2019-2020学年度北师大版数学必修2课时跟踪检测：(六)平行关系的判定

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2019_2020学年高中数学课时跟踪检测(七)平行关系的性质北师大版必修2

课时跟踪检测（七）平行关系的性质一、基本能力达标1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．不确定解析：选A 由面面平行的性质定理可知选项A正确．2．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为( )A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点解析：选A 因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.3．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，点E为线段AB上异于A，B的点，点F为线段CD上异于C，D的点，且EF∥DA，沿EF将面EBCF折起，如图2，则下列结论正确的是( )A．AB∥CDB．AB∥平面DFCC．A，B，C，D四点共面D．CE与DF所成的角为直角解析：选B 在图2中，∵BE∥CF，BE平面DFC，CF平面DFC，∴BE∥平面DFC，同理AE∥平面DFC.又BE∩AE＝E，∴平面ABE∥平面DFC.又AB平面ABE，∴AB∥平面DFC.故选B.4．已知平面α∥平面β，aα，bβ，则直线a，b的位置关系是( )A．平行 B．相交C．异面 D．平行或异面解析：选D ∵平面α∥平面β，∴平面α与平面β没有公共点．∵aα，bβ，∴直线a ，b 没有公共点，∴直线a ，b 的位置关系是平行或异面．5.如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA ，PB ，PC 于A ′，B ′，C ′，若PA ′∶AA ′＝2∶3，则△A ′B ′C ′与△ABC 面积的比为( )A ．2∶5B ．3∶8C ．4∶9D ．4∶25解析：选D ∵平面α∥平面ABC ，平面PAB ∩α＝A ′B ′，平面PAB ∩平面ABC ＝AB ，∴A ′B ′∥AB .又∵PA ′∶AA ′＝2∶3，∴A ′B ′∶AB ＝PA ′∶PA ＝2∶5.同理B ′C ′∶BC ＝A ′C ′∶AC ＝2∶5.∴△A ′B ′C ′与△ABC 相似，∴S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝4∶25.6.如图，在正方体ABCD A1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：∵在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，∴AC ＝2 2.又E 为AD 的中点，EF ∥平面AB 1C ，EF平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF∥AC ，∴F 为DC 的中点，∴EF ＝12AC ＝ 2.答案： 27．过三棱柱ABC A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．解析：记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，E 1F 1，EE 1，FF 1，E 1F ，EF 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共有6条．答案：68．给出下列说法：①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ； ②若平面α∥平面β，直线a 与α相交，则a 与β相交； ③若平面α∥平面β，P ∈α，PQ ∥β，则PQ α； ④若直线a ∥平面β，直线b ∥平面α，且α∥β，则a ∥b . 其中正确说法的序号是________．解析：①中平面α与γ也可能重合，故①不正确．假设直线a 与平面β平行或直线a β，则由平面α∥平面β，知a α或a ∥α，这与直线a 与α相交矛盾，所以a 与β相交，②正确．如图，过直线PQ 作平面γ，γ∩α＝a ，γ∩β＝b ，由α∥β，得a ∥b .因为PQ ∥β，PQ γ，所以PQ ∥b .因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线a 与直线PQ 重合．因为a α，所以PQ α，③正确．若直线a ∥平面β，直线b ∥平面α，且α∥β，则a 与b 平行、相交或异面都有可能，④不正确．答案：②③9．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，P ∉平面ABCD ，过BC 作平面BCFE 交AP 于E ，交DP 于F .求证：四边形BCFE 是梯形．证明：因为四边形ABCD 为平行四边形，所以BC ∥AD ，因为AD 平面PAD ，BC 平面PAD ，所以BC ∥平面PAD .因为平面BCFE ∩平面PAD ＝EF ，所以BC ∥EF .因为AD ＝BC ，AD ≠EF ，所以BC ≠EF ，所以四边形BCFE 是梯形．10．如图，在三棱柱ABC A1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N .求证：N 为AC 的中点．证明：∵平面AB 1M ∥平面BC 1N ，平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ，平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ， ∴C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1，∴四边形ANC 1M 为平行四边形， ∴AN ＝C 1M ＝12A 1C 1＝12AC ，∴N 为AC 的中点．二、综合能力提升1.如图，在三棱柱ABC A1B 1C 1中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，过MN 作一平面分别交底面三角形ABC 的边BC ，AC 于点E ，F ，则( )A ．MF ∥NEB．四边形MNEF为梯形C．四边形MNEF为平行四边形D．A1B1∥NE解析：选B ∵在平行四边形AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，∴AM綊BN，∴MN綊AB.又MN平面ABC，AB平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，显然在△ABC中EF≠AB，∴EF≠MN，∴四边形MNEF为梯形．故选B.2．如图所示的三棱柱ABCA1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB 的位置关系是( )A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能解析：选B 因为A1B1∥AB，AB平面ABC，A1B1平面ABC，所以A1B1∥平面ABC.又A1B1平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，所以DE∥A1B1.又AB∥A1B1，所以DE∥AB.3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E，F，则四边形D1EBF的形状是( )A．矩形B．菱形C．平行四边形D．正方形解析：选C 因为平面和左右两个平行侧面分别交于ED1，BF，所以ED1∥BF，同理D1F∥EB，所以四边形D1EBF是平行四边形．4．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH 时，下列结论中正确的是( )A．E，F，G，H一定是各边的中点B．G，H一定是CD，DA的中点C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GCD．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC解析：选D 由于BD∥平面EFGH，由线面平行的性质定理，有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.5.如图，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，M是AC的中点，BD与平面α交于点N，AB＝4，CD＝6，则MN＝________.解析：∵AB∥平面α，AB平面ABDC，平面ABDC∩平面α＝MN，∴AB ∥MN .又M 是AC 的中点，∴MN 是梯形ABDC 的中位线，故MN ＝12(AB ＋CD )＝5.答案：56．如图，四边形ABCD 是空间四边形，E ，F ，G ，H 分别是四边上的点，它们共面，并且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，则当四边形EFGH 是菱形时，AE ∶EB ＝________. 解析：因为AC ∥平面EFGH ，所以EF ∥AC ，HG ∥AC . 因为BD ∥平面EFGH ，所以EH ∥BD ，FG ∥BD .所以EF ＝HG ＝BE BA ·m ，EH ＝FG ＝AE AB ·n .因为四边形EFGH 是菱形，所以BE AB ·m ＝AE AB·n ，所以AE ∶EB ＝m ∶n .答案：m ∶n7.如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，P 为平面ABC 外一点，E ，F 分别是PA ，PC 的中点．记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明．证明：直线l ∥平面PAC ，证明如下：因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点，所以EF ∥AC .又EF 平面ABC ，且AC 平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .而EF 平面BEF ，且平面BEF ∩平面ABC ＝l ，所以EF ∥l .因为l 平面PAC ，EF 平面PAC ，所以l ∥平面PAC . 探究应用题8．如图所示，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D 是棱CC 1的中点，问在棱AB 上是否存在一点E ，使DE ∥平面AB 1C 1？若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由．解：存在点E ，且E 为AB 的中点时，DE ∥平面AB 1C 1，下面给出证明：如图，取BB 1的中点F ，连接DF ，则DF ∥B 1C 1. 因为AB 的中点为E ，连接EF ，则EF ∥AB 1，B 1C 1∩AB 1＝B 1，DF ∩EF ＝F ，所以平面DEF∥平面AB1C1.又DE平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.。

