2018版高一数学人教版A版必修一学案：第二单元 2.2.2 第2课时对数函数及其性质的应用

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高中数学人教A版必修第一册学案与练习对数函数的概念、图象及性质

4.4 对数函数学习目标1.通过对数函数的概念及对数函数图象和性质的学习，培养数学抽象、直观想象素养.2.通过对数函数图象和性质的应用，培养逻辑推理、数学运算素养.第1课时对数函数的概念、图象及性质1.对数函数的概念一般地，函数y=log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，+∞).2.对数函数的图象与性质我们可以借助指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质:对数函数的概念[例1] (1)下列函数是对数函数的是( )A.y=lg 10xB.y=log3x2C.y=ln xD.y=lo g13(x-1)(2)若函数f(x)=log a x+(a2-4a-5)是对数函数，则实数a= . 解析:(1)由对数函数的定义，得y=log a x(a>0，a≠1)是对数函数，由此得到y=ln x是对数函数.故选C.(2)由对数函数的定义可知，{a2-4a-5=0,a>0,a≠1,解得a=5.答案:(1)C (2)5判断一个函数是否为对数函数的方法判断一个函数是对数函数必须是形如y=log a x(a>0，且a ≠1)的形式，即必须满足以下条件: (1)系数为1.(2)底数为大于0，且不等于1的常数. (3)对数的真数仅有自变量x.针对训练1:(1)若函数y=log a x+a 2-3a+2为对数函数，则a 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4(2)已知对数函数的图象过点M(9，2)，则此对数函数的解析式为 .解析:(1)因为函数y=log a x+a 2-3a+2为对数函数，所以{a 2-3a +2=0,a >0,a ≠1,解得a=2.故选B. (2)设函数f(x)=log a x(x>0，a>0，且a ≠1)，因为对数函数的图象过点M(9，2)，所以2=log a 9，所以a 2=9，又a>0，解得a=3.所以此对数函数的解析式为y=log 3x. 答案:(1)B (2)y=log 3x对数型函数的定义域[例2] 求下列函数的定义域.(1)y=log a (3-x)+log a (3+x)(a>0，且a ≠1); (2)f(x)=1log 12(2x+1).解:(1)由{3-x >0,3+x >0,得-3<x<3，所以函数的定义域是{x|-3<x<3}.(2)由题意有{2x +1>0,2x +1≠1,解得x>-12，且x ≠0，则函数的定义域为(-12，0)∪(0，+∞).(1)求解含对数式的函数定义域，若自变量在底数和真数上，要保证真数大于0，底数大于0，且不等于1. (2)对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞).(3)形如y=log g(x)f(x)的函数，定义域由{f (x )>0,g (x )>0,g (x )≠1来确定.(4)形如y=f(log a x)的复合函数在求定义域时，必须保证每一部分都要有意义.针对训练2:函数f(x)=√lgx +lg(5-3x)的定义域是( ) A.[0，53) B.[0，53]C.[1，53) D.[1，53]解析:函数f(x)=√lgx +lg(5-3x)的定义域是{x|{x >0,lgx ≥0,5-3x >0}，即{x|1≤x<53}.故选C.对数函数的图象类型一对数型函数图象过定点问题[例3] (1)函数y=log a (x-3)+1(a>0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是()A.(4，1)B.(3，1)C.(4，0)D.(3，0)(2)若函数y=log a (x-1)+8(a>0，且a ≠1)的图象过定点P ，且点P 在幂函数f(x)=x α(α∈R)的图象上，则f(12) = .解析:(1)令x-3=1，求得x=4，y=1，可得它的图象恒过定点P(4，1).故选A. (2)令x-1=1，解得x=2，此时y=8，此函数图象过定点P(2，8). 由点P 在幂函数f(x)=x α(α∈R)的图象上知， 2α=8，解得α=3，所以f(x)=x 3，所以f(12)=( 12) 3=18.答案:(1)A (2)18涉及与对数函数有关的函数图象过定点问题的一般规律:若f(x)=klog a g(x)+b(a>0，且a ≠1)，且g(m)=1，则f(x)图象过定点P(m ，b).针对训练3:(1)(多选题)下列四个函数中过相同定点的函数有( ) A.y=ax+2-a B.y=x a-2+1C.y=a x-3+1(a>0，a ≠1)D.y=log a (2-x)+1(a>0，a ≠1)(2)已知函数f(x)=log a(x-m)+n的图象恒过定点(3，5)，则lg m+lg n 的值是.(3)函数y=log a(2x-1)+3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是.解析:(1)由于函数y=ax+2-a=a(x-1)+2，令x=1，可得y=2，故该函数经过定点(1，2)，由于函数y=x a-2+1，令x=1，可得y=2，故该函数经过定点(1，2)，由于y=a x-3+1(a>0，a≠1)，令x-3=0，求得x=3，y=2，故该函数经过定点(3，2)，由于y=log a(2-x)+1(a>0，a≠1)，令2-x=1，求得x=1，y=1，故该函数经过定点(1，1).故选AB.(2)函数f(x)=log a(x-m)+n的图象恒过定点(1+m，n)，又函数f(x)的图象恒过定点(3，5)，故1+m=3，n=5，即m=2，n=5，所以lg m+lg n=lg 2+lg 5=lg 10=1.(3)令2x-1=1，得x=1，y=3，所以函数的图象恒过定点P(1，3). 答案:(1)AB (2)1 (3)(1，3)类型二对数型函数图象的识别[例4] 函数y=-lg |x+1|的大致图象为( )解析:法一函数y=-lg |x+1|的定义域为{x|x≠-1}，可排除A，C;当x=1时，y=-lg 2<0，显然只有D符合题意.故选D.法二y=-lg |x+1|={-lg(x+1),x>-1, -lg(-x-1),x<-1,又x∈(-1，+∞)时，y=-lg(x+1)是减函数.故选D.对数型函数图象的识别一定要注意利用对数式的真数大于0确定函数的定义域，注意利用对数型函数图象所过定点，同时结合单调性进行判断，也可以利用函数图象的变换进行判断.