Mesures limites pour l'equation de Helmholtz dans le cas non captif

a r X i v :0707.0829v 1 [m a t h .A P ] 5 J u l 2007R´e sum´e .—Cet article est consacr´e `a l’´e tude des mesures limites associ´e es `a la solution de l’´e quation de Helmholtz avec un terme source se concentrant en un point.Le potentiel est suppos´e C ∞et l’op´e rateur solution de l’´e quation de Schr¨o dinger semi-classique s’´e crit alors micro-localement comme somme finie de distributions lagrangiennes.Sous une hypoth`e se g´e om´e trique,qui g´e n´e ralise l’hypoth`e se du viriel,on en d´e duit que la mesure limite existe et qu’elle v´e rifie des propri´e t´e s standard.Enfin,on donne un exemple d’op´e rateur qui ne v´e rifie pas l’hypoth`e se g´e om´e trique et pour lequel la mesure limite n’est pas unique.Le cas de deux termes sources est aussi trait´e .1.Introduction.Dans ce papier,on ´e tudie la limite hautes fr´e quences de l’´e quation de Helmholtz,en dimen-sion n ≥1,avec un terme source se concentrant en x =0.Par un changement de variables,ce probl`e me se ram`e ne `a l’´e tude de la limite quand h →0de u h ,la solution de −h 2h .Le membre de droite de cette ´e quation est une fonction qui joue le rˆo le d’un profil se concen-trant en 0`a l’´e chelle h .Sa norme L 2est pr´e serv´e e.L’´e nergie,ou param`e tre de r´e gularisation,E est dans le demi-plan complexe sup´e rieur et v´e rifie E =E 0+hE 1+o (h ),E 0>0,quand h →0.De plus le comportement du potentiel V est prescrit `a l’infini (dans cet article,V sera `a longue port´e e).Plus pr´e cis´e ment,on veut calculer les ´e ventuelles mesures semi-classiques de Wigner as-soci´e es `a u h .Autrement dit,on cherche `a savoir si,pour q ∈C ∞0(R 2n ),la quantit´e lim h →0h Op(q )u h ,u h ,existe et s’´e crit q,µh −1 o`u µh −1est une mesure sur T ⋆R n =R 2n ind´e pendante de h (Op(q )est l’op´e rateur pseudo-diff´e rentiel d´e fini en (1.3)).La pr´e sence du h devant le produit scalaire sera obligatoire pour rendre la quantit´e convergente.2JEAN-FRANC¸OIS BONYEn g´e n´e ral cette mesure v´e rifie les propri´e t´e s suivantes.Elle est support´e e dans la surface d’´e nergie E0.Elle est nulle dans la zone entrante(on parle aussi de condition de radiation`a l’infini).Enfin cette mesure limite v´e rifie l’´e quation de Liouville:ξ∂x−∇V(x)∂ξ+2Im E1 µh−1=(2π)1−n| S(ξ)|2δx=0δ1MESURES LIMITES POUR L’´EQUATION DE HELMHOLTZ DANS LE CAS NON CAPTIF3 Besov.Cependant le lemme3.5,qui sert`a contrˆo ler la norme L2(d’une partie)de la solution tr`e s pr`e s de x=0utilise une d´e composition dyadique.Enfin,avec cette m´e thode,on peut aussi traiter le cas de deux(ou plusieurs)points sources. Nous aurons besoin d’une hypoth`e se g´e om´e trique qui,comme pr´e c´e demment,est essentiel-lement n´e cessaire pour l’unicit´e de la