二项式定理(人教B版)2
高中数学 第1章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理 新人教B版选修2-3
(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1).
解 原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2 ＋C45(x－1)＋C55－1
＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
规律方法 运用二项式定理展开二项式，要记准展开式的 通项公式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简 捷；要搞清楚二项展开式中的项以及该项的系数与二项式 系数的区别.逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问 题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律 以及各项的系数.
要点二 二项展开式通项的应用 例2 若 ( x＋ 1 )n展开式中前三项系数成等差数列，求：
4 2x (1)展开式中含x的一次项； 解 由已知可得 C0n＋C2n·212＝2C1n·12， 即n2－9n＋8＝0， 解得n＝8，或n＝1(舍去).
Tr＋1＝Cr8(
x)8－r·(
1
4
)r＝Cr8·2－r·x 4－34r，
＋
C
2 2n＋1
×142n
－
1×52
－
…
＋
C22nn＋1×14×52n－C22nn＋ ＋11×52n＋1＋52n＋1
＝
14(142n
－
C
1 2n＋1
×142n
－
1×5
＋
C
22n＋1×142n
－
2×52
－
…
＋
C22nn＋1×52n).
上式是14的倍数，能被14整除，所以34n＋2＋52n＋1能被14整除 .
10－2r 令 3 ＝2，得
r＝12(10－6)＝2.
故 x2 项的系数为 C210(－3)2＝405.
人教B版高中数学选择性必修第二册精品课件 第3章 排列、组合与二项式定理 第2课时 组合数的应用
基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标
课程标准
1.学会运用组合的概念,分析简单的实际问题. 2.能够运用排列、组合知识解决相关问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点 应用组合知识解决实际问题的基本步骤 1.判断:判断实际问题是不是组合问题. 2.方法:选择利用直接法还是间接法解题. 3.计算:利用组合数公式结合两个计数原理解题. 4.结论:根据计算结果写出方案个数. 名师点睛 有限制条件的组合问题的求解策略 (1)解答有限制条件的组合问题的基本方法是直接法和间接法(排除法).若 用直接法求解,则应坚持“特殊元素优先选取”的原则.用间接法求解的原则 是“正难则反”. (2)在具体计算组合数时,要注意灵活选择组合数的公式及性质.
规律方法 常见的有限制条件的组合问题及解题方法 1.特殊元素:若要选取的元素中有特殊元素,则要以有无特殊元素,特殊元素 的多少作为分类依据. 2.含有“至多”“至少”等限制语句:要分清限制语句中所包含的情况,可以以 此作为分类依据,或采用间接法求解. 3.分类讨论思想:解题的过程中要善于利用分类讨论思想,将复杂问题分类 表达,逐类求解.
12345
2.某省高考改革后实施选科走班制度,小明需要从物理、化学、生物、思
想政治、历史、地理中选择三科作为自己的选科组合,物理和历史不同时
选择,则小明不同的选科情况有( B )
A.14种
B.16种
C.18种
D.20种
解析 由题意,从物理、化学、生物、思想政治、历史、地理中选择三科作
为自己的选科组合,且物理和历史不能同时选择,可分为三类:(1)若物理和历
有C43
C11A22
+
C
【人教B版高中数学选择性必修第二册】二项式定理与杨辉三角(2)-课件
课堂小结
本节课学习了杨辉三角，并通过观察总结 杨辉三角中数字的特征，再次回顾了组合数的 性质．应用二项式定理证明整除问题及估计近 似值．
课后作业
教材P33习题3–3A3、5 P34习题3–3C4
拓展作业
通过书籍或者网络查找有关数学材料，了 解杨辉三角中蕴含的其他数学内容，将有关材 料整理成小论文，与其他同学进行交流．
1
辉 三
第1行 (a b)1
第2行 (a b)2 第3行 (a b)3
11 12 1 13 3 1
角 第4行 (a b)4
14 6 4 1
第5行 (a b)5 1 5 10 10 5 1
第6行 (a b)6 1 6 15 20 15 6 1
