第七章 矩阵特征值计算[数值计算方法(浙江大学内部资料)文字版]

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矩阵特征值与特征向量计算

矩阵特征值与特征向量计算

矩阵特征值与特征向量计算在数学中,矩阵是一种非常基础而且重要的概念,它可以被看做是一种线性变换的表示。

在矩阵中,特征值和特征向量是两个非常重要的概念,它们在运用矩阵进行计算、测量和定量分析时扮演着至关重要的角色。

一、矩阵特征值的计算方法特征值是一个矩阵的固有属性,它表示在进行线性变换时,各个方向上对应的比例因子,具有很重要的几何意义。

计算一个矩阵的特征值需要使用到线性代数的基础知识和运算。

对于一个n阶方阵A,如果存在一个非零向量x和一个标量λ,使得Ax=λx,则λ是矩阵A的一个特征值,而x是对应的特征向量。

在实际计算中,我们首先需要求解方程det(A-λI)=0,其中I是指n阶单位矩阵。

这个方程的解即为矩阵A的特征值,它们可以是实数或复数。

当然,在计算特征值时,使用一些优化的方法可以更快地得出结果,例如使用特征值分析法或雅可比方法。

二、矩阵特征向量的计算方法在获得了矩阵的特征值之后,我们可以通过简单的代数运算来计算它们对应的特征向量。

设λ为矩阵A的一个特征值,x为一个对应的特征向量,我们有以下等式:(A-λI)x=0这可以被看做是一个齐次线性方程组,将它转化成矩阵形式,我们得到以下方程:(A-λI)X=0其中X=[x1,x2,...,xn]为特征向量的矩阵形式。

对于特征向量矩阵X,我们需要求解出它的非零解。

这需要使用到线性代数的基本技巧,例如高斯消元法或LU分解等。

三、矩阵特征值和特征向量的应用矩阵特征值和特征向量的应用非常广泛,从计算机科学到物理学、化学、经济学、金融学等各个领域都有它们的应用。

以下是几个主要的应用领域:1. 机器学习和人工智能在机器学习和人工智能中,特征值和特征向量经常用于降维和数据分析。

通过分析一个数据矩阵的特征值和特征向量,我们可以找到它们对应的主要特征,从而对大型数据进行有效的分析和处理。

2. 物理学和化学在物理学和化学中,特征值和特征向量可以用于计算量子力学、分析分子结构、电子轨道等问题。

数值分析-第7章 矩阵特征值问题的数值解法n

数值分析-第7章 矩阵特征值问题的数值解法n
(-3.406542,-2.460280, 6.920561) (-2.832406, -2.028615, 6.210333)
7
9 11 12
6.104716
6.026349 6.006637 6.003327
(-0.450275, -0.322058, 1.0)
(-0.445914, -0.318617, 1.0) (-0.444814, -0.31775, 1.0) (-0.444630, -0.317606, 1.0)
其中i为A的特征值,P的各列为相应于i的特征向量。
P -1 AP D
2

n
2
定理7.1.3 ARnn,1, …, n为A的特征值,则
(1)A的迹数等于特征值之和,即 tr ( A) aii i
i 1 i 1
n
n
(2)A的行列式值等于全体特征值之积,即
1 xi(k +1) / xi(k )
i 1,2,, n
可见,当k充分大时, ( k ) 近似于主特征值, ( k +1) 与x ( k )的对应非零分量的比值 x x 近似于主特征值。
在实际计算中需要对计算结果进行规 , 范化。因为当 1 1时,x (k ) 趋于零, 当1 1时, x ( k )的非零分量趋于无穷。 从而计算时会出现下溢 或上溢。
特征值的范围. 解 我们先分别求出各个圆盘区域。 D1 = {z:|z – 1|£0.6};D2 = {z:|z – 3|£0.8} D3 = {z:|z + 1|£1.8};D4 = {z:|z + 4|£0.6}. 易见D2和D4为 弧立圆盘分别 包含A的两个实 特征值.

