1052.0675=-+-⇒-+=++y y y y y08762)76(2=--+-⇒y y 476=-⇒y ⇒y =60答：每百度电的价格应为60元．（2）60≤y ≤76y y y x -+≤++76202.1052.05153)176(2176422+---=--+≤⇒y y y x∴135max =x答：每吨煤的最高价是135元．证明：过点P 作MN 平行BC ，得到矩形BCNM 和等腰△PCN PN =CN =BM ⇒△PNQ ≌△BMP ⇒PQ =PB ．（2）作PH ⊥BC ，得到△PBH ≌△BPM ≌△PQN ⇒S 四边形PBCQ =S 正方形PHCQ AP =x ⇒x PM 22=⇒)221(x PN -=⇒2)221(x y -= 当BP ⊥AC 时，点Q 与点C 重合，所以220＜AP ≤ ∴12212+-=x x y （220＜x ≤）． （3）①当点P 与点A 重合时，点Q 与点D 重合，QP =QC ，此时x =0；②当点Q 在DC 延长线上时，可令CP =CQ ，此时x MP NQ 22==，x BM CN 221-==⇒x CP -=2，12-=x CQ ⇒122-=-x x ⇒x =1．14、解：存在锐角三角形满足条件．如图，△ABC 的三边长及高AD 的长是四个连续的整数：n ，n +1，n +2，n +3， 不妨设AD ＜AB ＜AC ，则AD 只能等于n 或n +1，设CD =x （x 也为整数） ①若AD =n +1，AB =n +2，AC =n +3，BC =n ，则BD =n －x ，⇒⇒=--⇒--=+-+55)22()()2()3(2222n n x n x n x n n n =5，x =4⇒AD =6，CD =4，AC =8222AC CD AD ≠+⇒矛盾！②若AD =n ，AB =n +2，AC =n +3，BC =n +1，则BD =n +1－x ，⇒+⇒=--+⇒-+-=+-+3)1(3)32)(1()1()2()3(2222n n x n x n x n n n =2，x =3⇒AD =2，CD =3，AC =5⇒AD ，CD ，AC 不能构成三角形！③若AD =n ，AB =n +1，AC =n +3，BC =n +2，则BD =n +2－x ，321)2()1()3(2222+=⇒-+-=+-+n x x n x n n 由⇒+=++⇒=+222222)3()321(n n n AC CD AD n =12，x =9⇒AD =12，AB =13，BC =14，AC =15，CD =9，BD =5满足条件！④若AD =n ，AB =n +1，AC =n +2，BC =n +3，则BD =n +3－x ，⇒+⇒=-++⇒-+-=+-+3)3(3)25)(3()3()1()2(2222n x n n x n x n n n 无正整数解！综上：满足条件的锐角三角形只有一个，它的边长为13，14，15．。
华中师大一附中2009届高三年级五月压轴考试(文科)
华中师大一附中2009届高三适应性考试文 科 数 学 试 卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若函数44y sin cos ()x x x R =+∈，则函数的最小正周期为A ．4πB ．2πC ．πD ．2π2．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，集合{})0a (,a X Z x B >≤∈= ，则满足 的实数a 可以取的一个值为A ．0B ．1C ．2D ．33．函数2log x y=的大致图象是4．将圆4y x 22=+上各点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的21，得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为A ．21 B．23 C ．22 D ．555．若不等式0562>++-x x xm 的解集是)1,2()5,(--⋃--∞，那么m 的值是 A ．2 B ．－2 C ．12- D ．126．设a 是直线，α是平面，那么下列选项中，可以推出//a α的是A ．存在一条直线b ，//a b ，b α⊂B ．存在一条直线b ，a b ⊥，b α⊥C ．存在一个平面β，a β⊂，//αβD ．存在一个平面β，a β⊥，αβ⊥ 7．从某地区15000位老人中随机抽取500人，其健康综合指标的统计情况如下表所示：则该地区健康综合指标良好的老人中男性比女性约多A ．2人B ．22人C ．60 人D ．667人xxxx⊂≠A B8．已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）.设p ：圆C 上存在关于直线l 对称的相异两点；q ：m=31-．则p 是q 的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分也非必要条件 9． 若△ABC 所在平面内一点P 满足111226AP AB AC BC =+-，则点P 一定在 A ．△ABC 的一边上 B ．△ABC 的一顶点处C ．△ABC 的外部D ．△ABC 的内部10．某汽车运输公司购置中型客车一辆投放客运市场营运，据市场调查分析知，该型客车投放市场后的第x 年的年利润y (单位：万元)与营运年数x （x ∈Ｎ＊）的函数关系为y =⎩⎨⎧≥-２时 ｘ１３－２ ｘ＝１时x 14，若这辆客车营运n 年可使其营运年平均利润达到最大,则n 的值为A ．2B ．4C ．5D ．6二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．11．设二项式n x x )13(3+的展开式中各项系数和为p ，各项的二项式系数和为s ，若272p s +=，则n 等于______________．12．球的内接正方体的棱长为a ，则该正方体同一棱的两端点间的球面距离均为 ．13．已知()f x 是R 上的偶函数，且满足(4)(),(0,2)f x f x x +=∈当时，2()2,f x x =(7)f =则 ____. 14．在由0，1，2，3，4，5所组成的无重复数字的六位数中，任取一个六位数，恰好满足个位、十位、百位上的数字之和为7的概率是 ．15．有一批大小相同的呈正方体型的物件，按照上面少，下面多的方式，堆放于仓库的墙角处。
