第七章 机械振动基础dch7B

•单自由系统度受迫振动–无阻受迫振动–有阻受迫振动•二自由度系统的自由振动•连续体的振动–弦的振动t h x xωωsin 2=+ mH h /=其中：当0ωω≠)sin(0ϕω+=t A x t hωωωsin 220-+一、无阻受迫振动st0δ+l xokm)(t F tH t F ωsin )(=当ωω=称为共振频率thtt A x ωωϕωcos 2)sin(00-+=gF F a m t m k ++=)(t H kx xm ωsin =+ mg t H x k xm st +++-=ωδsin )(二、有阻受迫振动st0δ+l xok mc)(t F tH kx x c x m ωsin =++ th x x x ωωδsin 22=++ )sin()sin(Aed -βωϕωδ-++=t B t x t2222204)(ωδωω+-=hB gF F F a m t m c k +++=)(πω=B 与系统的固有参数有关，与初始条件无关tH t F ωsin )(=（1）当ωω<<kH m k m H h B ==≈//20ω（2）当ωω>>02≈≈ωh B （3）当ωω=δω2h B =（4）当2202δωω-=B 取得极大值)sin()sin(Ae d -βωϕωδ-++=t B t x t2222204)(ωδωω+-=hB 讨论解的特性例：已知：机座与定子的质量为，转子的质量为，偏心为e ，每个弹簧的刚度系数为k ，阻尼器的阻尼系数为c 。

试建立机座的动力学方程。

0m m例：已知：，求机座的动力学方程。

ω,,,,0k e m m 设：取静平衡位置为坐标原点x 为机座质心的坐标。

)sin ()(00t e x m x m x m m C ω-+=+tme kx x c x m m ωωsin 2)(2-=+++ ck C m m m m F 2F g a +++=+)()(00解：应用质心运动定理x c x k g m m t me x m m st-+-+=++)(2)(sin )(020δωω将质心运动定理公式在x 轴上投影：k g m m δ2)(=+ 0m kθωmoxkc )sin ()(200t e x m x m x m m C ωω++=+ tωθ=tme kx x c x m m ωωsin 2)(20-=+++ th x x x ωωδsin 22=++ 020020,)(2,2m m me h m m c m m k +-=+=+=ωδω)sin()sin(ed -βωϕωδ-++=t B t A x t2222204)(ωδωω+-=hB 减小振幅B 的方案：•增加弹簧刚度、增大阻尼•减小偏心距例：已知, 求相对运动动力学方程。

t r x k c m ωsin ,,,e =rst 0e a x l x x +++=δrst r a )(x c x k mg x m -+-=δtr x x x ωωωδsin 222=++ 解：取物块为研究对象，应用牛顿第二定理ck m m F F g a ++=a re a x x x +=rst r r e )()(x c x k mg x x m -+-=+δ该式对时间求二阶导数将矢量方程在绝对坐标轴上投影k mg t r x δωω=-=sin 2e st0δ+l rx ex ax ogm ckt m r kx x c x m ωωsin 2r r r =++ 几何关系t h x x x ωωδsin 2r20r r =++ 220,2,ωδωr h m c m k ===)sin()sin(e d -r βωϕωδ-++=t B t A x t2222204)(ωδωω+-=h B 相对运动绝对运动)m (a x )m (r x m1.0,rad/s 0.60,s /0.7,rad/s 30====r ωδωm04.0m 1.0m 1.0时态 稳 m axam ax r m ax e ≈≈=x x x§7-3 单自由度系统的受迫振动s)(t 绝对加速度)m /s (2a x 2m a x a m /s82≈x 2m a x e m /s360=x 相对加速度)m /s (2r x 2m a x r m /s 350≈xCBACx 2k θ1k 一、运动微分方程的建立AF BF gm 汽车的简化模型如图，设:建立其微幅运动微分方程CJ k k m l BC l AC ,,,,,2121==（1）应用质心运动定理：g F F a m m B A C ++=mg F F xm B A C ---= θδsin 11l x x C st A -+-=θδsin 22l x x C st B ++-=θ)()(221121k l k l x k k xm C C -++-= （2）应用相对质心的动量矩定理：B AC F l F l J 21-=θCx k l k l )(2211-=θ)(22l k l k +-θθ)()(22l k l k x l k l k J +--= x)()(221121=--++θk l k l x k k x m C C 0)()(2222112211=++--θθl k l k x l k l k J C C 0001212221122112221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡θθC C C x k l k l k l k l k l k l k k x J m2211l k l k =如果：000012122221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡θθC C C x k l k l k k x J m 0)(21=++C C x k k xm 0)(222211=++θθl k l k J C2222112121x m x m T +=2122211)(2121x x k x k V -+=应用拉格朗日方程=+Kq q M 特征方程02=+K M λ特征根2224,32122,1ωλωλ-=-=00021222212121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x k k k k k xx m m 1k 2k 2m 1x 2x 1m 建立图示质量弹簧系统的动力学方程],[21x x T=q方程的解：tc t c t c t c x t c t c t c t c x 242312112242312111cos 'sin 'cos 'sin 'cos sin cos sin ωωωωωωωω+++=+++=2221121212211211''c k m k k c c k m k k c ωω-+=-+=4222121432221213''c k m k k c c k m k k c ωω-+=-+=00021222212121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x k k k k k xx m m将解代入动力学方程问题：4个初始条件，如何确定8各积分常数t k m k k c t k m k k c t k m k k c t k m k k c x x 2222121422221213122112121*********cos 1sin 1cos 1sin 1ωωωωωωωω⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡振型：第一振型第二振型⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=222121)2(221121)(11k m k k k m k k ωωu u1二、二自由度系统自由振动的特性特性：系统的固有频率、振型与初始条件无关，仅与系统的参数有关。