··· ···
说明：假设
C k 1 n
Cnk
，则
角 第4行 (a b)4
14 6 4 1
第5行 (a b)5 1 5 10 10 5 1
第6行 (a b)6 1 6 15 20 15 6 1
··· ···
图片来自互联网资源
我国古代数学家贾宪在1050年前后就 给出了类似的数表，这一成果在南宋 数学家杨辉著的《详解九章算术》中
得到摘录．因此，这一数表在我国称 为“贾宪三角”或“杨辉三角”．西方文 献中，一般称其为“帕斯卡三角”，这 些文献认为类似的数表是数学家帕斯 卡于1654年发现的．实际上比我国发 现数表要晚了600多年．
二项式定理与杨辉三角（2）
高二年级 数学
复习上节课的主要内容：
1.二项式定理：(a b)n Cn0an Cn1an1b ... Cnk ankbk ... Cnnbn 二项展开式有n+1项，按a的降幂排列，利用定理可以 直接写二项展开式．
二项式定理教学设计-高二上学期数学人教B版(2019)选择性必修第二册
《二项式定理》教学设计一、教学目标1.能发现二项展开式的规律，并会组合数模型证明二项式定理。
2.能把二项式正确展开，掌握二项式展开式的特点。
3.能运用通项求解特定项，会区分某一项的二项式系数和系数。
二、教学重点1.发现并证明二项式定理。
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。
三、教学难点发现二项展开式系数与组合数的关系。
四、教学过程（一）自学质疑，发现问题上课之前教师留一节课给学生，让学生预习课本知识，并填写《二项式定理预习学案》，在学案中提出预习中存在的疑惑。
设计意图：根据教学目标，应该为学生创造积极探究的平台，让学生从被动学习转化成主动学习。
（二）汇集问题，小组交流1.学生在学案中填提出没有解决的问题，4人为一组，由组长组织讨论，交流看法。
2.组长负责收集小组讨论后仍然没有解决的问题，并汇总给老师。
3.老师批改学生的预习学案，找到预习中学生存在的问题，并把每个小组上交的问题再汇总，并整合。
设计意图：小组讨论给了学生探索的更大空间，使每个学生都能参与二项式定理的形成过程，符合“以学生为主体”的新课程理念，充分发挥学生的主动性。
本节课教师运用“问题—解决”的课堂教学模式，采用启发式的教学方法，所以教师要提前整合问题，从而上课能更有针对性的引导学生解决问题。
（三）讨论问题，互动探究教学活动设计：教师在黑板上把学生预习中存在的问题投影：问题1.二项式定理中系数是如何得到的？问题2.二项展开式中的通项怎么用？问题3.学习了二项式定理可以解决哪些问题？设计意图：通过问题激发学生的求知欲，明白本节课的学习任务，提高学生的听课效率。
教学活动设计：渗透数学文化“牛顿发现二项式定理”，引入本节课课题。
问题1：图片中的人物是谁？他跟我们今天学习的这节课有什么关系？设计意图：教师在课堂上引入数学家牛顿的数学故事，让学生体会追求真理的探究精神，进一步感受数学文化的深厚底蕴。
a+展开呢？问题2：如果让你给出一个方案，你怎么把()n b预设回答：先写几个具体的例子，找规律。
人教版B版高中数学选修2-3(B版)二项式定理
2．二项式系数的性质 (1)对称性：Cn0＝Cnn，C1n＝Cnn－1，Cn2＝Cnn－2，…，Crn＝ Cnn－r. (2)增减性与最大值：二项式系数 Cnk，当 k<n＋2 1时， 二项式系数是递增的；当 k>n＋2 1时，二项式系数是递减 的．当 n 是偶数时，中间的一项的系数最大．当 n 是奇 数时，中间两项的系数相等且最大．
∴m 为关于 n 的减函数， ∴当 n＝1 时，m 取得最大值23， 又∵n∈N*，∴m>12，故12<m≤23. [点评] 要注意区分二项式展开式中的项的系数和 二项式系数．
二、填空题 4．若(x－2)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________.(用数字作答)
(3)C0n＋Cn1＋C2n＋…＋Crn＋…＋Cnn＝2n. (4)C1n＋Cn3＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1.
误区警示 1．通项公式 Tk＋1＝Cnkan－kbk 是第 k＋1 项，而不是第 k 项，注意其指数规律． 2．求二项式展开式中的特殊项(如：系数最大的项、 二项式系数最大的项、常数项、含某未知数的次数最高的 项、有理项…)时，要注意 n 与 k 的取值范围．
[答案] 31
[解析] 令 f(x)＝(x－2)5，则 f(1)＝－1＝a5＋a4＋a3 ＋a2＋a1＋a0，f(0)＝－32＝a0，
∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝f(1)－a0＝31.