2009年全国高中数学联赛试题及解答
x1 + x1 x2
x2 = k − =1 0
2
0
所以 x1 ， x2 同为正根，且 x1 x2 ，不合题意，舍去．
综上可得 k 0 或 k = 4 为所求．
11
7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最 后一行仅有一个数，第一行是前100 个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以 用指数表示）．
条．………14 分
11
2. （本小题 15 分）已知 p ， q (q 0) 是实数，方程 x2 − px + q = 0 有两个实根 ， ，数列an 满足 a1 = p ， a2 = p2 − q ， an = pan−1 − qan−2 (n = 3，4 ， ) (Ⅰ)求数列an 的通项公式（用 ， 表示）；
比为 的等比数列．
数列bn 的首项为： b1 = a2 − a1 = p2 − q − p = ( + )2 − − ( + ) = 2 ． ( 所以 bn = 2 n−1 = n+1 ，即 an+1 − an = n+1 n = 1，2 ， ) ．所以 an+1 = an + n+1 (n = 1，2 ， ) ． ① 当 = p2 − 4q = 0 时 ， = 0 ， a1 = p = + = 2 ， an+1 = an + n+1 (n = 1，2 ， ) 变 为
(Ⅱ)若
p
=1
，
q
=
1 4
，求 an
的前
n
项和．
2024学年华中师范大学第一附属中学高三第一次质量检测试题(一模)数学试题试卷
2024学年华中师范大学第一附属中学高三第一次质量检测试题（一模）数学试题试卷 注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ）A ．方差B ．中位数C ．众数D ．平均数2．已知||3a =，||2b =，若()a a b ⊥-，则向量a b +在向量b 方向的投影为（ ）A ．12B ．72C ．12-D ．72- 3．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A ．12 B ．14 C ．34 D ．224．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 的右支上一点，连接1PF 与y 轴交于点M ，若12||FO OM =（O 为坐标原点），12PF PF ⊥，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．3y x =± B ．3y x =± C ．2y x =± D ．2y x =±5． “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误．．的是( )A ．这五年，出口总额之和．．．．比进口总额之和．．．．大 B ．这五年，2015年出口额最少D ．这五年，出口增速前四年逐年下降6．定义在[]22-,上的函数()f x 与其导函数()f x '的图象如图所示，设O 为坐标原点，A 、B 、C 、D 四点的横坐标依次为12-、16-、1、43，则函数()x f x y e=的单调递减区间是（ ）A ．14,63⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,26--⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,27．已知3log 2a =，ln3b =，0.992c -=，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．b c a >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>8．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（ ）A ．8B ．83C ．82+D ．842+9．设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =，且1OQ AB ⋅=，则点P 的轨迹方程是（ ）A ．()223310,02x y x y +=>> B ．()223310,02x y x y -=>> C ．()223310,02x y x y -=>> D ．()223310,02x y x y +=>> 10．数列{}n a 满足()*212n n n a a a n +++=∈N ，且1239a a a ++=，48a =，则5a =（ ） A ．212 B ．9 C ．172 D ．711．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A ．20B ．27C ．54D ．6412．已知x ，y 满足不等式00224x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z ＝9x +6y 最大值的变化范围[20，22]，则t 的取值范围（ ） A ．[2，4] B ．[4，6] C ．[5，8] D ．[6，7]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2009年全国高中数学联赛一试(试题参考答案及评分标准)
