2019届高考数学考前30天基础知识专练8(不等式推理与证明)
2019年高考理科数学考前30天--填空题专训(一)含答案
2019年高考理科数学考前30天--填空题专训（一）题组一填空题：本大题共4小题，每小题5分．1．等比数列各项均为正数，，则 __________． 【答案】20【解析】由，得，所以．2．已知实数、满足，则的最大值为_______．【答案】4【解析】可行域如图所示，当动直线过点时，有最大值，又由得，故的最大值为4．故填4．{}n a 384718a a a a +=1210333log log log a a a ++⋯+=384718a a a a +=479a a=121033log log a a a ++⋯+=555101210110473333)log )log )log 2log 320a a a a a a a ⋯=====x y 2035000x y x y x y -⎧⎪-+⎪⎨>⎪⎪>⎩≤≥2z x y =+20x y z +-=A 2350y xx y =⎧⎨-+=⎩()1,2A3．两个不共线向量、的夹角为，、分别为线段、的中点，点在直线上，且，则的最小值为_______．【答案】【解析】因为、、三点共线，所以，所以，，，表示原点与直线动点的距离的平方，它的最小值为，填． 4．若函数对定义域内的每一个，都存在唯一的，使得成立，则称为“自倒函数”．给出下列命题：①是自倒函数；OA OB q M N OA OB C MN (),OA OB OC x y x y =+∈R 22x y +18C M N ()1122t t OC OM ON OA t t OB -=+-=+2tx =12t y -=12x y +=22x y +102x y +-=218=⎝⎭18()y f x =D 1x 2x D ∈()()121f x f x ⋅=()f x ()ππsin 2,22f x x x ⎫⎡⎤=+∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎭②自倒函数可以是奇函数； ③自倒函数的值域可以是；④若，都是自倒函数，且定义域相同，则也是自倒函数． 则以上命题正确的是________（写出所有正确命题的序号）． 【答案】①②【解析】为上的单调函数，否则方程不止一个实数解．对于①，在是单调增函数，且其值域为，对于任意的，则，故在有唯一解，①正确；对于②，取，，的值域为，因为在和都是单调减函数，故对于，有唯一解，，为“自倒函数”，②正确；对于③，如果的值域为，取，无解，③不正确；④取，，其中，它们都是“自倒函数”，但是，这是常数函数，它不是“自倒函数”．题组二1．在中，若，则 ．【解析】由正弦定理得，∴可设，，，∴．()f x ()f x R ()y f x =()y g x =()()y f x g x =⋅()f x D ()()11f x f x =()sin f x x =ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦221⎡⎤⎣⎦21t ⎡⎤∈⎣⎦121t ⎤∈⎦()1f x t =ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2x x =()1f x x =()(),00,x ∈-∞+∞()f x ()(),00,-∞+∞()1f x x=(),0-∞()0,+∞()(),00,t ∈-∞+∞()f x t =2x x =()1f x x=()(),00,x ∈-∞+∞()f x R ()10f x =()201f x ⨯=()f x x =()1g x x=()(),00,x ∈-∞+∞()()()1F x f x g x =⋅=ABC △sin :sin :sin 3:4:6A B C =cos B =::3:4:6a b c =3a k =4b k =()60c k k =>2229361629cos 23636k k k B k k +-==⨯⨯【答案】2．若，则 ．【解析】∵，∴，， ∴，，∴． 【答案】5933．若的展开式中的系数为20，则 ．【解析】∵的展开式中的系数为，∴．【答案】4．已知一个四面体的每个顶点都在表面积为的球的表面上，且，，则 ．【解析】由题可知四面体的对棱都相等，故该四面体可以通过补形补成一个长方体，如图所示，设，，，，，∴，∴．【答案】2936()()2332log log log log 2x y ==x y +=()()2332log log log log 2x y ==3log 4x =2log 9y =4381x ==92512y ==81512593x y +=+=()()512x a x ++3x a =()()512x a x ++3x 23554C 8C 20a +=14a =-14-ABCD 9πO AB CD a ==5AC AD BC BD ====a =ABCD AF x =BF y =CF z =22225x z y z +=+=22224π9πx y z ++⨯=⎝⎭2x y ==2=2a =。
高三数学考前基础知识专练：不等式 推理与证明
高三数学基础知识专练不等式 推理与证明一．填空题(共大题共14小题，每小题5分，共70分)1、在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察 表中数据的特点，用适当的数填入表中“( )”内. 年龄(岁) 30 35 40 45 50 55 60 65 收缩压(mmHg) 110 115 120 125 130 135 ( ) 145 舒张压(mmHg)707375788083( )882、一元二次不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为(α,β)(α>0)，则不等式cx 2+bx +a ＞0的解集为__________________.3、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线.已知直线 b ⊄平面α，直线a ⊂平面α，直线b //平面α，则直线b //直线a ”，这个结论显然是错误的，这是因为________________(填写下面符合题意的一个序号即可).(1)大前提错误 (2)小前提错误 (3)推理形式错误 (4)非以上错误4、设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (n )= .5、在等差数列{a n }中，公差为d ，前n 项和为S n ，则有等式d n n na S n 2)1(1-+=成立.类比上述性质，相应地在等比数列{b n }中，公比为q ，前n 项和为T n ，则有等式_____成立. 6、下列推理中属于合情合理的序号是_____________.(1)小孩见穿“白大褂”就哭； (2)凡偶数必能被2整除，因为0能被2整除，所以0是偶数； (3)因为光是波，所以光具有衍射性质； (4)鲁班被草划破了手而发明了锯. 7、设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-2),1(log 22)(221x x x x f x ，则不等式2)(>x f 的解集为____________. 8、若函数13)2(2)(2≥⋅+++=x ax a x xx f 能用均值定理求最大值，则a 的取值范围是____. 9、设a ＞b ＞c ＞0，且ca mc b b a -≥-+-11恒成立，则m 的最大值为___________. 10、某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元.在满足需要的条件 下，最少要花费____________元. 11、已知0,0>>b a 且1=+b a ，则)1)(1(bb a a ++的最小值为_______________. 12、设f (x )=x 3+x ,a ,b ,c ∈R 且a +b >0,b +c >0,a +c >0， 则f (a )+f (b )+f (c )的值的符号为____(填“正数”或“负数).13、删去正整数数列1,2，3，…中的所有完全平方数，得到一个新数列，则这个数列的第2008项为__________.14、下面使用类比推理正确的序号是__________.(1)由“（a +b ）c =ac +bc ”类比得到：“()()()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅”；(2)由“在f (x )=ax 2+bx (a ≠0)中，若f (x 1)=f (x 2)则有f (x 1+x 2)=0”类比得到“在等差数列{a n }中，S n 为前n 项和，若S p =S q ，则有S p+q =0”；(3)由“平面上的平行四边形的对边相等”类比得到“空间中的平行六面体的对面是 全等的平行四边形”；(4)由“过圆x 2+y 2=r 2上的点(x 0,y 0)的切线方程为x 0x +y 0y =r 2”类比得到 “过圆(x －x 0)2+(y －y 0)2=r 2上的点(x 0,y 0)的切线方程为(x 0－a )(x －a )+(y 0－b )(y －b )=r 2”. 二．解答题15. 已知f (x )=a 2x －12x 3,x ∈(-2,2),a 为正常数。
