七年级数学思维探究(18)整式的乘除(含答案)
七年级数学思维探究（18）整式的乘除（含答案）
牛顿（16421727-），英国数学家、物理学家、天文学家．牛顿对数学的最大贡献是创立了流数术（微积分），建立了二项式定理及“广义的算术”（代数学），他的名作《自然哲学数学原理》用数学与知识解释了哥白尼学说和天体运动的现象，阐明了运动三定理和万有引力定理，建立了求方程近似根的法则，后人以其突出的贡献，把他与阿基米德、高斯并称为历史上最伟大的数学家． 18．整式的乘除 解读课标数有乘、除、乘方运算，代数式也有相应的运算．整式的乘除法的各个运算之间存在着内在的联系，是可以相互转化的．多项式与多项式相乘可以通过转化变成单项式与多项式相乘，再通过转化变成单项式相乘，最后化为同底数幂的乘法进行运算；类似的，多项式除以多项式最后可化为同底数幂的除法进行运算．因此，幂的运算是整式乘除的基础． 问题解决例1 （1）若n 为不等式2003006n >的解，则n 的最小正整数的值为_______． （2）已知21x x +=，那么432222005x x x x +--+=_______． 试一试 对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），就目前无法求出x 的值，恰当地运用条件，把高次项用低次多项式表示，如21x x =-，()()3221121x x x x x x x x x x =⋅=-=-=--=-等．例2 把552，443，335，226这4个数从小到大排列，正确的是（ ）．A ．554433222356<<<B ．553322442563<<<C ． 552233442653<<<D ． 552244332635<<< 试一试 指数55，44，33，22的最大公约数为11，把不同指数的幂化成同指数的幂． 例3 设a 、b 、c 、d 都是正整数，并且54a b =，32c d =，19c a -=，求d b -的值．试一试 设5420a b m ==，326c d b ==，这样a 、b 可用m 的式子表示，c 、d 可用n 式子表示，通过减少字母的个数降低问题的难度．例4 设()5543254321031x a x a x a x a x a x a -=+++++． 求：（1）543210a a a a a a -+-+-的值； （2）54321a a a a a ++++的值．试一试 通过展开式去求出每一项系数，这样做计算繁难．事实上，上列等式在x 的允许值范围内取任意值代入计算，等式都成立，注意1±的幂的特征，用赋值法求解． 例5 已知多项式321x ax ++能被1x -整除，求a 的值． 解法一 用赋值法解设()3211x ax x A ++=-，其中A 为多项式． 令1x =代入上式，得3110a ++=，2a =-∴． 解法二 用待定系数法解设()()322111x ax x x mx ++=---，即()()32321111x ax x m x m x ++=-++-+，对比得10m -=，()1a m =-+，1m =∴，2a =-． 对称之美例6 观察下列等式：1223113221⨯=⨯，1334114331⨯=⨯， 2335225332⨯=⨯，3447337443⨯=⨯， 6228668226⨯=⨯，……以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”： ①52⨯_______=______25⨯；②_______396693⨯=⨯_______．（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a ，个位数字为b ，且29a b +≤≤，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a 、b ），并证明．分析与解 观察规律，左边：两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；右边：三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律填空并进行一般式的证明． （1）①275，572；②63，36．（2）一般规律的式子为 ()()()()10100101001010a b b a b a a a b b b a ++++=++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 证明 ∵左边()()()()1011011111010a b b a a b b a =++=++， 右边()()()()1101110111010a b b a a b b a =++=++， ∴左边=右边． 数学冲浪 知识技能广场1．满足()20030013x ->的x 的最小正整数为_______．2．如果210x x +-=，那么3223x x ++=________． 3．探索规律：133=，个位数字是3；239=，个位数字是9；3327=，个位数字是7；4381=，个位数字是1；53243=，个位数字是3；63729=，个位数字是9；…那么73的个位数字是________，303的个位数字是________． 4．计算（1）()232440.251⨯--=________；（2）1998200020002000200073153735+⎛⎫⨯= ⎪+⎝⎭_________． 5．如果210x x +-=，那么代数式3227x x +-的值为（ ）． A ．6 B ．8 C ．6- D ．8-6．已知3181n =，4127b =，619c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）． A ．a b c >> B ．a c b >> C ． a b c << D ．b c a >> 7．已知23a =，26b =，212c =，则a 、b 、c 的关系是（ ）． A ．2b a c <+ B ．2b a c =+ C ．2b a c >+ D ．a b c +>8．化简()()4322222n n n ++-得（ ）A ．1128n +- B ．12n +- C ．78 D ．749．已知()()2267314233x xy y x y a x y b x y c --+++=-+++，试确定a 、b 、c 的值．10．探索、研究仪器箱按如图所示方式堆放（自下而上依次为第一层、第二层……），受堆放条件限制，堆放时应符合下列条件：每层堆放仪器箱的个数n a 与层数n 之间满足关系式232247n a n n =-+，116n <≤，n 为整数．（1）例如：当2n =时，222322247187a =-⨯+=，则5a =_______，6a =_______．（2）第n 层比第()1n +层多堆放多少个仪器箱？（用含n 的代数式表示）（3）如果不考虑仪器箱承受的压力，请根据题设条件判断仪器箱最多可以堆放几层？并说明理由 （4）设每个仪器箱重54N （牛顿），每个仪器箱能承受的最大压力为160N ，并且堆放时每个仪器箱承受的压力是均匀的．①若仪器箱仅堆放第一、二两层，求第一层中每个仪器箱承受的平均压力． ②在确保仪器箱不被损坏的情况下，仪器箱最多可以堆放几层？为什么？思维方法天地11．如果5555555555555554444666666233322n ++++++++⨯=+++，那么n =________． 12．已知()554322x ax bx cx dx ex f +=+++++，则164b d f ++=________．13．（1）1615与1333的大小关系是1615_______1333（填“>”、“<”或“=”）．（2）200020013131++与200120023131++的大小关系是200020013131++________200120023131++（填“<”、“>”或“=”）．14．已知252000x =，802000y =，则11x y+等于（ ）．A ．2B ．1C ．12D ．3215．满足()2211n n n +--=的整数n 有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4 16．若()62121110121110102x x a x a x a x a x a --=+++++，则12108642a a a a a a +++++=（ ）． A ．32- B ．0 C ．32 D ．6417．是否存在整数a 、b 、c 满足910162?8915abc⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭若存在，求出a 、b 、c 的值；若不存在，说明理由．18．设a 、b 、c 、d 都是非零自然数，且54a b =，32c d =，17a c -=，求d b -的值． 应用探究乐园19．已知x ，y ，z 是整数，且x y z >>，222 4.625x y z ++=，求xyz 的值． 20．纪念活动中的数学题1976年，在美国举行了建国200周年纪念活动．在某中学的黑板报《一日一题》栏中有一道有趣的题目：2001776的最后两位数字是什么？黑板报前面围着一大群学生，大家议论纷纷，小马克看了看题目，伸出了舌头：“哟！1776的200次方，1776年．美国第一任总统华盛顿宣布建立美利坚合众国，确实值得纪念．