大一下高等数学期末试题_精确答案
大一下学期高数期末试题及答案
大一下学期高数期末试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 极限的定义中，ε的值可以是（）。
A. 任意正整数B. 任意正实数C. 固定正整数D. 只有12. 若函数f(x)在点x=a处连续，则以下哪项正确？（）A. f(a)为f(x)在x=a处的极限值B. f(a)等于f(x)在x=a处的左极限值C. f(a)等于f(x)在x=a处的右极限值D. 所有上述选项都正确3. 以下级数中，收敛的是（）。
A. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...B. (1 + 1/2) + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6) + ...C. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ...D. 1 + 1/√2 + 1/√3 + 1/√4 + ...4. 函数y = x^2的导数为（）。
A. 2xB. x^2C. 1/xD. -2x5. 微分方程dy/dx = x^2, y(0) = 0的解为（）。
A. y = x^3B. y = -x^3C. y = 1/xD. y = -1/x二、填空题（每题2分，共10分）6. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) = _______。
7. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的单调递增区间为 _______。
8. 定积分∫(0→2) x^2 dx = _______。
9. 曲线y = x^3在点x=1处的切线斜率为 _______。
10. 微分方程d/dx(y^2) = 2xy，y(0) = 0的通解为 y = _______。
三、计算题（每题10分，共30分）11. 求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5从x=-1到x=3的定积分值。
12. 求函数g(x) = e^(2x)的导数，并计算在区间[0,1]上的定积分值。
13. 求由曲线y = x^2, y = 2x - 1, x = 0所围成的面积。
大一下学期高数期末试题及答案
大一下学期高数期末试题及答案一、选择题1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(2)的值。
A) 2 B) 7 C) 9 D) 11答案：B) 72. 函数f(x) = 3x + 4 和 g(x) = 2x - 1，求f(x)与g(x)的交点横坐标。
A) -3/5 B) 0 C) 5/7 D) 1/2答案：A) -3/53. 设a为非零实数，若函数f(x) = x^2 + ax + a 的图像经过点(-1, 4)，求a的值。
A) -1 B) 1 C) 2 D) -2答案：C) 24. 设方程x^2 - kx + 1 = 0只有一个实根，求k的取值范围。
A) (-∞, 1) B) (0, 1] C) [0, ∞) D) [1/4, ∞)答案：D) [1/4, ∞)5. 函数f(x) = ax^2 + bx + c 的图像经过点(1, 3)，且在x = 2处取得最小值0.求a、b、c的值。
A) a = 1, b = 2, c = 0 B) a = 2, b = -3, c = 2 C) a = 1, b = -2, c = 3 D) a = -1, b = 2, c = 3答案：C) a = 1, b = -2, c = 3二、计算题1. 求不定积分∫(sinx + cosx)dx。
答案： -cosx + sinx + C（C为常数）2. 设函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，求f(x)的极值点。
答案：极小值点为x = 1，极大值点为x = 33. 设函数y = ln(3x + 1)，求其反函数。
答案：y = e^x / 3 - 1/34. 已知曲线y = e^x的斜率为1/2，求曲线上点的坐标。
答案：(ln2, 2)5. 设函数f(x) = √(2x + 1)，求f'(1)的值。
答案：1/2三、证明题1. 证明函数y = x^3 - 3x + 2在x = 1处有一个零点。
大一下高等数学期末试题_(精确答案)
一、单选题（共15分，每小题3分）1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( )A ．(,)f x y 在P 连续B ．(,)f x y 在P 可微C ． 00lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在2．若xyz ln =，则dz 等于（ ）．ln ln ln ln .x x y y y yA x y+ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x xy y C y ydx dy x+ ln ln ln ln .x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ）． 212cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰21200cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰21202cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz πθπθθθ-⎰⎰⎰ 21000cos .(cos ,sin ,)xD d rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰⎰4． 