函数的概念及其表示
3.1函数的概念及其表示
3.1函数的概念及其表示【知识清单】一．函数有关概念1.函数的有关概念函数的概念设A ，B 是非空的数集，如果按照某种对应关系f ，使对于集合A 中任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数函数的记法y ＝f (x )，x ∈A 定义域x 叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的定义域值域函数值的集合{f (x )|x ∈A}叫做函数的值域2.区间的概念及表示定义名称符号数轴表示{x |a ≤x ≤b }闭区间[a ，b ]{x |a ≤x <b }半开半闭区间[a ，b ){x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ，b ]{x |a <x <b }开区间(a ，b ){x |x ≥a }半开半闭区间[a ，＋∞){x |x >a }开区间(a ，＋∞){x |x ≤a }半开半闭区间(－∞，a ]{x |x <a }开区间(－∞，a )R 开区间(－∞，＋∞)3.函数的表示方法（1）解析法（2）图像法（3）列表法4.分段函数（1）一般的分段函数指的是在函数整个定义域内，对于自变量x 的不同取值范围有着不同的对应关系的函数。
书写解析式时要分成多段来书写，各段自变量x 的范围的并集正好是完整的定义域。
（2）画分段函数的图像，可以先画各段整体图像，然后截取所需部分即可。
（3）求函数值时，注意带入相应的x 的范围对应的解析式。
【常见题型】一．函数概念的理解1.下列图形(横轴表示x 轴，纵轴表示y 轴)中，表示y 是x 的函数的是()2.设集合 02M x x ， 02N y y ，那么下列四个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有（）A ．①②③④B ．①②③C ．②③D ．②3.如图，设{|02}A x x ，{|12}B y y ，表示A 到B 的函数的是__________(填序号)．4.下列是从集合A 到集合B 的函数的是（）A ．*AB N ，对应法则:3f x y x B ．A R ， 0,1B ，对应法则1,0:0,0x f x y x C ．A B R ，对应法则:f x y xD ．A Z ，B Q ，对应法则1:f x y x二．区间的概念1.用区间表示下列数集：(1){x |x ≥1}＝________；(2){x |2<x ≤4}＝________；(3){x |x >－1，且x ≠2}＝________.2.下列集合不能用区间的形式表示的个数为（）①{0,1,5,10}A ；② 210,x x x N ；③ ；④ x x 是等边三角形；⑤ 03x x x 或；⑥ 1,x x x Q ．A ．2B ．3C ．4D ．53.已知(a-1,3a+2]为一个确定的区间，则a 的取值范围是_________.三．函数三要素的考察1.函数y=x -5+31 x 中自变量x 的取值范围是________．2.函数 13x f x x 的定义域为（）．A ． 1,B ．1, C ． 1,3D ．1,33, 3.函数 2021y x的定义域为（）A {x|x<12}B {x|x>12}C {x|x<12或12<x<3}D {x|x<12或12<x ≤3}4.下列各组函数中，表示同一函数的是()A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z5.已知函数 f x f x 的定义域为R ，则m 的取值范围是________．6.已知函数()f x 的定义域为[1,2]，则函数(12)f x 的定义城是________.7.已知函数(21)y f x 的定义域为 1,2 ，则函数(1) y f x 的定义域为_________.8.函数 f x A ，若3A ，则a 的取值范围是__________．四．函数的表示方法1.作出下列函数的图象并求出其值域．(1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]；(2)y ＝2x，x ∈[2，＋∞)；(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．2.已知函数 y f x ，用列表法表示如下：x 21 023y 52134则 12f f （）A ．4B ．5C ．6D ．93.根据下列条件，求函数 f x 的解析式；（1）已知 f x 是一次函数，且满足 3121217f x f x x ；（2）已知函数()f x 为二次函数，且2(1)()24f x f x x ，求()f x 的解析式；（3）已知3311f x x x x；（4）已知等式 21f x y f x y x y 对一切实数x ､y 都成立，且 01f ；（5）知函数 f x 满足条件123f x f x x对任意不为零的实数x 恒成立；4.某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是()五．分段函数1.已知3,(10)(),((5)),(10)n n f n n N f f n n ，则(5)f 的值为（）A.7B.8C.9D .102.在函数)2(23)()21()1(22x x ，x f ，x x x x y 则若中x 的值是（）A、1B、1或23C、3 D、33.如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为________，值域为________．4.已知函数 22,0,,02,12,2x x f x x x x x ，(1)求12f f f的值；(2)若 2f x ，求x 的值.5.已知2,11()1,11x x f x x x 或（1）画出()f x 的图象；（2）若1()4f x ，求x 的取值范围；（3）求()f x 的值域.【巩固练习】1.将下列集合用区间表示出来．(1){|3}x x ；(2){|0}x x ；(3){|23}x x ；(4){|1x x ，或24}x ．2.已知()f x ＝2x ＋x ＋1，则f ＝______；f ［(2)f ］＝______．3.已知 2,31a a 为一个确定的区间，则a 的取值范围是________.4.已知函数 ,m f x x x 且此函数图象过点（1，5），实数m 的值为.5.24,02(),(2)2,2x x f x f x x 已知函数则；若00()8,f x x 则.6.