展开式中 x 的系数为( )
A．－150
B．150
C．300
D．－300
解析：令 x＝1，得 M＝4n，又 N＝2n，故 4n－2n＝
240.解得
n＝4.展开式中的通项为
高二数学人教B版选择性必修第二册第三章排列组合与二项式定理第二节生日悖论的解释与模拟课件
探索与体验用计算机模拟数据验证结论的过程；
图像或徒手描点）；
（摘自商务印书馆出版的第7版《现代汉语词典》）
课后作业
1.尝试做出函数 p(n) 的图像（推荐Geogebra做函数
找多个班的学生、亲人、朋友、历史人物等生日资料，计算同一天过生日的数量占总实验次数的比例.
数学探究活动：生日悖论的解释与模拟（1）高二年级 数学
探究（二）概率计算公式验证
悖论：逻辑学指可以同时推导或证明两个互相矛盾的命题的命题或理论体系.
（1）统计当每个数组中数据个数分别为 22，23，30，31，40，41，59，60时，出现相同数据的频率，也可以根据自己兴趣调整实验数据；
数学探究活动：生日悖论的解释与模拟（1）
高二年级 数学
悖论：逻辑学指可以同时推导或证明两个互相矛盾的命 题的命题或理论体系.（摘自商务印书馆出版的第7版《现代 汉语词典》）
悖论是指这样一种逻辑上自相矛盾的状况：肯定一个命 题，就得出它的矛盾命题.也就是说：如果肯定命题A，就推 出非A；如果肯定非A，就推出A.(摘自吉林人民出版社1983 年出版的《逻辑学词典》)
探究（二）概率计算公式验证
由23个人组成的人群中至少有两个人生日相同的概率．
p
1
A23 365
36523
1
365!
36523 365 23!
0.5073
探究（二）概率计算公式验证
由41个人组成的人群中至少有两个人生日相同的概率．
p
1
A41 365
36541
1
365!
36541 365
41!
19 0.37912 35 0.81438 51 0.97443
20 0.41144 36 0.83218 52 0.978
新高考新教材一轮复习人教B版 第九章 第二节 二项式定理与杨辉三角 学案
第二节二项式定理与杨辉三角课程标准解读1．能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.[知识排查·微点淘金]知识点一二项式定理1．二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)．2．通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k，它表示第k＋1项．3．二项式系数：展开式中第k＋1项的二项式系数为C k n.知识点二二项式系数的性质[微思考](a＋b)n展开式的某项的系数与其对应的二项式系数相同吗？提示：不一定．(a＋b)n展开式的通项是C k n a n－k b k，其二项式系数是C k n(k＝0,1…n)，不一定是这一项系数．[小试牛刀·自我诊断]1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)C k n a n－k b k是(a＋b)n的展开式的第k项．()(2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．()(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．()(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．(链接人B 选择性必修第二册P 31例3)若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )A ．10B ．20C ．30D ．120解析：选B 二项式系数之和2n ＝64，所以n ＝6，T k ＋1＝C k 6·x 6－k ·⎝⎛⎭⎫1x k ＝C k 6x 6－2k ，当6－2k ＝0，即当k ＝3时为常数项，T 4＝C 36＝20. 3．(链接人B 选择性必修第二册P 33T 6)化简：C 12n ＋C 32n ＋…＋C 2n －12n ＝________.解析：因为C 02n ＋C 12n ＋C 22n ＋…＋C 2n 2n ＝22n ，所以C 12n ＋C 32n ＋…＋C 2n －12n ＝12(C 02n＋C 12n＋…＋C 2n 2n )＝22n －1. 答案：22n －14．(混淆项的系数与二项式系数)在二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x n 的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为__________.解析：由题意得2n ＝32，所以n ＝5，令x ＝1，得各项系数的和为(1－2)5＝－1. 答案：－1一、基础探究点——二项展开式中特定项及系数问题(题组练透)1.⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中的常数项为( ) A ．－150 B ．150 C ．－240 D ．240解析：选D ⎝⎛⎭⎫x －2x 6的二项展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 6x 6－k ·⎝⎛⎭⎫－2x k ＝C k 6x 6－k ·(－2)k ·x －k 2＝(－2)k C k 6x 6－32k .令6－32k ＝0，解得k ＝4，故所求的常数项为T 5＝(－2)4·C 46＝240. 2．在⎝⎛⎭⎫x ＋2x 25的展开式中，x 2的系数是________. 解析：二项式⎝⎛⎭⎫x ＋2x 25的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·x 5－r ·⎝⎛⎭⎫2x 2r ＝C r 5·2r ·x 5－3r .令5－3r ＝2得r ＝1.因此，在⎝⎛⎭⎫x ＋2x 25的展开式中，x 2的系数为C 15·21＝10. 答案：103．在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________.解析：由二项展开式的通项公式可知T r ＋1＝C r 9·(2)9－r ·x r ，r ∈N,0≤r ≤9， 当项为常数项时，r ＝0，T 1＝C 09·(2)9·x 0＝(2)9＝16 2.当项的系数为有理数时，9－r 为偶数，可得r ＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5. 答案：16 2 5求形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤：第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r ，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r ；第三步，把r 代入通项公式中，即可求出T r ＋1，有时还需要先求n ，再求r ，才能求出T r ＋1或者其他量．