但是要把1776连乘200次，才能找出最后的末尾两位数字，恐怕不知要算到何时；也不知要用掉多少草稿纸哩．” 请读者研究一下1776这个数的特点，不用小马克的呆办法，而立即把答案说出来？18．整式的乘除 问题解决 例1 （1）()()100100236n >，2216n >，n 的最小值为15；（2）2004 例2 D ()11555112232==，()11444113381==，()113331155125==，()11222116636==．例3 4a m =，5b m =，2c n =，3d n =，由19c a -=得2419n m -=，即()()2219n m n m +-=，因19是质数，2n m +、2n m -是自然数，且22n m n m +>-，得22191n m n m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得10n =，3m =，所以35103757d b -=-=．例4 （1）当1x =-时，得()55432103111024a a a a a a -+-+-+=⨯--=-⎡⎤⎣⎦．故原式1024=． （2）由()531x -展开并比较系数的符号，得50a >，40a <，30a >，20a <，10a >，00a <，则原式54321010241023a a a a a a =-+-+=+=（显然01a =-）． 数学冲浪1．7 ()2313x -> 2．4 3．7；9 4．（1）5- （2）9495．C 6．A 7．B 2236a c ⋅=，()22222636b b ===，得2b a c =+．8．C 9．4a =，4b =，1c = 10．（1）112；91．（2）()()()221322471321247312n n a a n n n n n +⎡⎤-=-+-+-++=-⎣⎦，即第n 层比第()1n +层多堆放()312n -个仪器箱．（3）()()2232256247256169n a n n n =-++-=--，由条件得，当13n ≤时，0n a ≥，故仪器箱最多可以堆放12层．（4）①46.75N ②仪器箱最多可以堆放5层． 11． 12 12．512 令2x =±代入 13．（1）< 16166415162<=，13136564333222>=>． （2）> 提示：设20003x =．14．B 25=2000xy y ①，802000xy x =②，①×②，得()25802000xyx y+⨯=，得xy x y =+．15．D 由20n +=且210n n --≠，得2n =-；由211n n --=，得1n =-，2n =；由211n n --=-且2n +是偶数，得0n =． 16．A17．原式可化为3422100235235a b c a b c b c -++---⋅⋅=⨯⨯，得 3412200a b c a b c b c -++=⎧⎪--=⎨⎪-=⎩，解得322a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩． 18．269 参见例3得3m =，8n =，353583269d b n m -=-=-=． 19．方程两边同乘以8，得33322237x y z +++++=．因为x y z >>，要使上式左边为奇数，只有321z +=，即3z =-． 则332236x y +++=，即11229x y +++=．要使上式左边为奇数，只有121y +=，即1y =-． 从而有128x +=，即2x =．故有2x =，1y =-，3z =-．则6xyz =． 20．“76”是一个很特殊的数，任何两个自然数，只要它们的最后两位数字是76，那么其乘积的最后两位数字也必是“76”．我们还是来作一个一般的证明吧：设两个数分别为10076a +与10076b +，这里a 、b 是任意自然数，则 ()()1007610076a b ++10000760076005776ab a b =+++ ()10010076765776ab a b =++++．由于a 、b 是任意自然数，显然最后两位数字一定是76． 所以2001776这个数的最后两位数毫无疑问的也是76．。
初一整式乘除含答案
整式乘除知识点睛模块一 幂的运算幂的运算概念：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数. 含义：n a 中，a 为底数，n 为指数，即表示a 的个数，n a 表示有n 个a 连续相乘.例如：53表示33333⨯⨯⨯⨯，5(3)-表示(3)(3)(3)(3)(3)-⨯-⨯-⨯-⨯-，53-表示(33333)-⨯⨯⨯⨯52()7表示2222277777⨯⨯⨯⨯，527表示222227⨯⨯⨯⨯ 特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号.“奇负偶正”口诀的应用：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：⑴多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：[](3)3---=-；[](3)3-+-=. ⑵有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号， 例如：(3)(2)(6)36-⨯-⨯-=-，而(3)(2)(6)36-⨯-⨯+=.⑶有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：2(3)9-=，3(3)27-=-.特别地：当n 为奇数时，()n n a a -=-；而当n 为偶数时，()n n a a -=.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1，任何不为0的数的0次幂都是“1”.⑴ 同底数幂相乘．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．用式子表示为：m n m n a a a +⋅=（,m n 都是正整数）．⑵ 幂的乘方．幂的乘方的运算性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘．用式子表示为：()nm mn a a =（,m n 都是正整数）． ⑶ 积的乘方．积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．用式子表示为：()n n n ab a b =（n 是正整数）．⑷ 同底数幂相除．同底数的幂相除，底数不变，指数相减．用式子表示为：m n m n a a a -÷= （0a ≠，m ，n 都是正整数）⑸ 规定()010a a =≠；1p p a a-=（0a ≠，p 是正整数）． 模块二 整式的乘法⑴单项式与单项式相乘：系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.以下举例说明单项式与单项式相乘的规则如下：23234233ab a b c a b c ⋅=，两个单项式的系数分别为1和3，乘积的系数是3，两个单项式中关于字母a 的幂分别是a 和2a ，乘积中a 的幂是3a ，同理，乘积中b 的幂是4b ，另外，单项式ab 中不含c 的幂，而2323a b c 中含2c ，故乘积中含2c .⑵单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加，公式为：()m a b c ma mb mc ++=++，其中m 为单项式，a b c ++为多项式.⑶多项式与多项式相乘：将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单项式相乘，然后把积相加，公式为：()()m n a b ma mb na nb ++=+++模块三 整式的除法⑴ 单项式除以单项式：系数、同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.如：2322233a b c ab ab c ÷=，被除式为2323a b c ，除式为ab ，系数分别为3和1，故商中的系数为3，a 的幂分别为2a 和a ，故商中a 的幂为21a a -=，同理，b 的幂为2b ，另外，被除式中含2c ，而除式中不含关于c 的幂，故商中c 的幂为2c .⑵ 多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以单项式，然后把所得的商相加，公式为：()a b c m a m b m c m ++÷=÷+÷+÷，其中m 为单项式，a b c ++为多项式.⑶ 多项式除以多项式后有专题介绍.例题精讲【例1】 已知：240x y +-=，求：1233x y -⋅的值【答案】1221333x y x y -+-⋅=，240x y +-=，24x y ∴+=，2133327x y +-∴==【例2】 若3m a =，4n a =，求32m n a +的值为多少？