2017-2018年浙江省杭州地区(含周边)重点中学高三(上)期中数学试卷及参考答案

2017-2018学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高三（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）已知i是虚数单位，则||=（）A．B． C．D．2．（4分）已知集合{x|mx2﹣2x+1=0}={n}，则m+n=（）A．0或1 B．C．2 D．或23．（4分）函数f（x）=|﹣sin2x|的最小正周期是（）A．2πB．πC．D．4．（4分）已知数列{a n}是等差数列，则数列{b n}一定为等差数列的是（）A．b n=|a n|B．b n=C．b n=﹣a n D．b n=a5．（4分）下列函数有唯一零点的是（）A．f（x）=sin2x﹣x2B．f（x）=sinx﹣x C．f（x）=sinx﹣x2D．f（x）=sin2x﹣x 6．（4分）在函数f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R，若x=e为y=f（x）的极小值点，则实数a的值为（）A．e B．3e C．e或3e D．无解7．（4分）正项数列{a n}满足a n+1=a n+﹣1（n∈N*），则“1＜a1＜2”是“{a n}是递增数列”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件8．（4分）若函数f（x）=x2+ax+b有两个零点x1，x2，且3＜x1＜x2＜5，那么f （3），f（5）（）A．只有一个小于1 B．都小于1C．都大于1 D．至少有一个小于19．（4分）已知a，b为正实数，若直线y=x﹣a与曲线y=ln（x+b）相切，则的取值范围为（）A．（0，）B．（0，1） C．（0，+∞）D．[1，+∞）10．（4分）△ABC中，已知∠C=，||＜||，=λ+（1﹣λ）（0＜λ＜1），则||取最小值时有（）A．||＞||＞||B．||＞||＞||C．||＞||＞||D．||＞||＞||二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．（6分）已知a＞0且a≠1，log a2=x，则a x=，a2x+a﹣2x=．12．（6分）在△ABC中，已知AB=3，BC=，AC=2，且O是△ABC的外心，则△ABC的面积为，•=．13．（6分）已知角α始边在x轴非负半轴，终边经过直线y=x﹣与圆x2+y2=1的交点，则cosα﹣sinα=，=．14．（6分）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，前n项和为S n，且S5•S6=﹣15，则d的取值范围是，若a1=﹣7，则d的值为．15．（4分）等腰三角形ABC中，AB=AC，D为AC的中点，BD=1，则△ABC面积的最大值为．16．（4分）若函数f（x）=（﹣x2﹣2x+3）（x2+ax+b）关于直线x=﹣2对称，则f （x）的值域为．17．（4分）若存在实数a，对任意的x∈[0，t]（t∈Z），不等式x|x﹣a|≤x+4恒成立，则整数t的最大值为．三、简答题（本大题共5小题，共74分）18．（14分）已知0≤φ＜π，函数f（x）=cos（2x+φ）+sin2x．（1）若φ=，求f（x）的单调递增区间；（2）若f（x）的最大值是，求φ的值．19．（15分）已知函数f（x）=﹣aln（x+2）（a∈R）．（1）若f（x）在定义域内存在极值点，求实数a的取值范围；（2）若a=，求f（x）在区间[0，4]上的最小值．20．（15分）已知向量=（2cosα，2sinα），=（cosβ，sinβ），其中0≤α＜β＜π，设=+，=﹣2（O为坐标原点），以OA，OB为邻边所作的平行四边形为菱形．（1）求cos（β﹣α）的值；（2）若a=0，单位向量=x+y（x，y∈R），求x+y的最大值．21．（15分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+b（a，b为常数）．（1）设a=﹣2，若y=f（x）有两个零点，求b的值；（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，求实数b的取值范围．22．（15分）已知函数f（x）=x2+x，x∈[1，+∞），a n=f（a n﹣1）（n≥2，n∈N）．（1）求证：（x+）2﹣≤f（x）≤2x2；（2）设数列{a}的前n项和为A n，数列{}的前n项和为B n，a1=，证明：2≤≤3．