mesure.Fouassier[9]avait´e tudi´e cette question sous l’hypoth`e se V=0.On se place dans le cadre de l’analyse semi-classique et h∈]0,h0[d´e signe le petit param`e tre. Dans la suite,on utilisera les notations suivantes.Pour m(x,ξ)≥0une fonction de poids, S(m)d´e signe l’ensemble des fonctions q(x,ξ,h)∈C∞(R2n x,ξ)telles que(1.1)∂αx∂βξq(x,ξ,h)=O(m),pour tousα,β∈N n.On dit que le symbole q(x,ξ,h)est classique et on note q∈S cl(m)si il existe une suite de symboles q j(x,ξ)∈S(m)tel que(1.2)q(x,ξ,h)−Nj=0q j(x,ξ)h j∈S(h N+1m):=h N+1S(m).Sous cette hypoth`e se,q0est appel´e le symbole principal.Pour q∈S(m),l’op´e rateur pseudo-diff´e rentiel(semi-classique en quantification de Weyl)de symbole q est d´efini par(1.3)Op(q)f(x)=12,ξ,h f(y)dy dξ,au sens des int´e grales oscillantes.On noteΨ(m)=Op(S(m)),l’ensemble des op´e rateurs pseudo-diff´e rentiels de symbole dans S(m).Enfin,(1.4) f(ξ)=12∆+V(x),et on fait les hypoth`e ses suivantes.(H1)V est une fonction C∞sur R n,et il existeρ>0tel que|∂αV(x)| x −ρ−|α|,pour toutα∈N n.Autrement dit le potentiel est r´e gulier et`a longue port´e e.Le symbole de P est not´ep(x,ξ)=ξ24JEAN-FRANC¸OIS BONYR2neΛx=0R2nΛ1Λ2ρ0H pΛ vari´e t´e Λet la situation g´e om´e trique pr`e s d’un pointρ0o`uΛse“recoupe”.et son champ hamiltonienH p=ξ∂∂ξ.(H2)La surface d’´e nergie E0>0est non captive.C’est`a dire,K(E0)={(x,ξ)∈p−1(E0);t→exp(t H p)(x,ξ)reste born´e en temps}=∅.(H3)De plus,V(0)<E0.(H4)On suppose quemes n−1 ξ∈ 2(E0−V(0))S n−1etΠx(x,ξ)=x est la projec-tion spatiale.Notons que l’ensemble qui apparait dans(H4)est mesurable car ferm´e.L’interpr´e tation g´e om´e trique de cette hypoth`e se est la suivante(voir la partie6pour les preuves).La so-lution de l’´e quation de Helmholtz sera micro-localis´e e sur l’ensembleΛd´efini par (2.2)Λ:={exp(t H p)(0,ξ);t>0etξ2=2(E0−V(0))}⊂p−1(E0).Cet ensemble peut se“recouper”(voir lesfigures1,2,3(en dimension n=1)et5(en dimension sup´e rieure)).Mais localement pr`e s d’un pointρ0=(x0,ξ0)∈p−1(E0),il est de la forme(2.3)Λ=Kk=1Λk,si x0=0etΛ= Λ∪K k=1Λk,si x0=0,o`u les ensembles ΛetΛk sont d´efinis vari´e t´e(2.4) Λ={exp(t H p)(0,ξ);0<t<ε0etξ2=2(E0−V(0))},avecε0>0assez petit,est une vari´e t´e(locale)lagrangienne C∞se projetant bien suivant les variables d’espace,pour x=0.Elle est repr´e sent´e e sur lafigure1.LesΛk sont des vari´e t´e s (locales)lagrangiennes C∞.Plus pr´e cis´e ment,(2.5){(t,ξ);0<t,ξ2=2(E0−V(0))et exp(t H p)(0,ξ)=ρ0},MESURES LIMITES POUR L’´EQUATION DE HELMHOLTZ DANS LE CAS NON CAPTIF 5V (x )ξ0Figure 2.Un exemple de potentiel V qui,pour 0<E 0<max V ,ne v´e rifie pasl’hypoth`e se du viriel mais pour lequel (H4)est vrai.En effet,l’ensemble qui apparaitdans (H4)est un singleton {ξ0}.est un ensemble fini {(t 1,ξ1),...,(t K ,ξK )}et(2.6)Λk ={exp(t H p )(0,ξ);t au voisinage de t k et ξau voisinage