2014年自主招生培训讲义10讲第五讲 等式与不等式
自主招生数学讲义
(2) 以集合 A ∪ B 的元素作为二次方程 x2 + px + q = 0 的两个根，试在 f (x) = x2 + px + q 的最小值
中求出它的最大值和最小值.
{ } { } 【例 19】如果集合 A =
a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6
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2014 年自主招生数学讲义
【例 33】下列有关命题的说法正确的是( )．
A．命题“若 x2 = 1 ，则 x = 1”的否命题为：“若 x2 = 1 ，则 x ≠ 1 ” B．“ x = −1 ”是“ x2 − 5x − 6 = 0 ”的必要不充分条件 C．命题“ ∃x ∈ R ，使得 x2 + x +1 < 0 ”的否定是：“ ∀x ∈ R ，均有 x2 + x +1 < 0 ” D．命题“若 x = y ，则 sin x = sin y ”的逆否命题为真命题
{ } 【例 03】(2012 年西城区第一次模拟考试试题)已知集合 A = x | x = a0 + a1 × 3 + a2 × 32 + a3 × 33 ，其
中 ak ∈{0 ，1， 2}(k = 0 ，1， 2 ， 3) 且 a3 ≠ 0 ，则 A 中所有元素之和等于
.
【例 04】(2011 年北大附中高三适应性训练试题)从 A = {a1 ，a2 ，a3 ，a4} 到 B = {b1 ，b2 ，b3 ，b4} 的
B． (a ∗ (b ∗ a)) ∗ (a ∗ b) = a
C． b ∗ (b ∗ b) = b
D． (a ∗ b) ∗ (b ∗ (a ∗ b)) = b
自主招生考试常用不等式
自主招生考试常用的不等式1．柯西不等式))(()(2n 22212n 22212n 2211b b b a a a b a b a b a n ++++++≤+++ ，其中等号成立条件为nn b a b a b a ==2211。
证明：构造一元二次函数2221122()()()()n n f x a x b a x b a x b =-+-++-，则222222212n 1122n 12n ()()2()()0n f x a a a x a b a b a b x b b b =+++-+++++++≥等价于判别式小于等于0，即0))((4)(42n 22212n 22212n 2211≤++++++-+++b b b a a a b a b a b a n ，得证，且等号成立条件，nn b a b a b a ==2211。
2．四个平均的关系：平方平均na a a Q n 2n2221+++= ，算术平均n a a a A n n +++= 21，几何平均nnn a a a G 21=，调和平均nn a a a H 111121+++= 。
满足关系：n n n n H G A Q ≥≥≥，其中等号成立条件为n a a a === 21。
调和平均不常用。
3．排序不等式（排序原理）： 设有两个有序数组：n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有112121221121b a b a b a b a b a b a b a b a b a n n n j n j j n n n +++≥+++≥+++- （同序和）（乱序和） （逆序和） 。
其中n j j j ,,,21 是1,2,…,n 的一个排列。
4．切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有nb b b n a a a n b a b a b a nn n n +++⋅+++≥+++ 21212211。
等式与不等式的基本概念与解法
等式与不等式的基本概念与解法在数学中，等式和不等式是两个重要的概念。
它们在代数、几何和应用数学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍等式和不等式的基本概念，并探讨它们的解法。
一、等式的基本概念与解法等式是指两个表达式之间使用等号连接的关系。
其中，等号表示两个表达式的值相等。
在解等式时，我们需要找到使等式成立的未知数的值。
以一元一次方程为例，形如ax + b = 0的等式。
其中，a和b为已知数，x为未知数。
解这一方程时，我们可以使用等式的性质进行变形，使得未知数x的系数为1，最终求得x的值。
对于方程2x + 3 = 7, 我们可以先将等式两边减去3得到2x = 4，然后再将等式两边除以2得到x = 2。
所以，该方程的解是x = 2。
除了一元一次方程，还有其他类型的等式，如二元一次方程、二次方程等。
解这些等式时，我们可以运用不同的解法，如代入法、因式分解、配方法等。
二、不等式的基本概念与解法不等式是指两个表达式之间使用不等号连接的关系。
其中，不等号可以是大于号(>)、小于号(<)、大于等于号(≥)或小于等于号(≤)。
不等式表示两个表达式的值之间的大小关系。
解不等式的过程，与解等式类似，也需要找到满足不等式的未知数的值。
不过在解不等式时，我们需要注意不等号的方向。
以一元一次不等式为例，形如ax + b > c的不等式。
其中，a、b和c 为已知数，x为未知数。
解这一不等式时，我们需要根据不等号的方向，将未知数的取值范围限制在满足不等式的条件内。
对于不等式3x - 2 ≥ 10，我们可以先将不等式两边加上2得到3x ≥ 12，然后再将不等式两边除以3得到x ≥ 4。
所以，该不等式的解是x ≥ 4。
与等式类似，不等式也有其他类型，如二元一次不等式、二次不等式等。
解这些不等式时，我们同样可以采用代入法、因式分解、配方法等不同的解法，根据具体的问题需求选择合适的方法。
三、总结等式和不等式是数学中重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
高考自主招生讲义：第5讲 基本不等式
第五讲基本不等式及其应用一、知识方法拓展 1. 均值不等式:2121212111n nn na a a a n a a a na a a +++++≥≥≥+++平方平均 代数平均 几何平均 调和平均注：1.等号成立条件（特别是用基本不等式算最值时要注意等号是否能取到）；2.最常用的是代数平均≥几何平均；3.用平方平均和调和平均的时候注重形式；4.均值不等式有时需要“配”和“凑”，这也是基本不等式的难点之一。
2. 柯西不等式:222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++注：1.柯西不等式的主要作用是调节系数； 2.柯西不等式的等号成立条件是：1212nna a ab b b ===3.排序不等式：12n a a a ≥≥≥12,n b b b ≥≥≥111nni i i ji n ii i ji a b a b a b+-=≠=>>∑∑∑顺序和 乱序和 逆序和注：1.排序不等式一般应用于 奇次不等式的证明；2.排序不等式对符号没有要求；3.变量的对称性可以用来进行排序。