有对应法则f ：（1）A ＝{0，2}，B ＝{0，1}，x →2x ；（2）A ＝{－2，0，2}，B ＝{4}，x →x 2；（3）A ＝R，B ＝{y |y ＞0}，x →21x ；（4）A ＝R，B ＝R，x →2x ＋1；（5）A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R}，B ＝R，(x ，y )→x ＋y .其中能构成从集合A 到集合B 的函数的有________(填序号)．7.下列函数 f x g x 与表示同一函数的是（）A ． 42f x x g x 与B ． 2x f x x g x x与C ． f x g xD ． 2f x x g x 与8.拟定从甲地到乙地通话m 分钟的话费由 3.71,(04)() 1.06*(0.52),(4)m f m m m给出，其中 m 是不超过m 的最大整数，如： 3.743 ，从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是（）.A. 3.71B. 4.24C. 4.77D.7.959.已知函数y 的定义域为R ，求实数a 的取值范围.10.已知2()f x ax bx c ，(0)0f ，且(1)()1f x f x x ，试求()f x 的表达式.。
函数的概念及其表示
函数的概念及其表示知识梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A 到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．(4)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法．(5)分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．2．函数定义域的求法要点一、函数的概念例1、设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N的函数关系的有（）A．①②③④B．①②③C．②③D．②例2、下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）=|x|，g（x）=B．f（x）=lg x2，g（x）=2lg xC．f（x）=，g（x）=x+1D．f（x）=•，g（x）=例3、下列集合A，B及其对应法则，不能构成函数的是（）A．A=B=R f（x）=|x|B．A=B=RC．A={1，2，3，4），B={2，3，4，5，6}f（x）=x+1D．A={x|x＞0}，B={1}f（x）=x0答案：C A B练习1、下列四个图形中不可能是函数y=f（x）图象的是（）A．B．C．D．2、已知函数f（x）的定义域A={x|0≤x≤2}，值域B={y|1≤y≤2}，下列选项中，能表示f （x）的图象的只可能是（）A．B．C．D．3、下列四组函数中的f（x）和g（x）相等的是（）A．B．C．D．4、下列对应是从集合A到B的函数的是（）A．A=N，B=R，对应关系f：“求平方根”B．A=N*，B=N*，对应关系f：x→y=|x﹣3|C．A=R，B={0，1}，对应关系f：D．A=Z，B=Q，对应关系5、中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合M={﹣1，1，2，4}，N={1，2，4，16}，给出下列四个对应法则：①，②y=x+1，③y=|x|，④y=x2，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（）A．①③B．①②C．③④D．②④要点二、函数的定义域例4、函数的定义域是（）A．（1，2]B．（1，2）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）例5、已知函数y＝f（x+1）的定义域是[﹣1，2]，则函数y＝f（﹣x）的定义域为（）A．[﹣3，0]B．[﹣1，2]C．[0，3]D．[﹣2，1]例6、若函数y=的定义域为R，则a的取值范围为（）A．（0，4]B．[4，+∞）C．[0，4] D．（4，+∞）答案： B A C 练习6、函数f （x ）=+的定义域为（ ）A ．（﹣3，0]B ．（﹣3，1]C ．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0]D ．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1] 7、函数f （x ）=（x ﹣5）0+（x ﹣2）的定义域为（ ）A ．{x ∈R |2＜x ＜5或x ＞5}B ．{x ∈R |x ＞2}C ．{x ∈R |x ＞5}D ．{x ∈R |x ≠5且x ≠2}8、若函数f （x ）的定义域为[1，2]，则函数y=f （x 2）的定义域为（ ） A ．[1，4]B ．[1，] C ．[﹣，] D ．[﹣，﹣1]∪[1，]9、若函数f （3﹣2x ）的定义域为[﹣1，2]，则函数f （x ）的定义域是（ ） A ．B ．[﹣1，2]C ．[﹣1，5]D ．10、已知函数的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0， B ．（﹣∞，C ．，+∞）D ．[1，+∞）要点三、函数的解析式例7 (1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(2) f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试求出f (x )的解析式(3) 定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式． （4）定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.练习11、已知函数，则（ ）A ．f （x ）＝x 2+2x +1B ．f （x ）＝x 2﹣2x +3（x ≥1）C ．f （x ）＝x 2﹣2x +1D ．f （x ）＝x 2+2x +3（x ≥1）12、若函数f （x ）满足f （）＝x ，则f （x ）的解析式为（ ）A．f（x）＝（x≠1）B．f（x）＝，（x≠﹣1）C．f（x）＝（x≠1）D．f（x）＝（x≠﹣1）13、已知函数f（x）＝2x+3，若f（g（x））＝6x﹣7，则函数g（x）的解析式为（）A．g（x）＝4x﹣10B．g（x）＝3x﹣5C．g（x）＝3x﹣10D．g（x）＝4x+414、若函数f（x）对于任意实数x恒有3f（x）﹣2f（﹣x）＝5x+1，则f（x）＝．15、已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝+1，则f（x）＝．答案：1、C 2、D 3、C 4、C 5、C 6、C 7、A 8、D 9、C 10、C 11、B 12、A 13、B 14、x+1。
