数学原理教学

4．
公式的应用 公式的应用以理解为基础。在应用公式 前，要使学生正确理解公式的意义，尤 其是公式中字母的可变性。应用公式， 不但要会正面用，反过来用，而且还要 会变形用。

（三） 促进定理和性质学习的教学建议 在数学中，根据已有的概念和真命题，按照正确的 逻辑推理方法来证明其真实性的命题叫做定理。性 质是定理的另外一种形式。在中学数学教学中，定 理和性质的教学应使学生理解并记住定理的条件和 结论，掌握定理的证明方法，熟悉定理的适用范围。 除了这些基本要求之外，教师应将讲课的重点放在 揭示定理结论的发现过程及其证明思路的探索过程 上。

（2）变通记忆为辅 对于那些推导过程比较复杂的公式，理解记忆常常 也不能奏效。此时，不妨用变通的方式来记忆公式。 变通记忆就是将所要记忆的公式样符号、字词、外 在特征用一些拟人化的生活语、口诀表述出来，以 帮助人们记住公式的记忆方法。 （3）注意系统记忆 当要记忆的公式很多时，可以将这些公式进行逻辑 整理，抓住它们之间的内在联系，将它们组织起来， 形成一个有序的知识网络，以便于记忆。
促进原理学习的最有效的办法是让学生 在运用原理的过程中掌握原理，因为让 学生自己运用原理是原理具体化的过程， 而这个过程对于全面、深刻地理解原理 极为有利。因此，在原理的学习中，让 学生进行练习是极其重要的一个环节。 值得注意的是，练习不是越多越好，那 种类别单一的重复练习并不有效。要想 使学生掌握原理，形成产生式，就要让 学生进行变式练习。

1． 由例子到原理的学习 由例子到原理的学习是指从若干例子中归纳出一般 结论的学习。它是一种发现学习，这种学习方法简 称为“例子—原理法”。 2． 由原理到例子的学习 由原理到例子的学习是指先向学生呈现要学习的原 理，然后再用实例说明原理（有时要予以逻辑证 明），从而使学生掌握原理的学习。这是一种接受 学习。简称为“原理—例子法”。
但是数学教材为了叙述上的严谨、简洁，
为了便于教学上的传授，在表述人类积 累下来的数学成果时，往往略去了数学 的发现过程，掩盖了数学思维活动的本 质特征。为了培养学生的数学思维能力， 提高学生的自主学习能力，教师在数学 教学中还有一个重要任务就是要依据课 堂教学的思维过程而精心设计，还原数 学思维活动的过程。

所谓变式练习，就是在其他有效学习条件不变的情 况下，改变命题的例证。在进行变式练习时，应先 设置与原先学习情境相似的问题情境进行练习，练 习课题之间要保持一定的同一性。随着知识的逐渐 巩固，问题类型要有变化，可逐渐演变成与原先的 学习情境完全不同的新情境。同时，在练习的过程 中，及时给学生提供反馈是十分必要的。及时分析 指出学生练习中的错误，可以防止学生将错误巩固 下来而积习难改

2．揭示证明思路的探索过程 教材中的定理和性质的证明已是发现者（或数学家） 证明思路的逻辑整理和简化，大部分以综合法的方 式书写表达出来。如果教师也按教材的方式灌给学 生，那么不但学生理解上有困难，而且也失去了一 次发现和探索的锻炼机会。因此，教师在讲解证明 时，应着重分析证明的思路，将证明思路的探索过 程尽可能地暴露在学生面前，使学生逐步掌握分析 问题和解决问题的思想方法。
数学原理教学
所谓数学原理教学，在此主要指数学的
性质、法则、公式、公理、定理等教学。 数学原理是构成数学学科知识体系的主 干成分，掌握并深刻理解数学原理对学 生感受数学美、解决数学问题以及用数 学解决实际问题将起到决定性的作用
数学原理的教学不仅要学生理解和掌握
数学的性质、法则、公式、公理、定理， 而且要使学生理解这些原理所蕴涵的数 学方法，并在学习和应用这些原理的过 程中发展自己的数学认识结构，形成自 己的数学思想方法。

一、什么是数学原理的教学 原理有两个方面的含义。作为言语符号信息，它是 对概念之间关系的描述；从心理意义上说它是一种 操作反应系统，即主体在情境中根据各种关系作出 相应的反应。 原理描述了概念之间的关系，这种关系是稳定不变 的，其形式是“若……则……”。习得这种关系的 主体能以一类操作行为对一类刺激情境作出反应， 即学生习得了“若……则……”这一产生式。例如， 学生习得勾股定理这一原理之后，一旦出现符合勾 股定理条件的刺激情境，学生都会作出“斜边的平 方等于两条直角边的平方之和”的反应。

1．揭示结论的发现过程 教材中大多数的定理和性质都是按“定理—证明— 例题—习题”的模式来安排的。为了顾全系统、严 密、精炼的原则，而将数学结论的发现过程略去。 作为教材这种安排队必要的，无可厚非。但值得注 意的是，数学结论的发现实际上经历了曲折的试验、 归纳、猜想等一系列探索过程，这个过程是发现者 的思维过程。当然，不可能每一个定理都让学生去 发现，那样做时间也不允许。但从培养学生的创新 意识和科学发现的能力的角度考虑，