【答案】()()323232m n m n m n a a a a a +=⋅=⋅，当3m a =，4n a =时，原式3234432=⨯= 【巩固】若5n a =，2n b =，则()32na b =【答案】()()()3232n n n a b a b =⋅，当5n a =，2n b =时，原式3252500=⨯= 【例3】 计算：()()132()()n n y x x y x y y x +--+-- 【答案】()()()()13332()()0n n n n y x x y x y y x x y x y +++--+--=--+-= 【例4】 当4,41==b a 时，求代数式32233)21()(ab b a -+-的值 【答案】33223363636117()()288a b ab a b a b a b -+-=-=，当4,41==b a 时,原式367145684⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭ 【例5】 已知1平方公里的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧81.310⨯千克煤所产生的能量，那么我国960万平方公里土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克的煤？【答案】()()481596010 1.310 1.24810⨯⨯⨯=⨯千克【例6】 比较下列各题中幂的大小．⑴比较大小：20.4a =-，24b -=-，214c -=（-），014d =（-）． ⑵已知3181a =，4127b =，619c =，比较a ，b ，c 的大小关系．⑶比较552，443，335，226这4个数的大小关系．⑷1615与1333的大小关系是1615 1333(填“>”、“<”或“=”)．⑸已知2001200367M =+，2003200167N =+，比较M 、N 的大小关系． ⑹已知999999P =，990119Q =，比较P 、Q 的大小关系． ⑺已知200620073131A +=+，200720083131B +=+，试比较A 与B 的大小． ⑻对于0a b c >>>，0m n >>(m ，n 是正整数)，比较n m c a ，m n a b ，n m b c 的大小关系．【答案】本题介绍了幂的大小比较常用的8个方法．⑴0.16a =-，10.062516b =-=-，16c =，1d =．a b d c <<<．直接计算． ⑵431124(3)3a ==，341123(3)3b ==，261122(3)3c ==，所以a b c >>．比较指数．⑶55511112(2)32==,44411113(3)81==,33311115(5)125==,22211116(6)36==，11111111323681125<<<，552244332635<<<．比较底数．⑷16166415162<=．13136564333222>=>,所以16131533<．放缩．⑸因为M N -200120032003200167(67)=+-+20012003200320016767=+--20012200126(16)7(71)=-+-200120014873560=⨯-⨯>，所以M N >．作差． ⑹因为999990991199P Q =÷990999099999999991191911911⨯=⋅=⋅=，所以P Q =．作商． ⑺设20063a =，则1031a A a +=>+，31091a B a +=>+．而1313191A a a B a a ++=÷++2(1)(91)(31)a a a ++=+229101961a a a a ++=++2411961a a a =+>++．换元． ⑻因为0abc >>>，0m n >>(m ，0m n p +-=为正整数)，故可取3a =，2b =，1c =，3m =，2n =，则3232108m n a b =⨯=，23214n m b c =⨯=，231327n m c a =⨯=．所以m n n m n m a b c a b c >>．【例7】 已知：2n a =，3m a =，4k a =，则22n m k a +-的值为_________．【答案】当2n a =，3m a =，4k a =时，22223()()4n m k n m k a a a a +-=⋅÷=【例8】 比较552、443、335、226四个数的大小.【答案】552244332635<<<.【巩固】比较1002与753的大小。
(必考题)初中数学七年级数学下册第一单元《整式的乘除》测试(包含答案解析)(1)
A．﹣4B．±4C．4D．±8
10．若 ，则 的值等于（ ）
A．37B．27C．25D．44
11．如 ， ，则 （ ）
A．－11B．11
C．－7D．7
12．如图所示的四边形均为矩形或正方形，下列等式能够正确表示该图形面积关系的是（）
A． B．
C． D．
10．A
解析：A
【分析】
利用完全平方公式进行运算即可得．
【详解】
，
，即 ①，
又 ，
②，
由① ②得： ，
即 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了利用完全平方公式进行运算求值，熟记公式是解题关键．
11．D
解析：D
【分析】
根据 直接代入求值即可．
【详解】
解：当 ， ，时，
=9-2=7．
故选：D．
【点睛】
本题考查对完全平方公式的变形应用能力，熟记有关完全平方公式的几个变形公式是解题的关键
∵ ， ，
∴x+y= ，
∴
=
=
=20，
故选：A．
【点睛】
此题考查完全平方公式，熟记完全平方公式并运用解决问题是解题的关键．
7．C
解析：C
【分析】
表示出空白三角形的面积，用总面积减去两个空白三角形的面积即可，再将得到的等式变形后，利用整体代入求值即可．
【详解】
解：如图，大正方形的边长是a,三角形①的两条直角边长都为a，三角形②的一条直角边为a－b，另一条直角边为b，
解析：6
【分析】
根据平方差公式计算．
【详解】
（ +1）（ ﹣1）=7-1=6，
浙教版七年级数学下第三章《整式的乘除》常考题(解析版)
浙江七年级数学下第三章《整式的乘除》常考题一、单选题(共30分)1．(本题3分)（2018·浙江嘉兴·七年级期末）计算a 2•a 3,结果正确的是（ ） A ．a 5 B ．a 6 C ．a 8 D ．a 9【答案】A 【解析】 【分析】此题目考查的知识点是同底数幂相乘.把握同底数幂相乘,底数不变,指数相加的规律就可以解答． .【详解】同底数幂相乘,底数不变,指数相加. m n m n a a a +⋅=所以23235.a a a a +⋅== 故选A. 【点睛】此题重点考察学生对于同底数幂相乘的计算,熟悉计算法则是解本题的关键． 2．(本题3分)（2021·浙江浙江·七年级期末）若a 为正整数,且x 2a =5,则(2x 3a )2÷4x 4a 的值为（ ） A ．5 B ．2.5C ．25D ．10【答案】A 【解析】 【分析】根据积的乘方,等于把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘计算；再根据单项式除以单项式的法则计算,然后将x 2a =5代入即可求出原代数式的值． 【详解】(2x 3a )2÷4x 4a =4644a a x x ÷=2a x , ∵x 2a =5,∵原式= x 2a =5. 故选A. 【点睛】3．(本题3分)（2021·浙江浙江·七年级期中）已知3,5a b x x ==,则32a b x -=（ ） A ．2725B ．910 C ．35D ．52【答案】A 【解析】 【分析】直接利用同底数幂的除法和幂的乘方运算法则将原式变形得出答案． 【详解】 ∵x a =3,x b =5,∵x 3a-2b =（x a ）3÷（x b ）2 =33÷52 =2725. 故选A. 【点睛】考查了同底数幂的乘除运算和幂的乘方运算,正确将原式变形是解题关键． 4．(本题3分)（2020·浙江杭州·七年级期末）下列各式不能用平方差公式计算的是（ ） A ．(52)(52)x ab x ab -+ B ．()()ax y ax y --- C ．)()(ab c ab c --- D ．()()m n m n +--【答案】D 【解析】 【分析】根据平方差公式对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A 、(52)(52)x ab x ab -+=222254x a b -,故能用平方差公式计算,不合题意； B 、()()ax y ax y ---=222a x y -+,故能用平方差公式计算,不合题意； C 、)()(ab c ab c ---=222c a b -,故能用平方差公式计算,不合题意； D 、()()m n m n +--=2()m n -+,故不能用平方差公式计算,符合题意； 故选D ． 【点睛】5．(本题3分)（2021·浙江浙江·七年级期末）若（x﹣2）（x+3）＝x2+ax+b,则a,b的值分别为（）A．a＝5,b＝﹣6B．a＝5,b＝6C．a＝1,b＝6D．a＝1,b＝﹣6【答案】D【解析】【分析】等式左边利用多项式乘多项式法则计算,再利用多项式相等的条件求出a与b的值即可．【详解】解：∵（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6＝x2+ax+b,∵a＝1,b＝﹣6,故选：D．【点睛】此题考查了多项式乘多项式以及多项式相等的条件,熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．(本题3分)（2021·浙江浙江·七年级期中）如图,从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的正方形（a＞1）,剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙）,则该矩形的面积是（）A．