函数的概念及其表示
一、函数的概念及其表示函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具。
函数的共同特征：（1）都包含两个非空数集，用A 、B 来表示；（2）都有一个对应关系；（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数级A 中的任意一个数x ，按照对应关系，在数集B 中都有唯一确定的数y 和它对应。
事实上，除了解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法。
为了表示方便，我们引进符号f 统一表示对应关系。
一般地，设A 、B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合b 的一个函数，记作().,A x x f y ∈=其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}A x x f ∈|叫做函数的值域。
我们所熟悉的一次函数y=kx+b ，k ≠0的定义域是R ，值域也是R 。
对应关系f 把r 中的任意一个数x ，对应到R 中唯一确定的数kx+b 。
二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的定义域是R ，值域是B 。
当A>0时，B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当A<0时，B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2。
对应关系f 把R 中任意一个数x,对应到B 中唯一确定的数)0(2≠++a c bx ax 。
由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。
因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数。
两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不相同，那么它们不是同一个函数。
函数的三种表示方法：解析法、列表法和图象法。
解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；图象法，的就是用图象表示两个变量之间的对应关系。
第08讲 函数的概念及其表示方法(原卷版)
第08讲 函数的概念及其表示方法1．函数的概念一般地，设A ，B 是非空的 ，如果对于集合A 中的 一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有 定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A . 2．函数的三要素(1)函数的三要素： 、 、 ．(2)如果两个函数的 相同，并且 完全一致，则这两个函数相等． 3．函数的表示法4若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．5.常见函数的定义域：(1)分式函数中分母 . (2)偶次根式函数被开方式 . (3)一次函数、二次函数的定义域为 .(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cosx，定义域均为 . (5)y ＝tan x 的定义域为(6)函数f (x )＝x α的定义域为 .【2018年新课标1卷文科】已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则=a ________．1、下列图形中可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的图象是( )2、下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．f (x )＝e ln x ，g (x )＝xB ．f (x )＝x 2－4x ＋2，g (x )＝x －2C ．f (x )＝sin 2x2cos x ，g (x )＝sin x D ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 23、函数的定义域是（ ） A ．B ．C ．D ．4、 (多选)(2022·雅礼中学高三月考)下列说法中，正确的有( )A. 式子y ＝x －1＋－x －1可表示自变量为x ，因变量为y 的函数B. 函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个C. 若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝1 D. f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一函数考向一 函数的概念例1、（1）下列各曲线表示的y 与x 之间的关系中，y 不是x 的函数的是( )()()2lg 31f x x =++1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭（2）(多选)下列各组函数是同一函数的为( ) A.f (x )＝x 2－2x －1，g (s )＝s 2－2s －1 B.f (x )＝x －1，g (x )＝x 2－1x ＋1C.f (x )＝x 2，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0D.f (x )＝－x 3，g (x )＝x －x变式1、下列各对函数中是同一函数的是( ) ．A ．f (x )＝2x －1与g (x )＝2x －x 0B ．f (x )＝（2x ＋1）2与g (x )＝|2x ＋1|；C ．f (n )＝2n ＋2(n ∈Z )与g (n )＝2n (n ∈Z )；D ．f (x )＝3x ＋2与g (t )＝3t ＋2.变式2、已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列从P 到Q 的各对应关系f 不是函数的是________．(填序号)①f ：x →y ＝12x ；②f ：x →y ＝13x ；③f ：x →y ＝23x ；④f ：x →y ＝x .方法总结：(1)定义是解题的重要依据，它有双重功能：一是判定；二是性质．