圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆心角弧弦弦心距之间的关系PPT教学课件
课前阅读识记——了解文学常识
张孝祥 (1132－ 1170)，南宋著名词人。 字安国， 号于湖居士。 乌江 (今安徽和县乌江 镇)人。 他的词风格豪 迈，多感怀时事之作。 有《于湖词》存世。
课前阅读识记——了解文学常识
辛弃疾(1140－ 1207)，字幼安，号稼 轩， 历城(今山东济 南)人。 南宋词人， 词属豪放派，有《稼 轩长短句》。
但是，从另一方面看，苏轼毕竟是苏轼，他生 性旷达洒脱，并没有真的消极，“大江东去， 浪淘尽、千古风流人物”。所有的风流人物都 已经随着历史的潮水而被涤荡了，即使周瑜这 样的人物不也是“浪淘尽”了吗？人生就如同 梦境一般，何必过于执着呢？ 不如意事十之 八九，还是“一尊还酹江月”吧。
课堂读写探究——重点突破
⑨巷陌． ( mò ) ⑩佛．狸祠 ( bì )
课前阅读识记——夯实基础知识
（2）准确识记下列多音字的读音
劲劲劲．．头敌
jìn jìnɡ
课前阅读识记——夯实基础知识
（3）辨形组词
①砌 沏砌 沏墙 茶 ③帐 账蚊 账帐 簿 ⑤瑾 谨怀 谨瑾 慎握 瑜
②蝉 婵寒 婵蝉 娟 ④霭 蔼暮 和霭 蔼 ⑥胥 婿狼 女婿 居胥
课前阅读识记——速读感知课文
《念奴娇 赤壁怀古》 1．上阕中作者极力地渲染景物的宏伟、壮阔、气势 磅礴，目的是什么？
答案 唯有这样的景物才配得上风流人物，这就为 叱咤风云的英雄人物的出场做了绝好的铺垫。同时 也表现了作者博大的胸襟和豪迈的气概。这也体现 了作者作为豪放派代表的词风。
课前阅读识记——速读感知课文
求证：CD＝AE＝BF。
A C
E
FD
O
B
弧、弦、弦心距之间的不等量关系
在同圆或等圆中，是不是弧越长，它所对的 弦越长？是不是弦越长，它所对的弧越长？
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心弧弦弦心距之间的关系［知识要点归纳］1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。
2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
从圆心到弦的距离叫做弦心距。
3. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
4. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。
（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等。
（2弦心距这四个概念与“所对”一词的含义，从而正确运用上述关系。
下面举四个错例：若⊙中，，则，O AC DB CE FD CEA DFB ⋂=⋂=∠=∠根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对的圆心角相等”，在“同圆中，相等的弦所对的劣弧相等”等。
5. 1°的弧：因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，我们把每一份这样的弧叫做1°的弧。
一般地，n °的圆心角对着n °的弧，n °的弧对着n °的圆心角，也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
注意：这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。
而不是角与弧相等，在书写时要防止出现“∠=⋂AOB AB ”之类的错误。
因为角与弧是两个证明：（1）过O 点作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CD 于N∵PO 平分∠APC ∴OM ＝ON∴AB ＝CD （在同圆中，相等的弦心距所对的弦相等）此题还有几种变式图形，道理是一样的。
弦AB 、点重合。
若PO 弦AB 、 POAB ＝CD （2）在∠=∠∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪12OMP ONP OP OP∴≅∆∆POM PON AAS ()∴=PM PNAM AB CN CD AB CD ===1212，， ∴=AM CN∴+=+PM AM PN CN 即PA ＝PC（）把作出来，变成一段弧，然后比较与的大小。
九年级上册数学圆的定理
九年级上册数学圆的定理
九年级上册数学中有关圆的定理有很多，以下是其中一部分：
1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两
条弧。
推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且
平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平
分弦所对的两条弧。
2.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，相等
的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同
圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的'
弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别
相等。
3.过三点的圆：不在同一条直线上的三点确定一个圆。
三角形的
外接圆圆心（外心）是三边垂直平分线的交点。
以上信息仅供参考，建议查阅九年级上册数学教材或相关辅导资料，获取更全面和准确的信息。
24.2.3圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
（2）AE= BF B
1.如图，已知AD＝BC，
︵
︵
A
C
D O
B
试说明AB=CD
2.如图，点O在∠CAE的平分线上，以O为 圆心的圆分别交∠CAE的两边于点B、C和 D、E。则AB与AD有怎样的大小关系？试 证明。
B A D
F
C O
G
E
4、已知：如图， ⊙O的两条半径 OA⊥OB，C、D是弧AB的三等分点。 求证：CD＝AE＝BF。
24.2 圆心角、弧、弦、弦 心距之间的关系
想一想
圆心角
圆心角 顶点在圆心的角(如∠AOB).