2019年高考数学考前30天---选择题专训(四).doc
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 3.已知向量2） ^ =（3,0）,若（2a+by/（ma-b ）,则加的值为（A. -2B.2 1 C.——2D. 2019年高考数学考前30天…选择题专训（四）选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A = [x\x<lB = {X \3X <1}9 则（ A. A B = {x| x<0} B. AB =RC. A B = {x\ x>l}D ・ A B =【答案】A2复数目（I 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（》【答案】A4. 在平面区域｛（x,y ）|0WxWl,lW 応2｝内随机投入一点P ,则点P 的坐标（忑丁）满足yW2x 的概率为（ ）112 3 A. —B. —C. —D.—42 34【答案】A5. 已知 /（x ） = sin| % + —|,若sina=2 化＜a ＜兀],则/[ cr+—|=（）A . 7^2lo - 72 10D .7A /2lo - A .3迈 ~T C.5 D. 9A. /（兀）的一个周期为2兀B. y = /（x ）的图像关于直线“〒对称C. /（X + 71）的一个零点为兀=2 6D. /⑴在灯町单调递减制的建筑物的体积为（)A. 16 + 8 兀B. 64 + 8 兀,则C 的渐近线方程为【答案】Bx-3y+1W06.已知实数■ y 满足不等式组x+y-3^0 ,则x 2 + y 2的最小值是（）兀三0【答案】B7. 设函数/（x ） = cos x + L 则下列结论够送的是（）【答案】D &小明在"欧洲七日游"的游玩中对某著名建筑物的景观记忆犹新，现绘制 该建筑物的三视图如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1,则小明绘C. 64+——D. 16 + —33【答案】C9.已知双曲线C$-* = l （a>0,b>0）的离心率为丰D・y =±xB.C.A. (1,3)B. (―3,—1)C.(1,5)D. (―5,—1)A. y = ±—x4【答案】c10-执行下面的程序框图，若输出的值为〒则判断框中可以填()A.D.【答案】D11.已知函数/(%) = < %l，x<0,若关于*的方程y(x) + m = O有3个实数—e" —x,兀$0根，则实数加的取值范围为( )【答案】C 12-已知在三棱锥PWC中,J占,厶心中，P5C，PB丄BC,且平面PAC丄平面PBC ,那么三棱锥P-ABC外接球的体积为( )B.D. 32TI 丁【答案】D。
2019年高考数学考前30天---选择题专训(一)
2019年高考数学考前30天---选择题专训（一）选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D【解析】，，所以，选D ．2．已知与为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意得，且与不共线，所以，，，，选C ．3．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意得，，，选B ．4．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金簪，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，22194x y M x ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭132x y N x ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭MN =∅{}(3,2),(2,0){}3,2[3,3]-221[3,3]94x y M x ⎧⎫⎪⎪=+==-⎨⎬⎪⎪⎩⎭132x y N x ⎧⎫=+==⎨⎬⎩⎭R [3,3]M N =-i j =2-a i j =λ+b i j a b λ22(2,)(,)33-+∞1(,)2+∞1(,2)(2,)2-∞--1(,)2-∞>0⋅a b a b 120λ->12λ≠-12λ∴<2λ≠-θl 230x y +-=cos 2θ3535-1515-1tan 12θ-=-tan 2θ∴=221tan 143cos 1tan 145θθθ--===-++则中间3尺重量为（ ） A ．9斤 B ．9.5斤C ．6斤D ．12斤【答案】A【解析】由等差数列性质得中间3尺重量为，选A ．5．6个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的主视图与俯视图如图所示，则其侧视图不可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】如图（1）所以，A 正确；如图（2）所示，B 正确；如图（3）所示，C 正确，故选D ．6．已知点和圆，过点作圆的切线有两条，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】由题意得点在圆外，，，3(42)92+=(1,2)P 222:20C x y kx y k ++++=P C kR (-∞(((1,2)P C 21440k k ∴++++>22440k k +->，选C ． 7．已知，是双曲线的焦点，是双曲线的一条渐近线，离心率等于的椭圆与双曲线的焦点相同，是椭圆与双曲线的一个公共点，设，则的值为（ ） A ． B ．C ．D ．且且【答案】A【解析】由题意得，，，，，，，选A ．8．已知函数，若，，互不相等，且，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由正弦函数图像得，所以，，，选D ．9．设双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，过k <<1F 2F 222:14y x M m -=y x =M 34E M P E M 12PF PF n ⋅=n 12n =24n =36n =12n ≠24n ≠36n≠2m=43c =+4a ∴=1228PF PF a +==12224PF PF -=⨯=2212484PF PF ⋅=-12n ∴=2017sin π,01()log ,1x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤≤a b c ()()()f a f b f c ==a b c ++(1,2017)(1,2018)[2,2018](2,2018)1212a b +=⨯=20170log 1c <<12017c ∴<<(2,2018)a b c ++∈22221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F e 2F的直线与双曲线的右支交于、两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】B【解析】设，则，所以，也就是，故，因此B ．10．如图，半径为的圆内有两条半圆弧，一质点自点开始沿弧做匀速运动，则其在水平方向（向右为正）的速度的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】BA B 1F AB △A 2e =3+5-1+4-2AF x =12AF x a =+22BF a =14BF a =2224164242cos 4c a a a a π=+-⨯⨯⨯25c a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2M A A B C O A D C －－－－－－()v g t =【解析】由图象可知：由和所走的弧长不一样，所以用的时间也不一样，从用的时间长，而从的时间短，对于A 选项：这两断的时间都是2个单位时间，时间一样长，所以不符合题意； 对于B 选项：第一段用的时间是2个单位时间，第二段用的是1个单位时间，所以符合题意；对于C 选项：第一段用的是1个单位时间，第二段用的时间是2个单位时间，所以不符合题意；对于D 选项：第一段用的是1个单位时间，第二段用的是1个单位时间，所以不符合题意；综上可知，答案选B ．