第七章矩阵特征值和特征向量的数值解法

第七章矩阵特征值和特征向量的数值解法

第七章 矩阵特征值和特征向量的数值解法7.2典型例题精解例7.2.1 用幂法计算矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1634310232A的主特征值和相应的特征向量。

解:取初值向量u (0)=(0,0,1)T ,由式(7.1.1)得⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=======T T T u v m Av u v m )25.0,0.1,5.0(414)1,4,2()1,0,0(1)1()1(1)0()1()0(0 对k=1,2,…n,计算结果如表7.2.1所示。

表7.2.1从表7.2.1看出,当k=8时,即可达到精度,所以矩阵A 的主特征值λ1=11,对应的特征向量x 1=(0.5,1.0,0.7500)T。

例 7.2.2 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110121013A 试取平移量134.1)]32(2[21≈-+=p ,用幂法求出矩阵A 的主特征值及对应的特征向量。

如果对平移法的结果做一次Rayleigh 商加速,求A 之特征值和对应的特征向量。

解: 取134.1)]32(2[21≈-+=p ,则 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-=134.0101866.0101866.1pI A B取u (0)=v (0)=(1,1,1)T,迭代结果如表7.2.2所示。

从表7.2.2知 ⎩⎨⎧==+≈Tx p m )2695381.0,732204995.0,1(732083614.3181λ 若对上述结果做一次Rayleigh 商加速,则有 732050783.3),(),(11111=≈x x x Ax λ与真值732050808.332*1=+=λ相比,误差61*11021-⨯≤-=λλε 例 7.2.3 试用逆幂法求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=611142121A 矩阵近似于—6.42的特征值和特征向量。

解:分解A+6.42I=LR ,得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=137********.01845018450.013690036900.01L⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=960012189021.063099631.068199262.11242.5R取y (0)=(1,1,1)T 做半迭代,计算结果如表7.2.3所示。

第7章 矩阵特征值和特征向量的数值解法

第7章 矩阵特征值和特征向量的数值解法

n
i xi
i 1
n
i Ak xi
i 1
n
ii k xi
i 1
1k [1x1
n i ( i )k
i2
1
xi ]
(7.1.4)
主要用于求矩阵按模最大的特征值和相应的特征向量。设矩阵 A 的
n 个特征值 i (i 1,2,..., n) 满足:
| 1 || 2 || 3 | . . .| n | (7.1.1)
3 2.689 319 6.737 850 6.747 559 0.398 562 0.998 561 1.000 000
4 1.595 686 2.379 870 2.381 309 0.670 088 0.999 396 1.000 000
5 2.680 956 6.772 616 6.723 220 0.398 761 0.999 910 1.000 000
7 9.605 572,5.817 228,-3.778 139 1.000 000,0.605 777,-0.394 369 9.605 572
8 9.605 567,5.816 808,-3.788 717 1.000 000,0.605 566,-0.394 429 9.605 567
由表 7.1.1 知, m8 m8 105 ,故取 1 m8 9.605567 ,
u(k) ma x(u
(k
)
)
的最大分量为
1,即完成了规范化。
7.1.1 幂法原理及实用幂法
由于 v(k) 中最大分量为 1,即 max( v(k) )=1,故
v(k)
Ak u ( 0) max( Aku(0) )
(7.1.6)
由式(7.1.4)有

矩阵特征值计算公式(二)

矩阵特征值计算公式(二)