2cm2B．2acm2 C．4acm2D．（a2﹣1）cm2【答案】C【解析】【详解】根据题意得出矩形的面积是（a+1）2﹣（a﹣1）2,求出即可：矩形的面积是（a+1）2﹣（a﹣1）2=a2+2a+1﹣（a2﹣2a+1）=4a（cm2）．故选C．7．(本题3分)（2018·浙江·七年级阶段练习）已知x2+mx+25是完全平方式,则m的值为（）【解析】 【分析】根据完全平方式的特点求解：a 2±2ab +b 2. 【详解】∵x 2+mx +25是完全平方式, ∵m =±10, 故选B ． 【点睛】本题考查了完全平方公式:a 2±2ab +b 2,其特点是首平方,尾平方,首尾积的两倍在中央,这里首末两项是x 和1的平方,那么中间项为加上或减去x 和1的乘积的2倍．8．(本题3分)（2021·浙江吴兴·七年级期末）如图1,将边长为x 的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分）,并将剩余部分沿虚线剪开,得到两个长方形,再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）A ．2221(1)x x x -+=-B ．21(1)(1)x x x -=+-C ．2221(1)x x x ++=+D ．2(1)x x x x -=-【答案】B 【解析】 【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积,然后根据面积相等列出等式即可． 【详解】第一个图形空白部分的面积是x 2-1, 第二个图形的面积是（x+1）（x-1）． 则x 2-1=（x+1）（x-1）．本题考查了平方差公式的几何背景,正确用两种方法表示空白部分的面积是解决问题的关键．9．(本题3分)（2021·浙江浙江·七年级期末）已知x2+4y2=13,xy=3,求x+2y的值,这个问题我们可以用边长分别为x和y的两种正方形组成一个图形来解决,其中x>y,能较为简单地解决这个问题的图形是()A．B．C．D．【答案】B【解析】【详解】∵222x y x y xy+=++,(2)44>）, 则这个图∵若用边长分别为x和y的两种正方形组成一个图形来解决（其中x y形应选A,其中图形A中,中间的正方形的边长是x,四个角上的小正方形边长是y,四周带虚线的每个矩形的面积是xy.故选B.10．(本题3分)（2019·浙江瑞安·七年级期中）已知18n++是一个有理数的平方,则221n不能为（）-B．10C．34D．36A．20【答案】D【解析】【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时,利用完全平方公式分别求出n的值,然后选择答案即可．【详解】2n是乘积二倍项时,2n+218+1=218+2•29+1=（29+1）2,此时n=9+1=10,218是乘积二倍项时,2n+218+1=2n+2•217+1=（217+1）2,此时n=2×17=34,1是乘积二倍项时,2n+218+1=（29）2+2•29•2-10+（2-10）2=（29+2-10）2,综上所述,n可以取到的数是10、34、-20,不能取到的数是36．故选D．【点睛】本题考查了完全平方式,难点在于要分情况讨论,熟记完全平方公式结构是解题的关键．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题(共21分)11．(本题3分)（2020·浙江杭州·七年级期末）若2y=+,则用含x的代数式表=mx,34m示y=______．【答案】3+x2【解析】【分析】直接利用幂的乘方运算法则表示出y与x之间的关系即可．【详解】解：∵x=2m,∵y=3+4m=3+22m=3+（2m）2=3+x2．故答案为：3+x2．【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算,正确将原式变形是解题关键．12．(本题3分)（2021·浙江浙江·七年级期中）计算：(3)2-⋅=_______．a ab【答案】-6a2b【解析】【分析】根据单项式乘单项式法则计算求解即可．【详解】解：-3a•2ab=（-3×2）•（a•a）•b故答案为：-6a 2b ． 【点睛】此题考查了单项式乘单项式,熟记单项式乘单项式法则是解题的关键．13．(本题3分)（2018·浙江义乌·七年级期末）某班墙上布置的“学习园地”是一个长方形区域,它的面积为3a 2+9ab ﹣6a ,已知这个长方形“学习园地”的长为3a ,则宽为__ 【答案】a +3b ﹣2． 【解析】 【分析】根据题意列出算式,在利用多项式除以单项式的法则计算可得. 【详解】根据题意,长方形的宽为（3a 2+9ab ﹣6a ）÷3a ＝a +3b ﹣2, 故答案为a +3b ﹣2． 【点睛】本题主要考查整式的除法,解题的关键是掌握多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加.14．(本题3分)（2018·浙江仙居·七年级期末）如果代数式8a b +的值为5-,那么代数式()()3252a b a b --+的值为________．【答案】10 【解析】 【分析】原式去括号合并整理后,将a+8b 的值代入计算即可求值． 【详解】原式=3a-6b-5a-10b=-2a-16b=-2（a+8b ）, 当a+8b=-5时,原式=10． 故答案为10 【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．(本题3分)（2021·浙江杭州·七年级期中）多项式(8)(23)mx x +-展开后不含x 一次项,则m =________． 【答案】12【分析】乘积含x 项包括两部分,∵mx×2,∵8×（-3x ）,再由展开后不含x 的一次项可得出关于m 的方程,解出即可． 【详解】解：（mx+8）（2-3x ） =2mx-3mx 2+16-24x =-3mx 2+（2m-24）x+16,∵多项式（mx+8）（2-3x ）展开后不含x 项, ∵2m-24=0, 解得：m=12, 故答案为：12． 【点睛】此题考查了多项式乘多项式的知识,属于基础题,注意观察哪些项相乘所得的结果含一次项,难度一般．16．(本题3分)（2018·浙江·余姚市兰江中学七年级期中）已知130x x+-=,则221x x +=________． 【答案】7 【解析】 【分析】利用完全平方和公式()2222a b a ab b +=++解答； 【详解】 解：130x x+-= ∵13,x x+= ∵22211()2927x x x x ，+=+-=-= 即2217.x x += 故答案为7. 【点睛】考查完全平方公式,熟记公式是解题的关键,属于易错题.22(2016)(2019)n n -+-=________．【答案】７ 【解析】 【分析】先设2016n a ,2019n b ,则(2016)(2019)1n n --=可化为1ab =,22(2016)(2019)n n 22a b =+22abab ,再将2016n a ,2019n b 代入,然后求出结果【详解】解：设：2016n a ,2019n b , 则(2016)(2019)1n n --=可化为：1ab = ∵22(2016)(2019)n n22(2016)(2019)n n22a b =+()22a b ab =--将2016n a ,2019n b ,1ab =代入上式, 则22(2016)(2019)n n22016201921nn2327=【点睛】本题考查了对完全平方公式的应用,能熟记公式,并能设2016n a ,2019n b ,然后将原代数式化简再求值是解此题的关键,注意：完全平方公式为∵ 222()2a b a ab b +=++,∵222()2a b a ab b -=-+．三、解答题(共49分)18．(本题9分)（2020·浙江义乌·七年级期末）计算：（1）()23210-⨯；（2）()232()2⋅-+-a a a ；（3）()2321(23)(5)x x x x x ++-+-【答案】（1）6410⨯；（2）43a ；（3）32341015x x x +++ 【解析】 【分析】（2）先算乘方,再算乘法,最后算加法； （3）先算乘法,再算加减法． 【详解】解：（1）()23210-⨯,=()()223210-⨯,=6410⨯；（2）()232()2⋅-+-a a a , =34()4a a a ⋅-+, =444a a -+, =43a ；（3）()2321(23)(5)x x x x x ++-+- =()3223632715x x x x x ++---,=3223632715x x x x x ++-++, =32341015x x x +++ 【点睛】本题考查了整式的混合运算,整式混合运算的顺序是先乘方,后乘除,再加减．如果有括号,先算括号内．19．(本题6分)（2021·浙江浙江·七年级期末）（1）已知m +n ＝4,mn ＝2,求m 2+n 2的值；（2）已知am ＝3,an ＝5,求a 3m ﹣2n 的值． 【答案】（1）12；（2）2725【解析】 【分析】（1）先根据完全平方公式得出m 2+n 2＝（m +n ）2﹣2mn ,再求出答案即可；（2）先根据同底数幂的除法进行变形,再根据幂的乘方进行变形,最后求出答案即可． 