不定积分1
合集下载
有理函数的不定积分(1)
R(
x)
P( Q(
x) x)
为真分式
,
求
R(
x)dx
的步骤：
1. 将 Q(x) 在实数范围内分解成一次式和二 次质因式的乘积 .
2. 将 R( x) P( x) 拆成若干个部分分式之和.
Q( x)
(分解后的部分分式必须是最简分式).
3. 求出各部分分式的原函数 , 即可求得 R( x)dx .
11
1dx
,
其中A _____,B _____,C _______；
3、计算
2
dx sin
x
, 可用万能代换sin
x
___________,
dx _____________；
4、计算
dx
, 令t ___,x ___,dx ____ .
ax b m
32
5、有理函数的原函数都是_________ .
2(1 x)2 1 x
2、ln( x sin x) C ；
3、
(1 x 2 )3
1 x2 C；
3x3
x
4、 sin x 1 ln(sec x tan x) C ； 2 cos2 x 2
5、 8(1
x4
x
8
)
1 arctan 8
x4
C
；
6、 2 x C ,或sec x x tan x C ； 1 tan x 2
原式
(t
2
1)
t
(t
2t 2 1)2
dt
2
t
t
2
2
1
dt
2
(1
t
2
1
) 1
不定积分一
x u (x2-a2)1/2
(C C1 ln a)
a
不定积分
（3）倒数代换
x a 1 解 : 令x t
2
x
1
2
dx
原式
1 1 a dt arccos(at ) C arccos C 2 a a x 1 (at )
1
不定积分
二、分步积分法
函数乘积的微分形式 函数乘积的积分形式。
不定积分
4、许多情况，换元法和分步积分法同时使用， 选取顺序很重要。如果顺序不当，计算很麻烦 甚至算不出来。p80 例29 例：
x e dx x de x e e dx x e 2 xe dx xe dx xe e dx xe e C
不定积分
sin 2 x 解二： f ' (sin 2 x) 1 2 sin 2 x 2 1 sin x x2 ' 2 f ( x) 1 2 x 2 1 x 2 3 1 1 x f ( x ) x ln C 3 2 1 x
不定积分
2、第二类换元法 (凑微分法无法进行)设 x (u )将积分 f ( x ) dx 化成[ f ( (u )) ' (u ) du ]
不定积分
（2）三角代换 1 例： dx ___令x a sec u x 2 a 2 atgu 2 2
x a dx a sec utgudu 原式 sec udu ln sec u tgu C1 x ln a x2 a2 C1 ln x x 2 a 2 C a
a0 x a1 x an1 x an P( x ) m m 1 Q( x) b0 x b1 x bm1 x bm
(C C1 ln a)
a
不定积分
（3）倒数代换
x a 1 解 : 令x t
2
x
1
2
dx
原式
1 1 a dt arccos(at ) C arccos C 2 a a x 1 (at )
1
不定积分
二、分步积分法
函数乘积的微分形式 函数乘积的积分形式。
不定积分
4、许多情况，换元法和分步积分法同时使用， 选取顺序很重要。如果顺序不当，计算很麻烦 甚至算不出来。p80 例29 例：
x e dx x de x e e dx x e 2 xe dx xe dx xe e dx xe e C
不定积分
sin 2 x 解二： f ' (sin 2 x) 1 2 sin 2 x 2 1 sin x x2 ' 2 f ( x) 1 2 x 2 1 x 2 3 1 1 x f ( x ) x ln C 3 2 1 x
不定积分
2、第二类换元法 (凑微分法无法进行)设 x (u )将积分 f ( x ) dx 化成[ f ( (u )) ' (u ) du ]
不定积分
（2）三角代换 1 例： dx ___令x a sec u x 2 a 2 atgu 2 2
x a dx a sec utgudu 原式 sec udu ln sec u tgu C1 x ln a x2 a2 C1 ln x x 2 a 2 C a
a0 x a1 x an1 x an P( x ) m m 1 Q( x) b0 x b1 x bm1 x bm
不定积分1
返回
例11 解
1 dx 求积分 1 cos 2 x
1 1 1 cos 2 x dx 1 2 cos 2 x 1 dx
1 1 1 dx tan x C . 2 2 cos x 2
说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变
形，才能使用基本积分表. 使用基本积分表和运算性质求积分的方法 称为直接积分法。
#
返回
3.1.4 换元积分法
我们知道
(sin2 x C ) cos2 x
解决方法
cos 2 xdx sin2 x C ,
cos xdx sin x C
利用复合函数，设置中间变量. 1 1 2x t dx d 2 x dt 令 2 2 1 1 cos t dt cos t dt cos 2 xdx 2 2
dx
1 1 3 dx 2 dx 2 2 1 x 1 x 3 arctan x 2 arcsin x C
返回
e x 3cos x dx 例6 求积分
解
e x dx 3 cos xdx
e x 3cos x dx
x
பைடு நூலகம்
e 3 sin x C
返回
例4 求积分 x 解
2
xdx .
