第69讲 函数综合与探究性问题(二)
青岛版九年级下对函数的再探索二次函数的图象和性质微课
的思想．
检验与反馈
课本练习：课本 36 页练习；
补充练习：
1．将函数 y＝2x2－2 的图象先向___平移___个单位。
学生在画图和练习中，进一步感受二次函
通过学生练
就得到函数 y＝2x2 的图象，再向___平移___个单位得到函 数
习，培养学生运用知识
数
y＝ax2＋k、y＝a(x＋m)2 和二次函数 y＝ax2 的能力，加深对知识的
（3）根据图象，你能得出函数 y＝x2＋1 的图象的性质吗？
4．猜想：函数 y＝x2－2 的图象和 y＝x2 的图象的位置有何 关系？函数 y＝x2－2 的图象有哪些性质？
按照列表、描点、连线的过程画函数图象． y
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
等数学思想的理解．
_________，当 x＝_____时，y 有最______值，是______．
《二次函数的图象和性质（2）》教学设计
教学目标
教学重点 教学难点
1．会用描点法画函数 y＝ax2＋k 和函数 y＝a(x＋m)2 （a≠0）的图象； 2．能用平移变换解释二次函数 y＝ax2＋k．y＝a(x＋m)2 和二次函数 y＝ax2（a≠0）的位置关系； 3．能根据图象认识和理解二次函数 y＝ax2＋k．y＝a(x＋m)2（a≠0）的性质； 4．体会数学研究问题由具．体．到．抽．象．．特．殊．到．一．般．的思想方法．
总结与归纳 思考：（1）由上面的例子，函数 y＝a(x＋m)2 的图象与函数 y＝ax2（a≠0）的图象有什么关系？ （2）函数 y＝a(x＋m)2 有什么性质？
学生先交流、尝试概括，师生共同总结出结论： 通过学生相互交
普通高中教科书数学目录(2019版)
必修 （第一册）（共计72 课时）第一章 集合与常用逻辑用语 （10课时）1.1 集合的概念1.2 集合间的基本关系1.3 集合的基本运算阅读与思考 集合中元素的个数1.4 充分条件与必要条件阅读与思考 几何命题与充分条件、必要条件1.5 全称量词与存在量词第二章 一元二次函数、方程和不等式 （8课时）2.1 等式性质与不等式性质2.2 基本不等式2.3 二次函数与一元二次方程，不等式第三章 函数的概念与性质 （12课时）3.1 函数的概念及其表示阅读与思考 函数概念的发展历程3.2 函数的基本性质信息技术应用 用计算机绘制函数图象3.3 幂函数探究与发现 探究函数1y x x=+的图象与性质 3.4 函数的应用 （一）文献阅读与数学写作* 函数的形成与发展第四章 指数函数与对数函数 （16课时）4.1 指数4.2 指数函数阅读与思考 放射性物质的衰减信息技术应用 探究指数函数的性质4.3 对数阅读与思考 对数的发明4.4 对数函数探究与发现 互为反函数的两个函数图象间的关系4.5 函数的应用 （二）阅读与思考 中外历史上的方程求解文献阅读与数学写作* 对数概念的形成与发展数学建模 （3课时） 建立函数模型解决实际问题第五章 三角函数 （23课时）5.1 任意角和弧度制5.2 三角函数的概念阅读与思考 三角学与天文学5.3 诱导公式5.4 三角函数的图象与性质探究与发现 函数()sin y A x ωϕ=+及函数()cos y A x ωϕ=+的周期探究与发现 利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质5.5 三角恒等变换信息技术应用 利用信息技术制作三角函数表5.6 函数()sin y A x ωϕ=+5.7 三角函数的应用阅读与思考 振幅、周期、频率、相位必修 （第二册）（共计69 课时）第六章平面向量及其应用 （18课时）6.1 平面向量的概念6.2 平面向量的运算阅读与思考 向量及向量符号的由来6.3 平面向量基本定理及坐标表示6.4 平面向量的应用阅读与思考 海伦和秦九韶数学探究 （2课时） 用向量法研究三角形的性质第七章 复数 （8课时）7.1 复数的概念7.2 复数的四则运算阅读与思考 代数基本定理7.3*复数的三角表示探究与发现 1的n 次方根第八章 立体几何初步 （19课时）8.1 基本立体图形8.2 立体图形的直观图阅读与思考 画法几何与蒙日8.3 简单几何体的表面积与体积探究与发现 祖暅原理与柱体、锥体的体积8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系8.5 空间直线、平面的平行8.6 空间直线、平面的垂直阅读与思考 欧几里得 《原本》与公理化方法文献阅读与数学写作*几何学的发展第九章 统计 （13课时）9.1 随机抽样阅读与思考 如何得到敏感性问题的诚实反应信息技术应用 统计软件的应用9.2 用样本估计总体阅读与思考 统计学在军事中的应用——二战时德国坦克总量的估计问题 阅读与思考 大数据9.3 案例统计 公司员工的肥胖情况调查分析第十章 概率 （9课时）10.1 随机事件与概率10.2 事件的相互独立性10.3 频率与概率阅读与思考 孟德尔遗传规律选择性必修 （第一册）（共计43 课时）第一章 空间向量与立体几何 （15课时）1.1 空间向量及其运算1.2 空间向量基本定理1.3 空间向量及其运算的坐标表示阅读与思考 向量概念的推广与应用1.4 空间向量的应用第二章 直线和圆的方程 （16课时）2.1 直线的倾斜角与斜率2.2 直线的方程探究与发现 方向向量与直线的参数方程2.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考 笛卡儿与解析几何2.4 圆的方程阅读与思考 坐标法与数学机械化2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系第三章 圆锥曲线的方程 （12课时）3.1 椭圆信息技术应用 用信息技术探究点的轨迹：椭圆3.2 双曲线探究与发现 为什么b y x a=±是双曲线22221x y a b -=的渐近线 3.3 抛物线探究与发现 为什么二次函数2y ax bx c =++的图象是抛物线阅读与思考 圆锥曲线的关学性质及其应用文献阅读与数学写作* 解析几何的形成与发展选择性必修 （第二册）（共计30 课时）第四章 数列 （14课时）4.1 数列的概念阅读与思考 斐波那契数列4.2 等差数列4.3 等比数列阅读与思考 中国古代数学家求数列和的方法4.4*数学归纳法第五章一元函数的导数及其应用（16课时）5.1 导数的概念及其意义5.2 导数的运算探究与发现牛顿法——用导数方法求方程的近似解5.