弧、弦、圆心角、圆周角综合训练

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苏科版数学九年级上册_《弧、弦、圆心角__、圆周角》练习题

<弧、弦、圆心角、圆周角>练习一、选择题1．同圆中两弦长分别为x 1和x 2它们所对的圆心角相等，那么（）A ．x 1 ＞x 2B ．x 1 ＜x 2 C. x 1 ＝x 2 D ．不能确定2．下列说法正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．在⊙O 中同弦所对的圆周角（）A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．以上都不对4．如图所示，如果的⊙O 半径为2弦AB= AB 的距离OE 为（）A ． 1 B． C ．12D5．如图所示，⊙O 的半径为5，弧AB 所对的圆心角为120°，则弦AB 的长为（）A ．BC ． 8D ．6．如图所示，正方形ABCD 内接于⊙O 中，P 是弧AD 上任意一点，则∠ABP+∠DCP 等于（）A ．90°B 。

45 °C 。

60°D 。

30°第 6 题图第 5 题图第 4 题图二、填空题 7．一条弦恰好等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角为________8．如图所示，已知AB 、CD 是⊙O 的两条直径，弦DE ∥AB ，∠DOE=70°则∠BOD=___________9．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=25°，以C 为圆心，CA 为半径的圆交AB 于点D ，则∠ACD=___________第 9 题图第 8 题图B B10．D 、C 是以AB 为直径的半圆弧上两点，若弧BC 所对的圆周角为25°弧AD 所对的圆周角为35°，则弧DC 所对的圆周角为_____度11．如图所示，在⊙O 中，A 、B 、C 三点在圆上，且∠CBD=60，那么∠AOC=_______12．如图所示，CD 是圆的直径，O 是圆心，E 是圆上一点且∠EOD=45°，A 是DC 延长线上一点，AE 交圆于B ，如果AB=OC ，则∠EAD= ____________第12题图第11题图D三、解答题 13.已知如图所示，OA 、OB 、OC 是⊙O 的三条半径，弧AC 和弧BC 相等，M 、N 分别是OA 、OB 的中点。

弦、弧、圆心角、圆周角习题课

9.BC为 9.BC为⊙O的直径,AD⊥BC于点D,P是弧AC上的一动点, 的直径,AD⊥BC于点于点D,P是弧上的一动点是弧AC上的一动点, 连结PB分别交、AC于点分别交AD 于点E 连结PB分别交AD、AC于点E，F。当弧PA=弧AB时求证：AE=BE；（1）当弧PA=弧AB时，求证：AE=BE；当点P在什么位置时，AF=EF？证明你的结论。（2）当点P在什么位置时，AF=EF？证明你的结论。
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6.如图： 6.如图：我市路桥公司准备新建一座石如图拱桥.桥拱是圆弧形，它的跨度（拱桥.桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长） 40m，拱高（对的弦的长）为40m，拱高（弧的中点到弦的距离） 8m.求桥拱的半径求桥拱的半径. 到弦的距离）为8m.求桥拱的半径.
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7.如图所示， 7.如图所示，残破的轮片上弓如图所示形的弦AB=50cm, CD=5cm,求原 AB=50cm,高形的弦AB=50cm,高CD=5cm,求原来轮片的直径是多少？来轮片的直径是多少？
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2.如图，的中点， 2.如图，D是如图的中点，与相等的角有（ ∠ABD 相等的角有（ B ） A 、7 个 B 、3 个 C 、2 个 D 、1 个
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3.如图，AB是 3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于P. 如图的直径， CD⊥AB于已知CD=8cm CD=8cm，的半径. 已知CD=8cm，∠B=300.求⊙O的半径.
6.在足球比赛场上,甲、乙两名对员互相配合向对方 6.在足球比赛场上在足球比赛场上, 球门MN进攻当甲带球攻到球门前处时, 进攻, 球门MN进攻,当甲带球攻到球门前处时,乙已跟随冲到B 这里甲是选择自己攻门好, 冲到B点.这里甲是选择自己攻门好,还是迅速将球传给乙,让乙射门? 传给乙,让乙射门?

人教版数学九年级上学期课时练习-弧、弦、圆心角(基础篇)(人教版)