【详解】解：（1）∵m +n ＝4,mn ＝2, ∵m 2+n 2＝42﹣2×2＝12；（2）∵am ＝3,an ＝5,∵a 3m ﹣2n＝a 3m ÷a 2n＝（am ）3÷（an ）2＝33÷52 ＝2725． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法,幂的乘方,完全平方公式等知识点,能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键,注意：（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2．20．(本题8分)（2021·浙江·七年级专题练习）若关于x 的多项式()2(3)x x m mx +-⋅-的展开式中不含2x 项,求4(1)(2)(25)(3)m m m m +--+-的值．【答案】16【解析】【分析】将多项式展开,合并同类项,根据不含2x 项得到m 值,再代入计算．【详解】解：原式()2(3)x x m mx =+-⋅-3222333mx x mx x m x m =-+--+()322(3)33mx m x m x m =+--++由题意得30m -=,∵3m =,∵原式4(31)(32)(235)(33)16=⨯+⨯--⨯+⨯-=．【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值,多项式的应用,解此题的关键是能根据整式的运算法则进行化简,难度不是很大．21．(本题8分)（2019·浙江桐乡·七年级期中）王老师家买了一套新房,其结构如图所示(单位：m)．他打算将卧室铺上木地板,其余部分铺上地砖．(1)木地板和地砖分别需要多少平方米？(2)如果地砖的价格为每平方米x 元,木地板的价格为每平方米3x 元,那么王老师需要花多少钱？【答案】（1）木地板需要4ab m 2,地砖需要11ab m 2；（2）王老师需要花23abx 元．【解析】【详解】试题分析：（1）根据长方形面积公式计算出卧室面积即为木地板的面积,客厅的面积+卫生间的面积+厨房的面积就是需要铺的地砖面积；（2）利用总面积×单价=总钱数求解即可．试题解析：（1）卧室的面积是2b (4a －2a )＝4ab (平方米),厨房、卫生间、客厅的面积和是b ·(4a －2a －a )＋a ·(4b －2b )＋2a ·4b ＝ab ＋2ab ＋8ab ＝11ab (平方米),即木地板需要4ab 平方米,地砖需要11ab 平方米；（2）11ab ·x ＋4ab ·3x ＝11abx ＋12abx ＝23abx (元),即王老师需要花23abx 元．22．(本题8分)（2021·浙江浙江·七年级期末）从边长为 a 的正方形剪掉一个边长为b 的正方形（如图 1）,然后将剩余部分拼成一个长方形（如图 2）．（1）上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）A ．a 2﹣2ab +b 2＝（a ﹣b ）2B ．a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）C ．a 2+ab ＝a （a +b ）（2）若 x 2﹣9y 2＝12,x +3y ＝4,求 x ﹣3y 的值；（3）计算：2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23420192020-----．【答案】（1）B （2）3 （3）20214040【解析】【分析】 （1）分别根据图1和图2表示阴影部分的面积,即可得解；（2）利用（1）的结论求解即可；（3）利用（1）的结论进行化简计算即可．【详解】（1）根据阴影部分的面积可得()()22a b a b a b -=+-故上述操作能验证的等式是B ；（2）∵22912x y -=∵()()3312x y x y +-=∵34x y +=∵()4312x y -=∵33x y -=；（3）2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23420192020-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- 111111111111111111112233442019201920202020⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭31425320202018202120192233442019201920202020=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1202122020=⨯ 20214040=． 【点睛】本题考查了平方差公式的证明以及应用,掌握平方差公式的证明以及应用是解题的关键．23．(本题10分)（2021·浙江浙江·七年级期末）若x 满足(7)(4)2x x --=,求22(7)(4)x x -+-的值：解：设7,4x a x b -=-=,则(7)(4)2(7)(4)3x x ab a b x x --==+=-+-=，所以22222222(7)(4)(7)(4)()23225x x x x a b a b ab -+-=-+-=+=+-=-⨯=请仿照上面的方法求解下面的问题（1）若x 满足(8)(3)3x x --=,求22(8)(3)x x -+-的值；（2）已知正方形ABCD 的边长为x E F ，，分别是AD DC ，上的点,且25AE CF ==，,长方形EMFD 的面积是28,分别以MF DF 、为边作正方形,求阴影部分的面积．【答案】（1）19；（2）33．【解析】【分析】（1）设8,3x a x b -=-=,从而可得3,5ab a b =+=,再利用完全平方公式进行变形运算即可得；（2）先根据线段的和差、长方形的面积公式可得(2)(5)28x x --=,再利用正方形MFRN 的面积减去正方形DFGH 的面积可得阴影部分的面积,然后仿照（1）的方法思路、结合平方差公式进行变形求解即可得．【详解】（1）设8,3x a x b -=-=,则3,5ab a b =+=,所以2222(8)(3)x x a b -+-+=,2()2a b ab =+-,2523=-⨯,19=；（2）由题意得：2,5MF DE x DF x ==-=-,(2)(5)28DE DF x x ⋅=--=, 因为阴影部分的面积等于正方形MFRN 的面积减去正方形DFGH 的面积, 所以阴影部分的面积为2222(2)(5)MF DF x x -=---,设2,5x m x n -=-=,则28,3mn m n =-=,所以222()()43428121m n m n mn +=-+=+⨯=,由平方根的性质得：11+=m n 或110m n +=-<（不符题意,舍去）,所以2222(2)(5)x x m n ---=-,=+-,m n m n()()=⨯,113=,33故阴影部分的面积为33．【点睛】本题考查了乘法公式与图形面积,熟练掌握并灵活运用乘法公式是解题关键．。
七年级数学下册《整式的乘除》单元测试卷(附答案)
七年级数学下册《整式的乘除》单元测试卷（附答案）一．选择题（共8小题，满分40分）1．已知a+b﹣2＝0，则3a•3b的值是（）A．6 B．9 C．D．﹣92．若8x＝21，2y＝3，则23x﹣y的值是（）A．7 B．18 C．24 D．633．如果2（5﹣a）（6+a）＝100，那么a2+a+1的值为（）A．19 B．﹣19 C．69 D．﹣694．已知25a•52b＝56，4b÷4c＝4，则代数式a2+ab+3c值是（）A．3 B．6 C．7 D．85．已知4x2+mx+9是完全平方式，则m的值是（）A．8 B．±6 C．±12 D．±166．若x+y＝3，xy＝1，则（1﹣2x）（1﹣2y）的值是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣27．已知2a＝5，2b＝10，2c＝50，那么a、b、c之间满足的等量关系是（）A．ab＝c B．a+b＝cC．a：b：c＝1：2：10 D．a2b2＝c28．若（mx+3）（x2﹣x﹣n）的运算结果中不含x2项和常数项，则m，n的值分别为（）A．m＝0，n＝0 B．m＝0，n＝3 C．m＝3，n＝1 D．m＝3，n＝0二．填空题（共8小题，满分40分）9．若（x+m）（x﹣3）＝x2+nx﹣12，则n＝．10．直接写出计算结果：（﹣3x2y3）4（﹣xy2）2＝．11．当a＝时，多项式x2﹣2（a﹣1）x+25是一个完全平方式．12．已知（x+y）2＝2，（x﹣y）2＝8，则x2+y2＝．13．计算：（﹣）2022×（﹣1）2021＝．14．（1）已知x+y＝4，xy＝3，则x2+y2的值为．（2）已知（x+y）2＝25，x2+y2＝17，则（x﹣y）2的值为．（3）已知x满足（x﹣2020）2+（2022﹣x）2＝12，则（x﹣2021）2的值为．15．已知（x+3）2﹣x＝1，则x的值可能是．16．如图，小颖用4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若a＝2b，则S1、S2之间存在的数量关系是．三．解答题（共5小题，满分40分）17．计算：（x﹣2y+3）（x+2y﹣3）．18．