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质文献阅读与数学写作* 微积分的创立与发展选择性必修（第三册）（共计35 课时）第六章计数原理（11课时）6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少6.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质6.3 二项式定理数学探究（2课时）杨辉三角的性质与应用第七章随机变量及其分布（10课时）7.1 条件概率与全概率公式阅读与思考贝叶斯公式与人工智能7.2 离散型随机变量及其分布列7.3 离散型随机变量的数字特征7.4 二项分布与超几何分布探究与发现二项分布的性质7.5 正态分布信息技术应用概率分布图及概率计算第八章成对数据的统计分析（9课时）8.1 成对数据的统计相关性8.2 一元线性回归模型及其应用阅读与思考回归与相关8.3 列联表与独立性检验数学建模（3课时）建立统计模型进行预测。
数学函数学习方法技巧
数学函数学习方法技巧篇1：数学函数怎么学好数学函数学习方法一、学数学就像玩游戏，想玩好游戏，当然先要熟悉游戏规则。
想学好函数，第一要牢固掌握基本定义及对应的图像特征，如定义域，值域，奇偶性，单调性，周期性，对称轴等。
很多同学都进入一个学习函数的误区，认为只要掌握好的做题方法就能学好数学，其实应该首先应当掌握最基本的定义，在此基础上才能学好做题的方法，所有的做题方法要成立归根结底都必须从基本定义出发，最好掌握这些定义和性质的代数表达以及图像特征。
二、牢记几种基本初等函数及其相关性质、图象、变换。
中学就那么几种基本初等函数：一次函数(直线方程)、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、正弦余弦函数、正切余切函数，所有的函数题都是围绕这些函数来出的，只是形式不同而已，最终都能靠基本知识解决。
还有三种函数，尽管课本上没有，但是在高考以及自主招生考试中都经常出现的对勾函数：y=ax+b/x，含有绝对值的函数，三次函数。
这些函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质和图像等各方面的特征都要好好研究。
三、图像是函数之魂!要想学好做好函数题，必须充分关注函数图象问题。
翻阅历年高考函数题，有一个算一个，几乎百分之八十的函数问题都与图像有关。
这就要求童鞋们在学习函数时多多关注函数的图像，要会作图、会看图、会用图!多多关注函数图象的平移、放缩、翻转、旋转、复合与叠加等问题。
四、多做题，多向老师请教，多总结吧。
多做题不是指题海战术，而是根据自己的情况，做适当的题目;重点要落在多总结上，总结什么呢?总结题型，总结方法，总结错题，总结思路，总结知识等!学好数学函数方法(一)准确、深刻理解函数的有关概念概念是数学的基础，而函数是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学代数的始终.数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中心的代数.近十年来，高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线.(二)揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容.在利用函数和方程的思想进行思维中，动与静、变量与常量如此生动的辩证统一，函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式.所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去加以考虑.高考试题涉及5个方面：(1)原始意义上的函数问题;(2)方程、不等式作为函数性质解决;(3)数列作为特殊的函数成为高考热点;(4)辅助函数法;(5)集合与映射，作为基本语言和工具出现在试题中.(三)把握数形结合的特征和方法函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换.(四)认识函数思想的实质，强化应用意识函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系，求得问题的解决.纵观近几年高考题，考查函数思想方法尤其是应用题力度加大，因此一定要认识函数思想实质，强化应用意识.篇2：怎么学好函数怎么学好函数一、学函数就像玩游戏，想玩好游戏，当然先要熟悉游戏规则。
高三数学专题探究课二
(建议用时：60分钟)1.已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，其中x ∈R ，ω＞0. (1)当ω＝1时，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值； (2)当f (x )的最小正周期为π时，求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上取得最大值时x 的值. 解 (1)当ω＝1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＋cos π2 ＝32＋0＝32.(2)f (x )＝sin ωx ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝sin ωx ＋32cos ωx －12sin ωx ＝12sin ωx ＋32cos ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3， ∵2π|ω|＝π，且ω＞0，得ω＝2，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，得2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6， ∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝1.2.