专题24.8 弧、弦、圆心角（基础篇）（专项练习）一、单选题类型一、圆心角概念1．如图，MN为⊙O的弦，⊙MON＝76°，则⊙OMN的度数为（）A．38°B．52°C．76°D．104°2．如图，在O中，点B是AC上一点，若100∠的度数是（）∠=︒，则ABCAOCA．80°B．100°C．120°D．130°3．如图，A、B、C是O上的三个点，50∠=︒，则AB∠=︒，55AOB∠的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．55°类型二、圆心角与它所对弧的度数4．如图，已知⊙O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是⊙AOB、⊙COD，若⊙AOB 与⊙COD互补，弦CD=4，则弦AB的长为（）A．B．C．D．5．如图，已知50ABC∠平分线BM上一点，当点P是ABC的外心∠=︒，点P是ABC∠=（）时，APCA．95°B．100°C．110°D．115°6．如图，四个边长为2的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O 的半径为2，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则⊙APB等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°类型三、用弧、弦、圆心角关系求解7．如图，点A，B，C，D在O上，144∠=︒，点D是AC的中点，则B的度AOC数是（）A．36︒B．40︒C．46︒D．72︒8．如图，点A、B、C、D在⊙O上，⊙AOC=140°，点B是AC的中点，则⊙D的度数是（）A ．70°B ．60°C ．40°D ．35°9．如图，BD 是O 的直径，弦AC 交BD 于点G ．连接OC ，若126COD ∠=︒，AB AD =，则AGB ∠的度数为（）A ．98°B ．103°C ．108°D ．113°类型四、用弧、弦、圆心角关系证明10．已知1O ，2O ，3O 是等圆，ABP ∆内接于1O ，点C ，E 分别在2O ，3O 上．如图，⊙以C 为圆心，AP 长为半径作弧交2O 于点D ，连接CD ； ⊙以E 为圆心，BP 长为半径作弧交3O 于点F ，连接EF ；下面有四个结论： ⊙CD EF AB += ⊙222CD EF AB += ⊙231CO D EO F AO B ∠+∠=∠ ⊙23CDO EFO P ∠+∠=∠所有正确结论的序号是（）A．⊙⊙B．⊙⊙⊙C．⊙⊙D．⊙⊙⊙11．如图, AB是⊙O的直径, CD是AO的垂直平分线, EF是OB的垂直平分线, 则下列结论正确的是()A．AD=DF=FB B．AD DF>C．DF FB<D．AD FB DF=≠12．在锐角ABC中，60∠=︒，⊙BAC、⊙ABC的角平分线AD、BE交于点M，则ACB下列结论中错误的是（）A．120=AMB∠=︒B．ME MDC．AE BD AB+=D．点M关于AC的对称点一定在ABC的外接圆上二、填空题类型一、圆心角概念13．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，⊙A＝18°，AE交⊙O于点B，且AB＝OD．则⊙EOD＝______14．点A，B，S在圆上，若弦AB ASB∠的度数是____________．15．如图，A，B，C是⊙O上三点，⊙AOC=⊙B，则⊙B=_______度．类型二、圆心角与它所对弧的度数16．如图，在两个同心圆中，AB 为60°，则CD 的度数为__________．17．如图，在⊙O 中，点B 是AC 的中点，点D 在BAC 上，连接OA 、OB 、BD 、CD ．若⊙AOB=50°，则⊙BDC 的大小为___________．18．如图，在ABC 中，70,55A B ∠=︒∠=︒，以BC 为直径作O ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，则CF 弧的度数为________°．类型三、用弧、弦、圆心角关系求解19．为培养学生动手实践能力，学校七年级生物兴趣小组在项目化学习“制作微型生态圈”过程中，设置了一个圆形展厅．如图，在其圆形边缘上的点P 处安装了一台监视器，它的监控角度是50°，为了观察到展厅的每个位置，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器________台．20．如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，先将弧BC 沿BC 翻折交AB 于点D ，再将弧BD 沿AB 翻折交BC 于点E ，若BE DE =，设ABC α∠=，则α为_______°．21．如图，在O 中，弦AB 、CD 所对的圆心角分别是AOB ∠、COD ∠，若AOB ∠和COD∠互补，且2AB =，4CD =，则O 的半径是______．类型四、用弧、弦、圆心角关系证明22．如图，⊙O 的半径为四边形ABCD 内接于⊙O ，AC ⊙BD ，垂足为E ，且BC =2AD ，则AD +BC 的值为_______．23．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，⊙BAC =42°，OD ⊙BC 于点E ，则⊙BDE 为_____°．24．在同一个圆中, 当圆心角不超过180°时, 圆心角越大, 所对的弧______;所对的弦__________, 所对弦的弦心距____________．三、解答题25．如图，AB是圆O的直径，C是BA延长线上一点，点D在圆O上，且CD OA=，CD 的延长线交圆O于点E，若20∠=，求∠BOE的度数.C=，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于26．如图，在ABC中，AC BCDF BC，交⊙O于点F，求证：点E，过点D作//（1）四边形DBCF是平行四边形（2）AF EF=27．如图，四边形ABCD内接于120，，，求证：ABC是等边三O AB AC ADC=∠=︒角形．参考答案1．B【分析】根据圆的基本性质，可得OM ON = ，从而得到OMN ONM ∠=∠ ，再由三角形的内角和定理，即可求解．解：⊙MN 为⊙O 的弦，⊙OM ON = ， ⊙OMN ONM ∠=∠ ， ⊙⊙MON ＝76°， ⊙()1180522OMN MON ∠=︒-∠=︒ ．故选：B【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，熟练掌握同圆（或等圆）的半径是解题的关键．2．D 【分析】在优弧AC 上取点D ，连接AD 、CD ，由⊙AOC= 100° 求出⊙ADC=12⊙AOC ，根据四边形ABCD 是圆内接四边形，得到⊙ADC+⊙ABC= 180° ，即可求出⊙ABC 的度数．解：在优弧AC 上取点D ，连接AD 、CD ，⊙⊙AOC= 100° ， ⊙⊙ADC=12⊙AOC=50° ， ⊙四边形ABCD 是圆内接四边形， ⊙⊙ADC+⊙ABC= 180° ， ⊙⊙ABC= 180° -50° =130° ，故选：D ．【点拨】此题考查圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．3．B【分析】首先根据⊙B的度数求得⊙BOC的度数，然后求得⊙AOC的度数，从而求得等腰三角形的底角即可．解：⊙OB=OC，⊙B=55°，⊙⊙B=⊙OCB，⊙⊙BOC=180°-2⊙B=70°，⊙⊙AOB=50°，⊙⊙AOC=⊙AOB+⊙BOC=70°+50°=120°，⊙OA=OC，⊙⊙A=⊙OCA=1801202︒-︒=30°，故选：B．【点拨】考查了圆周角定理及等腰三角形的性质，解题的关键是求得⊙AOC的度数，难度不大．4．C【分析】如图，延长AO交⊙O于T，连接BT．证明CD=BT，⊙ABT=90°，再利用勾股定理求解即可．解：如图，延长AO交⊙O于T，连接BT．⊙⊙AOB+⊙BOT=180°，⊙AOB+⊙COD=180°，⊙⊙COD=⊙BOT，⊙CD BT=，⊙CD=BT=4，⊙AT 是直径，AT=6，⊙⊙ABT=90°，=故选：C ．【点拨】本题考查圆周角定理，勾股定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．5．B【分析】根据圆周角，圆心角的性质解答即可．解：如图示，⊙点P 是ABC 的外心，⊙A ，B ，C 三点共圆，⊙2250100APC ABC ，故选：B ．【点拨】本题考查了圆周角，圆心角的性质，熟悉相关性质是解题的关键．6．B【分析】根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求解．解：12APB AOB ∠=∠ 90190452AOB APB ︒︒︒∠=∴∠=⨯= 故选：B【点拨】本题考查了圆周角和圆心角的有关知识．根据正方形的性质得到圆心角的度数是解题的关键．7．A【分析】连接OD，根据点D是中点求出⊙COD72=︒，再利用圆周角定理得出结果．解：连接OD，⊙D是AC的中点，⊙⊙COD=111447222AOC∠=⨯︒=︒，⊙⊙B=1362COD∠=︒，故选择A．【点拨】本题考查圆周角定理以及弧和圆心角关系，注意通过弧进行角的转化是解决问题的关键．8．D【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到⊙AOB=12⊙AOC，再根据圆周角定理解答即可．解：连接OB，如图所示，⊙点B是AC的中点，⊙AOC=140°，⊙⊙AOB=12⊙AOC=70°，由圆周角定理得，⊙D =12⊙AOB =35°，故选：D ．【点拨】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．9．C【分析】先求出⊙COB 的度数，由圆周角定理求出⊙BAC 的度数，再根据弧、弦之间的关系求出⊙ABD =45°，即可得到答案．解：⊙⊙COD =126°，⊙⊙COB =54°， ⊙1=272BAC COB =︒∠∠， ⊙BD 是圆O 的直径，⊙⊙BAD =90°，⊙AB AD =，⊙AB =AD ，⊙⊙ABD =⊙ADB =45°，⊙⊙AGB =180°-⊙BAG -⊙ABG =108°，故选C ．【点拨】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，等弧所对的弦相等，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知圆周角定理是解题的关键．10．A【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理以及勾股定理的逆定理即可得到结论．解：由题意得，AP ＝CD ，BP ＝EF ，⊙AP +BP ＞AB ，⊙CD +EF ＞AB ；⊙⊙APB ≠90°，⊙222AP PB AB +≠即222CD EF AB +≠⊙⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3是等圆，⊙AP BP AB+=，⊙CD EF AB+=；⊙⊙CO2D＝⊙AO1P，⊙EO3F＝⊙BO1P，⊙⊙AO1P+⊙BO1P＝⊙AO1P，⊙⊙CO2D+⊙EO3F＝⊙AO1B；⊙⊙CDO2＝⊙APO1，⊙BPO1＝⊙EFO3，⊙⊙P＝⊙APO1+⊙BPO1，⊙⊙CDO2+⊙EFO3＝⊙P，⊙正确结论的序号是⊙⊙，故选：A．【点拨】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理以及勾股定理的逆定理，熟知相关知识是解题的关键．11．