苏教版高中数学必修二圆锥曲线与方程(1)
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.1圆锥曲线课件苏教版选修2_1
1.椭圆
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点 的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的_____焦__点__,两焦
点间的距离叫做椭圆的________焦__距____．
2.双曲线
平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双
轨迹是抛_物___线____．
4．若动点P与定点F(1，1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相 等，则动点P的轨迹是直__线______．
椭圆的定义
已知△ABC中，B(－3，0)，C(3，0)，且AB，BC， AC成等差数列； (1)求证：点A在一个椭圆上运动；
(2)写出这个椭圆的焦点坐标． (链接教材P27T1)
[解] (1)由于F1F2＝10>6，
∴满足该条件的曲线是双曲线．
(2)由于F1F2＝10，
∴满足该条件的不是曲线，而是两条射线．
(3)由于F1F2＝10<12，
∴满足条件的点的轨迹不存在．
[方法归纳] 在根据双曲线定义判断动点的轨迹时，易出现以下两种错误： (1)忽视定义中的条件“常数小于两定点之间的距离且大于 0”；(2)忽视条件“差的绝对值”．因此当看到动点到两定 点的距离之差是常数时，就草草下结论误认为动点的轨迹是 双曲线．因此，我们要养成一种良好的思维习惯：看到动点 到两定点的距离之差的绝对值是常数时，要先判断常数与两 定点之间的距离的大小关系．若常数小于两定点间的距离， 则是双曲线；若常数等于两定点间的距离，则是以两定点为 端点的两条射线；若常数大于两定点间的距离，则不表示任 何图形(即无轨迹)．
(4)综合(2)，(3)及圆锥曲线的定义，可得正确结论．
苏教版数学必修二圆锥曲线问题解析
苏教版数学必修二圆锥曲线问题解析圆锥曲线是数学中的一个重要概念，出现在几何学和代数学的多个领域中。
在这篇文章中，我们将探讨苏教版数学必修二中与圆锥曲线相关的问题，并进行详细的解析和讨论。
圆锥曲线是由一个固定点F（焦点）和到该点的所有点的距离与一个固定直线L（准线）的距离相等的点构成。
根据焦点和准线的位置关系，圆锥曲线可以分为三种类型：椭圆、双曲线和抛物线。
首先，让我们来详细讨论椭圆。
椭圆是圆锥曲线的一种形式，它具有两个焦点和一个长轴和短轴。
椭圆在现实生活中有很多应用，比如行星围绕太阳的轨道就是椭圆。
我们可以通过椭圆的方程来描述它的形状和位置。
在苏教版数学必修二中，我们将学习如何确定椭圆的焦点、准线以及重要的参数，如长轴、短轴和离心率。
接下来，让我们转向双曲线。
双曲线也是圆锥曲线的一种形式，它具有两个焦点和两条渐近线。
双曲线在现实生活中也有很多应用，比如电磁波的传播和抛物线天线等。
在苏教版数学必修二中，我们将学习如何确定双曲线的焦点、准线以及重要的参数，如焦距、离心率和渐近线。
最后，让我们来讨论抛物线。
抛物线是圆锥曲线的第三种形式，它具有一个焦点和一个准线。
抛物线在现实生活中也有很多应用，比如炮弹的轨迹和卫星天线的设计等。
在苏教版数学必修二中，我们将学习如何确定抛物线的焦点、准线以及重要的参数，如焦距、准线方程和焦点坐标。
除了探讨这些圆锥曲线的基本性质和参数之外，苏教版数学必修二还涵盖了更高级的主题，如圆锥曲线与直角坐标系、圆锥曲线的标准方程和解析几何等。
我们将深入研究这些主题，以便更好地理解和解决与圆锥曲线相关的问题。
通过学习圆锥曲线，我们可以应用数学的知识和技巧解决各种实际问题。
圆锥曲线在科学、工程和技术领域中都有广泛的应用，因此对其有深入的理解非常重要。
苏教版数学必修二提供了一种清晰和系统的方法，帮助学生掌握圆锥曲线的概念和技巧，并能够应用于实际问题的求解。
总而言之，圆锥曲线是数学中的一个重要概念，苏教版数学必修二对其进行了详细的解析和讨论。
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.5圆锥曲线的统一定义课件苏教版选修2_1
e，
3 2
都在椭圆上，其中
e
为椭圆的离心率，
则椭圆 E 的方程为___x2_2＋__y_2__＝_1______
(2)已知椭圆 E：ax22＋yb22＝1(a>b>0)，A(2,0)为长轴的一个端点，弦 BC 过椭圆的中
心 O，且A→C·B→C＝0，|O→C－O→B|＝2|B→C－B→A|，则椭圆 E 的方程为_____________
3.已知双曲线
E：xa22－by22＝1
的右焦点为
F，圆
C：
x－2c
2＋y2＝c2与双曲线 4
E
的
渐近线交于 A，B，O 三点(O 为坐标原点)，若△ABF 为等边三角形，则双曲线 E
的离心率为____2____．
合作释疑:
例 1 (1)若双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2 ＝4 所 截得的弦长为 2，则双曲线 C 的离心率为________
变式 2
已知椭圆
C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为
3，过右焦点 2
F
且斜率为
k(k>0)
的直线与 C 相交于 A，B 两点，若A→F＝3F→B，则 k＝__2______