5 2
x 2 xdx x dx
根据积分公式（2） x dx
7 x 2 2 C x C. 5 7 1 2
x
1
1
C
5 1 2
返回
3.1.3 不定积分的性质
性质3-1 [ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx; 证 f ( x)dx g ( x)dx
第一节 不定积分的概念与性质
所 1 以 c2 o x ,s2 ix n , c2 o x 都 s s是 i2 x n 在 （ ， ）的原 2
因[x 为 arx ct 1la n 1 n x (2)]arx c, tan 2
所以 xarcxta 1ln n1 (x2)是 arcx的 tan一个原 2
= =
微分运算与求不定积分的运算是互逆的:
d
F(x)F(x),dF(x)
F( x)C f(x), f(x)dx
由此可知：
(1)d d xf(x)dxf(x), d [f(x)d x]f(x)d x;
(2)F(x)dxF(x) +C, dF(x)F(x)+C.
( 2)
例3 d x x C.
二、 基本积分表
实例
x1 x
1
xdxx1 C. 1
(1)
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基 (1 )k dkx x C(k 是常数);
本 积
0dxC 1dxxC
分项积分 常用恒等变形方法 加项减项
利用三角公式 , 代数公式 ,
思考与练习
1.
证明
arc 2 x s1 )ia ,nr(c 1 c 2 x)o 和 2 s a(rcx tan 1 x
都是 1 的原函. 数 xx2
2. 若 ex是f(x)的原函 ,则数
x2f(lx)n dx
1 2
f(x ) f(x ) 0 F (x ) G (x ) C （ C为任意常数）
不定积分的定义：
函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积分，
记 为 f ( x ) d . x
因[x 为 arx ct 1la n 1 n x (2)]arx c, tan 2
所以 xarcxta 1ln n1 (x2)是 arcx的 tan一个原 2
= =
微分运算与求不定积分的运算是互逆的:
d
F(x)F(x),dF(x)
F( x)C f(x), f(x)dx
由此可知：
(1)d d xf(x)dxf(x), d [f(x)d x]f(x)d x;
(2)F(x)dxF(x) +C, dF(x)F(x)+C.
( 2)
例3 d x x C.
二、 基本积分表
实例
x1 x
1
xdxx1 C. 1
(1)
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基 (1 )k dkx x C(k 是常数);
本 积
0dxC 1dxxC
分项积分 常用恒等变形方法 加项减项
利用三角公式 , 代数公式 ,
思考与练习
1.
证明
arc 2 x s1 )ia ,nr(c 1 c 2 x)o 和 2 s a(rcx tan 1 x
都是 1 的原函. 数 xx2
2. 若 ex是f(x)的原函 ,则数
x2f(lx)n dx
1 2
f(x ) f(x ) 0 F (x ) G (x ) C （ C为任意常数）
不定积分的定义：
函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积分，
记 为 f ( x ) d . x
不定积分的概念(1)
例例66
dx x3 x
x
4 3
dx
x
4 3
1
4 1
C
3x
1 3
C
3
C .
3x
3
x34x3434113411CC3x3x1313CC 33x33xCC. .
堂上练习:
x
(xx(x2x(2x52)5d)5xd)xdx(x(x52(52x552 x5x125)12xd)12xd)xdx
积分曲线，而f(x)正是积分曲线的 斜率.
2x的积分曲线
例3
设通过点(1, 3), 且其切线斜率为 2X的曲线方程.
解： 设所求曲线方程为y f x,由题意知 f x 2x,即f x是2x的一个原函数,而且
2xdx x2 C
即2x的积分曲线族为y x2 C， 将x 1, y 3 代入， 得C 2， 故所求的曲线方程为y x2 2
第四章 不定积分
4.1 不定积分的概念与性质
教学目标:
1、理解原函数和不定积分的概念
2、熟练掌握不定积分的性质和基本积分公式
教学重点：
综合运用不定积分的性质和基本积分公式求 不定积分。
§4.1 不定积分的概念
一、不定积分的概念 二、不定积分的性质 三、直接积分法
前言
早在两千多年前，数学家们就已经开始注意到累 积计算的重要性，随着生产的发展，这类问题不断有 人提出，如求某块平面图形的面积，某条定曲线的长 度等等． 其中某些问题甚至得到了解决． 例如，阿 基米得(Archimedes)、开普勒(Kepler)、卡瓦列里 (Cavaliere)都在具体问题中得到了后来用积分计算 得到的相同结果． 费马(Fermat)与巴洛(Barrow)已 初步意识到某些问题与微分之间存在互逆关系． 但 当时并没有一般地引入积分概念，他们的方法也不具 有普遍意义． 直到十七世纪，牛顿和莱布尼兹各自 独立地看到了积分问题是微分问题的逆问题，并从微 分逆运算的角度提了简洁的一般解决办法．
不定积分的计算(1)
cos x ∫ x dx
= 2 ∫ cos x d x = 2 sin x + c
例10
∫
x 1− 2x