4．基本不等式的应用：基本不等式主要用来解决多变量的比较大小；求取值范围和恒成立等问题。
在解题的过程中，首先要注意等式的变形；选用合适的基本不等式； 最后需要指出的是，在解题时先把等号成立条件解出来并注意变量之间的对称性常常会给我们带来意想不到的好处。
二、热身练习：1．已知,,,247a b c R a b c +∈++=,求124a b c++的最小值 解：方法 1：1241247()(24)()a b c a b c a b c++=++++14162()4()8()b a a c b ca b c a c b=++++++++21≥+ 49=方法2：由Cauchy 不等式2124(24)()(124)49a b c a b c++++≥++= 1247a b c∴++≥注：由上题可知：在需要对系数进行“配凑”时，Cauchy 不等式比均值不等式简单很多。
不等式基础讲义(2014)
第一讲：一元一次不等式（组）基础（讲义）一、知识点睛1. 不等式的概念：用符号___________________________连接的式子叫做不等式．“≥”叫_________，也叫_________；“≤”叫_________，也叫_________．2. 不等式的基本性质：①不等式的两边都加上（或减去）同一个_______，不等号的方向___________； ②不等式的两边都乘以（或除以）同一个_______，不等号的方向___________； ③不等式的两边都乘以（或除以）同一个_______，不等号的方向___________．3. 不等式的解与不等式的解集：___________________________________，叫做不等式的解；_____________________________，组成这个不等式的解集，通常用“x a >”或“x a <”的形式表示．不等式的解集可以在数轴上表示，需要注意____________________的区别．4. ______________________________________叫做解不等式．5. 一元一次不等式：不等式的左右两边都是________，只含有一个________，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式．6. 一元一次不等式组及其解法．一般地，__________________________________________，就组成了一个一元一次不等式组．__________________________________________________，叫做这个不等式组的解集．__________________________，叫做解不等式组． 二、精讲精练1. a 的5倍与3的差不小于10，用不等式表示为____________．2. 某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分．已知小明在这次竞赛中的成绩超过90分，设他答对了n 道题，则根据题意可列不等式_______________．3. 判断正误．（1）2≤3；（ ）（2）由2x >-6，得3x <-；（ ） （3）由ac bc >，且c ≠0，得a b >； （ ） （4）如果0a b <<，则1ab<．（ ）4. 已知a b >，c ≠0，则下列关系一定成立的是（ ）A ．ac bc >B ．a bc c> C ．c a c b ->- D ．c a c b +>+5. 若x a =是不等式5x +125≤0的解，则a 的取值范围是_________________．6. 不等式10x +<的解集在数轴上表示正确的是（ ）3210-1-2-3 3210-1-2-3A ．B ．3210-1-2-3 3210-1-2-3C ．D ．7. 若关于x 的不等式0x a -≤的解集如图所示，则a =_______．-5-4543210-1-2-38. 若关于x 的不等式325m x -<的解集是2x >，则m =______．9. 不等式x ≤1的非负整数解是____________；不等式1x >-的最小整数解是___________．10. 解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上．（1）2125x x --<； （2）53432x x ++-≤；（3）69251332x x x +-+-≤； （4）532122x x ++->． 11. 在不等式0ax b +>中，a ，b 是常数，且a ≠0，当______时，不等式的解集是b x a >-；当_______时，不等式的解集是b x a <-．12. 不等式84632x x x+->+的非负整数解为________________． 13. 若不等式x a <只有4个正整数解，则a 的取值范围是________________． 14. 若不等式x a ≥只有2个负整数解，则a 的取值范围是________________． 15. 解下列不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上．（1）213821x x x +>-⎧⎨--⎩≤； （2）239253x x x x +<-⎧⎨-<⎩；（3）211132x +-<-<； （4）513(1)2151132x x x x ->+⎧⎪-+⎨-⎪⎩≥；（5）273(1)234425533x x x x x x ⎧⎪-<-⎪+⎪<⎨⎪⎪--+⎪⎩≤．16. 若不等式组420x ax >⎧⎨->⎩的解集是12x -<<，则a =________．17. 如果不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩的解集是11x -<<，那么(1)(1)a b +-=_____________．18. 如果一元一次不等式组>2>x x a ⎧⎨⎩的解集是2x >，那么a 的取值范围是（ ）A ．2a >B ．2a ≥C ．2a ≤D ．2a <19. 如果不等式组8>41x x x m+-⎧⎨⎩≤的解集是3x <，那么m 的取值范围是（ ）A ．3m ≥B ．3m ≤C ．3m =D ．3m <【参考答案】 知识点睛1．>，<，≥，≤，≠．大于或等于，不小于；小于或等于，不大于． 2．①代数式，不变；②正数，不变；③负数，改变． 3．使不等式成立的未知数的值； 含有未知数的不等式的所有解． 实心圆点和空心圆圈． 4．求不等式解集的过程． 5．整式，未知数．6．关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起． 一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分． 求不等式组解集的过程． 精讲精练1．5310a -≥2．105(20)90n n -->3．（1）√；（2）×；（3）×；（4）×． 4．D5．25a -≤ 6．A 7．1- 8．3 9．0，1；0．10．（1）2x <； （2）2x -≤；（3）1x -≥； （4）12x <．11．