2016-2017年上海市上师大附中高二上期中
2016-2017学年上海师大附中高三(上)期中数学试卷
2016-2017学年上海师大附中高三（上）期中数学试卷一、填空题1．（3分）已知全集U=R，A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x≥1}，则A∩∁U B=．2．（3分）函数f（x）=的反函数f﹣1（x）= ．3．（3分）=．4．（3分）已知sin2θ+sinθ=0，θ∈（，π），则tan2θ=．5．（3分）方程log2（9x+7）=2+log2（3x+1）的解为．6．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S=（b2+c2﹣a2），则∠A=．7．（3分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列{log2a n}的前7项之和为．8．（3分）如果函数f（x）=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称，那么实数a=．9．（3分）若数列{a n}的通项公式是a n=，前n项和为S n，则S n的值为．10．（3分）已知f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0，]单调递增，则实数ω的最大值为．11．（3分）函数y=arcsin（x2﹣x）的值域为．12．（3分）设函数y=f （x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x ∈D，都有f（x+T）=T•f （x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T 为函数y=f（x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；②函数f（x）=x是“似周期函数”；③函数f（x）=2x是“似周期函数”；④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．其中是真命题的序号是．（写出所有满足条件的命题序号）13．（3分）已知数列{a n}满足a1=81，a n=（k∈N*），则数列{a n}的前n项和S n的最大值为．14．（3分）已知函数f（x）是定义在[1，+∞）上的函数，且f（x）=，则函数y=2xf（x）﹣3在区间（1，2016）上的零点个数为．二、选择题15．（3分）“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16．（3分）函数y=2cos2（x﹣）﹣1是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数17．（3分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（）A．﹣4 B．6 C．10 D．1718．（3分）已知点列A n（a n，b n）（n∈N*）均为函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上，点列B n（n，0）满足|A n B n|=|A n B n+1|，若数列{b n}中任意连续三项能构成三角形的三边，则a的取值范围为（）A．（0，）∪（，+∞）B．（，1）∪（1，）C．（0，）∪（，+∞）D．（，1）∪（1，）三、解答题19．已知函数f（x）=2sin（x+）•cosx．（1）若0≤x≤，求函数f（x）的值域；（2）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A为锐角且f （A）=，b=2，c=3，求cos（A﹣B）的值．20．某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P=（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本6（P+）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？21．已知函数，其中a∈R．（1）根据a的不同取值，讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）已知a＞0，函数f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数y=f（x）+f﹣1（x）在区间[1，2]上的最小值为1+log23，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值．22．设数列{a n}的前n项和为S n，且（S n﹣1）2=a n S n（n∈N*）．（1）求S1，S2，S3的值；（2）求出S n及数列{a n}的通项公式；（3）设b n=（﹣1）n﹣1（n+1）2a n a n+1（n∈N*），求数列{b n}的前n项和为T n．23．已知集合M是满足下列性制的函数f（x）的全体，存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，称数对（a，k）为函数f （x）的“伴随数对”．（1）判断f（x）=x2是否属于集合M，并说明理由；（2）若函数f（x）=sinx∈M，求满足条件的函数f（x）的所有“伴随数对”；（3）若（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，当1≤x＜2时，f（x）=cos（x）；当x=2时，f（x）=0，求当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的解析式和零点．2016-2017学年上海师大附中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）已知全集U=R，A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x≥1}，则A∩∁U B=（0，1）．【解答】解：全集U=R，A={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}=（0，2），B={x|x≥1}=[1，+∞），∴∁U B=（﹣∞，1），∴A∩∁U B=（0，1）．故答案为：（0，1）．2．（3分）函数f（x）=的反函数f﹣1（x）= x3+1．【解答】解：∵y=，∴x=y3+1，函数f（x）=的反函数为f﹣1（x）=x3+1．故答案为：x3+1．3．（3分）=﹣．【解答】解：原式===﹣，故答案为：﹣．4．（3分）已知sin2θ+sinθ=0，θ∈（，π），则tan2θ=．【解答】解：∵sin2θ+sinθ=0，⇒2sinθcosθ+sinθ=0，⇒sinθ（2cosθ+1）=0，∵θ∈（，π），sinθ≠0，∴2cosθ+1=0，解得：cosθ=﹣，∴tanθ=﹣=﹣，∴tan2θ==．故答案为：．5．（3分）方程log2（9x+7）=2+log2（3x+1）的解为x=0和x=1．【解答】解：由log2（9x+7）=2+log2（3x+1），得log2（9x+7）=log24（3x+1），即9x+7=4（3x+1），化为（3x）2﹣4•3x+3=0，解得：3x=1和3x=3，∴x=0和x=1．故答案为：x=0和x=1．6．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S=（b2+c2﹣a2），则∠A=．【解答】解：由已知得：S=bcsinA=（b2+c2﹣a2）变形为：=sinA，由余弦定理可得：cosA=，所以cosA=sinA即tanA=1，又A∈（0，π），则A=．故答案为：7．（3分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列{log2a n}的前7项之和为7．【解答】解：由等比数列的性质可得：a1a7=a2a6=a3a5=4=4，∴数列{log2a n}的前7项和=log2a1+log2a2+…+log2a7=log2（a1a2…a7）=log227=7，故答案为：7．8．（3分）如果函数f（x）=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称，那么实数a=1．【解答】解：f（x）=sin2x+acos2x=由正弦函数的对称轴方程，图象关于直线x=对称，即可得：，当k=0时，∵tanθ=a∴a=1故答案为1．9．（3分）若数列{a n}的通项公式是a n=，前n项和为S n，则S n的值为12．【解答】解：∵数列{a n}的通项公式是a n=，前n项和为S n，∴S n=4+8+=12．故答案为：12．10．（3分）已知f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0，]单调递增，则实数ω的最大值为．【解答】解：∵f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0，]单调递增，∴ω•≤，求得ω≤，则实数ω的最大值为，故答案为：．11．（3分）函数y=arcsin（x2﹣x）的值域为[﹣arcsin，] ．【解答】解：∵x2﹣x=（x﹣）2﹣≥﹣，∴函数y=arcsin（x2﹣x）的值域为[﹣arcsin，]．故答案为：[﹣arcsin，]．12．（3分）设函数y=f （x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x ∈D，都有f（x+T）=T•f （x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T 为函数y=f（x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；②函数f（x）=x是“似周期函数”；③函数f（x）=2x是“似周期函数”；④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．其中是真命题的序号是①④．（写出所有满足条件的命题序号）【解答】解：①∵似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，∴f（x﹣1）=﹣f（x），∴f（x﹣2）=﹣f（x﹣1）=f（x），故它是周期为2的周期函数，故正确；②若函数f（x）=x是“似周期函数”，则f（x+T）=T•f （x），即x+T=Tx恒成立；故（T﹣1）x=T恒成立，上式不可能恒成立；③若函数f（x）=2x是“似周期函数”，则f（x+T）=T•f （x），即2x+T=T2x恒成立；故2T=T成立，无解；故错误；④若函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，则f（x+T）=T•f （x），即cos（ω（x+T））=Tcosωx恒成立；故cos（ωx+ωT）=Tcosωx恒成立；即cosωxcosωT﹣sinωxsinωT=Tcosωx恒成立，故，故ω=kπ，k∈Z；故正确；故答案为：①④．13．（3分）已知数列{a n}满足a1=81，a n=（k∈N*），则数列{a n}的前n项和S n的最大值为127．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=81，a n=（k∈N*），∴n=2k（k∈N*）时，a2k=﹣1+log3a2k﹣1，a2=3；n=2k+1时a2k+1=．==，a2k=﹣1+a2k﹣2．∴a2k+1∴数列{a n}的奇数项成等比数列，公比为；偶数项成等差数列，公差为﹣1．∴S n=S2k=（a1+a3+…+a2k﹣1）+（a2+a4+…+a2k）=+3k+=﹣+≤126．（k=5时取等号）．S n=S2k﹣1=S2k﹣2+a2k﹣1=﹣++≤127，k=5综上可得：数列{a n}的前n项和S n的最大值为127．故答案为：127．14．（3分）已知函数f（x）是定义在[1，+∞）上的函数，且f（x）=，则函数y=2xf（x）﹣3在区间（1，2016）上的零点个数为11．【解答】解：令函数y=2xf（x）﹣3=0，得到方程f（x）=，当x∈[1，2）时，函数f（x）先增后减，在x=时取得最大值1，而y=在x=时也有y=1；当x∈[2，22）时，f（x）=，在x=3处函数f（x）取得最大值，而y=在x=3时也有y=；当x∈[22，23）时，f（x）=，在x=6处函数f（x）取得最大值，而y=在x=6时也有y=；…；当x∈[210，211）时，f（x）=，在x=1536处函数f（x）取得最大值，而y=在x=1536时也有y=．∴函数y=2xf（x）﹣3在区间（1，2016）上的零点个数为11．故答案为：11．二、选择题15．（3分）“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由|x﹣1|＜2解得：﹣2+1＜x＜2+1，即﹣1＜x＜3．由x（x﹣3）＜0，解得0＜x＜3．“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”必要不充分条件．故选：B．16．（3分）函数y=2cos2（x﹣）﹣1是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【解答】解：由y=2cos2（x﹣）﹣1=cos（2x﹣）=sin2x，∴T=π，且y=sin2x奇函数，即函数y=2cos2（x﹣）﹣1是奇函数．故选：A．