矩阵特征值计算公式(二)矩阵特征值计算公式什么是矩阵的特征值?矩阵在线性代数中起到非常重要的作用,其中一个重要的概念就是矩阵的特征值。

矩阵的特征值可以用来描述矩阵在变换中的行为,是一种非常重要的指标。

简单来说,矩阵的特征值是指在某个矩阵变换下,仍保持原向量方向的特定向量。

矩阵特征值计算公式计算矩阵的特征值通常使用特征多项式方法。

特征多项式是一个关于变量λ 的多项式,其次数等于矩阵的阶数 n。

根据特征多项式,可以得到矩阵的特征值。

以下是计算矩阵特征值的公式:1.特征多项式公式:|A−λI|=0–其中 A 表示待求特征值的矩阵,λ是特征多项式的根,I 是单位矩阵。

–|A−λI|表示矩阵 A 减去特征值λ乘以单位矩阵后的行列式。

–解上述方程,即可得到矩阵 A 的特征值。

2.特征值计算公式:det(A−λI)=0–其中det表示行列式,A 表示待求特征值的矩阵,λ是特征值,I 是单位矩阵。

–det(A−λI)表示矩阵 A 减去特征值λ乘以单位矩阵后的行列式。

–解上述方程,即可得到矩阵 A 的特征值。

计算特征值的例子假设有一个 2x2 的矩阵 A,其元素为:A = [[2, 5], [1, 3]]我们可以按照上述公式计算矩阵 A 的特征值。

1.通过特征多项式公式计算特征值:–|A−λI|=0–将矩阵 A 减去特征值λ乘以单位矩阵后的行列式等于 0。

–根据上面的矩阵 A,我们得到公式:|(2−λ)(3−λ|=0–化简求解得:λ2−5λ+1=0–解上述方程得到两个特征值:$_1 $ 和 $_2 $2.通过特征值计算公式计算特征值:–det(A−λI)=0–将矩阵 A 减去特征值λ乘以单位矩阵后的行列式等于 0。

–根据上面的矩阵 A,我们得到公式:det[2−λ513−λ]=0–化简求解得:(2−λ)(3−λ)−(1)(5)=0–解上述方程得到两个特征值:$_1 $ 和 $_2 $ 综上所述,根据矩阵 A 的特征多项式或特征值计算公式,我们可以得到矩阵 A 的特征值。

第章矩阵特征值的计算

第章矩阵特征值的计算

第章矩阵特征值的计算矩阵特征值是矩阵理论中的一个重要概念,它在很多领域中都有广泛的应用,如物理、化学、工程等。

本文将从特征值的定义、计算方法和应用举例等方面进行阐述。

一、特征值的定义对于一个n阶方阵A,如果存在一个非零向量x,使得Ax=kx,其中k 是一个常数,那么k称为A的特征值,x称为A的对应于特征值k的特征向量。

从定义可以看出,矩阵A的特征值和特征向量是成对出现的,特征向量可以是一个实数或是一个向量,特征值可以是实数或是复数。

二、特征值的计算方法1.直接计算法此方法适合于较小的矩阵。

给定一个n阶矩阵A,首先构造特征方程det(A-λI)=0,其中I是n阶单位矩阵,λ是未知数,然后求解特征方程得到特征值,将特征值代入(A-λI)x=0求解对应的特征向量。