针对训练4:(1)(2021·河南开封期末)函数y=|lg(x+1)|的图象是( )(2)如图，①②③④中不属于函数y=log2x，y=log0.5x，y=-log3x的一个是( )A.①B.②C.③D.④解析:(1)函数的定义域为(-1，+∞)，图象与x轴的交点是(0，0).故选A.(2)根据函数的图象，函数y=log a x(a>0，且a≠1)的底数决定函数的单调性，当底数a>1时，函数单调递增，当0<a<1时，函数单调递减，当底数a>1，x>1时，满足底数越大函数的图象越靠近x轴，故①对应函数y=log2x的图象，根据对称性，④对应函数y=log0.5x的图象，③对应函数y=-log3x的图象，②与函数的图象相矛盾，故②不符合题意.故选B.类型三根据图象求解析式中的参数的范围[例5] 已知函数y=log a(x+c)(a，c为常数.其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a>1，c>1B.a>1，0<c<1C.0<a<1，c>1D.0<a<1，0<c<1解析:因为函数单调递减，所以0<a<1.当x=1时，log a(x+c)=log a(1+c)<0，即1+c>1，所以c>0，当x=0时，log a(x+c)=log a c>0，所以0<c<1.故选D.根据图象求解析式中的参数的范围和图象识别的方法是一致的，也是主要利用函数的单调性和图象上特殊点的坐标的大小建立有关参数的不等式.针对训练5:(1)如图，若C1，C2分别为函数y=log a x和y=log b x的图象，则( )A.0<a<b<1B.0<b<a<1C.a>b>1D.b>a>1(2)已知定义在R上的函数f(x)=log2(a x-b+1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )A.0<1a <1b<1 B.0<1b<a<1C.0<b<1a <1 D.0<1a<b<1解析:(1)由对数的性质log a a=1(a>0，且a≠1)，画一条直线y=1，如图所示，由图可知0<b<a<1.故选B.(2)由函数单调性可知，a>1，f(0)=log2(1-b+1)，故0<log2(1-b+1)<1，解得0<b<1，由log2(a-1-b+1)<0可得a-1<b，所以0<1a<b<1.故选D.典例探究:如图，直线x=t与函数f(x)=log3x和g(x)=log3x-1的图象分别交于点A，B，若函数y=f(x)的图象上存在一点C，使得△ABC为等边三角形，则t的值为( )A.√3+22B.3√3+32C.3√3+34D.3√3+3解析:由题意A(t ，log 3t)，B(t ，log 3t-1)，|AB|=1，设C(x ，log 3x)，因为△ABC 是等边三角形，所以点C 到直线AB 的距离为√32，所以t-x=√32，x=t-√32，所以C(t-√32，log 3(t-√32))，根据中点坐标公式可得log 3(t-√32) =log 3t+log 3t -12=log 3t-12=log 3√3，所以t-√32=√3，解得t=3√3+34.故选C.应用探究:已知正方形ABCD 的面积为36，BC 平行于x 轴，顶点A ，B 和C 分别在函数y=3log a x ，y=2log a x 和y=log a x(其中a>1)的图象上，则实数a 的值为( ) A.√3 B.√6 C.√36D.√63解析:设B(x ，2log a x)，因为BC 平行于x 轴，所以C(x ′，2log a x)，即log a x ′=2log a x ，所以x ′=x 2，所以正方形ABCD 的边长|BC|=x 2-x=6，解得x=3.由已知，AB 垂直于x 轴，所以A(x ，3log a x)，正方形ABCD 的边长|AB|=3log a x-2log a x=log a x=6，即log a 3=6，a 6=3，a=√36.故选C.1.函数f(x)=log 2(3+2x-x 2)的定义域为( C ) A.[-1，3] B.(-∞，-1)∪(3，+∞) C.(-1，3) D.(-∞，-1)∪[3，+∞)解析:由3+2x-x 2>0，得-1<x<3，所以f(x)的定义域为(-1，3).故选C.2.已知对数函数f(x)的图象过点(4，12)，则f(x)等于( A )A.log 16xB.log 8xC.log 2xD.lo g 116x解析:由题意设f(x)=log a x(a>0，且a ≠1)，由函数图象过点(4，12)可得f(4)=12，即log a 4=12，所以4=a 12，解得a=16，故f(x)=log 16x.故选A.3.如图所示的曲线是对数函数y=log a x ，y=log b x ，y=log c x ，y=log d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系为 .解析:由题图可知函数y=log a x ，y=log b x 的底数a>1，b>1，函数y=log c x ，y=log d x 的底数0<c<1，0<d<1.过点(0，1)作平行于x 轴的直线l(图略)，则直线l 与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c ，d ，a ，b ，显然b>a>1>d>c>0. 答案:b>a>1>d>c4.已知函数y=log a (x+3)+89(a>0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f(x)=3x -b 的图象上，则b= . 解析:对于y=log a (x+3)+89，令x+3=1，得x=-2，则y=89，所以函数y=log a (x+3)+89(a>0，a ≠1)的图象恒过定点A(-2，89)，又点A 也在函数f(x)=3x -b 的图象上，则89=3-2-b ，求得b=-79.答案:-79[例1] 已知函数y=f(x)的定义域是[0，2]，那么g(x)=f (x 2)1+lg (x+1)的定义域是( )A.(-1，-910)∪(-910，√2]B.(-1，√2]C.(-1，-910)D.(-910，√2)解析:依题意，{0≤x 2≤2,x +1>0,1+lg (x +1)≠0,解得-1<x<-910或-910<x ≤√2.故选A.[例2] 已知函数y=log 3x 的图象上有两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，且线段AB 的中点在x 轴上，则x 1·x 2= .解析:因为函数y=log 3x 的图象上有两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，所以y 1=log 3x 1，y 2=log 3x 2.根据中点坐标公式得y1+y2=0，即log3x1+log3x2=0，所以log3(x1x2)=0，x1·x2=1.