17．（3分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（）A．﹣4 B．6 C．10 D．17【解答】解：作出不等式组表示的可行域，如右图中三角形的区域，作出直线l0：2x+5y=0，图中的虚线，平移直线l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6．故选：B．18．（3分）已知点列A n（a n，b n）（n∈N*）均为函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上，点列B n（n，0）满足|A n B n|=|A n B n+1|，若数列{b n}中任意连续三项能构成三角形的三边，则a的取值范围为（）A．（0，）∪（，+∞）B．（，1）∪（1，）C．（0，）∪（，+∞）D．（，1）∪（1，）【解答】解：由题意得，点B n（n，0），A n（a n，b n）满足|A n B n|=|A n B n+1|，由中点坐标公式，可得B n B n+1的中点为（n+，0），即a n=n+，b n=；，b n，b n+1为边长能构成一个三角形，当a＞1时，以b n﹣1只需b n+b n＞b n+1，﹣1b n﹣1＜b n＜b n+1，即+＞，即有1+a＜a2，解得1＜a＜；同理，0＜a＜1时，解得＜a＜1；综上，a的取值范围是1＜a＜或＜a＜1，故选：B．三、解答题19．已知函数f（x）=2sin（x+）•cosx．（1）若0≤x≤，求函数f（x）的值域；（2）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A为锐角且f （A）=，b=2，c=3，求cos（A﹣B）的值．【解答】解：（1）f（x）=2sin（x+）•cosx=（sinx+cosx）•cosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+；…（2分）由得，，∴，…（4分）∴，即函数f（x）的值域为；…（6分）（2）由，得，又由，∴，∴，解得；…（8分）在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA=7，解得；…（10分）由正弦定理，得，…（12分）∵b＜a，∴B＜A，∴，∴cos（A﹣B）=cosAcosB+sinAsinB=．…（15分）20．某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P=（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本6（P+）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？【解答】解：（Ⅰ）由题意知，y=（4+）p﹣x﹣6（p+），将p=代入化简得：y=19﹣﹣x（0≤x≤a）；（Ⅱ）y=22﹣（+x+2）≤22﹣3=10，当且仅当=x+2，即x=2时，上式取等号；当a≥2时，促销费用投入2万元时，该公司的利润最大；y=19﹣﹣x，y′=﹣，∴a＜2时，函数在[0，a]上单调递增，∴x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，该公司的利润最大．21．已知函数，其中a∈R．（1）根据a的不同取值，讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）已知a＞0，函数f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数y=f（x）+f﹣1（x）在区间[1，2]上的最小值为1+log23，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值．【解答】解：（1）∵，∴f（﹣x）=﹣ax+log2（2﹣x+1）=﹣ax+log2（2x+1）﹣log22x=﹣ax+log2（2x+1）﹣x，∴f（﹣x）=f（x），即﹣ax﹣x=ax，故a=；此时函数为偶函数，若a≠﹣，函数为非奇非偶函数；（2）∵a＞0，∴单调递增，又∵函数f（x）的反函数为f﹣1（x），∴f﹣1（x）单调递增；∴f（1）+f﹣1（1）=1+log23，即a+log23+f﹣1（1）=1+log23，故f﹣1（1）=1﹣a，即a（1﹣a）+log2（2a﹣1+1）=1，解得，a=1；故f（2）=2+log25．22．设数列{a n}的前n项和为S n，且（S n﹣1）2=a n S n（n∈N*）．（1）求S1，S2，S3的值；（2）求出S n及数列{a n}的通项公式；（3）设b n=（﹣1）n﹣1（n+1）2a n a n+1（n∈N*），求数列{b n}的前n项和为T n．【解答】解：（1）∵（S n﹣1）2=a n S n（n∈N*），∴n≥2时，（S n﹣1）2=（S n﹣S n﹣1）S n（n∈N*）．∴n=1时，，解得a1==S1．n=2时，，解得S2=．同理可得：S3=．（2）由（1）可得：n≥2时，（S n﹣1）2=（S n﹣S n﹣1）S n（n∈N*）．化为：S n=．（*）猜想S n=．n≥2时，代入（*），左边=；右边==，∴左边=右边，猜想成立，n=1时也成立．∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=，n=1时也成立．∴S n=，a n=．（3）b n=（﹣1）n﹣1（n+1）2a n a n+1（n∈N*）=（﹣1）n﹣1=（﹣1）n﹣1，∴n=2k（k∈N*）时，数列{b n}的前n项和为T n=﹣++…+﹣==﹣．n=2k﹣1（k∈N*）时，数列{b n}的前n项和为T n=﹣++…﹣+==+．∴T n=×．23．已知集合M是满足下列性制的函数f（x）的全体，存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，称数对（a，k）为函数f （x）的“伴随数对”．（1）判断f（x）=x2是否属于集合M，并说明理由；（2）若函数f（x）=sinx∈M，求满足条件的函数f（x）的所有“伴随数对”；（3）若（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，当1≤x＜2时，f（x）=cos（x）；当x=2时，f（x）=0，求当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的解析式和零点．【解答】解：（1）f（x）=x2的定义域为R．假设存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，则（a+x）2=k（a﹣x）2，化为：（k﹣1）x2﹣2a（k+1）x+a2（k﹣1）=0，由于上式对于任意实数x都成立，∴，解得k=1，a=0．∴（0，1）是函数f（x）的“伴随数对”，f（x）∈M．（2）∵函数f（x）=sinx∈M，∴sin（a+x）=ksin（a﹣x），∴（1+k）cosasinx+（1﹣k）sinacosx=0，∴sin（x+φ）=0，∵∀x∈R都成立，∴k2+2kcos2a+1=0，∴cos2a=，≥2，∴|cos2a|≥1，又|cos2a|≤1，故|cos2a|=1．当k=1时，cos2a=﹣1，a=nπ+，n∈Z．当k=﹣1时，cos2a=1，a=nπ，n∈Z．∴f（x）的“伴随数对”为（nπ+，1），（nπ，﹣1），n∈Z．（3）∵（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，∴f（1+x）=f（1﹣x），f（2+x）=﹣f（2﹣x），∴f（x+4）=f（x），T=4．当0＜x＜1时，则1＜2﹣x＜2，此时f（x）=f（2﹣x）=﹣cos；当2＜x＜3时，则1＜4﹣x＜2，此时f（x）=﹣f（4﹣x）=﹣cos；当3＜x＜4时，则0＜4﹣x＜1，此时f（x）=﹣f（4﹣x）=cos．∴f（x）=．∴f（x）=．∴当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的零点为2014，2015，2016．。
上师大附中学年第一学期期中考试高二物理试卷
上师大附中201６学年第一学期期中考试高二物理试卷（满分:100分完卷时间:６０分钟）学号班级分数一、单项选择题(共５5分。
１至20题每题２分,21题至25题每题３分。
每小题只有一个正确选项)1、一杯水含有大量的水分子，若杯中水的温度升高，则（ )A、水分子的平均动能增大B、只有个别水分子动能增大C、所有水分子的动能都增大D、水分子动能不变２、下列能源中,不是“可再生能源”的是（ )A 天然气B 太阳能ﻩＣ风能Ｄ潮汐能3、下列关于点电荷的说法中正确的是（)A、只要带电体的体积很小，就可以看成点电荷B、只要带电体的电量很小,就可以看成点电荷C、只要带电体的大小远小于电荷间的距离，就可以看成点电荷D、只要带电体所带的电荷量很大，就可以看成点电荷４、下列说法正确的是( ）A、元电荷就是一个点电荷B、元电荷就是一个电子C、元电荷就是一个质子D、最小电荷量最早是由密立根通过实验测定的５、做功和热传递都能改变物体的内能。
下列改变物体内能的方法中,属于做功过程的是( ）A、炉火上的一壶水逐渐升温的过程Ｂ、把烧红的铁块投入水中使铁块温度降低的过程C、太阳能热水器中的水在阳光下被晒热的过程D、摩擦生热的过程6、求几个力的合力、计算几个电阻的总电阻等研究物理问题的方法属于( ）A.等效替代法B.控制变量法ﻩC．建立物理模型法Ｄ.类比的方法7、用塑料梳子梳头时会因为摩擦而起电，经检验塑料梳子会带上负电荷，则梳头时（ )A、塑料梳子失去一些电子Ｂ、塑料梳子得到一些电子C、头发得到一些电子D、头发和梳子间没有电子转移8、下列关于电场线的说法错误的是（ )A、电场线上某点的切线方向就是该点放入电荷的受力方向B、电场线上某点的切线方向就是该点电场强度的方向C、电场线是不相交的,是假想的曲线D、电场线的疏密表示电场的强弱9、关于电场强度的定义式E＝Ｆ/ｑ,以下叙述正确的是( ﻩ)A、E与F成正比ﻩB、Ｅ与q成反比C、E由Ｆ和q的比值决定D、E表示电场本身性质,与q无关,其大小可由F和q的比值来测定。
2024届上海市上师大附中 物理高二第一学期期中学业质量监测试题含解析
2024届上海市上师大附中物理高二第一学期期中学业质量监测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、一只白炽灯泡，正常发光时的电阻为121Ω，当这只灯泡停止发光一段时间后的电阻应是（）A．大于121ΩB．小于121ΩC．等于121ΩD．无法判断2、下列说法正确的是（）A．洛伦兹力对带电粒子永远不做功B．运动电荷在某处不受洛伦兹力作用，则该处的磁感应强度一定为零C．运动电荷在磁感应强度不为零的地方，一定受到洛伦兹力作用D．洛伦兹力既不能改变带电粒子的动能，也不能改变带电粒子的速度3、如图所示，电源内阻较大，当开关闭合、滑动变阻器滑片位于某位置时，水平放置的平行板电容器间一带电液滴恰好处于静止状态，灯泡L也能正常发光，现将滑动变阻器滑片由该位置向a端滑动，则（）A．灯泡将变暗，电源效率将减小B．液滴带正电，将向下做加速运动C．电源的路端电压增大，输出功率也增大D．滑片滑动瞬间，带电液滴电势能将减小4、如图所示，质量相同的两小球a、b分别从斜面顶端A和斜面中点B沿水平方向抛出后，恰好都落在斜面底端，不计空气阻力，下列说法正确的是（）A．小球a、b在空中飞行的时间之比为2：1B．小球a、b抛出时的初速度大小之比为2：1C．小球a、b到达斜面底端时的动能之比为4：1D．小球a、b到达斜面底端时速度方向与斜面的夹角之比为1：15、如图所示，在水平放置的光滑绝缘杆ab上，挂有两个相同的金属环M和N．当两环均通以图示的相同方向的电流时，分析下列说法中，哪种说法正确（）A．两环静止不动B．两环互相远离C．两环互相靠近D．两环同时向左运动6、关于导体的电阻及电阻率的说法中，正确的是A．由可知，导体的电阻跟导体两端的电压成正比，跟导体中的电流成反比B．由知，导体的电阻与长度l、电阻率成正比，与横截面积S成反比C．将一根导线一分为二，则半根导线的电阻和电阻率都是原来的二分之一D．将一根电阻丝均匀拉长为原来2倍，则电阻丝的电阻变为原来的2倍二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海师大附中高二数学上学期期中试卷(含解析)
