2020版高考数学一轮复习第七章不等式、推理与证明7.1二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课程教学课
2020届高考理科数学_人教版_一轮复习资料 第七章 不等式_推理与证明_第一节 不等关系与一元二次不等式 (6)
课时跟踪检测(四十二) 数学归纳法1．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋16n －1(n ∈N *)，则f (1)的值为( ) A ．1 B.15C ．1＋12＋13＋14＋15D ．非以上答案解析：选C 等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n －1，则当n ＝1时，最大分母为5，故选C.2．下列结论能用数学归纳法证明的是( )A ．x ＞sin x ，x ∈(0，π)B ．e x ≥x ＋1(x ∈R)C ．1＋12＋122＋…＋12n －1＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1(n ∈N *) D ．sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(α，β∈R)解析：选C 数学归纳法是用来证明与自然数有关的命题的一种方法，由此可知选项C 符合题意．3．已知f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的关系是( )A ．f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2B ．f (k ＋1)＝f (k )＋(k ＋1)2C ．f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋2)2D ．f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2解析：选A f (k ＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋[2(k ＋1)]2＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.4．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1＜f (n )(n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k －1项D ．2k 项解析：选D 令不等式的左边为g (n )，则g (k ＋1)－g (k )＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋12k －1＝12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1， 其项数为2k ＋1－1－2k ＋1＝2k ＋1－2k ＝2k .故左边增加了2k 项．5．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1＝1－a n ＋21－a (n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1成立时，左边所得的项为___________．解析：当n ＝1时，n ＋1＝2，所以左边＝1＋a ＋a 2.答案：1＋a ＋a 26．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1(n ＋1)2＞12－1n ＋2，假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是____________________________________．解析：观察不等式中分母的变化便知．答案：122＋132＋…＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2＞12－1k ＋37．用数学归纳法证明等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2. 证明：(1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0×1×(1＋1)2＝1，左边＝右边，原等式成立． (2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2. 那么，当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＋(－1)k ·(k ＋1)2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2＋(－1)k ·(k ＋1)2 ＝(－1)k ·k ＋12[－k ＋2(k ＋1)] ＝(－1)k·(k ＋1)(k ＋2)2. ∴n ＝k ＋1时，等式也成立，由(1)(2)知对任意n ∈N *，都有12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2. 8．用数学归纳法证明：1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *)． 证明：(1)当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝12＋1， 所以32≤1＋12≤32，即命题成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ， 则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ＞1＋k 2＋2k ·12k ＋2k＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ＜12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)， 即n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，命题对所有n ∈N *都成立．9．已知数列{a n }满足a 1＝a ＞2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)．(1)求证：对任意n ∈N *，a n ＞2恒成立；(2)判断数列{a n }的单调性，并说明你的理由；(3)设S n 为数列{a n }的前n 项和，求证：当a ＝3时，S n ＜2n ＋43. 解：(1)证明：用数学归纳法证明a n ＞2(n ∈N *)恒成立． ①当n ＝1时，a 1＝a ＞2，结论成立；②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即a k ＞2， 则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋2＞2＋2＝2，所以n ＝k ＋1时，结论成立．故由①②及数学归纳法，知对一切的n ∈N *，都有a n ＞2成立．(2)数列{a n }是单调递减的数列．因为a 2n ＋1－a 2n ＝a n ＋2－a 2n ＝－(a n －2)(a n ＋1)，又a n ＞2， 所以a 2n ＋1－a 2n ＜0，所以a n ＋1＜a n .所以{a n }是单调递减的数列．(3)证明：由a n ＋1＝a n ＋2，得a 2n ＋1＝a n ＋2， 所以a 2n ＋1－4＝a n －2.根据(1)知a n ＞2(n ∈N *)，所以a n ＋1－2a n －2＝1a n ＋1＋2＜14， 所以a n ＋1－2＜14(a n －2)＜⎝⎛⎭⎫142(a n －1－2)＜…＜⎝⎛⎭⎫14n ·(a 1－2)． 所以当a ＝3时，a n ＋1－2＜⎝⎛⎭⎫14n ，即a n ＋1＜⎝⎛⎭⎫14n ＋2. 当n ＝1时，S 1＝3＜2＋43， 当n ≥2时，S n ＝3＋a 2＋a 3＋…＋a n＜3＋⎝⎛⎭⎫14＋2＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫142＋2＋…＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14n －1＋2 ＝3＋2(n －1)＋141－14⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n －1 ＝2n ＋1＋13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n －1＜2n ＋43. 综上，当a ＝3时，S n ＜2n ＋43(n ∈N *)．。
2020版高考数学大一轮复习第七章不等式推理与证明7.2二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件
A.1 B.2 C.3 D.4
关闭
由已知条件可以得到可行域,要使目标函数的最小值为2,则需要满足直线
过x+2y=1与x+y=a的交点,易知该交点为(2a-1,1-a),将其代入目标函数
z=2x+6y中,可求得a=1.