弦心距 过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间 的距离(如线段OD).
A D B
O
二、
探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你 能发现哪些等量关系？为什么？ A′ A′ B B B′ B′
五、例题
例1 如图，在⊙O中， AB = 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC
AC
,∠ACB=60°,
A
证明：
∵
AB =
AC
B
O
∴ AB=AC． 又∠ACB=60°， ∴ AB=BC=CA.
·
C
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
你会做吗?
三, 如图，在⊙O中，AC=BD， 1 45 ,求∠2的度数。 解: ∵ AC=BD
B
AOE 180 3 35
75
︵ ︵ 1. 如图，在⊙ O 中， AB＝AC，∠B＝70°. 求 ∠C度数. ︵ ︵ ︵ 2.如图，AB是直径，BC＝CD＝DE， ∠BOC＝40°，求∠AOE的度数
第 1题
第 2题
九年级数学圆弧、弦、圆心角间的关系圆周角定理及其推论精选例题和练习..
圆周角定理及其推论一、知识点总结1．圆心角：顶点在圆心的角．注意：圆心角的底数等于它所对弧的度数．2．在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距中，只要有一组量相等，那么另外三组量也分别相等考点一：圆心角，弧，弦的位置关系二、弧、弦、圆心角、弦心距间的关系举例例1 如图，AB 为⊙O 的弦，点C 、D 为弦AB 上两点，且OC=OD ，延长OC 、OD 分别交⊙O 于点E 、F ，试证明弧AE=弧BF ． 分析：“弧AE=弧BF”←“∠______=∠______” 把证弧相等转化为证________________． 证明：例2 如图，点O 是∠BPD 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、B 和C 、D ．求证：AB=CD ． 分析：把证明弦相等转化为证明_弦心距_相等．例3如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ，连接AC 、 OC 、BC ．(1)求证：∠ACO=∠BCD ．(2)若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径． 分析： (1)∠ACO=∠______， 而∠______=∠______． (2)在Rt ⊿______中，利用勾股定理列方程求例4 已知，如图，在⊿ABC 中，AD ，BD 分别平分∠BAC 和∠ABC ，延长AD 交⊿ABC 的外接圆于E ，连接BE ．求证：BE=DE ． 分析：把证BE=DE 转化为证∠____=∠____． CDBF E ONMDCB AOEAO DC DA1.如图1，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（）2.如图2，BE是半径为6的圆D的14圆周，C点是BE上的任意一点，△ABD 是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（）2、已知AB^、CD^是同圆的两段弧，且AB^=2CD^，则弦AB与2CD之间的关系为（）A、AB=2CDB、AB＜2CDC、AB＞2CDD、不能确定4、下列语句中正确的是（）A、相等的圆心角所对的弧相等B、平分弦的直径垂直于弦C、长度相等的两条弧是等弧D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴5、在一扇形统计图中，有一扇形的圆心角为60°，则此扇形占整个圆的（）6、有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（）7、如图3，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出下列五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣孤DE的2倍；⑤AE=BC．其中正确结论的序号是（）图1图2图38.如图所示，⊙O半径为2，弦，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上，则四边形ABCD的面积为9.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．（1）P是CAD^上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．3．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半．1.如图1，∠A 是⊙O 的圆周角，且∠A ＝35°,则∠OBC=_____.2.如图2，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB= ．3：如图3，AB 是⊙O 的直径，点C D E ，，都在⊙O 上，若C D E ==∠∠∠，则A B +=∠∠ º． 4：如图4，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，40EOD ∠=，则DCF ∠= ．图2 图14．圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注：有直径时，常添加辅助线，构造直径所对的圆周角，由此转化为直角三角形的问题．考点2：圆周角定理1、如图，△ABC 中，∠A=60°，BC 为定长，以BC 为直径的⊙O 分别交AB ，AC 于点D ，E ．连接DE ，已知DE=EC ．下列结论：①BC=2DE ；②BD+CE=2DE ．其中一定正确的有（ ）2.一个圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥AB 长100m ，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD 为（ ）3.