11．已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，，则不等式的解集为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】令，则，故为上的减函数，有等价于，即，故不等式的解．12．已知定义在的函数对任意的满足，当，．函数，若函数在上有个零点，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为，故是周期函数且周期为，如图的图像与的图像在有两个不同的交点，故的图像与A B C --C O A --A B C --C O A --R ()f x ()y f x '=()()f x f x '<()01f =()e x f x <()0,+∞()1,+∞()2,-+∞()4,+∞()()e x f x F x =()()()()()2e e 0e ex x x x f x f x f x f x F x ''--'==<()F x R ()e xf x <()1F x <()()0F x F <()0,+∞R ()y f x =x ()()1f x f x +=-11x -<≤()3f x x =()log ,01,0a x x g x x x⎧>⎪=⎨-<⎪⎩()()()h x f x g x =-[)6,-+∞6a ()10,7,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭[)11,7,997⎛⎤⎥⎝⎦(]11,7,997⎡⎫⎪⎢⎣⎭(]1,11,99⎡⎫⎪⎢⎣⎭()()()21f x f x f x +=-+=()f x 2()f x ()10y x x=-<[)6,0-()f x在有4个不同的交点，故，解的或，选C ．()g x ()0,+∞log 71log 91a a ⎧<⎪⎨⎪⎩≥79a <≤1197a <≤。
2019年高考数学考前30天选择题专训(八)x
π g x s i n 2x
π
π gx
函数
3 的图象 向 左平移 4 个 单位长 度 得
4
sin 2 x π π sin 2x π π cos 2 x π
43
23
3 ，故命题 C 为真命题；
设 f x x sin x ，则 f x 1 cos x 0 ， f x 单调递增， f x f 0 0 ，
即 x sin x ，故命题 D 为假命题．
2 人，则不同的“包教”
方案有（ ）
A ． 60
B ． 90
C． 150
D． 120
【答案】 B
1
2
【解析】 3C5 C4
90
．
4．下列命题中的假命题为（
）
A ．设 、 为两个不同平面，若直线 l 在平面 内，则“
”是“ l
”
的必要不充分条件
B．设随机变量 服从正态分布 N 0,1 ，若 P
1 p ，则 P 1
5．阅读如图所示的程序框图，若运行相应的程序输出的结果为
0 ，则判断框中
的条件不可能是（
）
A ． n≤ 2014
B ． n≤ 2015
C． n≤ 2016
D． n≤ 2018
【答案】 A 【解析】前 6 步的执行结果如下： s 0, n 1 ；s 3, n 2 ；s 0, n 3 ；s 0, n 4 ； s 3, n 5 ； s 0, n 6 ；观察可知， s 的值以 3 为周期循环出现，所以判断条
2
，则下列结论正确的是 （
）
A． M N N
B ． M eR N
C． M N U
D． M
eR N
【答案】 D
2019年高考(理科)数学考前必做基础30题(解析版)
2019年高考（理科）数学考前必做基础30题1．已知集合，，则（ ） A.B.C.D.2．已知全集U 是实数集R ，右边的韦恩图表示集合{}2M x x =与{|13}N x x =<<的关系，那么阴影部分所表示的集合可能为（ ）A ．{|2}x x <B ．{|12}x x <<C ．{}3x x D ．{|1}x x ≤ 3．若变量满足约束条件，则的最小值是（ ）A.B.C.D.4．已知函数()sin f x x x =-，则不等式()()2120f x f x ++-<的解集是（ ） A ． 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B ． 1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ． ()3,+∞D ． (),3-∞5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ： 2221x y -=，过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，则该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积（ ）A ．4 B ．2 C ．8 D ．166．已知为定义在 上的偶函数，且，当时，，记，则的大小关系为（ ）A. B. C. D.7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积等于（ ）A ．B ．3πC ．8πD ．12π8．如图，分别以,A C 为圆心，正方形ABCD 的边长为半径圆弧，交成图中阴影部分，现向正方形内投入1个质点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）A.12 B. 22π- C. 14 D. 24π-9．将函数()22sin cos f x x x x =-(0)t t >个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（ ） A ．23π B ． 3π C ． 2π D ． 6π10．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，则选中的花中没有红色的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．11．执行如图所示的程序框图，当输出的2S =时，则输入的S 的值为( )A. -2B. -1C. 12-D. 1212．已知向量，且，则等于__________．13．在正项等比数列{}n a 中， 26,a a 是231030x x -+=的两个根，则242611a a a ++=__________． 14．已知1112ni i =-+，其中n 是实数， i 虚数单位，那么n =__________． 15．下面茎叶图记录了甲、乙两班各六名同学一周的课外阅读时间（单位：小时），已知甲班数据的平均数为13，乙班数据的中位数为17，那么x 的位置应填__________， y 的位置应填__________．16．若的展开式中的系数为80，则_______.17．已知2,a b =是单位向量，且a 与b 夹角为60°，则()·a a b -等于__________． 18．函数()sin (0,0)6f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的最大值为2，它的最小正周期为2π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()cos g x x f x =⋅，求()g x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.19．已知中，角所对的边分别是,且.(1)求角的大小； (2)设向量，边长，当取最大值时，求边的长.20．已知直线l 的参数方程是2{x y ==+（t 是参数），圆C 的极坐标方程为4cos 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．21．某钢厂打算租用A ，B 两种型号的火车车皮运输900吨钢材， A ，B 两种车皮的载货量分别为36吨和60吨，租金分别为1.6万元/个和2.4万元/个，钢厂要求租车皮总数不超过21个，且B 型车皮不多于A 型车皮7个，分别用x ，y 表示租用A ，B 两种车皮的个数.（Ⅰ）用x ，y 列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）分别租用A ， B 两种车皮的个数是多少时，才能使得租金最少？