2020-2021学年北师大版高中数学必修二《平行关系的判定》课后训练及答案解析

最新（新课标）北师大版高中数学必修二《平行关系的判定》课后训练1．如果两直线a，b相交，且a∥平面α，那么b与平面α的位置关系是( )．A．b∥αB．b∥α或b与α相交C．b与α相交D．b在α内2．平面α∥平面β的一个条件是( )．A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，aα，a∥βC．存在两条平行直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α3．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是( )．A．都平行B．都相交C．在两个平面内D．至少和其中一个平行4．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是( )．A．平面BME∥平面ACNB．AF∥CNC．BM∥平面EFDD．BE与AN相交5．已知m，n表示两条不重合的直线，α，β，γ表示不重合的平面，下列结论中正确的个数是( )．①若α∩γ＝m，β∩γ＝n，且m∥n，则α∥β；②若m，n相交且都在α，β外，且m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β.A．1 B．2C．3 D．46．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过A，C，E的平面的位置关系是________．7．过长方体ABCD－A1B1C1D1的任意两条棱的中点作直线，其中能够与平面ACC1A1平行的直线有________条．8．如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．(1)求证：DE∥平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形．9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点．求证：(1)EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.10．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的点，EC＝2FB＝2，则当点M在什么位置时，MB∥平面AEF？试给出证明．参考答案1答案：B 解析：当b与α有公共点时，相交；当b与α没有公共点时，b∥α，但不可能有bα，故选B.2答案：D 解析：对于A，B，C，α与β可相交．3答案：D 解析：当这条直线既不在α内，也不在β内时，它与两个平面α，β均是平行的．当这条直线在两个平面中的一个平面内时，它必与另一个平面平行，因此这条直线至少和其中一个平行．4答案：A 解析：作出此正方体，易知AN∥BM，AC∥EM，且AN∩AC＝A，所以平面ACN∥平面BEM.5答案：A 解析：①仅满足mα，nβ，m∥n，不能得出α∥β，不正确；②设m，n确定平面为γ，则有α∥γ，β∥γ，从而α∥β，正确；③④均不满足两个平面平行的条件，故③④均不正确．6答案：平行解析：如图，连接AC交BD于O.则O为BD的中点．又E为DD1的中点，∴OE为△BDD1的中位线，∴OE∥BD1.又BD1平面ACE，OE平面ACE，∴BD1∥平面ACE.7答案：12 解析：如图，与AC平行的直线有4条，与AA1平行的直线有4条，连接MN，则MN∥面ACC1A1，这样的直线也有4条(包括MN)，共12条．8答案：证明：(1)如图，因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE∥PC.又因为DE平面BCP，PC平面BCP，所以DE∥平面BCP.(2)因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF，所以四边形DEFG为平行四边形．又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG，所以四边形DEFG为矩形．9答案：证明：(1)如图所示，连接SB.∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，∴EG∥平面BDD1B1.(2)∵F，E分别是DC，BC的中点，∴FE∥BD.又∵BD平面BDD1B1，FE平面BDD1B1，∴FE∥平面BDD1B1.又EG∥平面BDD1B1，且EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面BDD1B1.10答案：解：当点M为AC的中点时，MB∥平面AEF.证明如下：因为M为AC的中点，取AE的中点D，连接MD，DF，则MD为△AEC的中位线，所以MD∥EC且MD＝12 EC，而FB∥EC且FB＝12 EC，所以MD∥FB且MD＝FB，所以四边形DMBF为平行四边形，所以MB∥DF.而MB平面AEF，DF平面AEF，所以MB∥平面AEF.。

(北师大版)数学必修二达标练习：1.5.1平行关系的判定(含答案)

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课堂达标·效果检测1.过平面外一点，作平面的平行线可以作( )A.一条B.两条C.无数条D.以上都不对【解析】选C.过该点可作无数条直线与平面内的相应直线平行.2.有下列命题：①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a∥b，bα，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线；③若直线a∥b，bα，则a∥α；④若直线a在平面α外，则a∥α.其中真命题的个数为( )A.1B. 2C.3D.4【解析】选A.①根据定义知错误，无数条不等于任意一条.②正确.③a有可能在平面α内.④直线与平面α相交也满足.3.如图，在四面体ABCD中，若M，N，P分别为线段AB，BC，CD的中点，则直线BD与平面MNP的位置关系为________.【解析】因为N，P分别为线段BC，CD的中点，所以NP∥BD，又BD⊈平面MNP，NP平面MNP，所以BD∥平面MNP.答案：平行CD，C1D1的中点.求证：C1M∥平面ANPA1.【证明】连接AP，因为CC1D1D是平行四边形，所以C1D1∥CD，C1D1=CD.因为N，P分别为线段CD，C1D1的中点，所以C1P∥CN，C1P=CN.因为ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AB=CD.因为M为线段AB的中点，所以CN∥AM，CN=AM，所以C1P∥AM，C1P=AM，所以AMC1P是平行四边形，所以C1M∥AP，又C 1M⊈平面ANPA1，AP平面ANPA1，所以C1M∥平面ANPA1.关闭Word文档返回原板块。

2019—2020年最新北师大版高中数学必修二平行关系同步练习(精品试题)