4．若1(1)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）．A ． 条件收敛B ． 绝对收敛C ． 发散D ． 敛散性不能确定5．曲线222x y z z x y -+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分）1．设220x y xyz +-=，则'(1,1)x z = .2．交 换ln 1(,)exI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后，I =_____________________．3．设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 .4. 已知0!n xn x e n ∞==∑，则xxe -= .5. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是 . 三、解答题（共54分，每小题6--7分）1.（本小题满分6分）设arctan y z y x =, 求z x ∂∂,zy ∂∂.2.（本小题满分6分）求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的法线方程.3. （本小题满分7分）求函数22z x y =+在点(1,2)处沿向量1322l i j =+方向的方向导数。
大一下学期高数期末试题及答案
大一下学期高数期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的最小值。
A. 0B. -1C. -4D. 12. 已知数列{an}的前n项和为S_n=n^2，求a_5。
A. 10B. 11C. 12D. 133. 极限lim (n→∞) (1 + 1/n)^n 的值是：A. eB. 1C. 2D. 34. 曲线y=x^3-3x^2+2x在点(1,0)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -2D. 25. 函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期是：A. πC. π/2D. π/46. 已知f(x)=2x-1，求f'(2)的值。
A. 3B. 2C. 1D. 07. 曲线y=x^2与直线y=4x-5的交点坐标是：A. (1,3)B. (2,3)C. (1,1)D. (2,7)8. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 19. 若f(x)在[a,b]上连续，且∫(a到b) f(x) dx = 0，则f(x)在[a,b]上：A. 恒等于0B. 至少有一个零点C. 恒为正D. 恒为负10. 函数y=ln(x)的原函数是：A. x-1C. x^2D. xln(x) - x + C二、填空题（每题2分，共20分）11. 函数f(x)=x^3的导数是________。
12. 微分方程dy/dx + 2y = 4x的解是________。
13. 已知∫(0到1) x dx = 1/2，那么∫(1到2) x dx =________。
14. 函数f(x)=x^2+1的二阶导数是________。
15. 利用导数求函数f(x)=x^3-2x^2+3x-4在x=2时的切线方程是________。
16. 函数y=e^x的泰勒展开式在x=0处的前三项是________。
17. 定积分∫(0到π/2) sin(x) dx的值是________。
(完整版)大一高等数学期末考试试卷及答案详解
一、填空题（每小题3分，共18分）
1．设函数 ，则 是 的第类间断点.
2．函数 ，则 .
3． .
4．曲线 在点 处的切线方程为.
5．函数 在 上的最大值，最小值.
6． .
二、单项选择题（每小题4分，共20分）
1．数列 有界是它收敛的（）.
必要但非充分条件； 充分但非必要条件；
充分必要条件； 无关条件.
二．选择题（每小题4分，4题共16分）：
1．设常数 ，则函数 在 内零点的个数为（B）.
(A)3个;(B)2个;(C)1个;(D)0个.
2．微分方程 的特解形式为（C）
（A） ；（B） ；
（C） ；（D）
3．下列结论不一定成立的是（A）
(A)(A)若 ,则必有 ;
(B)(B)若 在 上可积,则 ;
(C)(C)若 是周期为 的连续函数,则对任意常数 都有 ;
2．下列各式正确的是（）.
； ；
； .
3．设 在 上， 且 ，则曲线 在 上.
沿 轴正向上升且为凹的； 沿 轴正向下降且为凹的；
沿 轴正向上升且为凸的； 沿 轴正向下降且为凸的.
4．设 ，则 在 处的导数（）.
等于 ； 等于 ；
等于 ； 不存在.
5．已知 ，以下结论正确的是（）.
函数在 处有定义且 ； 函数在 处的某去心邻域内有定义；
大一高等数学期末考试试卷
（一）
一、选择题（共12分）
1. （3分）若 为连续函数,则 的值为( ).
(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1
2. （3分）已知 则 的值为（ ）.
(A)1 (B)3 (C)-1 (D)
3. （3分）定积分 的值为（ ）.
(完整版)大一高等数学期末考试试卷及答案详解
一、1 B;2 C; 3 D;4 A.
二、1 2 3 0; 4 0.
三、1解原式 6分
2 解 2分
4分
3解原式 3分
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2分
1分
4 解令 则2分
5 1分
6 1分
1分
1分
7 两边求导得 2分
8 1分
1分
2分
9 解 2分
10 4分
11 解原式= = 6分
四、1解令 则 3分
= 2分
2分
1分
2 解 3分
-----------3
3．求摆线 在 处的切线的方程.