例 4 如图所示，椭圆 E 的中心在坐标原点 O，顶点分别是 A1，A2，B1，B2，焦 点分别是 F1，F2，延长 B2F2 交 A2B1 于点 P，若∠B2PA2 是钝角，求椭圆 E 离 心率 e 的取值范围．
由 AB＋AC＋BC＝4a＝2＋ 2得 a＝2＋4 2，所以 AC＋AM＝2＋2 2，所以，AM
＝ 22.所以焦距 2c＝
AC2＋AM2＝
高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》(2.2(一))ppt课件
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2.离心率的作用 当椭圆的离心率越 接近于1 ，则椭圆越扁；当椭圆离心 率越 接近于0 ，则椭圆越接近于圆.
2.2.2 椭圆的几何性质（一）
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预习导学
挑战自我，点点落实
要点一 椭圆的几何性质
例1 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、
焦点和顶点坐标. 解 已知方程化成标准方程为1x62 ＋y92＝1，
则 c＝ a2－b2＝ 69，故焦点坐标为(0，± 69).
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2.若椭圆中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为1 ，
则椭圆的标准方程为__x92_＋__y8_2_＝__1___.
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解析 ∵c＝1，e＝31，∴a＝3，b2＝32－1＝8. ∵焦点在 x 轴上，∴椭圆的标准方程为x92＋y82＝1.
2.2.2 椭圆的几何性质（一）
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编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
2.2.2 椭圆的几何性质（一）
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规律方法 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦 点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点 所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b.
2.2.2 椭圆的几何性质（一）
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跟踪演练 2 已知椭圆过点(3,0)，离心率 e＝ 36，求椭圆的
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
苏教版高中数学选修2-1第二章 圆锥曲线与方程.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第二章圆锥曲线与方程2.1圆锥曲线双基达标(限时15分钟)1．已知定点F1(－3，0)和F2(3，0)，动点M满足MF1＋MF2＝10，则动点轨迹是________．解析因为MF1＋MF2＝10，且10>F1F2，所以动点M轨迹是椭圆．答案椭圆2．已知点M(x，y)的坐标满足（x－1）2＋（y－1）2－（x＋3）2＋（y＋3）2＝±4，则动点M的轨迹是________．解析点(x，y)到(1，1)点及到(－3，－3)点的距离之差的绝对值为4，而(1，1)与(－3，－3)距离为42，由定义知动点M的轨迹是双曲线．答案双曲线3．到两定点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是__________．解析MF1－MF2＝±6，而F1F2＝6，轨迹为两条射线．答案两条射线4．若点M到F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹表示的曲线是________．解析由题意知M到F的距离与到x＝－4的距离相等，由抛物线定义知，M点的轨迹是抛物线．答案抛物线5．下列说法中正确的有________．(填序号)①已知F1(－6，0)、F2(6，0)，到F1、F2两点的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆②已知F1(－6，0)、F2(6，0)，到F1、F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆③到点F1(－6，0)、F2(6，0)两点的距离之和等于点M(10，0)到F1、F2的距离之和的点的轨迹是椭圆④到点F1(－6，0)、F2(6，0)距离相等的点的轨迹是椭圆解析椭圆是到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹，应特别注意椭圆的定义的应用．①中|F1F2|＝12，故到F1、F2两点的距离之和为常数12的点的轨迹是线段F1F2.②中点到F1、F2两点的距离之和8小于|F1F2|，故这样的点不存在．③中点(10，0)到F1、F1两点的距离之和为（10＋6）2＋02＋（10－6）2＋02＝20>|F1F2|＝12，故③中点的轨迹是椭圆．④中点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．