平行关系1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解析】若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行．若两条直线是异面直线，则两条直线必无公共点．【答案】 A2．下列说法正确的是( )A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面【解析】由异面直线的定义可知选D.【答案】 D3．(2010·全国大纲高考)正三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )A．30° B．45°C．60° D．90°【解析】如图，可补成一个正方体，∴AC1∥BD1.∴BA1与AC1所成角的大小为∠A1BD1.又易知△A1BD1为正三角形，∴∠A1BD1＝60°.∴BA1与AC1成60°的角．【答案】 C4．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是________．【解析】①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ 相交．【答案】③5．(2013·青岛模拟)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，求异面直线BE与CD1所成的角的余弦值．【解】如图连接BA1.∵BA1∥CD1，∴∠A1BE为所求．在△A1BE中，设AB＝1，则AA1＝2，∴A1B＝5，A1E＝1，BE＝ 2.∴由余弦定理得cos∠A1BE＝310 10.课时作业【考点排查表】1．若异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝l，则直线l( )A．与直线a，b都相交B．至少与a，b中的一条相交C．至多与a，b中的一条相交D．与a，b中的一条相交，另一条平行【解析】若a∥l，b∥l，则a∥b，故a，b中至少有一条与l相交，故选B.【答案】 B2．正方体AC1中，E、F分别是线段BC、C1D的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )A．相交B．异面C．平行D．垂直【解析】如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．【答案】 A3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】有2条：A1B和A1C1，故选B.【答案】 B4．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM成60°角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD，其中正确的是( )A．①②B．③④C．②③D．①③【解析】将展开图还原为正方体，由于EF∥ND，而ND⊥AB，∴EF⊥AB；显然AB与CM平行，故②不正确．EF与MN是异面直线，MN与CD也是异面直线，故①③正确，②④错误．【答案】 D5．已知平面外一点P和平面内不共线三点A、B、C，A′、B′、C′分别在PA、PB、PC上，若延长A′B′、B′C′、A′C′与平面分别交于D、E、F三点，则D、E、F三点( ) A．成钝角三角形B．成锐角三角形C．成直角三角形D．在一条直线上【解析】D、E、F为已知平面与平面A′B′C′的公共点，由公理2知，D、E、F共线．【答案】 D6．在底面为正方形的长方体上任意选择4个顶点，则以这4个顶点为顶点构成的几何形体可能是：①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．则其中正确结论的序号是( )A．①③④⑤B．①②④⑤C．①②③⑤D．①②③④【解析】由长方体的性质知①正确，②不正确；对于③，长方体ABCD－A1B1C1D1中的四面体A1－ABD符合条件，③正确；对于④，长方体ABCD－A1B1C1D1中的四面体A1－BC1D符合条件，④正确；对于⑤，长方体ABCD－A1B1C1D1中的四面体A1－ABC符合条件．【答案】 A二、填空题7．(2013·丰台模拟)已知线段AB、CD分别在两条异面直线上，M、N分别是线段AB、CD的中点，则MN__________1 2(AC＋BD)(填“>”，“<”或“＝”)．【解析】如图所示，四边形ABCD是空间四边形，而不是平面四边形，要想求MN与AB、CD的关系，必须将它们转化到平面来考虑．我们可以连接AD，取AD的中点为G，再连接MG、NG，在△ABD中，M、G分别是线段AB、AD的中点，则MG∥BD，且MG＝12BD，同理，在△ADC中，NG∥AC，且NG＝12AC，又根据三角形的三边关系知，MN<MG＋NG，即MN<12BD＋12AC＝12(AC＋BD)．【答案】<8．(2013·海淀模拟)如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，将△ABD沿对角线BD折起到△A′BD的位置，使点A′在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线A′B与CD所成角的大小为________．【解析】如题图所示，由A′O⊥平面ABCD，可得平面A′BC⊥平面ABCD，又由DC⊥BC可得DC⊥平面A′BC，DC⊥A′B，即得异面直线A′B与CD所成角的大小为90°.【答案】90°9．a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；⑤若a，b与c成等角，则a∥b.上述命题中正确的命题是________(只填序号)．【解析】由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确．【答案】①三、解答题10．如图所示，O1是正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心，M是对角线A1C和截面B1D1A的交点．求证：O1、M、A三点共线．【证明】∵A1C1∩B1D1＝O1，B1D1⊂平面B1D1A，A1C1⊂平面AA1C1C.∴O1∈平面B1D1A，O1∈平面AA1C1C.∵A1C∩平面B1D1A＝M，A1C⊂平面AA1C1C，∴M∈平面B1D1A，M∈平面AA1C1C.又∵A∈平面B1D1A，A∈平面AA1C1C，∴O1、M、A在两个平面B1D1A和平面AA1C1C的交线上，由公理3可知，O1、M、A三点共线．11．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；(2)证明：平面ABM⊥平面A1B1M.【解】(1)因为C1D1∥B1A1，所以∠MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角．因为A1B1⊥平面BCC1B1，所以∠A1B1M＝90°.而A1B1＝1，B1M＝B1C21＋MC21＝2，故tan∠MA1B1＝B1MA1B1＝2，即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为 2.(2)证明：由A1B1⊥平面BCC1B1，BM⊂平面BCC1B1，得A1B1⊥BM.①由(1)知，B1M＝2，又BM＝BC2＋CM2＝2，B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.②又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，再由①②得BM ⊥平面A 1B 1M ，而BM ⊂平面ABM ，因此平面ABM ⊥平面A 1B 1M.12．(2012·上海高考)如图，在三棱锥P －ABC 中，PA⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：(1)三棱锥P －ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成的角的余弦值．【解】 (1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P －ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·PA＝13×23×2＝433. (2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，∴∠ADE(或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34， ∴异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34. 四、选做题13．如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M 、N 分别为AB 、DF 的中点．(1)若CD ＝2，平面ABCD ⊥平面DCEF ，求MN 的长；(2)若平面ABCD ⊥平面DCEF ，求异面直线MN 与AF 所成的角；(3)用反证法证明：直线ME 与BN 是两条异面直线．【解】 (1)取CD 的中点G ，连结MG ，NG ， ∵ABCD ，DCEF 为正方形，且边长为2，∴MG ⊥CD ，MG ＝2，NG ＝ 2.∵平面ABCD ⊥平面DCEF ，∴MG ⊥平面DCEF.可得MG ⊥NG ，∴MN ＝MG 2＋NG 2＝ 6.(2)如图，取EF 的中点G ，连结MG ，则GF 綊12CD ，又MA 綊12CD ， ∴GF 綊MA.∴四边形MAFG为平行四边形，∴MG綊AF.∴∠GMN即为异面直线MN与AF所成的角．连结AN，NG，设正方形棱长为a，则有MG＝2a，NG＝22a，MN＝AM2＋AN2＝62a，在△MNG中，cos∠GMN＝MG2＋MN2－NG2 2MG·MN＝2a2＋32a2－12a22×2a×62a＝32，∴∠GMN＝30°，∴异面直线MN与AF所成的角为30°.(3)证明：假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN.由已知，两正方形不共面，故AB⊄平面DCEF.又AB∥CD，∴AB∥平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，∴AB∥EN.又AB∥CD∥EF，∴EN∥EF，这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立．∴ME与BN不共面，它们是异面直线．。