如图AB 是⊙O 的直径， AC^所对的圆心角为60°， BE^所对的圆心角为20°，且∠AFC=∠BFD ，∠AGD=∠BGE ，则∠FDG 的度数为（ ）4. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 两点在⊙O 上，若∠C=40°，则∠ABD 的度数为（ ）1题图 2题 3题4题5：已知：如图，AD•是⊙O•的直径，∠ABC=•30•°，则∠CAD=_______．CBO A O AB C 图3 B C D E O EF C DG O 图46：已知⊙O 中，30C ∠=，2cm AB =，则⊙O 的半径为cm ．7.已知：如图等边ABC △内接于⊙O ，点P 是劣弧BC ⋂上的一点（端点除外），延长BP 至D ，使BD AP =，连结CD ．（1）若AP 过圆心O ，如图①，请你判断PDC △是什么三角形？并说明理由． （2）若AP 不过圆心O ，如图②，PDC △又是什么三角形？为什么？8.如图AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，若AC=8㎝，AB=10㎝，OD ⊥BC 于点D ，求BD 的长9.如图，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点P ，∠CAB=40°，∠APD=65°． （1）求∠B 的大小；（2）已知圆心0到BD 的距离为3，求AD 的长．_D_B _A_O OAA O C PB 图① AOC PB 图②10.11.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD=BD=4，PC=6，那么CD的长是12.如图，已知点C、D在以O为圆心，AB为直径的半圆上，且OC⊥BD 于点M，CF⊥AB于点F交BD于点E，BD=8，CM=2．（1）求⊙O的半径；（2）求证：CE=BE．13.5.圆内接多边形：一个多边形的顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆6.圆内接四边形：圆内接四边形的对角互补如图所示，A、B、C三点在圆O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（）A. 140°B. 110°C. 120°D. 130°7.确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图5所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块 C．第③块D．第④块8.三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．这个三角形叫做圆的内接三角形。
第三节 弧,弦,圆心角,弦心距之间的关系
教师姓名学生姓名学管师学科数学年级上课时间月日：00--- ：00 课题弧，弦，圆心角，弦心距之间的关系教学目标定理的内容及其证明教学重难点定理的内容在证明中都是应用教学过程【学习准备】动手画一圆1）把⊙O沿着某一直径折叠，两旁部分互相重合观察得出：圆是对称图形；2）若把⊙O沿着圆心O旋转180°时，两旁部分互相重合，这时可以发现圆又是一个对称图形。
3）若一个圆沿着它的圆心旋转任意一个角度，都能够与原来图形互相重合，这是圆的不变性。
【解读教材】1、认识圆心角、弦心距、弧的度数1）圆心角的定义：。
2）弦心距的定义：。
3）弧的度数：①把顶点在圆心的周角等分成份时，每一份的圆心角是1°的角。
②因为在同圆中相等的圆心角所对的相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的叫做1°的弧。
③圆心角的度数和它们对的弧的相等。
2、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理自制两个圆形纸片(要求半径相等)，并且在两个圆中，画出两个相等的圆心角，探究：在⊙O中，当圆心角∠AOB=∠A′OB′时，它们所对的弧AB和A'B'，弦AB和''BA，弦心距OM和''MO是否也相等呢？定理总结：在中，相等的圆心角所对的相等，所对的相等，所对弦的也相等。
ABM OA 'M 'B '3、命题的证明: 如图，已知：∠AOB=∠A ′OB ′，求证：弧AB 和A ′B ′，弦AB 和A ′B ′，弦心距OM 和OM ′相等。
问题：定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提,是否还有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论。
举出反例： 。
归纳推论：在 中，如果两个 、两条 、两条 或两条弦的 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
（简记：“知一推三”）【例题精析】 例题一：判断：1）圆心角相等，则圆心角所对的弧也相等； ( ) 2）在同圆或等圆中，弦的弦心距相等； ( ) 3）弦的弦心距相等，则弦相等； ( ) 4）相等的圆心角所对的弧相等。
(完整版)圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理知识点及练习,推荐文档
CD 的弦心距 OF＝_______cm，弦 CD 的长为________cm。
7、 已知⊙O 的半径为 5cm，过⊙O 内一已知点 P 的最短的弦长为 8cm，则 OP＝_______。
8‘已知 A、B、C 为⊙O 上三点，若 AB 、 BC 、 CA 度数之比为 1：2：3，则
∠AOB＝_______，∠BOC＝________，∠COA＝________。
（I）连过弧中点的半径；（II）连等弧对的弦；（III）作等弧所对的圆心角。
例： 如图，CD为⊙O的弦， AC BD ，OA、OB交CD于F、E。
求证：OE＝OF
证法一：连结 OC、OD
OC OD， C D
AC BD ， COA BOD（等弧所对的圆心角相等） COF DOE OE OF
∠BOC 的度数。
3、如图 3，C 是⊙O 直径 AB 上一点，过点 C 作弦 DE，使 CD＝CO，使 AD 的度数 40°，
AOB 100 , OBC 55 ， OEC =
度.
2、如图 4，已知 AB 是⊙ O 的直径，C、D 是⊙ O 上的两点， D 130 ，则 BAC 的度数是
.
