2018学年高中数学必修二教师用书配套课件：第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2 精品

2018学年高一数学人教A版必修二课件第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.2.4 精品

证明： ∵EFGH 为平行四边形，∴EF∥GH. 又 GH⊂平面 BCD，EF⊄平面 BCD， ∴EF∥平面 BCD. 而平面 ACD∩平面 BCD＝CD，EF⊂平面 ACD， ∴EF∥CD. 又 EF⊂平面 EFGH，CD⊄平面 EFGH， ∴CD∥平面 EFGH.
[归纳升华] 运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行．证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系.
[同类练]☆ 1．如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1， A1C1 的中点，求证： (1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1∥平面 BCHG.
证明： (1)∵GH 是△A1B1C1 的中位线， ∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G 四点共面． (2)∵E、F 分别为 AB、AC 的中点，∴EF∥BC， ∵EF⊄平面 BCHG，BC⊂平面 BCHG， ∴EF∥平面 BCHG.
1．下列说法正确的是( ) A．如果直线 l∥平面 α，那么过平面 α 内一点和直线 l 平行的直线在 α 内 B．若直线 l∥平面 α，a⊂α，则 l∥a C．平面 α∥平面 β，则 α 内的任意一条直线都平行于平面 β 内的所有直线 D．若 α∥β，α∩γ＝a，b⊂γ，则 a∥b
解析：直线 l 与平面 α 内一点确定一个平面，与平面 α 交于一条直线，此直线与直线 l 平行，故 A 正确；
解析： (1)证明：∵BC∥AD，AD⊂平面 PAD，BC⊄平面 PAD， ∴BC∥平面 PAD. 又平面 PAD∩平面 PBC＝l，BC⊂平面 PBC，∴BC∥l. (2)MN∥平面 PAD.证明如下：如图所示，取 DC 的中点 Q，连接 MQ，NQ. ∵M，N 分别为 AB，PC 的中点， ∴NQ∥PD，MQ∥AD.

高中数学人教A版2018年PPT课件必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2空间中直线与直线之间的位

新课导入
回顾旧知
同一平面内的直线有哪些位置关系？ao相交b平行
a b
如何判断两直线相交？ a o b
两直线有公共交点。
如何判断两直线平行？ a b 两直线在同一平面，且无公共交点。
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
教学目标
知识与能力了解空间中两条直线的位置关系。理解并掌握公理4和等角定理。异面直线所成角的定义、范围及应用。
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。相交直线
空间两直线的位置关系
平行直线异面直线
异面直线所成的角:
平移，转化为相交直线所成的角。
公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行。等角定理：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
过程与方法师生的共同讨论与讲授法相结合。
情感态度与价值观让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。
教学重难点
重点异面直线的概念。
公理4及等角定理。
难点异面直线所成角的计算。
在正方体的面ABCD中，AB与AD相交，AB与CD平行.AB和CC'的位置关系是平行还是相交还是两者都不是？
(2)连接FH ∥ ∥ FB ∵HD EA = =，EA FB ∴HD ∥ =
∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD 连接HA、AF ∵AH=HF=FA ∴△AFH为等边三角形，依题意知O为AH中点， ∴∠HFO=30, ∴FO与BD所成的夹角是30°.
H E
O
G
F
D A B
C
课堂小结
异面直线的定义:
D
C
B
A
D
C
A

2018学年高一数学人教A版必修二课件第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.1.4 精品

教案·课堂探究
直线与平面的位置关系自主练透型
已知平面 α，直线 a，b，则下列说法中正确的个数是( )
①若 a⊄α，则 a∥α；
②若 a∥b，b⊂α，则 a∥α；
③若 a∥α，b∥α，则 a∥b；
④若 a 与 α 内的任何一条直线都不相交，则 a∥α.
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
解析： ①错误．因为直线 a 在平面 α 外，包括两种情况：a∥α 和 a 与 α 相交，所以 a 不一定平行于 α.
解析： (1)不正确．如图所示，设 α∩β＝l，则在平面 α 内与 l 平行的直线可以有无数条：a1，a2，…，an，…，它们是一组平行线，这时 a1，a2，…，an，…与平面 β 都平行 (因为 a1，a2，…，an，…与平面 β 无交点)，但此时 α 与 β 不平行，α∩β＝l. (2)正确．平面 α 内所有直线与平面 β 平行，则平面 α 与平面 β 无交点，符合平面与平面平行的定义．
直线 a 与平面 α 相交直线 a 与平面 α 平行
公共点 _无__数__个___公共点 __1_个___公共点
__0_个___公共点
符号表示
__a_⊂__α___
__a_∩__α_＝__A__
_a_∥__α__
图形表示
平面与平面之间的位置关系
位置关系两平面平行
公共点
没有公共点
两平面相交有一条公共直线
解析： A，B 都不能保证 α，β 无公共点，如图①；C 中当 a∥α，a∥β 时， α 与 β 可能相交，如图②；只有 D 说明 α，β 一定无公共点．
答案： D
谢谢观看！
2．1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 2．1.4 平面与平面之间的位置关系