0a >；0a <． 12．0，1，2，3．13．45a <≤ 14．32a -<-≤ 15．（1）3x ≥； （2）52x -<<； （3）514x -<<；（4）无解； （5）46x -<<．16．1-17．6- 18．C 19．A一元一次不等式（组）基础（随堂测试）1. 解不等式组240312123x x x +⎧⎪+-⎨<⎪⎩≥，并把它的解集表示在数轴上．2. 不等式351222x x -++≤的最小整数解为_________． 3. 如果不等式组2223x a x b ⎧--⎪⎨⎪-⎩≤≤的解集是01x ≤≤，那么a b +的值为____________．【参考答案】1．21x -<-≤，解集在数轴上的表示略．2．2-3．3-一元一次不等式（组）基础（作业）1.下列说法中，错误的是（ ）A ．不等式2x <的正整数解有一个B ．2-是不等式210x -<的一个解C ．不等式39x ->的解集是3x >-D ．不等式10x <的整数解有无数个 2.若0a b >>，c ≠0，则下列式子一定成立的是（ ）A ．a c b c -<-B ．1ab<C ．22a b ->- D ．22a b c c >3.已知点M (12m -，1m -)关于x 轴的对称点在第一象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）10.5010.50A ．B ．10.5010.50C ．D ．3.若一组数据3，4，6，8，x 的中位数是x ，且x 是满足不等式组3050x x -⎧⎨->⎩≥的整数，则这组数据的平均数是___________．4.若不等式22x a -+≥的解集是1x ≤，则a 的值是_________．5.若不等式20x a -≤只有4个正整数解，则a 的取值范围是________________．6.若不等式组2>31<1x n x m +⎧⎨+-⎩的解集是12x -<<，则m n -=____．7.若关于x 的不等式组8236x x x a +>+⎧⎨⎩≤的解集是2x <，则a 的取值范围是_________．8.篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队预计在2013~2014赛季全部32场比赛中至少得到48分，才有希望进入季后赛．若设这个队在将要举行的比赛中胜x 场，则x 应满足的关系式是_____________． 9.解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上．（1）521293x x --≤； （2）3221145x x --+≤； （3）321132x x -+<-；（4）326381236x x x -----≤． 10.解下列不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上．（1）73(1)5213122x x x x -+<-⎧⎪⎨-⎪⎩≥；（2）3(2)412>13x x xx --⎧⎪+⎨-⎪⎩≥；（3）4513777x -<--≤； （4）63315x xx x -⎧⎪-⎨<--⎪⎩≤．【参考答案】 1．C 2．D 3．A4．55．46．810a <≤ 7．1-8．2a ≥9．23248x x +-≥10．（1）13x ≥； （2）2x -≤； （3）34x >-； （4）15x -≥．解集在数轴上的表示略．11．（1）4x ≥； （2）1x ≤；（3）2255x <≤； （4）无解．解集在数轴上的表示略．第二讲：一元一次不等式（组）应用（讲义）一、知识点睛1. 解一元一次不等式组的口诀：____________、____________、________________、________________．2. 不等式应用题的三种常见类型①_________________：不超过，至少，不低于，多于等； ②_________________：不空也不满等； ③_________________：原材料供应，容器容量． 二、精讲精练1. 解下列不等式组．（1）42313(1)x x x x +⎧+⎪⎨⎪+<-⎩≥；（2）3(2)81213x x x x --⎧⎪+⎨>-⎪⎩≥；（3）523132x x x +⎧⎪+⎨>⎪⎩≥；（4）12(1)2235xx x x ⎧+>-⎪⎪⎨+⎪⎪⎩≥．2. 如果一元一次不等式组213(1)x x x m->-⎧⎨⎩≤的解集是2x <，那么m 的取值范围是A ．2m =B ．2m >C ．2m <D ．2m ≥3. 若关于x 的一元一次不等式组712x ax x >⎧⎨+<-⎩有解，则a 的取值范围是（ ）A ．2a -≤B ．2a >-C ．12a <-D ．12a -≤ 4. 若关于x 的一元一次不等式组122x ax x <⎧⎨-<-⎩无解，则a 的取值范围是（ ）A ．1a -≥B ．1a >-C ．1a ≤D ．1a <5. 若关于x 的一元一次不等式组721x mx <⎧⎨-<⎩的整数解共有3个，则m 的取值范围是）A ．67m <<B ．67m <≤C ．67m ≤≤D ．67m <≤6. 为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划购买一批篮球和排球，已知篮球的单价为96元，排球的单价为64元，若用不超过3 200元去购买篮球和排球共36个，且要求购买的篮球多于25个，则至少购买排球_______________个．7. 用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空．那么汽车共有______辆．8.“亚洲足球俱乐部冠军联赛”期间，河南球迷一行56人从旅馆乘车到天河球场为广州恒大加油．现有A，B两个车队，A队比B队少3辆车．若全部安排乘A队的车，每辆坐5人，车不够，每辆坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆坐4人，车不够，每辆坐5人，有的车未坐满．则A队有车___________辆．9.某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A，B产品所需原料如下表所示．甲种原料（360kg）乙种原料（290kg）A 9 kg 3 kgB 4 kg 10 kg（1）设生产x件A种产品，写出x应满足的不等式组；（2）有哪几种符合题意的生产方案？请你帮助设计．10.某工厂现有甲种布料70米，乙种布料52米，计划利用这两种布料生产A，B两种型号的时装共80套．已知生产一套A型号的时装需甲种布料0.6米，乙种布料0.9米；生产一套B型号的时装需甲种布料1.1米，乙种布料0.4米．利用现有布料，工厂能否完成任务？若能，请设计出所有可能的生产方案；若不能，请说明理由．11.某仓库有甲种货物360吨，乙种货物290吨，计划用A，B两种货车共50辆将这批货物运往外地．若一辆A种货车能装载甲种货物9吨和乙种货物3吨；一辆B 种货车能装载甲种货物6吨和乙种货物8吨．则有哪几种运输方案？请设计出来．12.在家电下乡活动中，某厂家计划将100台冰箱和54台电视机送到乡下．