(2016·合肥模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x .(1)求函数y ＝f (x )在x ∈[0，2π]上的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知m ＝(a ，b )，n ＝(f (C )，1)，且m ∥n ，求B .解 (1)f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4， 令2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )，令k ＝0，得－3π4≤x ≤π4，令k ＝1，得5π4≤x ≤9π4，又∵x ∈[0，2π]，∴f (x )在[0，2π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π. (2)由题意f (C )＝sin C ＋cos C ，∵m ∥n ，∴a ·1－f (C )·b ＝0，即a ＝b (sin C ＋cos C )，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝sin B (sin C ＋cos C )＝sin B sin C ＋sin B cos C .在△ABC 中，sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，∴sin B sin C ＝cos B sin C .又sin C ≠0，∴sin B ＝cos B ，∴tan B ＝1，又∵0＜B ＜π，∴B ＝π4.3.(2016·济南名校联考)已知函数f (x )＝sin ωx ＋23cos 2ωx 2＋1－3(ω＞0)的周期为π.(1)求f (x )的解析式并求其单调递增区间；(2)将f (x )的图象先向下平移1个单位长度，再向左平移φ(φ＞0)个单位长度得到函数h (x )的图象，若h (x )为奇函数，求φ的最小值.解 (1)f (x )＝sin ωx ＋23cos 2ωx 2＋1－3＝sin ωx ＋23×1＋cos ωx 2＋1－ 3 ＝sin ωx ＋3cos ωx ＋1＝2sin(ωx ＋π3)＋1.又函数f (x )的周期为π，因此2πω＝π，∴ω＝2. 故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z ).(2)由题意可知h (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋φ）＋π3， 又h (x )为奇函数，则2φ＋π3＝k π，∴φ＝k π2－π6(k ∈Z ).∵φ＞0，∴当k ＝1时，φ取最小值π3.4.(2014·北京卷)如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8， 点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ；(2)求BD ，AC 的长.解 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos ∠B －cos ∠ADC sin ∠B ＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠B ＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.5.已知△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos 2B ，2cos 2B2－1)，且m ∥n .(1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值.解 (1)∵m ∥n ，∴2sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2B 2－1＝－3cos 2B ， ∴sin 2B ＝－3cos 2B ，即tan 2B ＝－ 3.又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π)，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3.(2)∵B ＝π3，b ＝2，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得a 2＋c 2－ac －4＝0.又a 2＋c 2≥2ac ，代入上式，得ac ≤4，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立.故S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立，即S △ABC 的最大值为 3.6.(2016·南昌模拟)已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x ，1)，x ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值.解 (1)f (x )＝2 cos 2x －3sin 2x＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).(2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，又π3＜2A ＋π3＜7π3， ∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3.∵a ＝7，∴由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.① ∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，∴2sin B ＝3sin C ，由正弦定理得2b ＝3c ，②由①②得b ＝3，c ＝2.。
函数探究题型-含答案
