2021秋八年级数学上册第13章全等三角形考点专训(五)分类讨论思想在等腰三角形中的应用习题课件华东师大版

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人教版数学八上第13讲等腰三角形性质及判定(基础)知识讲解

等腰三角形性质及判定（基础）【学习目标】1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．2. 掌握等腰三角形的判定定理．3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．要点三、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 【典型例题】类型一、等腰三角形中有关度数的计算题1、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.【答案与解析】解：∵AB＝AC∴∠B ＝∠C∵AB＝BD∴∠2＝∠3∵∠2＝∠1＋∠C∴∠2＝∠1＋∠B∵∠2＋∠3＋∠B＝180°∴∠B＝180°－2∠2∴∠2＝∠1＋180°－2∠2∴3∠2＝∠1＋180°∵∠1＝30°∴∠2＝70°【总结升华】解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系，显然∠2＝∠1＋∠C，只要再找出∠C与∠2的关系问题就好解决了，而∠C＝∠B，所以把问题转化为△ABD的角之间的关系，问题就容易的多了.关于角度问题可以通过建立方程进行解决.举一反三：【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．【答案】解：∵AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，∴设∠ECD＝∠EDC＝x，∠BCD＝∠BDC＝y，则∠AED＝∠ADE＝2x，∠A＝∠B＝180°－4x在△ABC中，根据三角形内角和得，x＋y＋180°－4x＋180°－4x＝180°①又∵A、D、B在同一直线上，∴2x＋x＋y＝180°②由①，②解得x＝36°∴∠B＝180°－4x＝180°－144°＝36°.类型二、等腰三角形中的分类讨论2、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．【思路点拨】唯独等腰三角形的角有专用名词“顶角”“底角”，别的三角形没有，然而此题没有指明40°的角是顶角还是底角，所以要分类讨论.【答案与解析】解：(1)当40°的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：两个底角的度数之和＝180°－40°＝140°，又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，故每个底角的度数1140702=⨯︒=︒；(2)当40°的角为底角时，另一个底角也为40°，则顶角的度数＝180°－40°－40°＝100°．∴其余各角为70°，70°或40°，100°．【总结升华】条件指代不明，做此类题应分类讨论，把可能出现的情况都讨论到，别遗漏.3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．【答案与解析】解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7；(2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长1105 2=⨯=．这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3＋3＜7，故不能组成三角形，应舍去．∴等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．【总结升华】唯独等腰三角形的边有专用名词“腰”“底”，别的三角形没有，此题没有说明边长为3的边是腰还是底，所以做此题应分类讨论．同时结合三角形内角和定理、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，来验证讨论哪些情况符合，哪些情况不符合，从而决定取舍，最后得到正确答案．举一反三：【变式】已知等腰三角形的底边BC＝8cm，且|AC－BC|＝2cm，那么腰AC的长为( )． A．10cm或6cm B．10cm C．6cm D．8cm或6cm【答案】A；解：∵ |AC－BC|＝2cm，∴ AC－BC＝±2．又BC＝8cm．∴ AC＝10cm或6cm．∴ AB＝10cm或6cm．类型三、等腰三角形性质和判定综合应用EA C F4、已知：如图，△ABC 中，∠ACB ＝45°，AD⊥BC 于D ，CF 交AD 于点F ，连接BF 并延长交AC 于点E，∠BAD ＝∠FCD ．求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．【思路点拨】此题由等腰三角形的判定知AD ＝DC ，易证△ABD ≌△CFD ，要证BE ⊥AC ，只需证∠BEC ＝90°即可，DF ＝BD ，可知∠FBD ＝45°，由已知∠ACD ＝45°，可知∠BEC ＝90°. 【答案与解析】证明：(1) ∵ AD⊥BC，∴ ∠ADC＝∠FDB＝90°.∵ 45ACB ∠=︒，∴ 45ACB DAC ∠=∠=︒ ∴ AD＝CD∵ BAD FCD ∠=∠，∴ △ABD≌△CFD(2)∵△ABD≌△CFD∴ BD＝FD.∵ ∠FDB＝90°，∴ 45FBD BFD ∠=∠=︒.∵ 45ACB ∠=︒， ∴ 90BEC ∠=︒. ∴ BE⊥AC．【总结升华】本题主要考查全等三角形判定定理及性质，垂直的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质等知识点，关键在于熟练的综合运用相关的性质定理，通过求证△ABD≌△CFD，推出BD=FD ，求出∠FBD=∠BFD=45°．举一反三：【变式】如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ，E 是AB 的中点，CE ⊥BD ．(1)求证：BE ＝AD ；(2)求证：AC 是线段ED 的垂直平分线；(3)△DBC 是等腰三角形吗?并说明理由．【答案】(1)证明： ∵ AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，∴ ∠BAD ＝∠ABC ＝90°．又∵ EC ⊥BD ，∴ ∠BEC ＋∠DBE ＝90°，∠BEC ＋∠BCE ＝90°． ∴ ∠DBE ＝∠BCE ．