现租用甲、乙两种货车共8辆将这批家电全部运走，已知一辆甲种货车可同时装冰箱20台，电视机6台，一辆乙种货车可同时装冰箱8台，电视机8台．则将这批家电一次性运到目的地，有几种租用货车的方案？【参考答案】 知识点睛1．大大取大、小小取小、大小小大中间找、大大小小找不着． 2．①关键词型；②不空不满型；③方案设计型． 精讲精练1．（1）2x >；（2）1x -≤；（3）12x -<≤；（4）无解．2．D3．C4．C 5．D6．8 7．6 8．10 9．（1）94(50)360310(50)290x x x x +-⎧⎨+-⎩≤≤；（2）共有3种生产方案．方案一，生产A 种产品30件，B 种产品20件； 方案二，生产A 种产品31件，B 种产品19件； 方案三，生产A 种产品32件，B 种产品18件． 10．工厂能完成任务，共有5种生产方案．方案一，生产A 型号时装36套，B 型号时装44套； 方案二，生产A 型号时装37套，B 型号时装43套； 方案三，生产A 型号时装38套，B 型号时装42套； 方案四，生产A 型号时装39套，B 型号时装41套； 方案五，生产A 型号时装40套，B 型号时装40套． 11．共有3种运输方案．方案一，A 种货车20辆，B 种货车30辆； 方案二，A 种货车21辆，B 种货车29辆； 方案三，A 种货车22辆，B 种货车28辆． 12．共有3种租车方案．方案一，租用甲种货车3辆，乙种货车5辆； 方案二，租用甲种货车4辆，乙种货车4辆； 方案三，租用甲种货车5辆，乙种货车3辆．一元一次不等式（组）应用（随堂测试）4. 若关于x 的不等式组3352x x x a++⎧>⎪⎨⎪⎩≤的解集为3x <-，则a 的取值范围是（ ）A ．3a =-B ．3a >-C ．3a <-D ．3a -≥5. 某工厂现有甲种原料280kg ，乙种原料190kg ，计划利用这两种原料生产A ，B 两种产品50件．已知生产一件A 产品需甲种原料7kg ，乙种原料3kg ；生产一件B 产品需甲种原料3kg ，乙种原料5kg ．则该工厂有哪几种生产方案？请你设计出来．【参考答案】 1．D2．共有3种生产方案．方案一，生产A 种产品30件，B 种产品20件； 方案二，生产A 种产品31件，B 种产品19件； 方案三，生产A 种产品32件，B 种产品18件．一元一次不等式（组）应用（作业）1.小美将某服饰店的促销活动内容告诉小明后，小明假设某件商品的定价为x 元，并列出关系式0.3(2100) 1 000x -<，则下列哪个选项可能是小美告诉小明的内容？（ ）A ．买两件相同价格的商品可减100元，再打3折，最后不到1 000元！B ．买两件相同价格的商品可减100元，再打7折，最后不到1 000元！C ．买两件相同价格的商品可打3折，再减100元，最后不到1 000元！D ．买两件相同价格的商品可打7折，再减100元，最后不到1 000元！ 2.把一些笔记本分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本．则共有学生（ ）A ．4人B ．5人C ．6人D ．5人或6人 3.若一元一次不等式组9551x x x m +<+⎧⎨>+⎩的解集是1x >，则m 的取值范围是_______________．4.若关于x 的一元一次不等式组4132x xx m+⎧>+⎪⎨⎪>⎩有解，则m 的取值范围是_______________．5.若关于x 的一元一次不等式组2113x x a-⎧>⎪⎨⎪<⎩无解，则化简32a a -+-的结果为_________________．6.若关于x 的一元一次不等式组0321x a x ->⎧⎨->⎩的整数解共有4个，则a 的取值范围是___________．7.“3·12”植树节，市团委组织部分中学的团员去郊区植树．某校八年级（3）班团支部领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，最后一人有树植，但不足3棵．则这批树苗共有___________棵．8.解下列不等式组：（1）201211233x x x -⎧⎪--⎨-<⎪⎩≤； （2）3(2)41213x x x x --⎧⎪+⎨>-⎪⎩≥；（3）331213(1)8x x x x -⎧++⎪⎨⎪--<-⎩≥；（4）311224(1)x x x +⎧-⎪⎨⎪->+⎩≥．9.某工厂现有甲种原料400千克，乙种原料450千克，计划利用这两种原料生产A ，B 两种产品共60件．已知生产一件A 种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料5千克；生产一件B 种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克．则有哪几种生产方案？请你设计出来．10.某校组织学生到外地进行社会实践活动，共有680名学生参加，并携带300件行李，学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共20辆．经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．则如何安排甲、乙两种汽车，可一次性地将学生和行李全部运走？请你设计方案．【参考答案】1．A2．C3．0m ≤4．2m <5．25a -+6．43a -<-≤7．1218．（1）2x ≥；（2）1x ≤；（3）21x -<≤；（4）无解．9．共有3种生产方案．方案一，生产A 种产品30件，B 种产品30件； 方案二，生产A 种产品31件，B 种产品29件； 方案三，生产A 种产品32件，B 种产品28件．10．共有3种方案．方案一，安排甲型汽车8辆，乙型汽车12辆； 方案二，安排甲型汽车9辆，乙型汽车11辆； 方案三，安排甲型汽车10辆，乙型汽车10辆．。
(完整版)不等式基本概念讲义
第五章不等式一、不等式的定义：1、一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，常见的不等号有“〉”“<”“≤”“≥”及“≠”五种.2、不等号所表示的意义特征3、常见的符号表示:（1）a是正数表示为a>0，a是负数表示为a〈0，（2）a是非负数表示为a≥0，a是非正数表示为a≤0,(3）a，b同号表示为ab〉0，a，b是异号表示为ab〈0。
例1、在下列各式中，是不等式的有__________①—3x〉0; ②4x+3y〉0；③x=4；④a+b+c；⑤x+y=7；⑥1〉8；⑦2≠2提示：判断一个式子是不是不等式从形式上看，只要这个式子是用不等号连接的就是不等式（不管对错）例2、数学表达式中：①a2≥0;②5p—6q〈0;③x—6=0;④7x+7y-1>9；⑤x≠3；⑥800,是不等式的有_____________二、不等式的解与解集1、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解(不等式的解是一个具体的数值）2、不等式的解集:一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.（不等式的解集是一个集合,一个范围，包含不等式的每一个解）3、解不等式:求不等式解集的过程叫做解不等式。