要判定一个对应是不是从定义域A 到值域B 的一个函数，就要看其是否满足函数的定义，反之亦然；(2)函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定，当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数，而定义域、值域和对应法则中有一个不同就不是同一函数．考向二 函数的定义域例1、 求下列函数的定义域： (1) f (x )＝lg (5－x 2)； (2) f (x )＝1ln (x －1).变式1、（1）函数f (x )＝ln(4x －x 2)＋1x －2的定义域为( )A.(0，4)B.[0，2)∪(2，4]C.(0，2)∪(2，4)D.(－∞，0)∪(4，＋∞) （2）.函数f (x )＝ln x ·lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22－x 的定义域是( )A.[1，2]B.[2，＋∞)C.[1，2)D.(1，2]变式3、.已知函数f (x )的定义域是[－1，1]，则函数g (x )＝f （2x －1）ln （1－x ）的定义域是( )A.[0，1]B.(0，1)C.[0，1)D.(0，1]方法总结：1.求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a ，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a ≤g(x)≤b 求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a ，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x ∈[a ，b]上的值域.考向三 函数的解析式例2、 (1) 已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求函数f (x )的解析式；(2) 已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋1)＝2f (x ).若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，求当－1≤x ≤0时，函数f (x )的解析式；(3) 已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，满足3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1，求函数f (x )的解析式．变式1、(1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(2)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式； (3)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )的解析式．变式2、求下列函数的解析式：(1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式； (3)已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式； (4)已知f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，求f (x )的解析式.方法总结：函数解析式的常见求法函数解析式的求法主要有以下几种：(1)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(2)配凑法：由已知条件f(g(x))＝f(x)，可将f(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x 替代g(x)，便得f(x)的解析式；(3)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数f(x)可设为f(x)＝ax2＋bx ＋c(a≠0)，其中a ，b ，c 是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a ，b ，c 即可．(4)解方程组法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如f ⎝⎛⎭⎫1x (或f(－x))等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．考向四 分段函数例3、（1）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg （x 2＋1），x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________.（2）、已知()()()()3,94,9x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎡⎤⎪⎣⎦⎩则f (7） =______.（3）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（3－x ），x ≤0，2x －1，x>0，若f(a －1)＝12，则实数a ＝________．（4）、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1， x ≤0，－(x －1)2， x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是________．变式1、设函数1,0()2,0xx x f x x +⎧=⎨>⎩≤，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是___． 方法总结：(1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，再通过分类讨论求解；(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．1、设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )A ．3B ．6C ．9D ．122、设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.3、(2022·泰州中学期初考试)下列关于x ，y 的关系中为函数的是（ ） A.43y x x =-+-B.24y x =C.,112,1x x y x x ≥⎧=⎨-≤⎩D.4、(2022·湖南省雅礼中学开学考试)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(x －1)2，x ≤1，log 12x ，x ＞1，f (x 0)＝－2，则x 0＝ ．