答案:1[例3] (1)求函数f(x)=log a(a x-1)(a>0，且a≠1)的定义域;(2)求函数f(x)=log a[(a-1)x-1]的定义域.解:(1)由a x-1>0，即a x>1，当a>1时，f(x)的定义域为(0，+∞)，当0<a<1时，f(x)的定义域为(-∞，0).(2)由题意(a-1)x-1>0，且a>0，a≠1，当a>1时，x>1;a-1.当0<a<1时，x<1a-1所以当a>1时，f(x)的定义域为(1，+∞);a-1当0<a<1时，f(x)的定义域为(-∞，1).a-1[例4] 已知函数f(x)=lg(a x-b x)(a>1>b>0).(1)求y=f(x)的定义域;(2)证明f(x)是增函数;(3)当a，b满足什么条件时，f(x)在(1，+∞)上恒取正值?(1)解:要使函数有意义，必有a x-b x>0，a>1>b>0，可得(a) x>1，解得x>0，b函数的定义域为(0，+∞).(2)证明:设g(x)=a x-b x，再设x1，x2是(0，+∞)上的任意两个数，且x1<x2，则g(x1)-g(x2)=a x1-b x1-a x2+b x2=(a x1-a x2)+(b x2-b x1)，对于函数y=a x为增函数，y=b x为减函数，所以a x1-a x2<0，b x2-b x1<0，所以g(x1)-g(x2)<0，所以g(x)在(0，+∞)上为增函数，因为y=lg x在(0，+∞)上为增函数，所以f(x)在(0，+∞)上为增函数.(3)解:因为f(x)在(1，+∞)上单调递增，所以命题f(x)恰在(1，+∞)取正值等价于f(1)≥0，所以a-b≥1.选题明细表基础巩固1.函数f(x)=ln(x+2)+的定义域为( B )√2-xA.(2，+∞)B.(-2，2)C.(-∞，-2)D.(-∞，2)解析:由题意可知{x +2>0,2-x >0,解得-2<x<2.故选B.2.已知f(x)=a -x ，g(x)=log a x ，且f(2)·g(2)>0，则函数f(x)与g(x)的图象是( D )解析:因为f(2)·g(2)>0，所以a>1，所以f(x)=a -x 与g(x)=log a x 在其定义域上分别是减函数与增函数.故选D.3.已知函数f(x)=a x-1+log b x-1(a>0，且a ≠1，b>0，且b ≠1)，则f(x)的图象过定点( C ) A.(0，1) B.(1，1) C.(1，0) D.(0，0)解析:当x=1时，f(1)=a 0+log b 1-1=1+0-1=0，所以f(x)的图象过定点(1，0).故选C.4.(多选题)函数f(x)=log a (x+2)(0<a<1)的图象过( BCD ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解析:作出函数f(x)=log a (x+2)(0<a<1)的大致图象如图所示，则函数f(x)的图象过第二、第三、第四象限.故选BCD.5.已知f(x)为对数函数，f(12)=-2，则f(√43)= .解析:设f(x)=log a x(a>0，且a ≠1)，则log a 12=-2，所以1a2=12，即a=√2，所以f(x)=lo g √2x ，所以f(√43)=lo g √2 √43=log 2(√43)2=log 2243=43.答案:436.(2021·江苏启东期末)已知函数f(x)=log a (x+b)(a>0，a ≠1，b ∈R)的图象如图所示，则a= ，b= .解析:由图象得{log a (0+b )=2,log a (-2+b )=0,解得{a =√3,b =3.答案:√3 3能力提升7.已知函数y=lg(x 2-3x+2)的定义域为A ，y=lg(x-1)+lg(x-2)的定义域为B ，则( D ) A.A ∩B= B.A=BC.A ⫋BD.B ⫋A解析:由x 2-3x+2>0，解得x<1或x>2，所以A=(-∞，1)∪(2，+∞);由{x -1>0,x -2>0,解得x>2，所以B=(2，+∞).故B ⫋A.故选D.8.已知等式log 2m=log 3n ，m ，n ∈(0，+∞)成立，那么下列结论:①m=n;②n<m<1;③m<n<1;④1<n<m;⑤1<m<n.其中可能成立的是( B ) A.①② B.①②⑤ C.③④ D.④⑤解析:当m=n=1时，有log 2m=log 3n ，故①可能成立;当m=14，n=19时，有log 2m=log 3n=-2，故②可能成立;当m=4，n=9时，有log 2m=log 3n=2，此时1<m<n ，故⑤可能成立.可能成立的是①②⑤.故选B. 9.如图，四边形OABC 是面积为8的平行四边形，OC ⊥AC ，AC 与BO 交于点E.某对数函数y=log a x(a>0，且a ≠1)的图象经过点E 和点B ，则a= .解析:设点E(b ，c)，则C(b ，0)，A(b ，2c)，B(2b ，2c)，则{2bc =8,log a b =c ,log a (2b )=2c ,解得b=c=2，a=√2.答案:√210.已知f(x)=|log 3x|. (1)画出函数f(x)的图象;(2)讨论关于x 的方程|log 3x|=a(a ∈R)的解的个数. 解:(1)f(x)={log 3x ,x ≥1,-log 3x ,0<x <1,函数f(x)的图象如图所示.(2)设函数y=|log 3x|和y=a ，当a<0时，两图象无交点，原方程解的个数为0个. 当a=0时，两图象只有1个交点，即原方程只有1个解. 当a>0时，两图象有2个交点，即原方程有2个解. 11.已知函数f(x)=log 2[ax 2+(a-1)x+14].(1)若定义域为R ，求实数a 的取值范围; (2)若值域为R ，求实数a 的取值范围.解:(1)要使f(x)的定义域为R ，则对任意实数x 都有t=ax 2+(a-1)x+14>0恒成立.当a=0时，不合题意;当a ≠0时，由二次函数图象(图略)可知{a >0,Δ=(a -1)2-a <0,解得3-√52<a<3+√52.故所求实数a 的取值范围为(3-√52，3+√52).(2)要使f(x)的值域为R ，则有t=ax 2+(a-1)x+14的值域必须包含(0，+∞).当a=0时，显然成立;当a ≠0时，由二次函数图象(图略)可知，其图象必须与x 轴相交，且开口向上，所以{a >0,Δ=(a -1)2-a ≥0, 解得0<a ≤3-√52或a ≥3+√52.故所求a 的取值范围为[0，3-√52]∪[3+√52，+∞).应用创新12.已知函数f(x)=|log 2x|，正实数m ，n 满足m<n ，且f(m)=f(n)，若f(x)在区间[m 2，n]上的最大值为2，则n+m= . 解析:根据题意并结合函数f(x)=|log 2x|的图象知，0<m<1<n ，所以0<m 2<m<1.根据函数图象易知，当x=m 2时函数f(x)取得最大值，所以f(m 2)=|log 2m 2|=2.又0<m<1，解得m=12.再结合f(m)=f(n)求得n=2，所以n+m=52.答案:52。