二、综合探究点——二项式系数的性质或各项系数和(师生共研)[典例剖析][例1] (1)(2021·合肥模拟)已知(ax ＋b )6的展开式中x 4项的系数与x 5项的系数分别为135与－18，则(ax ＋b )6的展开式中所有项系数之和为( )A ．－1B ．1C ．32D ．64[解析] 选D 由二项展开式的通项公式可知x 4项的系数为C 26a 4b 2，x 5项的系数为C 16a 5b ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧C 26a 4b 2＝135，C 16a 5b ＝－18，解得a ＋b ＝±2，故(ax ＋b )6的展开式中所有项的系数之和为(a ＋b )6＝64.(2)若(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝( ) A ．0 B ．1 C ．32 D ．－1[解析] 选A 由(1－x )5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(－x )r ＝C r 5(－1)r x r，可知a 1，a 3，a 5都小于0，则|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.在原二项展开式中令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝0.(3)(2021·天津西青区模拟)在(1＋x )n (n ∈N *)的二项展开式中，若只有x 5的系数最大，则n ＝________.[解析] 二项式中仅x 5的系数最大，其最大值必为C n 2n ，即得n2＝5，解得n ＝10.[答案] 10赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x ，y 的一切值都成立．因此，可将x ，y 设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．如：(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可；(2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．[学会用活]1．(2021·山西八校联考)已知(1＋x )n 的展开式中第5项和第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．29B ．210C ．211D ．212解析：选A 由题意知C 4n ＝C 6n ，由组合数性质得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.2．(2021·淄博模拟)已知m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 由题意可知，a ＝C m 2m ，b ＝C m2m ＋1，∵13a ＝7b ，∴13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！m ！(m ＋1)！，即137＝2m ＋1m ＋1，解得m ＝6.三、应用探究点——多项式展开式中特定项、系数问题(多向思维)[典例剖析]思维点1 几个多项式和展开式中特定项问题[例2] (2021·长沙雅礼中学模拟)在1＋(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋(1＋x )4＋(1＋x )5的展开式中，含x 2项的系数是( )A ．10B ．15C ．20D ．25[解析] 选C 含x 2项的系数为C 22＋C 23＋C 24＋C 25＝20.对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可．思维点2 几个多项式积展开式中特定项问题 [例3] ⎝⎛⎭⎫x ＋y2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 [解析] 选C因为(x ＋y )5的展开式的第r ＋1项T r ＋1＝C r 5x5－r y r ，所以⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为C 35＋C 15＝15.故选C.对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．思维点3 三项展开式中特定项问题[例4] (1＋2x －3x 2)5展开式中x 5的系数为________.[解析] 法一：(1＋2x －3x 2)5＝[(1＋2x )－3x 2]5＝C 05(1＋2x )5＋C 15(1＋2x )4(－3x 2)＋C 25(1＋2x )3·(－3x 2)2＋…＋C 55(－3x 2)5，所以x 5的系数为C 05C 55×25＋C 15C 34×23×(－3)＋C 25C 13×2×(－3)2＝92.法二：(1＋2x －3x 2)5＝(1－x )5(1＋3x )5，所以x 5的系数为C 05C 55×35＋C 15(－1)C 45×34＋C 25(－1)2C 35×33＋C 35×(－1)3C 25×32＋C 45×(－1)4C 15×31＋C 55×(－1)5C 05×30＝92. [答案] 92(a ＋b ＋c )n 展开式中特定项的求解方法[学会用活]3．(2021·沧州七校联考)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为()A．12 B．16C．20 D．24解析：选A展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C34＋2C14＝4＋8＝12.4．(2021·嘉兴联考)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10 B．20C．30 D．60解析：选C法一：利用二项展开式的通项求解．(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5.所以x5y2的系数为C25C13＝30.故选C.法二：利用排列组合知识求解．(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个因式取y，剩余的三个因式中两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为C25C23C11＝30.故选C.。
高二数学(选修-人教B版)-二项式定理(2)-2PPT
练习2 已知 (a x)(1 x)4 的展开式中的 x 奇数次幂项的系数之和 为32，求 a 的值.