2017-2018学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）已知i是虚数单位，则||=（）A．B． C．D．【解答】解：||====．故选：A．2．（4分）已知集合{x|mx2﹣2x+1=0}={n}，则m+n=（）A．0或1 B．C．2 D．或2【解答】解：∵集合{x|mx2﹣2x+1=0}={n}，∴或，解得或，∴m+n=或m+n=2．故选：D．3．（4分）函数f（x）=|﹣sin2x|的最小正周期是（）A．2πB．πC．D．【解答】解：函数f（x）=|﹣sin2x|=|1﹣2sin2x|=|cos2x|，故它的最小正周期为•=，4．（4分）已知数列{a n}是等差数列，则数列{b n}一定为等差数列的是（）A．b n=|a n|B．b n=C．b n=﹣a n D．b n=a【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，b n=|a n|，若a n=﹣2n+3，|a n|不是等差数列，不符合题意；对于B，b n=，若a n=2n，则{}不是等差数列，不符合题意；对于C，b n=﹣a n，b n﹣b n﹣1=﹣a n+a n﹣1=﹣（a n﹣a n﹣1），为常数，是等差数列，符合题意；对于D，b n=，当a n=n时，b n==n2，不是等差数列，不符合题意；故选：C．5．（4分）下列函数有唯一零点的是（）A．f（x）=sin2x﹣x2B．f（x）=sinx﹣x C．f（x）=sinx﹣x2D．f（x）=sin2x﹣x 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）=sin2x﹣x2，f（0）=sin0﹣0=0，即函数有1个零点0，又由f（）=1﹣＞0且f（）=0﹣＜0，则函数在（，）还有一个零点，不符合题意；对于B，f（x）=sinx﹣x，f（0）=sin0﹣0=0，即函数有1个零点0，又由其导数为f′（x）=cosx﹣1≤0，则函数f（x）为减函数，则函数有有唯一零点0，符合题意；对于C，f（x）=sinx﹣x2，f（0）=sin0﹣0=0，即函数有1个零点0，又由f（）=sin﹣（）2=＞0，f（）=1﹣＜0，则函数在（，）还有一个零点，不符合题意；对于D，f（x）=sin2x﹣x，f（0）=sin0﹣0=0，即函数有1个零点0，又由f（）=1﹣＞0且f（）=0﹣＜0，则函数在（，）还有一个零点，不符故选：B．6．（4分）在函数f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R，若x=e为y=f（x）的极小值点，则实数a的值为（）A．e B．3e C．e或3e D．无解【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=2（x﹣a）lnx+令f′（x）=0，则（x﹣a）（2lnx+1﹣）=0，因为x=e是f（x）的极值点，所以f′（e）=0，解得a=e或a=3e．经检验a=e时，函数在（0，e）上，f′（x）＜0，单调减，在（e，+∞）上，f′（x）＞0，单调增∴x=e是函数f（x）=（x﹣a）2lnx（a∈R）的一个极小值点所以a=e故选：A．7．（4分）正项数列{a n}满足a n+1=a n+﹣1（n∈N*），则“1＜a1＜2”是“{a n}是递增数列”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件＞a n，【解答】解：“{a n}是递增数列”⇔a n+1=a n+﹣1（n∈N*），∵正项数列{a n}满足a n+1∴﹣1＞0，解得1＜a n＜2，∴“1＜a1＜2”．令f（x）=x+﹣1，x∈（1，2）．f′（x）=1﹣=，可得x=时，f（x）取得极小值，=2﹣1∈（1，2）．f（1）=f（2）=2．∵1＜a1＜2，∴a n∈⊊（1，2）．∴1＜a1＜2是“{a n}是递增数列”的充要条件．8．（4分）若函数f（x）=x2+ax+b有两个零点x1，x2，且3＜x1＜x2＜5，那么f （3），f（5）（）A．只有一个小于1 B．都小于1C．都大于1 D．至少有一个小于1【解答】解：由题意可得函数f（x）=（x﹣x1）（x﹣x2），∴f（3）=（3﹣x1）（3﹣x2）=（x1﹣3）（x2﹣3），f（5）=（5﹣x1）（5﹣x2），∴f（3）•f（5）=（x1﹣3）（x2﹣3）（5﹣x1）（5﹣x2）=[（x1﹣3）（5﹣x1）][（x2﹣3）（5﹣x2）]＜（）2（）2=1×1=1，即f（3）•f（5）＜1．