2.幂法幂法是一种迭代方法,适用于大型矩阵。

假设特征值的绝对值最大,那么从非零向量b开始迭代过程,令x0=b,求解x1=A*x0,然后再将x1作为初始值,求解x2=A*x1,以此类推,直到收敛为止。

最后,取最终得到的向量xn,其模即为特征值的近似值。

3.QR方法QR方法是一种迭代方法,可以用于寻找特征值和特征向量。

首先将矩阵A分解为QR,其中Q是正交矩阵,R是上三角矩阵,然后对R进行迭代,重复进行QR分解,直到收敛。

最后,得到的上三角矩阵的对角元素即为特征值的近似值,在QR分解的过程中,特征向量也可以得到。

三、特征值的应用举例1.物理学中的量子力学量子力学中的哈密顿算符可以表示为一个矩阵,物理量的测量值就是对应的特征值。

例如,电子的自旋可以有上自旋和下自旋两种状态,上自旋对应的特征值为1,下自旋对应的特征值为-12.工程中的振动问题在工程中,矩阵特征值可以用来求解振动问题。

例如,振动系统的自由度决定了特征向量的个数,而特征值则表示了振动的频率。

通过计算矩阵的特征值和特征向量,可以预测系统的振动频率和振型。

3.网络分析中的中心性度量在网络分析中,矩阵特征值可以用来计算节点的中心性度量。

计算特征值技巧范文

计算特征值技巧范文

计算特征值技巧范文特征值(eigenvalue)是矩阵理论中的一个重要概念,被广泛应用于各个领域,包括数学、物理、工程、计算机科学等等。

特征值的计算是一个复杂而重要的过程,本文将探讨一些特征值计算的技巧。

首先,我们需要明确什么是特征值。

给定一个n阶方阵A,如果存在一个非零向量x,使得Ax=kx,其中k是一个数,则称k为矩阵A的特征值,x为对应的特征向量。

特征值与特征向量通常包含了矩阵A的重要信息,因此特征值的计算在很多问题中都是必要的。

特征值的计算通常包括两个步骤:首先,求解特征方程 det(A-λI)=0,其中det表示行列式,I是单位矩阵,λ是特征值;其次,对于每个特征值λ,求解线性方程组(A-λI)x=0,其中x是特征向量。

下面,我们将介绍一些特征值计算的技巧,以便更高效地求解。

首先是针对对称矩阵的特征值计算技巧。

对称矩阵是指A=A^T,即矩阵A与其转置矩阵相等。

对于对称矩阵,其特征值一定是实数,并且存在一组正交的特征向量。

因此,可以通过对称矩阵的特殊性质,采用一些更高效的算法来计算特征值。

其中,Jacobi方法和QR方法是两种常用的求解对称矩阵特征值的算法。

Jacobi方法通过迭代逐步将矩阵对角化,最终得到特征值和特征向量。

QR方法则是将矩阵分解为QR的形式,其中Q是正交矩阵,R是上三角矩阵,通过迭代逐步将矩阵变为上三角矩阵,最终得到特征值。

其次是针对大规模稀疏矩阵的特征值计算技巧。

当矩阵规模很大,并且矩阵具有稀疏性质时,常规的特征值计算方法效率较低。

因此,针对大规模稀疏矩阵的特征值计算,需要采用一些适用于稀疏矩阵的算法。

其中,Arnoldi方法和Lanczos方法是两种常用的求解大规模稀疏矩阵特征值的算法。

Arnoldi方法通过构建一个Hessenberg矩阵,然后对其进行迭代,最终得到特征值和特征向量。

Lanczos方法则是通过迭代生成一个三对角矩阵,通过对该矩阵进行特征值计算,最终得到特征值和特征向量。

矩阵特征值的计算

矩阵特征值的计算
矩阵特征值的计算
物理、力学和工程技术中的许多问题在数学上都归结为求矩 阵的特征值和特征向量问题。
� 计算方阵 A 的特征值,就是求特征多项式方程:
| A − λI |= 0 即 λn + p1λn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + pn−1λ + pn = 0
的根。求出特征值 λ 后,再求相应的齐次线性方程组:
(13)
为了防止溢出,计算公式为
⎧ Ay k = xk −1
⎪ ⎨
m
k
=
max(
yk )
( k = 1, 2, ⋅ ⋅⋅)
⎪ ⎩
x
k
=
yk
/ mk
(14)
相应地取
⎧ ⎪
λ
n