计算（1）（﹣5x）2﹣（3x+5）（5x﹣3）；（2）（2x﹣3y）2﹣（﹣x+3y）（3y+x）；（3）先化简，再求值：[（xy﹣2）2﹣2x（xy﹣2y）﹣4]÷（﹣2xy），其中，y＝3．19．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（4，64）＝，（﹣2，4）＝，（，﹣8）＝；（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4）；他给出了如下的证明：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n；∴3x＝4，即（3，4）＝x．∴（3n，4n）＝（3，4）．请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由．（4，5）+（4，6）＝（4，30）．（3）拓展应用：计算（3，9）×（3，20）﹣（3，5）．20．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．方法1：；方法2：．（2）请你直接写出三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值；②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝34，求（x﹣2022）2的值．21．阅读、理解、应用．例：计算：20223﹣2021×2022×2023．解：设2022＝x，则原式＝x3﹣（x﹣1）•x•（x+1）＝x3﹣x（x2﹣1）＝x＝2022．请你利用上述方法解答下列问题：（1）计算：1232﹣124×122；（2）若M＝123456789×123456786，N＝123456788×123456787，请比较M，N的大小；（3）计算：．参考答案与解析一．选择题（共8小题，满分40分）1．【答案】解：∵a+b﹣2＝0；∴a+b＝2；∴3a•3b＝3a+b＝32＝9．故选：B．2．【答案】解：∵8x＝21，2y＝3；∴23x＝21；∴23x﹣y＝23x÷2y＝21÷3＝7．故选：A．3．【答案】解：∵2（5﹣a）（6+a）＝100；∴﹣a2+5a﹣6a+30＝50；∴a2+a＝﹣20；∴a2+a+1＝﹣20+1＝﹣19．故选：B．4．【答案】解：∵25a•52b＝56，4b÷4c＝4；∴52a•52b＝56，4b﹣c＝4；∴2a+2b＝6，b﹣c＝1；即a+b＝3，b﹣1＝c；∴a2+ab+3c＝a（a+b）+3（b﹣1）＝3a+3b﹣3＝3（a+b）﹣3＝3×3﹣3＝9﹣3＝6．故选：B．5．【答案】解：∵（2x±3）2＝4x2±12x+9；∴m＝±12；故选：C．6．【答案】解：原式＝1﹣2y﹣2x+4xy ＝1﹣2（x+y）+4xy；当x+y＝3，xy＝1时；原式＝1﹣2×3+4＝1﹣6+4＝﹣1；故选：B．7．【答案】解：∵5×10＝50；∴2a•2b＝2c；∴2a+b＝2c；∴a+b＝c；故选：B．8．【答案】解：（mx+3）（x2﹣x﹣n）＝mx3﹣mx2﹣nmx+3x2﹣3x﹣3n＝mx3+（﹣m+3）x2+（﹣nm﹣3）x﹣3n；∵（mx+3）（x2﹣x﹣n）的乘积中不含x2项和常数项；∴﹣m+3＝0，﹣3n＝0；解得：m＝3，n＝0；故选：D．二．填空题（共8小题，满分40分）9．【答案】解：（x+m）（x﹣3）＝x2﹣3x+mx﹣3m＝x2+（m﹣3）x﹣3m；∴m﹣3＝n，3m＝12；解得：m＝4，n＝1；故答案为：1．10．【答案】解：原式＝81x8y12•x2y4＝81x10y16．故答案为：81x10y16．11．【答案】解：因为x2﹣2（a﹣1）x+25＝x2﹣2（a﹣1）x+52是完全平方式；属于﹣2（a﹣1）x＝±2•x•5；解得：a＝﹣4或6．故答案为：﹣4或6．12．【答案】解：∵（x+y）2＝2，（x﹣y）2＝8；∴x2+2xy+y2＝2①，x2﹣2xy+y2＝8②；①+②得：2（x2+y2）＝10；∴x2+y2＝5．故答案为：5．13．【答案】解：原式＝[（﹣）×（﹣）]2021×（﹣）＝12021×（﹣）＝1×（﹣）＝﹣；故答案为：﹣．14．【答案】解：（1）∵x+y＝4，xy＝3；∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝16﹣6＝10．故答案为：10；（2）∵（x+y）2＝25，x2+y2＝17；∴x2+y2+2xy﹣（x2+y2）＝8；∴xy＝4；∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝17﹣8＝9．故答案为：9；（3）∵（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝12；∴[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝12；∴（x﹣2021）2+2（x﹣2021）+1+（x﹣2021）2﹣2（x﹣2021）+1＝12；∴（x﹣2021）2＝5．故答案为：5．15．【答案】解：当x+3＝1时；解得：x＝﹣2；故（x+3）2﹣x＝（﹣2+3）2﹣（﹣2）＝14＝1；当x+3＝﹣1时；解得：x＝﹣4；故（x+3）2﹣x＝（﹣4+3）6＝1；当2﹣x＝0时；解得：x＝2；故（x+3）2﹣x＝（2+3）0＝1；综上所述，x的值可能是﹣2或﹣4或2．故答案为：﹣2或﹣4或2．16．【答案】解：S1＝b（a+b）×2+ab×2+（a﹣b）2＝a2+2b2；S2＝（a+b）2﹣S1＝（a+b）2﹣（a2+2b2）＝2ab﹣b2；∵a＝2b；∴S1＝a2+2b2＝6b2，S2＝2ab﹣b2＝3b2∴S1＝2S2．故答案为：S1＝2S2．三．解答题（共5小题，满分40分）17．【答案】解：原式＝x2﹣（2y﹣3）2＝x2﹣（4y2﹣12y+9）＝x2﹣4y2+12y﹣9．18．【答案】解：（1）原式＝25x2﹣（15x2﹣9x+25x﹣15）＝25x2﹣15x2+9x﹣25x+15＝10x2﹣16x+15；（2）原式＝4x2﹣12xy+9y2﹣（9y2﹣x2）＝4x2﹣12xy+9y2﹣9y2+x2＝5x2﹣12xy；（3）[（xy﹣2）2﹣2x（xy﹣2y）﹣4]÷（﹣2xy）＝（x2y2﹣4xy+4﹣2x2y+4xy﹣4）÷（﹣2xy）＝（x2y2﹣2x2y）÷（﹣2xy）＝﹣xy+x；把，y＝3代入得：﹣xy+x＝﹣×（﹣）×3+（﹣）＝﹣＝．19．【答案】解：（1）∵43＝64，（﹣2）2＝4，（﹣）﹣3＝﹣8；∴（4，64）＝3，（﹣2，4）＝2，（﹣，﹣8）＝﹣3．故答案为：3，2，﹣3．（2）设（4，5）＝x，（4，6）＝y，（4，30）＝z；则4x＝5，4y＝6，4z＝30；∴4x×4y＝5×6＝30；∴4x×4y＝4z；∴x+y＝z，即（4，5）+（4，6）＝（4，30）．（3）设（3，20）＝a，（3，5）＝b；∴3a＝20，3b＝5；∵（3，9）＝2；∴（3，9）×（3，20）﹣（3，5）＝2a﹣b；∵32a﹣b＝（3a）2÷3b＝202÷5＝80；∴2a﹣b＝（3，80），即（3，9）×（3，20）﹣（3，5）＝（3，80）．20．【答案】解：（1）阴影两部分求和为a2+b2，用总面积减去空白部分面积为（a+b）2﹣2ab；故答案为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab；（2）由题意得，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；（3）①由（2）题结论a2+b2＝（a+b）2﹣2ab可得ab＝；∴m+n＝5，m2+n2＝20时；mn＝＝＝；（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2；＝20﹣2×＝20﹣5＝15；②设a＝x﹣2021，b＝x﹣2023；可得a+b＝（x﹣2021）+（x﹣2023）＝x﹣2021+x﹣2023＝2x﹣4044＝2（x﹣2022）；由（2）题结论a2+b2＝（a+b）2﹣2ab可得；（a+b）2＝a2+2ab+b2；又∵（a﹣b）2＝[（x﹣2021）﹣（x﹣2023）]2＝22＝4；且由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，可得2ab＝（a2+b2）﹣（a﹣b）2＝（x﹣2021）2+（x﹣2023）2﹣[（x﹣2021）﹣（x﹣2023）]2＝34﹣4＝30；∴（x﹣2022）2＝（）2＝＝＝＝16．21．【答案】解：（1）设123＝x；∴1232﹣124×122＝x2﹣（x+1）（x﹣1）＝x2﹣x2+1＝1；（2）设123456786＝x；∴M＝123456789×123456786＝（x+3）•x＝x2+3x；N＝123456788×123456787＝（x+2）（x+1）＝x2+3x+2；∴M＜N；（3）设++...+＝x；∴＝（x+）（1+x）﹣（1+x+）•x＝x+x2++x﹣x﹣x2﹣x ＝．。
整式的乘除法专题训练(含答案)