故正确的是③.答案③6．已知动圆M过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，判断动圆圆心M的轨迹．解设动圆M的半径为r.因为动圆M与定圆B内切，所以MB＝8－r.又动圆M过定点A，MA＝r，所以MA＋MB＝8，故动圆圆心M的轨迹是椭圆．综合提高(限时30分钟)7．△ABC中，若B、C的坐标分别是(－2，0)，(2，0)，中线AD的长度为3，则A点的轨迹方程是________________________________________________________．解析∵B(－2，0)，C(2，0)，∴BC的中点D(0，0)设A(x，y)，又∵AD＝3，∴x2＋y2＝3(y≠0)所以A点的轨迹方程x2＋y2＝9(y≠0)．答案x2＋y2＝9(y≠0)8．已知动点M的坐标满足方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是__________．解析 把轨迹方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|写成x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5.∴动点M 到原点 的距离与到直线3x ＋4y －12＝0的距离相等．∴点M 的轨迹是以原点为焦点，直线3x ＋4y －12＝0为准线的抛物线．答案 抛物线9．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点．若点P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹是__________．解析 点P 到直线C 1D 1的距离就是点P 到点C 1的距离，所以动点P 的轨迹就是动点到 直线BC 与到点C 1的距离相等的点的轨迹，是抛物线的一部分．答案 抛物线的一部分10．已知点A (－1，0)、B (1，0)．曲线C 上任意一点P 满足P A →2－PB →2＝4(|P A →|－|PB →|)≠0.则曲线C 的轨迹是______．解析 由P A →2－PB →2＝4(|P A →|－|PB →|)≠0，得|P A →|＋|PB →|＝4，且4>AB .故曲线C 的轨迹是椭圆．答案 椭圆11．已知动圆与圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝2相内切，且过点A (2，0)，求动圆圆心M 的轨迹． 解 设动圆M 的半径为r ，∵圆C 与圆M 内切，点A 在圆C 外，∴MC ＝r －2，MA ＝r ，∴MA －MC ＝2，又∵AC ＝4>2，∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支．12．如图所示，已知点P 为圆R ：(x ＋c )2＋y 2＝4a 2上一动点，Q (c ，0)为定点(c >a >0，为常数)，O 为坐标原点，求线段PQ 的垂直平分线与直线RP 的交点M 的轨迹．解 由题意，得MP ＝MQ ，RP ＝2a .MR －MQ ＝MR －MP ＝RP ＝2a <RQ ＝2c .∴点M 的轨迹是以R 、Q 为两焦点，实轴长为2a 的双曲线右支．13．(创新拓展)设Q是圆x2＋y2＝4上的动点，点A(3，0)，线段AQ的垂直平分线交半径OQ于点P.当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹．解因为线段AQ的垂直平分线交半径OQ于点P，所以P A＝PQ.而半径OQ＝OP＋PQ，所以OP＋P A＝2，且2>3＝OA，故点P的轨迹为椭圆(除去与x轴相交的两点)．。
高中数学(苏教版 选修2-1)第2章 圆锥曲线与方程 曲线与方程1
1．了解曲线与方程的对应关系，理解“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念．(重点、难点) 2．理解数形结合思想，会处理一些简单的曲线与方程问题．(难点) 3．曲线与方程的对应关系．(易错点)[基础·初探]教材整理 曲线的方程 方程的曲线阅读教材P 60例1以上的部分，完成下列问题． 1．方程与曲线的定义在直角坐标系中，如果曲线C (看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解满足以下关系：如果曲线C 上点的坐标(x ，y )都是方程f (x ，y )＝0的解，且以方程f (x ，y )＝0的解(x ，y )为坐标的点都在曲线C 上，那么，方程f (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程f (x ，y )＝0的曲线．2．方程与曲线的关系1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线上，那么方程f (x ，y )＝0就是曲线的方程．( ) (2)如果f (x ，y )＝0是某曲线C 的方程，则曲线上的点的坐标都适合方程．( )(3)若曲线C 上的点满足方程f (x ，y )＝0，则坐标不满足方程f (x ，y )＝0的点不在曲线C 上．( ) (4)方程x ＋y －2＝0是以A (2,0)，B (0,2)为端点的线段的方程．( ) (5)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy ＝1.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×2．