2020-2021学年北师大版高中数学必修二《平行关系的判定》课时提高练习及解析

最新（新课标）北师大版高中数学必修二§5 平行关系5．1 平行关系的判定(一)【课时目标】1．理解直线与平面平行的判定定理的含义．2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用．3．能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．1．直线与平面平行的定义：直线与平面无公共点．2．直线与平面平行的判定定理：__________一条直线与______________的一条直线平行，则该直线与此平面平行．用符号表示为________________________．一、选择题1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)①若a∥b，bα，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，bα，则a∥b．其中正确说法的个数是( )A．0个B．1个C．2个D．3个2．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是( )A．b∥αB．b与α相交C．bαD．b∥α或b与α相交3．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是( )A．平行B．相交C．平行或相交D．ABα4．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )A．平行B．相交C．在内D．不能确定5．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面( )A．不存在B．只能作出一个C．能作出无数个D．以上都有可能6．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有( )A．4条B．6条C．8条D．12条二、填空题7．经过直线外一点有________个平面与已知直线平行．8．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：(1)与直线AB平行的平面是______________；(2)与直线AA1平行的平面是______________；(3)与直线AD平行的平面是______________．9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是_______________________________________________________________．三、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．求证：EF∥平面BDD1B1．11．如图所示，P是▱ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．求证：EF∥平面PBC．能力提升12．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)13．正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ．求证PQ∥平面BCE．(用两种方法证明)§5 平行关系5．1 平行关系的判定(一)答案知识梳理2．平面外此平面内a α，bα，且a∥b⇒a∥α作业设计1．A [①aα也可能成立；②a，b还有可能相交或异面；③aα也可能成立；④a，b还有可能异面．]2．D 3．C 4．A 5．D6．D[如图所示，与BD平行的有4条，与BB1平行的有4条，四边形GHFE的对角线与面BB1D1D平行，同等位置有4条，总共12条，故选D．]7．无数8．(1)平面A1C1和平面DC1(2)平面BC1和平面DC1(3)平面B1C和平面A1C19．平行解析设BD的中点为F，则EF∥BD1．10．证明取D1B1的中点O，连接OF，OB．∵OF 綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，∴OF 綊BE ．∴四边形OFEB 是平行四边形， ∴EF ∥BO ．∵EF 平面BDD 1B 1， BO 平面BDD 1B 1， ∴EF ∥平面BDD 1B 1．11．证明连接AF 延长交BC 于G ，连接PG ．在▱ABCD 中，易证△BFG ∽△DFA ． ∴GF FA ＝BF FD ＝PE EA， ∴EF ∥PG ．而EF ⊆平面PBC ， PG 平面PBC ， ∴EF ∥平面PBC ． 12．①③13．证明方法一如图(1)所示，作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N ，连接MN ．∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ， ∴AE ＝BD ．又∵AP ＝DQ ，∴PE ＝QB ．又∵PM ∥AB ∥QN ，∴PM AB ＝PE AE ，QN DC ＝BQBD ．∴PM 綊QN ．∴四边形PQNM 是平行四边形．∴PQ ∥MN ．又MN 平面BCE ，PQ ⊆平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE ．方法二如图(2)所示，连接AQ 并延长交BC(或其延长线)于K ，连接EK ．∵KB ∥AD ，∴DQ BQ ＝AQQK ．∵AP ＝DQ ，AE ＝BD ， ∴BQ ＝PE ． ∴DQ BQ ＝AP PE ．∴AQ QK ＝APPE．∴PQ ∥EK ．又PQ 面BCE ，EK 面BCE ， ∴PQ ∥面BCE ．。