2015-2016学年上海师大附中高二（上）期中数学试卷一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．直线2x﹣y﹣3=0关于x轴对称的直线方程为__________．2．向量在向量方向上的投影为__________．3．已知向量，若，则=__________．4．已知一个关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵为，则x﹣y=__________．5．若=，则x+y=__________．6．a、b、c是两两不等的实数，则经过P（b，b+c）、C（a，c+a）两点的直线的倾斜角为__________．7．若行列式=0，则x=__________．8．直线Ax+3y+C=0与直线2x﹣3y+4=0的交点在y轴上，则C的值为__________．9．已知平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，=m，=n（m•n≠0），若∥，则=__________．10．已知直线2x+y﹣2=0和mx﹣y+1=0的夹角为，则m的值为__________．11．下面结论中，正确命题的个数为__________．①当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1=k2⇒l1∥l2．②如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于﹣1．③已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0（A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数），若直线l1⊥l2，则A1A2+B1B2=0．④点P（x0，y0）到直线y=kx+b的距离为．⑤直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．⑥若点A，B关于直线l：y=kx+b（k≠0）对称，则直线AB的斜率等于﹣，且线段AB的中点在直线l上．12．直线的倾斜角α的取值范围是__________．13．已知△ABC的外接圆的圆心为O，AB=2，AC=3，BC=，则=__________．14．设A是平面向量的集合，是定向量，对属于集合A，定义．现给出如下四个向量：①，②，③，④．那么对于任意、，使恒成立的向量的序号是__________（写出满足条件的所有向量的序号）．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15．“a=2”是“直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行”的( )A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件16．已知关于x，y的二元一次线性方程组的增广矩阵为，记，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是( )A．B．两两平行C．D．方向都相同17．如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是( )A．①是循环变量初始化，循环就要开始B．②为循环体C．③是判断是否继续循环的终止条件D．输出的S值为2，4，6，8，10，12，14，16，1818．如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各项点依次为，A1，A2，A3，…A n则的值组成的集合为( )A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．C．D．三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置．19．中秋节前几天，小毛所在的班级筹划组织一次中秋班会，热心的小毛受班级同学委托，去一家小礼品店为班级的三个小组分别采购三种小礼物：中国结、记事本和笔袋（每种礼物的品种和单价都相同）．三个小组给他的采购计划各不相同，各种礼物的采购数量及价格如下表所示：中国结（个）记事本（本）笔袋（个）合计（元）小组A 2 1 0 10小组B 1 3 1 10小组C 0 5 2 30为了结账，小毛特意计算了各小组的采购总价（见上表合计栏），可是粗心的小毛却不慎抄错了其中一个数字．第二天，当他按照自己的记录去向各小组报销的时候，有同学很快发现其中有错．发现错误的同学并不知道三种小礼物的单价，那么他是如何作出判断的呢？请你用所学的行列式的知识对此加以说明．20．（14分）已知△ABC的顶点A（1，3），AB边上的中线所在直线的方程是y=1，AC边上的高所在直线的方程是x﹣2y+1=0．求（1）AC边所在直线的方程；（2）AB边所在直线的方程．21．（14分）在直角坐标系中，已知两点A（x1，y1），B（x2，y2）；x1，x2是一元二次方程2x2﹣2ax+a2﹣4=0两个不等实根，且A、B两点都在直线y=﹣x+a上．（1）求；（2）a为何值时与夹角为．22．（16分）已知O为△ABC的外心，以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC、OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H．（1）若，试用表示；（2）证明：；（3）若△ABC的∠A=60°，∠B=45°，外接圆的半径为R，用R表示．23．（18分）如图，射线OA，OB所在的直线的方向向量分别为，，点P在∠AOB内，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N；（1）若k=1，，求|OM|的值；（2）若P（2，1），△OMP的面积为，求k的值；（3）已知k为常数，M，N的中点为T，且，当P变化时，求|OT|的取值范围．2015-2016学年上海师大附中高二（上）期中数学试卷一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．直线2x﹣y﹣3=0关于x轴对称的直线方程为2x+y﹣3=0．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】计算题；转化思想；构造法；直线与圆．【分析】欲求直线2x﹣y﹣3=0关于x轴对称的直线方程，只须将原直线方程中的y用﹣y 替换得到的新方程即为所求．【解答】解：∵直线y=f（x）关于x对称的直线方程为y=﹣f（x），∴直线y=2x﹣3关于x对称的直线方程为：y=﹣2x+3，即2x+y﹣3=0，故答案为：2x+y﹣3=0．【点评】本题考查直线关于点，直线对称的直线方程问题，需要熟练掌握斜率的变化规律，截距的变化规律．2．向量在向量方向上的投影为3．【考点】平面向量数量积的含义与物理意义．【专题】计算题．【分析】先求向量，的夹角，再求向量在向量方向上的投影；【解答】解：∵向量在向量，∴cos（，）===，∴向量在向量方向上的投影为：cos（，）=5×=3，故答案为3；【点评】此题主要考查平面向量数量积的定义及其性质，注意向量积公式，是一道基础题；3．已知向量，若，则=．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【专题】平面向量及应用．【分析】利用斜率的垂直求出x，得到向量，然后求模即可．【解答】解：向量，若，∴，∴x=4，==．故答案为：．【点评】本题考查斜率的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力．4．已知一个关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵为，则x﹣y=2．【考点】二阶矩阵．【专题】矩阵和变换．【分析】由增广矩阵写出原二元线性方程组，再根据方程求解x，y即可．【解答】解：由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，解得 x=4，y=2，故答案为：2．【点评】本题考查增广矩阵，解答的关键是二元线性方程组的增广矩阵的涵义，属于基础题．5．若=，则x+y=2．【考点】矩阵与矩阵的乘法的意义．【专题】矩阵和变换．【分析】根据矩阵的乘法运算计算即可．【解答】解：∵=，∴，解得，故答案为：2．【点评】本题考查矩阵的乘法运算，矩阵的相等，注意解题方法的积累，属于基础题．6．a、b、c是两两不等的实数，则经过P（b，b+c）、C（a，c+a）两点的直线的倾斜角为．【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题；对应思想；综合法；直线与圆．【分析】由直线经过P（b，b+c）、C（a，c+a）两点，能求出直线AB的斜率，从而能求出直线AB的倾斜角．【解答】解：∵直线经过P（b，b+c）、C（a，c+a）两点，∴直线AB的斜率k==1，∴直线AB的倾斜角α=；故答案为：．【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．7．若行列式=0，则x=2或﹣3．【考点】三阶矩阵．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】先将三阶行列式化为二阶行列式，即可求得结论【解答】解：由题意，﹣2×+4×=0∴x2+x﹣6=0∴x=2或﹣3故答案为：2或﹣3【点评】本题考查三阶行列式，考查学生的计算能力，属于基础题．8．直线Ax+3y+C=0与直线2x﹣3y+4=0的交点在y轴上，则C的值为﹣4．【考点】两条直线的交点坐标．【专题】计算题；函数思想；直线与圆．【分析】直线2x﹣3y+4=0与y轴的交点坐标，代入直线Ax+3y+C=0，求出可求C．【解答】解：直线2x﹣3y+4=0与y轴的交点（0，），代入直线Ax+3y+C=0，可得4+C=0，解得C=﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查直线的交点坐标的求法，考查计算能力．9．已知平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，=m，=n（m•n≠0），若∥，则=2．【考点】平行向量与共线向量．【专题】平面向量及应用．【分析】由平面向量基本定理用和表示和，由向量的共线可得=λ，代入比较系数可得．【解答】解：由题意可得==n﹣m，====，∵∥，∴∃λ∈R，使=λ，即n﹣m=λ（），比较系数可得n=λ，﹣m=λ，解得=2故答案为：2【点评】本题考查向量的平行于共线，涉及平面向量基本定理，属基础题．10．已知直线2x+y﹣2=0和mx﹣y+1=0的夹角为，则m的值为或3．【考点】两直线的夹角与到角问题．【专题】直线与圆．【分析】由条件利用两条直线的夹角公式，求得m的值．【解答】解：由直线2x+y﹣2=0和mx﹣y+1=0的夹角为，它们的斜率分别为﹣2、m，可得tan=1=||，求得m=或3，故答案为：或3．【点评】本题主要考查两条直线的夹角公式的应用，属于基础题．11．下面结论中，正确命题的个数为3．①当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1=k2⇒l1∥l2．②如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于﹣1．③已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0（A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数），若直线l1⊥l2，则A1A2+B1B2=0．④点P（x0，y0）到直线y=kx+b的距离为．⑤直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．⑥若点A，B关于直线l：y=kx+b（k≠0）对称，则直线AB的斜率等于﹣，且线段AB的中点在直线l上．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；探究型；运动思想；直线与圆；简易逻辑．【分析】举例说明①②错误；由两直线垂直与系数的关系说明③正确；由点到直线距离公式说明④错误；由点到直线的垂直距离最小说明⑤正确，由点关于直线的对称点的求法说明⑥正确．【解答】解：①当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1=k2⇒l1∥l2，错误，l1与l2．也可能重合；②如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于﹣1，错误，还有是一条直线的斜率为0，而另一条直线的斜率不存在；③已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0（A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数），若直线l1⊥l2，则A1A2+B1B2=0，正确；④点P（x0，y0）到直线y=kx+b的距离为，错误，应化直线方程为一般式，由点到直线的距离公式可得距离为；⑤直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离，正确；⑥若点A，B关于直线l：y=kx+b（k≠0）对称，则直线AB的斜率等于﹣，且线段AB的中点在直线l上，正确．∴以上正确的命题是③⑤⑥．故答案为：3．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了两直线的位置关系，考查了点到直线距离公式，训练了点关于直线的对称点的求法，是基础题．12．直线的倾斜角α的取值范围是[0，]∪[，π）．【考点】直线的一般式方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】将直线化成斜截式得斜率k=﹣cosα．设直线的倾斜角为θ，由cosα∈[﹣1，1]得﹣≤tanθ≤，结合直线倾斜角的范围和正切函数的单调性加以讨论，可得本题答案．【解答】解：将直线化成斜截式，得y=﹣xcosα﹣．∴直线的斜率k=﹣cosα，设直线的倾斜角为θ，可得tanθ=﹣cosα，由cosα∈[﹣1，1]，得﹣≤tanθ≤当0≤tanθ≤时，0≤θ≤；当﹣≤tanθ＜0时，≤θ＜π．综上所述，直线的倾斜角θ∈[0，]∪[，π）．故答案为：[0，]∪[，π）【点评】本题给出直线的方程，求直线倾斜角的取值范围．着重考查了正弦函数的值域、直线的斜率与倾斜角等知识，属于中档题．13．已知△ABC的外接圆的圆心为O，AB=2，AC=3，BC=，则=﹣．