不定积分1
有理函数的不定积分(1)
R(
x)
P( Q(
x) x)
为真分式
,
求
R(
x)dx
的步骤：
1. 将 Q(x) 在实数范围内分解成一次式和二 次质因式的乘积 .
2. 将 R( x) P( x) 拆成若干个部分分式之和.
Q( x)
(分解后的部分分式必须是最简分式).
3. 求出各部分分式的原函数 , 即可求得 R( x)dx .
11
1dx
,
其中A _____,B _____,C _______；
3、计算
2
dx sin
x
, 可用万能代换sin
x
___________,
dx _____________；
4、计算
dx
, 令t ___,x ___,dx ____ .
ax b m
32
5、有理函数的原函数都是_________ .
2(1 x)2 1 x
2、ln( x sin x) C ；
3、
(1 x 2 )3
1 x2 C；
3x3
x
4、 sin x 1 ln(sec x tan x) C ； 2 cos2 x 2
5、 8(1
x4
x
8
)
1 arctan 8
x4
C
；
6、 2 x C ,或sec x x tan x C ； 1 tan x 2
原式
(t
2
1)
t
(t
2t 2 1)2
dt
2
t
t
2
2
1
dt
2
(1
t
2
1
) 1
不定积分一
(C C1 ln a)
a
不定积分
（3）倒数代换
x a 1 解 : 令x t
2
x
1
2
dx
原式
1 1 a dt arccos(at ) C arccos C 2 a a x 1 (at )
1
不定积分
二、分步积分法
函数乘积的微分形式 函数乘积的积分形式。
不定积分
4、许多情况，换元法和分步积分法同时使用， 选取顺序很重要。如果顺序不当，计算很麻烦 甚至算不出来。p80 例29 例：
x e dx x de x e e dx x e 2 xe dx xe dx xe e dx xe e C
不定积分
sin 2 x 解二： f ' (sin 2 x) 1 2 sin 2 x 2 1 sin x x2 ' 2 f ( x) 1 2 x 2 1 x 2 3 1 1 x f ( x ) x ln C 3 2 1 x
不定积分
2、第二类换元法 (凑微分法无法进行)设 x (u )将积分 f ( x ) dx 化成[ f ( (u )) ' (u ) du ]
不定积分
（2）三角代换 1 例： dx ___令x a sec u x 2 a 2 atgu 2 2
x a dx a sec utgudu 原式 sec udu ln sec u tgu C1 x ln a x2 a2 C1 ln x x 2 a 2 C a
a0 x a1 x an1 x an P( x ) m m 1 Q( x) b0 x b1 x bm1 x bm
不定积分1
返回
例11 解
1 dx 求积分 1 cos 2 x
1 1 1 cos 2 x dx 1 2 cos 2 x 1 dx
1 1 1 dx tan x C . 2 2 cos x 2
说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变
形，才能使用基本积分表. 使用基本积分表和运算性质求积分的方法 称为直接积分法。
#
返回
3.1.4 换元积分法
我们知道
(sin2 x C ) cos2 x
解决方法
cos 2 xdx sin2 x C ,
cos xdx sin x C
利用复合函数，设置中间变量. 1 1 2x t dx d 2 x dt 令 2 2 1 1 cos t dt cos t dt cos 2 xdx 2 2
dx
1 1 3 dx 2 dx 2 2 1 x 1 x 3 arctan x 2 arcsin x C
返回
e x 3cos x dx 例6 求积分
解
e x dx 3 cos xdx
e x 3cos x dx
x
பைடு நூலகம்
e 3 sin x C
返回
例4 求积分 x 解
2
xdx .
5 2
x 2 xdx x dx
根据积分公式（2） x dx
7 x 2 2 C x C. 5 7 1 2
x
1
1
C
5 1 2
返回
3.1.3 不定积分的性质
性质3-1 [ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx; 证 f ( x)dx g ( x)dx
第一节 不定积分的概念与性质
因[x 为 arx ct 1la n 1 n x (2)]arx c, tan 2
所以 xarcxta 1ln n1 (x2)是 arcx的 tan一个原 2
= =
微分运算与求不定积分的运算是互逆的:
d
F(x)F(x),dF(x)
F( x)C f(x), f(x)dx
由此可知：
(1)d d xf(x)dxf(x), d [f(x)d x]f(x)d x;
(2)F(x)dxF(x) +C, dF(x)F(x)+C.