2019-2020学年高中北师大版数学必修2学案：第一章 5.1 平行关系的判定 Word版含解析

5.1平行关系的判定[学习目标] 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义． 2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用． 3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题.【主干自填】1．直线与平面位置关系的表示aα2．3．平面与平面平行的判定定理【即时小测】1．思考下列问题(1)一条直线与一个平面的位置关系有哪几种？提示：有三种位置关系如下图：直线a在平面α内(记作aα)，直线a与平面α相交(记作a∩α＝A)，直线a与平面α平行(记作a∥α)．(2)如下图，平面α外的直线a平行于平面α内的直线b.这两条直线共面吗？直线a与平面α相交吗？提示：两条直线共面，直线a与平面α不相交．(3)因为两条相交直线确定唯一一个平面，这启示我们尝试用两条相交直线来讨论平面的平行问题．当三角板的两条边或课本的两条相交边所在直线分别与桌面平行时，情况又如何呢？提示：当三角板的两条边或课本的两条相交边所在直线分别与桌面平行时，这个三角板或课本所在平面与桌面平行．符号表示：aβ，bβ，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.图形表示如图．2．若A是直线m外一点，过A且与m平行的平面()A．存在无数个B．不存在C．存在但只有一个D．只存在两个提示：A3．圆柱的两个底面的位置关系是()A．相交B．平行C．平行或异面D．相交或异面提示：B4．若a，b是异面直线，过b且与a平行的平面()A．不存在B．存在但只有一个C．存在无数个D．只存在两个提示：B如右图所示，a、b是异面直线，在b上任取一点P，过P作a′∥a，∴a′与b确定平面α.由于两条相交直线仅确定一个平面，故α是唯一的．例1如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：(1)EH∥平面BCD；(2)BD∥平面EFGH.[证明] (1)∵E、H为AB，AD的中点，∴EH∥BD.∵EH⊆/平面BCD，BD平面BCD，∴EH∥平面BCD.(2)∵BD∥EH，BD⊆/平面EFGH，EH平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.类题通法(1)利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线.(2)证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、平行公理等.[变式训练1]如图，四边形ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点，求证：SA∥平面MDB.证明连接AC交BD于O点连接OM.∵M为SC的中点，O为AC的中点，∴OM∥SA.∵OM平面MDB，SA⊆/平面MDB，∴SA∥平面MDB.例2如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，求证：平面C′DB∥平面AB′D′.[证明] ∵AB綊CD綊D′C′，∴四边形ABC′D′是平行四边形，∴BC′∥AD′.又∵BC′⊆/平面AB′D′，AD′平面AB′D′，∴BC′∥平面AB′D′.同理C′D∥平面AB′D′，∵BC′∩C′D＝C′，∴平面C′DB∥平面AB′D′.类题通法(1)要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面.(2)判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线.[变式训练2]如图，已知三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是P A，PB，PC的中点，求证：平面DEF∥平面ABC.证明在△P AB中，因为D，E分别是P A，PB的中点，所以DE∥AB，又知DE⊆/平面ABC，因此DE∥平面ABC，同理EF∥平面ABC.又因为DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC.例3如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.[证明] (1)如图，连接SB，∵E、G分别是BC、SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB平面BDD 1B 1，EG ⊆/ 平面BDD 1B 1， ∴直线EG ∥平面BDD 1B 1. (2)连接SD ，∵F 、G 分别是DC 、SC 的中点，∴FG ∥SD . 又∵SD平面BDD 1B 1，FG ⊆/ 平面BDD 1B 1，∴FG ∥平面BDD 1B 1. ∵EG平面EFG ，FG平面EFG ，EG ∩FG ＝G ，∴平面EFG ∥平面BDD 1B 1.类题通法要证明面面平行，由面面平行的判定定理知需在某一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线．要证明线面平行，又需根据线面平行的判定定理，在平面内找与已知直线平行的直线，即：线线平行――→线面平行的判定线面平行――→面面平行的判定面面平行[变式训练3] 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是CB ，CD ，CC 1的中点，求证：平面AB 1D 1∥平面EFG .证明如图，连接BD .∵E 、F 分别为BC 、CD 的中点，∴EF∥BD.又BD∥B1D1，∴EF∥B1D1.又∵EF⊆/平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，∴EF∥平面AB1D1，同理可得EG∥平面AB1D1，又∵EF∩EG＝E，EF、EG平面EFG，∴平面EFG∥平面AB1D1.易错点⊳不能全面考虑空间问题[典例] 设P是异面直线a，b外的一点，则过点P与a，b都平行的平面() A．有且只有一个B．恰有两个C．没有或只有一个D．有无数个[错解] 如图所示，过点P作a1∥a，b1∥b.∵a1∩b1＝P，∴过a1，b1有且只有一个平面．故选A.[错因分析] 错解对空间概念理解不透彻，对P点位置没有作全面的分析，只考虑了一般情况，而忽略了特殊情形．事实上，当直线a(或b)与点P确定的平面恰与直线b(或a)平行时，与a，b都平行的平面就不存在了．[正解]C课堂小结1.判定直线与平面平行的方法(1)定义法：直线与平面没有公共点则线面平行；(2)判定定理：(线线平行⇒线面平行)，2.用定理证明线面平行时，在寻找平行直线可以通过三角形的中位线、梯形的中位线、平行线的判定等来完成.3.证明面面平行的方法(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行.1．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面()A．不可能作出B．只能作出一个C．能作出无数个D．上述三种情况都存在答案D解析设直线外两点为A、B，若直线AB∥l，则过A、B可作无数个平面与l平行；若直线AB与l异面，则只能作一个平面与l平行；若直线AB与l相交，则过A、B没有平面与l平行．2．若直线l不平行于平面α，且l⊆/α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交答案B解析直线l不平行于平面α，且l⊆/α，所以l与α相交．故选B.3．能保证直线a与平面α平行的条件是()A．bα，a∥bB．bα，c∥α，a∥b，a∥cC．bα，A、B∈a，C、D∈b，且AC＝BDD．a⊆/α，bα，a∥b答案D解析A错误，若bα，a∥b，则a∥α或aα；B错误，若bα，c∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或aα；C错误，若满足此条件，则a∥α或aα或a 与α相交；根据线面平行的判定定理可知D正确．4．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是() A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G答案A解析如图，∵EG∥E1G1，EG⊆/平面E1FG1，E1G1平面E1FG1，∴EG∥平面E1FG1，又G1F∥H1E，同理可证H1E∥平面E1FG1，又H1E∩EG＝E，∴平面E1FG1∥平面EGH1.。