并求出此最小租金.22．如图，在各棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中， D ， E 分别为棱11A B 与1BB 的中点， M ， N 为线段1C D 上的动点，其中， M 更靠近D ，且1MN C N =.（1）证明： 1A E ⊥平面1AC D ；（2）若NE 与平面11BCC B ，求异面直线BM 与NE 所成角的余弦值.23．某单位年会进行抽奖活动，在抽奖箱里装有1张印有“一等奖”的卡片， 2张印 有“二等奖”的卡片， 3张印有“新年快乐”的卡片，抽中“一等奖”获奖200元， 抽中“二等奖”获奖100元，抽中“新年快乐”无奖金.（1）单位员工小张参加抽奖活动，每次随机抽取一张卡片，抽取后不放回.假如小张一定要P A的值；将所有获奖卡片全部抽完才停止. 记A表示“小张恰好抽奖4次停止活动”，求()（2）若单位员工小王参加抽奖活动，一次随机抽取2张卡片.P B的值；①%2记B表示“小王参加抽奖活动中奖”，求()②设X表示“小王参加抽奖活动所获奖金数（单位：元）”，求X的分布列和数学期望.24．如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知AO面EFD．FA⊥平面,=为BC的中点, //CE OABC2,AB=2,AF=3,(1)求BD的长；(2)求证：面EFD⊥面BCED；(3)求平面DEF与平面ACEF相交所成锐角二面角的余弦值．25．如图1，四边形ABCD 中， AC BD ⊥， 2222CE AE BE DE ====，将四边形ABCD 沿着BD 折叠，得到图2所示的三棱锥A BCD -，其中AB CD ⊥．（1）证明：平面ACD ⊥平面BAD ；（2）若F 为CD 中点，求二面角C AB F --的余弦值．12BA ⎛= ⎝⎭，31,,02BF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面ABF 的法向量(),,u a b c =，由0u BA ⋅=及0u BF ⋅=得10,2{30,2a b a b +=+= 26．某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱.（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a （a 为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a ，求观众与乐队的互动指数之和X 的概率分布及数学期望. 27．四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的菱形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,BCD ∠=60°,PA PD ==E 是BC 中点,点Q 在侧棱PC 上.（Ⅰ）求证: AD PB ⊥;（Ⅱ）是否存在Q ,使平面DEQ ⊥平面PEQ ？若存在,求出,若不存在,说明理由.（Ⅲ）是否存在Q ,使//PA 平面DEQ ？若存在,求出.若不存在,说明理由.28．如图，D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点，AC ．（I ）若30DAC ∠=，求角B 的大小；（II ）若2BD DC =，且AD =DC 的长．29．某企业有甲、乙两条生产线生产同一种产品，为了检测两条生产线产品的质量情况，随机从两条生产线生产的大量产品中各抽取了 40件产品作为样本，检测某一项质量指标值，得到如图所示的频率分布直方图，若，亦则该产品为示合格产品，若，则该产品为二等品，若，则该产品为一等品.（1）用样本估计总体的思想，从甲、乙两条生产线中各随机抽取一件产品，试估计这两件产品中恰好一件为二等品，一件为一等品的概率；（2）根据图1和图2，对两条生产线从样本的平均值和方差方面进行比较，哪一条生产线更好；（3）从甲生产线的样本中，满足质量指标值在的产品中随机选出3件，记为指标值在中的件数，求的分布列和数学期望•30．已知曲线的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（Ⅰ）求曲线与交点的平面直角坐标；（Ⅱ）两点分别在曲线与上，当最大时，求的面积(为坐标原点).2019年高考（理科）数学考前必做基础30题答案及解析1．已知集合，，则（ ） A. B. C.D.【答案】D2．已知全集U 是实数集R ，右边的韦恩图表示集合{}2M x x =与{|13}N x x =<<的关系，那么阴影部分所表示的集合可能为（ ）A ．{|2}x x <B ．{|12}x x <<C ．{}3x x D ．{|1}x x ≤ 【答案】D【解析】阴影部分表示的集合为()U M N ⋃ð，由题{}1M N x x ⋃=，所以(){|1}U M N x x ⋃=≤ð，故选择D ． 3．若变量满足约束条件，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．由得．平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最小值． 由解得，故点．∴．故选B ．4．已知函数()sin f x x x =-，则不等式()()2120f x f x ++-<的解集是（ ） A ． 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B ． 1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ． ()3,+∞D ． (),3-∞ 【答案】D5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ： 2221x y -=，过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，则该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积（ ）A ．4 B ．2 C ．8 D ．16【答案】C6．已知为定义在 上的偶函数，且，当时，，记，则的大小关系为（ ）A. B. C.D.【答案】D 【解析】当时，，则在上是增函数，且当]时，， ∵，∴的周期为2．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积等于（ ）A ．B ．3πC ．8πD ．12π【答案】D【解析】根据三视图可画出该空间几何体，如下图所示．其中2AB BD CD ===，AB BCD ⊥平面，BD CD ⊥，所以外接球的直径为AC =2412ππ=8．如图，分别以,A C 为圆心，正方形ABCD 的边长为半径圆弧，交成图中阴影部分，现向正方形内投入1个质点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）A.12 B. 22π- C. 14 D. 24π- 【答案】B【解析】设正方形的面积为1，阴影部分由两个弓形构成，每个弓形的面积为11212224ππ-⨯⨯-= 故所求的概率为222412ππ-⨯-= 9．将函数()22sin cos f x x x x =-(0)t t >个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（ ） A ．23π B ． 3π C ． 2π D ． 6π【答案】D10．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，则选中的花中没有红色的概率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】从红、黄、白、紫种颜色的花中任选种花种在一个花坛中共有中，其中选中的花中没有红色共有种，故其概率为，故选A ．11．执行如图所示的程序框图，当输出的2S =时，则输入的S 的值为( )A. -2B. -1C. 12-D. 12【答案】B 【解析】若输入2S =-，则执行循环得1313,2;,3;2,4;,5;,6;3232S k S k S k S k S k =====-=====132,7;,8;,9;32S k S k S k =-=====结束循环，输出32S =，与题意输出的2S =矛盾；若输入1S =-，则执行循环得11,2;2,3;1,4;,5;2,6;22S k S k S k S k S k =====-===== 11,7;,8;2,9;2S k S k S k =-=====结束循环，输出2S =，符合题意；若输入12S =-，则执行循环得212,2;3,3;,4;,5;3,6;323S k S k S k S k S k =====-=====12,7;,8;3,9;23S k S k S k =-=====结束循环，输出3S =，与题意输出的2S =矛盾；若输入12S =，则执行循环得12,2;1,3;,4;2,5;1,6;2S k S k S k S k S k ===-======-=1,7;2,8;1,9;2S k S k S k =====-=结束循环，输出1S =-，与题意输出的2S =矛盾；综上选B. 12．