A【分析】如图，连接AD，OD，DF，OF，BF，根据垂直平分线的性质易证DF=DF=BF，再根据“在同圆或等圆中，所对的弦相等的两段弧是等弧”即可判断.解：如图，连接AD，OD，DF，OF，BF，⊙CD是AO的垂直平分线, EF是OB的垂直平分线,⊙DF=CE=12AB，AD=OD，OF=BF，⊙DF=DF=BF，则AD=DF=FB.故选A.【点拨】本题主要考查垂直平分线的性质，等弧的判定，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.12．D【分析】利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出⊙MAB+⊙MBA=60°，推出⊙AMB=120°，可判断A，证明C，E，M，D四点共圆，利用圆周角定理可判断B；在AB上取一点T，使得AT=AE，利用全等三角形的性质证明BD=BT，可判断C；无法判断M与⊙ABC互补，可判断D．解：如图，⊙⊙ACB=60°，⊙⊙CAB+⊙CBA=120°，⊙AD，BE分别是⊙CAB，⊙CBA的角平分线，⊙⊙MAB+⊙MBA=12（⊙CAB+⊙CBA）=60°，⊙⊙AMB=180°-（⊙MAB+⊙MBA）=120°，故A符合题意，⊙⊙EMD=⊙AMB=120°，⊙⊙EMD+⊙ECD=180°，⊙C，E，M，D四点共圆，⊙⊙MCE=⊙MCD，⊙ EM DM，⊙EM=DM，故B符合题意，四边形CEMD是O的内接四边形，60,AME ACB BMD在AB上取一点T，使得AT=AE，在⊙AME和⊙AMT中，AE ATMAE MAT AM AM，⊙⊙AME⊙⊙AMT（SAS），⊙⊙AME=⊙AMT=60°，EM=MT，⊙⊙BMD=⊙BMT=60°，MT=MD，在⊙BMD和⊙BMT中，MD MTBMD BMT BM BM，⊙⊙BMD⊙⊙BMT，⊙BD=BT，⊙AB=AT+TB=AE+BD，故C符合题意，⊙M，M'关于AC对称，⊙M=⊙AMC，⊙11802AMC CAB ACB11801802ABC=90°+12⊙ABC，⊙M与⊙ABC不一定互补，⊙点M'不一定在⊙ABC的外接圆上，故D不符合题意，故选D．【点拨】本题考查三角形的外接圆，四点共圆，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．13．54°【分析】根据圆的基本性质，可得⊙OEB=⊙OBE，⊙AOB=18°，从而得到⊙OEB=⊙OBE=⊙A+⊙AOB=36°，继而得到⊙BOE=108°，即可求解．解：⊙CD是⊙O的直径，⊙OD=OE=OB，⊙⊙OEB=⊙OBE，⊙AB=OD，⊙AB=OB，⊙⊙AOB=⊙A，⊙⊙A＝18°，⊙⊙AOB=18°，⊙⊙OEB =⊙OBE =⊙A +⊙AOB =36°，⊙⊙BOE =108°，⊙⊙EOD =180°-⊙BOE -⊙AOB =54°．故答案为：54°【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．14．45︒【分析】连接OA ，OB ，则OA =OB ，又有弦AB 倍，可得222AB OA =，又在AOB 中，2222OA OB OA += ，从而得到AOB 是直角三角形，且90AOB ∠=︒ ，再由圆周角定理即可求解．解：如图，连接OA ，OB ，则OA =OB ，⊙弦AB⊙AB == ，⊙)2222AB OA == ，在AOB 中，2222OA OB OA += ，⊙222OA OB AB += ，⊙AOB 是直角三角形，且90AOB ∠=︒ ，⊙S 在圆上， ⊙1452ASB AOB ∠︒=∠= ．故答案为：45︒ ．【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，圆周角定理，勾股定理的逆定理，根据勾股定理逆定理得到90AOB ∠=︒是解题的关键．15．120【分析】连结OB，可知△OAB和△OBC都是等腰三角形，⊙ABC=⊙A+⊙C=⊙AOC，四边形内角和360゜，可求⊙B．解：如图，连结OB，⊙OA=OB=OC，⊙△OAB和△OBC都是等腰三角形，⊙⊙A=⊙OBA，⊙C=⊙OBC，⊙⊙ABC=⊙OBA+⊙OBC=⊙A+⊙C，⊙⊙A+⊙C=⊙ABC=⊙AOC⊙⊙A+ ⊙ABC+⊙C+⊙AOC=360゜⊙3⊙ABC=360゜⊙⊙ABC=120゜即⊙B=120゜．故答案为：120．【点拨】本题考查圆周角度数问题，要抓住半径相等构造两个等腰三角形，把问题转化为解⊙B的方程是关键．16．60°【分析】根据圆心角定理可得⊙AOB=60°，即⊙COD=60°，则CD的度数为60°.解：⊙AB为60°，⊙⊙AOB=60°，⊙⊙COD=60°，则CD的度数为60°.故答案为60°.【点拨】本题主要考查圆心角定理：圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．17．25°【分析】连接OC，利用AB BC=得到⊙AOB＝⊙BOC＝50°，然后根据圆周角定理得到⊙BDC的度数．解：如图，连接OC．⊙点B是AC的中点，⊙AB BC=．⊙⊙AOB＝⊙BOC＝50°，⊙BOC＝25°．⊙⊙BDC＝12故答案为：25°．【点拨】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角、圆心角的性质是解答此题的关键．18．70【分析】连接OF，求出⊙C和⊙CFO度数，求出⊙COF，即可求出弧CF度数．解：如图，连接OF，⊙⊙A＝70°，⊙B＝55°，⊙⊙C＝180°−⊙A−⊙B＝55°，⊙OC＝OF，⊙⊙CFO＝⊙C＝55°，⊙⊙COF＝180°−⊙C−⊙CFO ＝70°，⊙弧CF 的度数是70°．故答案为：70．【点拨】本题考查了弧与圆心角的关系，掌握弧的度数等于它所对的圆心角的度数是解题的关键．19．4【分析】根据监控角度可推出该角对应的弧的度数，而圆的度数是360度，由此可求出最少需要多少台这样的监视器．解：由题意可知，一台监视器所对应的弧的角度为：50°×2=100°，⊙360÷100=3.6，⊙至少需要4台．故答案为：4．【点拨】本题主要考查圆的圆周角和圆心角的性质，利用监控角度得到该弧所对的角是解题的关键．20．22.5【分析】根据同圆中等弧对的圆周角相等，可得AC CD DE ==，进而根据题意可得13AC CB =，13ABC CAB ∠=∠，根据直径所对的圆周角等于90度，即可求解．解：连接AC ，如图，ABC DBC DBE ∠=∠=∠AC CD DE ∴==BE DE =13AC CB ∴= 13ABC CAB ∴∠=∠ AB 是O 的直径，19022.54ABC ∴∠=⨯︒=︒ 故答案为：22.5．【点拨】本题考查了同圆中等弧对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于90度，理解等弧的意义是解题的关键．21【分析】延长CO ，交O 于E ，连接DE ，根据圆周角定理求出90CDE ∠=︒，求出DOE AOB ∠=∠，根据圆心角、弧、弦之间的关系求出2DE AB ==，根据勾股定理求出CE 即可．解：延长CO ，交O 于E ，连接DE ，CE 是O 的直径，90CDE ，AOB ∠和COD ∠互补，180COD DOE ∠+∠=︒，DOE AOB ∴∠=∠，2AB =，2DE AB ∴==，由勾股定理得：CE ===O ∴【点拨】本题考查了圆周角定理．圆心角、弧、弦之间的关系，余角和补角，勾股定理等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．22．12【分析】作直径BF ，连接DF ，FC ．证明AD =FC ，设FC =2k ，BC =3k ，利用勾股定理构建方程求解即可．解：如图，作直径BF ，连接DF ，FC ．⊙BF是直径，⊙⊙BDF=⊙BCF=90°，⊙BD⊙DF，⊙AC⊙BD，⊙DF⊙AC⊙DF2=AC，AB AC⊙⊙CDF=⊙ACD，⊙AD CF=，⊙AD=FC，⊙BC=2AD，⊙BC=2FC，⊙可以假设FC=k，BC=2k，⊙k2+（2k）2=（2，⊙k=4或-4（舍弃），⊙BC=8，FC=4，⊙AD=FC=4，⊙AD+BC=4+8=12，故答案为：12．【点拨】本题考查圆周角定理，弧、弦的关系，平行线的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．23．69【分析】连接CD，由圆内接四边形的性质得⊙BDC+⊙BAC=180°，可得⊙BDC =180°-42°=138°，再由垂径定理得出BD CD=，则BD=CD，然后根据等腰三角形的性质即可求出⊙BDE的度数．解：如图，连接CD，⊙A，B，C，D是⊙O上的四个点，⊙⊙BDC+⊙BAC=180°，⊙⊙BAC=42°，⊙⊙BDC =180°-42°=138°，⊙OD⊙BC，⊙BD CD=，⊙BD=CD，⊙⊙BDE=12⊙BDC=8113629︒=︒⨯，故答案为：69．【点拨】本题考查的是圆内接四边形的性质及垂径定理等知识，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．24．越长越长越短【分析】根据圆心角定理解答即可.解：在同一个圆中, 当圆心角不超过180°时, 圆心角越大, 所对的弧越长，所对的弦越长，所对弦的弦心距越短．故答案为越长；越长；越短.【点拨】本题考查了圆心角定理及其推理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.25．60【分析】连接OD ，利用半径相等和等腰三角形的性质求得⊙EDO ，从而利用三角形的外角的性质求解．解：连接OD ，⊙CD=OA=OD, 20C ∠=，⊙⊙ODE=240C ∠=，⊙OD=OE ，⊙⊙E=⊙EDO=40，⊙⊙EOB=⊙C+⊙E=40+20=60.【点拨】此题考查了半径相等和等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键. 26．（1）证明见分析；（2）证明见分析【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明BAC B =∠∠，利用平行线证明ADF B ∠=∠，利用圆的性质证明BAC CFD ∠=∠，再证明//,BD CF 即可得到结论；（2）如图，连接AE ，利用平行线的性质及圆的基本性质AEF B ∠=∠，再利用圆内接四边形的性质证明EAF B ∠=∠，从而可得结论．解：证明：（1）AC BC =，BAC B ∴∠=∠，//DF BC ，ADF B ∴∠=∠，又BAC CFD ∠=∠,,ADF CFD ∴∠=∠//,BD CF ∴四边形DBCF 是平行四边形．（2）如图，连接AEADF B ∠=∠，ADF AEF ∠=∠AEF B ∠∠∴=四边形AECF 是O 的内接四边形180ECF EAF ︒∴∠+∠=//BD CF180ECF B ︒∴∠+∠=EAF B ∴∠=∠AEF EAF ∴∠=∠AF EF ∴=【点拨】本题考查平行四边形的判定，圆的基本性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．27．见分析【分析】由圆内接四边形的性质得到60ABC ∠=︒，再由AB AC =，得到AB AC =，根据等边三角形的判定可得到结论．解：⊙四边形ABCD 内接于O ，⊙180ADC ABC ∠+∠=︒，又⊙120ADC =∠︒，⊙180********ABC ADC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，⊙AB AC =，⊙AB AC =，⊙ABC 是等边三角形．【点拨】本题主要考查圆内接四边形的性质，弧与弦的关系，等边三角形的判定，熟练掌握圆内接四边形的性质，等边三角形的判定是解决问题的关键．。