2019—2020年最新北师大版必修2高中数学《平行关系的判断》同步练习.doc

高中数学1.5.1平行关系的判断课时提能演练北师大版必修2"（30分钟50分）一、选择题（每小题4分，共16分）1.（2012·宝鸡高一检测）若平面α和平面β相交于直线l，直线a在平面α内，但不与直线l重合，则直线a与平面β的位置关系是() (A)相交(B)平行(C)相交或平行(D)aβ2.如图，下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()（A）①④(B)②④（C）①③④(D)①③3.（2012·汉中高一检测)过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有()(A)4条(B)6条(C)8条(D)12条4.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E是AB的中点，点F在BC上，则BF等于多少时，EF∥平面A1C1D()(A)1(B)12(C)13(D)14二、填空题（每小题4分，共8分）5.a，b，c是三条直线，α，β是两个平面，如果a∥b∥c，aα,bβ，cβ，那么平面α与平面β的位置关系是_________.6.（2012·郑州高一检测）设m,n是平面α外的两条直线，给出三个说法：①m∥n；②m∥α；③n∥α，以其中两个为条件，余下的一个为结论，可构成三个命题，写出你认为正确的一个命题__________.三、解答题（每小题8分，共16分）7.（易错题）不共面的三条线段AA1，BB1，CC1交于一点O且被O 所平分，求证：平面ABC∥平面A1B1C1.8.（2012·渭南高一检测）如图是一几何体的直观图，主视图和俯视图.（1）在主视图右侧，按照画三视图的要求画出该几何体的左视图;（2）在所给直观图中连接BD，证明：BD∥平面PEC.【挑战能力】（10分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点M，N分别为BC，PA的中点，在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE；若存在，说明点E的位置；若不存在，说明理由.答案解析1.【解析】选C.若直线a与l平行，则a∥β，若直线a与直线l相交，则a与β相交.2.【解析】选D.对于图①，连接N与MP的中点，则其与AB平行，从而AB∥平面MNP.对于图③，AB∥MP,能得出AB∥平面MNP.图②，④中直线AB与平面MNP相交.【举一反三】在本题条件下，试判断下面三个正方体图形中，是否有AB∥平面MNP？【解析】对于图①，取NP的中点为R,连接MR，则有AB∥MR且AB平面MNP，所以AB∥平面MNP.对于图③，AB∥NP,且AB平面MNP，NP平面MNP, 所以AB∥平面MNP.图②中，AB与平面MNP相交.所以，①③图中AB∥平面MNP.3.【解析】选D.如图，设M，N，P，Q为所在棱的中点，易知平面MNPQ∥平面DBB1D1，则过M，N，P，Q这四个点中的任意两点的直线与平面DBB1D1 平行，这种情形共有6条；同理，经过BC，CD，B1C1，C1D1四条棱的中点也有6条，故共有12条.4.【解析】选B.当点F是BC的中点时，即BF=12BC=12，有EF∥平面A1C1D.∵EF∥AC,AC∥A1C1,∴EF∥A1C1,又∵EF平面A 1C1D,A1C1平面A1C1D,∴EF∥平面A1C1D.5.【解题指南】借助于正方体模型来判断.【解析】由正方体模型易知α∥β或α与β相交.答案：平行或相交6.【解题指南】先列出三个命题，然后判断真假. 【解析】三个命题如下:（1）m∥n,m∥α⇒n∥α；(2)m∥n,n∥α⇒m∥α；(3)m∥α,n∥α⇒m∥n.经验证，（1）（2）正确，（3）中m与n可能相交、平行、异面.答案：①②⇒③（或①③⇒②）7.【证明】如图，因AA1∩CC1=O,所以AA1与CC1确定一个平面，设为平面α.又∵△AOC≌△A1OC1，∴∠OAC=∠OA1C1,从而AC∥A1C1.又A 1C1A1B1C1,AC A 1B1C1,由线面平行的判定定理得AC∥平面A1B1C1.同理AB∥平面A 1B1C1.又AB∩AC=A,AB ABC,ACABC，由面面平行的判定定理得平面ABC∥平面A1B1C1.8.【解析】(1)如图所示：（2）取PC的中点M，设AC与BD的交点为N，连接MN，ME，∵PM＝CM，AN＝CN，∴MN＝1PA，MN∥PA，2∴MN＝EB，MN∥EB，故BEMN是平行四边形，∴EM∥BN.又EM平面PEC，BD平面PEC，∴BD∥平面PEC.【方法技巧】线面平行证法面面观在点、线、面的位置关系中，线面平行是重要的位置关系，也是我们学习的重点.在证明线面平行的过程中，关键是如何找线线平行，其方法主要有借助对应线段成比例、中位线、平行四边形等方法.下面主要就线面平行的证法进行归类总结.（1）借助对应线段成比例借助对应线段成比例来证明两直线平行，进而证明线面平行. （2）借助中位线借助三角形或梯形的中位线可以找到线线平行关系,从而证明线面平行.（3）借助平行四边形对于平行四边形我们知道其对边平行，借助此关系可以证明线面平行.【挑战能力】【解析】存在.取PD的中点E，连接NE，EC，AE，因为N，E分别为PA，PD的中点，所以NE∥AD且NE=12AD.又在平行四边形ABCD中，CM∥AD且CM=12AD，所以NE MC，即四边形MCEN是平行四边形，所以NM∥EC，又EC平面ACE，NM平面ACE，所以MN∥平面ACE，即在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE，此时PE=12PD.。