已知向量，且，则等于__________． 【答案】13．在正项等比数列{}n a 中， 26,a a 是231030x x -+=的两个根，则242611a a a ++=__________． 【答案】133【解析】因为{}n a 为等比数列，所以2264a a a =，又262610,1a a a a +==，所以24261011133113a a a ++=+=，填133．14．已知1112ni i =-+，其中n 是实数， i 虚数单位，那么n =__________． 【答案】12【解析】()()111111122i i i i i -==-++-，根据复数相等的充要条件可知，12n =.15．下面茎叶图记录了甲、乙两班各六名同学一周的课外阅读时间（单位：小时），已知甲班数据的平均数为13，乙班数据的中位数为17，那么x 的位置应填__________， y 的位置应填__________．【答案】 3 8【解析】甲班平均数8913151020136x ++++++=，解得3x =；乙班共6个数据，中位数应为10106172y +++=，解得8y =.16．若的展开式中的系数为80，则_______.【答案】【解析】分析：先求出二项式的通项，然后通过组合的方法得到展开式中的系数后求得的值．详解：二项式展开式的通项为，故展开式中的系数为，由题意得，解得．17．已知2,a b =是单位向量，且a 与b 夹角为60°，则()·a a b -等于__________． 【答案】3【解析】()21||42132a ab a a b ⋅-=-⋅=-⨯⨯=18．函数()sin (0,0)6f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的最大值为2，它的最小正周期为2π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()cos g x x f x =⋅，求()g x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【答案】（1）()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）详见解析. 【解析】（1）由已知()f x 最小正周期为2π，所以22ππω=，解得1ω=.因为()f x 的最大值为2，所以2A =，所以()f x 的解析式为()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.19．已知中，角所对的边分别是,且.(1)求角的大小； (2)设向量，边长，当取最大值时，求边的长.【答案】(1)(2).【解析】（1）由题意，所以（2）因为所以当时，取最大值，此时，由正弦定理得，20．已知直线l的参数方程是2{x t y ==+（t 是参数），圆C 的极坐标方程为4cos 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（Ⅱ）直线l 上的点向圆C 引切线，则切线长为=≥，∴直线l上的点向圆C 引的切线长的最小值为21．某钢厂打算租用A ，B 两种型号的火车车皮运输900吨钢材， A ，B 两种车皮的载货量分别为36吨和60吨，租金分别为1.6万元/个和2.4万元/个，钢厂要求租车皮总数不超过21个，且B 型车皮不多于A 型车皮7个，分别用x ，y 表示租用A ，B 两种车皮的个数.（Ⅰ）用x ，y 列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）分别租用A ， B 两种车皮的个数是多少时，才能使得租金最少？并求出此最小租金. 【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）分别租用A 、B 两种车皮5个，12个时租金最小，且最小租金为36.8万. 【解析】（Ⅰ）由已知x ， y 满足的数学关系式为3660900,21,{7,0,0.x y x y y x x y +≥+≤-≤≥≥该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中阴影部分所示.22．如图，在各棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为棱11A B 与1BB 的中点， M ， N 为线段1C D 上的动点，其中， M 更靠近D ，且1MN C N =.（1）证明： 1A E ⊥平面1AC D ；（2）若NE 与平面11BCC B，求异面直线BM 与NE 所成角的余弦值.【答案】（1）见解析（2（2）解：取BC 的中点O ， 11B C 的中点1O ，则AO BC ⊥， 1OO BC ⊥， 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 则()0,1,0B ， ()0,1,1E ， ()10,1,2C -，1,22D ⎫⎪⎪⎝⎭， 设11C N C D λ=3,,02λ⎫=⎪⎪⎝⎭， 则11NE C E C N =- ()30,2,1,,02λ⎫=--⎪⎪⎝⎭3,2,12λ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，易知()1,0,0n =是平面11BCC B 的一个法向量，∴cos ,NE n==，解得13λ=.∴33,,12NE ⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭， 112C M C D λ= ⎫=⎪⎪⎝⎭， 11BM BC C M =+1,2⎫=-⎪⎪⎝⎭，， ∴cos ,NE BM132---==∴异面直线NE 与BM23．某单位年会进行抽奖活动，在抽奖箱里装有1张印有“一等奖”的卡片， 2张印 有“二等奖”的卡片， 3张印有“新年快乐”的卡片，抽中“一等奖”获奖200元， 抽中“二等奖”获奖100元，抽中“新年快乐”无奖金.（1）单位员工小张参加抽奖活动，每次随机抽取一张卡片，抽取后不放回.假如小张一定要将所有获奖卡片全部抽完才停止. 记A 表示“小张恰好抽奖4次停止活动”，求()P A 的值； （2）若单位员工小王参加抽奖活动，一次随机抽取2张卡片. ①%2记B 表示“小王参加抽奖活动中奖”，求()P B 的值；②设X 表示“小王参加抽奖活动所获奖金数（单位：元）”，求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）320；（2）见解析 【解析】（1）()11333346320C C A P A A ⋅⋅== （2）①()2326415C P B C =-=②由题意可知X 可取的值为0， 100， 200， 300，则()2326105C P X C ===； ()11232621005C C P X C ===()212326420015C C P X C +===； ()1226230015C P X C ===因此X 的分布列为X 的数学期望是()124240001002003005515153E X =⨯+⨯+⨯+⨯=24．如图所示的几何体是由以等边三角形ABC 为底面的棱柱被平面DEF 所截而得，已知FA ⊥平面,ABC 2,AB = 2,AF = 3,CE O =为BC 的中点, //AO 面EFD ．(1)求BD 的长；(2)求证：面EFD ⊥面BCED ；(3)求平面DEF 与平面ACEF 相交所成锐角二面角的余弦值．【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3【解析】（1）取ED 的中点P ，连接,PO PF ,则PO 为梯形BCED 的中位线，322BD CE BD PO ++==又//,//PO BD AF BD ,所以//PO AF所以,,,A O P F 四点共面,因为//AO 面EFD ，且面AOPF ⋂面EFD PF =所以//AO PF所以四边形AOPF 为平行四边形， 2PO AF ==所以1BD =（2）由题意可知平面ABC ⊥面BCED ；又AO BC ⊥且AO ⊂平面ABC 所以AO ⊥面BCED ，因为//AO PF 所以PF ⊥面BCED 又PF ⊂面EFD ， 所以面EFD ⊥面BCED ；.