在△DAB 与△EBC 中，,,,BAD EBC AB BC ABD BCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ △DAB ≌△EBC(ASA)． ∴ AD ＝BE ．(2)证明：连接AC ，ED ．∵ E 为AB 的中点，∴ BE ＝AE ．又∵ AD ＝BE(已证)，∴ AE ＝AD 且∠A ＝90°．△AED 为等腰三角形． ∴ ∠AED ＝∠ADE(等边对等角)，即∠AED ＝∠ADE ＝45°．又∵ AB ＝BC ，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°． ∴ ∠BAC ＝∠BCA(等边对等角)．∴ ∠BAC ＝∠BCA ＝1(18090)452︒-︒⨯=︒． ∴ 45CAD BAC ∠=∠=︒．由等腰三角形性质．可知AC 垂直平分ED ，即AC 是线段ED 的垂直平分线．(3)解：△DBC 是等腰三角形．理由如下：由(2)得CD ＝CE ．由(1)可得CE ＝BD ， ∴ CD ＝BD ．∴ △DBC 是等腰三角形．【巩固练习】一.选择题1. 已知一个等腰三角形两边长分别为5，6，则它的周长为( )A ．16B ．17C ．16或17D ．10或122. 若一个三角形的三个外角度数比为2：3：3，则这个三角形是（） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形3. 将两个全等的且有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4. 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的有( )①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝DB＋CE；③AD＋DE＋AE＝AB＋AC；④BF＝CF.A．1个B．2个C．3个D．4个∆沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若5. 如图，D是AB边上的中点，将ABCB∠=︒，则BDF50∠度数是（）A．60° B．70° C．80° D．不确定6. 如图，ΔABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，若AD、AE三等分∠BAC，则图中等腰三角形有（）A．4个B．5个C．6个D．7个二.填空题7．如图，△ABC中，D为AC边上一点，AD＝BD＝BC，若∠A＝40°，则∠CBD＝_____°．8. 等腰三角形的顶角比其中一个底角大30°，则顶角的度数为．9. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于E．若△ADE的周长为8cm，则AB ＝_________cm．10. 等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角的度数是 .11. 如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝10cm，则ΔOMN的周长＝______cm．12. 如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，若CD＝1.8cm，则BC＝______．三.解答题13．已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．14. 已知：如图，AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠EAC，EF⊥AD于F.求证：EF平分∠AEB．15. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ＋AQ＝AB＋BP．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C；【解析】注意分类讨论.2. 【答案】D；【解析】三个外角度数分别为360°×＝90°，360°×＝135°，135°，所以三角形为等腰直角三角形.3. 【答案】B；4. 【答案】C ；【解析】①②③正确.5. 【答案】C；【解析】AD＝DF＝BD，∠B＝∠BFD＝50°，BDF∠＝180°－50°－50°＝80°.6. 【答案】C；【解析】△ABD，△ADE，△ACE，△ABE，△ACD，△ABC为等腰三角形.二.填空题7. 【答案】20；【解析】∠A＝∠ABD＝40°，∠BDC＝∠C＝80°，所以∠CBD＝20°.8. 【答案】80°；【解析】设顶角为x，则底角为x－30°，所以x＋x－30°＋x－30°＝180°，x＝80°.9. 【答案】8；【解析】DE＝DC，AC＝BC＝BE，△ADE的周长＝AD＋DE＋AE＝AC＋AE＝AB＝8.10.【答案】70°或40o；【解析】这个角可能是底角，也可能是顶角.11.【答案】10；【解析】OM＝BM，ON＝CN，∴△OMN的周长等于BC.12.【答案】1.8cm；【解析】连接BD，∠ABD＝∠ADB，因为∠B＝∠D，所以∠CBD＝∠CDB，所以CD＝BD.三.解答题13.【解析】证明：ED⊥BC；延长ED，交BC边于H，∵AB＝AC，AE＝AD．∴设∠B＝∠C＝x，则∠EAD＝2x，∴∠ADE＝1802902xx ︒-=︒-即∠BDH＝90°－x∴∠B＋∠BDH＝x＋90°－x＝90°，∴∠BHD＝90°，ED⊥BC.14.【解析】证明：∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAD ＝∠CAD 又∵∠B ＝∠EAC ，∴∠B ＋∠BAD ＝∠EAC ＋∠CAD ，即∠ADE ＝∠DAE ∵EF ⊥AD ， ∴∠AFE ＝∠DFE在Rt △AEF 和Rt △DEF 中ADE DAE AFE DFE EF =EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴Rt △AEF ≌Rt △DEF （AAS ）∴∠AEF ＝∠DEF ，即EF 平分∠AEB ． 15.【解析】证明：延长AB 至E ，使BE ＝BP ，连接EP∵在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝40°， ∴∠ABC ＝80°∴∠E ＝∠BPE ＝802︒＝40° ∵AP 、BQ 分别为∠BAC 、∠ABC 的角平分线， ∴∠QBC ＝40°，∠BAP ＝∠CAP ∴BQ ＝QC （等角对等边）在△AEP 与△ACP 中，EAP CAP E C AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEP ≌△ACP （AAS ） ∴AE ＝AC∴AB ＋BE ＝AQ ＋QC ，即AB ＋BP ＝AQ ＋BQ.。