2019-2020学年度北师大版数学必修2课时跟踪检测：模块综合检测

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度北师大版数学必修2课时跟踪检测：模块综合检测______年______月______日____________________部门(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在平面直角坐标系中，正△ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为( )B．0A．－2D．23C.解析：选B 易知kAB＝，kAC＝－，∴kAB＋kAC＝0. 2．直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则m等于( )A．1B．2D．2或－1C．－2解析：选D 令y＝0，则(2m2＋m－3)x＝4m－1，所以直线在x轴上的截距为＝1，所以m＝2或m＝－. 3．在空间直角坐标系中，点B是点A(1,2,3)在yOz坐标平面内的射影，O为坐标原点，则|OB|等于( )B.13A.D.11C．2解析：选B 点A(1,2,3)在yOz坐标平面内的射影为B(0,2,3)，∴|OB|＝＝.4．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( )B．2x＋y－4＝0A．x＋2y－5＝0D．x－2y＋3＝0C．x＋3y－7＝0解析：选 A 结合图形可知，所求直线为过点(1,2)且与原点和点(1,2)连线垂直的直线，其斜率为－，直线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.5．下列说法不正确的是( ) A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直解析：选 D 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD⊥平面DCC1D1，因此平面ABCD、平面AA1D1D均与平面DCC1D1垂直而且平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，显选项D不正确，故选D.然6．动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为( )B．x2＋y2＝16A．x2＋y2＝32D．x2＋(y－1)2＝16C．(x－1)2＋y2＝16解析：选B 设P(x，y)，则由题意可得：2＝，化简整理得x2＋y2＝16，故选B.7．某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A．72πB．48πD．24πC．30π解析：选C 根据三观图知该几何体是由半球与圆锥构成，球的半径R＝3，圆锥半径R＝3，高为4，所以V组合体＝V半球＋V圆锥＝×π×33＋π×32×4＝30π. 8．(浙江高考)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β.( ) B．若α⊥β，则l⊥mA．若l⊥β，则α⊥βD．若α∥β，则l∥mC．若l∥β，则α∥β解析：选A ∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．9．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥SABC的体积为( )B.23A.3D.53C.3解析：选C 由题可知AB一定在与直径SC垂直的小圆面上，作过的小圆交直径SC于D，如图所示，设SD＝x，则DC＝4AB x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥SABD和CABD，－△SAD和△SBD中，由已知条件可得AD＝BD＝x，又因在为SC为直径，所以∠SBC＝∠SAC＝90°，所以∠DBC＝∠DAC＝45°，所以在△BDC中，BD＝4－x，所以x＝4－x，解得x＝2，所以AD＝BD＝2，所以△ABD为正三角形．所以V＝S△ABD×4＝.10．过点P(－2,4)作圆(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线l1：ax＋3y＋2a＝0与l平行，则l1与l间的距离是( )B.12A.5D.2C.5解析：选B 直线l1的斜率k＝－，l1∥l，又l过P(－2,4)，∴直线l的方程为y－4＝－(x＋2)，即ax＋3y＋2a－12＝0，又直线l与圆相切，∴＝5，∴a＝－4，∴l1与l的距离为d＝. 11．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )B．y－1＝0A．x＋y－2＝0D．x＋3y－4＝0C．x－y＝0解析：选A 由题意知，当所求直线与OP所在直线垂直时，分圆形区域这两部分的面积之差最大，又kOP＝1，故所求直线为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0. 12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )B．42A．6D．4C．6解析：选C 如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面为三棱锥ABCD，最长的棱为AD＝＝6，选C.体二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，20分)共13．已知平面α，β和直线m ，若α∥β，则满足下列条件中的________(填序号)能使m⊥β成立． ①m ∥α；②m ⊥α；③m ⊂α. 解析：m⊥α，α∥β⇒m⊥β.答案：②14．若直线l1：ax ＋y ＋2a ＝0与l2：x ＋ay ＋3＝0互相平行，则实数a ＝________.解析：由两直线平行的条件A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0得⎩⎨⎧a2－1＝0，3a －2a≠0，得a ＝±1. 答案：±115．如图，三棱柱ABCA1B1C1中，若E ，F 分别为AB ，AC 的中点，平面EB1C1F 将三棱柱分成体积为V1，V2的两部分，那么V1∶V2＝________.解析：设三棱柱的高为h ，底面的面积为S ，体积为V ，则V ＝V1＋V2＝Sh.因为E ，F 分别为AB ，AC 的中点，所以S△AEF＝S ，V1＝h ＝Sh ，V2＝Sh －V1＝Sh ，故V1∶V2＝7∶5.答案：7∶516．(江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________．解析：因为直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，所以圆心(1,0)到直线mx－y－2m－1＝0的最大距离为d＝＝，所以半径最大时的半径r＝，所以半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.答案：(x－1)2＋y2＝2三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P，(1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．解：(1)∵经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，∴＝3，解得λ＝2或λ＝.∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.(2)由解得交点P(2,1)，P作任一直线l，设d为点A到l的距如图，过离，d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．则∴dmax＝|PA|＝. 18．(12分)(全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C116，BC上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．解：(1)交线围成的正方形EHGF如图所示．作EM⊥AB，垂足为M，(2)如图，A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.则AM＝形EHGF为正方形，因为四边所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6.故S四边形A1EHA＝×(4＋10)×8＝56，S四边形EB1BH＝×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为. 19．(12分)如图所示，在棱锥ABPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．AB的中证：(1)DM∥平面APC；求面ABC⊥平面APC.(2)平证明：(1)∵M为AB的中点，D为PB的中点，∴DM∥AP.又∵DM平面APC，AP平面APC，∴DM∥平面APC.(2)∵△PMB为正三角形，D为PB的中点，∴DM⊥PB.又∵DM∥AP，∴AP⊥PB.又∵AP⊥PC，PC∩PB＝P，∴AP⊥平面PBC.∵BC平面PBC，⑨∴AP⊥BC.又∵AC⊥BC，且AC∩AP＝A，∴BC⊥平面APC.又∵BC平面ABC，⑨∴平面ABC⊥平面APC.20．(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，A(a,0)(a＞0)，B(0，a)，C(－4,0)，D(0,4)，设△AOB的外接圆圆心为E.(1)若圆E与直线CD相切，求实数a的值；(2)设点P在圆E上，使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问这样的圆E是否存在？若存在，求出圆E的标准方程；若不存在，说明理由．解：(1)直线CD方程为y＝x＋4，圆心E，半径r＝a.由题意得＝a，解得a＝4.(2)∵|CD|＝＝4，∴当△PCD面积为12时，点P到直线CD的距离为3.又圆心E到直线CD距离为2(定值)，要使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，需圆E的半径＝5，解得a＝10，此时，圆E的标准方程为(x－5)2＋(y－5)2＝50. 21．(12分)(四川高考)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线DF⊥平面BEG.解：(1) 点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下：为正方体，因为ABCDEFGH＝FG.所以BC∥FG，BCEH，又FG∥EH，FG＝所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH平面ACH，BE平面ACH，⑨所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明：连接FH，与EG交于点O，连接BD.因为ABCDEFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH.因为EG平面EFGH，所以DH⊥EG.⑨又EG⊥FH，DH∩FH＝H，所以EG⊥平面BFHD.又DF平面BFHD，所以DF⊥EG.⑨同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG. 22．(12分)已知△ABC的三个顶点A(－1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圆为圆H.(1)若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；(2)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围．解：(1)线段AB的垂直平分线方程为x＝0，线段BC的垂直平分线方程为x＋y－3＝0，所以外接圆圆心H(0,3)，半径r＝＝，圆H的方程为x2＋(y－3)2＝10.设圆心H到直线l的距离为d，因为直线被圆H截得的弦长为2，所以d＝＝3.当直线l垂直于x轴时，显然符合题意，即x＝3为所求；当直线l不垂直于x轴时，设直线方程为y－2＝k(x－3)，则＝3，解得k＝，∴直线方程为4x－3y－6＝0.综上，直线l的方程为x＝3或4x－3y－6＝0. (2)直线BH的方程为3x＋y－3＝0，设P(m，n)(0≤m≤1)，N(x，y)，因为点M是线段PN的中点，所以M，又M，N都在半径为r的圆C上，所以错误!即错误!因为关于x，y的方程组有解，即以(3,2)为圆心，r为半径的圆与以(6－m,4－n)为圆心，2r为半径的圆有公共点，所以(2r－r)2≤(3－6＋m)2＋(2－4＋n)2≤(r＋2r)2，又3m＋n－3＝0，所以r2≤10m2－12m＋10≤9r2对任意的m∈[0,1]成立．而f(m)＝10m2－12m＋10在[0,1]上的值域为，故r2≤且10≤9r2.又线段BH与圆C无公共点，所以(m－3)2＋(3－3m－2)2＞r2对任意的m∈[0,1]成立，即r2＜，故圆C的半径r的取值范围为.。