分析：(a x)(1 x)4 a0 a1x a2 x2 a3x3 a4 x4 a5x5,
解：设 (a x)(1 x)4 a0 a1x a2 x2 a3x3 a4x4 a5x5,
二项式定理（2）
高二年级 数学
复习：二项式定理：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2an2b2 Cnr anrbr Cnnbn. (n N )
其中各项系数 Cnr (r 0,1, , n) 叫做展开式的二项式系数. Tr1 Cnr anrbr (0 ≤ r ≤ n,r N,n N ), 通项是展开式的第 r 1 项. 若设 a 1, b x，则 (1 x)n Cn0 Cn1x Cn2 x2 Cnn xn.
(a b)1
11
1. Cn0 Cnn 1
(a b)2
12 1
Cm n1
C m1 n
Cnm
(a b)3 (a b)4
13 3 1 14 6 4 1
2.
Cnm
C nm n
(a b)5 1 5 10 10 5 1
(a b)6 1 6 15 20 15 6 1
……
n
3.如果二项式的幂指数 n 是偶数， Cn2 最大，
分析：两个数比大小的方法
(1)作差法
（2）作商法
对任意的 r , r = 1, 2 , … , n-1, n>2 .
Cnr
n! , r!(n r)!
C r1 n
(r
n! 1)!(n
r
, 1) !
C r1 n
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n! 1)!(n
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解析
变式迁移 2 求 (4＋ 2x＋ x2)(2－ x)7 的展开式中 x5 的系数．
解析 (4＋ 2x＋ x2)(2－ x)7 ＝ (8－ x3)(x－ 2)6 5 2 2 4 3 3 3 4 4 2 ＝ (8－ x3)[(x6)－ 2C1 6 x ＋ (－ 2) C 6 x ＋ (－ 2) C 6 x ＋ (－ 2) C 6 x ＋ „„ ]． 5 5 ∴含 x5 的项为－ 2× 8× C1 x5－ (－ 2)4C4 6· 6x ＝－ 336x ， ∴ x5 的系数为－ 336.
题型二 多项式转化为二项式 1 例 2 若 (x＋ － 2)n 的展开式中常数项为－ 20，则自然数 n＝ x ________.
当 x＞ 0 或 x＜ 0 时，原式可化成二项式． 1 1 2n n 当 x＞ 0 时， (x＋ － 2) ＝ ( x－ ) 的常数项为 (－ 1)nCn 2n； x x 1 1 2n n n 当 x＜ 0 时， (x＋ － 2) ＝ (－ 1) ( － x＋ ) 的常数项为 (－ x －x 1)nCn 2n. 由条件知， (－ 1)nCn 2n＝－ 20，解得 n＝ 3. 答案 3
考 点 串 串 讲 1．二项式定理 对 n∈ N*， －1 n 1 n－ 1 n－ r r n－ 1 ( a ＋ b ) n ＝ C0 b＋„„＋ Cr b ＋„„＋ Cn ＋ na ＋ Cn a na n ab n n Cn b . n－ r r (1)展开式的第 r＋ 1 项 (通项 )Tr＋ 1＝ Cr b. na 其中 Cr n(r＝ 0,1,2，„„ n)叫做二项式系数． (2)二项式系数与项的系数是不同的，如 (a＋bx)n(a、b∈ R)的展 r n 开式中，第 r＋ 1 项的二项式系数是 Cr n，而第 r＋ 1 项的系数为 Cna －r r b.