2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）1． 若函数()f x =且()()()n nf x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()991f = ． 【答案】 110【解析】 ()()()1f x f x = ()()()2f x f f x =⎡⎤⎣⎦……()()99f x故()()991110f =．2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ．【答案】 []36， 【解析】 设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M相交，得d 解得36a ≤≤．3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．【答案】 212t t -++【解析】 由题意知 ()f t S =阴影部分面积A OB OCD BS S S ∆∆∆=-- ()22111122t t =---212t t =-++4． 使不等式1111200712213a n n n +++<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a的值为 ．【答案】 2009 【解析】 设()1111221f n n n n =++++++．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最大值()1120073f a <-，可得2009a =．5． 椭圆22221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为 ．【答案】 22222a b a b+【解析】 设()cos sin P OP OP θθ，，ππcos sin 22Q OQ OQ θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，．由P ，Q 在椭圆上，有 222221cos sin a b OP θθ=+ ① 222221sin cos a b OQ θθ=+ ② ①+②得22221111ab OP OQ+=+． 于是当OP OQ ==OP OQ 达到最小值22222a b a b+．6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ． 【答案】 0k <或4k = 【解析】 ()20101kx x kx x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩当且仅当0kx >① 10x +>② ()2210x k x +-+=③对③由求根公式得1x ，2122x k ⎡=-⎣ ④2400k k k ∆=-⇒≥≤或4k ≥．(ⅰ)当0k <时，由③得 12122010x x k x x +=-<⎧⎨=>⎩ 所以1x ，2x 同为负根． 又由④知121010x x +>⎧⎨+<⎩所以原方程有一个解1x ．(ⅱ)当4k =时，原方程有一个解112kx =-=． (ⅲ)当4k >时，由③得12122010x x k x x +=->⎧⎨=>⎩所以1x ，2x 同为正根，且12x x ≠，不合题意，舍去． 综上可得0k <或4k =为所求．7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）【答案】 981012⨯ 【解析】 易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为11d =，22d =，232d =，…，98992d =(ⅲ)100a 为所求．设第()2n n ≥行的第一个数为n a ，则 ()22111222n n n n n n a a a a -----=++=+3222222n n n a ---⎡⎤=++⎣⎦24223222222n n n n a ----⎡⎤=++⨯+⎣⎦323232n n a --=+⨯……()121212n n a n --=+-⨯ ()212n n -=+故981001012a =⨯．8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）．【答案】 27 【解析】 旅客候车的分布列为候车时间的数学期望为1111110305070902723361218⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=二、解答题1． （本小题满分14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y-=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． 【解析】 由2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k xkmx m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834kmx x k +=-+()()()222184344480km k m ∆=-+-> ① ………………………………………………4分由221412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k xkmx m ----=设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223kmx x k+=- ()()()2222243120km k m ∆=-+-+> ② ………………………………………………8分 因为0AC BD +=，所以()()42310x x x x -+-=，此时()()42310y y y y -+-=．由1234x x x x +=+得2282343km kmk k -=+-． 所以20km =或2241343k k -=+-．由上式解得0k =或0m =．当0k =时，由①和②得m -<．因m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当0m =，由①和②得k k 是整数，所以1k =-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分2． （本小题15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-=，，(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）；(Ⅱ)若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和．【解析】 方法一：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以()1212n n n n n a px qx a a αβαβ------=+-，()345n =，，，整理得()112n n n n a a a a βαβ----=- 令1n n n b a a β+=-，则()112n n b b n α+==，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列．