ok3.1《正整数指数函数》(北师大版必修1)

第三章
§1
指数函数和对数函数
正整数指数函数
1
引入新课
你知道 如何计 算利息 吗？
2
国际象棋发明者的奖励
印度舍罕王打算奖赏发明国际象棋的大臣西萨•班•达依尔， 并问他想得到什么样的奖赏，大臣说：“陛下，请您在这
张棋盘的第一个小格内赏给我一粒麦子，在第二个小格内
给两粒，在第三个小格内给四粒，照这样下去，每一小格 内都比前一小格内的麦粒数加一倍，直到把每一小格都摆 上麦粒为止。并把这样摆满棋盘上六十四格的麦粒赏给您 的仆人。”国王认为这位大臣的要求不算多，就爽快地答 应了。国王叫人抬来麦子并按这位大臣的要求，在棋
(5)y＝xx(x∈N＋)； (6)y＝(2a－1) [分析]
x
下列函数哪些是正整数指数函数？哪些不是？为
1 a> ，a≠1，x∈N＋. 2
严格按照正整数指数函数的定义进行判断， 注意
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它的形式特征．
[方法总结]
一般地，函数 y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫
作正整数指数函数，其中 x 是自变量，定义域是正整数集 N＋. 注意：①底数是大于 0 不等于 1 的常数；②指数是自变量 x； ③系数为 1.
3
盘的小格内摆放麦粒：在第一格内放一粒，第二格内放两
粒，第三格内放四粒„„还没摆到第二十格，一袋麦子已 经用光了。国王这才发现，即使把全国的麦子都拿来，也 兑现不了他对这位大臣的奖赏承诺，这位大臣所要求的麦 粒数究竟是多少呢？
4
国际象棋发明者的奖励
5
函数的三要素是什么？
函数的单调性反映了函数哪方面的特征？
∵y＝(2a－1)x(x∈N＋)是增函数，
∴2a－1>1，即 a>1.
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利用正整数指数函数的性质解不等式
[例 3] 解下列不等式：
(1)4x>23－2x(x∈N＋)； (2)0.3×0.4x<0.2×0.6x(x∈N＋)． [分析] 根据正整数指数函数的性质， 将所给不等式化为
一元一次不等式的形式，再进行求解，一定要注意题中所给 未知数的取值范围．
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0.997540 0.9047 0.997560 0.8605 0.997580 0.8185 0.9975
100
0.7786
11
（2）每隔 20 年臭氧含量 Q 的变化，它的图像也 是由一些孤立的点组成；
(3)通过计算和看图可以知道，随着时间的增加， 臭氧的含量在逐渐减少.
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25
3x＋1 解方程 －x ＝3. 3 ＋1
[解析] 3x＋1 3x＋3x· 3－x 3x1＋3－x ∵ －x ＝ －x ＝ －x ＝3x. 3 ＋1 3 ＋1 3 ＋1
∴原方程等价于 3x＝3，∴x＝1.
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[例 4] 按复利计算利率的一种储蓄，本金为 a 元，每期 利率为 r，设本利和为 y，存期为 x，写出本利和 y 随存期 x 变 化的函数关系式．如果存入本金 1000 元，每期利率为 2.25%， 试计算 5 期后的本利和是多少？ [分析] 复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息
2 2 即3x<31，所以
x>1，x∈N＋，
故不等式的解集为{x|x>1，且 x∈N＋}．
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[方法总结] 由正整数指数函数的性质： y＝ax(a>0， a≠1， x∈N＋)是增函数， 得 a>1； y＝ax(a>0， a≠1， x∈N＋)是减函数， 得 0<a<1.根据这一性质可以求参数的取值范围．另外，我们 也可以根据这一性质解不等式．
[答案] B
) D．3 个
B．1 个
C．2 个
[解析]
由正整数指数函数的定义知， ①③④不是正整数
指数函数，②是，故选 B.
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正整数指数函数的图像和性质
[例 2] 的单调性； (2)画出函数 y＝3x(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性． [分析] 根据函数关系式作函数图像， 一定要注意定义域 (1)画出函数
数y之间的关系：
n
8
（3）写出y与n之间的关系式，试用科学计算器计算细胞
分裂15、20次得到的细胞个数
细胞个数 y 与分裂次数 n 的关系为：
y 2 (n N )
n
用科学计算器算得
215 32768 220 1048576
9
２．电冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的 臭氧层。臭氧含量 Q 近似满足 Q Q0 0.9975t , 其中 Q0 是臭氧的初始量，t 是时间(年)。设 Q0 =1.