解：切点为 -------2
-------2
切线方程为 即 . -------2
4.设 ，则 .
5．设 ，求 .
解： ---------2
--------------2
= ------------2
故 =
四．应用题（每小题9分，3题共27分）
1．求由曲线 与该曲线过坐标原点的切线及 轴所围图形的面积.
(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限
二、填空题（共12分）
1．（3分） 平面上过点 ，且在任意一点 处的切线斜率为 的曲线方程为.
2. （3分） .
3. （3分） =.
4. （3分） 的极大值为.
三、计算题（共42分）
1.（6分）求
2.（6分）设 求
3.（6分）求不定积分
4.（6分）求 其中
(D)(D)若可积函数 为奇函数,则 也为奇函数.
4.设 ,则 是 的（C）.
(A)连续点;(B)可去间断点;
(C)跳跃间断点;(D)无穷间断点.
(完整版)大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷一、选择题（共12分）1. （3分）若为连续函数,则的值为( ).2,0,(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩a (A)1 (B)2 (C)3 (D)-12. （3分）已知则的值为（ ）.(3)2,f '=0(3)(3)lim2h f h f h →--(A)1 (B)3 (C)-1 (D)123. （3分）定积分的值为（）.(A)0 (B)-2 (C)1 (D)24. （3分）若在处不连续,则在该点处( ).()f x 0x x =()f x (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分）1．（3分） 平面上过点，且在任意一点处的切线斜率为的曲线方(0,1)(,)x y 23x 程为 .2. （3分） .1241(sin )x x x dx -+=⎰3. （3分） = .201lim sinx x x→4. （3分） 的极大值为 .3223y x x =-三、计算题（共42分）1.（6分）求2ln(15)lim.sin 3x x x x →+2.（6分）设求y =.y '3.（6分）求不定积分2ln(1).x x dx +⎰4.（6分）求其中3(1),f x dx -⎰,1,()1cos 1, 1.x xx f x xe x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩5.（6分）设函数由方程所确定,求()y f x =0cos 0y xte dt tdt +=⎰⎰.dy 6.（6分）设求2()sin ,f x dx x C =+⎰(23).f x dx +⎰7.（6分）求极限3lim 1.2nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题（共28分）1.（7分）设且求(ln )1,f x x '=+(0)1,f =().f x 2.（7分）求由曲线与轴所围成图形绕着轴旋转一cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭x x 周所得旋转体的体积.3.（7分）求曲线在拐点处的切线方程.3232419y x x x =-+-4.（7分）求函数上的最小值和最大值.y x =+[5,1]-五、证明题(6分)设在区间上连续,证明()f x ''[,]a b 1()[()()]()()().22bbaab a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--⎰⎰标准答案一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A.二、 123 0;4 0.31;y x =+2;3三、 1 解 原式 5分25lim3x x xx→⋅=1分53=2解2分2ln ln ln(1),2xy x ==-+4分21221xy x '∴=-+3 解 原式 3分221ln(1)(1)2x d x =++⎰2分222212[(1)ln(1)(1)]21x x x x dx x=++-+⋅+⎰1分2221[(1)ln(1)]2x x x C =++-+4解 令则2分1,x t -=1分321()()f x dx f t dt -=⎰⎰1分1211(1)1cos t tdt e dt t -=+++⎰⎰ 1分210[]t e t =++1分21e e =-+5两边求导得2分cos 0,yey x '⋅+= 1分cos y xy e'=-1分cos sin 1xx =-2分cos sin 1xdy dx x ∴=-6解2分1(23)(23)(22)2f x dx f x d x +=++⎰⎰ 4分21sin(23)2x C =++7解 原式= 4分23323lim 12n n n ⋅→∞⎛⎫+⎪⎝⎭=2分32e 四、1 解 令则3分ln ,xt =,()1,t t x e f t e '==+=2分()(1)t f t e dt =+⎰.t t e C ++ 2分(0)1,0,f C =∴=1分().x f x x e ∴=+2解3分222cos x V xdx πππ-=⎰2分2202cos xdx ππ=⎰2分2.2π=3解1分23624,66,y x x y x '''=-+=-令得1分0,y ''= 1.x =当时, 当时,2分1x -∞<<0;y ''<1x <<+∞0,y ''>为拐点,1分(1,3)∴该点处的切线为2分321(1).yx =+-4解2分1y '=-=令得1分0,y '=3.4x =2分35(5)5 2.55,,(1)1,44y y y ⎛⎫-=-+≈-== ⎪⎝⎭最小值为最大值为2分∴(5)5y -=-+35.44y ⎛⎫= ⎪⎝⎭五、证明1分()()()()()()bbaax a x b f x x a x b df x '''--=--⎰⎰ 1分[()()()]()[2()bb a a x a x b f x f x x a b dx ''=----+⎰ 1分[2()()ba x ab df x =--+⎰1分 {}[2()]()2()bba a x ab f x f x dx =--++⎰ 1分()[()()]2(),b a b a f a f b f x dx =--++⎰移项即得所证. 1分。