5、(2022·湖北省新高考联考协作体高三起点考试)已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()()22101x x f x g x a a a a -+=-+>≠,，则()1f =（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 26、(2022·沭阳如东中学期初考试)(多选题)设函数y ＝f (x )定义域为D ，若存在x ，y ∈D ，且x ≠y ，使得2f (x ＋y 2)＝f (x )＋f (y )，则称函数y ＝f (x )是D 上的“S 函数”，下列函数是“S 函数”的是A ．y ＝2xB ．y ＝x －sin x ＋1C ．y ＝ln xD ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞01，x ≤07、已知f ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2＝x 4＋1x4，则f (x )＝__________.。
函数的概念及其表示方法
教学内容知识梳理知识点一、函数的概念1．函数的定义设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数. 记作：y=f(x)，x A ．其中，x 叫做叫做自变量自变量，x 的取值范围A 叫做函数的叫做函数的定义域定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域. 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的致，而与表示自变量和函数值的字母字母无关. 3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间的数轴表示． 区间表示：区间表示：{x|a≤x≤b}=[a ，b]；； ；. 知识点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学解析法：用数学表达式表达式表示两个变量之间的对应关系．表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明，给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出列表法：列出表格表格来表示两个变量之间的对应关系．来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值. 2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的分段函数的解析式不能写成几个不同的方程方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．各部分的自变量的取值情况．知识点三、映射与函数1.映射定义：设A 、B 是两个非是两个非空集空集合，如果按照某个对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的映射；记为f ：A→B.象与原象：象与原象：如果给定一个从集合如果给定一个从集合A 到集合B 的映射，的映射，那么那么A 中的元素a 对应的B 中的元素b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象. 注意：(1)A 中的每一个元素都有象，且唯一；中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B 中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a 的象记为f(a). 2.函数：设A 、B 是两个非空数集，若f ：A→B 是从集合A 到集合B 的映射，这个映射叫做从集合A 到集合B 的函数，记为y=f(x). 注意：注意：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；函数三要素：定义域、值域、对应法则(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合. 原象集合例题讲解类型一、函数概念1.下列各组函数是否表示同一个函数？下列各组函数是否表示同一个函数？(1)(2)(3)(4)】判断下列命题的真假真假【变式1】判断下列命题的(1)y=x-1与是同一函数；是同一函数；(2)与y=|x|是同一函数；是同一函数；(3)是同一函数；是同一函数；(4)与g(x)=x2-|x|是同一函数. 2.求下列函数的定义域(用区间表示). 求下列函数的定义(1)；(2)；(3). 】求下列函数的定义域：【变式1】求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3). 3.已知函数f(x)=3x2+5x-2，求f(3)，，f(a)，f(a+1). 【变式1】已知函数.(1)求函数的定义域；域；(2)求f(-3)，的值；的值；f(a-1)的值. (3)(3)当a＞0时，求f(a)×f(a)×f(a-1)【变式2】已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：，求： (1)f(2)，g(2)；(2)f(g(2))，g(f(2))；(3)f(g(x))，g(f(x)) 4. 求值域(用区间表示)：(1)y=x 2-2x+4；. 类型二、映射与函数5. 下列下列对应关系对应关系中，哪些是从A 到B 的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成为映射? (1)A=R ，B=R ，对应法则f ：取倒数；：取倒数；(2)A={平面内的平面内的三角形三角形}，B={平面内的圆}，对应法则f ：作三角形的：作三角形的外接圆外接圆；(3)A={平面内的圆}，B={平面内的三角形}，对应法则f ：作圆的：作圆的内接内接三角形．三角形．【变式1】判断下列两个对应是否是】判断下列两个对应是否是集合集合A 到集合B 的映射？的映射？①A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则②A=N *，B={0，1}，对应法则f:x→x 除以2得的得的余数余数； ③A=N ，B={0，1，2}，f ：x→x 被3除所得的余数；除所得的余数；④设X={0，1，2，3，4}，【变式2】已知映射f ：A→B ，在f 的作用下，判断下列说法是否正确？