设平面的法向量为(),,1n x y =， ()()1,0,1,PE PF ==由·0{·0n PF n PE ==得0{ 1y x ==- 所以()1,0,1n =-所以6cos ,BQ n BQ n BQ n⋅==-，由所求二面角为锐二面角角，所以平面与平面ACEF 相交所成锐角二面角的余弦值． 25．如图1，四边形ABCD 中， AC BD ⊥， 2222CE AE BE DE ====，将四边形ABCD 沿着BD 折叠，得到图2所示的三棱锥A BCD -，其中AB CD ⊥．（1）证明：平面ACD ⊥平面BAD ；（2）若F 为CD 中点，求二面角C AB F --的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）5【解析】（Ⅰ）因为AE BD ⊥且BE DE =，可得ABD ∆为等腰直角三角形，则AB AD ⊥，又AB CD ⊥，且A D C D ⊂、平面ACD ， AD CD D ⋂=，故AB ⊥平面ACD ，又AB ⊂平面BAD ，所以平面ACD ⊥平面BAD .（Ⅱ）以E 为原点，以EC 的方向为x 轴正方向， ED 的方向为y 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.过A 点作平面BCD 的垂线，垂足为G ，根据对称性，显然G 点在x 轴上，设AG h =.由题设条件可得下列坐标：()0,0,0E ，()2,0,0C ，()0,1,0B -，()0,1,0D，)Ah ，11,,02F ⎛⎫⎪⎝⎭.()1BA h=，()2,1,0DC =-，由于A BC D ⊥，所以210B A D C h ⋅=-=，解得h =，则A 点坐标为1,0,22A ⎛⎝⎭.由于12BA ⎛= ⎝⎭，31,,02BF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面ABF 的法向量(),,u a b c =，由0u BA ⋅=及0u BF ⋅=得10,2{30,2a b a b +=+=26．某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱.（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a （a 为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a ，求观众与乐队的互动指数之和X 的概率分布及数学期望. 【答案】(1)1314 (2) ()132E X a =【解析】（1）设“该乐队至少演唱1首原创新曲”的事件为A ，则()()4548131114C P A P A C =-=-=（2）由题意可得： 5,6,7,8X a a a a =.()()312235354488513035,67014707C C C C P X a P X a C C ========, ()()1343554488303517,87077014C C C P X a P X a C C ========.()13311356781477142E X a a a a a =⨯+⨯+⨯+⨯= 27．四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的菱形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,BCD ∠=60°, PA PD ==E 是BC 中点,点Q 在侧棱PC 上.（Ⅰ）求证: AD PB ⊥;（Ⅱ）是否存在Q ,使平面DEQ ⊥平面PEQ ？若存在,求出,若不存在,说明理由. （Ⅲ）是否存在Q ,使//PA 平面DEQ ？若存在,求出.若不存在,说明理由.【答案】（I ）详见解析；（II ）详见解析；（III ）详见解析.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知, ,BO AD PO AD ⊥⊥,因为侧面PAD ⊥底面A B C D ,且平面PAD ⋂底面A B C D A D =,所以PO ⊥底面A B C D .以O 为坐标原点,如图建立空间直角坐标系O xyz -.则()()()()1,0,0,,0,0,1,D E P C ---,因为Q 为PC 中点,所以12Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.所以()10,3,0,0,2DE DQ ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭,所以平面DEQ 的法向量为()11,0,0n =. 因为()11,3,0,0,22DC DQ ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭,设平面DQC 的法向量为()2,,n x y z =,则220{0DC n DQ n ⋅=⋅=,即301022xy y z -+=+=. 令3x =,则1,y z ==即(23,1,n =.所以12121221cos ,n n n n n n ⋅==. 由图可知,二面角E DQ C --为锐角,所以余弦值为7. （Ⅲ）设()01PQ PC λλ=≤≤由（Ⅱ）可知()()2,3,1,1,0,1PC PA =--=-. 设(),,Q x y z ,则(),,1PQ x y z =-,又因为()2,PQ PC λλλ==--,所以2{ 1x y z λλ=-==-+,即()2,1Q λλ--+.所以在平面DEQ 中, ()()0,3,0,12,1DE DQ λλ==--, 所以平面DEQ 的法向量为()11,0,21n λλ=--, 又因为//PA 平面DEQ ,所以10PA n ⋅=, 即()()()11210λλ-+--=,解得23λ=. 所以当23λ=时, //PA 平面DEQ28．如图，D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点，AC =．（I ）若30DAC ∠=，求角B 的大小；（II ）若2BD DC =，且AD =DC 的长． 【答案】（I ）60B ∠=°；（II ）2.29．某企业有甲、乙两条生产线生产同一种产品，为了检测两条生产线产品的质量情况，随机从两条生产线生产的大量产品中各抽取了 40件产品作为样本，检测某一项质量指标值，得到如图所示的频率分布直方图，若，亦则该产品为示合格产品，若，则该产品为二等品，若，则该产品为一等品.（1）用样本估计总体的思想，从甲、乙两条生产线中各随机抽取一件产品，试估计这两件产品中恰好一件为二等品，一件为一等品的概率；（2）根据图1和图2，对两条生产线从样本的平均值和方差方面进行比较，哪一条生产线更好；（3）从甲生产线的样本中，满足质量指标值在的产品中随机选出3件，记为指标值在中的件数，求的分布列和数学期望•【答案】（1）（2）乙生产线更好（3）见解析（2）设两条生产线样本的平均值分别为，则，，由频率分布直方图可知，甲生产线的数据较为分散，乙生产线的数据较为集中，所以甲生产线的数据方差大于乙生产线的数据方差，所以乙生产线更好.（3）甲生产线样本质量指标值在的件数为，质量指标值在的件数为，由题意可知的取值为0，1，2，3；所以，，，.所以的分布列为：的数学期望.30．已知曲线的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（Ⅰ）求曲线与交点的平面直角坐标；（Ⅱ）两点分别在曲线与上，当最大时，求的面积(为坐标原点). 【答案】（1）；（2）．由平面几何知识可知，当依次排列且共线时，最大，此时，到的距离为，∴的面积为.2019年高考（理科）数学考前必做基础30题（解析版）第（31）页。
2019年高考数学考前30天---选择题专训(二)