故f（3），f（5）两个函数值中至少有一个小于1，故选：D．9．（4分）已知a，b为正实数，若直线y=x﹣a与曲线y=ln（x+b）相切，则的取值范围为（）A．（0，）B．（0，1） C．（0，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：函数的导数为y′==1，x=1﹣b，切点为（1﹣b，0），代入y=x﹣a，得a+b=1，∵a、b为正实数，∴a∈（0，1），则=，令g（a）=，则g′（a）=＞0，则函数g（a）为增函数，∴∈（0，）．故选：A．10．（4分）△ABC中，已知∠C=，||＜||，=λ+（1﹣λ）（0＜λ＜1），则||取最小值时有（）A．||＞||＞||B．||＞||＞||C．||＞||＞||D．||＞||＞||【解答】解：根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示，根据题意，||＜||，不妨设A（2，0），B（0，3），C（0，0）；又=λ+（1﹣λ）（0＜λ＜1），∴=（λ，3（1﹣λ）），∴=λ2+9（1﹣λ）2=10λ2﹣18λ+9，且当λ=时，||取得最小值为；此时||==，||==；∴||＞||＞||．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．（6分）已知a＞0且a≠1，log a2=x，则a x=2，a2x+a﹣2x=．【解答】解：由log a2=x，得a x=2；∴．∴．则a2x+a﹣2x=．故答案为：2，．12．（6分）在△ABC中，已知AB=3，BC=，AC=2，且O是△ABC的外心，则△ABC的面积为，•=﹣1．【解答】解：设外接圆半径为R，由AB=3，BC=，AC=2，得cos∠BAC=，∴sin∠BAC=，则；在△AOB中，由OA=OB=R，AB=3，可得cos∠OBA=，同理可得cos∠OBC=．∴=，=，∴•==．故答案为：，﹣1．13．（6分）已知角α始边在x轴非负半轴，终边经过直线y=x﹣与圆x2+y2=1的交点，则cosα﹣sinα=，=﹣．【解答】解：∵已知角α始边在x轴非负半轴，终边经过直线y=x﹣与圆x2+y2=1的交点（，﹣），（，﹣），∴cosα=，sinα=﹣，或cosα=，sinα=﹣．则cosα﹣sinα=．由以上可得，tanα=﹣，或tanα=﹣，∴当tanα=﹣时，∵sin2α=﹣，∴==﹣，当tanα=﹣时，sin2α=﹣，∴==﹣，故答案为：；﹣．14．（6分）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，前n项和为S n，且S5•S6=﹣15，则d的取值范围是∪，若a1=﹣7，则d的值为3或．【解答】解：S5•S6=﹣15，∴=﹣15，化为：+9da1+10d2+1=0，则△=81d2﹣8（10d2+1）≥0，化为：d2≥8，解得d≥2或d≤﹣2．则d的取值范围是∪．若a1=﹣7，则10d2﹣63d+99=0，解得d=3或．故答案为：∪，3或．15．（4分）等腰三角形ABC中，AB=AC，D为AC的中点，BD=1，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：等腰三角形ABC中，AB=AC，D为AC的中点，BD=1，则：=．则：=，故最大值为：．故答案为：．16．（4分）若函数f（x）=（﹣x2﹣2x+3）（x2+ax+b）关于直线x=﹣2对称，则f （x）的值域为（﹣∞，16] ．【解答】解：由题意，函数f（x）=（﹣x2﹣2x+3）（x2+ax+b）可得：f（1）=0，f（﹣3）=0，图象关于x=﹣2对称，从而可知：f（﹣1）=0，f（﹣5）=0，即有：x2+ax+b=（x+1）（x+5），解得：a=6，b=5．那么：f（x）=（1﹣x）（1+x）（x+3）（x+5）=[3﹣（x+2）][3+（x+2）][（x+2）﹣1][（x+2）+1]=[9﹣（x+2）2][（x+2）2﹣1]，=16﹣[（x+2）2﹣5]2≤16，则f（x）的值域为（﹣∞，16]．17．（4分）若存在实数a，对任意的x∈[0，t]（t∈Z），不等式x|x﹣a|≤x+4恒成立，则整数t的最大值为6．