浙江省2018版高一数学人教版A版必修一学案：第二单元习题课基本初等函数(Ⅰ)

习题课　基本初等函数(Ⅰ)学习目标　1.能够熟练进行指数、对数的运算(重点).2.进一步理解和掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质，并能应用它们的图象和性质解决相关问题(重、难点)．1．三个数60.7,0.76，log 0.76的大小顺序是( )A ．0.76<60.7<log 0.76 B ．0.76<log 0.76<60.7C ．log 0.76<60.7<0.76 D ．log 0.76<0.76<60.7解析　由指数函数和对数函数的图象可知：60.7>1,0<0.76<1，log 0.76<0，∴log 0.76<0.76<60.7，故选D ．答案　D2．已知0<a <1，－1<b <0，则函数y ＝a x ＋b 的图象必定不经过( )A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限解析　因为0<a <1，所以函数y ＝a x 的图象过(0,1)，且过第一、二象限，又－1<b <0，所以函数y ＝a x ＋b 的图象可认为是由y ＝a x 的图象向下平移|b |个单位得到的，所以函数y ＝a x ＋b 的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．答案　C 3．lg 32－lg ＋lg ＝________.124385解析　原式＝lg 25－lg 2＋lg 5＝lg 2－2lg 2＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)124332125212121212＝lg 10＝.1212答案　124．函数f (x )＝log 2(－x 2＋2x ＋7)的值域是________．解析　∵－x 2＋2x ＋7＝－(x －1)2＋8≤8，∴log 2(－x 2＋2x ＋7)≤log 28＝3，故f (x )的值域是(－∞，3]．答案　(－∞，3]类型一　指数与对数的运算【例1】　计算：(1)2log 32－log 3＋log 38－5log 53；329(2)0.064－－＋[(－2)3]－＋16－0.75＋0.01.13(－78)4312解　(1)原式＝log 3－3＝2－3＝－1.22×8329(2)原式＝0.43×－1＋2－4＋24×＋0.1＝－1＋＋＋＝.521161811014380规律方法　指数、对数的运算应遵循的原则(1)指数的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算；其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的；(2)对数的运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明的常用技巧．【训练1】　计算：(1)－0＋0.25×－4；3(－4)3(12)12(－12)(2)log 3＋2log 510＋log 50.25＋71－log 72.4273解　(1)原式＝－4－1＋×()4＝－3.122(2)原式＝log 3＋log 5(100×0.25)＋7÷7log 72＝log 33－＋log 552＋＝－＋2＋＝.14721472214类型二　指数、对数型函数的定义域、值域【例2】　(1)求函数y ＝x 2－2x ＋2(0≤x ≤3)的值域；(12)(2)已知－3≤x ≤－，求函数f (x )＝log 2·log 2的最大值和最小值．log1232x 2x4解　(1)令t ＝x 2－2x ＋2，则y ＝t .又t ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1,0≤x ≤3，∴当x ＝1时，(12)t min ＝1；当x ＝3时，t max ＝5.故1≤t ≤5，∴5≤y ≤1，故所求函数的值域为.(12)(12)[132，12](2)∵－3≤x ≤－，∴≤log 2x ≤3，log123232∴f (x )＝log 2·log 2＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝2－.x2x4(log2x －32)14当log 2x ＝3时，f (x )max ＝2，当log 2x ＝时，32f (x )min ＝－.14规律方法　函数值域(最值)的求法(1)直观法：图象在y 轴上的“投影”的范围就是值域的范围．(2)配方法：适合二次函数．(3)反解法：有界量用y 来表示．如y ＝中，由x 2＝≥0可求y 的范围，可得值1－x 21＋x 21－y1＋y 域．(4)换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，特别注意新变量的范围．(5)单调性：特别适合于指、对数函数的复合函数．【训练2】　(1)函数f (x )＝＋的定义域是________．3x 21－x lg (3x ＋1)(2)函数f (x )＝Error!的值域为________．解析　(1)由题意可得Error!解得0≤x <1，则f (x )的定义域是[0,1)．(2)当x ≥1时，x ≤1＝0，当x <1时，0<2x <21＝2，log12log12所以f (x )的值域为(－∞，0]∪(0,2)＝(－∞，2)．答案　(1)[0,1)　(2)(－∞，2)类型三　指数函数、对数函数、幂函数的图象问题【例3】　(1)若log a 2<0(a >0，且a ≠1)，则函数f (x )＝a x ＋1的图象大致是( )(2)当0<x ≤时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )12A ． B ． C ．(1，)D ．(，2)(0，22)(22，1)22解析　(1)由log a 2<0(a >0，且a ≠1)，可得0<a <1，函数f(x )＝a x ＋1＝a ·a x ，故函数f (x )在R 上是减函数，且经过点(0，a )，故选A ．(2)∵0<x ≤时，1<4x ≤2，要使4x <log a x ，由对数函数的性质可得0<a <1，数形结合可知12只需2<log a x ，∴Error!即Error!对0<x ≤时恒成立，12∴Error!解得<a <1，故选B ．22答案　(1)A (2)B规律方法　函数图象及应用(1)根据函数解析式特征确定其图象时，一般要从函数的性质(如单调性、奇偶性)和函数图象所过的定点，或函数图象的变换等几个方面考虑，若是选择题，还要结合选择题的排除法求解．(2)判断方程根的个数、求参数问题，若不能具体解方程或不等式，则一般转化为判断指数函数、对数函数、幂函数等图象交点个数问题．【训练3】　(1)函数y ＝Error!的图象大致是( )(2)已知a >0且a ≠1，函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则a 的取值范围是________．解析　(1)当x <0时，y ＝x 2的图象是抛物线的一部分，可排除选项C 和D ；当x ≥0时，y ＝2x －1的图象是由y ＝2x 的图象向下平移一个单位得到，故排除A ，选B ．(2)当a >1时，在同一坐标系中作出函数y ＝|a x －2|和y ＝3a 的图象，因为a >1，所以3a >3，故两函数图象只有一个交点．当0<a <1时，在同一坐标系中作出函数y ＝|a x －2|和y ＝3a 的图象，若使二者有两个交点，则0<3a <2，即0<a <，23综上所述，a 的取值范围是.(0，23)答案　(1)B (2)(0，23)类型四　比较大小问题【例4】　比较下列各组中两个值的大小：(1)1.10.9，log 1.10.9，log 0.70.8；(2)log 53，log 63，log 73.解　(1)∵1.10.9>1.10＝1，log 1.10.9<log 1.11＝0,0＝log 0.71<log 0.70.8<log 0.70.7＝1，∴1.10.9>log 0.70.8>log 1.10.9.(2)∵0<log 35<log 36<log 37，∴log 53>log 63>log 73.规律方法　数(式)的大小比较常用的方法及技巧(1)常用方法：作差法(作商法)、单调性法、图象法、中间量法．(2)常用的技巧：①当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．②比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”、“大于等于0小于等于1”、“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．【训练4】　(1)已知a ＝log 20.3，b ＝20.3，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是( )A ．a >b >c B ．b >a >cC ．b >c >aD ．c >b >a(2)设a ＝2，b ＝3，c ＝0.3，则( )log13log12(13)A ．a 20＝1,0<c ＝0.30.2<0.30＝1，∴b >c >a .故选C ．(2)∵a ＝2<0，b ＝3<0，3<2<2，c ＝0.3>0.∴b <a <c .故选D ．log13log12log12log12log13(13)答案　(1)C (2)D类型五　指数函数、对数函数、幂函数的综合应用【例5】　已知函数f (x )＝lg 在x ∈(－∞，1]上有意义，求实数a 的取值范1＋2x ＋a ·4x3围．解　因为f (x )＝lg在x ∈(－∞，1]上有意义，1＋2x ＋a ·4x3所以1＋2x ＋a ·4x >0在(－∞，1]上恒成立．因为4x >0，所以a >－在(－∞，1]上恒成立．[(14)x ＋(12)x ]令g (x )＝－，x ∈(－∞，1]．[(14)x ＋(12)x ]由y ＝－x 与y ＝－x 在(－∞，1]上均为增函数，可知g (x )在(－∞，1]上也是增函数，(14)(12)所以g (x )max ＝g (1)＝－＝－.(14＋12)34因为a >－在(－∞，1]上恒成立，[(14)x ＋(12)x ]所以a 应大于g (x )的最大值，即a >－.34故所求a 的取值范围为.(－34，＋∞)规律方法　函数性质的综合应用指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图象变换等分段化归为基本的指数、对数、幂函数来研究．【训练5】　函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0<a <1)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－2，求a 的值．解　(1)要使函数有意义，则有Error!解得－3<x <1，∴定义域为(－3,1)．(2)函数可化为f (x )＝log a [(1－x )(x ＋3)]＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]．∵－3<x <1，∴0<－(x ＋1)2＋4≤4.∵0<a <1，∴log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4.由log a 4＝－2，得a －2＝4，∴a ＝4－＝.12121．函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题．2．从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查．。

2017-2018学年高中数学人教A版必修1学案：2.2对数函数知识导学案及答案

ab=N.
对数的运算性质就是把真数的乘、除、乘方降级为对数的加、减、乘运算
.
一般地 , 我们称 log aN= log b N 为对数的换底公式 . 换底公式是对数中一个非常重要的公 log b a
式, 这是因为它是对一个对数进行变形运算的主要依据之一
, 是对数的运算性质 . 对数运算性
质应用的前提是式子中对数的底相同 . 若底不同则需要利用换底公式化为底相同的
底数 0 到 1 之间 , 图象从上往下减 .
无论函数增和减 , 图象都过 (1,0) 点.
比较两个对数型的数的大小是一种常见的题型
, 好好把握 .
两个同底数的对数比较大小的一般步骤 :
①确定所要考查的对数函数 ;
②根据对数底数判断对数函数增减性 ;
③比较真数大小 , 然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小
. 我们在
应用换底公式时 , 一方面要证明它和它的几个推论 ; 另一方面要结合构成式子的各对数的特
点选择一个恰当的数作为对数的底 , 不要盲目地换底 , 以简化我们的解题过程 .
有了对数的概念后 , 要求 log 0. 840.5 的值 , 我们需要引入两个常用的对数 : 常用对数和自
然对数 . 常用对数是指以 10 为底的对数 ; 自然对数是指以 e(e=2.718 28… , 是一个无理数 ) 为
图象关于直线 y=x 对称 .
x
因此 , 我们只要画出和 y=a 的图象关于直线 y=x 对称的曲线 , 就可以得到 y=log ax 的图象 ,
然后根据图象特征得出对数函数的性质 .
疑难导析
通过将对数函数与指数函数的图象进行对比 , 可以发现 : 当 a>1 或 0<a<1 时 , 对数函数与