例1、判断下列说法是否正确，并说明理由（1）x=3是不等式3x≥9的解集（）（2）不等式3x≥9的解为3（）（3）x=3是不等式3x≥9的一个解( ）（4）x≥3是不等式3x≥9的解（）（5）不等式3x≥9的解集是x≥3（ )三、不等式解集的表示方法（1）一般形式:用x〉a,或x<a或x≥a或x≤a的形式表示出来的形式。
（2）数轴表示法（最容易理解的方法）:不等式的解集表示的是未知数的取值范围，所以不等式的解可以表示在数轴上。
注意！！！用数轴表示不等式的解集是首先要“两定”：①定边界点（注意是实心还是空心）有等号需要的是实心圆点,没有等号用空心圆圈；②定方向：大于号开口向右，小于号开口向左。
高校自主招生数学讲义 等式与不等式
第一讲.方程与多项式知识要求1.因式分解方法2.待定系数方法 3．对称参引方法 4.构造方法例题分析1. 解不等式(1)(2)(3)(4)24.x x x x ----≥ （2009年南京大学）2. 3.= （2005年复旦大学保送生试题） 相关习题（1）.已知1x y +=，n 为正整数，求证：22122.nn n xy -+≥ （2009年清华大学）（2）已知a 、b 为非负实数，44M a b =+，且1a b +=，求M 的最值.（2006年清华大学）3.设实数9k ≥，解方程32229270.x kx k x k ++++= （2006年复旦大学保送生） 相关习题（1）.已知方程3210x px qx +++=有3个实根，0p >且0q >.求证：9.pq ≥（2008年南开大学）（2）.设,,a b c ∈R ，使得方程320x ax bx c +++=有3个实根. 证明：如果20a b c -≤++≤，则至少存在一个根在区间[0,2]中.（2013年清华大学夏令营）4.已知方程320x ax bx c +++=的三个根分别为a ，b ，c ，并且,a ，b ，c 是不全为零的有理数，求a ，b ，c 的值. （2005年上海交通大学） 相关习题（1）.是否存在实数x ，使得tan x 和cot x + （2009年北京大学）（2是一个无理数. （2008年复旦大学面试） 5.设实数1a 、2a 、3a 、1b 、2b 、3b 满足123123122331122331123123,,min{,,}min{,,}.a a ab b b a a a a a a b b b b b b a a a b b b ++=++⎧⎪++=++⎨⎪≤⎩求证：123123max{,,}max{,,}.a a a b b b ≤ （2008年北京大学） 6.（1）证明：多项式3()31p x x x =-+有三个实根a b c <<；（2）证明：若x t =为()p x 的一个根，则22x t =-也是()p x 的一个根； （3）定义映射:{,,}{,,}f a b c a b c →，22tt -，求()f a ，()f b ，()f c 的值.（2013年清华大学金秋营）7.给出一个整系数多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，使()0f x =有一个根为（2009年清华大学）相关习题（1）.已知x =42()f x x bx c =++的一个零点，,b c 为整数，则b c +的值是多少？ （2013年清华大学夏令营） （2）.和1n 次方程的最高次数n 的最小值为（ ）A.2B.3C.5D.6 （2013年北约）第二讲．数学逻辑知识要求1.反证法2.数形结合方法3.不动点问题例题分析1. 是否存在四个正实数，它们两两乘积分别为2，3，5，6，10，16.（2011年北约十三校联考）相关习题（1）.是否存在π02x <<，使得sin x ，cos x ，tan x cot x 的某种排列为等差数列？ （2010年北约）（2）是否存在两两不同的实数,,a b c 使平面直角坐标系中的三条直线y ax b =+，y bx c =+，y cx a =+共点. （2013年北京大学保送生）2.已知由正整数组成的无穷等差数列中有3项：13，25，41，求证：2009为其中一项.（2009年北京大学）相关习题（1）. 已知12310,,,,a a a a 为大于零的正实数，且1231030a a a a ++++=，1231021a a a a <.求证：12310,,,,a a a a 这10个数是必有一个数在(0,1)之间.（2012年北京大学保送生）（2）已知正数数列12,,,n a a a .对于大于的整数n ，有1232n a a a n +++=，1212n n a a a +=，试证：12,,,n a a a 中至少有一个小于1. （2000年上海交通大学）（3）已知i a （1,2,,2013i =）为2013个实数，满足：1220130a a a +++=，且122320131|2||2||2|a a a a a a -=-==-，求证：1220130.a a a ==== （2013年北约）3.至多能取多少个两两不同的正整数，使得其中任意三个数的和为质数？证明你的结论.（2013年北约）相关习题（1）在1、2、3、…、2012中任取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，则所取的这组数中最多有多少个数？ （2012年北约） （2）写出由3个质数组成的公差为8的等差数列. （2009年清华大学） 4. 有限多条抛物线（线和线的内部）能够覆盖整个平面吗？证明你的结论.（2009年清华大学特色测试）5. 设p ，q 为实数，函数2()f x x px q =++，如果(())0f f x =只有一个实数根， 求证：p ，0.q ≥ （2011年北京大学保送生试题） 相关习题（1）. 已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且()f x x =没有实数根.那么(())f f x x =是否有实数根？并证明你的结论. （2008年上海交通大学冬令营） （2）.证明：若(())f f x 有唯一的不动点，则()f x 也有唯一的不动点.（2009年上海交通大学）6.已知方程()f x x =的根是函数()f x 的不动点，令().bx cf x x a+=+ （1）若12，3为函数()f x 的不动点，求a ，b ，c 的值； （2）在（1）的条件下，若1(1)3f =，求()f x 的解析式. （2003年同济大学）相关习题（1） .已知a 、b 、c 、d 为非负实数，()ax bf x cx d+=+()x ∈R ，且(19)19f =，(97)97f =，若dx c≠-，对任意的x 均有(())f f x x =，试求出()f x 值域以外的唯一数. （2013年清华大学夏令营）7.求证：一个数列12321,,,,n a a a a +中各数相等的充分必要条件是p ：其中任意2n 个元素中n 个元素之和等于另外n 个元素之和. （2009年清华大学）第三讲．集合与函数知识要求1.注重理解集合的基础知识2.掌握柯西方法及柯西方程的转化3.注意函数性质拓展与深化，注意导数工具的作用4.