函数探究题型一、知识梳理1、求函数解析式正比例与反比例自变量取值范围（1）分母（2）偶次根式被开方数（3）题目特殊要求2、画函数图像列表、描点、连线注：过整数点、渐进线3、函数的性质2.1对称性2.2增减性2.3极大值、极小值4、函数与方程的解交点个数与方程解的个数5、函数与不等式的解6、常考函数（1）函数的平移左加右减、上加下减（2）反比例函数变形（3）对勾函数（4）绝对值函数（5）幂函数及变形强化练习1．参照学习函数的过程与方法，探究函数y ＝的图象与性质．因为y ＝，即y ＝﹣+1，所以我们对比函数y ＝﹣来探究．列表：﹣描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y＝相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（1）请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x＜0时，y随x的增大而；（填“增大”或“减小”）②y＝的图象是由y＝﹣的图象向平移个单位而得到；③图象关于点中心对称．（填点的坐标）（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝的图象上的两点，且x1+x2＝0，试求y1+y2+3的值．2．已知函数y＝y1+y2，其中y1与x成反比例，y2与x﹣2成正比例，函数的自变量x的取值范围是x≥，且当x＝1或x＝4时，y的值均为．请对该函数及其图象进行如下探究：（1）解析式探究：根据给定的条件，可以确定出该函数的解析式为：．（2）函数图象探究：①根据解析式，补全下表：②根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象（3）结合画出的函数图象，解决问题：①当x＝，，8时，函数值分别为y1，y2，y3，则y1，y2，y3的大小关系为：；（用“＜”或“＝”表示）②若直线y＝k与该函数图象有两个交点，则k的取值范围是，此时，x的取值范围是．（4）写出函数的两条性质①②3．已知y＝y1﹣y2，其中y1与x﹣1成反比例，y2＝x+b，下表给出了自变量x与函数y 的一些对应值．（1）求函数y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）补全表格m＝，n＝；（3）在如图所示的平面直角坐标系中，根据表中数据描出相应的点，画出函数图象；（4）根据图象直接写出y1≥y2时，自变量x的取值范围．﹣﹣（5）写出函数的两条性质①②4．已知函数，探究函数图象和性质过程如下：（1）下表是y与x的几组值，则解析式中的m＝，表格中的n＝（2）在平面直角坐标系中描出表格中各点，并画出函数图象：（3）若A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）为函数图象上的三个点，其中x2+x3＞4且﹣1＜x1＜0＜x2＜2＜x3＜4，则y1、y2、y3之间的大小关系是；（4）若直线y＝k+1与该函数图象有且仅有一个交点，则k的取值范围为．（5）写出函数的两条性质①②5.吴京同学根据学习函数的经验，对一个新函数y＝的图象和性质进行了如下探究，请帮他把探究过程补充完整（1）该函数的自变量x的取值范围是．（2）列表：表中m＝，n＝．（3）描点、连线在下面的格点图中，建立适当的平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点（其中x为横坐标，y为纵坐标），并根据描出的点画出该函数的图象：（4）观察所画出的函数图象，写出该函数的两条性质：①；②．y=2x-36. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题＂的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数y=|kx-3|+b 中，当x=2时，y= -4当x=0时，y= -1. （1）求这个函数的表达式； （2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法面出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质； （3）已知函3x 21y -=的图象如图 所示，结合你所画的函数图象，直 接写出不等式3x 21b 3kx -≤+-的 解集．7．函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数y＝﹣2|x|的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数y＝﹣2|x|+2和y＝﹣2|x+2|的图象如图所示．（1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解折式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化．写出点A，B的坐标和函数y＝﹣2|x+2|的对称轴．（2）探索思考：平移函数y＝﹣2|x|的图象可以得到函数y＝﹣2|x|+2和y＝﹣2|x+2|的图象，分别写出平移的方向和距离．（3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数y＝﹣2|x﹣3|+1的图象．若点（x1，y1）和（x2，y2）在该函数图象上，且x2＞x1＞3，比较y1，y2的大小．8.已知函数2x b2ax y 1+-+=，其自变量的取值范围是x>-2，当x=2时，y 1=-2；当x=6时，y 1=-5.（1）根据给定的条件，求出a 、b 的值和y 1的函数解析式；（2）根据你所求的函数解析式，选取适当的自变量x 完成下表，并在下面的平面直角坐标系中描点并画出函数的大致图象.（3）请画出y 2=x-4的图象，并结合图象直接写出：当y 1>y 2时，x 的取值范围是 .9.某班“数学兴趣小组”对函数的函数图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）函数的自变量x的取值范围是；下表是y与x的几组对应值．﹣则表格中的m＝；（2）如图，在平面直角坐标系中，画出该函数的图象；（3）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数图象，写出一条该函数的其它性质；（4）该函数的图象关于点（，）成中心对称，若直线y＝m与该函数的图象无交点，请求出m的取值范围．