数列{}n b 的首项为：()()222121b a a p q p ββαβαββαβα=-=--=+--+=．所以21n n n b ααα-+=⋅=，即11n n n a a βα++-=()12n =，，．所以11n n n a a βα++=+()12n =，，．①当240p q ∆=-=时，0αβ=≠，12a p ααα==+=，11n n n a a βα++=+()12n =，，变为11n n n a a αα++=+()12n =，，．整理得，111n nn na a αα++-=，()12n =，，．所以，数列n n a α⎧⎫⎨⎬⎩⎭成公差为1的等差数列，其首项为122a ααα==．所以()2111nna n n α=+-=+．于是数列{}n a 的通项公式为()1n n a n α=+；……………………………………………………………………………5分②当240p q ∆=->时，αβ≠， 11n n n a a βα++=+1n n a βαβαβα+-=+-11n n n a βαβααβαβα++=+---()12n =，，．整理得211n n n n a a ααββαβα+++⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，()12n =，，．所以，数列1n n a αβα+⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭成公比为β的等比数列，其首项为2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以121n n n a αβββαβα+-+=--．于是数列{}n a 的通项公式为11n n n a βαβα++-=-．………………………………………………10分(Ⅱ)若1p =，14q =，则240p q ∆=-=，此时12αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{}n a 的通项公式为()11122nn n n a n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，{}n a 的前n 项和为231234122222n n n n n s -+=+++++234112341222222n n n n s n ++=+++++以上两式相减，整理得1133222n n n s ++=-所以332n n n s +=-．……………………………………………………………………………15分方法二：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以 1a αβ=+，222a αβαβ=++．特征方程20p q λλ-+=的两个根为α，β． ①当0αβ=≠时，通项()()1212n n a A A n n α=+=，，由12a α=，223a α=得()()122212223A A A A αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得121A A ==．故 ()1n n a n α=+．……………………………………………………5分 ②当αβ≠时，通项()1212n n n a A A n αβ=+=，，．由1a αβ=+，222a αβαβ=++得12222212A A A A αβαβαβαβαβ+=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得1A αβα-=-，2A ββα=-．故1111n n n n n a αββαβαβαβα++++--=+=---．…………………………………………………………10分 (Ⅱ)同方法一．3． （本小题满分15分）求函数y 【解析】 函数的定义域为[]013，.因为y =当0x =时等号成立．故y 的最小值为．……………………………………………5分 又由柯西不等式得 22y =()()()11122731312123x x x ⎛⎫+++++-= ⎪⎝⎭≤所以11y ≤． ………………………………………………………………………………10分 由柯西不等式等号成立的条件，得()491327x x x =-=+，解得9x =．故当9x =时等号成立． 因此y 的最大值为11…………………………………………………………………………………15分。
华师一附中自主招生数学试题
2009年漳州市高中自主招生四校联考数 学 试 卷（满分：150分；考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分．）1．下列四个算式：3227)()a a a -⋅-=-（； 623)(a a -=-； 2433)(a a a -=÷-； 336)()(a a a -=-÷-中，正确的有 （ ） A ．0个 B.1个 C.2个 D.3个 2．下列因式分解中，结果正确的是（ ） A.2322()x y y y x y -=-B.424(2)(2)(2)x x x x -=+-C.211(1)x x x x x--=-- D.21(2)(1)(3)a a a --=--3、如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图 ，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，这个几何体的左视图是 （ ）A B C4．用6个球（除颜色外没有区别）设计满足以下条件的游戏：摸到白球的概率为12，摸到红球的概率为13，摸到黄球的概率为16．则应准备的白球，红球，黄球的个数分别为（ ） A. 3，2，1 B. 1，2，3 C. 3，1，2 D.无法确定5.数学家发明了一个魔术盒，当任意实数对．．．（a ，b ）进入其中时，会得到一个新的实数：a 2+b +1.例如把（3，－2）放入其中，就会得到32+(–2)+1=8.现将实数对．．．(–2，3)放入其中得到实数m ，再将实数对．．．（m ，1）放入其中后，得到的实数是( )A. 8B. 55C. 66D. 无法确定6.