人教版数学八年级上册13.3《等腰三角形》要点全析

等腰三角形要点全析1．等腰三角形〔isosceles triangle 〕有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．如图14-3-1，△ABC 中，AB ＝AC ，那么△ABC 是等腰三角形．相等的两条边叫腰，另一条边BC 叫底边，两腰所夹的角叫顶角，如∠BAC ，底边和腰的夹角∠ABC 和∠ACB 叫底角．如图14-3-2中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，那么，AC 、BC 为腰，AB 边为底，∠A 、∠B 为底角，∠C 为顶角．【说明】要理解等腰三角形的定义，需注意以下几点：〔1〕等腰三角形的底不一定在下方，而顶角不一定在上方，如图14-3-2中，AB 为底，∠C 为顶角．它是根据两腰的位置来确定的．〔2〕等腰三角形的三边仍要满足条件：任意两边之和大于第三边〔或任意两边之差小于第三边〕．假设图14-3-1中，AB ＝AC ＝m ，BC ＝a ，那么2m ＞a ，即m ＞2a时，才能构成三角形，否那么不成立．如边长分别为2，的三条线段不能构成三角形，因为2＋2＜5．例如：〔1〕以下各组数据为边长时，能否组成三角形？①a ＝2，b ＝3，c ＝5；②a ＝4，b ＝3，c ＝2；③a ＝1，b ＝2，c ＝2；④a ＝2 005，b ＝2 004，c ＝2 008．〔2〕等腰三角形的两边为6 cm ，7 cm ，求其周长．〔3〕等腰三角形的两边长为2 cm ，7 cm ，求其周长．解：〔1〕①由于2＋3＝5，即a ＋b ＝c ，而不满足a ＋b ＞c ，∴ 不能组成三角形．②由于2＋3＝5＞4，即b ＋c ＞a ，所以a 、b 、c 可以组成三角形． ③由于1＋2＞2，即a ＋b ＞c ，所以a 、b 、c 可以组成三角形．④由于a＋b＞c，因此a、b、c可以组成三角形．〔2〕因等腰三角形的两边长分别为6 cm、7 cm当腰长为6 cm时，周长为6＋6＋7＝19〔cm〕当腰长为7 cm时，周长为6＋7＋7＝20〔cm〕．∴等腰三角形的周长为19 cm或20 cm．〔3〕因等腰三角形的两边长分别为2 cm，7 cm，所以腰长为7 cm，而不能是2 cm．假设为2 cm，那么2＋2＝4＜7，不能组成三角形．因此周长为7＋7＋2＝16〔cm〕，∴等腰三角形的周长为16 cm．2．等腰三角形的性质1等腰三角形的两个底角相等〔简写成“等边对等角〞〕如图14-3-3，△ABC中，AB＝AC，那么∠B＝∠C证法一：〔利用轴对称〕过点A作△ABC的对称轴AD．∵AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上．又∵AD为△ABC的对称轴，∴△ABD≌△ACD〔轴对称性质〕．∴∠B＝∠C证法二：〔作顶角平分线〕过点A作AD平分∠BAC交BC于D，如图14-3-3，在△ABD和△ACD中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠ADADCADBADACAB＝＝＝∴△ABD≌△ACD〔SAS〕．∴∠B＝∠C【说明】还可以作底边BC的中线和高来证明．证法三：如图14-3-4，过B、C分别作AC、AB边上的高BD、CE，在△ABD 和△ACE 中，⎪⎩⎪⎨⎧︒∠∠∠∠，＝＝（公共角），＝，＝90AEC ADB A A AC AB∴ △ABD ≌△ACE 〔AAS 〕．∴ BD ＝CE在Rt △BCD 和Rt △CBE 中，⎩⎨⎧CE BD CB BC ＝＝∴ Rt △BCD ≌Rt △CBE 〔HL 〕．∴ ∠B ＝∠C ．证法四：如图14-3-5，分别取AB 、AC 的中点E 、D ，连接BD 、CE ．∵ AB ＝AC ，AD ＝DC ＝21AC ，AE ＝BE ＝21AB ，∴ AD ＝BE ＝AE ＝DC在△ABD 和△ACE 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠，＝，＝，＝AE AD A A AC AB∴ △ABD ≌△ACE 〔SAS 〕．∴ BD ＝CE ．在△BCE和△CBD中⎪⎩⎪⎨⎧，＝，＝，＝CD BEBD CECB BC∴△BCE≌△CBD〔SSS〕．∴∠ABC＝∠ACB．【说明】从以上的证法二、三、四中可以看出，要证两角相等，都是想方设法把它们放在两个三角形中，证两个三角形全等．3．等腰三角形的性质2〔简称“三线合一〞〕等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合．如图14-3-6，在△ABC中，AB＝AC，AD为顶角的平分线，那么AD既是中线，又是高线，这三条线重合．在使用时，在这三条线段中，只要作出其中一条，另外两条也就可以认为作出来了．即△ABC中，AB＝AC，假设AD平分∠BAC，那么AD⊥BC，BD＝CD；假设BD＝CD，那么AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD；假设AD⊥BC，那么BD＝DC，∠BAD＝∠CAD．因此，等腰三角形中的这条线非常重要，一旦作出，边、角的等量关系就都有了．【说明】〔1〕“三线合一〞仅限于等腰三角形中才有，其他三角形中没有．〔2〕在一般三角形中，这三条线是不会重合的．如图14-3-7，在△ABC中，AD为高，AE为中线，AF平分∠BAC，因此，这三条线不重合．只有等腰时，三条线才会重合；反过来，假设某一三角形中三线重合，那么该三角形为等腰三角形．〔3〕在今后的证明题中，经常会使用“三线合一〞进展证明．例如：△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D，如图14-3-8．求证：∠BAC ＝2∠DBC证法一：在△BCD中，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°．