( 2)
例3 d x x C.
二、 基本积分表
实例
x1 x
1
xdxx1 C. 1
(1)
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基 (1 )k dkx x C(k 是常数);
本 积
0dxC 1dxxC
分项积分 常用恒等变形方法 加项减项
利用三角公式 , 代数公式 ,
思考与练习
1.
证明
arc 2 x s1 )ia ,nr(c 1 c 2 x)o 和 2 s a(rcx tan 1 x
都是 1 的原函. 数 xx2
2. 若 ex是f(x)的原函 ,则数
x2f(lx)n dx
1 2
f(x ) f(x ) 0 F (x ) G (x ) C （ C为任意常数）
不定积分的定义：
函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积分，
记 为 f ( x ) d . x
不定积分的概念(1)
例例66
dx x3 x
x
4 3
dx
x
4 3
1
4 1
C
3x
1 3
C
3
C .
3x
3
x34x3434113411CC3x3x1313CC 33x33xCC. .
堂上练习:
x
(xx(x2x(2x52)5d)5xd)xdx(x(x52(52x552 x5x125)12xd)12xd)xdx
积分曲线，而f(x)正是积分曲线的 斜率.
2x的积分曲线
例3
设通过点(1, 3), 且其切线斜率为 2X的曲线方程.
解： 设所求曲线方程为y f x,由题意知 f x 2x,即f x是2x的一个原函数,而且
2xdx x2 C
即2x的积分曲线族为y x2 C， 将x 1, y 3 代入， 得C 2， 故所求的曲线方程为y x2 2
第四章 不定积分
4.1 不定积分的概念与性质
教学目标:
1、理解原函数和不定积分的概念
2、熟练掌握不定积分的性质和基本积分公式
教学重点：
综合运用不定积分的性质和基本积分公式求 不定积分。
§4.1 不定积分的概念
一、不定积分的概念 二、不定积分的性质 三、直接积分法
前言
早在两千多年前，数学家们就已经开始注意到累 积计算的重要性，随着生产的发展，这类问题不断有 人提出，如求某块平面图形的面积，某条定曲线的长 度等等． 其中某些问题甚至得到了解决． 例如，阿 基米得(Archimedes)、开普勒(Kepler)、卡瓦列里 (Cavaliere)都在具体问题中得到了后来用积分计算 得到的相同结果． 费马(Fermat)与巴洛(Barrow)已 初步意识到某些问题与微分之间存在互逆关系． 但 当时并没有一般地引入积分概念，他们的方法也不具 有普遍意义． 直到十七世纪，牛顿和莱布尼兹各自 独立地看到了积分问题是微分问题的逆问题，并从微 分逆运算的角度提了简洁的一般解决办法．
不定积分的计算(1)
cos x ∫ x dx
= 2 ∫ cos x d x = 2 sin x + c
例10
∫
x 1− 2x
2
dx
1 1 解 原式 = − ∫ d (1 − 2 x 2 ) 4 1− 2x2 1 1 2 2 = − ⋅ 2 1 − 2x + c = − 1 − 2x + c 4 2
例11
sin 3xdx ∫
cos 3 xdx ∫
1 1 解 ∫ cos 3xdx = ∫ cos 3 xd (3 x) = sin 3x + c 3 3
● 凑微分法主要用于：
1、 当被积函数是一个复合函数时； 2、 当被积函数是两个函数相乘（其中有一个 往往是复合函数）时。
注意： 凑后要调整 ！！！
例3
cos(1 − 2 x)dx ∫
练习：求不定积分
解
∫x
2
x + 1dx
∫x
x + 1dx
x +1 = t x = t −1
4
∫ (t
2
2
− 1) ⋅ t ⋅ 2tdt
= ∫ (2t − 2t )dt
2 5 2 3 = t − t +c 5 3 2 = ( x + 1) x + 1(3 x − 2) + c 15
(t − 1) + 1 1 = 3∫ dt = 3∫ (t − 1 + )dt 1+ t 1+ t 1 2 = 3( t − t + ln | 1 + t |) + c 2 33 2 = x − 33 x + 3 ln | 1 + 3 x | + c 2
3.1 不定积分(1)
(13) a xdx a x C ln a
高等数学(GAO DENG SHU XUE)
目录 上页 下页 返回 结束
3.1.1 基本积分公式
例2. 求下列不定积分：
解: (1)原式 =
x 3
dx
x
31
C
3 1
1 2
x 2
高等数学(GAO DENG SHU XUE)
目录 上页 下页 返回 结束
3.1.1 原函数与不定积分的概念 ☼ 问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 1.原函数存在定理 连续函数必存在原函数 . (后面证明)
在实数R上连续， 在实数R上存在原函数 初等函数在定义区间上连续
问：sinx C是cos x的什么函数？
高等数学(GAO DENG SHU XUE)
目录 上页 下页 返回 结束
3.1.1 原函数与不定积分的概念 ☼ 定义3.1(原函数的定义) 已知函数 f (x)是定义在某区间 I 内的函数，若存在函 数 F (x) ，使得
则称 F (x) 为区间 I 上f (x) 的一个原函数 . •原函数举例
有换元公式：
f ((x))d(x) f (u)du u (x)
F[(ux) ] C
证明：{F[( x)] C} {F[( x)]}
F [( x)]( x)
f [( x)]( x)
高等数学(GAO DENG SHU XUE)
(
x4 1
1) x2
1
dx
(
x2
第三章1不定积分(new)资料
22
不定积分
例6 求
dx
.