点A ⎝⎛⎭⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，则m ＝________. 【解析】 据题意，有14m 2＋(－m －1)2＝10，解得m ＝2或－185.【答案】 2或－1853．方程|y |＝|2x |表示的曲线是________．【解析】 ∵|y |＝|2x |，∴y ＝±2x ，表示两条直线． 【答案】 两条直线4．已知曲线C 的方程为x 2－xy ＋2y －7＝0，则下列四点中，在曲线C 上的点有________(填序号)． ①(－1,2)；②(1，－2)；③(2，－3)；④(3,6)．【解析】 把各点的坐标代入检验知，只有(－1,2)满足方程． 【答案】 ①[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)判断点25(x ≤0)所表示的曲线上；(2)方程x 2(x 2－1)＝y 2(y 2－1)所表示的曲线是C ，若点M (m ，2)与点N ⎝⎛⎭⎫32，n 在曲线C 上，求m ，n的值．【精彩点拨】 由曲线与方程的关系知，只要点M 的坐标适合曲线的方程，则点M 就在方程所表示的曲线上；而若点M 为曲线上的点，则点M 的坐标(x 0，y 0)一定适合曲线的方程．【自主解答】 (1)把点A (－4,3)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25中，满足方程，且点A 的横坐标满足x ≤0，则点A 在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上；把点B (－32，－4)的坐标代入x 2＋y 2＝25，因为(－32)2＋(－4)2＝34≠25，所以点B 不在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．把点C (5，25)的坐标代入x 2＋y 2＝25，得(5)2＋(25)2＝25，满足方程，但因为横坐标5不满足x ≤0的条件，所以点C 不在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．(2)因为点M (m ，2)，N ⎝⎛⎭⎫32，n 在曲线C 上，所以它们的坐标都是方程的解，所以m 2(m 2－1)＝2×1，34×⎝⎛⎭⎫－14＝n 2(n 2－1)，解得m ＝±2，n ＝±12或±32.1．判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手．(1)要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可；(2)若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的方程，由此可求点或方程中的参数． 2．判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上．[再练一题]1．若命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是正确的，则下列命题正确的是________(填序号)．①方程f (x ，y )＝0的曲线是C ； ②方程f (x ，y )＝0的曲线不一定是C ； ③f (x ，y )＝0是曲线C 的方程；④以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．【解析】 只有正确地理解曲线与方程的定义，才能准确作答．易知①③④错误． 【答案】 ②方程2x 2＋y 2－【精彩点拨】 由曲线的方程研究曲线的特点，类似于用函数的解析式研究函数的图象，可由方程的特点入手分析．【自主解答】 方程的左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0， 而2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0， ∴2(x －1)2＝0，(y ＋1)2＝0，∴x －1＝0且y ＋1＝0，即x ＝1，y ＝－1. ∴方程表示点(1，－1)．曲线的方程是曲线的代数体现，判断方程表示什么曲线，可根据方程的特点利用配方、因式分解等方法对已知方程变形，转化为我们熟知的曲线方程，在变形时，应保证变形过程的等价性.[再练一题]2．方程(x ＋y －1)x －1＝0表示什么曲线？【解】 方程(x ＋y －1)x －1＝0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0，即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.故方程表示直线x ＝1和射线x ＋y －1＝0(x ≥1).(1)点P (a ＋1，a ＋(2)若曲线y 2＝xy ＋2x ＋k 通过点(a ，－a )，a ∈R ，则实数k 的取值范围是________．【精彩点拨】 (1)利用点在曲线上，则点的坐标满足方程，代入解方程可得；(2)点(a ，－a )在曲线上，则点(a ，－a )适合方程，把k 用a 表示出来，利用求值域的方法得k 的范围．【自主解答】 (1)因为点P (a ＋1，a ＋4)在曲线y ＝x 2＋5x ＋3上， 所以a ＋4＝(a ＋1)2＋5(a ＋1)＋3，即a 2＋6a ＋5＝0，解得a ＝－1或－5. (2)∵曲线y 2＝xy ＋2x ＋k 通过点(a ，－a )， ∴a 2＝－a 2＋2a ＋k ， ∴k ＝2a 2－2a ＝2⎝⎛⎭⎫a －122－12， ∴k ≥－12，∴k 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. 