2016年福建省高三4月质检理科数学试题WORD版

准考证号 _____________________ 姓名 ______________(在此卷上答题无效) 机密★启用前2016年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学本试卷分第I 卷(选择题)和第n 卷(非选择题)两部分.第I 卷 1至3页，第n 卷4至6页，满分 150 分. 考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上•考生要认真核对答题卡上粘贴 的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2 •第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号•第n 卷用 0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答•若在试题卷上作答，答案无效.3 •考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回.第I 卷12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。

(1)已知 a,b R , i 是虚数单位，若 i 与2 bi 互为共轭复数，则2(a bi)(A) 3 4i (B) 3 4i (D) 5(C ) 5 4i(2)执行如图所示的程序框图，若要使输出的4iy 的值等于3,则输入的x 的值可以是 (A) 1(B)(C ) 8(D)(3)已知cos2,则sin2的值等于珀束+•选择题：本大题共12223 32524 2524(4) 已知 a 0,b0,则1 ”是 <a2 ”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (5)(6) (C ) (A) (C ) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件y 满足约束条件0,0, 2 0,(B) (D) 已知等比数列｛a n ｝的各项均为正数且公比大于 的n 的最小值为 (A) 4 (B) 5 (C ) 6 的取值范围为(7)如图，网格纸上小正方形的边长为1, 则该几何体的各个面的面积中，最小的值为 (A) 2 .5 (B) 8(8)在 ABC 中,3,AB2，AC11(A)(B)前n 项积为「，且a ?a 4(D) 7粗线画出的是某几何体的三视图,(C ) 4 5ULJUU3，CMuur 2MB ，a 3，则使得T n 1ujuu uuu 贝y AM BC(D ) 113(D) 8 2 (9)若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率(A )4(10)在三棱锥P ABC 中，PA 2 3， PC 2，AB . 7，BC 3，ABC —，则三棱2锥P ABC 外接球的表面积为(A) 4(B) 16(C ) 32(D ) 1632 2 (11 )已知F 1 , F 2分别为双曲线C ： —2~^~21 a b注意事项:须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答•若在试题卷上作答，答案无效.本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题〜第24题为选考题，考生根据要求做答。

5已知点A 3,1 , B 5,2 ，且平行四边形 ABCD 的四个顶点都在函数 f象上，则四边形 ABCD 的面积为三•解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

的圆与C 右支的一个交点， PF i 交C 于另一点 Q ，且 PQ2 QF i ，贝y C 的渐近线方程为(A) y 2x 1(B)y -x(C ) y<2x(D ) y(12)已知f (x)是定义在 R 上的减函数，其导函数 f x 满足 1，则下列结论正确的(A )对于任意 x R , f(x)<0(C )当且仅当,1 , f(x)<0(B )对于任意x R ,(D )当且仅当x 1,f(x)>0,f(x)>0a 0,b0 的左、右焦点，若点P 是以F 1F 2为直径第n 卷共3页,•填空题：本大题共 4小题，每小题5分。