了解极限的概念典型例题1.已知集合225{(,)(1)(2)}4A x y x y =-+-≤，集合{(,)|1|2|2|}B x y x y a =-+-≤， 且A B ⊆，求实数a 的取值范围. （2008年浙江大学） 相关习题（1）已知集合{(,)|(1)(1)}M x y x x y y =-≤-，22{(,)|}N x y x y k =+≤.若M N ⊂，则实数k 的最小值为 （2009年上海交通大学）2. 设{|()}M x f x x ==，{|(())}.N x f f x x == （1）求证：.M N ⊆（2）当()f x 是一个R 上增函数时，是否有?M N =如果有，请证明.（2010年浙江大学）3. 求有限集合12{,,,}n A a a a =，其中12,,,n a a a 为互不相等的正整数，使得1212.n n a a a a a a =++ （2009年上海交通大学、2006年清华大学）相关习题（1）求所有满足tan tan tan [tan ][tan ][tan ]A B C A B C ++≤++的非直角ABC ∆. 这里[]x 表示不大于x 的最大整数（例如[ 1.62]-=-，[1.6]1=）.（2009年南京大学保送生）（2）方程1111x y z++=的所有正整数解(,,)x y z = （2012年清华大学保送生）（2003年上海交通大学冬令营）4. 对于集合2M R ⊆，称M 为开集，当且仅当0P M ∀∈，0r ∃>，使得20{||}}.P R PP r M ∈<⊆判断集合{(,)4250}x y x y +->与{(,)0,0}x y x y ≥>是否为开集，并证明你的结论. （2007年清华大学） 相关习题（1）. 称{1,2,39}，，的某些非空子集为奇子集，如果其中所有数的和为奇数；则共有多少个奇子集？ （2013年北京大学保送生） 5. 已知当1α>时，函数y x α=（0α>）的图象如图所示.（1）设1α>，试用y x α=（0α>）说明，当10x >，20x >时，不等式1212()22x x x x ααα++≤ ○1 成立. （2）利用（1）中不等式证明：若0s t <<，则对任意的正数1x 、2x ，不等式111212()()22s s t t s tx x x x ++≤ ○2 成立. （3）当0x >、0y >且332216x y +=时，求22x y +的最小值.（2010年华中师范大学）6. （柯西方程）设()f x 在R 上单调，对12,x x R ∈有1212()()()f x x f x f x +=+ ○1 则()(1).f x f x =⋅ 相关习题（1）. 若函数()f x 满足()()()()f x y f x f y xy x y +=+++且(0)1f '=，求函数()f x 的解析式. （2000年上海交通大学）（2） 若对每一个实数x ，y ，函数()f x 满足()()()1f x y f x f y xy +=+++，若(2)2f -=-，试求满足()f a a =的所有整数.a （2013年清华大学夏令营）7.已知函数()f x 满足：对实数a ，b 有()()()f ab af b bf a =+，且|()|1f x ≤， 求证：()0f x ≡.（可用以下结论：若lim ()0x g x →+∞=，|()|f x M ≤，M 为一常数，那么lim ()()0x f x g x →+∞=）（2006年清华大学）相关习题（1）. 设()f x 对一切实数x ，y 满足：222()()()()f x y x f y y f x x y =+-，且2|()| 1.f x x -≤求函数().f x （2007年南京大学）（2）求所有的**:f →N N ，满足22()()()()xf y yf x x y f x y +=++对所有的正整数x ，y 都成立. （2013年中国科技大学夏令营）8.方程e 4xx =-，ln 4x x =-的解分别为1x ，2x ，则12x x +=（ ）A.2B.4C.6D.8 （2013年复旦大学） 相关习题（1）实数a ，b 满足lg 10a a +=，1010bb +=，则a b +=_________（2009年上海交通大学）9.（1）已知函数()f x 不恒为0，且对,x y ∀∈R ，有()()2()()f x y f x y f x f y ++-=，若存在常数T ，使得()0.f T =求证：4T 是()f x 的一个周期，且1() 1.f x -≤≤（2013年华东师范大学）相关习题（1）已知函数()f x 满足1(1)4f =，4()()()()(,)f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则(2010)f ＝ （2010年高考重庆卷）（2）定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（,x y R ∈），且(1)2f =，则(3)f -=（ ）A.2B.3C.6D.9 （2008年陕西卷） 10. 已知函数()f x 在[0,)+∞上可导，且满足(0)0f =，|()()| 1.f x f x '-≤证明：当[0,)x ∈+∞时，|()|e 1.xf x ≤- (2012山东大学) 11. （1）设函数()|lg |,,f x x a b =为实数，且0a b <<，若,a b 满足：()()2()2a bf a f b f +==，试写出a 与b 的关系，并证明在这一类关系中存在b 满足3 4.b << （2002上海交通大学）相关习题（1）已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若a 、b 、c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ）A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)（2010年全国课标卷）（2）已知函数()|lg |.f x x =若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是（ ）A.)+∞B.)+∞C.(3,)+∞D.[3,)+∞ （2010年全国I 卷） 12.是否存在这样的实数a ，使得()sin f x ax x =+存在两切线相互垂直.（2011年北京大学保送生）13.求证：方程2270x x --=只有5x =一个根. （2008年南开大学） 14. 设0x >，（1）求证：21e 12xx x >++； （2）若21e 1e 2xyx x =++，求证：0.y x << （2013年卓越） 15.已知()(1)e 1.xf x x =-- （1）求证：当0x >时，()0f x <； （2）若数列{}n x 满足1e1n x n x +=-，11x =，求证：数列{}n x 单调递减，且1.2n x > （2013年华约） 相关习题（1）.已知e 1()ln x f x x-=，11a =，1()n n a f a +=.