弧、弦、圆心角、圆周角—巩固练习

弧、弦、圆心角、圆周角—巩固练习【基础练习】一、选择题1．如图，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于( )．A．64°B．48°C．32°D．76°2．如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于( )．A．37°B．74°C．54°D．64°（第1题图）（第2题图）（第3题图）3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于( )．A．69°B．42°C．48°D．38°4．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，BD交AC 于点E，连结DC，则∠AEB等于( )．A．70°B．90°C．110°D．120°（第4题图）（第5题图）5.如图所示，∠1，∠2，∠3的大小关系是（）．A．∠1>∠2>∠3 B．∠3>∠1>∠2 C．∠2>∠1>∠3 D．∠3>∠2>∠1 6．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100°D．80°或100°二、填空题7.在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么_ _________．8.在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：5：6，则∠D= . 9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，BD∥OC，则∠B的度数是 .10．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD为⊙O的直径，AD＝2，则BD＝11．如图，已知⊙O的直径MN＝10，正方形ABCD四个顶点分别在半径OM、OP和⊙O上，且∠POM＝45°，则AB＝ .（第12题图）12．如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为直径，则∠A+∠B+∠C=_度．三、解答题13. 如图所示，AB，AC是⊙O的弦，AD⊥BC于D，交⊙O于F，AE为⊙O的直径，试问两弦BE与CF的大小有何关系，说明理由．BAOCDH（第9题图）ODA BC（第10题图）14．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC 交于点E．（1）若∠D=70°，求∠CAD的度数；（2）若AC=8，DE=2，求AB的长．15．如图，⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD 在上滑动(点C 与A，点D与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．(1)求证：AE=BF；(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．【提高练习】一、选择题1.如图，在⊙O中，若圆心角∠AOB=100°，C 是上一点，则∠ACB等于( )．A．80°B．100°C．130°D．140°2．已知，如图, AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°。

弧、弦、圆心角、圆周角_巩固练习[提高]

弧、弦、圆心角、圆周角—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 如图，在⊙O 中，若圆心角∠AOB=100°，C 是上一点，则∠ACB 等于( )． A ．80° B ．100° C ．130° D ．140°2．已知，如图, AB 为⊙O 的直径，AB ＝AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC ＝45°。

给出以下五个结论：①∠EBC ＝22.5°；②BD ＝DC ；③AE ＝2EC ；④劣弧AE 是劣弧DE 的2倍；⑤AE ＝BC 。

其中正确的有( )个A. 5B. 4C. 3D. 2第1题图第2题图第3题图3．如图，设⊙O 的半径为r ，弦的长为a ，弦与圆心的距离为d ，弦的中点到所对劣弧中点的距离为h ，下面说法或等式：①r d h =+ ②22244r d a =+ ③已知r 、a 、d 、h 中任意两个，可求其它两个。