的作用下，判断下列说法是否正确？(1)任取x ∈A ，都有唯一的y ∈B 与x 对应；对应；(2)A 中的某个元素在B 中可以没有象；中可以没有象；(3)A 中的某个元素在B 中可以有两个以上的象；中可以有两个以上的象；(4)A 中的不同的元素在B 中有不同的象；中有不同的象；(5)B 中的元素在A 中都有原象；中都有原象； (6)B 中的元素在A 中可以有两个或两个以上的原象. 【变式3】下列对应哪些是从A 到B 的映射？是从A 到B 的一一映射吗？是从A 到B 的函数吗？的函数吗？(1)A=N ，B={1，-1}，f ：x→y=(x→y=(-1)-1)x ； (2)A=N ，B=N +，f ：x→y=|x x→y=|x-3|-3|；(3)A=R ，B=R ，(4)A=Z ，B=N ，f ：x→y=|x|；(5)A=N ，B=Z ，f ：x→y=|x|；(6)A=N ，B=N ，f ：x→y=|x→y=|x|. x|. 6. 已知A=R，B={(x，y)|x，y R}，f：A→B是从集合A到集合B的映射，f：x→(x+1，x2+1)，求A中的元素是从集合的象，B中元素的原象. 的映射，其中【变式1】设f：A→B是集合A到集合B的映射，其中(1)A={x|x＞0}，B=R，f：x→x2-2x-1，则A中元素的象及B中元素-1的原象分别为什么？的原象分别为什么？y)→(x-y-y，x+y)，则A中元素(1，3)的象及B中元素(1，3)的原象分别为什(2)A=B={(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x么？么？类型三、函数的表示方法7. 求函数的求函数的解析式解析式(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x). 【变式1】(1) 已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)；(2)已知：，求f[f(-1)]. 8.作出下列函数的作出下列函数的图象图象. (1)；(2)；类型四、分段函数9. 已知，求f(0)，f[f(-1)]的值. 【变式1】已知，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)，f{f[f(-1)+1]}的值. 10. 某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：(1)乘坐汽车5公里以内，票价2元；元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里计算)，已知两个相邻的公共汽车站间相距约解析式，并画出个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式为1公里，如果沿途(包括起点站和终点站)设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数函数的图象. 【变式1】移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元，若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1，y2(元)，之间的函数关系式？Ⅰ. 写出y1，y2与x之间的函数关系式？一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？Ⅱ. 一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？元，应选择哪种通讯方式？话费200元，应选择哪种通讯方式？若某人预计一个月内使用话费Ⅲ. 若某人预计一个月内使用一、选择题1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( ) ⑴，；⑵，；⑶，；⑷，；⑸，．A．⑴、⑵．⑴、⑵ B．⑵、⑶．⑶、⑸．⑷ D．⑶、⑸．⑵、⑶ C．⑷2．函数y=的定义域是() 0≤x≤1 1 D．{-1，1} x≤-1-1或x≥1 C．0≤x≤A．-1≤x≤1B．x≤3．函数的值域是( ) A．(-(-∞∞，)∪(，+∞)B．(-(-∞∞，)∪(，+∞)C．R D．(-(-∞∞，)∪(，+∞) 4．下列从．下列从集合的对应中：集合A到集合B的对应中：①A=R，B=(0，+∞)，f:x→y=x2；②③④A=[-2，1]，B=[2，5]，f:x→y=x 2+1；⑤A=[-3，3]，B=[1，3]，f:x→y=|x|其中，不是从其中，不是从集合集合A 到集合B 的映射的个数是( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 5．已知映射f:A→B ，在f 的作用下，下列说法中不正确的是( ) A ． A 中每个元素必有象，但B 中元素不一定有原象中元素不一定有原象 B ． B 中元素可以有两个原象中元素可以有两个原象 C ． A 中的任何元素有且只能有唯一的象中的任何元素有且只能有唯一的象 D ． A 与B 必须是非空的必须是非空的数集数集 6．点(x ，y)在映射f 下的象是(2x-y ，2x+y)，求点(4，6)在f 下的原象( ) A ．(，1)B ．(1，3) C ．(2，6)D ．(-1，-3) 7．已知集合P={x|0≤x≤4}， Q={y|0≤y≤2}，下列各，下列各表达式表达式中不表示从P 到Q 的映射的是( ) A ．y=B ．y=C ．y=x D ．y=x 28．下列．下列图象图象能够成为某个函数图象的是( ) 9．函数的图象与的图象与直线直线的公共点数目是( ) A ．B ．C ．或D ．或10．已知集合，且，使中元素和中的元素对应，则的值分别为( ) A ． B ．C ．D ． 11．已知，若，则的值是( ) A ．B ．或C ．，或D ．12．为了得到函数的图象，可以把函数的图象适当平移，这个平移是( ) 的图象适当平移A．沿轴向右平移个单位个单位 B．沿轴向右平移个单位个单位C．沿轴向左平移个单位个单位个单位 D．沿轴向左平移个单位二、填空题1．设函数则实数的取值范围是_______________．2．函数的定义域_______________．3．函数f(x)=3x-5在区间上的值域是_________．上的值域4．若最大值为，则这个二次函数的表，且函数的最大值．若二次函数二次函数的图象与x轴交于，且函数的达式是_______________．5．函数的定义域是_____________________．6．函数的最小值是_________________．三、解答题1．求函数的定义域．的定义域．2．求函数的值域．