2
dx
1 1 解 原式 = − ∫ d (1 − 2 x 2 ) 4 1− 2x2 1 1 2 2 = − ⋅ 2 1 − 2x + c = − 1 − 2x + c 4 2
例11
sin 3xdx ∫
cos 3 xdx ∫
1 1 解 ∫ cos 3xdx = ∫ cos 3 xd (3 x) = sin 3x + c 3 3
● 凑微分法主要用于：
1、 当被积函数是一个复合函数时； 2、 当被积函数是两个函数相乘（其中有一个 往往是复合函数）时。
注意： 凑后要调整 ！！！
例3
cos(1 − 2 x)dx ∫
练习：求不定积分
解
∫x
2
x + 1dx
∫x
x + 1dx
x +1 = t x = t −1
4
∫ (t
2
2
− 1) ⋅ t ⋅ 2tdt
= ∫ (2t − 2t )dt
2 5 2 3 = t − t +c 5 3 2 = ( x + 1) x + 1(3 x − 2) + c 15
(t − 1) + 1 1 = 3∫ dt = 3∫ (t − 1 + )dt 1+ t 1+ t 1 2 = 3( t − t + ln | 1 + t |) + c 2 33 2 = x − 33 x + 3 ln | 1 + 3 x | + c 2
3.1 不定积分(1)
(12) exdx ex C
(13) a xdx a x C ln a
高等数学(GAO DENG SHU XUE)
目录 上页 下页 返回 结束
3.1.1 基本积分公式
例2. 求下列不定积分：
解: (1)原式 =
x 3
dx
x
31
C
3 1
1 2
x 2
高等数学(GAO DENG SHU XUE)
目录 上页 下页 返回 结束
3.1.1 原函数与不定积分的概念 ☼ 问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 1.原函数存在定理 连续函数必存在原函数 . (后面证明)
在实数R上连续， 在实数R上存在原函数 初等函数在定义区间上连续
问：sinx C是cos x的什么函数？
高等数学(GAO DENG SHU XUE)
目录 上页 下页 返回 结束
3.1.1 原函数与不定积分的概念 ☼ 定义3.1(原函数的定义) 已知函数 f (x)是定义在某区间 I 内的函数，若存在函 数 F (x) ，使得
则称 F (x) 为区间 I 上f (x) 的一个原函数 . •原函数举例
有换元公式：
f ((x))d(x) f (u)du u (x)
F[(ux) ] C
证明：{F[( x)] C} {F[( x)]}
F [( x)]( x)
f [( x)]( x)
高等数学(GAO DENG SHU XUE)
(
x4 1
1) x2
1
dx
(
x2
(13) a xdx a x C ln a
高等数学(GAO DENG SHU XUE)
目录 上页 下页 返回 结束
3.1.1 基本积分公式
例2. 求下列不定积分：
解: (1)原式 =
x 3
dx
x
31
C
3 1
1 2
x 2
高等数学(GAO DENG SHU XUE)
目录 上页 下页 返回 结束
3.1.1 原函数与不定积分的概念 ☼ 问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 1.原函数存在定理 连续函数必存在原函数 . (后面证明)
在实数R上连续， 在实数R上存在原函数 初等函数在定义区间上连续
问：sinx C是cos x的什么函数？
高等数学(GAO DENG SHU XUE)
目录 上页 下页 返回 结束
3.1.1 原函数与不定积分的概念 ☼ 定义3.1(原函数的定义) 已知函数 f (x)是定义在某区间 I 内的函数，若存在函 数 F (x) ，使得
则称 F (x) 为区间 I 上f (x) 的一个原函数 . •原函数举例
有换元公式：
f ((x))d(x) f (u)du u (x)
F[(ux) ] C
证明：{F[( x)] C} {F[( x)]}
F [( x)]( x)
f [( x)]( x)
高等数学(GAO DENG SHU XUE)
(
x4 1
1) x2
1
dx
(
x2
第三章1不定积分(new)资料
22
不定积分
例6 求
dx
.
3 ( x 1)2( x 1)4
解 3 ( x 1)2( x 1)4 3 ( x 1)4 ( x 1)2.
x 1
令 t x1, x 1
则有
dt
(x
2 1)2
dx,
原式
dx
1
4
t 3dt
3 ( x 1)4 ( x 1)2 2
(C ) ( x 1)e x c ( D) ( x 1)e x c
2. 若 F( x) f ( x),则 dF( x) ( D)
( A) f ( x)
(B) F(x)
(C) f ( x) C (D) F( x) C
26
不定积分
3. f ( x)在某区间内具备了( B ) 就可保证它的
z
M
S
0
x
C (Advanced Mathematics)
P
y
不定积分
第三章 一元函数积分学及应用 习题课(一)
原函数与不定积分 不定积分的积分方法
2
一、复习
不定积分
基 基本 本概 性念 质(与(原求函导数, 微,不分定运积算分间关f (系x);线dx性) 可加性)
常用积分公式
返回
5
不定积分
3、基本积分公式
(1) kdu ku C
(3)
1 u
du
ln
u
C
(4) audu au C
ln a
(2) udu u 1 C
1
(5) eudu eu C