1 mk
⎪⎩ v n ≈ y k ( 或 x k )
(15)
9
(13)式中方程组有相同的系数矩阵 A ,为了节省工作量,可先对
11
11
≤ ≤ ⋅⋅⋅ ≤
<
λ1 λ2
λn −1
λn
对应的特征向量仍然为 v1, v2 ,⋅⋅⋅, vn 。因此,计算矩阵 A 的按模
最小的特征值,就是计算 A−1 的按模最大的特征值。
� 反幂法的基本思想:把幂法用到 A−1 上。
任取一个非零的初始向量 x0 ,由矩阵 A−1 构造向量序列:
xk = A−1xk−1 , k = 1, 2, ⋅⋅⋅
如果 p 是矩阵 A 的特征值 λi 的一个近似值,且
| λi − p |<| λ j − p | , i ≠ j
1 则 λ i − p 是矩阵 ( A − pI )−1 的按模最大的特征值。因此,当给
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反幂法也是一种迭代算法,每一步都要解一个系数矩阵
相同的线性方程组。
7
§2 雅可比方法
雅可比(Jacobi)方法:用来计算实对称矩阵 A 的全部特征
值及其相应特征向量的一种变换方法。
一、预备知识
(1) 如果 n 阶方阵 A 满足: AT A I (即 A1 A )
则称 A 为正交矩阵。
{ ������������
=
������������ ������������������{������������}
������ = ������, ������, ⋯
其中: ax{������������} 表示 ������������ 绝对值最大的第一个分量,保证了
‖������������‖ = 1 。
则可得到 A 的全部特征值及其相应的特征向量。
8
二、旋转变换 设
A


a11 a21
a12 a22

为二阶实对称矩阵,即 a12 a21。实对称矩阵与二次型是一一 对应的,设 A 对应的二次型为
f (x1, x2 ) a11x12 2a12x1x2 a22x22 由解析几何知识知道,方程 f (x1, x2 ) C 表示在 x1, x2 平面 上的一条二次曲线。如果将坐标轴 Ox1,Ox2 旋转一个角度 ,使 得旋转后的坐标轴 Oy1,Oy2 与该二次曲线的主轴重合,如图所示。
中 ������1的系数 ������1 = 0。所以,若收敛很慢,应改换初始向量。
(*)二、原点平移法
幂法的收敛速度取决于比值 | 2| 的大小。当比值接近于1时,
1
收敛可能很慢,一个改进的方法是采用原点平移法。
5
设矩阵
= ������ −
其中 为要选择的常数。
������ 与 除了对角线元素外,其它元素都相同,而 ������ 的特
| 1 || 2 | | n | ,以及方阵 A 是否有 n 个线性无关的
特征向量。克服上述困难的方法是:先用幂法进行计算,在计算 过程中检查是否出现了预期的结果。如果出现了预期的结果,就 得到特征值及其相应特征向量的近似值;否则,只能用其它方法 来求特征值及其相应的特征向量。
(2)需避免初始向量 ������0选择不当,而导致公式 ������0 = ������1������1 + ������2������2 + ⋯ + ������������������������
1
§1 幂法与反幂法
一、幂法
幂法:是一种求任意矩阵 A 的绝对值最大特征值及对应
特征向量的迭代算法。
该方法最大的优点是计算简单,容易在计算机上实现,对稀
疏矩阵较为合适,但有时收敛速度很慢。
假设:
(1) n 阶方阵 A 的特征值 1, 2 ,, n 按绝对值大小排列 | 1 || 2 | | n |
幂法的收敛速度取决于比值 |������2| 的大小。比值越小,收
������1
敛越快,但当比值|������2| 接近于1时,收敛十分缓慢。
������1
用幂法进行计算时,若 1 1,则迭代向量 ������������ 的各个不 为零的分量将随着 k 无限增大而趋于无穷。反之,若 1 1 , 则 ������������ 的各分量将趋于零。这样在有限字长的计算机上计算时就 可能溢出停机。为此,常采用把每步迭代的向量 ������������ 进行规范化,
的过程中得到加速,这种方法称为原点平移法。
原点平移的加速方法,是一种矩阵变换方法。这种变换
容易计算,又不破坏 ������ 的稀疏性,但参数 的选择依赖于对 ������ 的
特征值的分布有大致了解。
三、反幂法
反幂法:用于求矩阵 A 的绝对值最小特征值和对应的特
征向量。
设 n 阶方阵 A 的特征值按绝对值大小排列为: | 1 || 2 | | n1 || n | 0
于是
������������ = ������������������−1 = ������2������������−2 = ⋯ = ������������������0
= ������������(������1������1 + ������2������2 + ⋯ + ������������������������)
(A I )x 0
的非零解,即是对应于 的特征向量。
对于阶数较小的矩阵是可以的,但对于阶数较大的矩阵来说, 求解是十分困难,所以用这种方法求矩阵的特征值是不切实际的。
如果矩阵 A 与 B 相似,则 A 与 B 有相同的特征值。 因此希望在相似变换下,把 A 化为最简单的形式。一般矩阵
在实际计算时,常采用解线性方程组的方法求 xk : Axk xk1 , k 1, 2,
为了防止溢出,计算公式即反幂法算法:
Ayk xk 1
mk max( yk )