【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题．【分析】根据，将向量的数量积转化为：=，如图，再根据向量数量积的几何意义即可得到答案．【解答】解：由于，∴==如图，根据向量数量积的几何意义得：=﹣3|AE|+2|AF|=﹣×3+2×1=﹣故答案为：﹣．【点评】本小题主要考查向量在几何中的应用等基础知识，解答关键是利用向量数量积的几何意义．属于基础题．14．设A是平面向量的集合，是定向量，对属于集合A，定义．现给出如下四个向量：①，②，③，④．那么对于任意、，使恒成立的向量的序号是①③④（写出满足条件的所有向量的序号）．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；阅读型．【分析】由于①是零向量代入f（x）检验是否满足要求即可；对于一般情况，利用向量的数量积的运算律求出f（x）f（y）；要满足条件得到，再判断②③④哪个满足即可．【解答】解：对于①当时，满足当时，=要满足需∴对于③④故答案为①③④【点评】本题考查向量的数量积的运算律：满足交换量不满足结合律但当向量与实数相乘时满足结合律．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15．“a=2”是“直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行”的( )A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】当a=2 时，经检验，两直线平行，故充分性成立；当两直线平行时，由斜率相等得到a=±2，故必要性不成立．【解答】解：当a=2 时，直线2x+ay﹣1=0 即 2x+2y﹣1=0，直线ax+2y﹣2=0 即 2x+2y﹣2=0，显然两直线平行，故充分性成立．当直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行时，由斜率相等得，a2=4，a=±2，故由直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行，不能推出a=2，故必要性不成立．综上，“a=2”是“直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行”的充分不必要条件，故选B．【点评】本题考查两直线平行的条件和性质，充分条件、必要条件的定义和判断方法．16．已知关于x，y的二元一次线性方程组的增广矩阵为，记，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是( )A．B．两两平行C．D．方向都相同【考点】二元一次方程组的矩阵形式；充要条件．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例，由此即可得到结论．【解答】解：由题意，二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例∵，∴两两平行故选B．【点评】本题考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，考查向量知识，属于基础题．17．如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是( )A．①是循环变量初始化，循环就要开始B．②为循环体C．③是判断是否继续循环的终止条件D．输出的S值为2，4，6，8，10，12，14，16，18【考点】循环结构；程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量s的值，结合各部分的功能即可得出答案．【解答】解：这个程序框图中，①是循环变量初始化，循环将要开始，正确；②为不满足条件n＞10时执行的语句，是循环体，故B正确；③是判断是否继续循环的终止条件，正确；④满足执行程序框图，可得i=1s=2，输出2，i=2s=4，输出4，i=3s=6，输出6，i=4s=8，输出8，i=5s=10，输出10，i=6s=12，输出12，i=7s=14，输出14，i=8s=16，输出16，i=9s=18，输出18，i=10s=20，输出20，i=11满足条件i＞10，退出循环．故D错．故选：D．【点评】本题考查的知识点是程序框图，循环结构，循环语句，程序功能的判断，是对算法知识点的综合考查，熟练掌握算法的基础知识是解答本题的关键．18．如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各项点依次为，A1，A2，A3，…A n则的值组成的集合为( )A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】通过观察图形知道向量分成以下三个类型：①小三角形边上的向量，②大三角形边上的向量，③大三角形中线向量，这样求出每种情况下的值，从而求得答案．【解答】解：对向量分成以下几种类型：边长为1的小三角形边上的向量，只需找一个小三角形A1A2A4，它其它小三角形边上的向量相等；大三角形A1A3A6边上的向量，和它的中线上的向量，所以有：，，，，，，，，，，，，，，，；∴所有值组成的集合为{1，﹣1，}．故选：D．【点评】考查相等向量，相反向量的概念，向量数量积的计算公式，等边三角形中线的特点．三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置．19．中秋节前几天，小毛所在的班级筹划组织一次中秋班会，热心的小毛受班级同学委托，去一家小礼品店为班级的三个小组分别采购三种小礼物：中国结、记事本和笔袋（每种礼物的品种和单价都相同）．三个小组给他的采购计划各不相同，各种礼物的采购数量及价格如下表所示：中国结（个）记事本（本）笔袋（个）合计（元）小组A 2 1 0 10小组B 1 3 1 10小组C 0 5 2 30为了结账，小毛特意计算了各小组的采购总价（见上表合计栏），可是粗心的小毛却不慎抄错了其中一个数字．第二天，当他按照自己的记录去向各小组报销的时候，有同学很快发现其中有错．发现错误的同学并不知道三种小礼物的单价，那么他是如何作出判断的呢？请你用所学的行列式的知识对此加以说明．【考点】进行简单的合情推理．【专题】计算题；方程思想；综合法；矩阵和变换．【分析】设中国结每个x元，记事本每本y元，笔袋每个z元，由题设列出方程组，由系数行列式D=0，得方程组有无穷多组解或无解，再由D x，D y，D z均不为0，得到该方程组无解．【解答】（本题满分12分）解：设中国结每个x元，记事本每本y元，笔袋每个z元，由题设有，∵，∴方程组有无穷多组解或无解，又，，，∴该方程组无解．【点评】本题考查行列式知识的应用，是基础题，解题时要注意系数行列式在解线性方程组时的合理运用．20．（14分）已知△ABC的顶点A（1，3），AB边上的中线所在直线的方程是y=1，AC边上的高所在直线的方程是x﹣2y+1=0．求（1）AC边所在直线的方程；（2）AB边所在直线的方程．【考点】直线的一般式方程．【专题】计算题．【分析】（1）根据AC边的高所在的直线方程，设出AC所在的直线方程，再代入点A的坐标，求参数即可（2）由中点坐标公式表示出点B的坐标，再根据点B在AC的高线上，可求出中点坐标，从而可确定直线AB的斜率，又由点A的坐标，即可表示出直线的方程【解答】解：（1）由题意，直线x﹣2y+1=0的一个法向量（1，﹣2）是AC边所在直线的一个方向向量∴可设AC所在的直线方程为：2x+y+c=0又点A的坐标为（1，3）∴2×1+3+c=0∴c=﹣5∴AC所在直线方程为2x+y﹣5=0．（2）y=1是AB中线所在直线方程设AB中点P（x P，1），B（x B，y B）∴∴点B坐标为（2x P﹣1，﹣1），且点B满足方程x﹣2y+1=0∴（2x P﹣1）﹣2•（﹣1）+1=0得x P=﹣1，∴P（﹣1，1）∴AB所在的直线的斜率为：∴AB边所在直线方程为y﹣3=1（x﹣1），即x﹣y+2=0【点评】本题考查直线方程的求法，要熟练应用直线垂直的关系和中点坐标公式．属简单题21．（14分）在直角坐标系中，已知两点A（x1，y1），B（x2，y2）；x1，x2是一元二次方程2x2﹣2ax+a2﹣4=0两个不等实根，且A、B两点都在直线y=﹣x+a上．（1）求；（2）a为何值时与夹角为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；方程思想；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】（1）由判别式大于0求出a的范围，利用根与系数关系结合A、B两点都在直线y=﹣x+a上求得；（2）求出方程的根，结合A、B两点都在直线y=﹣x+a上可得x1=y2，x2=y1，求出，再由数量积公式求出，与（1）中的结合得到关于a的方程，求解方程得答案．【解答】解：（1）∵x1、x2是方程2x2﹣2ax+a2﹣4=0两个不等实根，∴△=4a2﹣8（a2﹣4）＞0，解得：，且x1+x2=a，，又∵A、B两点都在直线y=﹣x+a上，∴y1y2=（﹣x1+a）（﹣x2+a）==，∴=；（2）求解方程2x2﹣2ax+a2﹣4=0，得，，∴，同理y2=x1，∴==．当与夹角为时，，∴a2﹣4=2，解得：．∴．【点评】本题考查一元二次方程的根与系数关系，考查了平面向量的数量积运算，训练了灵活变形能力，是中档题．22．（16分）已知O为△ABC的外心，以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC、OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H．（1）若，试用表示；（2）证明：；（3）若△ABC的∠A=60°，∠B=45°，外接圆的半径为R，用R表示．【考点】平面向量的综合题．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）利用向量加法的平行四边形法则，用已知向量表示向量（2）要证明向量，只要证明，利用O是三角形的外心，可得，然后用向量表示（3）利用已知的角，结合向量的数量积把已知的两边平方整理可得外接圆半径【解答】解：（1）由平行四边形法则可得：即（2）∵O是△ABC的外心，∴||=||=||，即||=||=||，而，∴．（）=|2﹣||2=0，∴（3）在△ABC中，O是外心A=60°，B=45°∴∠BOC=120°，∠AOC=90°于是∠AOB=150°||2=（=+2°+2=（）R2∴【点评】本题主要考查向量的加法的平行四边形法则，两向量垂直的证明方法及向量数量积的定义，综合运用向量的知识，解决问题的关键是熟练掌握向量的基本知识．23．（18分）如图，射线OA，OB所在的直线的方向向量分别为，，点P在∠AOB内，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N；（1）若k=1，，求|OM|的值；（2）若P（2，1），△OMP的面积为，求k的值；（3）已知k为常数，M，N的中点为T，且，当P变化时，求|OT|的取值范围．【考点】向量在几何中的应用．【专题】综合题；直线与圆．【分析】（1）求出|OP|，点P到直线的距离，利用勾股定理，求|OM|的值；（2）直线OA的方程为kx﹣y=0，求出P（2，1）到直线的距离，利用勾股定理求出|OM|，利用△OMP的面积为，求k的值；（3）设直线OA的倾斜角为α，求出|OM|，|ON|，利用S△MON=，可得P变化时，动点T轨迹方程，求出|OT|，即可求|OT|的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴|OP|=，∵OA的方程为y=x，即x﹣y=0，点P到直线的距离为=，∴|OM|==；（2）直线OA的方程为kx﹣y=0，P（2，1）到直线的距离为d=，∴|OM|=，∴△OMP的面积为××=，∴；（3）设M（x1，kx1），N（x2，﹣kx2），T（x，y），x1＞0，x2＞0，k＞0，设直线OA的倾斜角为α，则，根据题意得，代入化简得动点T轨迹方程为．∴，当且仅当时，|OT|取得最小值．∴|OT|的取值范围是．【点评】本题考查三角形面积的计算，考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
2020学年上海市上师大附中高二上学期期中数学试题(解析版)