[推荐学习]2018-2019学年高中数学人教版A版必修一学案：第二单元 2.2.2 第2课时对数

第2课时对数函数及其性质的应用学习目标 1.进一步理解对数函数的性质(重点).2.能运用对数函数的性质解决相关问题(重、难点)．题型一比较对数值的大小【例1】(1)若a＝log23，b＝log32，c＝log46，则下列结论正确的是()A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a(2)下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)()A．log a5.1<log a5.9B．log122.1>log122.2C．log1.1(a＋1)<log1.1a D．log32.9<log0.52.2解析(1)因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，a＝log23＝log49>log46>1，log32<1，所以b<c<a.(2)对于选项A，因为a和1大小的关系不确定，无法确定指数函数和对数函数的单调性，故A不成立；对于选项B，因为以12为底的对数函数是减函数，所以成立；对于选项C，因为以1.1为底的对数函数是增函数，所以不成立；对于选项D，log32.9>0，log0.52.2<0，故不成立，故选B．答案(1)D(2)B规律方法比较对数值大小时常用的四种方法(1)同底数的利用对数函数的单调性．(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．(3)底数和真数都不同，找中间量．(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．【训练1】比较下列各组中两个值的大小：(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)log aπ，log a3.14(a>0，a≠1)．解(1)因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以log31.9<log32.(2)因为log 23>log 21＝0，log 0.32<log 0.31＝0，所以log 23>log 0.32.(3)当a >1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，则有log a π>log a 3.14；当0<a <1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，则有log a π<log a 3.14.综上所得，当a >1时，log a π>log a 3.14；当0<a <1时，log a π<log a 3.14.题型二与对数函数有关的值域和最值问题【例2】 (1)函数f (x )＝log 12(x 2＋2x ＋3)的值域是________．(2)若函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值等于________．(3)求y ＝(log 12 x )2－12log 12x ＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．解析 (1)f (x )＝log 12 (x 2＋2x ＋3)＝log 12 [(x ＋1)2＋2]，因为(x ＋1)2＋2≥2，所以log 12[(x＋1)2＋2]≤log 122＝－1，所以函数f (x )的值域是(－∞，－1]．(2)当a >1时，f (x )在[0,1]上单调递增，则最大值和最小值之和为f (1)＋f (0)＝a ＋log a 2＋1＝a ，解得a ＝12，不满足a >1，舍去；当0<a <1时，f (x )在[0,1]上单调递减，则最大值和最小值之和为f (0)＋f (1)＝1＋a ＋log a 2＝a 解得a ＝12，符合题意．答案 (1)(－∞，－1] (2)12(3)解因为2≤x ≤4，所以log 12 2≥log 12 x ≥log 124，即－1≥log 12 x ≥－2.设t ＝log 12x ，则－2≤t ≤－1，所以y ＝t 2－12t ＋5，其图象的对称轴为直线t ＝14，所以当t ＝－2时，y max ＝10；当t ＝－1时，y min ＝132.规律方法求函数值域或最大(小)值的常用方法(1)直接法：根据函数解析式的特征，从函数自变量的变化范围出发，通过对函数定义域、性质的观察，结合解析式，直接得出函数值域．(2)配方法：当所给的函数是可化为二次函数形式的(形如y ＝a ·[f (log a x )]2＋bf (log a x )＋c ，求函数值域问题时，可以用配方法．(3)单调性法：根据在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域．(4)换元法：求形如y ＝log a f (x )型函数值域的步骤：①换元，令u ＝f (x )，利用函数图象和性质求出u 的范围；②利用y ＝log a u 的单调性、图象求出y 的取值范围．【训练2】函数f (x )＝log 12(3＋2x －x 2)的值域为________．解析设u ＝3＋2x －x 2＝－(x －1)2＋4≤4，因为u >0，所以0<u ≤4，又y ＝log 12u 在(0，＋∞)上为减函数，所以log 12 u ≥log 124＝－2，所以函数f (x )的值域为[－2，＋∞)．答案 [－2，＋∞)【例3－1】已知log 0.3(3x )<log 0.3(x ＋1)，则x 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞B ．⎝⎛⎭⎫－∞，12C ．⎝⎛⎭⎫－12，12D ．⎝⎛⎭⎫0，12 解析因为函数y ＝log 0.3x 是(0，＋∞)上的减函数，所以原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 3x >0，x ＋1>0，3x >x ＋1，解得x >12. 答案 A方向2 与对数函数有关的奇偶性问题【例3－2】已知函数f (x )＝log a x ＋1x －1(a >0，且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性，并求函数的单调区间．解 (1)要使此函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，x －1<0，解得x >1或x <－1，故此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(2)由(1)可得f (x )的定义域关于原点对称．∵f (－x )＝log a －x ＋1－x －1＝log a x －1x ＋1＝－log a x ＋1x －1＝－f (x )，∴f (x )为奇函数． f (x )＝log a x ＋1x －1＝log a ⎝⎛⎭⎫1＋2x －1，函数u ＝1＋2x －1在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减，所以当a >1时，f (x )＝log a x ＋1x －1在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减；当0<a <1时，f (x )＝log a x ＋1x －1在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增．方向3 与对数函数有关的复合函数的单调性【例3－3】 (1)求函数y ＝log 0.3(3－2x )的单调区间；(2)函数f (x )＝log 13(3x 2－ax ＋7)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围．解 (1)由3－2x >0，解得x <32，设t ＝3－2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，32，∵函数y ＝log 0.3t 是减函数，且函数t ＝3－2x 是减函数，∴函数y ＝log 0.3(3－2x )在⎝⎛⎭⎫－∞，32上是增函数，即函数y ＝log 0.3(3－2x )的单增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，32，没有单减区间． (2)解令t ＝3x 2－ax ＋7，则y ＝log 13t 单调递减，故t ＝3x 2－ax ＋7在[－1，＋∞)上单调递增且t >0.因为t ＝3x 2－ax ＋7的对称轴为x ＝a 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 6≤－1，10＋a >0，解得－10<a ≤－6，故a 的取值范围为(－10，－6]．规律方法 1.两类对数不等式的解法(1)形如log a f (x )<log a g (x )的不等式．①当0<a <1时，可转化为f (x )>g (x )>0；②当a >1时，可转化为0<f (x )<g (x )．(2)形如log a f (x )a b ；②当a >1时，可转化为0<f (x )<a b .2．形如y ＝log a f (x )的函数的单调性首先要确保f (x )>0，当a >1时，y ＝log a f (x )的单调性在f (x )>0的前提下与y ＝f (x )的单调性一致．当0<a <1时，y ＝log a f (x )的单调性在f (x )>0的前提下与y ＝f (x )的单调性相反．【训练3】若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________.解析由于f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即－x ln(－x ＋a ＋x 2)＝x ln(x ＋a ＋x 2)，即x ln(x ＋x 2＋a )＋x ln(－x ＋a ＋x 2)＝0， ∴x ln a ＝0，又∵x 不恒为0，∴ln a ＝0，a ＝1.答案 1课堂达标1．不等式log 12 (2x ＋3)< log 12(5x －6)的解集为( )A ．(－∞，3)B ．⎝⎛⎭⎫－32，3 C ．⎝⎛⎭⎫－32，65 D ．⎝⎛⎭⎫65，3 解析由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3>0，5x －6>0，2x ＋3>5x －6，解得65<x <3. 答案 D 2．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( )A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a log 54>log 53>log 51＝0，∴1>a ＝log 54>log 53>b ＝(log 53)2.又∵c ＝log 45>log 44＝1.∴c >a >b .答案 D3．函数y ＝log 12(x 2－6x ＋11)的值域为________．解析 ∵x 2－6x ＋11＝(x －3)2＋2≥2，∴log 12 (x 2－6x ＋11)≤log 122＝－1，故所求函数的值域为(－∞，－1]．答案(－∞，－1]4．函数f(x)＝log2x2的单调递增区间是________．解析令t＝x2，易知t＝x2在(0，＋∞)单调递增，而y＝log2t在(0，＋∞)上单增，故f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)．答案(0，＋∞)5．判断函数f(x)＝log2(x2＋1＋x)的奇偶性．解易知f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f(－x)＋f(x)＝log2(x2＋1－x)＋log2(x2＋1＋x)＝log2(x2＋1－x2)＝log21＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．课堂小结1．比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性．若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a＞1和0＜a＜1两类分别求解．2．解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用．。