的值域．3．根据下列条件，求函数的解析式：．根据下列条件，求函数的解析式(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x-1，求f(x)；(2)已知f(x)是二次函数，且f(2)=-3，f(-2)=-7,f(0)=-3，求f(x)；(3)已知f(x-3)=x 2+2x+1，求f(x+3)；(4)已知； (5)已知f(x)的定义域为R ，且2f(x)+f(-x)=3x+1，求f(x). 课后作业一．选择题一．选择题1．下列四种说法正确的一个是．下列四种说法正确的一个是（ ） A ．)(x f 表示的是含有x 的代数式 B ．函数的值域也就是其定义中的．函数的值域也就是其定义中的数集数集B C ．函数是一种特殊的映射．函数是一种特殊的映射D ．映射是一种特殊的函数2．已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f 等于等于 （ ） A ．q p +B ．q p 23+C ．q p 32+D ．23q p + 3．下列各组函数中，表示同一函数的是．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．xx y y ==,1 B ．1,112-=+´-=x y x x y C ．33,x y x y == D ． 2)(|,|x y x y == 4．已知函数23212---=x x x y 的定义域为的定义域为（ ） A ．]1,(-¥ B ．]2,(-¥C ．]1,21()21,(-Ç--¥D ． ]1,21()21,(-È--¥ 5．设ïîïíì<=>+=)0(,0)0(,)0(,1)(x x x x x f p ，则=-)]}1([{f f f （ ）A ．1+pB ．0 C ．pD ．1- 6．设函数x x x f =+-)11(，则)(x f 的表达式为（ ） A ．x x -+11 B ． 11-+x x C ．xx +-11 D ．12+x x 7．已知)(x f 的定义域为)2,1[-，则|)(|x f 的定义域为的定义域为（ ） A ．)2,1[- B ．]1,1[- C ．)2,2(- D ．)2,2[-8．设îíì<+³-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（的值为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13二、填空题9．已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = . 10．若记号“*”表示的是2*b a b a +=，则用两边含有“*”和“+”的运算对于任意三个”的运算对于任意三个实数实数“a ，b ，c ”成立一个恒等式 . 11．集合A 中含有2个元素，集合A 到集合A 可构成可构成 个不同的映射. 12．设函数.)().0(1),0(121)(a a f x x x x x f >ïïîïïíì<³-=若则实数a 的取值范围是的取值范围是 。
函数的概念及其表示-2025高考数学复习
(D )Βιβλιοθήκη A．(－3,3] C．[－1,3]
B．12，2 D．(－3,5]
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
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[解析] 先求出 y＝f(x)的定义域，再根据 x＋3>0 可得 y＝f(x)·ln(x ＋3)的定义域．∵函数 y＝f(2x－1)的定义域是[－2,3]，即 x∈[－2,3]，则 2x－1∈[－5,5]，∴函数 y＝f(x)的定义域是[－5,5]，对于函数 y＝f(x)·ln(x
义域为( B )
A．[0,2]
B．[－1,2]
C．[－ 3， 3]
D．[－ 3，2]
[解析] 因为 y＝f(x2－1)的定义域为[－ 3， 3]，所以 x∈[－ 3， 3]， x2－1∈[－1,2]，所以 y＝f(x)的定义域为[－1，2]．故选 B.
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
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x2－4，x>2， 7．(2021·浙江，12,4 分)已知 a∈R，函数 f(x)＝|x－3|＋a，x≤2. 若 f[f( 6)]＝3，则 a＝___2___. [解析] 因为 6> 4＝2，所以 f( 6)＝( 6)2－4＝2，所以 f[f( 6)]＝ f(2)＝|2－3|＋a＝1＋a＝3，解得 a＝2.
－5≤x≤5， ＋3)可得x＋3>0， 解得－3<x≤5，故 y＝f(x)·ln(x＋3)的定义域是(－ 3,5]．故选 D.
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
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3．(角度2)已知函数f(2x－3)的定义域是[－1,4]，则函数f(1－2x)的
函数的概念及其表示-高考数学复习
， < 0
（
√
）
（4）若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是同一个函
数.
（
× ）
目录
2 − ， ≤ 1，
2. 已知函数 f （ x ）＝ቐ 1
则 f （ f （－1））＝（
， > 1，
）
1−
A. －1
解析：
D. 1
因为－1≤1，所以 f （－1）＝（－1）2－（－1）＝2，
（1））＝0.
目录
解题技法
分段函数求值的策略
先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的
解析式求值.当出现 f （ f （ a ））的形式时，应从内到外依次求值.
目录
考向2 分段函数与方程、不等式问题
− 2 − 3 + 2，＜ − 1，
【例4】 已知函数 f （ x ）＝ቊ −3
[1，＋∞）， y ＝
−1
的定义域为（1，＋∞），定义域不同，两
−1
函数不是同一个函数；C中， y ＝4lg x 与 y ＝2lg x 2＝4lg｜ x ｜的对
3
应关系不同，两函数不是同一个函数；D中， y ＝（ ）3＝ x 的定
义域为R， y ＝ x 的定义域为R，定义域和对应关系都相同，两函数
＜ − 1，
2或 a ＝5.若 f （ a ）≥2，则ቊ 2
或ቊ −3
解得－
≥ 2，
− − 3 + 2 ≥ 2 2
3≤ a ＜－1或 a ≥4，∴ a 的取值范围是[－3，－1）∪[4，＋∞）.