上海市上师大附中高二上学期期中数学试题一、单选题1．某人在超市一次性购买了20斤大米和10斤食用油，大米的价格是2.9元/斤，食用油的价格是25元/斤，则购买这两种商品的总花费可以用下列各式计算得到的是（ ）A ．202510 2.9B ．20 2.91025C ．()2.9201025⎛⎫⎪⎝⎭D ．() 2.9201025⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】先计算共花费，再根据行列式乘积的定义得解. 【详解】由题得总花费为20 2.9+1025⨯⨯， 根据行列式乘积的定义得只有D 符合. 故答案为：D 【点睛】本题主要考查行列式乘积的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．当1m ≠-时，下列关于方程组12mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩的判断，正确的是（ ）A ．方程组有唯一解B ．方程有唯一解或无穷多解C ．方程无解或无穷多解D ．方程组有唯一解或无解【答案】D【解析】先根据方程组中x ，y 的系数及常数项计算计算出D ，x D ，y D ，下面对m 的值进行分类讨论：（1）当1m ≠-，1m ≠时，（2）当1m =时，分别求解方程组的解即可． 【详解】211(1)(1)1m D m m m m==-=+-， 211(1)2x m D m m m m m m+==-=-，2121(21)(1)12y m m D m m m m m+==--=+-，当1m ≠-，1m ≠时，0D ≠，方程组有唯一解，解为1211m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩．当1m =时，0x y D D D ===，方程组有无穷多组解，此时方程组化为22x y x y +=⎧⎨+=⎩， 令()x t t R =∈，原方程组的解为()2x tt R y t =⎧∈⎨=-⎩，∴方程组有唯一解或有无穷多解，故选：D ． 【点睛】本小题主要考查二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性，唯一性、二元方程的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．3．下列有关平面向量分解定理的四个命题：（1）一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；（2）一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基； （3）平面向量的基向量可能互相垂直；（4）一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合.其中正确命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】根据平面向量的基本定理，作为平面内所有向量的一组基底是两个向量不共线，由此对四个选项作出判断即可． 【详解】一个平面内有无数多对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基，∴①错误，②正确；平面向量的基向量可能互相垂直，如正交基，∴③正确；平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合，如果是三个不共线的向量，表示法不唯一，∴④错误． 综上，正确的命题是②③． 故选：B ． 【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题的关键是理解作为基底的两个向量不共线，是基础题目．4．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 为ABC ∆内一点，若分别满足下列四个条件： ①0++=aOA bOB cOC ；②tan tan tan 0⋅+⋅+⋅=A OA B OB C OC ； ③sin 2sin 2sin 20⋅+⋅+⋅=A OA B OB C OC ； ④0OA OB OC ++=； 则点O 分别为ABC ∆的（ ）A ．外心、内心、垂心、重心B ．内心、外心、垂心、重心C ．垂心、内心、重心、外心D ．内心、垂心、外心、重心【答案】D【解析】先考虑直角ABC ∆，可令3a =，4b =，5c =，可得()0,4A ，()3,0B ，()0,0C ，设(),O m n ，由向量的坐标表示和三角函数的恒等变换公式计算可判断①③④为三角形的内心、外心和重心；考虑等腰ABC ∆，底角为30，设()1,3C -，()2,0B ，()0,0A ，(),O x y ，由向量的坐标表示和向量垂直的条件，可判断②为三角形的垂心． 【详解】先考虑直角ABC ∆，可令3a =，4b =，5c =， 可得()0,4A ，()3,0B ，()0,0C ，设(),O m n ，①0aOA bOB cOC ++=，即为()()()()3,443,5,0,0m n m n m n --+--+--=， 即有12120m -+=，12120n -+=，解得1m n ==，即有O 到x ，y 轴的距离为1，O 在BCA ∠的平分线上，且到AB 的距离也为1，则O 为ABC 的内心；③2220sin A OA sin B OB sin C OC ⋅+⋅+⋅=， 即为()()()()2424,43,0,0,02525m n m n m n --+--+--=， 可得320m -=，420n -=，解得32m =，2n =，由52OA OB OC ===，故O 为ABC 的外心； ④0OA OB OC ++=，可得()()()(),43,,0,0m n m n m n --+--+--=， 即为330m -=，430n -=，解得1m =，43n =， 由AC 的中点D 为()0,2，13DB =，213OB =，即O 分中线DB 比为2:3， 故O 为ABC 的重心；考虑等腰ABC ∆，底角为30，设(3C -，()2,0B ，()0,0A ，(),O x y ， ②0tanA OA tanB OB tanC OC ⋅+⋅+⋅=， 即为)))()333,2,130,0x y x y x y ------=， 330+=310y +=，解得1x =-，3y = 即(1,3O --，由OC AB ⊥，3313OA BC k k ⎛⎫⋅=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，即有OA BC ⊥，故O 为ABC 的垂心． 故选：D 【点睛】本题考查三角形的四心的判断，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，通常可用建立坐标系的方法求解，属于常考题型． 二、填空题5．原点到直线250x y +-=的距离为______【解析】直接利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由题得原点到直线250x y +-==【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.6．已知111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵是111113-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则此方程组的解是_______ 【答案】21x y =⎧⎨=⎩【解析】根据增广矩阵的定义将关于,x y 的方程组还原，再解方程组得解. 【详解】根据增广矩阵的定义将关于,x y 的方程组还原为13x y x y -=⎧⎨+=⎩，解之得21x y =⎧⎨=⎩.故答案为：21x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题主要考查增广矩阵的定义及线性方程组的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．直线2310x y -+=的方向向量d =________（写出一个即可） 【答案】()3,2【解析】先求出直线的斜率，即得直线的一个方向向量. 【详解】由题得直线2310x y -+=的斜率为23， 所以直线的一个方向向量为()3,2. 故答案为：()3,2 【点睛】本题主要考查直线的方向向量的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．已知()1,0a =，()2,1b =，则3a b +=______ 【解析】先求出3a b +，再求3a b +得解. 【详解】由题得3=(7,3)a b +，所以2373a b+=+=【点睛】本题主要考查平面向量的坐标计算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．若三条直线30ax y ++=，20x y ++=和210x y -+=相交于一点，则行列式13112211a-的值为________【答案】0【解析】先求20x y ++=和210x y -+=的交点，代入直线30ax y ++=，即可得到a 的值．再利用行列式的计算法则，展开表达式，化简即可． 【详解】解方程组20210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩得交点坐标为(1,1)--，代入30ax y ++=，得2a =．行列式2131122436410211=+--+-=-．故答案为：0． 【点睛】本题是基础题，考查直线交点的求法，三条直线相交于一点的解题策略，考查行列式的运算法则，考查计算能力．10．若点P 分有向线段AB 所成的比为13-，则点B 分有向线段PA 所成的比是_______【答案】32- 【解析】由题得13AP PB =-，即得点B 分有向线段PA 所成的比. 【详解】因为点P 分有向线段AB 所成的比为13-，所以13AP PB =-， 所以32PB BA =-. 故答案为：32- 【点睛】本题主要考查定比分点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11．直线()200x ay a -+=<的倾斜角是________ 【答案】1arctan aθπ=+【解析】先求出直线的斜率，再写出直线的倾斜角. 【详解】直线()200x ay a -+=<的斜率为10a<， 所以直线()200x ay a -+=<的倾斜角1arctan aθπ=+. 故答案为：1arctan aθπ=+ 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的计算和反三角函数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．直线经过点A （2，1），B （1，m 2）两点（m ∈R ），那么直线l 的倾斜角取值范围是 . 【答案】α∈∪【解析】k ＝tan α＝＝1－m 2≤1，所以α∈∪.13．已知向量(),12OA k =，()4,5OB =，(),10OC k =-，且A 、B 、C 三点共线，则k =_______【答案】23-【解析】先求出,AB BC 的坐标，再根据A 、B 、C 三点共线求出k 的值. 【详解】由题得(4,7)AB OB OA k =-=--，(4,5)BC OC OB k =-=--，因为A 、B 、C 三点共线， 所以=AB BC λ，所以(4)57(4)0k k -⋅+--=，所以23k =-.故答案为：23-【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和共线向量，考查三点共线，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．设a 、b 、c 是ABC ∆三个内角A 、B 、C 所对应的边，且2b ac =，那么直线2sin sin 0x A y A a +-=与直线2sin sin 0x B y C c +-=的位置关系是________ 【答案】重合【解析】由2b ac =得2sin sin sin B A C =,即由系数比可得到两直线的位置关系. 【详解】由2b ac =得2sin sin sin B A C =，所以222sin sin sin sin sin sin sin A A A a aB AC C c c-====-，所以直线2sin sin 0x A y A a +-=与直线2sin sin 0x B y C c +-=的位置关系是重合.故答案为：重合 【点睛】本题主要考查正弦定理，考查两直线的位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．若矩阵11122122a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭满足：11a ，12a ，21a ，{}220,1a ∈且111221220a a a a =，则这样互不相等的矩阵共有________个 【答案】10个【解析】根据题意，分类讨论，考虑全为0；全为1；三个0，一个1；两个0，两个1，即可得出结论． 【详解】由111221220a a aa =， 可得112212210a a a a -=，由于11a ，12a ，21a ，22{0a ∈，1}，可得矩阵11122122a a aa ⎛⎫ ⎪⎝⎭可以是0000⎛⎫ ⎪⎝⎭，1111⎛⎫ ⎪⎝⎭，0001⎛⎫ ⎪⎝⎭，1000⎛⎫ ⎪⎝⎭， 0100⎛⎫ ⎪⎝⎭，0001⎛⎫ ⎪⎝⎭，0101⎛⎫ ⎪⎝⎭，1100⎛⎫ ⎪⎝⎭，1010⎛⎫ ⎪⎝⎭，0011⎛⎫⎪⎝⎭． 则这样的互不相等的矩阵共有10个． 故答案为：10 【点睛】本题考查二阶矩阵，解题的关键是利用二阶矩阵的含义，属于基础题． 16．已知平面上三个不同的单位向量a 、b 、c 满足12a b b c ⋅=⋅=，若e 为平面内任意单位向量，则()()23a e b e c e ⋅+⋅+⋅的最大值为_______【解析】先求出12a c ⋅=-，再求出()()23|23|cos a e b e c e a b c θ⋅+⋅+⋅=++，再求出|23|=19a b c ++，即得最大值. 【详解】因为12a b b c ⋅=⋅=， 所以12a c ⋅=-，由题得()()23(23)|23|||cos =|23|cos a e b e c e a b c e a b c e a b c θθ⋅+⋅+⋅=++⋅=++++，2|23|(23)=1+4+9+4612=14+5=a b c a b c a b a c b c ++=++⋅+⋅+⋅所以()()23(23)=|23|cos a e b e c e a b c e a b c θ⋅+⋅+⋅=++⋅++≤.