(13) 若随机变量2，且 P X 5 P X 1 0.2，贝V P 2(14) 右ax 1 2x5展开式中的常数项为40，则 a(15) 若数列｛a *｝的各项均为正数，前 n 项和为 S n ,且 a 1 1,S n 1 S n—，^ a n 1a 25x 1log 2D 的图x 1(16)(17) (本小题满分12分)在厶ABC 中，B ―,点D 在边AB 上，BD 1，且DA DC . 3 (I)若厶BCD 的面积为.3，求CD ; (n)若 AC .3，求 DCA .(18) (本小题满分12分)如图，三棱柱 ABC AEG 中，底面 ABC 为等腰直角三角形，AB AC 1 , BB “ 2 ,ABB 1 60o •(I)证明：AB RC ；(n)若BQ 2，求AG 与平面BCB 1所成角的正弦值.(19) (本小题满分12分)甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪 无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成 6元.假设同一公司70元，每单抽成 2元；乙公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其 100天的送餐单数，得到如下频数表：甲公国迭餐员送客里數嵋麴盍送餐笙竝修尅盍(I)现从甲公司记录的这 100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于 40的概率;(n)若将频率视为概率，回答以下问题：(i)记乙公司送餐员日工资为X (单位：元),求X 的分布列和数学期望；(ii) 小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由(20) (本小题满分12分)已知抛物线E:y 2 2px p 0的焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线与抛物线 E 交于S,T 两点, 以P 3,0为圆心的圆过点S,T ，且 SPT 90°. (I)求抛物线E 和圆P 的方程；(n)设 M 是圆P 上的点，过点 M 且垂直于FM 的直线I 交E 于A, B 两点，证明：FA FB .(21) (本小题满分12分)已知函数f x ax In x 1 , g x e x x 1 .曲线y x与y g x在原点处的切线相同.(I)求C 的普通方程和I 的倾斜角；(n)设点P 0,2 , I 和C 交于A,B 两点，求PA(24) (本小题满分10分)选修4 5 :不等式选讲已知函数f X x 1 . (I)求不等式 f x 2x 11的解集M ；(I)求f x 的单调区间;(n)若x 0时，g x kf x ，求k 的取值范围.请考生在第 22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清 题号。