人教版高中数学必修二教师用书配套课件：第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2

【解析】由等角定理，两角两组对边分别平行，一组
方向相同，另一组方向相反，则两角互补，所以 β =135°.
答案：135°
5.在正方体ABCD-EFGH中，AH与BD所成的角是________. 【解析】连接HF，AF，则HF∥BD，
所以AH与BD所成角等于AH与HF所成角，
即∠AHF，因为AH=HF=AF，故∠AHF=60°.
①错误.②平面内的直线和平面外的直线，可能是异面
直线，可能是平行直线，也可能相交，所以②错误.③
在空间中，没有公共点的两条直线是平行直线或者是
异面直线，所以③错误.④在空间中，两条不平行的直线还可能是异面直线，所以④错误.
3.已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC=30°，则∠PQR等于 ( )
这两个角相等或互补 ___________________.
【深度思考】结合教材P47例3你认为怎样求出异面直线所成的角？
通过平移作出或找到异面直线所成的角第一步：___________________________________.
证明所作或所找的角即是第二步：_______________________.
A.30°
C.150°
B.30°或150°
D.以上结论都不对
【解析】选B.由定理知当∠PQR与∠ABC方向相同时， ∠PQR=30°，当∠PQR与∠ABC方向相反时，
∠PQR=150°.
4.已知角α 和角β 的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α =45°，则β =______.
2.1.2
空间中直线与直线之间的位置关系
【自主预习】主题1：空间两直线的位置关系
如图长方体，观察图中的直线，你能得出哪些位置关

2018学年高中数学必修二教师用书配套课件：第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 精品

【证明】已知：a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线.求证：a，b，c，d共面. 证明：(1)无三线共点情况，如图①. 设a∩d=M，b∩d=N，c∩d=P，a∩b=Q，a∩c=R， b∩c=S. 因为a∩d=M，所以a，d可确定一个平面α.
因为N∈d，Q∈a，所以N∈α，Q∈α.所以NQ⊂α，即b⊂α.
3.两个平面有三个公共点，这两个平面重合吗？提示：不一定.当三点在同一条直线上时，不能判定两个平面重合；当三点不在同一条直线上时，根据不共线的三点确定一个平面，可知两平面重合.
【探究总结】知识归纳：
方法总结：证明共点、线、面问题的方法 (1)归一法：两个元素共点或线或面，然后推证第三个元素归到一起. (2)重合法：三个元素两两定点或定线或定面然后推证其重合.
【巩固训练】 1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设A1C∩平面 ABC1D1=E.求证：B，E，D1三点共线.
【证明】如图，连接A1B，BD1，CD1，因为A1C∩平面ABC1D1=E，所以E∈A1C，E∈平面ABC1D1，因为A1C⊂平面A1BCD1，所以E∈平面A1BCD1，
同理c⊂α.所以a，b，c，d共面.
(2)有三线共点的情况，如图②.设b，c，d三线相交于点K，与a分别交于G，F，E且K∉a，因为K∉a，K和a 确定一个平面，设为β.因为G∈a，a⊂β，所以G∈β. 所以GK⊂β，即b⊂β.同理c⊂β，d⊂β.所以a，b，c， d共面.由(1)，(2)知a，b，c，d共面.
用文字语言描述：两点可定一直线；三点不共线，可⇓ຫໍສະໝຸດ 定一平面；两平面若有一个公共点
就会有无数个公共点.
用符号语言描述：A∈l，B∈l且A∈α，B∈α⇒l⊂α；