de ξk }.Ainsi,il se peut que Λj =Λk avec j =k .On notera parfois Λ0= Λet,d’apr`e s la section 6,l’hypoth`e se (H4)est ´e quivalente `a(H4)’Les intersections des vari´e t´e s Λet Λk sont de mesure nulle :mes n (Λj ∩Λk )=0,pour 0≤j =k ≤K .La mesure est prise sur la vari´e t´e Λj (ou Λk ).D’apr`e s le principe d’absorption limite,on sait que,pour tout E ∈]0,+∞[,(2.7)(P −(E +i 0))−1:=lim δ→0(P −(E +iδ))−1,existe en tant qu’op´e rateur de L 2( x 2αdx )dans L 2( x −2αdx ),pour tout α>1/2.De plus,Robert et Tamura [22]ont d´e montr´e que,sous les hypoth`e ses (H1)et (H2),(2.8)sup0≤δ<1 x −α(P −(E +iδ))−1 x −α h −1,pour E ∈]0,+∞[au voisinage de E 0.Leur preuve utilise,entre autres choses,les constructions d’Isozaki et Kitada.Mais il existe d’autres d´e monstrations,notamment celle de C.G´e rard et Martinez [12]qui est bas´e e sur la m´e thode de Mourre [19].D’autre part,Burq [2]a prouv´e (2.8)par l’absurde grˆa ce aux mesures de d´e fauts.Cette estimation r´e sulte aussi du r´e cent papier de C.G´e rard [11]qui en donne une preuve directe utilisant uniquement de l’analyse fonctionnelle.Dans la suite et dans ce genre d’estimation,αd´e signera toujours un r´e el strictement sup´e rieur `a 1/2.On prend une donn´e e S h qui se concentre en 0de la mani`e re suivante :(H5)On consid`e re la suite de fonctionsS h (x )=h −n/2S x6JEAN-FRANC¸OIS BONY(H6)Soit E=E(h)∈C une famille d’´e nergies v´e rifiantE=E0+hE1+o(h),et Im E≥0.Ce papier est consacr´e`a l’´e tude de la solution de Helmholtz(2.9)u h(x)=(P−(E+i0))−1S h.Si Im E>0,on a u h=(P−E)−1S h.Th´e or`e me2.1.—Sous les hypoth`e ses(H1)–(H6),il existe une mesure de Radon positive µh−1sur R2n telle que,pour tout q∈C∞0(R2n),(2.10)h Op(q)u h,u h −→ q,µh−1 ,quand h→ mesureµh−1ne d´e pend pas de h et l’indice h−1est juste une notation.La mesureµh−1poss`e de les propri´e t´e s suivantes qui la caract´e risent uniquement:i)La mesureµh−1est support´e e dans la surface d’´e nergie E0:(2.11)suppµh−1⊂p−1(E0).ii)La mesureµh−1est nulle dans la zone entrante:(2.12)µh−1=0dans{(x,ξ);|x|grand et cos(x,ξ)<−1/2}.iii)La mesureµh−1v´e rifie l’´e quation d’´e volution:(H p+2Im E1)µh−1= ξ∂x−∇V(x)∂ξ+2Im E1 µh−1=(2π)1−n| S(ξ)|2δx=0δ12,`a symbole classique,port´e es par les vari´e t´e s lagrangiennesΛk(voir(3.47)et(3.60)).D’autre part,u h est nul micro-localement pr`e s des pointsρ0/∈p−1(E0)avec x0=0.Remarquons que ces r´e sultats ne n´e cessitent pas l’hypoth`e se(H4).Comme corolaire,ces constructions donnent un d´e veloppement asymptotique(au sens C∞) explicite de u h si les lagrangiennesΛk se projettent bien spatialement.Enfin,la preuve du lemme3.5doit permettre d’´e tendre la construction de la distribution lagrangienne port´e e par Λjusqu’`a des voisinages de taille h1−εde0faisant apparaitre une phase singuli`e re en0 comme dans le