∴∠DBC＝90°－∠C．在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∴∠BAC＝180°－〔∠ABC＋∠ACB〕＝180°－2∠ACB＝2〔90°－∠C〕．∴∠BAC＝2∠DBC证法二：借助于三线合一的性质，过A作AM⊥BC于M，那么AM平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAM＝2∠CAM.又∵BD⊥AC交AC于D，AM⊥BC交BC于M，∴∠DBC＝90°－∠C又∵AM⊥BC，∴∠CAM＝90°－∠C，∴∠DBC＝∠CAM4．等腰三角形的性质3〔轴对称性〕等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线〔顶角平分线、底边上的高〕所在的直线就是它的对称轴．如图14-3-9，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，那么△ABC的对称轴为AD所在的直线，△ABD≌△ACD．过D作DE⊥AB，交AB于E，作DF⊥AC，交AC于F．由△ABD≌△ACD可知DE＝DF．同理，过D分别作AB、AC边上的中线和角平分线，它们都相等．因此，得到等腰三角形的一个重要结论．重要结论：过等腰三角形底边的中点向两腰所作的高线、中线以及角平分线，其与两腰所截得的线段都分别对应相等．5．等腰三角形的性质4〔两腰上的对应线段相等〕等腰三角形两腰上的中线、高线和两底角平分线对应相等．例如：如图14-3-10，△ABC中，AB＝AC，假设BD、CE分别为AC、AB 边上的高线，那么BD＝CE．证明：∵ AB ＝AC ，∴ ∠ABC ＝∠ACB 〔等边对等角〕．又∵ BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴ ∠BDC ＝∠CEB ＝90°．在△BCD 和△CBE 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝，＝CB BC CEB BDC CBE BCD∴ △BCD ≌△CBE 〔AAS 〕．∴ BD ＝CE ．或S △ABC ＝21AB ·CE ＝21AC ·BD ．∵ AB ＝AC ，∴ BD ＝CE ．此法较为简便．同样道理，可分别作出两腰上的中线，两底角的平分线，它们也分别对应相等．6．等腰三角形的判定定理〔等角对等边〕如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等〔简写成“等角对等边〞〕．例如：如图14-3-11，△ABC 中，假设∠B ＝∠C ，那么AB ＝AC证明：过点A 作AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，那么∠BAD ＝∠CAD ．在△ABD 和△ACD 中，∴ △ABD ≌△ACD 〔AAS 〕．∴AB ＝AC因此，这一结论可直接利用．【说明】〔1〕在使用“等边对等角〞或“等角对等边〞时，一定要注意是在同一个三角形中才有这一对应关系，不在同一三角形中的边、角没有这一对应关系．〔2〕有了这一结论，为今后证明线段相等又添了一种重要的解题途径．例如：如图14-3-12，△ABC中，AB＝AC，BD、CE相交于O点．且BE＝CD求证：OB＝OC．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB〔等边对等角〕．在△BCE和△CBD中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠，＝，＝，＝CBBCDCBEBCCDBE∴△BCE≌△CBD〔SAS〕．∴∠BCE＝∠CBD，即∠OBC＝∠BCO∴OB＝OC〔等角对等边〕．【说明】证两条线段相等，假设这两条线段在同一个三角形中，可利用等腰三角形的判定定理来证明．7．底边和底边上的高，求作等腰三角形线段a、b，求作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，高为b．作法：〔1〕作线段BC＝a；〔2〕作线段BC的垂直平分线MN与BC交于点D；〔3〕在MN上截取AD＝b；〔4〕连接AB、AC，△ABC就是所求的等腰三角形．【说明】〔1〕由作法知MN为BC的垂直平分线，∴AB＝AC∴△ABC为等腰三角形，如图14-3-13．〔2〕以前所作的三角形分别为：三边，两边夹角，两角夹边和斜边、直角边求作三角形，今天又学习了底边和底边上的高求作等腰三角形，共有五种情况，今后还将学习一些更为复杂的作法，都是以这五种为根底进展作图的．8．等边三角形〔equilateral triangle〕〔1〕定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形．如图14-3-14，△ABC 中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形．〔2〕性质：①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．如图14-3-14中，假设△ABC为等边三角形，那么∠A＝∠B＝∠C＝60°．②除此之外，还具有等腰三角形的一切性质，如三线合一，轴对称等．〔3〕判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形．②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．下面证明以上两条判定．判定①：如图14-3-15，△ABC 中，∠A ＝∠B ＝∠C 求证：△ABC 是等边三角形．证明：∵ ∠B ＝∠C ，∴ AB ＝AC又∵ ∠A ＝∠B ∴ AC ＝BC∴ AB ＝AC ＝BC ，∴ △ABC 是等边三角形．