3 ( x 1)2( x 1)4
解 3 ( x 1)2( x 1)4 3 ( x 1)4 ( x 1)2.
x 1
令 t x1, x 1
则有
dt
(x
2 1)2
dx,
原式
dx
1
4
t 3dt
3 ( x 1)4 ( x 1)2 2
(C ) ( x 1)e x c ( D) ( x 1)e x c
2. 若 F( x) f ( x),则 dF( x) ( D)
( A) f ( x)
(B) F(x)
(C) f ( x) C (D) F( x) C
26
不定积分
3. f ( x)在某区间内具备了( B ) 就可保证它的
z
M
S
0
x
C (Advanced Mathematics)
P
y
不定积分
第三章 一元函数积分学及应用 习题课(一)
原函数与不定积分 不定积分的积分方法
2
一、复习
不定积分
基 基本 本概 性念 质(与(原求函导数, 微,不分定运积算分间关f (系x);线dx性) 可加性)
常用积分公式
返回
5
不定积分
3、基本积分公式
(1) kdu ku C
(3)
1 u
du
ln
u
C
(4) audu au C
ln a
(2) udu u 1 C
1
(5) eudu eu C
20-第20讲不定积分及其计算(1)-PPT精选文档53页
( 6 ) cos x d x sin x C ,
( 7 ) sin x d x cos x C ( 8 ) sec 2 x d x tan x C ( 9 ) csc 2 x d x cot x C
(10 ) sec x tan x d x sec x C
8 x 6 d x 1 x 4 2 d x 6 x 2 d x d x
8x71x 2 52x3xC. 75
例2 解
求2x2x31x1dx.
2x23x12x56 (除)法
x1
x1
2 x2 x 3 1 x 1 dx (2 x 5 x6 1 )dx
ln2e()
(ax)axlna
2xex C. 1ln2
例9
求e|x| dx.
解
当x0时 ,
e |x | d x e x d x e x C 1 ,
当x0时 ,
e |x |d x e xd x e x C 2 ,
由于一个函数必 的是 原连 函续 数, 故 函数
例5
求 (xad)xx(b) (ab).
解
(x a d )x x ( b ) a1 b x 1a x 1b dx
部分分式法
a1 b x 1adxx 1bdx
1 lnxaC. ab xb
例6
求coc2xsos2xsi2nxdx.