大一第二学期高数期末考试题(含答案)
大一第二教期下数期终考查之阳早格格创做一、单项采用题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是共阶无贫小，但是不是等价无贫小；（B ）()()x x αβ与是等价无贫小；（C ）()x α是比()x β下阶的无贫小； （D ）()x β是比()x α下阶的无贫小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 正在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必正在0x =处博得极大值； （B ）函数()F x 必正在0x =处博得极小值；（C ）函数()F x 正在0x =处不极值，但是面(0,(0))F 为直线()y F x =的拐面；（D ）函数()F x 正在0x =处不极值，面(0,(0))F 也不是直线()y F x =的拐面.（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、挖空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）4. =+→xx x sin 2)31(l i m .5. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .6.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .7.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解问题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）8. 设函数=()y y x 由圆程sin()1x ye xy ++=决定，供'()y x 以及'(0)y .9.设函数)(x f 连绝，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()lim x f x A x ，A 为常数. 供'()g x 并计划'()g x 正在=0x 处的连绝性.10. 供微分圆程2ln xy y x x '+=谦脚=-1(1)9y 的解. 四、 解问题（本大题10分）11. 已知上半仄里内一直线)0()(≥=x x y y ，过面(,)01，且直线上任一面M x y (,)00处切线斜率数值上等于此直线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成里积的2倍与该面纵坐标之战，供此直线圆程.五、解问题（本大题10分）12. 过坐标本面做直线x y ln =的切线，该切线与直线x y ln =及x 轴围成仄里图形D.(1) 供D 的里积A ；(2) 供D 绕直线x = e 转动一周所得转动体的体积V .六、说明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）13. 设函数)(x f 正在[]0,1上连绝且单调递减，说明对于任性的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.14. 设函数)(x f 正在[]π,0上连绝，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .说明：正在()π,0内起码存留二个分歧的面21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(） 解问一、单项采用题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、挖空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5.6e. 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解问题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：圆程二边供导0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 11.解：1330()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰12.解：由(0)0f =，知(0)0g =.02()()lim ()lim22xx x xf x f u duA A g x A x→→-'==-=⎰，'()g x 正在=0x 处连绝.13. 解：2ln dy y xdx x +=1(1),09y C =-=，11ln 39y x x x =- 四、 解问题（本大题10分）14.解：由已知且02d xy y x y'=+⎰，将此圆程闭于x 供导得y y y '+=''2特性圆程：022=--r r 解出特性根：.2,121=-=r r其通解为x x e C e C y 221+=-代进初初条件y y ()()001='=，得31,3221==C C故所供直线圆程为：x x e e y 23132+=-五、解问题（本大题10分）15. 