判定②：如图14-3-15，△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝60°．求证：△ABC 是等边三角形．证明：∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠C ．又∵ ∠B ＝60°，∴ ∠B ＝∠C ＝60°．又∵ ∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴ ∠A ＝180°－〔∠B ＋∠C 〕＝60°．∴ ∠A ＝∠B ＝∠C ，∴ AB ＝BC ＝AC ．∴ △ABC 为等边三角形．〔4〕应用：例如：如图14-3-16，△ABC 为等边三角形，D 、E 为直线BC 上的两点，且BD ＝BC ＝CE ，求∠DAE 的度数．分析：要求∠DAE 的度数，需分开求，先求∠BAC ，再求∠DAB 和∠CAE ，由△ABC 为等边三角形知∠BAC ＝60°，又∵ BD ＝BC ，而BC ＝BA ，那么BD＝BA ，∴ △ABD 为等腰三角形，∴ ∠D ＝∠DAB ＝21∠ABC ＝30°．同理可知，∠CAE ＝30°．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．又∵BD＝BC，∴BD＝BC＝AB．∴∠DAB＝∠D，又∵∠ABC＝∠D＋∠DAB，∴∠ABC＝2∠DAB＝60°，∴∠DAB＝30°．同理，∠CAE＝30°．∴∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝30°＋60°＋30°＝120°．【说明】此题中用到了等边三角形的性质．再如：如图14-3-17，△ABC为等边三角形，D、E、F分别为△ABC三边上的点，且BD＝CE＝AF，直线AD、BE、CF两两相交于点R、Q、P．求证：△PQR是等边三角形．分析：此题既用到了等边三角形的性质，又用到了其判定．要证△PQR为等边三角形，证三边相等难度较大，可考虑证其三角相等．也可先证∠PQR＝60°，而∠PQR＝∠ACQ＋∠QAC，又因为∠ACQ＋∠BCF＝60°，只需证∠BCF＝∠DAC，由此可联想证△BCF与△CAD全等．证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝CA．又∵BD＝CE＝AF，∴BF＝DC＝AE在△ABE和△BCF和△CAD中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠，＝＝，＝＝，＝＝CDBFAEDCAFBCBAECABCAB∴△ABE≌△BCF≌△CAD〔SAS〕．∴∠ABE＝∠BCF＝∠CAD．∵ ∠ACQ ＋∠BCF ＝60°，∴ ∠ACQ ＋∠CAQ ＝60°．∴ ∠AQF ＝∠ACQ ＋∠CAQ ＝60°，即∠PQR ＝60°．同理，∠RPQ ＝∠PRQ ＝60°．∴△PQR 为等边三角形．【说明】〔1〕此题证明思路比拟清晰，只是步骤书写较繁，书写应认真；〔2〕在证明过程中用到了三个三角形全等的连等形式，可仿照两个三角形全等的方式使用．9．含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．如图14-3-18，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，那么BC ＝21AB ，这一性质反过来也成立．即在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，假设BC ＝21AB ，那么∠A＝30°．因此Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°BC ＝21AB 这一性质在解题中经常用到．例如：如图14-3-19，在Rt △ABC 中，∠BAC 为直角，高AD 交BC 于D ，∠B ＝30°，BC ＝12米，求CD ，BD 的长．解：∵ 在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝30°，∴ ∠C ＝60°，BC ＝2AC∴ AC ＝21BC ＝6〔米〕．在Rt △ACD 中，∵ AD ⊥BC ，∠C ＝60°，∴ ∠CAD ＝30°．∴ DC ＝21AC ＝21×6＝3〔米〕．∴ BD ＝BC －DC ＝9－6＝12－3＝9〔米〕．【说明】在此题中两次用到直角三角形的这一性质，并且用的方式都一样．10．证明线段相等的方法到目前为止，学过的证明线段相等的方法，有以下几种：〔1〕全等三角形的对应边相等〔在两个三角形中〕．〔2〕等角对等边〔在一个三角形中〕．〔3〕轴对称的性质〔在某条直线的两侧〕．〔4〕角平分线的性质〔在角的平分线上的两条线段〕．〔5〕中点的概念〔在一条直线上〕．〔6〕利用第三条等量线段．〔7〕作辅助线、创造条件．例如：如图14-3-20，点D 、E 在BC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE ．求证：BD ＝CE ．分析：因BD 与CE 在一条直线上，且又在两个三角形中，可考虑证两个三角形全等或用中点的概念进展证明，也可用轴对称的性质进展证明．证法一：用全等三角形∵AB＝AC，∴∠B＝∠C又∵AD＝AE，∴∠ADF＝∠AEF．又∵∠ADF＝∠B＋∠BAD，∠AEF＝∠C＋∠CAE，∴∠BAD＝∠CAE在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE〔SAS〕．∴BD＝CE．证法二：用中线如图14-3-20，过A点作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF〔三线合一〕．又∵AD＝AE，AF⊥DE，∴DF＝EF〔三线合一〕．