【答案】 (1)－1或－5 (2)⎣⎡⎭⎫－12，＋∞判断点与曲线位置关系的方法如果曲线C 的方程是f (x ，y )＝0，点P 的坐标为(x 0，y 0)． (1)点P (x 0，y 0)在曲线C ：f (x ，y )＝0上⇔f (x 0，y 0)＝0. (2)点P (x 0，y 0)不在曲线C ：f (x ，y )＝0上⇔f (x 0，y 0)≠0.[再练一题]3．若点M (m ，m )在曲线x －y 2＝0上，则m 的值为________.【导学号：09390055】【解析】 ∵点M (m ，m )在曲线x －y 2＝0上，∴m －m 2＝0， 解得m ＝0或m ＝1. 【答案】 0或1[探究共研型]探究1 【提示】 定义中的条件(1)阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完备性)，即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程而毫无例外；条件(2)阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹性)，即适合条件的点都在曲线上而毫无遗漏．曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系，而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形．探究2 理解曲线的方程与方程的曲线的概念时应注意什么？ 【提示】 (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，二者缺一不可．方程(x －4y －12)[(－3)＋log 2(x ＋2y )]＝0的曲线经过点A (0，－3)，B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫53，－74，D (8,0)中的________个点．【精彩点拨】 方程表示两条直线x －4y －12＝0和x ＋2y －8＝0，但应注意对数的真数大于0，即x ＋2y >0.【自主解答】 由对数的真数大于0，得x ＋2y >0. ∴A (0，－3)，C ⎝⎛⎭⎫53，－74不符合要求； 将B (0,4)代入方程检验，符合要求；将D (8,0)代入方程检验，符合要求．【答案】 2点与实数解建立了如下关系：C上的点(x0，y0)f(x，y)＝0的解，曲线上的点的坐标都是这个方程的解，因此要判断点是否在曲线上只需验证该点是否满足方程即可.[再练一题]4．已知直线l：x＋y＋3＝0，曲线C：(x－1)2＋(y＋3)2＝4，若P(1，－1)，则点P与l，C的关系是________．【解析】由1－1＋3≠0，∴P不在l上，即P∉l；又(1－1)2＋(－1＋3)2＝4，∴点P在曲线C上，即P∈C.【答案】P∉l，P∈C[构建·体系]1．设方程F(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下面命题中正确的是________(填序号)．①坐标满足f(x，y)＝0的点都不在曲线C上；②曲线C上的点的坐标不满足f(x，y)＝0；③坐标满足f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上；④一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0.【解析】因为命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，所以其否定：存在不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0，是正确的，即④正确．【答案】④2．f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的________条件.【导学号：09390056】【解析】 ∵f (x 0，y 0)＝0，可知点P (x 0，y 0) 在曲线f (x ，y )＝0上，又P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上时，有f (x 0，y 0)＝0，∴f (x 0，y 0)＝0是P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件． 【答案】 充要3．若P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，则a 的值为_______________________． 【解析】 ∵P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，∴4－9a ＝1，解得a ＝13.【答案】 134．如图2-6-1中，方程表示图中曲线的是________．图2-6-1【解析】 ∵x 2＋y 2＝1表示单位圆，故①错；x 2－y 2＝0表示两条直线y ＝x 和y ＝－x ，故②错；lg x ＋lg y ＝0可化为xy ＝1(x >0，y >0)，故④错；只有③正确．【答案】 ③5．方程(x ＋y －2)·x 2＋y 2－9＝0表示什么曲线？ 【解】 (x ＋y －2)·x 2＋y 2－9＝0变形为x 2＋y 2－9＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x 2＋y 2－9≥0，表示以原点为圆心，3为半径的圆和直线x ＋y －2＝0在圆x 2＋y 2－9＝0外面的两条射线．我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案：(1)(2)。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-1学案 第二章 圆锥曲线与方程 总结1