xk

yk
/ mk
( k 1, 2, )
相应地取
n


1 mk
vn yk ( 或 xk )
则:(1) ������
������������
=
������������ ������������������{������������}
(2) ������ ������������������{������������} = ������ 。
例设
2 1 0
A 1
2
1

0 1 2
= ������1
������ 1
������1
+
������2
������ 2
������2
+

+
������������
������ ������
������������
2
������
������
=
������ 1
[������1������1
+
������2
(
2)
������2 + ⋯ + ������������ ( ������)
������������]
1
1
因为 |������������ | 1 = 2, , ⋯ , ������ ,所以
������1
������
������������ ���������1���
=
������1������1
当 ������ 充分大时,有: ������������ ≈ ������1 1������������1
称为迭代向量。
由于 ������1, ������2, ⋯ , ������������ 线性无关,构成 n 维向量空间的一组基, 所以,初始向量 ������0 可唯一表示成:
������0 = ������1������1 + ������2������2 + ⋯ + ������������������������
用幂法求其模为最大的特征值及其相应的特征向量(精确到小数
点后三位)。
解 取 x0 (1,1,1)T ,计算结果如下表所示。
k
VkT
mk
UkT
1
1
0
1
1
1
0
1
2
2
-2
2
2
1
-1
1
3
3
-4
3
-4 -0.75 1 -0.75
4
4 -2.5 3.5 -2.5 3.5 -0.714 1 -0.714 5 -2.428 3.428 -2.428 3.428 -0.708 1 -0.708 6 -2.416 3.416 -2.416 3.416 -0.707 1 -0.707 7 -2.414 3.414 -2.414 3.414 -0.707 1 -0.707
从而:������������+1 ≈ ������1 1������+1������1
说明:当 ������ 充分大时,两个相邻迭代向量 ������������+1 与 ������������ 近似地相
差一个倍数,这个倍数便是矩阵 ������ 绝对值最大的特征值 1。若
用 ������������ ������ 表示向量 ������������ 的第 个分量,则
= ������������+1 ������
1
������������ ������
即两个相邻迭代向量对应分量的比值近似地为矩阵 ������ 绝对
值最大的特征值。
因为 ������������+1 ≈ 1������������, ������������+1 = ������������������,所以有 ������������������ ≈ 1������������, 因此向量 ������������ 可近似地作为对应于 1 的特征向量。
征值 i 与 的特征值 i 之间有关系 i i p ,并且
相应的特征向量相同。
这样,要计算 ������ 的绝对值最大特征值,就是适当选择参数 ,
使得 1 − 仍然是 的绝对值最大特征值,且使
ax2≤������≤������ |
������− 1−
|
| 2|
1
对 应用幂法,使得在计算 的绝对值最大特征值 1 −
的最简单的形式是约当(Jordan)标准形。由于在一般情况下,
用相似变换把矩阵 A 化为约当标准形是很困难的,所以设法对矩 阵 A 依次进行相似变换,使其逐步趋向于一个约当标准形,从而 求出 A 的特征值。
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