其中正确结论的序号是( )A ．仅①B ．②③C ．①②③D ．①③4．如图，在⊙O 中，弦AB 的长是半径OA 的3倍，C 为AB 中点，AB 、OC 交于点P ，则四边形OACB 是( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形5．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD=DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有（） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个第4题图第5题图第6题图6．如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°，⊙O 3cm ，则弦CD 的长为( )．A ．32cm B ．3cm C ．23．9cm 二、填空题7．.如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________.第7题第9题8．半径为2a的⊙O中，弦AB的长为，则弦AB所对的圆周角的度数是________.9．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=5,BE=1,42CD=,则∠AED=°. 10．如图所示，AB、CD是⊙O的两条互相垂直的弦，圆心角∠AOC＝130°，AD、CB的延长线相交于P，则∠P＝________°．11.如图所示，在半径为3的⊙O中，点B是劣弧AC的中点，连接AB并延长到D，使BD＝AB，连接AC、BC、CD，如果AB＝2，那么CD＝________．（第10题图）（第11题图）12．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，点B为中点，P直径MN上的一个动点，则PA＋PB的最小值是 .13．已知⊙O的半径OA=2，弦AB、AC分别为一元二次方程x2-（22+23）x+46=0的两个根，则∠BAC的度数为_______．三、解答题14.如图，在⊙O中，AB BC CD==，OB，OC分别交AC，BD于Ｅ、Ｆ，求证OE OF=15．如图所示，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，交AD，BC于E，F，•延长BA交⊙O于G，求证：GE EF=．PMOAB（第12题图）16．如图所示，AB是⊙O的直径，C为AE的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，连接AC，求证：AF＝CF．17.如图所示，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求四边形ADBC的面积．【答案与解析】一、选择题1．【答案】C．【解析】设点D 是优弧AB 上一点（不与A 、B 重合），连接AD 、BD ；则∠ADB=∠AOB=50°； ∵四边形ADBC 内接于⊙O ， ∴∠C=180°-∠ADB=130°；故选C ．2．【答案】C ．【解析】①②④正确. 3．【答案】C ．【解析】根据垂径定理及勾股定理可得①②③都是正确的. 4.【答案】C ．【解析】由弦AB 的长是半径OA 的3倍，C 为AB 中点，得∠AOC=60°，△AOC 为等边三角形，所以AO=AC ，进而得到OA=OB=BC=AC ，故则四边形OACB 是菱形. 5．【答案】D ．【解析】与∠BCE 相等的角有5个，∠DAE=∠AED=∠ABD ，∠BAD=∠BAE+∠DAE=∠BAE+∠ABD=∠BCE ，同理∠ADO=∠ODE=∠OED=∠BCE ，且∠ACD=∠BCE.6．【答案】B ．【解析】∵ ∠CDB ＝30°， ∴ ∠COB ＝2∠CDB ＝60°，又AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴ ∠OCD ＝30°，12CE CD =，在Rt △OEC 中，∵ 3OC =cm ，∴ 32OE =cm ． 2222239(3)24CE OC OE ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪(cm)．∴ 32CE =cm ，∴ CD ＝3cm ．二、填空题7．【答案】3；8．【答案】120°或60°； 9．【答案】30°； 10．【答案】40°；【解析】∵ ∠AOC ＝130°，∴ ∠ADC ＝∠ABC ＝65°，又AB ⊥CD ，∴ ∠PCD ＝90°－65°＝25°，∴ ∠P ＝∠ADC －∠PCD ＝65°－25°＝40°． 11．【答案】43；【解析】连结OA 、OB ，交AC 于E ，因为点B 是劣弧AC 的中点，所以OB ⊥AC ，设BE=x,则OE=3-x ，由AB 2-BE 2=OA 2-OE 2得 22-x 2=32-（3-x ）2,解得23x =，423CD BE ==. 或连接OA 、OB ，△OAB ∽△BCD ，AB CD OA BC =，232CD =，43CD =． 12．【答案】；【解析】作点B 关于MN 的对称点C ，连接AC 交MN 于点P ，则P 点就是所求作的点．（如图）此时PA+PB 最小，且等于AC 的长．连接OA ，OC ，根据题意得弧AN 的度数是60°，则弧BN 的度数是30°，根据垂径定理得弧CN 的度数是30°，则∠AOC=90°，又OA=OC=1，则AC= ．13.【答案】15°或75°.【解析】方程x 2-（22+23）x+46=0的解为x 1=22，x 2=23，不妨设：AB=22，AC=23．（1）如图，OM ⊥AB 于M ，ON ⊥AC 于N ． ∵AB=22，AC=23， ∴AM=2，∵OA=2，在Rt △MAO 中，∠MAO=45°，AC=23， ∴AN=3，在Rt △NAO 中，∠NAO=30°，∴∠BAC=15°；（2）如图，∠BAC=75°．三、解答题14.【答案与解析】如图，∵AB BC CD ==，∴AC BD =, ∴AC BD =,∵B,C 是,AC BD 的中点， ∴1,,2BF CE AC OB AC OC BD ==⊥⊥, ∴Rt OBF Rt OCE ≌, ∴OE OF =15.【答案与解析】连接AF ，则AB=AF ，所以∠ABF=∠AFB ．因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，所以∠DAF=∠AFB ，∠GAE=∠ABF ，所以∠GAE=∠EAF ，所以GE EF =．16.【答案与解析】证法一：连接BC ，如图所示． ∵ AB 是直径，∴ ∠ACB ＝90°，即∠ACF+∠BCD ＝90°．又∵ CD ⊥AB ，∴ ∠B+∠BCD ＝90°， ∴ ∠ACF ＝∠B ．∵ 点C 是AE 的中点， ∴ AC CE =， ∴ ∠B ＝∠CAE ，∴ ∠ACF ＝∠CAE ，∴ AF ＝CF ．证法二：如图所示，连接BC ，并延长CD 交⊙O 于点H ． ∵ AB 是直径，CD ⊥AB ，∴ AC AH =． ∴ 点C 是AE 的中点， ∴ AC CE =， ∴ AH CE =． ∵ ∠ACF ＝∠CAF ， ∴ AF ＝CF ．17.【答案与解析】∵ AB 是直径，∴ ∠ACB ＝∠ADB ＝∠90°．在Rt △ABC 中，AB ＝6，AC ＝2，∴ 22226242BC AB AC =-=-=．∵ ∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，∴ ∠DCA ＝∠BCD ． ∴ AD DB =，∴ AD ＝BD ．∴ 在Rt △ABD 中，AD 2+BD 2＝AB 2＝62，∴ AD ＝BD ＝32． ∴ 11C 22ABC ABD ADBC S S S A BC AD BD ∆∆=+=+四边形 211242(32)94222=⨯⨯+⨯=+．。

垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习

CEOA D B600B九年垂径定理、弦、弧、圆心角、弦心距练习姓名：1. 已知：AB 交圆O 于C 、D ，且AC ＝BD. 求证：OA ＝OB2. 如图所示，是一个直径为650mm 的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm ，求油面的最大深度。

3.. 如图所示，在⊙O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，求证：四边形OEAD 为正方形。

4．如图所示，已知AB 为圆O 的直径，AC 为弦，OD ∥BC 交AC 于D ，OD=cm 2，求BC 的长；5．本市新建的滴水湖是圆形人工湖．为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A ，B ，C 三根木柱，使得A ，B 之间的距离与A ，C 之间的距离相等，并测得BC 长为240米，A 到BC 的距离为5米，如图所示．请你帮他们求出滴水湖的半径．6．如图，用一块直径为a的圆桌布平铺在对角线长为a的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x为（）Ａ．)1aＤ．(2a7．如图，O的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段AB（包括端点A B，）上移动，则OM的取值范围是（）Ａ．35OM≤≤Ｂ．35OM<≤Ｃ．4OM≤58．如图，已知O的半径为5mm，弦8mmAB=，则圆心O到AB的距离是（）A．1mm B．2mm C．3mm D．4mm9．如图，底面半径为5dm的圆柱形油桶横放在水平地面上，向桶内加油后，量得长方形油面的宽度为8dm，则油的深度（指油的最深处即油面到水平地面的距离）为（）Ａ．2dmＢ．3dmＣ．2dm或3dmＤ．2dm或8dm10．如图，已知在O中，直径10MN=，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM，OP以及O上，并且45POM=∠，则AB的长为．11．如图，在半径为2的O中，弦AB的长为_______AOB=∠12．在O中，弦CD与直径AB相交于点P，夹角为30 ，且分直径为1:5两部分，6AB=厘米，则弦CD的长为（）厘米．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．13．如图，在O中，AB是弦，OC AB⊥，垂足为C，若16AB=，6OC=，则O的半径OA等于（）Ａ．16Ｂ．12Ｃ．10Ｄ．814. 如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D。

人教版数学九年级上学期课时练习-弧、弦、圆心角(巩固篇)(人教版)