第15课时本章复习(1)教学过程一、知识网络1.圆锥曲线2.曲线方程→曲线方程的定义二、数学运用【例1】如图,已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其右准线l与x轴的交点为T,过椭圆的上顶点A作椭圆的右准线l的垂线,垂足为D,四边形AF1F2D为平行四边形.(例1)(1)求椭圆的离心率;(2)若B是直线l上一动点,且△ABF2外接圆面积的最小值是4π,求椭圆的方程.[1](见学生用书P44)[处理建议](1)首先让学生独立思考,若学生解决有困难,可通过问题“‘四边形AF1F2D为平行四边形’的等价条件是什么”,引导学生得到基本量的关系式,从而将问题解决;(2)通过分析“圆的面积最小就是外接圆的半径最小,即外接圆的圆心到A或F2的距离最小”,引导学生确定外接圆的圆心的位置,再引导学生思考“B在直线l上如何使用”,从而将问题解决.[规范板书]解(1)依题意有AD=F1F2,即=2c,所以离心率e=.(2)由题可知圆心M在直线y=x上,设圆心M的坐标为(n,n).因为圆过准线上一点B,则圆与准线l有公共点,设圆心M(n,n)到准线的距离为d,则MF2≥d,即≥|n-2c|,解得n≤-3c或n≥c.又r2=(n-c)2+n2=2+∈[c2,+∞),由题可知(πr2)min=c2π=4π,则c2=4,解得c=2,所以b=2,a2=b2+c2=8,所以所求椭圆的方程为+=1.[题后反思]本题要求椭圆的标准方程,本质就是根据条件求出基本量a,b,c.而由(1)可知椭圆的离心率,即的值,且有a 2=b2+c2,这样三个未知数两个方程,就可用c表示出a,b,再根据最值确定c的值.变式已知F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点.(1)若椭圆C上的点A到F1,F2两点的距离之和等于4,求椭圆C的方程和焦点坐标;(2)设K是(1)中所得椭圆上一动点,求线段F2K的中点的轨迹方程.(见学生用书P44)[规范板书]解(1)由题意可知a=2,且+=1,解得b2=3,所以c==1,所以椭圆C的方程为+=1,焦点坐标为(±1,0).(2)由(1)可知F2(1,0),设线段F2K的中点的坐标为(x,y),则K(2x-1,2y).因为K(2x-1,2y)在+=1上,所以+=1,即+=1,这就是所求线段F2K的中点的轨迹方程.【例2】(教材第73页复习题第3题改编)已知曲线C的方程为x2sinα+y2cosα=1,若α∈[0,π),试判断曲线C的形状.[2](见学生用书P45) [处理建议]以问题“根据方程如何判断曲线的形状”为导引,让学生思考,再通过师生共同讨论,进行点评或纠正.[规范板书]解①当α=0时,方程为y=±1,所以曲线C表示两条互相平行的直线;②当0<α<时,>>0,所以曲线C为焦点在x轴上的椭圆;③当α=时,==,所以曲线C为圆;④当<α<时,0<<,所以曲线C为焦点在y轴上的椭圆;⑤当α=时,方程为x=±1,所以曲线C表示两条互相平行的直线;⑥当<α<π时,>0,<0,所以曲线C为焦点在x轴上的双曲线.[题后反思](1)本题是利用方程判断对称中心在坐标原点的曲线的形状,一般方法是什么?(2)分类讨论是高中数学重要的思想方法,也是我们必须掌握的,高考肯定考查的.变式若曲线+=1表示离心率为的椭圆,则k的值是或36.(见学生用书P45)提示由离心率e=可知,=,所以=,因此,当k<9时,a2=9,b2=k,所以=,解得k=;当k>9时,a2=k,b2=9,所以=,解得k=36.【例3】已知椭圆+=1,直线l过点M(2,2)与椭圆相交于A,B两点,且线段AB以M为中点,求直线l的方程.(见学生用书P45) [规范板书]解法一设A(x,y),则由题意可知B(4-x,4-y),所以两式相减得9x+16y-50=0.由A,B关于点M(2,2)对称可知点B的坐标也满足此方程,所以直线l的方程为9x+16y-50=0.解法二设A(x1,y1),B(x2,y2).依题意知直线l的斜率一定存在,所以可设直线l的方程为y-2=k(x-2),即y=kx+(2-2k).由消去y并整理得(9+16k2)x2+64k(1-k)x+16[4(1-k)2-9]=0,所以由根与系数的关系可知x1+x2==4,解得k=-,所以直线l的方程为y-2=-(x-2),即9x+16y-50=0.解法三设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减得9(x1+x2)(x1-x2)=-16(y1+y2)(y1-y2).由条件可知x1+x2=y1+y2=4,所以直线l的斜率k==-,所以直线l的方程为y-2=-(x-2),即9x+16y-50=0.[题后反思]以上的三种解法中解法一、解法二仅能用来解决圆锥曲线被直线所截得的弦的中点问题,解法三是解决直线和圆锥曲线交点问题的一般方法.变式已知中心在坐标原点,一个焦点为F(0,5)的椭圆被直线l:y=3x-2截得的弦的中点的横坐标为,求该椭圆的方程.(见学生用书P45) [规范板书]解法一由题意可知c=5,且椭圆的焦点在y轴上,所以可设椭圆的方程为+=1.把直线y=3x-2代入方程整理得10(b2+5)x2-12b2x-b2(b2+46)=0,所以x1+x2==1,解得b2=25,所以所求椭圆的方程为+=1.