∴BF－DF＝CF－EF，∴BD＝CE．证法三：用轴对称过A作BC边上的垂线，垂足为F．∵AB＝AC，AF⊥BC，∴△ABC关于直线AF对称，∴BF＝CF．同理，DF＝EF．∴BF－DF＝CF－EF．即BD＝CE．【说明】从以上的证明可以看出，一个结论有多种证明途径和证明方法．11．证明角相等的方法到目前为止，学过的证明角相等的方法，有以下几种：〔1〕角平分线的定义及性质．〔2〕全等三角形的对应角相等〔在两个三角形中〕．〔3〕等边对等角〔在一个三角形中〕．〔4〕轴对称的性质．〔5〕找第三等量角〔如∠A＝∠C，∠B＝∠C，那么∠A＝∠B〕．〔6〕作辅助线，创造条件．例如：如图14-3-21，△ABC中，AB＝AC，∠1＝∠2．求证：∠BAD＝∠CAD．分析：要证∠BAD＝∠CAD，因两角在两个三角形中，可考虑选用全等三角形和角平分线，以及轴对称进展证明．证法一：用全等三角形∵∠1＝∠2，∴DB＝DC在△ABD和△ACD中，AB＝AC，DB＝DC，AD＝AD，∴∠ABD≌△ACD〔SSS〕．∴∠BAD＝∠CAD．证法二：用轴对称∵∠1＝∠2，∴DB＝DC∴点D在BC的垂直平分线上．又∵AB＝AC，∴A点也在BC的垂直平分线上．∴△ABD与△ACD关于直线AD对称．∴∠BAD＝∠CAD〔轴对称的性质〕．证法三：用角平分线∵∠1＝∠2，∴DB＝DC．又∵AB＝AC，∴点A、D都在BC的垂直平分线上．∴AD也为∠BAC的平分线〔三线合一〕．∴∠BAD＝∠CAD．例如：如图14-3-22，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AD 于E，交BC的延长线于F．求证：∠B＝∠CAF．分析：要证∠B＝∠CAF，根据全等三角形和等腰三角形已不可能，角平分线也用不上，可考虑用第三等量角．证明：∵EF垂直平分AD，∴F A＝FD．∴∠1＝∠3＋∠4．又∵∠ADC为△ABD的外角，∴∠1＝∠B＋∠2．∴∠B＋∠2＝∠3＋∠4．又∵∠2＝∠3，∴∠B＝∠4．即∠B＝∠CAF．12．三角形中的不等关系〔1〕大边对大角：在一个三角形中，如果两条边不等，那么这两条边所对的角也不等，并且较大的边所对的角也较大，简称“大边对大角〞．如图14-3-23，在△ABC中，假设AB＞AC，那么∠C＞∠B〔2〕大角对大边：在一个三角形中，如果两个角不等，那么这两个角所对的边也不等，并且较大的角所对的边较大，简称“大角对大边〞．如图14-3-23，在△ABC中，假设∠C＞∠B，那么AB＞AC．【说明】〔1〕上述两个定理的使用条件是在一个三角形中，否那么不成立；〔2〕上述不等关系具有传递性，即△ABC中的三边分别为a、b、c，假设a＞b，b＞c那么a＞c；同样所对的角也如此．假设△ABC中，∠A＞∠B，∠B＞∠C，那么∠A＞∠C例如：判断以下说法是否正确，为什么？〔1〕在一个三角形中，假设最长边所对的角为锐角，那么此三角形为锐角三角形．〔2〕直角三角形中，斜边最长．〔3〕钝角三角形中，钝角所对的边不一定是最长边．分析：此题目的在于考察三角形中边、角不等关系的灵活应用情况．解：〔1〕正确．因最长边对的角是最大角，而最大角是锐角，那么这个三角形一定是锐角三角形．〔2〕正确．因为直角三角形中，直角最大，那么斜边应是最长的．〔3〕不正确．因为钝角三角形中，钝角最大，它所对的边应该最大，所以，上述说法不正确．再如：△ABC中，AB＞AC，AD为BC边上的中线．求证：∠BAD＜∠CAD分析：要比拟两个角的大小，需将其放入同一个三角形中．如何放入一个三角形中，通常采用平移法，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，那么△BDE≌△CDA，有∠E＝∠CAD，BE＝AC，在△ABE中，AB＞BE．那么∠E ＞∠BAD，即∠BAD＜∠CAD成立．证明：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE在△ADC和△EDB中，AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，BD＝DC，∴△ADC≌△EDB〔SAS〕．∴∠CAD＝∠E，AC＝BE．又∵AB＞AC，∴AB＞BE．在△ABE中，∵AB＞BE，∴∠E＞∠BAD．又∵∠E＝∠CAD，∴∠CAD＞∠BAD即∠BAD＜∠CAD．【说明】此题证明的关键是将原来在两个三角形中的量：AB、AC和∠BAD、∠CAD，通过辅助线移至一个三角形ABE中，而这种移法较为常用．【题目变式1】如图14-3-25，在△ABC中，AB＞AC，AD为角平分线．求证：BD＞CD．证明：在AB上截取AE＝AC，连接DE．那么△ADE≌△ADC〔SAS〕．∴DE＝DC，∠3＝∠4．又∵∠BED＞∠3，∴∠BED＞∠4．又∵∠4＞∠B，∴∠BED＞∠B．∴BD＞DE．即BD＞DC【题目变式2】如图14-3-26，在△ABC中，AB＞AC，AD为BC边上的高．求证：∠BAD＞∠CAD证明：在△ABC中，∵AB＞AC，∴∠B＜∠C．又∵AD⊥BC于D，∴∠B＋∠BAD＝90°，∠C＋∠CAD＝90°．∴∠B＋∠BAD＝∠C＋∠CAD．而∠B＜∠C，∴∠BAD＞∠CAD．13．得到等腰三角形的方法〔1〕如图14-3-27，一直线平行于等腰三角形底边，与两腰〔或两腰的延长线〕相交所得的三角形是等腰三角形．如图中，△ADE是等腰三角形．〔2〕把一张对边平行的纸，像图14-3-28那样折叠，重合局部是一个等腰三角形．如图中，△FBD是等腰三角形．〔3〕等腰三角形两底角的平分线的交点与底边两端点组成等腰三角形．〔4〕等腰三角形两腰上的高的交点与底边两端点构成等腰三角形．〔5〕等腰三角形两腰上的中线的交点与底边两端点构成等腰三角形．〔6〕36°角为顶角的等腰三角形，底角的平分线把原等腰三角形分成两个等腰三角形．〔7〕90°角为顶角的等腰直角三角形，顶角的平分线把原三角形分成两个等腰直角三角形．。