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第二章第二节对数函数第六课时导入新课思路1.复习指数函数与对数函数的关系，那么函数与函数y=\og（l x到底还有什么关系呢？这就是本堂课的新内容——反函数，教师板书课题：对数函数及其性质（3）.思路2.在比较系统地学习对数函数的定义、图彖和性质的基础上，利用对数函数的图彖和性质研究一些含有对数式的、形式上比较复杂的函数的图象和性质，特別明确了对数函数的单调性，并且我们通过对数函数的单调性解决了有关问题.因此应搞清与函数）, =log沁的关系，培养学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力.教师点出课题：对数函数及其性质（3）.推进新课新知探究：提出问题①用列表描点法在同一个直角坐标系中画出X=log2）\ y=2x与y=log2X的函数图象.②通过图象探索在指数函数中，x为自变量，），为因变量，如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是歹的函数吗？③如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由.④探索）=2"与x=log2y的图象间的关系.⑤探索）=2、与y=log2x的图象间的关系.⑥结合②与⑤推测函数＞=/与函数y=log（t x的关系.X• • •-3-2-10123• • •Y• • •1814121248• • •y=log2x.Y• • •-3-2-10123• • •X• • •1814121248• • •图象如图7.②在指数函数）=2”屮，x是自变量，y是兀的函数（xeR,）€对），而且其在R上是单调递增函数.过y轴的正半轴上任意一点作兀轴的平行线，与y=2x的图象有且只有一个交点，即对任意的y都有唯一的x相对应，可以把y作为自变量，兀作为），的函数.③由指数式与对数式的关系，y=2A'得x=logM，即对于每一个y,舌关系式x=log2『的作用之下，都有唯一确定的值兀和它对应，所以，可以把y作为自变量，x作为y的函数，即x=log2y.这吋我们把函数x=log2y +°°））叫做函数y=2\x^R）的反函数，但习惯上，通常以兀表示自变量，y表示函数，对调x=\og2y中的兀，丿写成j?=log2x,这样）= log2x （xe （O, +°°））是指数函数y=2"（xWR）的反函数.由上述讨论可知，对数函数j=log2x（xe（O, +8））是指数函数y=2A（xeR）的反函数；同时，指数函数y=2\x^R）也是对数函数y=log2X （x^（0, +°°））的反函数.因此，指数函数y=2A（x^R）与对数函数y=log2x （xe（o, +-））互为反函数.以后，我们所说的反函数是X,），对调后的惭数.如y=logw兀丘（0, +呵与）=3$WR）互为反函数，y=log0.sx与y=0.5'（兀WR）互为反函数.④从我们的列表中知道，尸F与X=10gM的函数图象相同.⑤通过观察图象可知，y=2v与y=Iog2X的图象关于直线对称.⑥通过②与⑤类比归纳知道，y=c'(a>0,且aHl)的反函数是)=lo财(a>0且aHl), 且它们的图象关于直线y=x对称.由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数，它们的图象关于直线y =兀对称.提出问题(1)用计算机在同一坐标系中作出下列函数的图象：®y=log3X；②y=log3(x+l)；③y= l0g3(X-l).(2)从图彖上观察它们之间有什么样的关系？(3)用计算机在同一坐标系中作出下列函数的图彖：①y=logs%；②y=logM+l；③尸log^-1.,⑷从图彖上观察它们之间有什么样的关系？(5)你能推广到一般的情形吗?活动：学生动手画出函数图象，教师点拨，学生没有思路教师可以提示.学生回忆函数作图的方法与步骤，按规定作出图象，特别是关键点.讨论结果：(1)如图&(2)观察图8可以看出,y=log共,y=log3(兀+1), y=log3(x—1)的图象间有如下关系: y=log3(x+l)的图象由y=lo g3x的图象向左移动1个单位得到；y=log?U-l)的图象由y=log秋的图象向右移动1个单位得到；J=log3(x—1)的图象由)=10g3(兀+1)的图象向右移动2个单位得到；,V = 10g3(x+l)的图象由,V = 10g3(A—1)的图象向左移动2个单位得到.(3)如图9.(4)观察图9 "J以看出，y=log3X，y=log3x+l，y=logax—1的图象间有如下关系：y=log3%+l的图彖由y=logsx的图彖向上平移1个单位得到；y=log3X—1的图彖由y=lo莎的图彖向下平移1个单位得到；)=10时一1的图象由)=logsx+l的图象向下平移2个单位得到；)=log秋+1的图象由y=log^-l的图象向上平移2个单位得到.(5)由上面的观察讨论可知，一般情况如下：①由函数y=\o^x的图象得到函数y=\og a(x+h)的图象的变化规律为：当/?>0吋，只需将函数y=log泌的图象向左平移h个单位就可得到函数y=log“(x+/2)的图象；当/?<()时，只需将函数y=\og(l x的图象向右平移|川个单位就可得到函数y=loga(x+/2)的图彖.②由函数)=1。

高中数学2.2.2对数函数及其性质(3)学案新人教A版必修1

2. 2. 2 （3）对数函数及其性质（学生学案）（内容：指数函数与对数函数的关系）表例1 ：在同一坐标系中，作出函数 y 2与y log 2 x 的图象,并观察两图象之间有何关系。

例2 :求下列函数的反函数：（1）y=3X ；（ 2）y=lnx ；（ 3）y= - ；（ 4） y xx小结：求函数的反函数的步骤：（1）求定义；（2）反解；（3）互换性质：反函数的定义域就是原函数的值域。