2018高中数学人教A版必修2课件第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2 空间中直线与直

题型二公理4及等角定理的应用
【例 2】在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,P、Q、M、N 分别为 AD、AB、C1D1、B1C1
的中点,求证:A1P∥CN,A1Q∥CM,且∠PA1Q=∠MCN.
证明:取A1B1的中点K,连接BK、KM.易知四边形MKBC为平行四边形. 所以CM∥BK. 又因为A1K∥BQ且A1K=BQ, 所以四边形A1KBQ为平行四边形, 所以A1Q∥BK, 由公理4有A1Q∥CM, 同理可证A1P∥CN, 由于∠PA1Q与∠MCN对应边分别平行,且方向相反, 所以∠PA1Q=∠MCN.
题型一空间位置关系的判断
【教师备用】过平面外一点和平面内一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线,正确吗? 提示:正确.
【例1】 (2015德阳市中江县龙台中学高二(上)期中)如图,点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的一个图是( )
题后反思判定两直线异面的常用方法 (1)定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内; (2)排除法(反证法):排除两直线共面(平行或相交)的情况.
即时训练1-1:(2015蚌埠市五河高中高二(上)期中)若两条直线和一个平面相交成等角,则这两条直线的位置关系是( ) (A)平行(B)异面 (C)相交(D)平行、异面或相交
2.空间两条直线的位置关系
位置关系相交平行异面
共面情况在同一平面内在同一平面内不同在任何一个平面内
有无公共点有且只有一个公共点 .
没有公共点
没有公共点
3.平行线的传递性公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行 .
符号表示:a∥b,b∥c⇒a∥c. 4.定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角

2018年秋人教A版高中数学必修2课件第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1 精品

易得△AHB≌△AOH，∴AH⊥OH，∴AH⊥平面 α， ∠AOH 为 OA 与 α 所成的角，在 Rt△AOH 中，AH＝ 22， ∴sin∠AOH＝AAHO＝ 22，∴∠AOH＝45°，即 AO 与平面 α 所成的角为 45°.
6.证明线面垂直
[典例] (12分)如右图所示，已知P是△ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两互相垂直，H是△ABC的垂心．
2.3
直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定
直线与平面的垂直
[导入新知]
1．直线与平面垂直的定义 (1)自然语言：如果直线l与平面α内的__任__意__一__条__直线都 ___垂__直_____，就说直线l与平面α互相垂直，记作____l_⊥__α___.直线l叫做平面α的__垂__线__，平面α叫做直线l的____垂__面_．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做___垂__足_．
[活学活用] 下列说法中，正确的是( ) A．若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α B．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行 C．若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b D．若a⊥b，b⊥α，则a∥α 答案：C
线面垂直的判定
[例2] 如右图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥ 底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点．
[活学活用] 如右图所示，已知 PA⊥圆 O 所在平面，AB 为圆 O 的直径， C 是圆周上的任意一点，过 A 作 AE⊥PC 于 E.求证：AE⊥平面 PBC.
证明：∵PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC， ∴PA⊥BC. ∵AC⊥BC，AC∩PA＝A， ∴BC⊥平面 PAC.∵AE⊂平面 PAC， ∴BC⊥AE. 又∵PC⊥AE，BC∩PC＝C， PC⊂平面 PBC，BC⊂平面 PBC， ∴AE⊥平面 PBC.

2018学年高中数学必修二教师用书配套课件：第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1 精品

【解题指南】只需证明CD⊥平面PAC即可. 【证明】因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，又CD⊥AC，PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC. 而AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE.
【延伸探究】(变换条件、改变问法)本题若加上条件 “AB⊥AD，∠ABC=60°，PA=AB=BC”，证明PD⊥平面 ABE.
C.相交
D.不确定
【解析】选B.因为l⊥AC，l⊥BC，AC∩BC=C，
所以l⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，所以l⊥AB.
3.线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB
所在直线与平面α所成的角为 ( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
【解析】选C.如图，AC⊥α，AB∩α=B，则BC是AB在
【规律总结】直线与平面垂直的定义的“双向”作用 (1)证明线面垂直：若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直，该直线与已知平面垂直.即线线垂直⇒线面垂直. (2)证明线线垂直：若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内任意一条直线垂直.即线面垂直⇒线线垂直.
【巩固训练】下列说法中正确的个数是 ( )
A.若m∥α，n∥α，则m∥n B.若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C.若m⊥α，m∥n，则n∥α D.若m∥α，m⊥n，则n⊥α
(2)直线a⊥直线b，直线b⊥平面β，则a与β的关系
是( )
A.a⊥β
B.a∥β
Hale Waihona Puke C.a⊂βD.a⊂β或a∥β
【解题指南】(1)根据线面平行、垂直的定义判定. (2)对a与β的关系逐一验证判断.
平面α内的射影，则BC= 1 AB，所以∠ABC=60°，它是
2

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2018学年高一数学人教A版必修二 课件 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.4 精品

高中数学人教A版2018年PPT课件必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2空间中直线与直线之间的位

2018学年高一数学人教A版必修二 课件 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.4 精品

人教版高中数学必修二教师用书配套课件：第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2

2018学年高中数学必修二教师用书配套课件：第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 精品

2018高中数学人教A版必修2课件 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2 空间中直线与直

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