cos 2xdx
解 dx 1d2x
c2os2xdx令 ucos22xx11 2d co(2 sxu)du
1 2
cos2xd(2x)
2
1 sin u C 2
第1章不定积分
第1章 不定积分1.1.1 原函数概念这节课我们讲原函数的概念，先来看什么是原函数．已知 求 总成本函数 边际成本C (x ) C '(x )‖（ ） MC( )' = MC求 已知已知总成本C (x )，求边际成本C '(x )，就是求导数．反之如果已知边际成本，用MC 表示，要求总成本，这就是我们要讨论的问题，也就是要知道哪一个函数的导数等于MC ．我们引进一个概念：定义1.1 若对任何x ∈D ，F '(x ) = f (x )， 则称F (x )为f (x )的原函数．我们来看具体的问题：例如(x 3)' = 3x 2 F (x ) f (x ) ∴ x 3是3x 2的原函数．大家用自己的方法把它搞清楚，不要和导数的概念搞混了． 先考虑这样一个问题，x 2的原函数是哪个？由原函数的概念我们就要看哪个函数的导数是x 2，即它使得x 2)(='成立，我们在下列函数中进行选择：12,ln ,4,1,222+-+xx x x ，经验证知21x +和42-x 是2x 的原函数．通过这个过程应该弄清，求已知函数的原函数，就是看哪个函数的导函数是已知函数，这个函数就是所求的原函数．另外，2x 的原函数不唯一．它告诉我们原函数不止一个． 再从另一方面提出问题，x sin 为哪个函数的原函数？x x cos )(sin ='，说明x sin 是x cos 的原函数．同样，x x cos )3(sin ='+，说明3sin +x 是x cos 的原函数．事实上，c x +sin 都是x cos 的原函数，说明原函数有无穷多个．那怎样求出一个函数的所有原函数呢？这是下面要讨论的．若)(,)(x G x F 都是)(x f 的原函数，则c x F x G +=)()(证：设)()()(x G x F x H -=，0)()()()()(=-='-'='x f x f x G x F x H 可知c x H -=)(，即c x F x G +=)()(这个结论非常重要，我们已经知道，若)(x F 是)(x f 的原函数，则c x F +)(都是)(x f的原函数． 而这个结论告诉我们任意两个原函数之间差一个常数． 所以只要求出一个原函数，就能得到所有原函数． 例1 求x1的全体原函数． 分析：先求一个原函数，再将这个原函数加任意常数就得 到全体原函数．求原函数就是看哪个函数的导数是x 1． 解：因为 x x 1)(ln ='，所以x ln 是x 1的一个原函数．故x1的全体原函数为c x +ln例2 判断x 1是哪个函数的原函数．分析：看x 1的导函数是哪个函数．解：因为21)1(x x -='，所以x 1是21x-的原函数．1.1.2 不定积分的定义定义1.2 )(x f 的所有原函数的全体称为不定积分．记作⎰x x f d )(,其中)(x f 称为被积函数，x 称为积分变量，⎰称为积分符号．例1 求22x x +的全体原函数．解： 全体原函数就是22x x +的不定积分:c x x x x x ++=+⎰3d )2(322例2 求通过点)1,0(的曲线)(x f y =，使它在x 点处的切线斜率为23x ．解：c x x x +=⎰32d 3,得到一族曲线:c x y +=3曲线过点)1,0(，即1)0(=y ，得到:c c =+=301.所求曲线为13+=x y导数与不定积分的关系 我们来讨论两个问题，首先?d )(='⎰x x f ,有两个答案给我们选择:①)(x f ②c x f +)(要求)(x f '的不定积分，也就是要看哪个函数的导函数是)(x f '，答案当然是)(x f ．但另一方面不定积分是要求全体原函数，所以正确的选择是c x f x x f +='⎰)(d )(再讨论第二个问题?)d )((='⎰x x f 有三个答案给我们选择①c x f +')( ②c x f +)( ③)(x f所以正确的选择是)()d )((x f x x f ='⎰由这两个问题我们了解到，导数和不定积分是两种互逆的运算．求导数−−→←互逆求不定积分求导公式反过来就是积分公式．例：求⎰)(d x f ．分析：由微分定义有：x x f x f d )()(d '= 解：由微分定义有c x f x x f x f +='=⎰⎰)(d )()(d ，即求⎰'x x f d )(．1.2 积分基本公式正因为求导与求不定积分互为逆运算，所以导数基本公式和积分基本公式也是互逆的．也就是说，有一个导数公式，反过来就有一个积分公式．