专题24.9 弧、弦、圆心角（巩固篇）（专项练习）一、单选题类型一、圆心角概念1．已知下列命题：①长度相等的两条弧所对的圆心角相等． ①直径是圆的最长的弦，也是圆的对称轴． ①平分弦的直径垂直于这条弦．①在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等．其中错误命题的个数为（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知①ABC 内接于①O ，若①AOB =120°，则①C 的度数是( ) A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．30°或150°3．如图， AB 为①O 的直径，弦CD ①AB 于点E ，连接AC ，OC ，OD ，若①A ＝20°，则①COD 的度数为（）A ．40°B ．60°C ．80°D ．100°类型二、圆心角与它所对弧的度数4．如图，已知△ABC 是圆O 的内接三角形，AB ＝AC ，①ACB ＝65°，点C 是弧BD 的中点，连接CD ，则①ACD 的度数是（）A ．12°B ．15°C ．18°D ．20°5．如图，扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，半径6,OA C =是AB 的中点，//CD OA ，交AB 于点D ，则CD 的长为（）A．2B C．2D．66．如图，已知O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是AOB∠，COD∠∠，若AOB AB=，则弦CD的长为（）与COD∠互补，弦8A．6B．8C．D．5类型三、用弧、弦、圆心角关系求解⊥于点7．如图，在以AB为直径的①O中，点C为圆上的一点，2=，弦CD ABBC ACE，弦AF交CE于点H，交BC于点G，若点H是AG的中点，则CBF∠的度数为（）A．18°B．21°C．22.5°D．30°8．如图，在①O中，AB是①O的直径，AB＝10，AC=CD=DB，点E是点D关于AB 的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①①BOE=30°；①①DOB=2①CED；①DM①CE；①CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，①O 的半径为9cm ，AB 是弦，OC ①AB 于点C ，将劣弧AB 沿弦AB 折叠交于OC 的中点D ，则AB 的长为（）A ．B ．C ．D ．类型四、用弧、弦、圆心角关系证明10．有一直径为AB 的圆，且圆上有C 、D 、E 、F 四点，其位置如图所示．若6AC =，8AD =，5AE =，9AF =，10AB =，则下列弧长关系何者正确？（）A ．AC AD AB +=，AE AF AB += B ．AC AD AB +=，AE AF AB +≠ C ．AC AD AB +≠，AE AF AB +=D ．AC AD AB +≠，AE AF AB +≠11．在锐角ABC 中，60ACB ∠=︒，①BAC 、①ABC 的角平分线AD 、BE 交于点M ，则下列结论中错误的是（）A ．120AMB ∠=︒ B ．ME MD =C ．AE BD AB += D ．点M 关于AC 的对称点一定在ABC 的外接圆上 12．如图，AB 、CD 分别是①O 的直径，连接BC 、BD ，如果弦DE AB ∥，且①CDE ＝62°，则下列结论错误的是（）A ．CB ①BD B ．①CBA ＝31°C ．AC AE =D ．BD ＝DE二、填空题类型一、圆心角概念13．在①O 中，AB 是直径，AB ＝2，C 是AB 上一点，D 、E 分别是AC 、BC 的中点，M 是弦DE 的中点，则CM 的取值范围是__________________．14．把一个圆分成4个扇形，它们分别占整个圆的10%，20%，30%，40%，那么这四个扇形的圆心角分别是_______.15．已知点A 、B 、C 、D 在圆O 上，且FD 切圆O 于点D ，OE CD ⊥于点E ，对于下列说法：①圆上AbB 是优弧；①圆上AbD 是优弧；①线段AC 是弦；①CAD ∠和ADF ∠都是圆周角；①COA ∠是圆心角，其中正确的说法是________．类型二、圆心角与它所对弧的度数16．如图，在以AB 为直径的半圆中，AD =EB ，CD①AB ，EF①AB ，CD=CF=1，则以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是________．17．已知半径为2的①O 中，弦AC=2，弦AD ＝①AOD ＝________，①COD ＝_________．18．如图，AB 是O 的直径，弦,CD AB ⊥连接CO 并延长交O 于点,E 连接BD 交CE于点,F 若32,DBE ∠=︒则DFE ∠的度数是________________．类型三、用弧、弦、圆心角关系求解19．如图，点A 、B 、C 、D 均在O 上，若65AOD ∠=︒，AO DC ∥，则①B 的度数为______．20．如图，点A 、B 、C 、D 、E 都是圆O 上的点，AC AE =，①B ＝116°，则①D 的度数为______度．21．如图，①O 的直径AB 过CD 的中点A ，若①C ＝30°，AB 、CD 交于点E ，连接AC 、BD ，则AEBE＝________________．类型四、用弧、弦、圆心角关系证明22．如图，AB、CE是圆O的直径，且AB＝4，弧BD＝弧CD＝弧AC，点M是AB上一动点，下列结论：正确的数是___（写出所有正确结论的序号）①BOD；①①CED＝12①DM①CE；①CM+DM的最小值为4；①设OM为x，则S△OMC．23．在同一个圆中, 当圆心角不超过180°时, 圆心角越大, 所对的弧______;所对的弦__________, 所对弦的弦心距____________．24．如图，AB是①O的直径，CD是弦，若①ABC＝63°，则①D的度数是__．三、解答题25．如图是半径为2的圆，（1）在其中画两个不重叠的扇形AOB和扇形BOC，使扇形AOB的圆心角为120度，扇形BOC的圆心角为90度，（2）求第三个扇形AOC的面积．26．如图，AB是①O的一条弦，OD①AB，垂足为C，交①O于点D，点E在①O上．（1）若①AOD=52°，求①DEB的度数；（2）若AB=24，CD=8，求①O的半径长．27．阅读与应用请阅读下列材料，完成相应的任务：托勒密是“地心说”的集大成者，著名的天文学家、地理学家、占星学家和光学家．后人从托勒密的书中发现一个命题：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积．下面是对这个命题的证明过程．如图1，四边形ABCD内接于O．⋅+⋅=⋅．求证：AB DC AD BC AC BD∠=∠交BD于点E．证明：如图2，作BAE CAD①AD AD =，①ABE ACD ∠=∠．（依据） ①ABE ACD ∽△△．①AB BEAC CD=．AB DC AC BE ⋅=⋅． …①ABC AED ∽△△． ①AC BCAD ED=．①AD BC AC ED ⋅=⋅． ①AB DC AC BE ⋅=⋅，①()AB DC AD BC AC BE AC ED AC BE ED AC BD ⋅+⋅=⋅+⋅=+=⋅． ①AB DC AD BC AC BD ⋅+⋅=⋅．任务：(1)证明过程中的“依据”是______； (2)补全证明过程；(3)如图3，O 的内接五边形ABCDE 的边长都为2，求对角线BD 的长．28．如图，在①O 中，弦AB ，CD 互相垂直，垂足为M ，F 是BD 上的一点，且BF BC =，AF分别与CD，BD相交于点E，N，连接FD，MN．(1)求证：DE＝DF；(2)若①O的半径为8，①BAF＝22.5°，求线段MN的长．参考答案1．D【分析】根据圆心角定理、直径的性质、垂径定理、圆周角定理逐个判断即可．解：等弧所对的圆心角相等，但长度相等的两条弧不一定是等弧，则命题①错误直径是圆的最长的弦，但不是圆的对称轴，圆的对称轴是直径所在直线，则命题①错误平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，则命题①错误在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，则命题①错误综上，错误命题的个数为4个故选：D．【点拨】本题考查了圆心角定理、直径的性质、垂径定理、圆周角定理，熟记各定理是解题关键．2．C【分析】根据圆周角定理可以得出同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，此时分两种情况进一步分析讨论即可.解：①当点C与线段AB位于圆心的两侧时，①C=12①AOB=60°；①当点C与线段AB位于同侧时，与上一种情况所得的度数互补；即此时的①C=120°．故选：C．【点拨】本题主要考查了圆周角定理的应用，熟练掌握相关概念是解题关键.3．C【分析】利用圆周角与圆心角的关系得出①COB=40°，再根据垂径定理进一步可得出①DOB=①COB，最后即可得出答案.解：①①A=20°，①①COB=2①A=40°，①CD①AB，OC=OD，①①DOB=①COB=40°，①①COD=①DOB+①COB=80°.故选：C.【点拨】本题主要考查了圆周角、圆心角与垂径定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.4．B【分析】如图，连接AO，BO，CO，DO，由等腰三角形的性质可求①ABC＝①ACB＝65°，①BAC ＝50°，由圆周角定理可求①AOC＝2①ABC＝130°，①BOC＝2①BAC＝100°，可求①AOD＝30°，即可求解．解：如图，连接AO，BO，CO，DO，①AB＝AC，①ACB＝65°，①①ABC＝①ACB＝65°，①①BAC＝50°，①①AOC＝2①ABC＝130°，①BOC＝2①BAC＝100°，①点C是弧BD的中点，①BC CD，①①BOC＝①COD＝100°，①①AOD＝30°，①①AOD＝2①ACD，①①ACD＝15°，故选：B．【点拨】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角、圆心角、弧的关系是解题的关键．5．D【分析】连接OC，延长CD交OB于点E，如图，易得①AOB、①COE、①BDE都是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出CE与DE的长，从而可得答案．解：连接OC，延长CD交OB于点E，如图，①90∠=︒，C是AB的中点，AOB①①COE=45°，①//∠=︒，AOBCD OA，90①CE①OB，①①OCE=①COE=45°，==6①BE=OB－OE=6-，①OA=OB，90AOB∠=︒，①①ABO=45°，①①BDE=①ABO=45°，①EB=ED=6--=．①CD=CE－DE=(66故选：D．【点拨】本题考查了圆心角和弧的关系、等腰直角三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解此题的关键．6．A【分析】延长AO交①O于点E，连接BE，由①AOB+①BOE=①AOB+①COD知①BOE=①COD，据此可得BE=CD，在Rt①ABE中利用勾股定理求解可得．解：如图，延长AO交①O于点E，连接BE，则①AOB+①BOE=180°，又①①AOB+①COD=180°，①①BOE=①COD，①BE=CD，①AE为①O的直径，则AE=10，①①ABE=90°，；故选择：A.【点拨】本题主要考查圆心角定理，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理．7．D【分析】由圆周角定理可求①ACB=90°，由弧的关系得出角的关系，进而可求①ABC=30°，①CAB=60°，由直角三角形的性质可求①CAH=①ACE=30°，即可求解．解：①AB是直径，①①ACB=90°，①①ABC+①CAB=90°，①2=，BC AC①①CAB=2①ABC，①①ABC=30°，①CAB=60°，①CD①AB，①①AEC=90°，①①ACE=30°，①点H是AG的中点，①ACB=90°，①AH=CH=HG，①①CAH=①ACE=30°，①①CAF=①CBF，①①CBF=30°，故选：D．【点拨】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质，求出①CAB 的度数是本题的关键．8．B【分析】根据AC=CD=DB和点E是点D关于AB的对称点，求出①DOB=①COD=①BOE=60°，求出①CED，即可判断①①；根据圆周角定理求出当M和A重合时①MDE=60°即可判断①；求出M点的位置，根据圆周角定理得出此时DF是直径，即可求出DF长，即可判断①．解：①AC=CD=DB，点E是点D关于AB的对称点，①BD=BE，①①DOB=①BOE=①COD=13×180°=60°，①①错误；①CED=12①COD=12×60°=30°=12①DOB，即①DOB=2①CED；①①正确；①BE的度数是60°，①AE的度数是120°，①只有当M和A重合时，①MDE=60°，①①CED=30°，①只有M和A重合时，DM①CE，①①错误；作C关于AB的对称点F，连接CF，交AB于N，连接DF交AB于M，此时CM+DM 的值最短，等于DF长，连接CD，①AC=CD=DB=AF，并且弧的度数都是60°，①①D=12×120°=60°，①CFD=12×60°=30°，①①FCD=180°-60°-30°=90°，①DF是①O的直径，即DF=AB=10，①CM+DM的最小值是10，①①正确；综上所述，正确的个数是2个．故选：B．【点拨】本题考查了圆周角定理，轴对称-最短问题等知识点，能灵活运用圆周角定理求出各个角的度数和求出M的位置是解此题的关键．9．D【分析】圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；连接OA，求出OC，根据勾股定理求出AC，可得结论．解：连接OA，①将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC的中点D，①OC23=r＝6（cm），OC①AB，①AC＝CB=cm），①AB＝2AC＝cm），故选：D．【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．10．B【分析】连接BD ，BF ，先求解6AC BD ==，可得AC BD =，AC AD AB +=，再求解19,BF可得AE BF ≠， AE AF AB +≠，从而可得答案.解：连接BD ，BF ，AB 直径，10AB =，8AD =，90,6ADB BD ∴∠=︒=，6AC =，AC BD ∴=，∴AC BD =，∴AC AD AB +=，AB 直径，10AB =，9AF =，90,AFB BF ∴∠=︒=5AE =，∴AE BF ≠，∴AE AF AB +≠，所以B 符合题意，故选：B ．【点拨】本题主要考查了圆中弧、弦的关系和直径所对的圆周角是直角，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．11．D【分析】利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出①MAB +①MBA =60°，推出①AMB =120°，可判断A ，证明C ，E ，M ，D 四点共圆，利用圆周角定理可判断B ；在AB 上取一点T ，使得AT =AE ，利用全等三角形的性质证明BD =BT ，可判断C ；无法判断M 与①ABC 互补，可判断D．