解：（1）根据题意，先设切面为)ln ,(00x x ，切线圆程：)(1ln 000x x x x y -=-由于切线过本面，解出e x =0，进而切线圆程为：x e y 1=则仄里图形里积⎰-=-=1121)(e dy ey e A y（2）三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V 1，则2131e V π=直线x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得转动体体积为V 2D 绕直线x = e 转动一周所得转动体的体积)3125(6221+-=-=e e V V V π六、说明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）16.说明：1()()qf x d x q f x dx -⎰⎰1()(()())qqqf x d x q f x d x f x dx =-+⎰⎰⎰故有：1()()≥⎰⎰q f x d x q f x dx证毕.证：构制辅帮函数：π≤≤=⎰x dt t f x F x0,)()(0.其谦脚正在],0[π上连绝，正在),0(π上可导.)()(x f x F ='，且0)()0(==πF F 由题设，有⎰⎰⎰⋅+===ππππ0)(sin cos )()(cos cos )(0|dxx F x x x F x xdF xdx x f ，有⎰=πsin )(xdx x F ，由积分中值定理，存留),0(πξ∈，使0sin )(=ξξF 即0)(=ξF综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F .正在区间],[,],0[πξξ上分别应用罗我定理，知存留),0(1ξξ∈战),(2πξξ∈，使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ，即0)()(21==ξξf f .。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、单选题(共15分,每小题3分)1.设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ,00(,)y f x y 都存在,则 ( )A.(,)f x y 在P 连续B.(,)f x y 在P 可微C. 00lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D.00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在2.若xyz ln =,则dz 等于( ).ln ln ln ln .x x y y y yA x y+ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x xy y C y ydx dy x+ ln ln ln ln .x x y y y x D dx dy x y + 3.设Ω就是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域,则(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ).2120cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰ 21200cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰2122cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz πθπθθθ-⎰⎰⎰ 21cos .(cos ,sin ,)xD d rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰⎰4. 4.若1(1)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处( ).A. 条件收敛B. 绝对收敛C. 发散D. 敛散性不能确定5.曲线222x y z z x y-+=⎧⎨=+⎩在点(1,1,2)处的一个切线方向向量为( )、 A 、 (-1,3,4) B 、(3,-1,4) C 、 (-1,0,3) D 、 (3,0,-1)二、填空题(共15分,每小题3分)1.设220x y xyz +-=,则'(1,1)x z = 、2.交 换ln 1(,)exI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后,I =_____________________.3.设22z xy u -=,则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 、4、 已知0!n xn x e n ∞==∑,则xxe -= 、5、 函数332233z x y x y =+--的极小值点就是 、 三、解答题(共54分,每小题6--7分)1、(本小题满分6分)设arctan y z y x=, 求z x ∂∂,zy ∂∂、2、(本小题满分6分)求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程,并求切点处的法线方程、3、 (本小题满分7分)求函数22z x y =+在点(1,2)处沿向量132l i j =+方向的方向导数。
4、 (本小题满分7分)将x x f 1)(=展开成3-x 的幂级数,并求收敛域。
5.(本小题满分7分)求由方程08822222=+-+++z yz z y x 所确定的隐函数),(y x z z =的极值。
6.(本小题满分7分)计算二重积分1,1,1,)(222=-=--=+⎰⎰y y y x D d y xD由曲线σ及2-=x 围成、7、(本小题满分7分)利用格林公式计算⎰-Lx y x y xy d d 22,其中L 就是圆周222a y x =+(按逆时针方向)、8、(本小题满分7分)计算⎰⎰⎰Ωz y x xy d d d ,其中Ω就是由柱面122=+y x 及平面0,0,1===y x z 所围成且在第一卦限内的区域、四、综合题(共16分,每小题8分)1.(本小题满分8分)设级数11,n nn n u v∞∞==∑∑都收敛,证明级数21()nn n uv ∞=+∑收敛。