(22) (本小题满分10分)选修4 1：几何证明选讲 如图，△ ABC 的两条中线 AD 和BE 相交于点G ， D,C,E,G 四点共圆.(I)求证: BAD ACG ； (H)若 GC1，求 AB.(23) (本小题满分 10分)选修4 4 :坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为 3cos , ( sin为参数)，在以原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin42.PB .(n)设a,b M，证明：f ab f a f b .2016年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学试题答案及评分参考评分说明：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2 •对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3 .解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4 •只给整数分数•选择题和填空题不给中间分.、选择本人题考查基础知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.题：(1) B(2) C (3) D(4) A(5) B(6) C(7) B(8) C (9) D(10) D(11) A(12) B、填空本人题考查基础知识和基本运算. 每小题5分，满分20分.题：(13) 0.3 (14) 3 (15) 5 2,6(16) 263三、解答题：本大题共6小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17) 本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等.满分12分.解法一：(I)因为S A BCD =3, 即—BC BD sin B 3, ................................................. ......... 2分2又因为B ,BD 1,所以BC 4 . .............................................................. 3分3在厶BDC中，由余弦定理得，CD2 BC2 BD2 2BC BD cosB, .............................. 5分即CD2 16 1 2 4 1 1 13，解得CD ■，13 . ................................. 6 分2")在厶ACD 中，DA DC，可设A DCA ，贝U ADC ,又AC x3，由正弦定理，有一AJ , ............................ 7分sin 2 sin化简得cos(n)因为 DA DC , 所以 A DCA •取AC 中点E ,连结DE ,所以DE AC •以下同解法在厶BDC 中,BDC2,BCD23-2 , ,3由正弦定理得，CDBD即 2cos1....……-10分 sin B sin BCDsinsin(— 2 )338分于是sin(2 )sin2 ) •................. 11分因为 0所以 02 2 2 ,22 2333所以_ 2 2 或_ + 2 22323解得 = 或二故 DCA 二一DCA............... ............... -12 分6 18618解法二：（I ）同解法所以CD2cos设 DCA A因为AC 漿，所以EA EC在 Rt △ CDE 中，CD CE cos DCA2cos考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等•满分解法一：（I ）连结 AB !，在△ ABB !中，AB 1,BB ! 2, ABB ! 60°,由余弦定理得， AB ,2 AB 2 BBj 2AB BB , cos ABB , 3,二 AB]-.!3 , (1)分12分.B1A1C l（18）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识,••• BB i2 AB2 AB12,--AB1 AB • ...................................................... 2分又••• △ABC为等腰直角三角形，且AB AC ,• AC AB,又••• AC I AB i A ,•AB 平面AB-|C • ...................................................... 4 分又：B i C 平面AB i C ,•- AB B i C • ...................................................................................................... 5 分(□)••• AB1、3,AB AC 1, BC 2,2 2 2•B i C AB i AC , • AB i AC . ......................................... 6 分uur uuu uuur...........................................................................................................................7分则A 0,0,0 ,B i 0,0,3 ,B i,0,0，C 0,i,0，umr - umr• BB i i,0, .3 ,BC i,i,0 •8 分设平面BCB i的法向量n x, y, z ,uuir _BB i n 0 x J3z 0,人 .ZB匚由uuu 得令z i，得x y .3 .BC n 0, x y 0,•平面BCB i的一个法向量为n . 3, ,3,i . (9)分uuuu uur uuuu uuur uuurAC i AC CC i AC BB i 0,i,0分i0ujuu • cos AC i,nuuur AC i nUULUI AG || n| 35 ii分• AC i与平面BCB i所成角的正弦值为、i0535i2分标系,如图，以A为原点，以AB, AC, AB i的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐i,i,.3 ,解法二：（I）同解法(n)过点 A 作AH 平面BCB 1，垂足为H ，连结H® , 则 AC i H 为AC i 与平面BCB i 所成的角. ..................由（I ） 知，AB 1 AB , AB,,3 , AB AC 1 , B 1C 2, 2 2 2• AB ： AC 2 B i C 2, • AB i 平面ABC ,•- S A B I BC」BC B i P2(I9)本小题主要考查古典概型、随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想•满分• iS△ BCB i AH即 iAH• AH,2! ........ io 分3i63 267••• AB i 平面ABC , BC平面ABC , • AB i BC ,三棱柱 ABC AEG 中，BC / /BG , BQi BC 2 ,-V A BCB% ABC ,ii 分AC ,又••• AB I …V B IABCii S A ABC ABi —3 3 1 -AB 2AC AB i取BC 中点 P ，连结 PB , ,••• BB i B i C又在Rt A ABC 中，AB• PB , WB 2 BP214 2 ，• A B ,BA ,••• AG 、AR 2 BQ 2 ■. 5 .在 Rt △ AHC ,中，sin AGHAH _7AC i 5105 35 ，所以AC i 与平面BCB i 所成的角的正弦值为I05 35I2分I2分. Ci解：(I) 记抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M ,则P(M) d昙- ................................................................ 4分(n) (i)设乙公司送餐员送餐单数为a，则当a38时，X384152 ；当a39时，X394156;当a40时，X404160;当a41时, X404 1 6 166;当a42时，X404 2 6 172.所以X的所有可能取值为152,156,160,166,172 . .................... ........................... 6分故X的分布列为:...................................................................................................................................... 8分1112 1所以E(X) 152 156 — 160 —166 —172 162 •.... 9 分10 5 5 5 10(ii)依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38 0.2 39 0.4 40 0.2 41 0.1 42 0.1 39.5 • .................................. 10 分所以甲公司送餐员日平均工资为70 2 39.5 149元. ......................... 11分由(i)得乙公司送餐员日平均工资为162元.因为149 162，故推荐小明去乙公司应聘. ................................... 12分(20) 本小题考查圆与抛物线的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等•满分12分.即y 21所以SF PF ，即p 3 E 2解得p 2 , 所以抛物线E:y 24x , 此时圆P 的半径为 ,2p2,2 ,所以圆P 的方程为 (n )设 M X o ，y o,A X i ，y i ,B X 2，y 2 ,2 依题意x^3 2 2 y o 8，即 y o x O 6x o 1 . (i)当直线l 斜率不存在时，M 3 2迈0 ,①当x 3 2 2 时，由 y 2 4x , A 3 2 .2,22 , B 3 2、2, 2,2 2 ,不妨设 y o直线 x oy o .y 2 4x, 1 X o x X oy o得,y oy 2晋y 1 x o4x ： 4y ： 4x 。