三、一般的二自由度线性系统二自由度线性系统的动力学方程021222112112122211211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x k k k k xx m m m m 0=+Kq qM M ：广义质量矩阵，K ：广义刚度矩阵解：1、求系统的动能和势能: L=T-V2、求系统的运动微分方程3、线性化方程例：图示机构在铅垂面内运动，均质杆AB 用光滑铰链与滑块连接。

求系统运动微分方程，并求其线性化方程。

AB ＝2Lθxg 1m g2m ABl k222222132cos )(21θθθ L m L x m x m m T +++=2221)cos 1(kxgL m V +-=θ0d d =∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂j j q L q L t 0sin cos )2(310sin cos )(222222221=++=+-++θθθθθθθgL m xL m L m kx L m L m x m m 非线性常微分方程0sin cos )2(310sin cos )(222222221=++=+-++θθθθθθθgL m xL m L m kx L m L m xm m 充分小时和θθ 当1cos ,sin ≈≈θθθ再略去高次项，保留线性项0)2(310)(2222221=++=+++θθθgL m L m x L m kx L m x m m 000222342221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+θθx gL m k xL m mL m m m 线性常微分方程初始条件不同，但振动的固有频率或周期是相同的。

问题：作曲家是谁？曲名是什么？A: Bach（1685-1750）B: Beethoven（1770-1827）,C: Tchaikovsky（1840-1893）Beethoven 第五“皇帝”钢琴协奏曲到2005年钢琴已有300年的历史达朗贝尔(Jean Le Rond d'Alembert,1717-1783)法国著名的物理学家、数学家和天文学家，1746年他首次给出了均匀弦的振动方程（波动方程），1763年，又进一步讨论了不均匀弦的振动，提出广义的波动方程。

一、弦的振动方程弦长弦的线质量密度弦的张力:::F lxyxx ∆+),(t x y y =x)(x F 1β)(x x ∆+F 2βe)(C ∑=Fa m 12cos )(cos )(0:ββx F x x F x -+=∆1222sin )(sin )(),(:ββρx F x x F tt x y x y -+=∂∂∆∆设弦只沿y 轴作微幅振动设弦只受拉力1cos cos ,1||21≈≈∴<<βββi =≈tan sin ββt x y ∂),(=≈tan sin ββt x x y +∂),(∆12cos )(cos )(0:ββx F x x F x -∆+=1222sin )(sin )(),(:ββ∆∆ρx F x x F tt x y x y -+=∂∂1cos cos ,1||21≈≈∴<<βββi Fx F x x F ==+)()(∆=≈=≈2211tan sin tan sin ββββxt x y ∂∂),(),(t x f =xt x x y ∂∆+∂),(),(t x x f ∆+==∂∂∆22),(t t x y x ρ)],() ,([t x f t x x f F -∆+=∂∂22),(tt x y ρx t x f t x x f F ∆-∆+)],() ,([0→∆x 2222),(),(xt x y F t t x y ∂∂=∂∂ρραF=20),(),(22222=∂∂-∂∂xt x y t t x y α);()0,(),()0,(x tx y x x y ψϕ=∂∂=弦的振动方程为偏微分方程初始条件边界条件()xl k t b t a t x y k k k k k πωωsin sin cos ),(1∑∞=+=方程的解：⎰=l k x lx k x la 0d sin )(2πϕ⎰=l k x lx k x k b d sin )(2πψπαlk k παω=;0),(,0),0(==t l y t y ραF=2偏微分方程的应用建筑物振动的研究海啸预报的研究天气预报的研究。