2019年高考数学考前30天---选择题专训（二）选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{}01M x x =≤≤，{}1N x x =≥，则MN =（ ）A ．{}1B ．{}01x x ≤≤C ．{}11x x x -≤或0≤≤D ．{}10x x x -≤或≥【答案】D 2．若复数1i1i z -=+，则z =（ ）A ．1B ．1-C ．iD 、-i【答案】C3．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为甲x 、乙x ，标准差分别为甲σ、乙σ，则（ ）A ．乙甲乙甲，σσ<<x xB ．乙甲乙甲，σσ><x xC ．乙甲乙甲，σσ<>x xD ．乙甲乙甲，σσ>>x x【答案】C 4．已知数列}{n a 为等差数列，且55=a ，则9S 的值为（ ）A ．25B ．45C ．50D ．90【答案】B5．已知2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log c =π，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．a b c >>【答案】D6．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内爬行的概率为（ ）A．1B ．34 CπD ．14【答案】A7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．22【答案】B8．若函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '．若()3f x '<恒成立，()20f -=，则()36f x x +＜解集为（ ）A ．(,2)-∞-B ．)2,2(-C ．)2,(-∞D ．),2(+∞-【答案】D9．执行如图的程序框图，则输出的S 值为（ ）A ．1B ．23C ．12-D ．0【答案】D10．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()()3a b c a b c ab +-++=，且4=c ，则ABC △面积的最大值为（ ）A．B ．34C ．32D【答案】B11．设函数()()22cos e 2e x x f x x π⎛⎫-π++ ⎪⎝⎭=+的最大值为M ，最小值为N ，则2018)1(-+N M 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．20182D ．20183【答案】A12．已知双曲线()222210x y b a a b -=＞＞的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ．若双曲线上存在点P 使1221sin sin F PF cF PF a ∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A．()1+B．)+∞C．)1D．)1,++∞【答案】C。
2019年高考数学考前30天---选择题专训(一)含答案
M=⎨x+=1⎬，N=⎧⎨x x+y=1⎫⎬，则M⎪⎩9⎪⎭⎩32⎭⎪⎪M=⎨x+=1⎬=[-3,3]，N=⎧⎨x x+y=1⎫⎬=R，所以M ⎪⎪⎭⎩-2，∴λ<2019年高考数学考前30天---选择题专训（一）选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A．∅【答案】D ⎧x2y2⎫4B．{(3,2),(2,0)}C．{3,2}N=（）D．[-3,3]【解析】⎪94⎪⎩32⎭N=[-3,3]，选D．2．已知i与j为互相垂直的单位向量，a=i-2j，b=i+λj，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）221 A．(-2,)(,+∞)B．(,+∞)332【答案】C11 C．(-∞,-2)(-2,)D．(-∞,)22【解析】由题意得a⋅b>0，且a与b不共线，所以1-2λ>0，1≠λ12，λ≠-2，选C．3．已知倾斜角为θ的直线l与直线x+2y-3=0垂直，则cos2θ的值为（）A．35B．-35C．15D．-15【答案】B【解析】由题意得 - tan θ = -1 ，∴ t an θ = 2 ， cos θ =12 1 - tan 2 θ 1 - 43 = =- 1 + tan 2 θ 1 +4 5，选 B ．4．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金簪，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，一头粗，一头细，在粗的一端截下 1尺，重 4 斤，在细的一端截下 1 尺，重 2 斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，则中间 3 尺重量为（）A ．9 斤B ．9.5 斤C ．6 斤D ．12 斤【答案】A3【解析】由等差数列性质得中间 3 尺重量为 (4 + 2) = 9 ，选 A ．25．6 个棱长为 1 的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的主视图与俯视图如图所示，则其侧视图不可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】如图（1）所以，A 正确；如图（2）所示，B 正确；如图（3）所示，C 正确，故选 D ．A ． RB ． (-∞,C ． (-D ． (-= 1 的焦点， y =16．已知点 P(1,2) 和圆 C : x 2 + y 2 + kx + 2 y + k 2 = 0 ，过点 P 作圆 C 的切线有两条，则 k 的取值范围是（）【答案】C2 3 2 3 2 3 3 3 3) , ) 2 3 3,0)【解析】 由题意得点 P(1,2) 在圆 C 外，∴1 + 4 + k + 4 + k 2> 0 ， k 2+ 4 - 4k 2> 0 ，∴-选 C ．2 3 2 3< k < ， 3 37．已知 F ，F 2 是双曲线 M : y 2 x 2 2 5 3- x 是双曲线 M 的一条渐近线，离心率等于4 m 25 4的椭圆 E 与双曲线 M 的焦点相同，P 是椭圆 E 与双曲线 M 的一个公共点，设 PF ⋅ PF = n ，则 n 的1 2值为（）A ． n = 12C ． n = 36【答案】A【解析】由题意得2m B ． n = 24D ． n ≠ 12 且 n ≠ 24 且 n ≠ 36= 5 ， c = 4 + 5 = 3 ，∴ a = 4 ， PF + PF = 2a = 8 ， PF - PF = 2 ⨯ 2 = 4 ，1 2 1 24 PF ⋅ PF = 82 - 42 ，∴ n = 12 ，选 A ．8．已知函数 f ( x ) = ⎨，若 a ， b ， c 互不相等，且 f (a) = f (b ) = f (c) ，则 a + b + c 的取 log x, x > 1⎩ x 1 1 4c 2= 16a2+ 4a2 - 2 ⨯ 4a ⨯ 2a ⨯ cos ，因此 ⎪ = 5 - 2 2 ，选 B ．1 1⎧sin π,0≤x ≤1 2017值范围是（）A ． (1,2017) 【答案】DB ． (1,2018)C ． [2,2018]D ． (2,2018)【解析】由正弦函数图像得 a + b = 2 ⨯ 12= 1 ，所以 0 < log 2017 c < 1 ，∴1 < c < 2017 ，a + b + c ∈ (2,2018) ，选 D ．9．设双曲线 x 2 y 2 - a 2 b 2= 1(a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为 F 、 F 2 ，离心率为 e ，过 F 2 的直线与双曲线的右支交于 A 、 B 两点，若△F AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则 e 2 = （）A ． 3 + 2 2B ． 5 - 2 2C ．1 + 2 2D ． 4 - 2 2【答案】B【 解 析 】 设 AF 2 = x ， 则 AF = x + 2a ， 所 以 BF 2 = 2a ， 也 就 是 BF = 4a ， 故π ⎛ c ⎫2 4 ⎝ a ⎭10．如图，半径为2的圆内有两条半圆弧，一质点M自点A开始沿弧A－B－C－O－A－D－C做匀速运动，则其在水平方向（向右为正）的速度v=g(t)的图像大致为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由图象可知：由A-B-C和C-O-A所走的弧长不一样，所以用的时间也不一样，从A-B-C用的时间长，而从C-O-A的时间短，对于A选项：这两断的时间都是2个单位时间，时间一样长，所以不符合题意；对于B选项：第一段用的时间是2个单位时间，第二段用的是1个单位时间，所以符合题意；对于C选项：第一段用的是1个单位时间，第二段用的时间是2个单位时间，所以不符合题意；(' x ) = f ' x e x- f x e x = f ' x - f x < 0 ，故 F (x ) 为 R 上的减函数， ⎪ g (x ) = ⎨ 1 ，若函数 h (x ) = f (x )- g (x ) 在 [ -6, +∞) 上有 6 个零点，则实数 a 的取值范围是⎪- , x < 0⎝ 7 ⎭ (7, +∞ ) A ． 