关闭
A
解析
答-案20-
考点一
考点二
考点三
������ + ������ ≥ 1, 关闭
7.2 二元一次不等式(组)与 简单的线性规划问题
-2-
年份 2018
2017 2016
2015
2014
简单的
3,5 分(理) 14,4 分(理) 13,4 分(理)
线性规 12,4 分 划
4,4 分 4,5 分(文) 14,4 分(文) 12,4 分(文)
考查要 求
1.了解二元一次不等式的几何意义. 2.掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系,并会 求解简单的二元线性规划问题.
-6-
知识梳理 双击自测
1.不等式x-2y+6<0表示的区域在直线x-2y+6=0的 ( ) A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方
画出图形(图略),可知该区域在直线x-2y+6=0的左上方. C
关闭 关闭
解析 答案
-7-
知识梳理 双击自测
2.不等式组 ������������--3���������+��� +26≥<00,表示的平面区域是(
线性规划问 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值 或
题
最小值 问题
-5-
知识梳理 双击自测
3.应用 利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是: (1)在平面直角坐标系内作出可行域. (2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形. (3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从 而确定最优解. (4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.
2020届高考数学总复习第七章不等式推理与证明7_1不等式的性质、一元二次不等式课件文新人教A版
当 a＝1 时，解集为∅；当 a>1 时，解集为xa1<x<1.
【反思归纳】
跟踪训练 2 (1)不等式2xx－＋51≥－1 的解集为__________．
(2)已知不等式 ax2－bx－1>0 的解集是x－12＜x＜－13 ，则 不等式 x2－bx－a≥0 的解集是( )
①若 a>b，c<d，则 a－c>b－d；②若 a>b>0，则3 a>3 b； ③若 a>b>0，c>d>0，则da>bc；④若ab>1，则 a>b. 其中正确说法的序号是________．
【解析】 对于①，∵a>b，c<d，∴－c>－d，∴a－c>b－d，
①正确；对于②，∵a>b>0，∴3 a>3 b>0，②正确；对于③，∵ c>d>0，∴cd>0，∵a>b>0，c>d>0，∴ac>bd>0，∴ad>bc，③正确； 对于④，当 a＝－2，b＝－1 时，④不正确．故填①②③.解答本 题时，易出现对不等式性质掌握不熟而造成的错误．
3．“三个二次”的关系
ax2＋bx＋c<0
(a>0)的解集 _____{_x_|x_1_<_x_<_x_2}___
∅
__∅___
4.常用结论(口诀：大于取两边，小于取中间) (x－a)(x－b)＞0或(x－a)(x－b)＜0型不等式的解法
不等式解集
a＜b
a＝b
a＞b
(x－a)·(x－b) {x|x＜a或x＞ _{_x_|x_≠__a_}_ _{_x_|x_＜__b_或__x_＞__a_}__
2020版高考文科数学(北师大版)一轮复习课件：第七章+不等式、推理与证明+7.1 (1)
必备知识·预案自诊
关键能力·学案突破 关键能力·学案突破
-14-
考点1
考点2
考点3
思考确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是什么?求 平面区域的面积的技巧是什么? 思路分析(1)先作可行域,再根据三角形面积公式求结果.(2)首先 ������ ≥ 1, 确定 ������-2������ + 1 ≤ 0 所表示的平面区域,然后结合点与直线的位置 关系整理计算即可求得最终结果.
表示的可行域有交点, 画出可行域M如图所示,
必备知识·预案自诊
关键能力·学案突破 关键能力·学案突破
-19-
考点1
考点2
考点3
求得A(2,10),C(3,8),B(1,9), 由图可知,欲满足条件必有a>1且图像在过B,C两点的图像之间, 当图像过B点时,a1=9,∴a=9, 当图像过C点时,a3=8,∴a=2, 故a的取值范围是[2,9],故选C. (2)由于x=1与x+y-4=0不可能垂直,所以只可能x+y-4=0与kx-y=0 垂直或x=1与kx-y=0垂直. ①当x+y-4=0与kx-y=0垂直时,k=1,检验知三角形区域面积为1,即 符合要求. ②当x=1与kx-y=0垂直时,k=0,检验不符合要求.故选A.
必备知识·预案自诊
关键能力·学案突破 关键能力·学案突破
-16-
考点1
考点2
考点3
(2)求平面区域的面积的方法: ①首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用 题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域; ②对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高;若为规则的 四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解;若为不规 则四边形,则可分割成几个三角形分别求解再求和. ③利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形,利用 数形结合的方法去求解.
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第七章不等式7.1不等关系与不等式课件文
＜4，所以α2－β 的取值范围是－32，121.故填－32，121.
第十六页，共25页。
点拨： ①需要注意的是，两同向不等式可以相加但不可以相减， 所以不能直接由12＜α2＜32和－4＜β＜2 两式相减来得到α2－β 的 范围．②此类题目用线性规划也可解．
第十九页，共25页。
(1)若角 α，β 满足－π2<α<β<π2，则 2α－β 的取值范围是________．
解：∵－π2＜α＜β＜π2，∴－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2，－π2＜ －β＜π2，而 α＜β，∴－π＜α－β＜0，∴2α－β＝(α－β)＋
α∈－32π，π2.故填－32π，π2.