漳州市为了鼓励节约用水，按以下规定收水费：（1）每户每月用水量不超过20m 3，则每立方米水费为1.2元，（2）每户用水量超过20m 3，则超过的部分每立方米水费2元，设某户一个月所交水费为y（元），用水量为x(m 3),则y 与x 的函数关系用图像表示为（ ）1 1 127.下面是六届奥运会中国获得金牌的一览表．在5，16，16，28，32，51这组数据中，众数和中位数分别是（ ） A.16，16 B.16，28 C.16，22 D.51，16 8．下列命题中，真命题是（ ）A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形；B ．对角线相等的四边形是矩形；C ．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；D ．对角线互相垂直的四边形是菱形；9. △ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，三条中位线组成第一个中点三角形，第一个中点三角形的三条中位线又组成第二个中点三角形，以此类推，求第2009中点三角形的周长为（ ） A.20082c b a ++ B. 20092cb a ++ C.20102cb a ++ D.20092)(3c b a ++10．如图，边长为1的菱形ABCD 绕点A 旋转，当B 、C 两点恰好 落在扇形AEF 的弧EF 上时，弧BC 的长度等于（ ）A ．6π B.4π C.3π D.2π 二、填空题（本大题共有8小题，每小题4分，共32分．） 11．已知2a b +=，则224a b b -+的值 ．12.在盒子里放有三张分别写有整式1a +、2a +、2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是 ．13．如图13，在矩形ABCD 中, 点E 为边BC 的中点, AE ⊥BD ，垂足为点O, 则AB BC 的值等于 。
华中师大一附中2009届高三年级数学单元检测题(圆锥曲线)
数学单元检测试卷（圆锥曲线）一、填空题（每小题5分）1．当8<k<17时，曲线221178x y k k +=--与221817x y +=有相同的A ．焦点B ．准线C ．焦距D ．离心率2．已知圆锥曲线2214x y λ+=的离心率[22e ∈，则实数λ的取值范围是 A ．[-2，0] B ．[-3，1] C ．[-2，-1] D ．[-2，1]3．已知m ，n 为两个不相等的非零实数，则方程mx-y+n=0与nx 2+my 2=mn 所表示的示意曲线是4．当0<k<13时，关于x kx =的实根个数是 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个5．过抛物线y 2=2px （p>0）的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC|=2|BF|，|AF|=3，则抛物线方程为A ．y 2=9xB ．y 2=6xC ．y 2=3xD ．y 26．已知双曲线221:1169x y C -=的左准线为l ，左、右焦点分别为F 1、F 2，抛物线C 2的准线为l ，焦点是F 2，若C 1与C 2的一个交点为P ，则|PF 2|的值等于A ．40B ．32C ．8D ．47．若抛物线y 2=2x 上两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）关于直线y=x+b 对称，且y 1y 2=-1则实数b 的值为A ．52-B ．52C ．12D ．-128．已知椭圆中心在坐标原点，离心率为12，A 、C 分别为上、下顶点，B 为左顶点，F 为左焦点，直线AB 与FC 交于点D ，则∠BDC 正切值是A ．-B ．3C ．D ．33+9．已知椭圆中心在坐标原点O ，右焦点为F ，右准线为l ，若l 上存在点M ，使线段OM 的中垂线经过点F ，则椭圆离心率的取值范围是A ．[2B ．C ．D ．(0,210．两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y=-2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C：22221x ya b+=（a>b>0）的两焦点，已知椭圆的离心率为12且x2-x1=65，则椭圆C的方程为A．22143x y+=B．22186x y+=C．2211612x y+=D．22413x y+=二、填空题（每小题5分）11．过双曲线2212yx-=的右焦点，作直线l交双曲线于A、B两点，若实数λ使得|AB|=λ的直线l恰有2条，则λ范围是。
湖北省华中师范大学第一附属中学数列多选题试题含答案
湖北省华中师范大学第一附属中学数列多选题试题含答案一、数列多选题1．已知等比数列{}n a 首项11a >，公比为q ，前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，函数()()()()127f x x x a x a x a =+++，若()01f '=，则（ ）A ．{}lg n a 为单调递增的等差数列B ．01q <<C ．11n a S q ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭为单调递增的等比数列D ．使得1n T >成立的n 的最大值为6【答案】BCD 【分析】令()()()()127g x x a x a x a =+++，利用()()127001f g a a a '===可得3411a a q ==，01q <<，B 正确；由()()111lg lg lg 1lg n n a a q a n q -==+-可得A 错误；由()111111111n n n a a a qS q q q q q --=--=⋅---可得C 正确；由11a >，01q <<，41a =可推出671T T >=，81T <可得D 正确. 