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 三、解答题17．已知()4,6A 、()3,1B --、()4,5C -三点.（1）求经过点A 且与BC 平行的直线l 的点方向式方程； （2）求经过点A 且与BC 垂直的直线m 的斜截式方程. 【答案】（1）4674x y --=-；（2）714y x =-. 【解析】（1）BC 的方向向量为(7,4)BC =-，即得经过点A 且与BC 平行的直线l 的点方向式方程；（2）先求出所求直线的斜率为74，再写出直线的斜截式方程. 【详解】（1）BC 的方向向量为(7,4)BC =-，所以经过点A 且与BC 平行的直线l 的点方向式方程为4674x y --=-.（2）由题得直线BC 的斜率为47-，所以所求直线的斜率为74.所以直线的方程为76(4)4y x -=-，所以714y x =-.【点睛】本题主要考查直线的点方向式方程和斜截式方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．已知4a =，2b =，且a 与b 的夹角为23π，求：（1）a 在b 上的投影； （2）()()2a b a b -+； （3） a 与a b +的夹角.【答案】（1）2-；（2）12；（3）6πθ=【解析】（1）直接利用向量的投影公式求解即可；（2）利用数量积的运算法则计算得解；（3） 【详解】（1）由题得a 在b 上的投影为24cos 23π⨯=-；（2）()()2212=216842()122a b a b a b a b -+--⋅=--⨯⨯-=； （3）由题得2||()16a b a b +=+=+=所以a 与a b +==.故a 与a b +的夹角为6πθ=.【点睛】本题主要考查向量的投影和数量积的计算，考查向量的夹角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．直线l 过点()2,3A 且被两平行线m 350y -+=和n ：1033x y --=截得的线段为2.（1）求两平行线之间的距离； （2）求直线l 与两平行线的夹角； （3）求直线l 的方程. 【答案】（1（2）3πθ=；（3）3y =或3y =-.【解析】（1）先化简n ，再利用两平行线之间的距离求解；（2）利用三角函数求直线l 与两平行线的夹角；（3）利用点斜式写出直线的方程得解. 【详解】（1）由题得n ：310y --=，==（2）由题得直线l 与两平行线的夹角的正弦值为2，所以直线l 与两平行线的夹角为3π.（3）由题得直线存在斜率，设直线的斜率为,k所以=0k =或k =所以直线的方程为3y =或)23y x =-+.即3y =或3y =-. 【点睛】本题主要考查平行线的距离的求法和直线的夹角的计算，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．在AOB ∆中，AOB ∠为直角，14OC OA =，12OD OB =，AD 与BC 相交于点M ，OA a =，OB b =. （1）试用a 、b 表示向量OM ；（2）在线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使得直线EF 过M ，设OE OA λ=，OF OB μ=，求13λμ+的值；（3）若AB a =，过O 作线段PQ ，使得O 为PQ 的中点，且2PQ a =，求AP BQ ⋅的取值范围.【答案】（1）1377OM a b =+；（2）137λμ+=；（3）22,0a ⎡⎤-⎣⎦. 【解析】（1）设OM ma nb =+，根据C ，M ，B 三点共线，可得存在非零实数k 使得()4kCM kCB k OB OC kb a ==-=-，从而14kOM a kb -=+，，利用平面向量基本定理可得m ，n 的关系，同理D ，M ，A 三点共线，可得m ，n 的关系，由此即可求得m ，n 的值，即得解；（2）将FM 两次线性表示，利用平面向量基本定理，建立等式，消参，即可证得结论 （3）如图，设,OB OQ 的夹角为α，则,OA OP 的夹角为2πα-，求出22sin()AP BQ a a αβ⋅=--+，再求取值范围.【详解】（1）解：设OM ma nb =+C ，M ，B 三点共线，∴存在非零实数k 使得()4k CM kCB k OB OC kb a ==-=- ∴11444k kOM OC CM a kb a a kb -=+=+-=+， ∴1144k m n m n k-⎧=-⎪⇒=⎨⎪=⎩①又D ，M ，A 三点共线，∴存在非零实数t 使得()2tDM tDA t OA OD ta b ==-=-∴11222t tOM OD DA b ta b ta b -=+=+-=+， 又OM ma nb =+∴1122m tm n tn =⎧-⎪⇒=⎨-=⎪⎩② 由①②解得：13,77m n ==， 所以1377OM a b =+.（2）证明：由（1）知1377OM a b =+，F ，M ，E 三点共线，∴存在非零实数t 使得()FM tFE t OE OF t a t b λμ==-=-13()77FM OM OF a b μ=-=+-∴1737t t λμμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩消去t 得37μλλμ+=． 所以137λμ+= .（3）如图，设,OB OQ 的夹角为α，则,OA OP 的夹角为2πα-，2()()AP BQ OP OA OQ OB a OP OB OA OQ ⋅=-⋅-=--⋅-⋅所以22||cos ||cos()=||cos ||sin 2AP BQ a a OB a OA a a OB a OA παααα⋅=-------所以2222=(||sin ||cos ))AP BQ a a OA OB a a OA OB αααβ⋅--+=--++ 所以222sin()[2,0]AP BQ a a a αβ⋅=--+∈-. 【点睛】本题主要考查向量的线性运算和共线向量，考查平面向量的数量积，考查三角恒等变换和三角函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 21．如图，已知城市O 周边有两个小镇A 、B ，其中乡镇A 位于城市O 的正东方21km 处，乡镇B 与城市O 相距5km ，OB 与OA 夹角的正切值为2，为方便交通，现准备建设一条经过城市O 的公路l ，使乡镇A 和B 分别位于l 的两侧，过A 和B 建设两条垂直l 的公路AC 和BD ，分别与公路l 交汇于C 、D 两点，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy .（1）当两个交汇点C 、D 重合，试确定此时BD 路段长度；（2）当AC BD =，计算此时两个交汇点C 、D 到城市O 的距离之比； （3）若要求两个交汇点C 、D 的距离不超过143km ，求AOC ∠正切值的取值范围.【答案】（1）722BD =；（2）32；（3）917917,⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦.【解析】（1）先求出直线l 的斜率为1，点B 的坐标为(7,14)，再利用点到直线的距离为|BD|=7222=；（2）设直线AB 的斜率为k ，先求出1,2k =再求出3tan 4BOD ∠=，即得|OC |tan 3||tan 2BOD OD AOC ∠==∠；（3）先求出||,||OC OD ,再求出214||||,31OC OD k -=≤+解不等式即得解. 【详解】（1）当两个交汇点C 、D 重合时，则AC,BD 公路共线，过点B 作BE ⊥AO,垂足为E, 则21||75514,||755755BE OE ====,所以AE=21714-=，所以|BE|=|AE|,所以直线AB的倾斜角为34π，所以直线AB的斜率为1-，所以直线l的斜率为1，因为点B的坐标为(7,14)，所以=（2）由题得A(21,0)，设直线AB的斜率为k，所以直线AB的方程为0kx y，因为|AC|=|BD|,12k=∴=.由题得1tan2tan tan()211tan2BODAOB AOC BODBOD+∠∠=∠+∠==-⋅∠, 所以3tan4BOD∠=,所以3|OC|tan341||tan22BODOD AOC∠===∠.（3）由题得|BD|=tantan tan()21tank BODAOB AOC BODk BOD+∠∠=∠+∠==-⋅∠，所以2tan1+2kBODk-∠=，所以||||tanOD BD BOD=∠=.因为||OC=,所以14|||,3OC OD-=≤解之得9988k +≤≤.故AOC ∠k ≤≤. 【点睛】本题主要考查直线的方程和点到直线的距离，考查直线的夹角的计算，考查一元二次不等式的解法，考查和角的正切，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
2017-2018学年上海市上海师范大学附属中学高二上学期(等级考)期中考试物理试题 解析版
上师大附中2017学年第一学期期中考试高二年级物理等级考学科一、选择题1. 关于物体的带电荷量，以下说法中错误．．的是（）A. 物体带电荷量的最小值为1.6×10-19CB. 物体所带的电荷量只能是元电荷的整数倍C. 物体带电＋1.60×10-9C，这是因为该物体失去了1.0×1010个电子D. 当带电体带电荷量很少时，可看成点电荷【答案】D【解析】元电荷为最小电荷量，大小为1.6×10-19C，A正确；所有物体的带电量只能为元电荷的整数倍，即n×1.6×10-19C，B正确；物体带正电，说明失去了电子，失去电子的个数为，C正确；点电荷是不考虑其尺寸、形状和电荷分布情况的带电体，是实际带电体的理想化模型．当电荷间距离大到可认为电荷大小、形状不起什么作用时，可把电荷看成点电荷．物体能否简化为点电荷与电荷量的绝对大小无关，要看所研究的问题，故D错误．2. 下列说法中正确的是（）A. 一次能源是可再生能源B. 煤炭、石油、天然气属于常规能源C. 凡是能量守恒的过程就一定会发生能量的转化D. 空调机既能制热又能制冷，说明热传递不存在方向性【答案】B【解析】一次能源用完了就没有了，是不可再生能源，A错误；常规能源是目前大量使用的能源，有煤炭、石油、天然气，B正确；凡是能量守恒的过程可能发生能量的转化，也可能发生能量的转移，C错误；热传递是有方向性的，热量一定自发地从温度高的物体传向温度低的物体，或在外界做功的情况下从温度高的部分传向温度低的部分，D错误．3. 下列说法中正确的是（）A. 物体甲自发传递热量给物体乙，说明甲物体的内能一定比乙物体的内能大B. 温度相等的两个物体接触，它们各自的内能不变且内能也相等C. 若冰熔化成水时温度不变且质量也不变，则内能是增加的D. 每个分子的内能等于它的势能和动能之和【答案】C【解析】热量能自发的铀高温物体传向低温物体，物体甲自发传递热量给物体乙，说明甲物体的温度一定比乙物体的温度高，A错误；物体的内能和温度以及质量有关系，温度相同，质量不一定相同，内能不一定相等，B错误；冰属于晶体，熔化过程温度不变，且吸热，即内能增加，C正确；组成物质的所有分子动能与分子势能之和是物体的内能，对单个分子不能谈内能，故D错误．4. 下列说法中正确的是（）A. 电阻A与阻值无穷大的电阻B并联，总电阻为零B. 电阻A与导线B（不计电阻）并联，总电阻为零C. 并联电路中任一支路的电阻都小于总电阻D. 并联电路某一支路开路，总电阻为无穷大【答案】B【解析】设两个电阻、，其中，并联后的总电阻，即两个电阻并联，总电阻比最小的阻值小，若，则，若，则，AC错误B正确；并联电路某一支路开路，即这个支路的电阻相当于无穷大，为A选项中的情况，故D错误．【点睛】该结论可以当成一个规律在选择题中，特别是在电路的动态变化中使用．5. 小灯泡通电后其电流I随所加电压U变化的图线如图所示，P为图线上一点，PN为图线的切线，PQ为U轴的垂线，PM为I轴的垂线．则下列说法中正确的是（）A. 随着所加电压的增大，小灯的电阻减小B. 对应P点，小灯泡电阻为，功率为P=U1I2C. 对应P点，小灯泡电阻为R=U1/I2功率为P=U1I2D. 对应P点，小灯泡电阻为图中矩形PQOM所围的面积【答案】C【解析】I-U图像的斜率的倒数表示电阻的大小，图像的斜率在减小，所以小灯泡的电阻在增大，A错误；对应P点，在该点的电压为，电流为，故小灯泡的电阻为，根据公式可得对应P点，小灯泡的功率为图中矩形PQOM所围的面积，即，C正确BD 错误．6. 如图所示为电场中的一条电场线，A、B为其上的两点，以下说法正确的是（）A. E A与E B一定不等，A与B一定不等B. E A与E B可能相等，A与B可能相等C. E A与E B一定不等，A与B可能相等D. E A与E B可能相等，A与B一定不等【答案】D...............考点：电场强度、电势。
2016年上海中学高二上学期数学期中考试试卷