10.参考答案1．参照学习函数的过程与方法，探究函数y ＝的图象与性质．因为y ＝，即y ＝﹣+1，所以我们对比函数y ＝﹣来探究．列表：﹣描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y＝相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（1）请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x＜0时，y随x的增大而增大；（填“增大”或“减小”）②y＝的图象是由y＝﹣的图象向上平移1个单位而得到；③图象关于点（0，1）中心对称．（填点的坐标）（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝的图象上的两点，且x1+x2＝0，试求y1+y2+3的值．【解答】解：（1）函数图象如图所示：（2）①当x＜0时，y随x的增大而增大；②y＝的图象是由y＝﹣的图象向上平移1个单位而得到；③图象关于点（0，1）中心对称．（填点的坐标）故答案为增大，上，1，（0，1）（3）∵x1+x2＝0，∴x1＝﹣x2，∴A（x1，y1），B（x2，y2）关于（0，1）对称，∴y1+y2＝2，∴y1+y2+3＝5．2．已知函数y＝y1+y2，其中y1与x成反比例，y2与x﹣2成正比例，函数的自变量x的取值范围是x≥，且当x＝1或x＝4时，y的值均为．请对该函数及其图象进行如下探究：（1）解析式探究：根据给定的条件，可以确定出该函数的解析式为：．（2）函数图象探究：①根据解析式，补全下表：②根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象（3）结合画出的函数图象，解决问题：①当x＝，，8时，函数值分别为y1，y2，y3，则y1，y2，y3的大小关系为：y2＜y1＜y3；（用“＜”或“＝”表示）②若直线y＝k与该函数图象有两个交点，则k的取值范围是1＜k≤，此时，x的取值范围是≤x≤8．【解答】解：（1）设，y2＝k2（x﹣2），则，由题意得：，解得：，∴该函数解析式为，故答案为：，（2）①根据解析式，补全下表：②根据上表在平面直角坐标系中描点，画出图象．（3）①由（2）中图象可得：（2，1）是图象上最低点，在该点左侧，y随x增大而减小；在该点右侧y随x增大而增大，∴y2＜y1＜y3，故答案为：y2＜y1＜y3，②观察图象得：x≥，图象最低点为（2，1），∴当直线y＝k与该图象有两个交点时，1＜k≤，此时x的范围是：≤x≤8．故答案为：1＜k≤，≤x≤8．3．已知y＝y1﹣y2，其中y1与x﹣1成反比例，y2＝x+b，下表给出了自变量x与函数y的一些对应值．（1）求函数y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）补全表格m＝，n＝；（3）在如图所示的平面直角坐标系中，根据表中数据描出相应的点，画出函数图象；（4）根据图象直接写出y1≥y2时，自变量x的取值范围．﹣﹣【解答】解：（1）y1与x﹣1成反比例，设y1＝，∴y＝y1﹣y2＝﹣x+b，令x＝0，则﹣k+b＝﹣1，令x＝﹣1，则﹣++b＝，∴k＝2，b＝1，∴y＝﹣x+1，（x≠1）；（2）当x＝﹣2时，m＝，当x＝3时，n＝，故答案为，；（3）如图：（4）当y1≥y2，∴y≥0，当y＝0时，x＝或x＝，结合函数图象可知x≤或1＜x≤；4．已知函数，探究函数图象和性质过程如下：（1）下表是y与x的几组值，则解析式中的m＝﹣3，表格中的n＝（2）在平面直角坐标系中描出表格中各点，并画出函数图象：（3）若A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）为函数图象上的三个点，其中x2+x3＞4且﹣1＜x1＜0＜x2＜2＜x3＜4，则y1、y2、y3之间的大小关系是y1＜y3＜y2；（4）若直线y＝k+1与该函数图象有且仅有一个交点，则k的取值范围为k＜﹣1或k ＝3．【解答】解：（1）将表格中（﹣5，）代入函数y＝中，得m＝﹣3将x＝5代入函数y＝﹣（x﹣2）2+4中，得y＝，即n＝故答案为：﹣3，；（2）如图所示，（3）∵﹣1＜x1＜0，即﹣2＜x1﹣1＜﹣1，﹣1＜＜﹣，＜＜3，∴＜y1＜3∵0＜x2＜2，∴﹣2＜x2﹣2＜0，＜4，即﹣＞﹣1∴﹣+4＞3 即y2＞3＞y1∵2＜x3＜4，在对称轴右侧，∴y随着x的增加而减小，∴3＜y3＜4，∴y3＞y1又∵x2+x3＞4且x2＜2＜x3且对称轴为x＝2，∴（2﹣x2）﹣（x3﹣2）＝4﹣（x2+x3）＜0∴2﹣x2＜x3﹣2即x3距离对称轴更远，∴y3＜y2综上所述，y1＜y3＜y2故答案为y1＜y3＜y2（4）直线y＝k+1为平行于x轴的直线，观察图象可知，k+1＜0或k+1＝4时，与该函数图象有且仅有一个交点，∴k＜﹣1或k＝3故答案为k＜﹣1或k＝35.吴京同学根据学习函数的经验，对一个新函数y＝的图象和性质进行了如下探究，请帮他把探究过程补充完整（1）该函数的自变量x的取值范围是一切实数．（2）列表：表中m＝，n＝．（3）描点、连线在下面的格点图中，建立适当的平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点（其中x为横坐标，y为纵坐标），并根据描出的点画出该函数的图象：（4）观察所画出的函数图象，写出该函数的两条性质：①该函数有最小值没有最大值；②该函数图象关于直线x＝2对称．【解答】解：（1）由y＝知，x2﹣4x+5≠0，所以变量x的取值范围是一切实数．故答案为：一切实数；（2）m＝，n＝，y=x-3故答案为：；；（3）建立适当的直角坐标系，描点画出图形，如下图所示：（4）观察所画出的函数图象，有如下性质：①该函数有最小值没有最大值；②该函数图象关于直线x ＝2对称．故答案为：该函数有最小值没有最大值；该函数图象关于直线x ＝2对称6. 解：（1）将x=2时，y= -4和分别代入y=|kx-3|+b 中，得⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=+-1b 34b 3k 2解得：⎪⎩⎪⎨⎧-==4b 23k ∴这个函数的表达式是 43x 23y --=……（3分） （2）函数图象如答图……（5①当x<2时，y 随x当x>2时，y随x的增大而增大.