3、如图 5，AB 是半圆 O 的直径，E 是 BC 的中点，OE 交弦 BC 于点 D，已知 BC=8cm,DE=2cm，则
AD 的长为
A． 40 B． 50 C． 70 D． 80
8、如图 3，AB 为⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的两点， BAC 20 ， AD CD ，则
∠DAC 的度数是（ ）
A. 70° D
B. 45° C
C. 35°
D. 30°
A
O
B
如图 3 二、填空题
3.2圆的对称性(2)圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系
D D
●
B
O
B
●
O
●
O′
┏ A′ D′ B′ 由条件: 由条件: AOB=∠ ①∠AOB=∠A′O′B′
可推出
┏ A′ D′ B′ ⌒ ⌒ ②AB=A′B′ ③AB=A′B′ ④ OD=O′D′
猜一猜
拓展与深化
在同圆或等圆中,如果轮换下面五组条件: 同圆或等圆中 如果轮换下面五组条件: 两个圆心角, 两条弧, 两条弦, ①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心 你能得出什么结论? 距,你能得出什么结论?与同伴交流你的想法 和理由. 和理由.
B′
M′
A′
O M A
B
O
B(B′)
M′
M A ( A ′)
想一想
圆心角
圆心角, 圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
如图,如果在两个等圆⊙ 如图,如果在两个等圆⊙O和⊙O′中,分别作相等 O′中 的圆心角和∠AOB和 A′O′B′,固定圆心 固定圆心, 的圆心角和∠AOB和∠A′O′B′,固定圆心,将其中 的一个旋转一个角度,使得OA和O′A′重合 重合. 的一个旋转一个角度,使得OA和O′A′重合.
九年级数学(下)第三章 《圆》
3.2圆对称性 3.2圆对称性(2) 圆对称性(2) 圆心角, 圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系
想一想
圆的对称性及特性 圆的对称性及特性
圆是轴对称图形, 圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过 圆心的直线,它有无数条对称轴. 圆心的直线,它有无数条对称轴. 圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心. 圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心. 用旋转的方法可以得到: 用旋转的方法可以得到:
O
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圆心 弧 弦 弦心距之间的关系
［知识要点归纳］
1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。
2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
从圆心到弦的距离叫做弦心距。
3. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
4. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。
例1.
例2.
A C ..
例3.
例4.
【模拟试题】
一. 选择题。
1. 在⊙O 与⊙O'中，若∠=∠AOB A O B '''中，则有（ ）
A. AB A B ⋂=⋂
''
B. AB A B ⋂>⋂''
C. AB A B ⋂<⋂
'' D. AB A B ⋂⋂
与''的大小无法比较
2. 半径为4cm ，120°的圆心角所对的弦长为（ ）
A. 5cm
B. 43cm
C. 6cm
D. 33cm 3. 在同圆或等圆中，如果圆心角∠BOA 等于另一个圆心角∠COD 的2倍，则下列式子中能成立的是（ ） A. AB CD =2
B. AB CD ⋂>⋂2
C. AB CD ⋂<⋂
2
D. AB CD ⋂=⋂2
4. 在⊙O 中，圆心角∠AOB ＝90°，点O 到弦AB 的距离为4，则⊙O 的直径的长为（ ） A. 42 B. 82 C. 24 D. 16
5. 在⊙O 中，两弦AB ＜CD ，OM 、ON 分别为这两条弦的弦心距，则OM 、ON 的关系是（ ） A. OM ON > B. OM ON = C. OM ON <
D. 无法确定
6.
DAC
二. 1. 2. 3. 4. 弦CD 的弦心距OF ＝_______cm ，弦CD 的长为________cm 。
5. 已知⊙O 的半径为5cm ，过⊙O 内一已知点P 的最短的弦长为8cm ，则OP ＝_______。
6. 已知A 、B 、C 为⊙O 上三点，若AB BC CA ⋂⋂⋂
、、度数之比为1：2：3，则∠AOB ＝
_______，∠BOC ＝________，∠COA ＝________。
7. 已知⊙O 中，直径为10cm ，AB ⋂是⊙O 的1
4
，则弦AB ＝_________，AB 的弦心距＝
_________。
三. 解答题。
1. 如图：已知，OA 为⊙O
OB ＝8，求AC 的长。
2. 如图，∆ABC 中，∠=︒A 70，的度数。
3. 已知：如图，在⊙O 中，弦于G ，求：OG 的长？
4. 已知：如图，AB CD OE ⋂=⋂
，
5. 如图，C 是⊙O 的直径AB 求BE ⋂
的度数。
求证：∆
7. 如图，⊙O。