cas de−h2∆/2.MESURES LIMITES POUR L’´EQUATION DE HELMHOLTZ DANS LE CAS NON CAPTIF7 L’hypoth`e se(H4),ou une hypoth`e se du mˆe me type,est obligatoire pour obtenir les conclu-sions du th´e or`e me2.1.L’exemple donn´e dans la partie4montre que,si cette hypoth`e se est retir´e e,la mesure limite n’est plus unique.Dans la partie consacr´e e`a l’´e tude des mesures semi-classiques de l’´e quation de Schr¨o dinger stationnaire de son papier[25],Wang d´e montre le th´e or`e me2.1en supposant que le potentiel V∈C2(R n)satisfait(2.14)ν0(E0−V(x))−x·∇V(x)≥c0,avec c0>0etν0∈]0,2](´e quation(4.23)de[25]).Comme p=ξ2+V(x)dans[25],si (x(t),ξ(t))∈p−1(E0)est une courbe hamiltonienne,il vient∂t x(t)·ξ(t) =2ξ(t)2−x·∇V(x)≥ν0ξ(t)2−x·∇V(x)(2.15)=ν0(E0−V(x))−x·∇V(x)≥c0.En particulier,x·ξest strictement croissant en temps et l’ensemble qui apparait dans l’hy-poth`e se(H4)est vide.L’hypoth`e se(H4)est proche de l’hypoth`e se de transversalit´e´e nonc´e e par Castella dans[3]. Cet article est consacr´e`a la limite faible de l’´e quation de Helmholtz;autrement dit,`a la limite de u h,h−n/2ϕ(x(2π)n q(0,ξ)| S(ξ)|2dξ.Le fait que u h porte une contribution particuli`e re en x=0est sp´e cifique`a l’´e tude de la r´e solvante.Dans le cas de la mesure spectrale,1(2.19)P(E)=8JEAN-FRANC ¸OIS BONYE ∈]0,+∞[proche de E 0,ce terme n’existe pas et P (E )est un op´e rateur int´e gral de Fourier r´e gulier.Ce r´e sultat a ´e t´e d´e montr´e par C.G´e rard et Martinez dans [13].De plus,il semble aussi possible de d´e finir une mesure µh −1/2par(2.20)h 1/2 Op(q (p −E ))u h ,u h −→ q,µh −1/2 ,pour tout q ∈C ∞0(R 2n ).Sous une hypoth`e se g´e om´e trique,cette mesure semble port´e e par p −1(E 0)∩{x =0}.En fait,cette mesure est un cas particulier de limite faible de l’´e quationde Helmholtz ;elle code le retour en 0de la vari´e t´e Λlorsque l’hypoth`e se de transversalit´e (H)de Castella [3]n’est pas v´e rifi´e e.Avec cette approche,on peut aussi traiter le cas de deux (ou plusieurs)termes sources concentr´e s en x 1=x 2,deux points de R n .Pour S 1,S 2deux fonctions satisfaisant l’hypoth`e se (H5),on poseS 1h (x )=h −n/2S x −x 1h.En plus de l’hypoth`e se (H4)aux points x 1et x 2,on rajoute :(H7)On suppose quemes n −1 ξ∈2(E 0−V (x 1))S n −1.Autrement dit on suppose que les trajectoires dans p −1(E 0)qui vont de x 1`a x 2sont de mesure nulle.L’hypoth`e se (H7)ne change pas si x 1et x 2sont intervertis.Pour j =1,2,soient Λjk ,k =0,...,K j les vari´e t´e s lagrangiennes d´e finies en (2.4)et (2.6)en ρ0avec point de base x j .L’hypoth`e se (H7)est alors ´e quivalente `a(H7)’Les intersections des vari´e t´e s Λ1k 1et Λ2k 2sont de mesure nulle :mes n (Λ1k 1∩Λ2k 2)=0,pour tout 0≤k j ≤K j ,j =1, mesure est prise sur la vari´e t´e Λ1k 1(ou Λ2k 2).Dans ce cas,la solution de Helmholtz est alors la fonction u h solution de (2.21)u h (x )=(P −(E +i 0))−1 S 1h +S 2h .On a alors le th´e or`e me suivant qui ´e tend le r´e sultat de Fouassier [9]aux cas `a coefficients variables.Th´e or`e me 2.4.