2021秋八年级数学上册第13章全等三角形全章热门考点整合应用华东师大版

解：如图，点O即为小亭的中心位置．
【点拨】当遇到到三角形三边距离相等的
问题时，可以考虑角平分线．
证明：由做法知在△ABC 和△EDC 中， B∠CA＝BDC＝C，∠EDC＝90°， ∠ACB＝∠ECD， ∴△ABC≌△EDC(A.S.A.)．
∴AB＝ED，
即他们的做法是正确的．
18 如图，A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学的问题，当地政府计划新建一所小学，要使学校到三个村庄的距离相等，请你在图中确定学校的位置．
解：作法：(1)连结AB，BC； (2)分别作AB，BC的垂直平分线交于点P，则点P就是所要确定的学校的位置，如图．【点拨】
三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等．找三角形中到三个顶点距离相等的点的方法就是找任意两边的垂直平分线的交点．
19 某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，如图，现准备在其中建一小亭供人们小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置(不写作法，保留作图痕迹)．
AB＝CB，在△ABE 和△CBD 中，∠ABE＝∠CBD，
BE＝BD， ∴△ABE≌△CBD(S.A.S.)．∴AE＝CD.
又∵AD＝AE＋ED，ED＝BD，∴BD＋CD＝AD.
7 【2020·成都】如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：
①分别以点 B 和点 C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和点 N；
4 【2020·陕西】如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BA 延长线上一点，E是AC的中点，连结DE并延长，交 BC于点M，∠DAC的平分线交DM于点F. 求证：AF＝CM.
证明：∵AB ＝AC，∴∠B＝∠C. ∴∠DAC＝∠B＋∠C＝2∠C. ∵AF是∠DAC的平分线，∴∠C＝∠FAC. ∵E为AC的中点，∴AE＝EC. 在△AEF 和△CEM 中，∠ AEF＝AEC＝E，∠C，

新人教版八年级数学上册第十三章《轴对称》知识点归纳并练习

第十三章（精编）轴对称《轴对称、线段垂直平分线、、等腰三角形、等边三角形》轴对称图形如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，•这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．轴对称有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．图形轴对称的性质如果两个图形成轴对称，•那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。