解法二设直线l与椭圆的两个交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意可知,椭圆被直线截得的弦的中点的坐标为,并可设椭圆的方程为+=1(a>b>0).由两式相减得a2(x1+x2)(x1-x2)=-b2(y1+y2)(y1-y2).由条件可知x1+x2=1,y1+y2=-1,直线l的斜率k==3,所以a2=3b2.又a2-b2=c2=50,解得a2=75,b2=25,所以所求椭圆的方程为+=1.解法三由题意可知,椭圆被直线截得的弦的中点的坐标为,并可设椭圆的方程为+=1(a>b>0).因此可设直线l与椭圆的两个交点为(x,y),(1-x,-1-y),则两式相减得-b2(2y+1)+a2(2x-1)=0,即2a2x-2b2y-(a2+b2)=0,与直线3x-y-2=0是同一直线,所以==,所以a2=3b2.又a2-b2=c2=50,解得a2=75,b2=25,所以所求椭圆的方程为+=1.*【例4】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1的左、右顶点分别为A,B,右焦点为F,设过点T(t,m)的直线TA,TB与椭圆分别交于点M(x1,y1),N(x2,y2),其中m>0,y1>0,y2>0.(1)设动点P满足PF2-PB2=4,求点P的轨迹方程;(2)设x1=2,x2=,求点T的坐标;(例4)(3)设t=9,求证:直线MN必过定点D(1,0).[3][处理建议]问题(1)和(2)由学生自主完成;问题(3),引导学生理解直线MN必过定点D(1,0)的本质是M,N,D三点共线,从而引导学生通过联立方程组求出M,N的坐标,进而将问题解决.[规范板书]解(1)设P(x,y),由条件知A(-3,0),B(3,0),F(2,0).由PF2-PB2=4,得[(x-2)2+y2]-[(x-3)2+y2]=4,即2x-9=0,这就是点P的轨迹方程.(2)在+=1中,令x=2得y=±,因为y1>0,所以M;令x=得y=±,因为y2>0,所以N,所以直线AT的方程为y=(x+3),即y=x+1,直线BT的方程为y=-(x-3),即y=-x+.由解得所以点T的坐标为.(3)由题设知直线AT的方程为y=(x+3),直线BT的方程为y=(x-3).由得x1=-,y1=,所以M.由得x2=,y2=-,所以N.若x1=x2,即-=,由m>0得m=2,且-==1,即M,N都在x=1上,此时直线MN经过定点(1,0).若x1≠x2,则直线MD的斜率k MD==,直线ND的斜率k ND==,得k MD=k ND,所以直线MN过D(1,0).[题后反思]本题通过曲线的方程求曲线的交点坐标,进而解决与点的坐标有关的问题.(变式)变式如图,在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的直线交椭圆+=1于P,A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连结AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA 的斜率为k.(1)当k=2时,求点P到直线AB的距离d;(2)对任意k>0,求证:PA⊥PB.[规范板书]解(1)当k=2时,直线AP的方程是y=2x.由消去y整理得x=±,因此P,A,于是C,故直线AB的方程为y=x-,即x-y-=0,所以点P到直线AB 的距离d==.(2)直线AP的方程为y=kx,由得P,A,故C,所以直线AB的方程为y=.由消去y整理得(k2+2)x2--=0,即x+=0,所以B+,,k PB===-,所以k PA·k PB=-1,所以PA⊥PB.三、补充练习1.椭圆+=1的焦距为4.提示c==2.2.与圆(x-2)2+y2=4和圆(x+2)2+y2=1都外切的动圆的圆心P的轨迹方程为4x2-=1(x<0).提示设动圆的半径为r,则PC1=2+r,PC2=1+r,所以PC1-PC2=1.由双曲线的定义可知点P 的轨迹是以C1,C2为两个焦点,实轴长为1的双曲线的左支.3.若方程+=1表示的曲线为双曲线,则实数k的取值范围是(-4,0).提示k(k+4)<0⇒k∈(-4,0).4.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,不与x轴垂直的直线与抛物线有两个不同的交点A,B.若线段AB的垂直平分线恒过点(6,0),且AF+BF=8,则此抛物线的方程为y2=8x.提示设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1++x2+=8,即x1+x2=8-p.又因为QA=QB,则(x1-6)2+=(x2-6)2+,即(x1-6)2+2px1=(x2-6)2+2px2,所以(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0.因为x1≠x2,所以x1+x2=12-2p.由12-2p=8-p,得p=4,故抛物线的方程为y2=8x.四、课堂小结1.对本章的知识要有系统的、全面的认识.2.巩固圆锥曲线的标准方程及其特点,及圆锥曲线的性质.3.通过问题的研究体会利用所学的知识分析和解决问题.。
高中数学二圆锥曲线与方程椭圆的几何性质苏教版PPT课件
(2)当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为ay22＋xb22＝1(a>b>0)．
ac＝ 23， 由题意得a92＋b42＝1，
a2＝b2＋c2，
解得 b2＝245，a2＝25.