②当x=2时，函数有最小值，最小值是-4. ……（7分）（3）不等式的解集是1≤x≤4……（10分）7．函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数y＝﹣2|x|的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数y＝﹣2|x|+2和y＝﹣2|x+2|的图象如图所示．（1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解折式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化．写出点A，B的坐标和函数y＝﹣2|x+2|的对称轴．（2）探索思考：平移函数y＝﹣2|x|的图象可以得到函数y＝﹣2|x|+2和y＝﹣2|x+2|的图象，分别写出平移的方向和距离．（3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数y＝﹣2|x﹣3|+1的图象．若点（x1，y1）和（x2，y2）在该函数图象上，且x2＞x1＞3，比较y1，y2的大小．【解答】解：（1）A（0，2），B（﹣2，0），函数y＝﹣2|x+2|的对称轴为x＝﹣2；（2）将函数y＝﹣2|x|的图象向上平移2个单位得到函数y＝﹣2|x|+2的图象；将函数y＝﹣2|x|的图象向左平移2个单位得到函数y＝﹣2|x+2|的图象；（3）将函数y＝﹣2|x|的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到函数y＝﹣2|x ﹣3|+1的图象．所画图象如图所示，当x2＞x1＞3时，y1＞y2．8.已知函数2x b2ax y 1+-+=，其自变量的取值范围是x>-2，当x=2时，y 1=-2；当x=6时，y 1=-5.（1）根据给定的条件，求出a 、b 的值和y 1的函数解析式；（2）根据你所求的函数解析式，选取适当的自变量x 完成下表，并在下面的平面直角坐标（3）请画出y 2=x-4的图象，并结合图象直接写出：当y 1>y 2时，x 的取值范围是 . 解：（1）∵当x=2时，y 1=-2；当x=6时，y 1=-5. ∴⎪⎩⎪⎨⎧+-+=-+-+=-26b 2a 6522b 2a 22，解得⎩⎨⎧=-=8b 1a ∴a 的值为-1，b 的值为8， y 1的函数解析式为2x 82x y 1+-+-=.……3分. （2）列表：……5分描点，连线，画出图象如图所示. ……8分（3）画出y 2=x-4的图象，如图所示.当y 1>y 2时，x 的取值范围是-1<x<2. ……10分9.某班“数学兴趣小组”对函数的函数图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）函数的自变量x的取值范围是；下表是y与x的几组对应值．﹣则表格中的m＝；（2）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表格中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数图象，写出一条该函数的其它性质；（4）该函数的图象关于点（1，1）成中心对称，若直线y＝m与该函数的图象无交点，请求出m的取值范围．【解答】解：（1）函数的自变量x的取值范围是x≠1；x＝4时，y＝+4＝，∴m＝．故答案为．（2）函数图象如图所示：（3）x＞2时y随x的增大而增大．（答案不唯一）（4）①该函数的图象关于点（1，1）成中心对称；直线y＝m与该函数的图象无交点，则m的取值范围为﹣1＜m＜3；故答案为1，1．10.（1）。
人教版初中数学中考 讲本 专项突破七 二次函数与几何综合探究问题 类型三 探究与角度相关的问题
类型三 探究与角度相关的问题
【例】（2022·苏州）如图，二次函数y＝－x2＋2mx＋2m＋1（m是常数，且m＞ 0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D， 其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F，连接AC，BD. （1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的代数式表示），并求∠OBC 的度数； （2）若∠ACO＝∠CBD，求m的值；
平行线转化求解；方法二：构造相似三角形转化求解；方法三：构造辅助 圆转化求解.
【解题策略】 1.对于特殊角构造直角三角形或“一线三垂直”求解；对于非特殊角，通过和差
关系转化为特殊角. 2.当两角相等时，方法一：构造等腰三角形求解；方法二：构造角平分线求解；
方法三：构造相似三角形求解；方法四：构造直角三角形利用三角函数求解. 3.当两角存在倍分关系时，需要转化为等角条件.方法一：构造垂直平分线或
（3）Q是抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标.
图1
设点P的坐标为（t，－t2＋4t－3），则点M的坐标为（t，t－3）， ∴PM＝｜－t2＋3t｜.
（3）过点B作BE⊥BC，交CQ的延长线于点E，过点E作EF⊥x轴于点F，如图2.
图2 由点B（3，0），C（0，－3），得OB＝OC＝3， ∵∠ACQ＝45°，
由（1）知OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC. ∵∠ACO＝∠CBD， ∴∠ACO＋∠OCB＝∠CBD＋∠OBC， 即∠ACE＝∠DBF， ∴tan∠ACE＝tan∠DBF. ∵EF∥OC，
∵∠DFB＝90°，
∵m＞0， ∴m＝1.
1.（2022·通辽）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点 C，直线BC的解析式为y＝x－3. （1）求抛物线的解析式；
九年级数学下册中考专题复习《函数探究型问题》教学设计
中考专题复习——函数探究型问题【教材分析】
【教学流程】
自
主
探
究
合
作
交
流
解：
（3）增减性 : 当x<0时y随x的增大而减小; 当x>0时y
随x的增大而增大；
最值 : 当x=0时函数有最小值0；
象限：函数图象过一，二象限;
对称性 : 函数关于y軸对称。