2 r ) (r＝ 0,1， „， 10)． 3x (1)展开式的第 4 项的二项式系数为 (r＝ 3) C3 10＝ 120. (2)展开式的第 4 项的系数为 23 7 C3 3 ( － ) ＝－ 77760. 10 3 1 (3)展开式的第 4 项为－ 77760( x)7·3，即－ 77760 x. x 点评 要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异．二 项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及 项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均 有关 .
2． 二项式中的最值问题 求 (a＋bx)n 展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，设展 开式各项系数分别为 A1， A2，„， An＋1 设第 r＋ 1 项系数最大，则 Ar＋ 1≥ Ar， Ar＋ 1≥ Ar＋2. 求二项式中最大最小项问题，通常是应用二项展开式的通项公 式，将设出的最大 (小 )项和前项、后项作商比较，从而确定出 r，使 问题得以解决． 3． 二项式定理的主要应用 (1)赋值求值； (2)证明某些整除问题或求余数； (3)证明有关等式与不等式； (4)进行近似计算 .
(3)通项公式主要用于求二项式的指数， 求满足条件的项或系数， 求展开式的某一项或系数．在运用公式时要注意以下几点： n－k k ① Ck b 是第 k＋ 1 项，而不是第 k 项； na n－k k ②运用通项公式 Tk＋ 1＝ Ck b 解题，一般都需先转化为方程 na (组 )求出 n、 k，然后代入通项公式求解． ③求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出 k，再 求所需的某项；有时需先求 n，计算时要注意 n 和 k 的取值范围及 它们之间的大小关系． (4)二项式(a＋b)n 的展开式有 n＋1 项，是和的形式，各项的幂 指数规律是：①各项的次数和都等于二项式的幂指数 n；②字母 a 按降幂排列，从第一项起，次数由 n 逐项减 1 直到 0，字母 b 按升 幂排列，从第一项起，次数由 0 逐项加 1 直到 n.
变式迁移 1 1 6 3 (1＋ x )(x＋ 2) 展开式中的常数项为 ________． x
答案
35ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 6 0 6 1 5 1 2 4 1 2 3 3 1 3 解析 (x ＋ 2) ＝ C 6 x ＋ C 6 x ( 2 ) ＋ C 6 x ( 2) ＋ C 6 x ( 2) ＋ C4 6 x x x x 1 1 5 1 6 6 1 6 3 2 x2( 2)4＋ C5 x ( ) ＋ C ( ) ， ∴ (1 ＋ x )( x ＋ 2 2) 中的常数项为 C 6＋ 6 6 2 x x x x 1 3 x ×20× 3＝ 35. x
(5)二项式定理是一个恒等式，对待恒等式通常有两种思路：一 是利用恒等定理 (两个多项式恒等， 则对应项系数相等)； 二是赋值 (既 然任意的实数 a，b 都成立，那么特殊的实数 a，b 也一定成立 )，根 据需要对 a，b 赋值．可以利用二项式定理解决一些特殊问题，如求 所有项的系数和等． (6)(a＋ b)n 与(b＋a)n 虽然相同， 但具体到它们展开式的某一项时 n－ r r 是不相同的， (a＋ b)n 的展开式的第 r＋ 1 项 Cr b 和 (b＋ a)n 的展开 na n－ r r 式的第 r＋ 1 项 Cr b a 是有区别的．应用二项式定理时，其中的 a n 和 b 是不能随便交换的．
典 例 对 对 碰 题型一 求二项式系数和展开式中项的系数 2 10 例 1 已知二项式 (3 x－ ) . 3x (1)求展开式第四项的二项式系数； (2)求展开式第四项的系数； (3)求第四项．
解析
(3 x－
2 10 10－ r ) 的展开式的通项是 Tr＋ 1＝ Cr (－ 10(3 x ) 3x
(7)二项式定理中，二项式系数的性质有 ①在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系 数相等，即 n 1 n－ 1 2 n－ 2 r n－ r C0 n＝ Cn， C n＝ Cn ， Cn＝ Cn ，„， Cn＝ Cn . ②如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数， 中间两项的二项式系数相等并且最大． ③二项式系数的和等于 2n，即 1 2 n n C0 n＋ Cn＋ C n＋„＋ Cn＝ 2 . ④二项式展开式中，偶数项系数和等于奇数项的系数和，即 3 5 0 2 4 n－1 C1 . n＋ Cn＋ C n„＝ C n＋ Cn＋ Cn＋„＝ 2