（i ）求证：e e 10xxx -+≥恒成立； （ii ）试求()f x 的单调区间；（iii ）求证：{}n a 为递减数列，且0n a >恒成立. （2012年清华大学保送生）第四讲．三角函数知识要求1.三角公式的灵活运用2.了解布洛卡点3.合理运用平面几何知识解决三角形问题典型例题1. 已知sin(20)cos(10)cos(10)x x x +=++-，求ta n x 的值. （2010年浙江大学） 相关习题（1）. 求值：444sin 10sin 50sin 70.++ （2010年清华大学）（2）. 比较1)sin cos 22x y x y -+与1的大小. （2013年清华大学夏令营） 2.. 在单位圆221x y +=上有三点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y 满足：1230x x x ++=，1230.y y y ++=求证：2222221231233.2x x x y y y ++=++=（2011年北京大学保送生）3. 已知方程sin4sin2sin sin3x x x x a -=在[0,)π有唯一解，求实数a 的值.（2012年北约）相关习题（1）方程2(sin cos )30x x ++=是否有解？若有解，求出所有的解；若无解，说明理由.（2009年清华大学）4.在ABC ∆内存在一点O ，满足BAO CAO CBO ACO ∠=∠=∠=∠，求证：ABC ∆的三边构成等比数列. （2011年北京大学保送生）5.设函数()|sin ||cos |f x x x =+，讨论函数()f x 的性质（有界性、奇偶性、单调性、周期性等），并求出极值. （2007年上海交通大学） 相关习题（1）. .函数()2(sin 2sin3f x x x x =-，且[0,2].x π∈ （i ）求函数()f x 的最大值与最小值；（ii ）求方程()f x =. （2012年清华大学保送生试题）6. 求证：边长为1 （2008年北约）相关习题（1）. 设,,A B C 为边长为1的三角形三边长上各一点，求222AB BC CA ++的最小值.（2013年北约联考）（2）一个圆内接四边形的四个边长依次为1，2，3，4，求这个圆的半径.（2009年北京大学）7.已知ABC ∆不是直角三角形.(1)证明:tan tan tan tan tan tan .A B C A B C ++=⋅⋅(2)若tan tan 1tan B CC A+-=，且sin 2A 、sin 2B 、sin 2C 的倒数成等差数列，求cos2A C-的值. (2011年华约七校联考) 相关习题63 .在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 已知()(sin sin )()sin .a c A C a b B -+=- （1）求角C 的大小；（2）求sin sin A B 的最大值. （2013年卓越） 8. 设,,,a b A B 均为已知实数，对任意x ∈R ，cos2sin2cos sin 1A x B x a x b x +++≤恒成立，求证：222a b +≤且221.A B +≤ （第19届IMO ）（2009年哈尔滨工业大学） 相关习题（1）.已知对任意x 均有cos cos21a x b x +≥-恒成立，求a b ω=+的最大值.（2009年北京大学）第五讲．等式与不等式知识要求1.研究等式成立的条件，并进行求值；2.掌握不等式的解法3.掌握几个重要的不等式，如平均值不等式、柯西不等式、排序不等式、琴生不等式等典型例题1..已知1abc =-，221a bc c+=，222a b b c c a t ++=，求555ab bc ca ++的值. （2013年清华大学保送生试题）相关习题（1）已知225x y =+，225y x =+，求32232x x y y -+的值. （2013年北约）2. 若α、β、π(0,)2γ∈，且222cos cos cos 1.αβγ++=求证：tan tan tan αβγ⋅⋅≥ （2013年中国科技大学夏令营） 相关习题（1）有小于1的正数：12,,,n x x x 满足12 1.n x x x +++=求证：33311221114.n nx x x x x x +++>--- （2010年浙江大学） 3. 求证：对任意的,x y R ∈，不等式223(1)x xy y x y ++≥+-总成立.（2009年中国科技大学）4.. 设12342x x x x ≥≥≥≥，且2341.x x x x ++≥求证：212341234()4.x x x x x x x x +++≤ （2013年清华大学夏令营）相关习题（1）. 已知*n ∈N ， 2.n ≥求证：1(1) 3.nn+< （2013年中国科技大学夏令营）5. （1）求证：对于任何实数a ，b ，三个数||a b +、||a b -、|1|a -中至少有一个不小于1.2（2004年同济大学）（2）若对一切实数x 都有|5||7|x x a -+->，则实数a 的取值范围是（ ） A.12a < B.7a < C.5a < D.2a < （2008年复旦大学） 相关习题（1）. 如图，一条公路的两侧有六个村庄，要建一个车站，要求到六个村庄的路程之和最小，应该选在哪里最合适？如果在P 的地方增加了一个村庄，并且沿着地图的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？（2010年浙江大学）（2）. 求()|1||21||20111|f x x x x =-+-++-的最小值. （2011年北约）3.. 若正数,,a b c 1a b c ++=.求证：1111000()()().27a b c a b c ++++≥（2008年南京大学） 相关习题（1）. 设n 为正整数，求证：111(1)(1).1nn nn ++<++ （2008年山东大学）（2）设,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：222111()()()a b c a b c+++++的最小值.（2008年南开大学）4. 设P 为ABC ∆内一点，它到三边,,BC CA AB 的距离分别为123,,,d d d S 为ABC ∆的面积，求证：2123().2a b c a b c d d d S++++≥ （2009年南京大学）（1）.在实数范围内求满足方程组2229,4862439.x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩的实数,,x y z 的值.（2008年同济大学） 1A 2A 3A 4A 5A 6A BCD EFP（2）.设实数,,a b c 222323.2a b c ++=求证：3927 1.a b c ---++>（2008年西安交通大学）（3）求函数1()2f x x =(06)x <<的最大值. （2013年中国科技大学夏令营）5. 已知,,0x y z >，3x y z ++=，求证：3232321.x y zx y z y z x z x y++≤++++++ （2013年北京大学“百年数学” 金秋科学体验营）相关习题（1）.已知,,A B C 是锐角三角形ABC ∆的三个内角，求tan tan tan A B C ++的最小值.（2010年北京科技大学）（2）. 已知A 、B 、π(0,)2C ∈，且222sin sin sin 1A B C ++=.求A B C ++的最大值.（2013年清华大学夏令营）6.求实数k 的最大值，使得对于任意正实数x ，y ，z ，均有3333|()()()|.x y z xyz k x y y z z x ++-≥--- （2013年北京大学单独招生）7. 求证：在ABC ∆中，3cos cos cos .2A B C ++≤ （2013年中国科技大学夏令营）。