解：如图，①①ACB=60°，①①CAB+①CBA=120°，①AD，BE分别是①CAB，①CBA的角平分线，①①MAB+①MBA=12（①CAB+①CBA）=60°，①①AMB=180°-（①MAB+①MBA）=120°，故A符合题意，①①EMD=①AMB=120°，①①EMD+①ECD=180°，①C，E，M，D四点共圆，①①MCE=①MCD，① EM DM，①EM=DM，故B符合题意，四边形CEMD是O的内接四边形，60,AME ACB BMD在AB上取一点T，使得AT=AE，在①AME和①AMT中，AE ATMAE MAT AM AM，①①AME①①AMT（SAS），①①AME=①AMT=60°，EM=MT，①①BMD=①BMT=60°，MT=MD，在①BMD和①BMT中，MD MTBMD BMT BM BM，①①BMD①①BMT，①BD=BT，①AB=AT+TB=AE+BD，故C符合题意，①M，M'关于AC对称，①M=①AMC，①11802AMC CAB ACB11801802ABC=90°+12①ABC，①M与①ABC不一定互补，①点M'不一定在①ABC的外接圆上，故D不符合题意，故选D．【点拨】本题考查三角形的外接圆，四点共圆，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．12．D【分析】根据直径所对的圆周角是直角，即可判断A，根据圆周角定理可判断B选项，根据圆周角与弧的关系可判断C，根据CDE CDB∠≠∠判断D选项．解：①AB、CD分别是①O的直径，90CBD∴∠=︒，①CB①BD，故A选项正确，如图，连接BE，DE AB∥，且①CDE＝62°，62BOD CDE∴∠=∠=︒，1312BCD BOD ∴∠=∠=︒， OC OB =，31CBO BCO ∴∠=∠=︒，62AOC ∴∠=︒，62CBE CDE ∠=∠=︒，31ABC ABE ∴∠=∠=︒，∴AC AE =，故B ，C 选项正确，31,90BCD CBD ∠=︒∠=︒，59BDC ∴∠=︒，62CDE ∠=︒，CDE CDB ∴∠≠∠，∴BD ≠DE ，故D 选项不正确，故选D ．【点拨】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．13．1CM 【分析】如图，连接OD 、OC 、OE ，先计算出①DOC +①COE ＝90°，则可判断①ODE 为等腰直角三角形，所以DE OD 则OM ＝12DE 由C 点在弧DE 上，则0≤①COM ＜45°，根据三角形的性质，①COM 越大，CM 越长，当O 、M 、C 共线时CM 最小，C 在点A 或点B 时CM 最长，即OC -OM ≤CM ＜ME ；解：如图，连接OD 、OC ，①AB 为直径，①①AOC+①BOC＝180°，①D、E分别是AC、BC的中点，①①AOD＝①COD，①COE＝①BOE，①①DOC+①COE＝1（①AOC+①BOC）＝90°，2①①ODE为等腰直角三角形，OD①DE①M是弦DE的中点，DE①OM＝12①C点在弧DE上，①0≤①COM＜45°，①OMC中，OM，OC的长度确定，①①COM越大，CM越长，①O、C、M共线时CM最小，C在点A或点B时CM最长；①CM≥1﹣，2当C点在A点或B点时，CM①CM的取值范围是1≤CM．【点拨】本题考查了圆心角的概念，三角形的三边关系；根据三角形的性质判断CM的长度是解题关键．14．36°，72°，108°，144°【分析】根据扇形所占的百分比乘以360°进行解答即可．解：四个扇形的圆心角分别是360°×10%=36°；360°×20%=72°；360°×30%=108°；360°×40%=144°.故答案为36°，72°，108°，144°.【点拨】考查了扇形圆心角的度数问题，注意周角的度数是360°．15．①①①①【分析】根据优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义逐项分析判断即可解：AbB ，AbD 都是大于半圆的弧，故①①正确，,A C 在圆上，则线段AC 是弦；故①正确；,,C A D 都在圆上，∴CAD ∠是圆周角而F 点不在圆上，则ADF ∠不是圆周角故①不正确；O 是圆心，,C A 在圆上∴COA ∠是圆心角故①正确故正确的有：①①①①故答案为：①①①①【点拨】本题考查了优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义，理解定义是解题的关键．优弧是大于半圆的弧，任意圆上两点的连线是弦，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，顶点在圆心，并且两边都和圆相交的角叫做圆心角．16．0152=+-x x【分析】连接OD ，OE ，因为AD =EB ，根据等弧所对的圆心角相等可得①DOC=①EOF ，因为CD①AB ，EF①AB ，所以①DCO=①EFO=90°，又因为DO==EO ，所以Rt①DOC①Rt①EOF ，所以CO=OF=12，在Rt①DOC 中，，所以，，BC=AB -，所以以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是（x ）(x )=0，整理，得0152=+-x x ．解：连接OE ，OD ，①AD =EB ，①①DOC=①EOF ，①CD①AB ，EF①AB ，①①DCO=①EFO=90°，又①DO=EO ，①Rt①DOC①Rt①EOF ， ①CO=OF=12，①在Rt①DOC 中，，AC=AO -，BC=AB - =，①以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是（x ）(x )=0，整理，得0152=+-x x ．故答案为：x 2．【点拨】本题考查圆心角定理及其推论，全等三角形的判定与性质以及根与系数的关系．此题属于开放题，注意数形结合与方程思想的应用．17． 90° 150°或30°【分析】如图，在①AOD 中，根据勾股定理的逆定理即可求出①AOD 的度数；连接OC ，易得△AOC 是等边三角形，从而可得∠AOC ＝60°，进一步利用角的和差即可求出①COD 的度数．解：如图，在①AOD 中，∵2222228OA OD +=+=，(228AD ==，①222OA OD AD +=，∴①AOD =90°；连接OC ，∵OA ＝OC ＝AC =2，∴△AOC 是等边三角形，∴∠AOC ＝60°．∴∠COD ＝∠AOC +∠AOD ＝60°+90°＝150°或∠COD ＝∠AOD ﹣∠AOC ＝90°－60°＝30°．故答案为：90°；150°或30°．【点拨】本题考查了圆心角、勾股定理的逆定理、等边三角形的判定与性质以及分类的数学思想，依照题意画出图形、熟练掌握相关知识是解题的关键．18．93【分析】根据圆周角定理的推论，得①DCE=32°，由CD AB⊥结合三角形外角的性质，得①BOC 的度数，从而得①BDC的度数，进而即可求解．解：①①DCE和①DBE是同弧所对的圆周角，①①DCE=①DBE=32°，①CD AB⊥，①①BOC=90°+①DCE=90°+32°=122°，①①BDC=12①BOC=12×122°=61°，①DFE∠=①DCE+①BDC=32°+61°=93°．故答案是：93°．【点拨】本题主要考查圆周角定理及其推论，三角形外角的性质，掌握“同弧或等弧所对的圆周角相等”，“同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，是解题的关键．19．57.5°【分析】根据平行线的性质得出①ODC=①AOD=65°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出①ODA=①OAD=12（180°-①AOD）=57.5°，求出①ADC的度数，根据圆内接四边形的性质得出①B+①ADC=180°，再求出答案即可．解：连接AD，①①AOD=68°，AO①DC，①①ODC=①AOD=65°，①①AOD=65°，OA=OD，①①ODA=①OAD=1（180°-①AOD）=57.5°，2①①ADC=①ODA+①ODC=57.5°+65°=122.5°，①四边形ABCD是①O的内接四边形，①①B+①ADC=180°，①①B=57.5°，故答案为：57.5°．【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质等知识点，能求出①ADC的度数是解此题的关键．20．128【分析】连接AD．首先证明①ADC=①ADE，再利用圆内接四边形的性质求出①ADC即可解决问题．解：连接AD．①AC AE，①①ADC=①ADE，①①B+①ADC=180°，①①ADC=180°-116°=64°，①①CDE=2×64°=128°，故选：128．【点拨】本题考查圆心角，弧，弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．1 3【分析】根据已知条件得出①DCA=①DBA=30°，设DE=EC=x，由在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半可以得出AE和BE的长，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．解：①①O的直径AB过CD的中点A，①AC＝AD，①DE＝EC，①AB是①O的直径，①①BED＝①CEA＝90°，①①C＝30°，①①DCA＝①DBA＝30°，设DE＝EC＝x，①①C＝30°，①AE，①①DBA＝30°，①BE，①AEBE13；故答案为：13．【点拨】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理，掌握在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．22．①①【分析】①由BD CD =，可得①COD =①BOD ，据此根据圆周角定理即可得结论；①由点M 是直径AB 上一动点，而CE 的位置是确定的，因此DM ①CE 不一定成立，可得结论；①由题意可得点D 和点E 关于AB 对称，因此CM +DM 的最小值是在点M 和点O 重合时取到，即CE 的长；①过点C 作CN ①AO 于点N ，利用解直角三角形可求得CN ，利用三角形面积公式求解即可．解：①BD CD =，COD BOD ∴∠=∠，12CED COD ∠=∠， 12CED BOD ∴∠=∠，故①正确； ①点M 是直径AB 上一动点，而CE 确定，∴DM ①CE 不一定成立，故①错误；①BD CD AC ==，60BOE AOC COD BOD ∠=∠=∠=∠=∴︒，①CED =30°，∴DE ①AB ，∴点D 和点E 关于AB 对称，∴CM +DM 的最小值是在点M 和点O 重合时取到，即CE 的长，AB =4，∴CE =AB =4，故①正确；①连接AC ，BD CD AC ==，∴①COA =60°，则①AOC 为等边三角形，边长为2，过点C 作CN ①AO 于N ，则sin 602CN OC =⋅︒==，在①COM 中，以OM 为底，OM 边上的高为CN ，1122COM S OM CN x ∴=⋅==△，故①错误；综上，①①正确，故答案为：①①．【点拨】本题考查了圆周角定理，最小值问题，等边三角形判定和性质，三角形面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．23．越长越长越短【分析】根据圆心角定理解答即可.解：在同一个圆中, 当圆心角不超过180°时, 圆心角越大, 所对的弧越长，所对的弦越长，所对弦的弦心距越短．故答案为越长；越长；越短.【点拨】本题考查了圆心角定理及其推理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 24．27°【分析】根据题意易得①ACB ＝90°，然后根据圆的性质及直角三角形的两个锐角互余可求解．解：①AB 是①O 的直径，①①ACB ＝90°，①①A ＝90°﹣①ABC ＝90°﹣63°＝27°，①①D ＝①A ＝27°．故答案为27°．【点拨】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．25．（1）作图见分析；（2）53π 试题分析：（1）根据扇形定义及题目要求画出即可；（2）根据扇形的面积公式S=2360n rπ计算即可．解：（1）如图所示：（2）①①AOB=120°，①BOC=90°，①①AOC=150°，故S扇形AOC=2150253603ππ⨯⨯=．26．（1）26；（2）13【分析】（1）连接OB，结合OD①AB，根据垂径定理，推导得①AOD；再根据圆心角、圆周角的性质，即可得到答案；（2）结合题意，根据垂径定理性质，计算得AC；再结合OD①AB，通过勾股定理即可计算得①O的半径．解：（1）连接OB①⊥OD AB①AD BD=①52AOC BOD∠=∠=①12DEB BOD ∠=∠①26DEB∠=（2）①⊥OD AB①112412 22AC AB==⨯=设OA x =，则8OC x =-在Rt ACO 中，()222128x x =+-①13x =①O 的半径长为13．【点拨】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握垂径定理、圆心角、圆周角、勾股定理的性质，从而完成求解．27．(1)同弧所对的圆周角相等；(2)见分析；1；【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等可得ABE ACD ∠=∠；（2）由BAE CAD ∠=∠可得BAC EAD ∠=∠，再由ACB ADE ∠=∠可得ABC AED ∽△△；（3）连接AD ，BE ，由2AB BC CD DE EA =====可得AB BC CD DE BA ====，进而BE AD BD ==，BE =AD =BD ，再由AB DE AE BD BE AD ⋅+⋅=⋅解方程即可；(1)解：①同弧所对的圆周角相等，AD AD =，①ABE ACD ∠=∠；故答案为：同弧所对的圆周角相等；(2)解：①BAE CAD ∠=∠，①BAE EAC CAD EAC ∠+∠=∠+∠，①BAC EAD ∠=∠，①AB AB =，①ACB ADE ∠=∠；(3)解：如图，连接AD ，BE ，①2AB BC CD DE EA =====，①AB BC CD DE BA ====，①AB AE AE ED CD CB +=+=+，①BE AD BD ==，①BE =AD =BD ，①四边形ABDE 是O 的内接四边形，①AB DE AE BD BE AD ⋅+⋅=⋅，①2AB DE EA ===，①2222BD BD ⨯+=，解得：1BD =或1BD =，①对角线BD 1；【点拨】本题考查了圆内接多边形，圆心角、弧、弦关系，相似三角形的判定和性质，一元二次方程等知识；掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题关键．28．(1)见分析(2)【分析】（1）根据AB CD ⊥得，90AME DMB ∠=∠=︒，根据等弧或同弧所对的圆周角相等可得BDC BAF ∠=∠，DBA DFA ∠=∠，根据等角的余角相等可得AEM DBM ∠=∠，进而可得DFA DEF ∠=∠，根据等角对等边即可得证；（2）连接,,,OF OC CF AC ，根据①BAF ＝22.5°，证明COF 是直角三角形，勾股定理求得CF ，进而证明MN 是ECF △的中位线，即可求解．解：(1)BF BC =，BDC BAF ∴∠=∠，AB CD ⊥，90AME DMB ∴∠=∠=︒，90,90BAF AEM CDB DBM ∴∠+∠=︒∠+∠=︒，AEM DBM ∴∠=∠，AD AD =，DBA DFA ∴∠=∠，AEM DEN ∠=∠，DFA DEF ∴∠=∠，DE DF ∴=；(2)如图，连接,,,OF OC CF AC ，BF BC =，22.5CDB BDF BAF ∠=∠=∠=∴︒， 45CDF CDB BDF ∴∠=∠+∠=︒， CF CF =，290COF CDF ∴∠=∠=︒，在Rt COF △中，CF == 由（1）得，DE DF =，DEF ∴是等腰三角形， CDB BDF ∠=∠，EN FN ∴=，N ∴是EF 的中点，BF BC =，BAF BAC ∴∠=∠，AB CD ⊥，AM EC ∴⊥，EM MC ∴= ，∴12MN CF == 【点拨】本题考查了圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．。