所以所求椭圆的标准方程为2y52 ＋2x52＝1. 4
综上，所求椭圆的标准方程为4x02＋1y02 ＝1 或2y52 ＋2x52＝1. 4
b越小，椭圆越扁．
数学建模
焦点的位置
椭圆的简单几何性质
焦点在 x 轴上
焦在 y 轴上
图形
标准方程 范围
xa22＋by22＝1(a＞b＞0) －a≤x≤a且
－b≤y≤b
ay22＋xb22＝1(a＞b＞0) －b≤x≤b且 －a≤y≤a
焦点的位置 焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
顶点
_A_1_(_－__a_,0_)_，__A_2_(a_,_0_)_，__ _A_1_(0_，__－__a_)_，__A_2_(_0_，__a_)， _B_1_(_0_，__－__b_)，__B__2(_0_，__b_) _B_1_(－__b_,_0_)，__B__2(_b_,_0_) ___
(1)长轴长是短轴长的 5 倍，且过点 A(5,0)． (解2)：离(1心)若率椭e圆＝焦35，点焦在距x 为轴上12，. 设其标准方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)， 由题意得
2a＝5×2b， 2a52 ＋b02＝1，
解得ab＝＝51， .
故所求椭圆的标准方程为2x52 ＋y2＝1； 若焦点在 y 轴上，设其标准方程为ay22＋xb22＝1(a>b>0)，由题意，得
例 3 已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率 e
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圆锥曲线与方程（1）
1．若双曲线x2a2－y232＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝ 46
3
2．若抛物线y2＝2px 的焦点与椭圆x26＋y2
2
＝1的右焦点重合，则p= 4
3． F 是y ＝14
x2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是 2
21x y =-
4、点21F F 、为双曲线1
242
2=-y x 两焦点，双曲线上点P 满足||||2121F F PF PF =+，则 P 到x 轴的距离为 63
5．过抛物线2
4y x =的焦点，且倾斜角为34π的直线交抛物线于,P Q 两点，O 是坐标原点，则OPQ
∆的面积等于 22
6．已知点(,)P x y 是椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>上的动点，12,F F 是椭圆的焦点，则
12||||PF PF ⋅的取值范围是 22,b a ⎡⎤⎣⎦
7．设双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率___________
e =2
8．过点P(－2，－4)的抛物线的标准方程为__2x y =-，28y x =-______．
9．椭圆x2＋4y2＝16的离心率等于_____
3
2
___，与该椭圆有共同焦点，且一条渐近线是 x ＋3y ＝0的双曲线方程是__22
193
x y -=______． 10.设O 是坐标原点,F 是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,A 是抛物线上的一点,FA 与x 轴正向的夹角为
60°,则
||OA 为
21
2
P 11.设e1,e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率,P 为两曲线的一个公共点,且满
足
2
1PF PF ∙=0,则2
212
2
21)(e e e e +的值为 ,2
12.P 是双曲线122
22=-b y a x (a>0,b>0)右支上一点,F 为其右焦点,M 是右准线l:x=2与x 轴的交点,
若∠PMF=60°,∠PFM=45°,则双曲线的方程为____ ____.
13．已知半径为5的动圆C 的圆心在直线l ：x －y ＋10＝0上．
（1）若动圆C 过点（－5,0），求圆C 的方程；
（2）是否存在正实数r ，使得动圆C 中满足与圆O ：x2＋y2＝r2相外切的圆有且只有一个？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．
22(5)(5)25x y -++=，22(10)25x y ++= ，525r =-
14.设F 是抛物线G:x2=4y 的焦点.(1)过点P(0,-4)作抛物线G 的切线,求切线方程; (2)设A 、B 为抛物线G 上异于原点的两点,且满足FB FA ∙=0,延长AF 、BF 分别交抛物线G 于点C 、D,求四边形ABCD 面积的最小值. 32
15已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M(1，
423)，N(－32
2
，2)两点． (1)求椭圆的方程；(2)在椭圆上是否存在点P(x ，y)到定点A(a,0)(其中0＜a ＜3)的距
离的最小值为1，若存在，求出a 的值及点P 的坐标；若不存在，请给予证明．
22
194x y +-= 2a =，(3,0)P
16．已知椭圆
x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3
3
，以原点为圆心，椭圆短轴长为半径的圆与y ＝x ＋2相切．(1)求a 与b ；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1和F2，直线l
过F2且与x 轴垂直，动直线l2与y 轴垂直，l2交l1与点P.求PF1线段垂直平分线与l2的交点M 的轨迹方程，并说明曲线类型．
22y x =-。