【详解】令()()()()127g x x a x a x a =+++，则()()f x xg x =， ()()()f x g x xg x ''∴=+，()()127001f g a a a '∴===，因为{}n a 是等比数列，所以712741a a a a ==，即3411a a q ==，11a >，01q ∴<<，B 正确；()()111lg lg lg 1lg n n a a q a n q -==+-，{}lg n a ∴是公差为lg q 的递减等差数列，A 错误；()111111111n n n a a a q S q q q q q --=--=⋅---，11n a S q ⎧⎫∴-⎨⎬-⎩⎭是首项为101a q q <-，公比为q 的递增等比数列，C 正确；11a >，01q <<，41a =，3n ∴≤时，1n a >，5n ≥时，01n a <<，4n ∴≤时，1n T >，7712741T a a a a ===，8n ∴≥时，78971n n T T a a a T =<=，又75671T T a a =>，7671T T a =>，所以使得1n T >成立的n 的最大值为6，D 正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：利用等比数列的性质、通项公式、求和公式、数列的单调性求解是解题关键.2．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，201920212020S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则下列结论中正确的是（ ） A ．20200a >B ．20210a <C ．2019202020212022a a a a ⋅>⋅D ．2019n =时，n T 取得最大值【答案】ABC 【分析】根据题设条件，得到2021202020212020201920200,0S S a S S a -=<-=>，进而求得201920220a a >->，20192020a a >20212022a a ，再结合“裂项法”求得12121112n n n T d a a a a ++⎫⎛=-⎪⎝⎭，结合0d <，即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为201920212020S S S <<，可得2021202020210S S a -=<，2020201920200S S a -=>，20212019S S -=202120200a a +>，即202020210a a >->，202020210a d a d ->-->，即201920220a a >->， 所以20192020a a >20212022a a ，0d <，即数列{}n a 递减， 且10a >，20a >，…，20200a >，20210a <， 又由12n n n n b a a a ++=，可得1211n n n n b a a a ++==1121112n n n n d a a a a +++⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则122323341121211111111122n n n n n T d a a a a a a a a a a a a d a a +++⎛⎫⎛=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪⎝⎝⎭121n n a a ++⎫⎪⎭，由0d <，要使n T 取最大值，则121211n n a a a a ++⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最小值， 显然1210n n a a ++>，而23a a >34201920202021202220222023a a a a a a a a >⋅⋅⋅>><<⋅⋅⋅， 所以当2020n =时，121211n n a a a a ++⎛⎫-⎪⎝⎭取得最小值. 综上可得，正确的选项为ABC. 故选：ABC. 【点睛】本题主要考查了数列的综合应用，其中解答中熟练应用通项n a 和n S 的关系式，数列的“裂项法”求和，以及数列的单调性进行求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n f 称为斐波那契数列. 并将数列{}n f 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}n g ，则下列结论正确的是( ) A ．20192g = B ．()()()()222123222022210f f f f f f -+-=C ．12320192688g g g g ++++=D ．22221232019201820202f f f f f f ++++=【答案】AB 【分析】由+2+1+n n n f f f =可得()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-，可判断B 、D 选项；先计算数列{}n g 前几项可发现规律,使用归纳法得出结论：数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，可判断A 、C 选项. 【详解】 对于A 选项：12345678910111211,2,3,1,0,1,12310g g g g g g g g g g g g ============，，，，，，，所以数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，又20196336+3=⨯，所以20192g =，故A 选项正确；对于C 选项：()()12320193361+1+2+3+1+0+1+1+22692g g g g ++++=⨯=，故C 选项错误；对于B 选项：斐波那契数列总有：+2+1+n n n f f f =，所以()()22222232122232221f f f f f f f f =-=-，()()22121222021222120f f f f f f f f =-=-， 所以()()()()222123222022210f f f f f f -+-=，故B 正确； 对于D 选项：()212+2+1112+n n n f f f f f f f f ==∴=，，，()222312321f f f f f f f f =-=-， ()233423432f f f f f f f f =-=-，，()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-。