《弧、弦、圆心角》练习题

24.1.3 弧、弦、圆心角5分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.下列说法中，正确的是( )A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等思路解析：根据弧、弦、圆心角的关系知：等弦所对的弧不一定相等，圆心角相等，所对的弦相等缺少等圆或同圆的条件，所以也不对；弦相等所对的圆心角相等缺少等圆或同圆的条件，弦所对的弧也不一定是同弧，所以不正确；等弧所对的弦相等是成立的. 答案：B2.如图24-1-3-1，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，已知AB=4，CD=2，AB 的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( )图24-1-3-1A.3∶2B.5∶2C.5∶2D.5∶4 思路解析：作OE ⊥CD 于E ，则CE=DE=1，AE=BE=2，OE=1. 在Rt △ODE 中，OD=2211+=2.在Rt △OEB 中，OB=22OE BE +=14+=5.∴OB ∶OD=5∶2.答案：C3.半径为R 的⊙O 中，弦AB=2R ，弦CD=R ，若两弦的弦心距分别为OE 、OF ，则OE ∶OF 等于( )A.2∶1B.3∶2C.2∶3D.0 思路解析：∵AB 为直径，∴OE=0. ∴OE ∶OF=0. 答案：D10分钟训练(强化类训练,可用于课中)1.一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________. 思路解析：41×360°=90°，∴弦所对的圆心角为90°. 答案：90°2.弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________. 思路解析：如图，OD ⊥AB ，OD=DB=AD. 设OD=x ，则AD=DB=x.在Rt △ODB 中，∵OD=DB ，OD ⊥AB,∴∠DOB=45°.∴∠AOB=2∠DOB=90°， OB=22222=+++x x DB OD x. ∴AB ∶BC=1∶2=2∶2.∴弦与直径的比为2∶2，弦所对的圆心角为90°. 答案：2∶2 90°3.如图24-1-3-2，已知以点O 为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB 交小圆于C 、D.图24-1-3-2(1)求证：AC=DB ；(2)如果AB=6 cm ，CD=4 cm ，求圆环的面积.思路分析：求圆环的面积不用求出OA 、OC ，应用等量代换的方法.事实上，OA 、OC 的长也求不出来.（1）证明：作OE ⊥AB 于E ，∴EA=EB ，EC=ED.∴EA －EC=EB －ED ，即AC=BD. （2）解：连结OA 、OC.∵AB=6 cm ，CD=4 cm ，∴AE=21AB=3 cm.CE=21CD=2 cm. ∴S 环=π·OA 2－π·OC 2=π（OA 2－OC 2）=π［（AE 2＋OE 2）－（CE 2＋OE 2）］=π（AE 2－CE 2）=π（32－22）=5π（ cm 2）. 4.(经典回放)如图24-1-3-3所示，AB 是⊙O 的弦(非直径)，C 、D 是AB 上的两点，并且AC=BD.求证：OC=OD.图24-1-3-3思路分析：根据弧、弦、圆心角的关系得出.证法一：如图(1)，分别连结OA 、OB.∵OA=OB ，∴∠A=∠B. 又∵AC=BD ，∴△AOC ≌△B OD.∴OC=OD.(1) (2) 证法二：如图(2)，过点O 作OE ⊥AB 于E ， ∴AE=BE.∵AC=BD ，∴CE=DE.∴OC=OD. 5.如图24-1-3-4，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6 cm ，EB=2 cm ，∠CEA=30°，求CD 的长.图24-1-3-4思路分析：如何利用∠CEA=30°是解题的关键，若作弦心距OF ，构造直角三角形，问题就容易解决.解：过O 作OF ⊥CD 于F ，连结CO. ∵AE=6 cm ，EB=2 cm ，∴AB=8 cm.∴OA=21AB=4（cm ），OE=AE －AO=2（cm ）. 在Rt △OEF 中， ∵∠CEA=30°，∴OF=21OE=1（cm ）. 在Rt △CFO 中，OF=1 cm ，OC=OA=4(cm)，∴CF=22OF OC =15(cm). 又∵OF ⊥CD ， ∴DF=CF.∴CD=2CF=215（ cm ）.6.如图24-1-3-5，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD ，垂足为E ，BF ⊥CD ，垂足为F ，我们知道EC 和DF 相等.若直线EF 平移到与直径AB 相交于P(P 不与A 、B 重合),在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?为什么?当EF ∥AB 时,情况又怎样?图24-1-3-5思路分析：考查垂径定理及三角形、梯形相关知识.可适当添加辅助线. 解：当EF 交AB 于P 时,过O 作OM ⊥CD 于M,则CM=DM.通过三角形,梯形知识或构造矩形可证明AM=MF,∴EC=DF. 当EF ∥AB 时,同理作OM ⊥CD 于M,可证四边形AEFB 为矩形. 所以EF=AB.且EM=MF,又由垂径定理有CM=MD,∴EC=DF. 快乐时光数到100再说某冬日,上课了,伊万老师靠教室壁炉站着,对学生们说:“说话前要多考虑,至少要数到50下才说,重要的话要数到100下.”学生们争先恐后地数起来,最后不约而同地爆发出:“99、100,老师的衣服着火了!”30分钟训练(巩固类训练,可用于课后) 1.如图24-1-3-6所示，AB 、CD 是⊙O 的两条直径，弦BE=BD ，则弧AC 与弧BE 是否相等？为什么？图24-1-3-6思路分析：欲求两弧相等，结合图形，可考虑运用“圆心角、弧、弦、弦心距”四量之间的“等对等”关系，可先求弧AC与弧BE所对的弦相等，也可利用“等量代换”的思想，先找一条弧都与弧AC以及弧BE相等.解：弧A C=弧BE.原因如下：法一：连结AC，∵AB、CD是直径，∴∠AOC＝∠BOD.∴AC＝BD.又∵BE＝BD，∴AC＝BE.∴弧AC=弧BE.法二：∵AB、CD是直径，∴∠AOC＝∠BOD.∴弧AC=弧BD.∵BE＝BD，∴弧BE=弧BD.∴弧AC=弧BE.2.如图24-1-3-7所示，AB是⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交⊙O于点E、F.试证:弧AE=弧BF.图24-1-3-7思路分析：欲求弧相等，结合图形，可先求弧所对的圆心角相等，即求∠AOE＝∠BOF.证明：∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.∵AO＝OB，∴∠A＝∠B.∴∠OCD－∠A＝∠ODC－∠B，即∠AOC＝∠BOD，即∠AOE＝∠BOF.∴弧AE=弧BF.3.如图24-1-3-8，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？图24-1-3-8思路分析：应用圆心角、弧、弦的关系解决.证明弦相等往往转化成圆心角相等.解：在⊙O中，∵∠1=∠2=∠3，又∵AB、CD、EF都是⊙O的直径，∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.∴弧DF=弧AC=弧BE.∴AC=EB=DF.4.为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的方案由圆和三角形组成(圆和三角形个数不限)，并且使整个图案成对称图形，请你画出你的设计方案图(至少两种).思路解析：设计的基本思路是等分圆心角，或等分圆周，取得轴（或中心）对称的对应点，适当画圆或连线，设计出一些适合要求的图案.答案：根据题意画出如下方案供选用，如图,本题答案不唯一，只要符合条件即可.5.如图24-1-3-9，已知在⊙O中，AD是⊙O的直径，BC是弦，AD⊥BC，E为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？(要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程，只写出6条以上的结论)图24-1-3-9思路解析：因AD⊥BC，且AD为直径，所以可以利用垂径定理得到一些结论，同时可证得AD垂直平分BC，据此又能得到许多结论.本题是2000年新疆建设兵团的模拟题，是一个开放性试题，开放到可以不写步骤，但它比书写证明一个结论步骤的题考查面更广，因为写出六个结论考生需要证明六个题.本题是一个考查考生发散思维能力和创新意识的好题.答案：（1）BE=CE；（2）弧BD=弧CD；（3）弧AB=弧AC；（4）AB=AC；（5）BD=DC；（6）∠ABC=∠ACB；（7）∠DBC=∠DCB；（8）∠ABD=∠ACD；（9）AD是BC的中垂线；（10）△ABD≌△ACD；（11）O为△ABC的外心等等.6.如图24-1-3-10，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求⊙O的半径.图24-1-3-10思路分析：圆中的有关计算，大多都是通过构造由半径、弦心距、弦的一半组成的直角三角形，再利用勾股定理来解决.解：过O作OC⊥AB于C，连结OA，则AB=2AC=2BC.在Rt △OC A 和△OCP 中，OC 2=OA 2－AC 2，OC 2=OP 2－CP 2， ∴OA 2－AC 2=OP 2－CP 2.∵AB=10，PA=4，AB=2AC=2BC ，∴CP=AB －PA －BC=1，AC=5. ∴OA 2－52=52－1.∴OA=7，即⊙O 的半径为7 cm.7.⊙O 的直径为50 cm ，弦AB ∥CD ，且AB=40 cm ，CD=48 cm ，求弦AB 和CD 之间的距离.思路分析：（1）图形的位置关系是几何的一个重要方面，应逐步加强位置感的培养.（2）本题往往会遗忘或疏漏其中的一种情况.(1)解：（1）当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图(1),作OG ⊥AB 于G ，交CD 于E ，连结OB 、OD.∵AB ∥CD ，OG ⊥AB ，∴OE ⊥CD.∴EG 即为AB 、CD 之间的距离 ∵OE ⊥CD ，OG ⊥AB ，∴BG=21AB=21×40=20（cm ）， DE=21CD=21×48=24（cm ）.在Rt △DEO 中，OE=22DE OD -=222425-=7（cm ）. 在Rt △BGO 中，OG=22BG OB -=222025-=15（cm ）. ∴EG=OG －OE=15－7=8（cm ）.(2)（2）当AB 、CD 在圆心两侧时，如图(2)，同理可以求出OG=15 cm ，OE=7 c m ，∴GE=OG ＋OE=15＋7=22（cm ）.综上所述，弦AB 和CD 间的距离为22 cm 或7 cm.。

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考点一：圆心角，弧，弦的位置关系
1.如图，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（）
2.如图，BE是半径为6的圆D的14圆周，C点是BE上的任意一点，△ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（）
2、已知AB^、CD^是同圆的两段弧，且AB^=2CD^，则弦AB与2CD之间的关系为（）
A、AB=2CD
B、AB＜2CD
C、AB＞2CD
D、不能确定
4、下列语句中正确的是（）
A、相等的圆心角所对的弧相等
B、平分弦的直径垂直于弦
C、长度相等的两条弧是等弧
D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
5、在一扇形统计图中，有一扇形的圆心角为60°，则此扇形占整个圆的（）
6、有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（）
7、（2007•重庆）如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出下列五个结论：
①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣孤DE的2倍；⑤AE=BC．其中正确结论的序号是（）
1题2题3题
8.如图所示，⊙O半径为2，弦BD=2 3，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上，则四边形ABCD的面积为
9.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．
（1）P是CAD^上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；
（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．
考点二：圆周角定理
1、如图，△ABC中，∠A=60°，BC为定长，以BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E．连接DE，已知DE=EC．下列结论：
①BC=2DE；②BD+CE=2DE．其中一定正确的有（）
2.一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD为（）
3.如图AB是⊙O的直径，AC^所对的圆心角为60°，BE^所对的圆心角为20°，且∠AFC=∠BFD，∠AGD=∠BGE，则∠FDG 的度数为（）
4.如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C=40°，则∠ABD的度数为（）
1题图2题3题4题。