目录
解题技法
分段函数与方程、不等式问题的求解思路
解分段函数的方程、不等式，当自变量取值不确定时，往往要分
函数的概念及其表示
2
2.
题型二：求函数的值域 1. y x 4 x 2
2
2. 3.
4.
x3 6.记函数 f(x)= 2 的定义域为 A，g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定义域为 B． x 1
(1) 求 A； (2) 若 B A，求实数 a 的取值范围．
A=(－∞，－1)∪[1，+ ∞)
1 实数 a 的取值范围是(－∞,－2]∪[ ,1)． 2
题型三：分段函数
| x 1| 2,| x | 1, 1 设 f(x)＝ 1 ，则 f[f( )] 2 , | x | 1 2 1 x
题型四：函数解析式
1.设函数 f ( x) 2 x 3 ， g ( x) 3x 5 ，则 f ( g ( x)) _
函数式有意义时， P( x) ， Q( x) 的约束条件：
☞ 左学右考 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”. (1)f(x)= 与 g(x)=x 是同一个函数. ������ ������,������ ≥ ������, (2)f(x)=|x|与 g(x)= 是同一个函数. -������,������ < ������
������������
Байду номын сангаас
( (
) )
( 3) 函数 f( x) = ������������ + ������+1 的值域是{y|y≥1}. {x|1≤x<3}.
( (
) )
( 4) 若函数 f( x) 的定义域为{x|1≤x<3}, 则函数 f( 2x-1) 的定义域为
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函数的概念及其表示
作者：周喻鸣
来源：《数学金刊·高考版》2014年第09期
函数是整个高中数学的重点，函数思想是最重要的数学思想方法，函数问题在历年的高考中都占有相当大的比例. 从近几年的高考试题来看，对本部分内容的考查，稳中求变，向着更灵活的方向发展. 对于函数的概念及表示多以下面的形式出现：通过具体问题（几何问题、实际应用问题）找出变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数的性质，寻求问题的结果.
重点难点
本部分内容由映射及函数的概念、函数的表示组成，函数的定义域、值域、解析式是构成函数的三大要素. 纵观近几年的高考试题，本节内容以客观题为主，主要考查对概念的理解能力、逻辑思维能力，突出考查函数的三要素、函数的定义域与函数的表示方法、分段函数概念的理解与应用、抽象函数的性质讨论.
重点：掌握映射的概念、函数的概念，掌握分段函数的概念，会求函数的定义域，掌握函数的三种表示法——图象法、列表法、解析法，会求函数的解析式.
难点：函数的概念，求函数的解析式.
方法突破
1. 理解映射的概念，应注意以下几点
（1）集合A，B及对应法则“f ”是确定的，是一个整体系统.
（2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，这与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的.
（3）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应关系的本质特征.
（4）集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个.
（5）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.
2. 理解函数的概念，应注意以下几点
（1）函数是从非空数集A到非空数集B的映射关系.
（2）数集A是函数的定义域，函数的值域是数集B的子集.
3. 求函数定义域的基本思路
如果没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注意以下几点：
（1）分母不能为0.
（2）对数的真数必须为正.
（3）偶次根式中被开方数应为非负数.
（4）零指数幂中，底数不等于0.
（5）负分数指数幂中，底数应大于0.
（6）若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集.
（7）如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义.
如求复合函数的定义域，已知函数f（x）的定义域为[a，b]，则函数f[g（x）]的定义域是满足不等式a≤g（x）≤b的x的取值范围；一般地，若函数f[g（x）]的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]，要求f（x）的定义域就是求x∈[a，b]时g（x）的值域.
注意：研究函数的有关问题时一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写.
4. 求函数解析式的基本策略
函数的解析式是函数与自变量之间建立联系的桥梁，许多和函数有关的问题的解决都离不开解析式，因而求解函数解析式是高考中的热点. 解决这类问题的关键在于抓住函数对应法则“f ”的本质. 下面介绍几种求函数解析式的主要方法.
（1）凑配法：把形如f（g（x））内的g（x）当做整体，在解析式的右端整理成只含有g （x）的形式，再把g（x）用x代替，可得f（x）的解析式.
（2）换元法：已知f（g（x）），求f（x）的解析式，一般可用换元法. 具体为：令t=g （x），再求出f（t），可得f（x）的解析式，换元后要确定新元t的取值范围.
（3）解方程组法：若已知抽象函数的表达式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，然后利用消元法求出f（x）的表达式.
（4）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数）求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入相关值求出系数.
（5）赋值法：已知一个关于x，y的抽象函数，利用特殊值去掉一个未知数y，得出关于x的函数解析式.。