0, ⎪⎝ 9 7 ⎦ [7,9 )B ． , ⎥⎣ 9 7 ⎭ (7,9 ]C ． ⎢ , ⎪⎣ 9 ⎭(1,9]D ． ⎢ ,1⎪7 < a ≤9 或 ≤a <点，故 ⎨ ，解的 log 9 ≥19 7对于 D 选项：第一段用的是 1 个单位时间，第二段用的是 1 个单位时间，所以不符合题意；综上可知，答案选 B ．11．已知定义在 R 上的可导函数 f (x ) 的导函数为 y = f ' (x ) ，满足 f ' (x ) < f (x ) ， f (0) = 1 ，则不等式 f (x ) < e x 的解集为（）A ． (0, +∞)【答案】AB ． (1,+∞)C ． (-2, +∞)D ． (4, +∞)【解析】令 F (x ) =f (x )e x，则 F ( ) ( ) ( ) ( )e 2 x e x有 f (x ) < e x 等价于 F (x ) < 1，即 F (x ) < F (0)，故不等式的解 (0, +∞) ．12．已知定义在 R 的函数 y = f (x ) 对任意的 x 满足 f (x + 1) = - f (x ) ，当 -1≤x < 1 ， f (x ) = x 3 ．函数 ⎧ log x , x > 0a⎩ x（ ）⎛ 1 ⎫⎛ 1 1 ⎤⎡ 1 1 ⎫⎡ 1 ⎫【答案】C【解析】 因为 f (x + 2) = - f (x + 1) = f (x ) ，故 f (x ) 是周期函数且周期为 2 ，如图 f (x ) 的图像与y =- 1(x < 0) 的图像在 [ -6,0 ) 有两个不同的交点，故f (x ) 的图像与g (x )在 (0, +∞) 有 4 个不同的交 x⎧⎪ log 7 < 1 1 1a ⎪⎩a，选 C ．。
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高三数学基础知识专练 不等式 推理与证明
一．填空题(共大题共14小题，每小题5分，共70分)
1、在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察
2、一元二次不等式ax +bx +c ＞0的解集为(α,β)(α>0)，则不等式cx +bx +a ＞0的解集为
__________________.
3、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线.已知直线 b ⊄平面α，直线a ⊂平面α，直线b //平面α，则直线b //直线a ”，这个结论显然是错误的，这是因为________________(填写下面符合题意的一个序号即可).
(1)大前提错误 (2)小前提错误 (3)推理形式错误 (4)非以上错误
4、设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (n )= .
5、在等差数列{a n }中，公差为d ，前n 项和为S n ，则有等式d n n na S n 2
)1(1-+=成立.类比上述
性质，相应地在等比数列{b n }中，公比为q ，前n 项和为T n ，则有等式_____成立. 6、下列推理中属于合情合理的序号是_____________.
(1)小孩见穿“白大褂”就哭； (2)凡偶数必能被2整除，因为0能被2整除，所以0是偶数； (3)因为光是波，所以光具有衍射性质； (4)鲁班被草划破了手而发明了锯.
7、设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-2
),1(log 22)(2
21x x x x f x ，则不等式2)(>x f 的解集为____________.
8、若函数13)2(2)(2≥⋅+++=
x a
x a x x
x f 能用均值定理求最大值，则a 的取值范围是____.
9、设a ＞b ＞c ＞0，且
c
a m c
b b a -≥
-+-11恒成立，则m 的最大值为___________.
10、某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋
35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元.在满足需要的条件 下，最少要花费____________元. 11、已知0,0>>b a 且1=+b a ，则)1
)(1(b
b a a ++
的最小值为_______________. 12、设f (x )=x 3+x ,a ,b ,c ∈R 且a +b >0,b +c >0,a +c >0， 则f (a )+f (b )+f (c )的值的符号为____(填“正数”
或“负数).
13、删去正整数数列1,2，3，…中的所有完全平方数，得到一个新数列，则这个数列的第2019项为__________.
14、下面使用类比推理正确的序号是__________.
(1)由“（a +b ）c =ac +bc ”类比得到：“()()()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅”；
(2)由“在f (x )=ax 2+bx (a ≠0)中，若f (x 1)=f (x 2)则有f (x 1+x 2)=0”类比得到“在等差数列{a n }中，S n 为前n 项和，若S p =S q ，则有S p+q =0”；
(3)由“平面上的平行四边形的对边相等”类比得到“空间中的平行六面体的对面是
全等的平行四边形”；
(4)由“过圆x 2+y 2=r 2上的点(x 0,y 0)的切线方程为x 0x +y 0y =r 2”类比得到 “过圆(x －x 0)2+(y －y 0)2=r 2上的点(x 0,y 0)的切线方程为(x 0－a )(x －a )+(y 0－b )(y －b )=r 2”. 二．解答题
15. 已知f (x )=a 2x －1
2x 3,x ∈(-2,2),a 为正常数。
（Ⅰ）可以证明：定理“若a 、b ∈R +
，则a+b 2≥ab （当且仅当a =b 时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）；
（Ⅱ）若f (x )＞0在(0,2)上恒成立，且函数f (x )的最大值大于1，求实数a 的取值范围，并由此猜测y = f (x )的单调性（无需证明）.
参考答案
1、140,85
2、)1
,1(
α
β
3、(1)
4、2
)
2)(1()(-+=
n n n f
5、2
)1(1
-⋅=n n n n q b T
6、(2)(3)
7、
(
)
+∞,5
8、3
1≥
a 9、4
10、500 11、
4
25 12、正数 13、2053 14、(2)(3)(4)
15. 解：（1）若a 、b 、+
∈R c ，则3
3
abc c b a ≥++（当且仅当c b a ==时取等号）。
（2）()021212232
>⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=-
=x a x x x a x f 在()2,0上恒成立，即2221x a >在()2,0上恒成立，
∵
()2,02
12
∈x ，∴22≥a ，即2≥a ， ()[]323
22222222222
32321212121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a x a x a x x a x a x x f 2
222
1x a x -
=即
a x 3
6=
时，
26
2646362919623
33m
a x >⇒⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==>⇒>=a a a f ， 又∵a x 3
6
=
()2,0∈，∴()6,0∈a 。
综上，得[
)
6,2∈a 。
易知，()x f 是奇函数，∵a x 36=
时，函数有最大值，∴a x 3
6-=时，函数有最小值。
故猜测：⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛--∈2,3636,2a a x 时，()x f 单调递减；⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈a a x 36,36时，()x f 单调递增。