三、促进数学原理学习的教学建议 数学原理的学习主要是公式和法则的学习、定理和性质的学 习。 （一） 促进数学原理学习的一般建议 1．提供丰富的例子 在采用例子—原理法教授原理时，为了使学生顺利概括出原 理，需要为学生提供足够多的例证，而在用原理—例子法教 授原理时，为了使学生理解原理，也需各种例证来说明原理。 因此，不论采用例子—原理法还是使用原理例子法来学习原 理，都需要为学生提供丰富的例证。这些例证应尽量涵盖例 证的各种典型类别，以利于学生发现原理和全面理解原理。 在为学生提供丰富的例子时，不能仅仅提供原理的例证，还 应该提供原理的反例，以强化原理的结构，使学生透彻理解 原理。
2．
公式的理解 理解数学公式也就是理解公式中各个字 母的含义以及它们之间的关系。数学公 式中的字母，既可以表示数又可以表示 代数式。为了使学生理解公式的本质， 应让学生用不含字母的语言文字叙述公 式的内容，掌握公式中关系的确定性和 字母的可变性（数或代数式）。
3．
公式的记忆 （1）理解记忆为本 记忆是以理解为基础的，只有理解了的 东西才会经久不忘。要使学生牢固地记 住数学公式，就要使学生了解公式的来 龙去脉，正确地理解公式，尽量将机械 记忆转化为理解记忆。
2．
联系已学过的知识 与概念学习一样，原理学习是有意义的 学习，是新旧知识相互作用并形成新的 认知结构的过程。因此，促进新原理的 学习，就要使学生的认知结构中具备与 新原理相关的适当观念。在教学中，教 师可以引导学生复习、回忆与原理相关 的旧知识，以帮助学生同化新原理。

3． 让学生运用原理

教师应该根据学生认知的特点和要求，有选择地进 行定理的再发现——引导学生重复或模拟定理的发 现过程。让学生进行定理的再发现，不仅使学生了 解定理结论的由来，强化对定理具体内容的理解和 记忆，而且可以充分发挥学生学习的主观能动性， 培养学生科学发现的能力。没有今日的再发现训练， 哪有明日的真发现呢？ 定理结论的发现，一般可在对具体数学对象的观察、 测量、计算、作图等试验的基础上去进行归纳、类 比、猜想。
（3）原理学习实质上是习得产生式。
只要条件信息一满足，相应的行为反应 就自然出现。学习者据此指导自己的行 为并解决遇到的新问题。 （4）习得原理不是孤立地掌握一个原 理，而是要在原理之间建立联系，形成 原理网络。

二、数学原理学习的形式 在数学学习中，习得原理不仅意味着习得描述原理 的言语信息，而且能根据原理对一类刺激作出相应 的反应，也就是说能在特定的情境中应用原理。一 旦学生掌握了数学原理，就能用大量的例证来说明 原理所反应的关系，或运用原理解决特定情境下的 问题。在数学课堂教学中，数学原理的学习一般有 两种形式，即由例子到原理的学习和由原理到例子 的学习。
（二）
促进公式和法则学习的教学建议 将思维对象和思维结果简单化和符号化是数 学思维的重要特征，也是数学工作者所追寻 的目标之一。于是在数学中产生了大量的由 字母和符号表达的正确命题，人们称之为公 式。公式的教学是中学数学教学的重要内容 之一，其教学的好坏直接影响着学生知识技 能的掌握与能力的培养。要教好公式，应注 意以下四个方面。
数学原理的教学策略
问题性策略 2 过程性策略（创设问题情境，引起注意及 思考；观察、类比、猜想、归纳、概括、特 殊化、一般化等活动，形成假设；对假设进 行推理论证，检验假设，获得新原理，纳入 认知结构；原理的应用） 3 变式策略（原理的多样化表达；原理推广 与引申；原理的特殊化；原理的化归；原路 的证明方法的变式习实际上是学习一些概念 之间的关系。因此，概念学习是原理学 习的基础，不掌握构成原理的各个概念， 就不可能习得这一原理。 （2）原理学习不是习得描述原理的言 语信息，而是习得原理的意义，它是一 种有意义的学习。根据奥苏贝尔的有意 义言语学习理论，原理学习分为下位学 习、上位学习和组合学习。
1
类比策略 5 组织者策略 6 多元联系表征策略 7 精加工策略（对记忆材料补充细节、 举例、作出推论、建立联系） 8 开放性策略 9 系统化策略
4

1．公式的推导 学生在学习数学的过程中，常表现出这样一种心理 现象：对于那些经过自己思考、演算、推导出来的 结论，比较容易相信和接纳；而对于那些由别人告 知的事实与结论，则容易产生怀疑和排斥。因此， 在公式的教学中，首先要让学生弄清公式的来龙去 脉，尽可能由他们自己推演并发现公式，使学生享 受到创造发现的成功与喜悦，为公式的理解、记忆 和应用奠定基础。

让学生推导公式，不能只是照书按部就班地推，教 师对教材应作适当的加工处理，让学生充分地动脑、 动手、动口，这样才会收到事半功倍的效果。 让学生推导公式的另一作用是，它可以帮助学生记 忆公式。 另外，在推导公式的过程中，教师要注意揭示所运 用的数学思想方法，使学生熟悉并逐渐掌握这些基 本的思想方法，以达到举一反三和融会贯通的目的。