先让我们回顾一下导数基本公式0)(='c x x cos )(sin ='1)(-='αααx x x x sin )(cos -='x x 1)(ln =' xx 2cos 1)(tan =' )1,0(ln )(≠>='a a aa a xx xx 2sin 1)(cot -=' xx e )e (='将以上这些公式反过来看，我们就能得到积分基本公式： c x =⎰d 0 c x x x +=⎰sin d cos111d 1-≠++=+⎰ααααc x x x c x x x +-=⎰cos d sinc x x x +=⎰lnd 1c x x x +=⎰tand cos 12)1,0(ln d ≠>+=⎰a a c aa x a xxc x x x +-=⎰cotd sin 12c x xx +=⎰e d e以上这些积分基本公式都是需要牢记的．另外，有一种方法可以检验不定积分计算的正确与否，那就是将计算结果求导数，看是否等于被积函数．由此可见，积分基本公式固然很重要，但最最重要的还是导数基本公式．再来说明积分公式c x x x +=⎰lnd 1当0>x 时，xx x 1)(ln )(ln ='=' 当x<0时，xx x x x 1)(1])[ln()(ln ='--='-=' 将两个结果统一起来就得到积分公式c x x x+=⎰ln d 1．说明在积分基本公式中为什么没有⎰x x d ln 的公式． 分析：从不定积分运算和导数运算的关系加以说明 ．说明：在导数公式中xx 1)(ln ='是由定义及相关法则直接求得的．而x ln 的不定积分需要找一个函数，使该函数的导函数是x ln ，我们无法在导数基本公式中得到这样的结果，并且即使通过其它方法找到这个结果， 一般来说也不是一个实用的公式． 所以在积分基本公式中没有⎰x x d ln 公式，类似地原因也没有⎰x x d tan 和⎰x x d cot ．我们所得到的积分基本公式更加强调导数与不定积分之间互为逆运算的关系． 1.3.1 不定积分的性质1. 若)(,)(x g x f 是可积函数，则有⎰⎰⎰±=±x x g x x f x x g x f d )(d )(d )]()([2. 若)(x f 是可积函数，k 为非0常数，则有，⎰⎰=x x f k x x kf d )(d )(有了积分基本公式和这两条性质，我们就可以把一些基本的函数的不定积分计算出来．例如:⎰⎰⎰+=+x x x x x xx d d 2d )2(22⎰⎰+=x x x x d d 22c x x ++⋅=3231212c x x ++=3231这种利用不定积分的运算性质和积分基本公式直接计算出不定积分的方法称为直接积分法． 例1 求⎰-+x xx x d )(232．解：⎰⎰⎰--⋅+⋅=+x x x x x x x xx x d d d )(232232⎰⎰-+=x x x x d d 125cx x+++=+ln 1251125c x x ++=ln 7227例2 求⎰+x xd 2e 3．解：⎰⎰++=x x x x d e 21d 2e 33⎰=x x d e e 213⎰=x x d e 2e 3c x+=e 2e 3例3 求⎰+x xx d )23(e ．解：⎰⎰⎰+=+x x x xxxxxd 2e d 3e d )23(e ⎰⎰+=x x xxd )e 2(d e 3c xx++=)e 2ln()e 2(e 3 例4 已知边际成本为32+q ，固定成本为30，求总成本函数． 解：因为⎰'=q q C q C d )()(，有c q q q q ++=+⎰3d )32(2c q q q C ++=3)(2,将30)0(=C 代入，得30=c ，总成本函数为303)(2++=q q q C例5 求⎰u u d 2． 解：c u x u u u ++=⎰32311d 由变量替换得c x x x ++=++⎰32)1(31)1(d )1( 注意到x x d )1(d =+，即c x x x ++=+⎰32)1(31d )1(若直接计算左端有⎰⎰⎰⎰++=+x x x x x x x 1d d 2d d )1(2212331c x x x +++=313133123-++++=c x x x c x ++=3)1(31 用变量替换的方法显然简单得多． 我们再介绍两种计算不定积分⎰x x f d )(的方法．1．第一换元积分法：这种方法是将被积函数凑成)())(()(1x u x u f x f '=的形式．或是将x x f d )(凑成)(d ))((d )(1x u x u f x x f =的形式（凑微分）．就是说将被积表达式x x f d )(凑成某个中间变量u 的函数)(1u f 乘以这个中间变量的微分u d ．而)(1u f 的原函数)(1u F 是已知的或是容易求得的．此时就有c x u F x x f +=⎰))((d )(1这种方法的关键是将凑出u u f x x f d )(d )(1=， 且⎰u u f d )(1容易计算． 我们称这种方法为第一换元积分法（也称为凑微分法）． 2．第二换元积分法：这种方法是将积分变量作变量替换)(t u x =,将被积函数)(x f 变成)()())(()(1t f t u t u f x f ='=的形式．或t t f t t u t u f x x f d )(d )())((d )(1='=即将被积表达式x x f d )(凑成某个中间变量t 的函数)(1t f 乘以这个中间变量的微分t d ．