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——教学资料参考参考范本——
2019-
2020学年度北师大版数学必修2课时跟踪检测：（六）平行关
系的判定
______年______月______日
____________________部门
层级一学业水平达标
1．能保证直线a与平面α平行的条件是( )
A．bα，a∥b⑨
B．bα，c∥α，a∥b，a∥c⑨
C．bα，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD⑨
D．aα，bα，a∥b
⑨
解析：选D 由线面平行的判定定理可知，D正确．2．如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是( )
B．b∥α
A．相交
D．b∥α或bα⑨⑨
C．bα解析：选D 由a∥b，且a∥α，知b与α平行或bα.⑨3．已知三个平面α，β，γ，一条直线l，要得到α∥β，必须
满足下列条件中的( ) A．l∥α，l∥β，且l∥γ B．lγ，且l∥α，l∥β⑨
C．α∥γ，且β∥γ D．α∩γ＝l，且l∥β
解析：选C ⇒α与β无公共点⇒α∥β. 4．如图，在四面体ABCD中，若M，N，P分别为线段AB，BC，CD
直线BD与平面MNP的位置关系为( )的中点，则
行A．平
能相交B．可
C．相交或BD平面MNP⑨
D．以上都不对
解析：选A 因为N，P分别为线段BC，CD的中点，
所以NP∥BD，又BD平面MPN，NP平面MPN，
⑨
所以BD∥平面MNP. 5．如图，下列正三棱柱ABCA1B1C1中，若M，N，P分别为其所
在棱的中点，则不能得出AB∥平面MNP的是( )解析：选C 在图A、B中，易知AB∥A1B1∥MN，所以AB∥平面MNP；在图D中，易知AB∥PN，所以AB∥平面MNP.故选C. 6．已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m⊂α，l∥m”中另外添加的一个条件是________．解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件
是“lα”．
答案：lα7．已知A，B两点是平面α外两点，则过A，B与α平行的平面
有________个．解析：当A，B两点在平面α异侧时，不存在这样的平面．当A，B两点在平面同侧时，若直线AB∥α，则存在一个，否则不存在．
答案：0或1
8. 如图，在五面体FEABCD中，四边形CDEF
矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面为
的位置关系是________．ADE 解析：∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为
矩形，∴CF∥DE，
∴MN∥DE.又MN平面ADE，DE平面ADE，
⑨
∴MN∥平面ADE.
答案：平行9．已知正方形ABCD，如图(1)E，F分别是AB，CD的中点，将
△ADE沿DE折起，如图(2)所示，求证：BF∥平面ADE.
证明：∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EB＝FD.
又∵EB∥FD，∴四边形EBFD为平行四边形，
∴BF∥ED.
∵DE平面ADE，而BF平面ADE，⑨
∴BF∥平面ADE.
10．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F
分别是AB，BC的中点，G为DD1上一点，且D1G∶GD
AC∩BD＝O，求证：平面AGO∥平面＝1∶2，
D1EF. EF∩BD＝H，连接D1H，在△DD1H中，证明：设
因为＝＝，
所以GO∥D1H，
又GO平面D1EF，D1H 平面D1EF，
⑨
所以GO∥平面D1EF.
在△BAO中，因为BE＝EA，BH＝HO，所以EH∥AO.
又AO平面D1EF，EH平面D1EF，
⑨
所以AO∥平面D1EF，
又GO∩AO＝O，所以平面AGO∥平面D1EF.
层级二应试能力达标
1．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1
与平面AA1B1B的位置关系是( )
A．相交
B．平行
D．相交或平行
C．异面
解析：选 B 如图，MC1平面DD1C1C，而平面AA1B1B∥平面
DD1C1C，故MC1∥平面AA1B1B.⑨2．平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于D，
E，且AD∶DB＝AE∶EC，如图所示，则BC与α的位
关系是( )置B．相交
A．平行
D．BC⊂α
C．异面
解析：选A 在△ABC中，因为AD∶DB＝AE∶EC，所以BC∥DE.因
为BCα，DEα，所以BC∥α.⑨3．已知直线a，b，平面α，β，下列命题正确的是( )
A．若a∥α，b∥a，则b∥α
B．若a∥α，b∥α，aβ，bβ，则β∥α⑨⑨
C．若α∥β，b∥α，则b∥β
D．若α∥β，aα，则a∥β⑨
解析：选D 若a∥α，b∥a，则b∥α或b⊂α，故A错误；由
面面平行的判定定理知B错误；若α∥β，b∥α，则b∥β或bβ，
故C错误．故选D.⑨4．在正方体EFGHE1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是
( )
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
解析：选 A 如图易证E1G1∥平面EGH1，
G1F∥平面EGH1.又E1G1∩G1F＝G1，E1G1，G1F平
E1FG1，⑨面所以平面E1FG1∥平面EGH1.
5．正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过A，
C，E三点的平面的位置关系是________．解析：如图所示，连接BD交AC于点O，连接OE，在正方体中容易
中点．又因为E为DD1的中点，所以得到点O为BD的
OE∥BD1.
ACE，BD1平面ACE，⑨又∵OE平面
∴BD1∥平面ACE.
答案：平行6．如图是正方体的平面展开图．在这个正
中，方体
BM∥平面ADNE；①
②CN∥平面ABFE；
③平面BDM∥平面AFN；
BDE∥平面NCF.④平面
个命题中，正确命题的序号是________．以上四
以ABCD为下底面还原正方体，如图：解析：
则易判定四个命题都是正确的．
答案：①②③④
7．如图在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别为棱AB，
CC1，AA1，C1D1的中点，求证：平面CEM∥平面BFN.证明：因为E，F，M，N分别为其所在各棱的中点，如图，连接
易知FN∥CD1.CD1，A1B，
ME∥A1B.同理，
边形A1BCD1为平行四边形，所以ME∥NF.易证四
连接MD1，同理可得MD1∥BF.
又BF，NF为平面BFN中两相交直线，ME，MD1为平面CEM中两相
交直线，
故平面CEM∥平面BFN. 8．在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和
ACC1A1都为矩形．设D，E分别是线段BC，CC1的中
点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面
A1MC？请证明你的结论．解：存在．取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O
为A1C，AC1的交点．由已知，O为AC1的中点．连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，
OE綊AC，所以MD綊AC，
所以MD綊OE.
四边形MDEO为平行四边形，连接OM，从而
则DE∥MO.
因为直线DE平面A1MC，MO平面A1MC，
所以直线DE∥平面A1MC.
即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.。