2423圆心角弧弦弦心距之间的关系精品PPT课件

A
P
O·
C
N
∴ OM⊥AB ∴ ON⊥CD
D
∴ OM＝ON
∴AB＝CD
例1：如图，点O是∠EPF平分线上的一点，以O为圆心的圆和角
的两边分别交于点A、B和C、D
求证：AB=CD B
M
A
P
O·
C
N
D
B CE
M •O PN
变式2：
已知：如图，
⊙O的弦AB， CD相交于点P， APO=∠CPO F 求证：AB=CD
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？ 为什么？ OE﹦OF
证明：∵ O﹦CD ∴ AE﹦CF
O·
D
∵ OA﹦OC ∴ Rt△AOE≌Rt △COF
F
∴ OE﹦OF
C
五、例题
例1 如图，在⊙O中， AB = 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC
2相等的弧所对的弦相等。（ √ ）
B
二.如图，⊙O中，AB=CD,
1A
1 50， 则 2 _5_0_o_ .
C 2O
D
四、练习
如图，AB、CD是⊙O的两条弦． （1）如果AB=CD，那么__A ___B __=___C _，D _______A_O_B_____C__O_D．
（2）如果 AB= CD，那么____A__B_=__C_D__，____A__O_B______C．OD （3）如果∠AOB=∠COD，那么___A __B __= ___C ___D ，____A__B_=__C．D
24.2.3圆的对称性
圆心角、弧、弦、弦心距 之间的关系
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
同圆
重合的两个圆
O
等圆
半径相等的两个圆
同圆或等圆的半径相等
O O'
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
D
弦
C
弧
A
B
等弧
在同圆或等中，能够互相重合的两条弧叫做等弧
B
如图：以圆心O为顶点作一个
角，这个角的两边与圆O相交，
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角 _相__等__， 所对的弦___相__等___；
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角 __相__等__，所对的弧____相__等___．
同圆或等圆中， 两个圆心角、两 条弧、两条弦、 两条弦的弦心距中 有一组量相等， 它们所对应的其 余各组量也相 等．
➢ 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,
条件： 在等圆或同圆中 圆心角相等
结论：
演示
圆心角所对弧相等
圆心角所对弦相等 圆心角所对的弦心距相等
猜想：把圆心角相等与三个结论的任何一个 交换位置，有怎样的结果？
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在自己的圆内作两条长度相同的弦，量一 量它们所对的圆心角
D B
C O A
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
两位同学作一条长度相同的弦，看一 看它们所对的圆心角是否相同
B
O
A
B'
O'
A'
(2) 推论： 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、 两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，
那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
A
D B
O
B' D' A'
三、定理
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等，所对的弦心距相等。
A′
B
B′
A′ B
B′
·
O
A
·
O
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的
位置时， ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重合，OB与OB′重
合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点 A与 A′重
合，B与B′重合．
∴A︵B与
︵
A'B
'
.
重合，AB与A′B′重合．
推 ➢ ②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中, 论 ➢ 有一组量相等,那么它们所对应的
➢ 其余各组量都分别相等.
A
D
B
●O
如由条件: ③AB=A′B′ ①∠AOB=∠A′O′B′
可推出 ⌒ ⌒ ②AB=A′B′
┏
A′ D′ B′
④ OD=O′D′
试一试你的能力
一.判断下列说法是否正确：
1相等的圆心角所对的弧相等。（ ×）
证明：
AC ,∠ACB=60°,
A
∵ AB = AC
∴ AB=AC． 又∠ACB=60°，
O·
B
C
∴ AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
例1：如图，点O是∠EPF平分线上的一点，
以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B
和C、D 求证：AB=CD
证明：作OM⊥AB，
B M
ON⊥CD，M、N为垂足， ∵ ∠MPO=∠NPO
如果设这个角是∠ＡＯＢ，那 么OA、OB分别与⊙O相交于点
┌M O
Ａ与点Ｂ
A
(
顶点在圆心的角称为圆心角，把以点Ａ和点 B的端点的弧AB称为圆心角∠ＡＯＢ所对的 弧，把象ＯＭ这样的以圆心Ｏ到弦ＡＢ的距 离称为弦ＡＢ的弦的弦心距．
练习：判别下列各图中的角是不是圆心角， 并说明理由。
O
O
①
②
O
O
③
④
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
︵︵
AB A' B '.
AB A' B '.
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
A
D B
B'
B
O D' O
A
A'
B'
O'
A'
前提条件
在同圆或等圆中，
相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对的弦心距相等
三、巩固应用、变式练习
1 、 判断题，下列说法正确吗？为什么？
（1）如图：因为∠AOB=∠A’OB’，
A
变式1：
B
M
A
·O
D
N
C
变式3：如图M、N为AB、
CD的中点,且AB=CD. 求证：∠AMN＝∠CNM
AC
M• N O
B D
三、基础练习：
A⌒mB
1、一条弦把圆分成3：6两部分，则优弧所对
的圆心角为 240 °.
2、A、B、C为⊙O上三点，若 A⌒B 、B⌒C 、C⌒D 的度数之比为1：2：3，
则∠AOB= 60 °，
∠BOC= 120 °, ∠COA= 180 °.
3、在⊙O中，AB弧的度数为60°，AB弧的长
︵︵ 所以AB=A`B`. （不对）
O B'
（2）在⊙O和⊙O’中，如果
A'
B
︵︵ AB=A’B’,那么AB=A`B`.
A
（不对）
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
(1)定理：在同圆(或等圆)中，相等的圆心角 所对的弦 相等，所对的弧相等，所对的弦心 距相等。
思考定理的条件和结论分别是什么？并回答：
在等圆中
两位同学先作一个度数相同的圆心角！
B
O
A
B'
O'
A'
这两个相等的圆心角所对的弦分别是哪两条？ 它们相等吗？ 用尺量一量！
这两个相等的圆心角所对的弧分别是哪两条？
它们相等吗？ 用什么方法验证的?
叠合法
二、
探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你 能发现哪些等量关系？为什么？