而)(1t f 的原函数)(1t F 是已知或是容易求得的．此时就有c x u F x x f +=-⎰))((d )(11这种方法的关键是⎰t t f d )(1容易计算．我们称这种方法为第二换元积分法．3．例4 求⎰x xx d 1cos2．解：⎰x xx d 1cos2⎰⋅=x x x d 11cos 2⎰'-⋅=x x x d )1(1cos ⎰-=)1(d 1cos x x c x +-=1sin例5 求⎰x x xd ln ．解：⎰x x x d ln ⎰⋅=x x x d 1ln ⎰'⋅=x x x d )(ln ln ⎰=)(ln d ln x x c x +=2)(ln 21例6 计算⎰-x xx d 1．分析：设法去掉被积函数的根号，将根式表达式用新变量替换． 解：令t x =-1，即有21t x -=,t t x d 2d -=．得⎰-x x xd 1⎰--=t t tt )d 2(12⎰-=t t )d 22(2c t t +-=2323c x x +---=12)1(323例7 计算)0(d 22>-⎰a x x a ．分析： 设法去掉被积函数的根号，将根号下的表达式用变量替换变成完全平方．用三角公式替换．解：令t a x sin =，t t a x d cos d =．得⎰-x x a d 22⎰⋅-=t t a t a a d cos sin 222⎰=t t a d cos 22⎰+=t t a d )2cos 1(22（三角公式22cos 1cos 2θθ+=．）)2sin 21(22t t a +=c x a xa x a +-+=2222arcsin 2（三角公式t a a t a t t a t a 22222sin sin 2cos sin 22sin -==22222)sin (sin 2x a x t a a t a -=-=．）1.3.4 分部积分法分部积分的方法一般是用于被积函数是两个函数乘积的形式．我们来导出分部积分公式?)(='uv对于这个问题，由导数运算法则容易得到u v v u uv '+'=')( 上式两端积分，得⎰⎰'+'='x u v v u x uv d )(d )(由积分与导数运算的关系及积分的性质得到⎰⎰'+'=x u v x v u uv d d整理后得到⎰⎰'-='x u v uv x v u d d ，它的另一种形式是：⎰⎰-=u v uv v u d d 于是就得到分部积分公式：⎰⎰'-='x u v uv x v u d d ⎰⎰-=u v uv v u d d分部积分的关键在于①被积函数的一个乘积项是某个函数的导函数，即⎰⎰=xug x x f d d )(⎰'x v u d 写成g v ='（或x g v d d =），可知v 是g 的一个原函数．②利用分部积分公式⎰⎰'-='x u v uv x v u d d它的意义在于将⎰'x v u d 的计算转化为⎰'x u v d 的计算，如果后者的计算比前者简单，这种方法就获得了成功．它将一个较难的积分化为一个较简单的积分． 例1 求⎰x x xd e ．解：令x u =，x v e ='（或x v x d e d =），1='u （或x u d d =），x v e =⎰⎰⋅-=x x x x x x x 1d e e d e c x x x +-=e e c x x +-=e )1(例2 求⎰x x x d sin ．解：令x u =，x v sin ='（或x x v d sin d =），1='u （或x u d d =），x v cos -=⎰⎰---=x x x x x x x d )cos ()cos (d sin ⎰+-=x x x x d cos cos c x x x ++-=sin cos例3 求⎰x x d ln ． 解：⎰⎰⋅=x x x x d 1ln d ln令x u ln =，1='v （或x v d 1d =），x u 1='（或x xu d 1d =），x v = ⎰⎰⎰⋅-=⋅=x x x x x x x x x d 1ln d 1ln d ln c x x x +-=ln例4 求⎰x x x d ln ．解：设x u ln =，x v ='（或x x v d d =），x u 1='（或x x u d 1d =），22x v =⎰⎰⋅-=x x x x x x x x d 12ln 2d ln 22c x x x +⋅-=221ln 222c x x x +-=4ln 222例5 求⎰-x x xd e 2．解：令2x u =，x v -='e （或x v x d e d -=），x u 2='（或x x u d 2d =），x v --=e⎰⎰---+-=x x x x x x x x d e 2e d e 22⎰---+--=x x x x x x d e 2e 2e 2c x x x x x +---=---e 2e 2e 2c x x x +++-=-)22(e 2。