【解答】解：对任意的x∈[0，t]（t∈Z），不等式x|x﹣a|≤x+4恒成立，当x=0时，0≤4，即不等式x|x﹣a|≤x+4恒成立恒成立，当x∈（0，t]，不等式x|x﹣a|≤x+4恒成立⇔|a﹣x|≤=1+，∴﹣1﹣≤a﹣x≤1+，∴x﹣1﹣≤a≤x+1+，∵x∈[0，t]，设f（x）=x﹣1﹣，易知函数f（x）在[0，t]为增函数，∴f（x）max=t﹣1﹣，设g（x）=x+1+，∴g′（x）=1﹣=，当0＜t≤2时，函数f（x）在[0，t]为减函数，∴g（x）min=t+1+，故x﹣1﹣≤a≤x+1+恒成立，当t≥2时，函数f（x）在[0，2]为减函数，在（2，t]为增函数，∴g（x）min=g（2）=2+1+2=5，∴t﹣1﹣≤5，∴t﹣≤6，∵y=t﹣为增函数，且t∈Z，∴当t=6时，不等式t﹣≤6恒成立，综上所述t的最大值为6，故答案为：6三、简答题（本大题共5小题，共74分）18．（14分）已知0≤φ＜π，函数f（x）=cos（2x+φ）+sin2x．（1）若φ=，求f（x）的单调递增区间；（2）若f（x）的最大值是，求φ的值．【解答】解：（1）由φ=，函数f（x）=cos（2x+）+sin2x．化简可得：f（x）=cos2x﹣sin2x+=cos（2x+）由2kπ+π≤2x+≤2kπ+2π，得：≤x≤∴f（x）的单调递增区间为[，]k∈Z（2）函数f（x）=cos（2x+φ）+sin2x．化简可得：f（x）=（cosφ﹣）cos2x﹣sinφsin2x+的最大值为，则（cosφ﹣）2+（﹣sinφ）2=1，展开可得cosφ=0，∵0≤φ＜π，即φ=．19．（15分）已知函数f（x）=﹣aln（x+2）（a∈R）．（1）若f（x）在定义域内存在极值点，求实数a的取值范围；（2）若a=，求f（x）在区间[0，4]上的最小值．【解答】解：（1），由题意得：f′（x）=0在（﹣1，+∞）上有非重根⇔a==，∴实数a的取值范围是：（1，+∞）；（2）==在区间[0，4]上，当≤0时，即0≤a≤3时，f′（x）≤0，当＞0时，即3＜a≤4时，f′（x）≥0，∴f（x）在区间[0，3]上递减，区间[3，4]上递增，∴．20．（15分）已知向量=（2co sα，2sinα），=（cosβ，sinβ），其中0≤α＜β＜π，设=+，=﹣2（O为坐标原点），以OA，OB为邻边所作的平行四边形为菱形．（1）求cos（β﹣α）的值；（2）若a=0，单位向量=x+y（x，y∈R），求x+y的最大值．【解答】解：（1）由题意可得：，即（2cosα+cosβ）2+（2sinα+sinβ）2=（2cosα﹣2cosβ）2+（2sinα﹣2sinβ）2，整理得：12cos（β﹣α）=3，即cos（β﹣α）=；（2）∵α=0，∴，，∴=x+y=，设，则，得，∴x+y==（θ+φ）．∴．21．（15分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+b（a，b为常数）．（1）设a=﹣2，若y=f（x）有两个零点，求b的值；（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，求实数b的取值范围．【解答】解：（1）∵f′（x）=3x2+5x﹣2，令f′（x）=0，解得x=或x=﹣2，当x＜﹣2或x＞时，f′（x）＞0，函数单调递增，当﹣2＜x＜时，f′（x）＜0，函数单调递减，∴f（x）=f（﹣2）=b+6，极大值f（x）极小值=f（）=b﹣，∵y=f（x）有两个零点，∴b+60，或b﹣=0∴b=6或b=，（2）函数f（x）的导函数为由于存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，则，即x3+x2+（﹣3x2﹣5x﹣1）x+b=0存在唯一的实数根x0，故b=2x3+x2+x存在唯一的实数根x0，令y=2x3+x2+x，则y′=6x2+5x+1=（2x+1）（3x+1）=0，故x=﹣或x=﹣，则函数y=2x3+x2+x在（﹣∞，﹣），（﹣，+∞）上是增函数，在（﹣，﹣）上是减函数，由于x=﹣时，y=﹣；x=﹣时，y=﹣；故实数b的取值范围为：（﹣∞，﹣）∪（﹣，+∞）22．（15分）已知函数f（x）=x2+x，x∈[1，+∞），a n=f（a n﹣1）（n≥2，n∈N）．（1）求证：（x+）2﹣≤f（x）≤2x2；（2）设数列{a}的前n项和为A n，数列{}的前n项和为B n，a1=，证明：2≤≤3．【解答】证明：（1）已知函数f（x）=x2+x，x∈[1，+∞），则：f（x）﹣=，所以：．f（x）﹣2x2=x2+x﹣2x2=x﹣x2=x（1﹣x）≤0（x≥1），则：f（x）≤2x2．即：（x+）2﹣≤f（x）≤2x2；（2）由于a n=f（a n﹣1）=（n≥2，n∈N）．则：．累加得：=，=a n﹣1（a n﹣1+1），整理得：=，则：．累加得：+…+，=，所以：==，由（1）得：，所以：，所以：，则：，所以：，而，所以：．。