6.关于x，y的二元线性方程组nx−3y=2的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为22tanθ−sinθ=0有两个不等实根a和b，那么过点A a,a2，B b,b2的直线与圆2016年上海中学高二上学期数学期中考试试卷一、填空题（共12小题；共60分）1.已知A4,6，B−3,−1，C5,−5三点，则经过点A且与BC平行的直线l的点斜式方程为．2.已知a=1，b=2，且λa+b⊥2a−λb，a与b的夹角为60∘，则实数λ=3.直线x+3y+2=0与直线x+1=0的夹角为．y≥0,4.设变量x，y满足约束条件x−y+1≥0,则z=2x+y的最大值为．x+y−3≤0,5.圆心为1,2且与直线5x−12y−7=0相切的圆的方程为．．2x+my=5,103011则m=．n7.对任意实数m，圆x2+y2−2mx−4my+6m−2=0恒过定点，则其坐标为．，2x74x8.在行列式4−34中，第3行第2列的元素的代数余子式记作f x，则y=1+f x的零65−1点是．9.已知定点A0,−5，P是圆x−22+y+32=2上的动点，则当PA取到最大值时，P点的坐标为．10.已知P是△ABC内的一点，且满足PA+3PB+5PC=0，记△ABP，△BCP，△ACP的面积依次为S1，S2，S3，则S1:S2:S3=．11.若直线y=x+b与曲线y=3−4x−x2有公共点，则实数b的取值范围是．12.已知a>1，x≥1，y≥1，且loga x+logay=logaa4x4+logaa4y4，则logaxy的取值范围是．二、选择题（共4小题；共20分）x y113.已知直线方程为351=0，则下列各点不在这条直线上的是 −231A.−2,3B.4,7C.3,5D.0.5,414.直线2x+3y−6=0关于点1,−1对称的直线方程是 A.2x+3y+7=0 C.2x+3y+8=0B.3x−2y+2=0 D.3x−2y−12=015.若O为△ABC的内心，且满足OB−OC⋅OB+OC−2OA=0，则△ABC的形状为 A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.以上都不对16.已知方程x2+x1x2+y2=1的位置关系是 A.相交B.相切C.相离D.随θ值的变化而变化三、解答题（共5小题；共65分）mx+y=−1,17.利用行列式解关于x，y的二元一次方程组3mx−my=2m+3.18.设两个向量a，b满足a=2，b=1，a，b的夹角为60∘，若向量2t a+7b与向量a+t b的夹角为钝角，求实数t的取值范围．19.已知直线l过点1,3，且与x轴、y轴都交于正半轴，求：（1）直线l与两坐标轴围成的图形的面积的最小值及此时直线l的方程；（2）直线l与两坐标轴截距之和的最小值及此时直线l的方程．20.已知A0,2是定圆C:x2+y2=16内的一个定点，D是圆上的动点，P是线段AD的中点，求：（1）P点所在的曲线方程E；（2）过点A且斜率为−3的直线与曲线E交于M，N两点，求线段MN的长度．421.在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，r（r>0）为半径的定圆C，与过原点且斜率为k1（k≠0）的动直线交于P，Q两点，在x轴正半轴上有一个定点R m,0，P，Q，R三点构成三角形，求：（1△）PQR的面积S1的表达式，并求出S1的取值范围；（2△）PQR的外接圆C2的面积S2的表达式，并求出S2的取值范围．3− 2 2【解析】关于 x ，y 的二元线性方程组 nx − 3y = 2 的增广矩阵经过变换可化为：2x + my = 5, x = 3, 6 + m = 5,答案第一部分1. y − 6 = − 1 x − 42【解析】k BC = −1+5 = − 1，利用点斜式可得：y − 6 = − 1 x − 4 ．2. −1 ± 3【解析】因为 λa + b ⊥ 2a − λb ， 所以 λa + b ⋅ 2a − λb = 0，所以：2λa 2 + 2 − λ2 a ⋅ b − λb 2 = 0，所以 2λ × 1 + 2 − λ2 × 1 × 2 × 1 − λ × 22 = 0， 2所以 λ2 + 2λ − 2 = 0，解得 λ = −1 ± 3． 3. 60∘【解析】因为直线 x + 3y + 2 = 0 的斜率为 − 13= − 3 ，故它的倾斜角为 150∘，3因为直线 x + 1 = 0 的斜率不存在，故它的倾斜角为 90∘，故直线 x + 3y + 2 = 0 与直线 x + 1 = 0 的夹角为 150∘ − 90∘ = 60∘．4. 6y ≥ 0,【解析】由约束条件 x − y + 1 ≥ 0, 得如图所示的三角形区域，x + y − 3 ≤ 0三个顶点坐标为 A 1,2 ，B −1,0 ，C 3,0 ，由 z = 2x + y 可得 y = −2x + z ，则 z 表示直线 y = −2x + z 在 y 轴上的截距，截距越大，z 越大，直线 z = 2x + y 过点 C 3,0 时，z 取得最大值为 6． 5. x − 1 2 + y − 2 2 =4【解析】所求圆的半径就是圆心 1,2 到直线 5x − 12y − 7 = 0 的距离：d = 所以圆的方程： x − 1 2 + y − 2 2 = 4． 5×1−12×2−7 52+ −12 2= 2，6. − 352x + my = 5, 1 0 3 0 1 1m = −1,故 y = 1 是方程组 nx − 3y = 2 的解，即 3n − 3 = 2, 解得： n = 5 ,3，A 32 = − 2 93所以 m = − 3．n57. 1,1 或 1 , 75 5【解析】x 2 + y 2 − 2mx − 4my + 6m − 2 = 0，所以 x 2 + y 2 − 2 = 2x + 4y − 6 m ，所以x 2 + y 2 − 2 = 0,2x + 4y − 6 = 0,解得 x = 1，y = 1 或 x = 1，y = 7．55所以定点的坐标是 1,1 或1 , 7 5 5．8. −1【解析】第 3 行第 2 列的元素的代数余子式x 4x4 4= −4 × 2x + 4 × 4x = −2x +2 1 − 2x . 所以 f x = −2x +2 1 − 2x ，y = 1 + f x= 1 − 2x +2 1 − 2x .令 y = 0，即 2x +2 1 − 2x = 1，解得：x = −1．9. 3, −2【解析】由题意，当 PA 取到最大值时，直线 PA 过圆心 2, −3 ，则直线 PA 的斜率为 1，直线方程为 y = x − 5，与圆的方程联立，可得 x − 2 2 + x − 2 2 = 2，所以 x = 3 或 1，根据题意，当 PA 取到最大值时，P 点的坐标为 3, −2 ．10. 5: 1: 3【解析】记 △ ABC 的面积为 S ，因为 PA + 3PB + 5PC = 0，所以 − 1 PA = 3 PB + 5 PC = PD ，888则 D 在 BC 上，且 BD : CD = 5: 3，故 PD : AD = 1: 9，即当以 BC 为底时，△ BCP 的高是 △ ABC 的 1，9所以 S 2 = 1 S ，9同理：S 1 = 5 S ，S 3 = 1 S ， 所以 S 1: S 2: S 3 = 5: 1: 3． 11. 1 − 2 2, 3【解析】在同一平面直角坐标系中画出曲线 y = 3 − 4x − x 2（注：该曲线是以点 C 2,3 为圆心、 2 为半径的圆不在直线 y = 3 上方的部分）与直线 y = x 的图象如图所示，2=2，b=1−22．2222平移该直线，结合图形分析可知，当直线沿y轴正方向平移到点0,3的过程中的任何位置，相应的直线与曲线y=3−4x−x2都有公共点；注意到与y=x平行且过点0,3的直线的方程是y=x+3；当直线y=x+b与以点C2,3为圆心、2为半径的圆（圆不在直线y=3上方的部分）相切时，有2−3+b结合图形可知，b的取值范围是1−22,3．12.23+2,4+42【解析】由题意：logax+logay=logaa4x4+logaa4y4，化简可得：logax−4logax+logay−4logay=8，令m=log a x，n=log a y，则有：n2+m2−4m−4n=8，且log a xy=n+m．因为a>1，x≥1，y≥1，所以n≥0，m≥0，因为n2+m2−4m−4n=8⇒n−22+m−22=42表示为2,2为圆心，半径为4的圆．令m+n=Z Z≥0，则n+m−Z=0．数形结合法：如图：当直线m+n−Z=0过B点或A点时最小．当直线m+n−Z=0过C点时最大．可知：A23+2,0，故得Z min=23+2，即为log a xymin=23+2．当过C点时，直线与圆相切，d=r=4=4−Z2，解得：Zmax=4+42，即为logaxymax=4+42．所以：logaxy的取值范围是23+2,4+42．第二部分22+32 ．化简得： c − 1 = 7．即 c = −6 或 c = 8． sin θ = 0的两个不等的实根，得到 a + b = −tan θ −tan θ，sin θ ，所以直线 l AB : y = b + a x − a +b + a +b ．x y 113. B 【解析】 3 5 1 = 5x − 2y + 9 + 10 − 3y − 3x = 0，整理得：2x − 5y + 19 = 0．−2 3 1由当 x = −2，y = 3 时，2x − 5y + 19 = −2 × 2 − 5 × 3 + 19 = 0，故 −2,3 在直线上，当 x = 4，y = 7 时，2x − 5y + 19 = 8 − 35 + 19 = 8 ≠ 0， 所以 4,7 不在直线上，当 x = 3，y = 5 时，2x − 5y + 19 = 6 − 25 + 19 = 0， 所以 3,5 在直线上，当 x = 0.5，y = 4 时，2x − 5y + 19 = 1 − 20 + 19 = 0， 所以 0.5,4 在直线上． 14. C 【解析】解法一：因为直线 2x + 3y − 6 = 0 关于点 1, −1 对称的直线斜率不变， 故设对称后的直线方程 l ʹ 为 2x + 3y + c = 0， 又因为点 1, −1 到两直线距离相等．所以 2−3+c 22+32= 2−3−6所以 l ʹ 方程为 2x + 3y − 6 = 0（舍）或2x + 3y + 8 = 0， 直线 2x + 3y − 6 = 0 关于点 1, −1 对称的直线方程是 2x + 3y + 8 = 0． 解法二：在直线 2x + 3y − 6 = 0 上任选两点，比如 A 0,2 ，B 3,0 ， 所以点 A ，B 关于点 1, −1 对称的点 Aʹ，Bʹ 在所求直线上． 因为 A 与 Aʹ 的中点为点 1, −1 ，所以点 Aʹ 2, −4 ，同理可得 Bʹ −1, −2 ． 由两点式得直线 AʹBʹ 方程为：2x + 3y + 8 = 0．15. A【解析】由已知得 CB ⋅ AC + AB = 0，即 BC 边的中线即为高，所以 AB = AC ．16. B 【解析】由 a 和 b 为方程 x 2 + x 1 1ab = −1又 A a , a 2，B b , b 2 ， 得到直线 AB 的斜率 k = a2−b 2a−b= a + b ，线段 AB 的中点坐标为a +b , a 2+b 2 2 2，2 22 2由圆 x 2 + y 2 = 1，得到圆心坐标为 0,0 ，半径 r = 1，则圆心到直线 AB 的距离a 2+b 2 − −3m −m = −m 2 − 3m = −m m + 3 ，= −m − 3，D y = 1 设 2t a + 7b ≠ −k ⋅ a + t b （k > 0），则 7 ≠ −kt , 得 t ≠ ± 14，d==a +b 2 2 2 12 + a + b 2a +b 2−2ab a +b 22 2 12 + a + b 2===1 = r .ab12 + a + b1 sin θ1 1+tan 2θ2所以直线 AB 与圆的位置关系是相切．第三部分17. 由题意得，D = m 1则 D x = −1 1 m −1 2m + 3 −m 3m 2m + 3= 2m 2 + 6m = 2m m + 3 ，（1）当 m ≠ 0 且 m ≠ −3 时，D ≠ 0，原方程组有唯一组解，所以 x =1 D × D x = m ，y =1 D× D y = −2，（2）当 m = 0 时，D = 0，D x = −3 ≠ 0，原方程组无解；（3）当 m = −3 时，D = 0，D x = 0，D y = 0，原方程组有无穷组解．综上，当 m = 0 时，无解；当 m = −3 时，无穷解；当 m ≠ 0 且 m ≠ −3 时，有唯一解，x = 1 ， my = −2．18. 由题意可得 a ⋅ b = 2 × 1 × cos60∘ = 1，设向量 2t a + 7b 与向量 a + t b 的夹角为 θ，则 θ ∈ 90∘, 180∘ ，则有 cos θ < 0，且 cos θ ≠ −1．即 2t a + 7b 与向量 a + t b 的不能反向共线，且向量数量积 2t a + 7b ⋅ a + t b < 0，2t ≠ −k , 2由 2t a + 7b ⋅ a + t b < 0，得 2t a 2 + 7t b 2 + 2t 2 + 7 a ⋅ b < 0， 所以 2t 2 + 15t + 7 < 0，解得 −7 < t < − 1 且 t ≠ ±14， 22故实数 t 的取值范围为 t− 7 < t < − 1 , 且t ≠ −214 2．19. （1） 设直线 l 的方程为：y − 3 = k x − 1 k < 0 ，可得与坐标轴的交点分别为 A 0,3 − k ，B 1 − 3 , 0 ．k所以第7页（共9页）−k ≥4+2−k−k=3+3=1．，2所以△PQR的外接圆C2的半径的平方=m+4k2，4k2=m2π1+k2>1，所以S2>mπ．13△??ABO=3−k1−2k19=−k++62−k19≥2−k×+62−k=6,当且仅当−k=3即k=−3时取等号．所以直线l与两坐标轴围成的图形的面积的最小值为6，此时直线l的方程为：y−3=−3x−1，化为3x+y−6=0．（2）由（Ⅰ）知直线l与两坐标轴截距之和=3−k+1−3=4+−k+k4+23，当且仅当−k=3即k=−3时取等号．所以直线l与两坐标轴截距之和的最小值为4+23，所以此时直线l的方程为：x+y1+33⋅320.（1）设AD中点为P x,y，由中点坐标公式可知，D点坐标为2x,2y−2，因为D点在圆x2+y2=16上，所以2x2+2y−22=16．故线段AD中点的轨迹方程为x2+y−12=4．（2）过点A且斜率为−3的直线方程为3x+4y−8=0，由（1）知，曲线E是以0,1为圆心，42为半径的圆，所以圆心到直线3x+4y−8=0的距离d=所以线段MN的长度为24−16=421．2554−832+42=4，521.（1）由题意，设tanα=k，则sinα=kk2+1所以△PQR的面积S1=2×1×因为0<k<1，1+k2kk2+1rm=k rm，k2+1所以0<S1<mr．（2）由题意得，PQ的垂直平分线方程为y=−1x，OR的垂直平分线方程为x=m，k2联立可得△PQR的外接圆C2的圆心坐标为m2,−m，2k24m2所以S2=π⋅m2+m21．4第8页（共9页）第9页（共9页）。