变式训练1 ：在同一坐标系中，作出函数y G )x 与 y2log 2 X 的图象，并观察两图象之间有何关系。

变式训练2 :求下列函数的反函数：(1) y=x+1; (2) y= e x ； (3)y= log 2(x 1) 例3 :作出下列函数的图象： (1) y=|lgx| ; (2) y=lg|x| 变式训练3 :作出下列函数的图象： (1)y =| log 1 x | ; (2) y=ln|x| ; (3)y= 2M 2例4 :解下列不等式： 2(1)log 1(2x 1)0； (2) log,2x 1) 0 ； (3)log 1(2x 1) 0 ； (4)log 2(x x) 12 2 2 2(5) log 2(x x) 1 变式训练：解下列不等式： 2 2 2(1) log 2(x 2x)3 ； (2) log 2(x 4x) 5 ； (3) log 1 (x 2x) 13布置作业： A 组： 1、在同一坐标系中，作出函数 y=lgx 与y 10x 的图象，并分别写出它们的定义域，值域，单调递增区间。

2、求下列函数的反函数 V1 (1) y=2x+3 ； (2) y=ln(x+1) ； (3) y=10 - 3、解下列不等式: (1) lg(x2 3x) 1 ； (2) log 1 (x 28x) 3 2； (3) logN 1)1；2x4、判断下列函数的奇偶性 1 x (1) y log 3 ； (2) y=log a |x| ； (3) y=2|x| 1 x B 组： 3 1、(tb0218719)若a>0且a 1，且log a <1，则实数 a 的取值范围是( 43 (A ) 0<a<1 (B)0<a< (C) a> 4 2、函数 y l°g 2(x x 1)(x 3 3 或 0<a< (D)0<a< 4 4 R)的奇偶性为[ ] 3 或 a>14 A.奇函数而非偶函数 B •偶函数而非奇函数 C •非奇非偶函数 D •既奇且偶函数。

人教版高一数学必修1第二章《对数与对数运算》学案第二课时换底公式及对数的应用

§2.2.1对数与对数运算3（换底公式及对数的应用）班级：高一（）姓名：学号：学习目标：1、理解并掌握对数的换底公式2、运用对数运算性及公式质解决有关问题学习重点、难点：对数的换底公式，对数运算性质及公式的灵活应用自主预习：一、知识梳理：问题引入：数学史上，人们通过大量努力，制作了常用对数表、自然对数表，只要通过查表就可求出任意正数的常用对数或自然对数。

那么有没有方法把其他底的对数转换为以10或e 为底的对数呢？对数的底数能否随意转换?探究：设M b a =log （0>a 且 1≠a ,b>0）由对数的意义有，b a M =，显然M a ＞0，两边取常用对数得：_______________∵ 0>a ，∴M b a lg lg =•，又1≠a ,∴0lg ≠a ，∴M a b lg lg = ，即【总结】更一般地，可得对数的换底公式：【归纳提升】1. 注意换底公式的结构特点：右边分子、分母所换的底必须是同一底，且为真数的对数除以底数的对数。

2. 当b ≠1且b ＞0时，存在倒数关系：二、自我检测1、计算下列各式的值 (1) log 98 log 3227 ; (2) 235111log log log 125323••三、学点探究探究1：对于底不同的对数的运算例1、计算（1）32log 9log 38⨯ （2）a c c a log log •（3）)2log 2(log )3log 3(log 9384+⋅+变式训练一：应用对数换底公式化简下列各式1、（1）16log 25log 9log 125274••（2）)3log 3)(log 2log 2(log 8493++方法小结1：利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想，在解题过程中应注意：1、针对具体问题，选择恰当的底数；2、注意换底公式与对数运算法则结合使用3、换底公式的正用与逆用探究2、对数换底公式的应用例2、已知518,9log 18==b a ，用a 、b 来表示45log 36变式训练二：1、30log ,53,2log 33表示、用b a a b ==2.已知32=x ，y =38log 4，则x+2y= .3.设p =3log 8，q =5log 3，则lg5= （用含p 、q 的式子表示）课后作业：1、应用对数换底公式化简下列各式(1) 84log 27log 9； (2) log 225 log 34 log 59 ;2、若0>a 且 1≠a ，x ，y ∈R 且xy ＞0则下列各式正确的是： ① x x a a log 2log 2= ； ②||log 2log 2x x a a =； ③y x xy a a a log log )(log +=； ④||log ||log )(log y x xy a a a +=3、已知lg2=a,lg3=b ，用a,b 表示代数式log 2716=4、已知 lgN=alnN ; lnN=b lgN, 则a= , b=5、已知514,7log 14==b a ，求28log 356、设3a =4b =36，求21a b +的值7、已知m a =8log ,n a =5log ,请求n m a 2+的值.课后反思：。

2-2-1-2 对数与对数运算(第2课时)对数的运算法则

高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修1
第二章
基本初等函数(Ⅰ)
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第二章
基本初等函数(Ⅰ)
高考调研
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2． 2 对数函数
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第二章
基本初等函数(Ⅰ)
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修1
2.2.1
对数与对数运算(第2课时) 对数的运算法则
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第二章
基本初等函数(Ⅰ)
第13页
第二章
2.2 2.2.1 第2课时
高考调研
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思考题1 下列等式中x>0，y>0，z>0，正确运用对数运算性质的是( )
A．lg(x2y z)＝(lgx)2＋lgy＋ lgz B．lg(x2y z)＝(lgx)2＋lgy＋2lgz C．lg(x2y z)＝2lgx＋lgy＋2lgz 1 D．lg(x y z)＝2lgx＋lgy＋2lgz
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第二章
2.2 2.2.1 第2课时
高考调研
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题型二带有附加条件的对数式求值
例3 已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，求lg 45.
【解析】
1 1 90 lg 45＝ lg45＝ lg 2 2 2
1 1 ＝2(lg9＋lg10－lg2)＝2(2lg3＋1－lg2) 1 1 ＝lg3＋－ lg2 2 2 ＝0.477 1＋0.5－0.150 5＝0.826 6.
对数的运算性质
)
例1 若a＞0且a≠1，则下列各式中正确的个数是( ①logax· logay＝loga(xy)； logax x ②log y＝logay； a ③logax2＝2logax； ④logax＋logay＝loga(x＋y)． A．0 C．2