小学教育ppt课件教案理解等式与不等式的概念与运用
移项法
将不等式中的某些项移到另一 边，使不等式简化。
系数化为1法
通过除以某个系数，将不等式 中的系数化为1，使不等式简 化。
换元法
通过引入新的变量替换原不等 式中的某些部分，使不等式简 化。
04
CATALOGUE
等式与不等式在生活中的应用
价格计算中的等式应用
购物总价计算
在购买商品时，常常需要计算商品的总价。通过将商品的单 价与数量相乘，可以得到商品的总价，即单价 × 数量 = 总价 。
பைடு நூலகம்VS
不平均分配
在某些情况下，分配可能是不平均的。这 时可以使用不等式来表达不同人获得的数 量之间的差异。例如，如果有 n 个人和 m 个物品，其中某些人可能获得更多的 物品，而另一些人则获得较少的物品，即 某些人获得的物品数量 > 或 < 平均数量 。
05
CATALOGUE
典型例题解析与练习
典型例题解析
练习题2
给出实际问题，要求学生 用等式或不等式表示问题 中的数量关系，并解释思 路。
练习题3
给出等式或不等式，要求 学生进行化简或求解，并 写出详细步骤。
错题分析及纠正方法
错题类型1
对等式与不等式的概念理解不清，导致判断错误。
纠正方法1
重新讲解等式与不等式的概念，强调其本质区别，并通 过实例加深理解。
等式与不等式的运用
通过等式与不等式可以解决生 活中的实际问题，如比较大小
、求解未知数等。
学生自我评价报告
学生对等式与不等式概念的理解程度
01
通过课堂表现和作业完成情况，评估学生对等式与不等式概念
的理解程度。
学生对等式与不等式性质的掌握情况
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第五讲．等式与不等式
知识要求
1.研究等式成立的条件，并进行求值；
2.掌握不等式的解法
3.掌握几个重要的不等式，如平均值不等式、柯西不等式、排序不等式、琴生不等式等
典型例题
1..已知1abc =-，
221a b
c c
+=，222a b b c c a t ++=，求555ab bc ca ++的值. （2013年清华大学保送生试题）
相关习题
（1）已知225x y =+，225y x =+，求32232x x y y -+的值. （2013年北约）
2. 若α、β、π(0,)2
γ∈，且222
cos cos cos 1.αβγ++=
求证：tan tan tan αβγ⋅⋅≥ （2013年中国科技大学夏令营） 相关习题
（1）有小于1的正数：12,,,n x x x 满足12 1.n x x x +++=
求证：
33
3
1122
11
1
4.n n
x x x x x x +++
>--- （2010年浙江大学） 3. 求证：对任意的,x y R ∈，不等式22
3(1)x xy y x y ++≥+-总成立.
（2009年中国科技大学）
4.. 设12342x x x x ≥≥≥≥，且2341.x x x x ++≥
求证：2
12341234()4.x x x x x x x x +++≤ （2013年清华大学夏令营） 相关习题
（1）. 已知*
n ∈N ， 2.n ≥求证：1
(1) 3.n
n
+< （2013年中国科技大学夏令营）
5. （1）求证：对于任何实数a ，b ，三个数||a b +、||a b -、|1|a -中至少有一个不小
于1.2
（2004年同济大学）
（2）若对一切实数x 都有|5||7|x x a -+->，则实数a 的取值范围是（ ） A.12a < B.7a < C.5a < D.2a < （2008年复旦大学） 相关习题
（1）. 如图，一条公路的两侧有六个村庄，要建一个车站，要求到六个村庄的路程之和最小，应该选在哪里最合适？如果在P 的地方增加了一个村庄，并且沿着地图的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？
（2010年浙江大学）
（2）. 求()|1||21||20111|f x x x x =-+-++-的最小值. （2011年北约）
3.. 若正数,,a b c 1a b c ++=.求证：1111000
()()().27
a b c a b c ++++≥（2008年南京大学） 相关习题
（1）. 设n 为正整数，求证：1
1
1(1)(1).1
n
n n
n ++<+
+ （2008年山东大学） （2）设,,a b c R +
∈，且1a b c ++=，求证：222111()()()a b c a b c
+++++的最小值.
（2008年南开大学）
4. 设P 为ABC ∆内一点，它到三边,,BC CA AB 的距离分别为123,,,d d d S 为ABC ∆的面
积，求证：2
123().2a b c a b c d d d S
++++≥ （2009年南京大学）
（1）.在实数范围内求满足方程组2229
,
4
862439.
x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩的实数,,x y z 的值.（2008年同济大学） 1
A 2A 3
A 4
A 5
A 6
A B
C
D E
F
P
（2）.设实数,,a b c 2
2
2
3
23.2
a b c ++=求证：3927 1.a b c ---++>（2008年西安交通大学）
（3）求函数1
()2
f x x =
(06)x <<的最大值. （2013年中国科技大学夏令营）
5. 已知,,0x y z >，3x y z ++=，求证：
323232
1.x y z
x y z y z x z x y
++≤++++++ （2013年北京大学“百年数学” 金秋科学体验营）
相关习题
（1）.已知,,A B C 是锐角三角形ABC ∆的三个内角，求tan tan tan A B C ++的最小值.
（2010年北京科技大学）
（2）. 已知A 、B 、π(0,)2
C ∈，且222
sin sin sin 1A B C ++=.求A B C ++的最大值.
（2013年清华大学夏令营）
6.求实数k 的最大值，使得对于任意正实数x ，y ，z ，均有
3333|()()()|.x y z xyz k x y y z z x ++-≥--- （2013年北京大学单独招生）
7. 求证：在ABC ∆中，3
cos cos cos .2
A B C ++≤ （2013年中国科技大学夏令营）。