上海中学2016学第一学期高二数学期中考试
上海中学2016学年度第一学期高二数学期中考试一．填空题（每题3分，共36分）1、已知)5,5(),1,3(),6,4(---C B A 三点，则经过点A 且与BC 平行的直线l 的点方向式方程为_________．2、已知1a =，2b =，且()()2a b a b λλ+⊥-，a 与b 的夹角为︒60，则=λ_________．3、直线023=++y x 与直线01=+x 的夹角为_________．4、设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥03010y x y x y ，则y x +2的最大值为_________．5、圆心为)2,1(且与直线07125=--y x 相切的圆的方程为_________．6、关于y x ,的二元线性方程组⎩⎨⎧=-=+2352y nx my x 的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110301，则=nm _________． 7、对任意的实数m ，圆0264222=-+--+m my mx y x 恒过定点，则定点坐标为_________．8、行列式156434472--x x中，第3行第2列的元素的代数余子式记作)(x f ，则函数)(1x f y +=的零点是_________． 9、已知定点)5,0(-A ，P 是圆()()23222=++-y x 上的动点，则当PA 取到最大值时，P 点的坐标为_________．10、已知P 是ABC ∆内的一点，且满足350PA PB PC ++=，记ABP ∆、BCP ∆、ACP ∆的面积依次为1S ，2S ，3S ，则321::S S S 等于_________．11、若直线b x y +=与曲线243x x y --=有公共点，则b 的取值范围是_________．12、已知1,1,1≥≥>y x a ，且有()()444422log log log log y a x a y x a a +=+，则()xy a log 的取值范围是_________．二．选择题（每题4分，共16分） 13、已知直线方程为01321531=-y x，则下列各点不在这条直线上的是（ ）A ．)3,2(-B ．)7,4(C ．)5,3(D ．)4,21(14、直线0632=-+y x 关于点)1,1(-对称的直线方程是（ ）A ．0732=++y xB ．0223=+-y xC ．0832=++y xD ．01223=--y x15、设O 是ABC ∆所在平面上的一点，且满足()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆的形状一定为（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．以上都不对16、若方程0sin 1tan 2=-+θθx x 有两个不等实根a 和b ，则过点),(2a a A 与),(2b b B 的直线与圆122=+y x 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．随θ值变化三．解答题（本大题共5题，各题分值依次为8、8、10、10、12分，共48分）17、利用行列式解关于y x ,的二元一次方程组⎩⎨⎧+=--=+3231m my mx y mx ． 18、设两个向量,a b 满足2a =，1b =，,a b 的夹角为︒60，若向量27ta b +与向量a tb +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．19、已知直线l 过点)3,1(，且与x 轴、y 轴都交于正半轴，求：（1）直线l 与坐标轴围成面积的最小值及此时直线l 的方程；（2）直线l 与两坐标轴截距之和的最小值及此时直线l 的方程．20、已知)2,0(A 是定圆C ：1622=+y x 内的一个定点，D 是圆上的动点，P 是线段AD 的中点，求：（1）P 点所在的曲线方程E ；（2）过点A 且斜率为43-的直线与曲线E 交于N M ,两点，求线段MN 的长度． 21、平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，)0(>r r 为半径的定圆1C ，与过原点且斜率为)0(≠k k 的动直线交于Q P ,两点，在x 轴正半轴上有一个定点)0,(m R ，R Q P ,,三点构成三角形，求：（1）PQR ∆的面积1S 的表达式，并求出1S 的取值范围；（2）PQR ∆的外接圆2C 的面积2S 的表达式，并求出2S 的取值范围．参考答案1、4684--=-y x 2、31--或31+- 3、60° 4、6 5、()()42122=-+-y x 6、53- 7、)1,1(和)57,51( 8、1-=x 9、)2,3(- 10、3:1:5 11、]3,221[- 12、]424,232[++13、B 14、C 15、A 16、B17、当0=m 时，原方程组无解当3-=m 时，原方程组有无数解，此时⎩⎨⎧-==13t y t x （其中R t ∈）当0≠m 且3-≠m 时，原方程组有唯一解，此时⎪⎩⎪⎨⎧-==21y m x18、)21,214()214,7(---- 19、（1）最小值是6，直线l 的方程为063==+y x ；（2）最小值是324+，直线l 的方程为)033(3=+-+y x ．20、（1）()4122=-+y x ；（2）5214 21、（1）2211k k mr S +=（0≠k ），),0(1mr S ∈（2）222214kk m S +⋅=π（0≠k ），),4(22+∞∈πm S。
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上师大附中高二期中数学卷
2016.11
一. 填空题
1. 直线210x y -+=的一个法向量为
2. 若向量a 、b 满足||2b =，且a 与b 的夹角为
34π，则b 在a 方向上的投影为 3. 设(2,3)a =-，1||||2
a b =，且a 、b 同向，则b 的坐标为 4. 某方程组的增广矩阵是102011⎛⎫ ⎪⎝⎭，它的解记为(,)a b ，则行列式2123210
b a = 5. 已知矩阵30x A y -⎛⎫=
⎪⎝⎭，20112y B y x -⎛⎫= ⎪--⎝⎭，3301C -⎛⎫= ⎪⎝⎭
，且A B C +=，则x y + 的值为
6. 直线350x y -+=关于直线y x =对称的直线
方程为 （用一般式表示） 7. 若行列式123
11311a a a a
--中第一行第二列元素的
代数余子式的值为4，则a =
8. 如图，根据右边的框图所打印出数列的第四项
是
9. 已知直线l 过点(3,6)P 且与,x y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 是坐标原点，则当 ||||OA OB +取得最小值时的直线方程是 （用一般式表示）
10. 当θ在实数范围内变化时，直线sin 30x y θ+-=的倾斜角的取值范围是
11. 已知位置向量222(log (38),log (22))OA m m m =+--，(1,0)OB =，若以OA 、OB 为
邻边的平行四边形OACB 的顶点C 在函数12
y x =的图像上，则实数m = 12. 直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于A 、B 两点，若直线AB 的中点为 (1,1)M -，则直线l 的斜率为
13. 在△ABC 所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=，则△PBC 与△ABC 的面积之比为
14. 在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的 是 （写出所有正确命题的编号）
① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；
② 如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点；
③ 如果直线l 经过两个不同的整点，则直线l 必经过无穷多个整点；
④ 直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数； ⑤ 存在恰经过一个整点的直线；
二. 选择题
15. 若a 与b c -都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的（ ）条件
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充要
D. 既不充分也不必要
16. 两直线12,l l 的方程分别为0x b +=和sin 0x a θ+=（,a b 为实常数），θ为第三象限角，则两直线12,l l 的位置关系是（ ）
A. 相交且垂直
B. 相交但不垂直
C. 平行
D. 不确定
17. 若,a b 是互不平行的两个向量，且1AB a b λ=+，2AC a b λ=+，12,R λλ∈，则A 、 B 、C 三点共线的充要条件是（ ）
A. 121λλ==
B. 121λλ==-
C. 121λλ=
D. 121λλ=-
18. 下列四个命题：① 经过定点000(,)P x y 的直线都可以用方程00()y y k x x -=-表示； ② 经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示；③ 不经过原点的直线都可以用 方程1x y a b
+=表示；④ 经过任意两个不同的点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线都可以用方程 121121()()()()y y x x x x y y --=--表示；其中真命题的个数为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
三. 解答题
19. 已知平面上三个向量,,a b c 的模均为1，它们之间的夹角均为120°；
（1）求证：()a b c -⊥；
（2）若||1ka b c ++>，k R ∈，求k 的取值范围；
20. 已知关于,x y 的方程组()*60(2)32x my m x y m
++=⎧⎨-+=-⎩；
（1）写出方程组()*的增广矩阵；
（2）解方程组()*，并对解的情况进行讨论；
21. 已知△ABC 的三个顶点(,)A m n 、(2,1)B 、(2,3)C -；
（1）求BC 边所在直线的方程；
（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且7ABC S ∆=，求点A 的坐标；
22. 已知点(0,2)A ，(4,6)B ，12OM t OA t AB =+，其中1t 、2t 为实数；
（1）若点M 在第二或第三象限，且12t =，求2t 的取值范围；
（2）求证：当11t =时，不论2t 为何值，,,A B M 三点共线；
（3）若21t a =，OM AB ⊥，且△ABM 的面积为12，求a 和2t 的值；
23. 如图，已知直线1:0l kx y +=和直线2:0l kx y b ++=(0)b >，射线OC 的一个法向量 为3(,1)n k =-，点O 为坐标原点，且0k ≥，直线1l 和2l 之间的距离为2，点A 、B 分别是 直线1l 、2l 上的动点，(4,2)P ，1PM l ⊥于点M ，PN OC ⊥于点N ；
（1）若1k =，求||||OM ON +的值；
（2）若||8PA PB +=，求PA PB ⋅的最大值；
（3）若0k =，2AB l ⊥，且(4,4)Q --，试
求||||||PA AB BQ ++的最小值；
参考答案
一. 填空题
1. (2,1)-
2.
3. (4,6)-
4. 2-
5. 6
6. 350x y --=
7. 2
8. 870
9.
60y +-= 10. 3[0,
][,)44πππ 11. 2或5 12. 23- 13. 23 14. ①③⑤
二. 选择题
15. C 16. A 17. C 18. B
三. 解答题
19.（1）略；（2）0k <或2k >；
20.（1）16232m m m -⎛⎫ ⎪--⎝⎭
； （2）①1m =-，无解；②3m =，无穷解；③1m ≠-且3m ≠，唯一解；
21.（1）240x y +-=；（2）(3,4)、(3,0)-；
22.（1）(,1)(1,0)-∞--；（2）略；（3）2a =±，21t =-；
23.（1）（2）15；（3）2。