轴对称与轴对称图形的区别轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，•成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识1.下列几何图形中，○1线段○2角○3直角三角形○4半圆，其中一定是轴对称图形的有【】A．1个B．2个C．3个D．4个2．图中，轴对称图形的个数是【】A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．正n 边形有___________条对称轴，圆有_____________条对称轴线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，•叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，•与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．考点二、线段垂直平分线的性质4．如图，△ABC 中，∠A ＝90°，BD 为∠ABC 平分线，DE ⊥BC ，E 是BC 的中点，求∠C 的度数。

麻章区师院附中八年级数学上册第13章全等三角形知识点总结华东师大版

第十三章：全等三角形知识点内容备注全等三角形性质：全等三角形的对应边和对应角相等三角形全等的判定：1. （边边边）S.S.S.：如果两个三角形的三条边都对应地相等，那么这两个三角形全等。

2.（边、角、边）S.A.S.：如果两个三角形的其中两条边都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等，那么这两个三角形全等。

3.（角、边、角）A.S.A.：如果两个三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等的话，那么这两个三角形全等。

4.（角、角、边）A.A.S.：如果两个三角形的其中两个角都对应地相等，且对应相等的角所对应的边对应相等，那么这两个三角形全等。

5.（斜边、直角边）H.L.：如果两个直角三角形中一条斜边和一条直角边都对应相等，那么常考点：①公共边②公共角③两直线平行（两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补）④对顶角（对顶角相等）需要注意：判定两直角三角形全等：五个判定都可用，特殊：斜边直角边这两个三角形全等。

等腰三角形性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两底角相等③等腰三角形“三线合一”（顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合）④等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴⑤等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）考点：①若则说明②等腰三角形“三线合一”1.若AD则BD=BC,∠BAD=∠CAD2.自己补充完整判定①定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。

②判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等知识点内容备注平方根概念:如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根算术平方根：正数a的正的平方根记作：性质：正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根考点：（a的取值范围a）②()③(a的取值范围为任意实数)④=例：=（）=5⑤=a(a为任意实数)例：=2, =—2 立方根概念：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根性质：任何实数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0边）。

八年级数学上册第13章全等三角形知识点总结华东师大版.

千里之行，始于足下。

八年级数学上册第13章全等三角形知识点总结华东师大版.全等三角形是初中数学中的重要内容，它在几何图形的研究中有着广泛的应用。

下面是八年级数学上册第13章全等三角形的知识点总结（以华东师大版为例）：1. 全等三角形的概念：两个三角形的对应边和对应角完全相等时，称这两个三角形是全等的。

2. 全等三角形的判定方法：- SSS判定法：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形是全等的。

- SAS判定法：如果两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。

- ASA判定法：如果两个三角形的两角和夹边分别相等，则这两个三角形是全等的。

- RHS判定法：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，则这两个三角形是全等的。

3. 全等三角形的基本性质：- 三边对应及其夹角相等：若两个三角形是全等的，则它们的对应边分别相等，对应角也相等。

- 各角的对边相等：若两个三角形是全等的，则它们的对应角的对边也分别相等。

- 全等三角形的一些特殊性质（书中详细介绍）第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。

4. 全等三角形的画法以及其他几何图形的构造：通过全等三角形的画法，可以进行其他几何图形的构造，如三角形的平分、作等边三角形、作正方形、作平行四边形等等。

5. 全等三角形的应用：- 全等三角形的证明：可以通过全等三角形来证明其他几何定理。

- 解决实际问题：可以利用全等三角形的性质来解决有关长度、角度等问题。

以上就是八年级数学上册第13章全等三角形的知识点总结。

除了理解这些知识点，还需要多做题、多练习，提高解题能力，掌握应用的技巧。

八年级数学上册《全等三角形》知识点解析

八年级数学上册《全等三角形》知识点解析八年级数学上册《全等三角形》知识点解析在现实学习生活中，相信大家一定都接触过知识点吧！知识点有时候特指教科书上或考试的知识。

为了帮助大家掌握重要知识点，下面是店铺收集整理的八年级数学上册《全等三角形》知识点解析，欢迎大家分享。

八年级数学上册《全等三角形》知识点解析1一、定义1.全等形：形状大小相同，能完全重合的两个图形.2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形.二、重点1.平移，翻折，旋转前后的图形全等.2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.3.全等三角形的判定：SSS三边对应相等的两个三角形全等【边边边】SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等【边角边】ASA两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等【角边角】AAS两个角和其中一个角的对边开业相等的两个三角形全等【边角边】HL斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等【斜边，直角边】4.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.5.角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.八年级数学上册《全等三角形》知识点解析2全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形；③三角形全等不因位置发生变化而改变。

通过上面对全等三角形知识点的讲解学习，相信同学们对全等三角形的知识已经能很好的掌握了吧，后面我们进行更多知识点的巩固学习。

初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。

平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

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