整式的乘除法专题训练类型一：幂的运算性质幂的运算性质共有六个：1同底数幂的乘法；2. 幂的乘方；3. 积的乘方；4.同底数幂的除法；5.负整数指数幂；6.零次幂运算需要注意的问题：1. 看清楚运算符号加、减、乘、除、乘方；2. 计算时注意“—”号；3. 3.认清楚指数和底数；4.正确联系运算性质和法则一、计算1.4353x x x x x ••+•2.()()()()x 211x 21x 21x 2432-•-+-•-3.()()4n 31n 35x x x x -•+•--4.()()()()a b b a a b b a 432-•-+-•-5.()()()344321044x 5x 2x 2x 2x 2•+-•+-6.()()()()y x xy 2y 2x x 32332•-•+-••-7.()()()2222332x x x 3x 2•+-+-8.()()()72335m m m-••-9.()()36x -x -÷10.()()63243x x x 2÷÷-11.()()()223223x -x -x x x x •÷+÷÷12.()()[]()[]322313x 2-y y -x 2y -x 2÷÷类型二：幂的运算性质的灵活运用13.已知的值。
求b a b a2,72,42+==14.已知,a 3a x =+用含a 的代数式表示.3x15.已知,5.133,63n m ==求m+n 的值。
16.已知的值。
求2n m n m a ,2a ,3a ++==17.已知的值。
求b 3a 2b a 10,610,510+==18.若的值。
求y x 328,03y 5x 3•=-+19.已知486331x 22x 2=-++，求x 的值。
20.已知(),a a a 113m 5=•求m 的值。
21.已知的值。
求n 2-1m n m 9,43,23+==22.若的值。
整式的乘除法专题训练(含答案)
整式的乘除法专题训练类型一：幂的运算性质幂的运算性质共有六个：1 同底数幂的乘法；2. 幂的乘方；3. 积的乘方；4. 同底数幂的除法；5. 负整数指数幂；6. 零次幂运算需要注意的问题：1. 看清楚运算符号加、减、乘、除、乘方；2. 计算时注意“—”号；3. 3.认清楚指数和底数；4. 正确联系运算性质和法则一、计算3?x5 x ?x3?x41.x2342.2x 1 2? 2x 1 32x 1 4? 1 2 x3. x 5 ?x 3n 1 x 3n x 44. a b 2 ? b a 3 a b 4 ? b a2 33 2 2 2 27. 2x 2 3x 3 x 2 ? x 25. 2x 4 42x 10 2x 2344 2x 4 ?5 x 4 6. 2 3 3 x ? x 3 ? 2y23 2xy ? x ? y63 9. - x - x32 211. x 3x 23 xx22 -x ?-x1312. 2x-y 13322x - y23 y- 2x类型二：幂的运算性质的灵活运用13.已知2a 4,2b 7, 求2a b的值。
14.已知3x a10. 2x3x 2 3x6a,用含 a 的代数式表示3x.15.已知3m6,3n13.5,求m+n 的值m n m n 2a m3,a n2, 求a m n 2的值16.已知17.已知10a5,10b6, 求102a 3b的值。
18.若3x 5y 3 0, 求8x?32y的值。
19.已知32x 232x 1486，求x 的值20.已知a5? a m 3a11,求m的值21.已知3m 2,3n 4,求9m 1-2n的值1212222.若 10m 20,10n 1,求9m 32n 的值。
5 23.已知 25a ?52b 56,4b 4c 4，则代数式 a+2b-c 的值类型三：运用幂的运算性质进行有理数的混合运算24. 48 0.2582019 201825. 5 2019 0.220182118 211726. 8 0.125 2019 27. -1 1 0.2520209 2019 2019-4 202110121222 2018 28.3 1.52018 - 1 30 29.-23 π-3.14 0 -1-20191 -1-330.-22π-3 0-1-2类型四：科学记数法31. 用小数表示下列各数（1） 3 106（2）8.7 10-3（3） 6.12 10-332. 滴水穿石的故事大家都听说过吧，现在测量出：水珠不断地滴在一块石头上，经过40 年，石头上形成一个深为 4 10-2m的小洞，问每年小洞的深度增加多少米？（用科学记数法表示）33. _________________________ 成人每天维生素 D 的摄入量约为0.000 004 6克。
整式的乘除_知识点及习题含答案
7．已知ax=2，ay=3，求ax+y的值．
8．已知4·2a·2a+1=29，且2a+b=8，求ab的值．
9．据不完全统计，全球平均每小时大约产生5.1×108吨污水排入江河湖海，那么一个星期大约有几吨污水污染水源？（每天以24小时计算，结果用科学计数法表示）
6．（1）－8×109（2）xm+n（3）－8a10（4）－7a12（5）－5x2y4
7．（1）2×5，6（2）4×25，20（3）1（4）0.25（5）32
8．144
9．2.4×107厘米2
10．（1）13+23+33+43+53=152
（2）13+23+…+103=552
（3）13+23+……+n3=[ ]2
C．（a+b）（a+b）2D．a+b（a+b）2
3．下列各式中，不能用同底数幂的乘法法则化简的是（）
A．（a+b）（a+b）2B．（a+b）（a－b）2
C．－（a－b）（b－a）2D．（a+b）（a+b）3（a+b）2
4．下列计算中，错误的是（）
A．2y4+y4=2y8B．（－7）5·（－7）3·74=712
（3）（53）4=______；（54）3=________．
你发现了什么规律？用式子表示出来．
【综合提高】
9．灵活运用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则，以及数学中的整体思想，还可以解决较复杂的问题，例如：已知ax=3，ay=2，求ax+y的值．
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18．整式的乘除 解读课标数有乘、除、乘方运算，代数式也有相应的运算．整式的乘除法的各个运算之间存在着内在的联系，是可以相互转化的．多项式与多项式相乘可以通过转化变成单项式与多项式相乘，再通过转化变成单项式相乘，最后化为同底数幂的乘法进行运算；类似的，多项式除以多项式最后可化为同底数幂的除法进行运算．因此，幂的运算是整式乘除的基础． 问题解决例1 （1）若n 为不等式2003006n >的解，则n 的最小正整数的值为_______． （2）已知21x x +=，那么432222005x x x x +--+=_______．试一试 对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），就目前无法求出x 的值，恰当地运用条件，把高次项用低次多项式表示，如21x x =-，()()3221121x x x x x x x x x x =⋅=-=-=--=-等． 例2 把552，443，335，226这4个数从小到大排列，正确的是（ ）．A ．554433222356<<<B ．553322442563<<<C ． 552233442653<<<D ． 552244332635<<< 试一试 指数55，44，33，22的最大公约数为11，把不同指数的幂化成同指数的幂． 例3 设a 、b 、c 、d 都是正整数，并且54a b =，32c d =，19c a -=，求d b -的值．试一试 设5420a b m ==，326c d b ==，这样a 、b 可用m 的式子表示，c 、d 可用n 式子表示，通过减少字母的个数降低问题的难度．例4 设()5543254321031x a x a x a x a x a x a -=+++++． 求：（1）543210a a a a a a -+-+-的值； （2）54321a a a a a ++++的值．试一试 通过展开式去求出每一项系数，这样做计算繁难．事实上，上列等式在x 的允许值范围内取任意值代入计算，等式都成立，注意1±的幂的特征，用赋值法求解． 例5 已知多项式321x ax ++能被1x -整除，求a 的值． 解法一 用赋值法解设()3211x ax x A ++=-，其中A 为多项式． 令1x =代入上式，得3110a ++=，2a =-∴． 解法二 用待定系数法解设()()322111x ax x x mx ++=---，即()()32321111x ax x m x m x ++=-++-+，对比得10m -=，()1a m =-+，1m =∴，2a =-． 对称之美例6 观察下列等式：1223113221⨯=⨯，1334114331⨯=⨯， 2335225332⨯=⨯，3447337443⨯=⨯， 6228668226⨯=⨯，……以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”： ①52⨯_______=______25⨯；②_______396693⨯=⨯_______．（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a ，个位数字为b ，且29a b +≤≤，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a 、b ），并证明．