2.(本小题满分8分)设函数),(y x f 在2R 内具有一阶连续偏导数,且2fx x∂=∂, 证明曲线积分2(,)Lxydx f x y dy +⎰与路径无关.若对任意的t 恒有(,1)(1,) (0,0)(0,0)2(,)2(,)t t xydx f x y dy xydx f x y dy +=+⎰⎰,求),(y x f 的表达式.参考答案一、单选题(共15分,每小题3分):1、C 2 D 3 C 4B 5 A 二、填空题(共15分,每小题3分) 1、-1 2、 I =10(,)yee dyf x y dx ⎰⎰3、 →→→-+-k j i 242 4 1(1)!n n n x n +∞=-∑ 5、 (2,2)三、解答题(共54分,每小题6--7分)1.解:222y x y x z +-=∂∂; (3分) y z ∂∂=x yarctan +22yx xy + ( 6分)、 2、 解:记切点000(,,)x y z 则切平面的法向量为0002(2,3,)n x y z =满足:00023232x y z ==- ,切点为:(1,1,2)-或(1,1,2)-- (3分),切平面:23299x y z or -+=- ( 4分), 法线方程分别为:112232x y z +-+==-或者112232x y z -+-==- ( 6分) 3、 解:(1,2)(2,4)f ∇= ( 3分),(1,2)1f l∂=+∂ ( 7分) 4、 解:)3(31)(-+=x x f =)33(1131-+⋅x , ( 2分)因为 ∑∞=+=-011)1(n nn x x ,)1,1(-∈x ,所以∑∞=-⋅-=-+⋅)33(31)1()33(1131n n n x x =∑∞=+--01)3()31()1(n n n n x ,其中1331<-<-x ,即60<<x 、( 5分)当0=x 时,级数为∑∞=031n 发散;当6=x 时,级数为∑∞=⋅-031)1(n n 发散,故x 1=∑∞=+--01)3()31()1(n nn n x ,)6,0(∈x , ( 7分)5、 解:由401284(2)0128z x x z y z y z y z y∂⎧==⎪∂--⎪⎨∂+⎪==⎪∂--⎩, 得到0=x 与02=+z y , ( 2分)再代入08822222=+-+++z yz z y x ,得到0872=-+z z 即81,7z =-。
由此可知隐函数(,)z z x y =的驻点为(0,2)-与16(0,)7。
( 4分) 由224128z x z y ∂=∂--,20z x y ∂=∂∂,224128z y z y∂=∂--,可知在驻点(0,2)-与16(0,)7有0H >。
( 5分) 在(0,2)-点,1z =,因此 224015z x ∂=>∂,所以(0,2)-为极小值点,极小值为1z =;( 6分) 在16(0,)7点,87z =-,因此 224015z x ∂=-<∂,所以16(0,)7为极大值点,极大值为87z =-, ( 7分) 6、 解:记⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤--⎩⎨⎧≤≤-≤≤-1101:1102:221y x y D y x D ,则21D D D -=、(2分) 故σσσd y x d y x d y x D D D⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+21)()()(222222 ( 4分) -=-+=⎰⎰⎰⎰--320)(2321311222ππθdr r d dx y x dy 4π(7分) 7、 解:L 所围区域D :222ay x ≤+,由格林公式,可得⎰-Lx y x y xy d d 22=y x y y x x xy Dd d ))()((22⎰⎰∂-∂-∂∂=⎰⎰+D y x y x d d )(22=4π20022πd a r r r d a ⎰⎰=⋅θ、(7分)8、 解:如图,选取柱面坐标系计算方便,此时,⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤,10,2π0,10:r z θΩ所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅⋅=Ωθθθr r r r z z y x xy d sin cos d d d d d 0102π01( 4分) =⎰⎰r r d d 2sin 2130102πθθ=814)42cos (142π=⋅-r θ、 (7分) 四、综合题(共16分,每小题8分)1.证明:因为lim 0,lim 0n n n n u v →∞→∞==,(2分)故存在N,当n N >时,222()23n n n n n n n u v u v u v u +=++≤,因此1nn n ∞=收敛。
(8分)2.证明:因为2fx x∂=∂,且22()xy x y ∂=∂,故曲线积分 2(,)L xydx f x y dy +⎰与路径无关.(4分) 因此设)(),(2y g x y x f +=,从而(,1)1122 (0,0)2(,)0[()]()t t xydx f x y dy dx t g y dy t g y dy +=++=+⎰⎰⎰⎰,(5分)(1,)1 (0,0)2(,)0[1()]()t t txydx f x y dy dx g y dy t g y dy +=++=+⎰⎰⎰⎰,(6分)由此得 12()t g y dy +⎰()t t g y dy =+⎰对任意t 成立,于就是12)(-=t t g ,即12)(),(22-+=+=y x y g x y x f .(8分)一、。