二“纯函数型”函数探究问题的解题步骤总结
1.求出函数解析式
2.画出函数图象
3.根据函数图象得出函数的相关性质，用于解决
问题。
（1）学生先独立思考，独立完成第1小题，用所学过的知识加以解决，激发学生学习兴趣和探究欲望.老师请同学们回答，并说出理由。
（2）学生先独立思考完成，教师请同学回答，并对同学的答案作出必要的补充和解释说明，共同完成第2小问。
（3）教师给出必要的提示，学生独立思考后回答。
学生归纳，教师补充完成归纳
板书设计
函数探究型问题(一）
列表：
x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …
y
1
… 3 2 1 0 1 2 3 …。
2021年高考数学复习讲座《三角函数的导数综合问题探究》
⎪⎪ ⎪引言：融入三角函数的导数综合问题探究追寻数学探究的快乐一．谈谈我对数学及数学教学的理解：①在与学生一起成长的过程中，感觉数学教学的过程就是一场思维的旅行，目的地虽然重要，但我觉得更重要的是学会欣赏沿途的风景，教会学生欣赏数学，欣赏数学中的美。
②数学就是玩概念，玩变形，玩推理。
③玩好题包含三个层次：把题玩好，玩好的题，让题好玩。
（一）把题玩好：善选题，好做题，能编题，会品题。
（二）玩好的题：简洁抽象，启迪思维，值得玩味。
（三）让题好玩：数学教师的追求。
④数学教学不是讲课，而是组织学生进行高效的学习。
二．谈谈我对函数的理解⎧概念 ⎪ ⎪图像 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 函数 ⎨⎧定义域 ⎪值域 ⎪单调性 ⎪ ⎪奇偶性 ⎪对称性 ⎪性质⎨⎪⎪周期性 ⎪⎪凹凸性 ⎪⎪ ⎪⎪零点 ⎪⎪极限 ⎪⎪ ⎪⎩渐近线 ⎪⎩应用高中阶段基本函数：y = x α(α为常数)y = a x (a > 0, 且a ≠ 1)y = log a x (a > 0, 且a ≠ 1)⎫ ⎪ ⎬加、减、乘、除，复合，替换，取绝对值，求导，积分⇒ 我们要研究的函数⎪ y = sin x , y = cos x , y = tan x ⎪⎭2 ⎪ ⎪ ⎪⎧数：平均变化率的极限导数是一种工具： ⎨⎩形：几何意义(切线的斜率)三.回顾利用导数可以研究的问题. （1） 研究函数的极值、最值问题；（2） 研究函数的切线问题（切线概念的理解---切线的求法 -- 切线放缩）；（3） 研究含参函数的单调性；（4） 研究不等式的恒成立、能成立（存在性）、恰成立问题（含一元和多元函数问题）；⎧(1)零点个数问题⎪ （⎪ 两个函数图像的交点个数问题或方程根的个数问题）（5） 研究函数的零点问题（⎨ 2）验证零点的存在性； （⎪ 3）双零点数量关系的探求（极值点偏移和拐点偏移） （⎪⎩ 4）用函数的隐零点解题⎧(1)一阶求导后证明不等式（⎪ 2）n 阶求导后证明不等式（⎪ 3）利用函数的最值证明不等式 （6）研究函数不等式的证明问题（⎨ 4）变形构造函数证明不等式（⎪ 5）高观点下的不等式的证明 ⎪ ⎪⎩(6)利用常见不等式放缩证明不等式四．高观点下的导数问题处理策略.导数是高中数学与大学数学的一个连接点，它为初等数学研究函数提供了有力的工具， 同时也是进一步学习微积分的基础，从高观点下解决导数问题，可以更加深入本质，清楚 问题的来龙去脉。
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第二轮复习
第69讲函数综合与探究性问题（二）
中考考点：一次函数与二次函数的图像与性质，待定系数法，相似三角形、矩形、解直角三角形的性质与应用.
学习目标：
1.体会函数问题中的探究性问题的解答方法与思路；
2.能分析并解决函数问题中的简单的探究性问题；
3.提高综合分析问题的能力、解决问题的能力与数形结合的能力。
4.在数学探究学习的过程中,激发学习数学的热情,增强合作交流的能力，积累数学学习的经验。
学习重点：解决函数综合与探究性问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力。
学习难点：运用数形结合、分类讨论等数学思想解决探究性问题
一.热身练习
如图，将直角边长为6的等腰AOC
Rt∆放在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（– 3，0）。
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在抛物线上一点M满足=
CAM BAO
∠∠，求出M的坐标；
(3)抛物线上一点P，作直线OP交直线AC于点D，以OC、CD为边作平行四边形
OCDE，平行四边形OCDE与AOB
∆重合部分的面积为AOB
∆面积的2
9
，求出P
的坐标。
D
O x
y
A
C
B 图1
图2
N
O x
y
A
C M P
Q
二．经典例题
如图1，已知：A （0，-2），B （-2，0），C （1，0），抛物线L 1：2y ax bx c =++经过A 、B 两点，且点A 是抛物线的顶点，直线AC 与抛物线的另一个交点是D ．
(1) 求抛物线L 1的解析式和直线AC 的解析式；
(2) E 是抛物线L 1上一点，当△EAD 的面积等于△OBD 的面积的一半时，求点E
的坐标；
(3) 如图2，将抛物线L 1向下平移m （m > 0）个单位得到抛物线L 2，且抛物线L 2
的顶点为点P ，交x 轴负半轴于点M ，交射线AC 于点N ，作NQ ⊥x 轴于点Q ． ①求证：∠NMQ = 45°；
②当NP 平分∠MNQ 时，求m 的值．
三.中考演练
如图，抛物线223
=-++与x轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），与y
y x x
轴交于点C. 点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E. （1）求直线AD的解析式；
（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作F G⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH的周长的最大值；
（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标.
命制：德阳初中冯元辉审核：德阳初中周美
答案.