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第2课时对数函数及其性质的应用学习目标 1.进一步理解对数函数的性质(重点).2.能运用对数函数的性质解决相关问题(重、难点)．题型一比较对数值的大小【例1】(1)若a＝log23，b＝log32，c＝log46，则下列结论正确的是()A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a(2)下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)()A．log a5.1<log a5.9B．log122.1>log122.2C．log1.1(a＋1)<log1.1a D．log32.9<log0.52.2解析(1)因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，a＝log23＝log49>log46>1，log32<1，所以b<c<a.(2)对于选项A，因为a和1大小的关系不确定，无法确定指数函数和对数函数的单调性，故A不成立；对于选项B，因为以12为底的对数函数是减函数，所以成立；对于选项C，因为以1.1为底的对数函数是增函数，所以不成立；对于选项D，log32.9>0，log0.52.2<0，故不成立，故选B．答案(1)D(2)B规律方法比较对数值大小时常用的四种方法(1)同底数的利用对数函数的单调性．(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．(3)底数和真数都不同，找中间量．(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．【训练1】比较下列各组中两个值的大小：(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)log aπ，log a3.14(a>0，a≠1)．解(1)因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以log 31.9<log 32.(2)因为log 23>log 21＝0，log 0.32<log 0.31＝0，所以log 23>log 0.32.(3)当a >1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，则有log a π>log a 3.14；当0<a <1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，则有log a π<log a 3.14.综上所得，当a >1时，log a π>log a 3.14；当0<a <1时， log a π<log a 3.14.题型二与对数函数有关的值域和最值问题【例2】 (1)函数f (x )＝log 12(x 2＋2x ＋3)的值域是________．(2)若函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值等于________．(3)求y ＝(log 12x )2－12log 12x ＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．解析 (1)f (x )＝log 12(x 2＋2x ＋3)＝log 12[(x ＋1)2＋2]，因为(x ＋1)2＋2≥2，所以log 12[(x ＋1)2＋2]≤log 122＝－1，所以函数f (x )的值域是(－∞，－1]．(2)当a >1时，f (x )在[0,1]上单调递增，则最大值和最小值之和为f (1)＋f (0)＝a ＋log a 2＋1＝a ，解得a ＝12，不满足a >1，舍去；当0<a <1时，f (x )在[0,1]上单调递减，则最大值和最小值之和为f (0)＋f (1)＝1＋a ＋log a 2＝a 解得a ＝12，符合题意．答案 (1)(－∞，－1] (2)12(3)解因为2≤x ≤4，所以log 122≥log 12x ≥log 124，即－1≥log 12x ≥－2.设t ＝log 12x ，则－2≤t ≤－1，所以y ＝t 2－12t ＋5，其图象的对称轴为直线t ＝14，所以当t ＝－2时，y max ＝10；当t ＝－1时，y min ＝132. 规律方法求函数值域或最大(小)值的常用方法(1)直接法：根据函数解析式的特征，从函数自变量的变化范围出发，通过对函数定义域、性质的观察，结合解析式，直接得出函数值域．(2)配方法：当所给的函数是可化为二次函数形式的(形如y ＝a ·[f (log a x )]2＋bf (log a x )＋c ，求函数值域问题时，可以用配方法．(3)单调性法：根据在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域． (4)换元法：求形如y ＝log a f (x )型函数值域的步骤：①换元，令u ＝f (x )，利用函数图象和性质求出u 的范围；②利用y ＝log a u 的单调性、图象求出y 的取值范围．【训练2】函数f (x )＝log 12(3＋2x －x 2)的值域为________．解析设u ＝3＋2x －x 2＝－(x －1)2＋4≤4，因为u >0，所以0<u ≤4，又y ＝log 12u 在(0，＋∞)上为减函数，所以log 12u ≥log 124＝－2，所以函数f (x )的值域为[－2，＋∞)．答案 [－2，＋∞)【例3－1】已知log 0.3(3x )<log 0.3(x ＋1)，则x 的取值范围为( ) A ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 C ．⎝⎛⎭⎫－12，12 D ．⎝⎛⎭⎫0，12 解析因为函数y ＝log 0.3x 是(0，＋∞)上的减函数，所以原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x >0，x ＋1>0，3x >x ＋1，解得x >12.答案 A方向2 与对数函数有关的奇偶性问题【例3－2】已知函数f (x )＝log a x ＋1x －1(a >0，且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性，并求函数的单调区间．解 (1)要使此函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，x －1<0，解得x >1或x <－1，故此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． (2)由(1)可得f (x )的定义域关于原点对称．∵f (－x )＝log a －x ＋1－x －1＝log a x －1x ＋1＝－log a x ＋1x －1＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．f (x )＝log a x ＋1x －1＝log a ⎝⎛⎭⎫1＋2x －1，函数u ＝1＋2x －1在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减，所以当a >1时，f (x )＝log a x ＋1x －1在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减；当0<a <1时，f (x )＝log a x ＋1x －1在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增．方向3 与对数函数有关的复合函数的单调性【例3－3】 (1)求函数y ＝log 0.3(3－2x )的单调区间；(2)函数f (x )＝log 13(3x 2－ax ＋7)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围．解 (1)由3－2x >0，解得x <32，设t ＝3－2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，32，∵函数y ＝log 0.3t 是减函数，且函数t ＝3－2x 是减函数，∴函数y ＝log 0.3(3－2x )在⎝⎛⎭⎫－∞，32上是增函数，即函数y ＝log 0.3(3－2x )的单增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，32，没有单减区间． (2)解令t ＝3x 2－ax ＋7，则y ＝log 13t 单调递减，故t ＝3x 2－ax ＋7在[－1，＋∞)上单调递增且t >0.因为t ＝3x 2－ax ＋7的对称轴为x ＝a6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 6≤－1，10＋a >0，解得－10<a ≤－6，故a 的取值范围为(－10，－6]．规律方法 1.两类对数不等式的解法 (1)形如log a f (x )<log a g (x )的不等式． ①当0<a <1时，可转化为f (x )>g (x )>0；②当a >1时，可转化为0<f (x )<g (x )．(2)形如log a f (x )a b ； ②当a >1时，可转化为0<f (x )<a b . 2．形如y ＝log a f (x )的函数的单调性首先要确保f (x )>0，当a >1时，y ＝log a f (x )的单调性在f (x )>0的前提下与y ＝f (x )的单调性一致．当0<a <1时，y ＝log a f (x )的单调性在f (x )>0的前提下与y ＝f (x )的单调性相反．【训练3】若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析由于f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即－x ln(－x ＋a ＋x 2)＝x ln(x ＋a ＋x 2)，即x ln(x ＋x 2＋a )＋x ln(－x ＋a ＋x 2)＝0，∴x ln a ＝0，又∵x 不恒为0，∴ln a ＝0，a ＝1. 答案 1课堂达标1．不等式log 12(2x ＋3)< log 12(5x －6)的解集为( )A ．(－∞，3)B ．⎝⎛⎭⎫－32，3 C ．⎝⎛⎭⎫－32，65 D ．⎝⎛⎭⎫65，3解析由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3>0，5x －6>0，2x ＋3>5x －6，解得65<x <3.答案 D2．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( ) A ．a <c log 54>log 53>log 51＝0， ∴1>a ＝log 54>log 53>b ＝(log 53)2. 又∵c ＝log 45>log 44＝1.∴c >a >b . 答案 D3．函数y＝log12(x2－6x＋11)的值域为________．解析∵x2－6x＋11＝(x－3)2＋2≥2，∴log12(x2－6x＋11)≤log122＝－1，故所求函数的值域为(－∞，－1]．答案(－∞，－1]4．函数f(x)＝log2x2的单调递增区间是________．解析令t＝x2，易知t＝x2在(0，＋∞)单调递增，而y＝log2t在(0，＋∞)上单增，故f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)．答案(0，＋∞)5．判断函数f(x)＝log2(x2＋1＋x)的奇偶性．解易知f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f(－x)＋f(x)＝log2(x2＋1－x)＋log2(x2＋1＋x)＝log2(x2＋1－x2)＝log21＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．课堂小结1．比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性．若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a＞1和0＜a＜1两类分别求解．2．解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用．。