分析与解 观察规律，左边：两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；右边：三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律填空并进行一般式的证明． （1）①275，572；②63，36． （2）一般规律的式子为 ()()()()10100101001010a b b a b a a a b b b a ++++=++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 证明 ∵左边()()()()1011011111010a b b a a b b a =++=++， 右边()()()()1101110111010a b b a a b b a =++=++， ∴左边=右边． 数学冲浪 知识技能广场 1．满足()20030013x ->的x 的最小正整数为_______．2．如果210x x +-=，那么3223x x ++=________． 3．探索规律：133=，个位数字是3；239=，个位数字是9；3327=，个位数字是7；4381=，个位数字是1；53243=，个位数字是3；63729=，个位数字是9；…那么73的个位数字是________，303的个位数字是________． 4．计算（1）()232440.251⨯--=________；（2）1998200020002000200073153735+⎛⎫⨯= ⎪+⎝⎭_________． 5．如果210x x +-=，那么代数式3227x x +-的值为（ ）． A ．6 B ．8 C ．6- D ．8-6．已知3181n =，4127b =，619c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）． A ．a b c >> B ．a c b >> C ． a b c << D ．b c a >> 7．已知23a =，26b =，212c =，则a 、b 、c 的关系是（ ）． A ．2b a c <+ B ．2b a c =+ C ．2b a c >+ D ．a b c +>8．化简()()4322222n n n ++-得（ ）A ．1128n +- B ．12n +- C ．78 D ．749．已知()()2267314233x xy y x y a x y b x y c --+++=-+++，试确定a 、b 、c 的值． 10．探索、研究仪器箱按如图所示方式堆放（自下而上依次为第一层、第二层……），受堆放条件限制，堆放时应符合下列条件：每层堆放仪器箱的个数n a 与层数n 之间满足关系式232247n a n n =-+，116n <≤，n 为整数．（1）例如：当2n =时，222322247187a =-⨯+=，则5a =_______，6a =_______．（2）第n 层比第()1n +层多堆放多少个仪器箱？（用含n 的代数式表示）（3）如果不考虑仪器箱承受的压力，请根据题设条件判断仪器箱最多可以堆放几层？并说明理由 （4）设每个仪器箱重54N （牛顿），每个仪器箱能承受的最大压力为160N ，并且堆放时每个仪器箱承受的压力是均匀的．①若仪器箱仅堆放第一、二两层，求第一层中每个仪器箱承受的平均压力． ②在确保仪器箱不被损坏的情况下，仪器箱最多可以堆放几层？为什么？思维方法天地11．如果5555555555555554444666666233322n ++++++++⨯=+++，那么n =________． 12．已知()554322x ax bx cx dx ex f +=+++++，则164b d f ++=________．13．（1）1615与1333的大小关系是1615_______1333（填“>”、“<”或“=”）．（2）200020013131++与200120023131++的大小关系是200020013131++________200120023131++（填“<”、“>”或“=”）．14．已知252000x =，802000y =，则11x y+等于（ ）．A ．2B ．1C ．12D ．3215．满足()2211n n n +--=的整数n 有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4 16．若()62121110121110102x x a x a x a x a x a --=+++++，则12108642a a a a a a +++++=（ ）．A ．32-B ．0C ．32D ．6417．是否存在整数a 、b 、c 满足910162?8915abc⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭若存在，求出a 、b 、c 的值；若不存在，说明理由．18．设a 、b 、c 、d 都是非零自然数，且54a b =，32c d =，17a c -=，求d b -的值． 应用探究乐园19．已知x ，y ，z 是整数，且x y z >>，222 4.625x y z ++=，求xyz 的值． 20．纪念活动中的数学题1976年，在美国举行了建国200周年纪念活动．在某中学的黑板报《一日一题》栏中有一道有趣的题目：2001776的最后两位数字是什么？黑板报前面围着一大群学生，大家议论纷纷，小马克看了看题目，伸出了舌头：“哟！1776的200次方，1776年．美国第一任总统华盛顿宣布建立美利坚合众国，确实值得纪念．但是要把1776连乘200次，才能找出最后的末尾两位数字，恐怕不知要算到何时；也不知要用掉多少草稿纸哩．” 请读者研究一下1776这个数的特点，不用小马克的呆办法，而立即把答案说出来？18．整式的乘除 问题解决 例1 （1）()()100100236n >，2216n >，n 的最小值为15；（2）2004例2 D ()11555112232==，()11444113381==，()113331155125==，()11222116636==．例3 4a m =，5b m =，2c n =，3d n =，由19c a -=得2419n m -=，即()()2219n m n m +-=，因19是质数，2n m +、2n m -是自然数，且22n m n m +>-，得22191n m n m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得10n =，3m =，所以35103757d b -=-=．例4 （1）当1x =-时，得()55432103111024a a a a a a -+-+-+=⨯--=-⎡⎤⎣⎦．故原式1024=． （2）由()531x -展开并比较系数的符号，得50a >，40a <，30a >，20a <，10a >，00a <，则原式54321010241023a a a a a a =-+-+=+=（显然01a =-）． 数学冲浪1．7 ()2313x -> 2．4 3．7；9 4．（1）5- （2）9495．C 6．A 7．B 2236a c ⋅=，()22222636b b ===，得2b a c =+．8．C 9．4a =，4b =，1c = 10．（1）112；91．（2）()()()221322471321247312n n a a n n n n n +⎡⎤-=-+-+-++=-⎣⎦，即第n 层比第()1n +层多堆放()312n -个仪器箱．（3）()()2232256247256169n a n n n =-++-=--，由条件得，当13n ≤时，0n a ≥，故仪器箱最多可以堆放12层．（4）①46.75N ②仪器箱最多可以堆放5层． 11． 12 12．512 令2x =±代入13．（1）< 16166415162<=，13136564333222>=>． （2）> 提示：设20003x =．14．B 25=2000xy y ①，802000xy x =②，①×②，得()25802000xyx y+⨯=，得xy x y =+．15．D 由20n +=且210n n --≠，得2n =-；由211n n --=，得1n =-，2n =；由211n n --=-且2n +是偶数，得0n =． 16．A17．原式可化为3422100235235a b c a b c b c -++---⋅⋅=⨯⨯，得 3412200a b c a b c b c -++=⎧⎪--=⎨⎪-=⎩，解得322a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩． 18．269 参见例3得3m =，8n =，353583269d b n m -=-=-=． 19．方程两边同乘以8，得33322237x y z +++++=．因为x y z >>，要使上式左边为奇数，只有321z +=，即3z =-． 则332236x y +++=，即11229x y +++=．要使上式左边为奇数，只有121y +=，即1y =-． 从而有128x +=，即2x =．故有2x =，1y =-，3z =-．则6xyz =．20．“76”是一个很特殊的数，任何两个自然数，只要它们的最后两位数字是76，那么其乘积的最后两位数字也必是“76”．我们还是来作一个一般的证明吧：设两个数分别为10076a +与10076b +，这里a 、b 是任意自然数，则 ()()1007610076a b ++10000760076005776ab a b =+++ ()10010076765776ab a b =++++．由于a 、b 是任意自然数，显然最后两位数字一定是76． 所以2001776这个数的最后两位数毫无疑问的也是76．。