一.热身练习。
(1) ∵B （– 3，0），C （6，0），设抛物线为(3)(6)y a x x =+- ，过A （0，6） ∴3(6)6a x ⨯-=，∴13
a =-
∴1(3)(6)3y x x =-+-，即2163
y x x =-++
(2) ①如图，当M 第一象限内时，作MN AC ⊥于N ，过M 作MG //y 轴，交AC 于G ，交
x 轴于H ∵1tan tan 2
MAN BAO ∠=∠= 设MN = k ，AN = 2k
∴NG = k ，2MG k =，∴623GC k =-
23
6222
GH HC GC k ===-
∴3
22
OH k =
，262MH k =-， ∴点M （322k ，262k -），代入2163y x x =-++，∴23
2202k k -+=
∴k = 0（舍去），4
23
k =
∴M （4，
143
） ②当M 在第四象限上时，作MN AC ⊥于N ， 过M 作//MF y 轴，交AC 于G ，交x 轴于H ∵1
tan tan 2
MAN BAO ∠=∠= 设MN = k ，AN = 2k ∵NG = k ，∴AG = k ∴22OH k =,2GM k =,262HG k =-,3262HM k =- ∴M （
22k ，3262k -+），代入1(3)(6)3
y x x =-+- ∴2
12232663222k k k ⎛⎫-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，2
12206
k k -+= ∴k = 0（舍去），122k y = ∴M （12，– 30）
(3) 如图，直线AC 为6y x =-+，设D （t ，– t + 6） ∵直线AB 为26y x =+，∴M （2
t
-，– t + 6） ∵ED //AC ，∴1EO AC k k ==-
M N G H
M
N
G
H P
E
G N
M D
E
F E F
D
O x
y
A
C B H
G ∴直线EO 为y x =-，联立26y x
y x =-⎧⎨
=+⎩
∴2
2x y =⎧⎨
=-⎩
，∴N （2，– 2） ∴11136322222
ABO BNO AMG t S S S S t ∆∆∆=--=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯重合
221
663492
t =-=⨯⨯⨯
∴4t =±，∴t = 4，D （4，2）
∴直线OD 为12y x =，联立212163y x y x x ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得33343338x y ⎧±=⎪⎪⎨
±⎪=⎪⎩ ∴P （3334+，3338+）（33
4
-，
333
8
-） 二．经典例题。
（1）直线AC 的 解析式为y =2x -2；抛物线L 1：y =
22
12
-x .（4分） （2）由⎪⎩⎪⎨⎧
-=-=2
22
2
12x y x y 解得⎩⎨⎧==6411y x ，⎩⎨⎧-==2022y x （舍）， ∴点D 的坐标为（4，6），∴S △OBD =6，∴S △EAD =3，（5分） 作DE ⊥x 轴于H ，则OH=4
作EF//y 轴，交直线AD 于F ，
21
(22
E t t -设，），(22
F t t -则，） 当E 在直线AD 下方时(0<t<4)，2
122
EF t t =-
211
2211
2(2)3
22
EAD EFA EFD S S S EF OG EF GH EF OH t t =+=
⨯+⨯=⨯=-=
=1 3.t 或 35
(1(322E ∴，-）或，）（6分）
当E 在直线AD 上方时(t<0或t>4)，
21
22
EF t t =-
当t<0时，211
2(2)322EAD EFD EFA S S S EF OH t t =-=
⨯=-= 当t>4时， 211
2(2)322EAD EFA EFD S S S EF OH t t =-=⨯=-=
解得 =27.t ± 77
(2+7+27(272722
E ∴--，）或，）
N
O x
y
A C
M
P Q H T
综上，E 的坐标为：
35(1(322，-）或，）或77
(2+7+27(272722
--，）或，）。
（3）①抛物线L 2 的解析式为y =
m x --22
12
， ∴P(0，2m --)， M (240m -+，）
由222122
y x y x m =-⎧⎪⎨=--⎪⎩ 得(2+242+224N m m ++，）， ∴(2+240Q m +，）
∴2+24242224MQ m m m NQ =+++=++= ∴∠NMQ=45°（10分）
②设直线MN 交y 轴于T ，过点N 作NH ⊥y 轴于点H 。
∵PN 平分∠MNQ ，NQ ∥TP
∴∠MNP=∠PNQ=∠TPN ， ∴PT=NT, ∵△MOT, △NHT 均为等腰直角三角形， ∴MO=NO ，HT=HN,
∴NT=2NH ，PT=TO+OP=OM+OP ∴2(2+24)242m m m +=+++
2m t +=令，
则2(22)220t t +--= 解得=22(t t =-或舍） 22m ∴+=，
2m ∴=（12分）
三．中考演练
⑴AD ：1y x =+
⑵过点F 作x 轴的垂线，交直线AD 于点M ，易证△FGH ≌△FGM 故FGH FGM C C =△△ 设2(,23)F m m m -++
则FM=2223(1)2m m m m m -++-+=-++ 则
C=21992
2(12)(12)()242
FM
FM FM m ++⨯=+=-+-+
故最大周长为9+92
4
⑶
①若AP为对角线
如图，由△PMS∽△MAR可得9
(0,)
P
2
由点的平移可知1
(2)
Q-，
2
故Q点关于直线AM的对称点T为1
-
(0,)
2②若AQ为对角线
如图，同理可知P1
-
(0,)
2
由点的平移可知Q7
(2,)
2
故Q点关于直线AM的对称点T为9
(0,)
2。