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[ 方法总结]
正整数指数函数的图像是由一些孤立的点
组成的．当 0<a<1 时，函数 y＝ax(x∈N＋)是减函数；当 a>1 时，函数 y＝ax(x∈N＋)是增函数．
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已知正整数指数函数 y＝(2a－1)x(x∈N＋)是增函数，则实 数 a 的取值范围是________．
[答案]
[解析]
a>1
(1)计算经过 20，40，60，80，100 年，臭氧含量 Q . (2)用图像表示每隔 20 年臭氧含量 Q 的变化。 (3) 试分析随着时间的增加 , 臭氧含量 Q 是增加还是减少 小？
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解:（1）用科学计算器可算得，经过20 ,40,60,80,100 年后， 臭氧含量Q分别是：
0.9975 0.9512
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问题探究
1、某种细胞分裂时，由1个分裂为2个，2个分裂为4个， „„一直分裂下去
（1）用列表表示1个细胞分裂次数分别是1，2，
3，4，5，6，7，8时，得到的细胞个数
分裂次数 （n） 1 细胞个数 （y） 2 3 4 5 6 7 8
248ຫໍສະໝຸດ 16 32 64128 256
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(2)用图像表示1个细胞分裂次数n(n∈N+)与得到的细胞个
y＝1000×(1＋2.25%)5＝1000×1.02255. 由计算器得 y＝1117.68(元)． 所以函数关系式为 y＝a(1＋r)x,5 期后的本利和为 1117.68 元．
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练习 1．一种产品的年产量原来是 10000 件，今后计划 使年产量每年比上一年增加 p% ，写出年产量 随年数变化的函数关系式．
和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息．
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[解析]
已知本金为 a 元．
1 期后的本利和为 y1＝a＋a×r＝a(1＋r)； 2 期后的本利和为 y2＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2； 3 期后的本利和为 y3＝a(1＋r)3； „ x 期后的本利和为 y＝a(1＋r)x. 将 a＝1000(元)，r＝2.25%，x＝5 代入上式得
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课后作业
1.巩固提升：《红对勾》P39，第18课时
2.拓展延伸：预习 3.2指数扩充及其运算性质
祝同学们心情愉快！
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例 2．函数 y＝(a2－3a＋3)· ax 为正整数指数函数，则 a 等于( A．1 ) B．2 C．1 或 2 D．以上都不对
[答案]
[解析]
B
∵y＝(a2－3a＋3)· ax 为正整数指数函数，
∴a2－3a＋3＝1，∴a＝2(a＝1 舍去)，故选 B.
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下列函数：①y＝3x2(x∈N＋ )；②y＝5x(x∈N＋)；③y＝3x ＋1(x∈N＋)；④y＝3· 2x(x∈N＋)． 其中是正整数指数函数的个数为( A．0 个
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[解析]
(1)由 4x>23－2x 知，22x>23－2x，
3 所以 2x>3－2x，则 x>4，x∈N＋.
3 故不等式的解集为xx>4，x∈N＋ .
x 0.4 0.2 x x (2)由 0.3×0.4 <0.2×0.6 ，得 x< ， 0.6 0.3
1 y＝3x(x∈N＋)的图像，并说明函数
的范围，这是解决此类问题易忽略的地方．
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[解析]
(1)函数
1 y＝3x(x∈N＋)的图像如图(1)所示，从图
像可知，函数
1 y＝3x(x∈N＋)是单调递减的．
(2)函数 y＝3x(x∈N＋)的图像如图(2)所示，从图像可知，函 数 y＝3x(x∈N＋)是单调递增的．
y 10000(1 p%) ( x N )
x
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1.一般地，函数 y=ax (a>0, a≠1, x∈N+)叫做正整数指数函 数，其中x是自变量，定义域是正整数集N+. 2.正整数指数函数的图像特征： （1）图像是一群孤立的点； （2）当a>1时，是单调递增函数； （3）当0<a<1时，是单调递减函数； （4）ax的系数为1.
分析这两个函数的异同：
y2
n
y 0.9975
t
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一般地，函数 y a (a 0, a 1, x N )
x
叫做正整数指数函数，
其中 x 是自变量，定义域是正整数集 N .
如增长问题、复利问题、质量浓度问题.
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正整数指数函数的概念
[例 1] 什么？ (1)y＝4x(x∈N＋)； (2)y＝x4(x∈N＋)； (3)y＝－4x(x∈N＋)； (4)y＝(－4)x(x∈N＋)；