第二十页，共25页。
第七章
不等式
考纲链接(liàn jiē)
1.不等关系 了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景． 2．一元二次不等式 (1)会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型． (2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． 3．二元一次不等式组与简单线性规划问题 (1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组． (2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． (3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 4．基本不等式： ab≤a＋2 b(a≥0，b≥0) (1)了解基本不等式的证明过程． (2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第七章不等式、推理与证明7.1不等关系与一元二次不等式课件
有以下两种方法:
(法一)令 g(x)=m
1 2
- 2
3
+ 4m-6,x∈[1,3].
当 m>0 时,g(x)在区间[1,3]上是增函数,
所以 g(x)max=g(3)⇒7m-6<0,
6
6
所以 m<7 ,所以 0<m<7.
当m=0时,-6<0恒成立;
当m<0时,g(x)在区间[1,3]上是减函数,
-26-
1
①当 a>0 时,原不等式可以化为 a(x-2) - <0,
根据不等式的性质,这个不等式等价于(x-2)· 1
1
1
<0.
因为方程(x-2) - =0 的两个根分别是 2, ,
1
1
所以当 0<a<2 时,2<,
则原不等式的解集是 2 < <
1
1
;
当 a=2 时,原不等式的解集是⌀ ;
当 a> 时,不等式的解集为
<<2 .
-21-
考点一
考点二
考点三
方法总结1.解不含参数的一元二次不等式时,当二次项系数为负
时要先化为正,再根据判别式符号判断对应方程根的情况,然后结
合相应二次函数的图象写出不等式的解集.
2.解含参数的一元二次不等式,要把握好分类讨论的层次,一般按
下面次序进展讨论:首先根据二次项系数的符号进展分类,其次根
(4)可乘性:a>b,c>0⇒ac> bc;a>b>0,c>d>0⇒ac> bd.
(5)可乘方:a>b>0⇒an> bn(n∈N,n≥1).
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.2 一元二次不等式及其解法课件 理
题型突破 典题深度剖析 重点多维探究
12/11/2021
题型一 多维探究 一元二次不等式的求解
命题点1 不含参的不等式
例1 (2019·新乡模拟)已知集合A＝{x|x2－4x<5}，则下列选项中正确的是
A.－1.2∈A
√C.log230∈A
B.30.9∉A D.A∩N＝{1,2,3,4}
12/11/2021
所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0， 所以m<6，所以m<0.
综上所述，m 的取值范围是mm<67
.
方法二 因为 x2－x＋1＝x－122＋43>0，
又因为
m(x2－x＋1)－6<0，所以
6 m<x2－x＋1.
因为函数 y＝x2－6x＋1＝x－1262＋34在[1,3]上的最小值为_≥__3_或__x_≤__2_}_.
解析 由题意，知－12，－13是方程 ax2－bx－1＝0 的两个根，且 a<0，
所以－－1212＋×－－1313＝＝ba－，a1，
解得ab＝＝5－. 6，
故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0， 解得x≥3或x≤2.
12/11/2021
12/11/2021
题型二 多维探究 一元二次不等式恒成立问题
命题点1 在R上的恒成立问题 例3 已知函数f (x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f (x)<0恒成立，求实数m的取值 范围. 解 当m＝0时，f(x)＝－1<0恒成立. 当 m≠0 时，则mΔ＝<0m，2＋4m<0， 即－4<m<0. 综上，－4<m≤0，故m的取值范围是(－4,0].
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高考数学一轮复习 第七章 不等式 推理与证明 7-3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划课件 文
x－1≥0，
5．(2015·全国卷Ⅰ)若 x，y 满足约束条件x－y≤0，
则
x＋y－4≤0，
yx的最大值为________．
[解析] 由约束条件可画出可行域，利用yx的几何意义求解． 画出可行域如图阴影所示，∵yx表示过点(x，y)与原点(0,0)的 直线的斜率， ∴点(x，y)在点 A 处时xy最大．
[跟踪演练]
x≤0， 已知由不等式组yy≥－0kx，≤2，
y－x－4≤0
确定的平面区域 Ω 的面积为
7，则 k 的值为( ) A．－3 B．－1 C．3 D．1
[解析]
x≤0， 作出不等式组y≥0，
y－x－4≤0
所表示的平面区域，如
图阴影部分所示，可知该区域是等腰直角三角形且面积为 8.由于
[答案] －23，23
3 ． (2018·山 东 聊 城 期 末 ) 如 果 点 P(x ， y) 在 平 面 区 域
2x－y＋2≥0， x－2y＋1≤0， x＋y－2≤0
上，则 x2＋(y＋1)2 的最大值和最小值分别是
()
A．3，
3 5
B．9，95
C．9,2
∴zmax＝2×6－(－3)＝15.
[答案] 15
[ 拓 展 探 究 2] ________．
本
例
条
件
不
变
，
求
y＋6 x－2
的
取
值
范
围
是
[解析] 如图，yx＋ －62的几何意义为可行域内的点 M(x，y)与点 P(2，－6)连线的斜率，由本例知 B(6，－3)，A(－6，－3)，∴kPB ＝－63－＋26＝34，kPA＝－ －36＋ －62＝－38.