—On suppose (H1),(H2),(H6)et (H7).On suppose aussi que les hy-poth`e ses (H3),(H4)et (H5)sont v´e rifi´e es en x 1et en x 2(autrement dit,en rempla¸c ant le point de base 0par x 1et par x 2).Alors,pour tout q ∈C ∞0(R 2n ),(2.22)h Op(q )u h ,u h −→ q,µ1h −1+µ2h −1 quand h → mesure µj h −1est la mesure fournie par le th´e or`e me 2.1avec point de base x j .MESURES LIMITES POUR L’´EQUATION DE HELMHOLTZ DANS LE CAS NON CAPTIF9La preuve suit celle du th´e or`e me2.1et on omet les d´e tails.L’hypoth`e se(H7)implique que les interactions entre les deux points sources sont n´e me pour le th´e or`e me2.1,si cette hypoth`e se est retir´e e,on peut construire un exemple d’op´e rateur pour lequel la mesure n’est pas unique.Remarquons que ces hypoth`e ses impliquent n≥2.Le reste du papier est consacr´e`a la preuve du th´e or`e me2.1.Dans la section4,on donne un exemple o`u la mesure n’est pas proposition2.3est d´e montr´e e dans la section 5.Enfin,l’´e quivalence entre(H4)et(H4)’est prouv´e e dans la section6.3.Preuve du th´e or`e me2.1.Dans les sections3.1–3.6,on pourra supposer que E=E0+hF1,o`u F1∈{z∈C;Im z≥0}ne d´e pend pas de h.En effet,toutes les constructions seront r´e guli`e res par rapport au param`e tre F1et toutes les estimations seront uniformes en F1,quand F1varie dans un compact de{z∈C;Im z≥0}.Et pour obtenir le cas g´e n´e ral(H6),il suffira de prendre F1= h−1(E−E0)=E1+o(1),o`u E est donn´e par(H6).3.1.Localisation pr`e s de la surface d’´e nergie E0.On note P0=−h2∆/2le laplacien libre de symbole p0(x,ξ)=ξ2/2.Lemme3.1.—Soit f,g∈C∞0(R)tel que f=1pr`e s de E0−V(0)et g=1pr`e s de E0. Alors(3.1)u h(x)=(P−(E+i0))−1f(P0)S h+Oα(1)=g(P)(P−(E+i0))−1f(P0)S h+Oα(1),(3.2)pour toutα>1/2.D´e monstration.—Soit1E0≺ f∈C∞0(R)tel que f(p0)=1pr`e s du support de f(p).Par le calcul fonctionnel et comme S h=O(1),on au h(x)=(P−(E+i0))−1 f(P)S h+(P−E)−1(1− f(P))S h(3.3)=(P−(E+i0))−1 f(P)S h+O(1).Ici,on a utilis´e le fait que f(P)∈Ψ(1)et donc f(P)S h∈L2( x −∞dx).D’apr`e s le calcul fonctionnel des op´e rateurs pseudo-diff´e rentiels([7]par exemple),on a (3.4) f(P)∈ f(P)f(P0)+Ψ(h∞ ξ −∞).En utilisant(3.3),(3.4),(2.8)et encore(3.3),il vientu h(x)=(P−(E+i0))−1 f(P)S h+O(1)=(P−(E+i0))−1 f(P)f(P0)S h+O(1)+Oα(h∞)(3.5)=(P−(E+i0))−1f(P0)S h+O(1)+Oα(h∞),ce qui prouve(3.1).L’identit´e(3.2)d´e coule de(3.3).10JEAN-FRANC¸OIS BONY Remarquons que,comme(P−E)−1(1− f(P))∈Ψ( ξ −2),la preuve montre que (3.6)u h(x)=(P−(E+i0))−1f(P0)S h+R,o`u R=Oα(1)v´e rifie(1−ϕ(x))R=Oα(h∞)pour toute fonctionϕ∈C∞0(R n)telle que ϕ=1pr`e s de0.En fait,comme(P−(E+i0))−1=O(h−1)en tant qu’op´e rateur de H s( x 2αdx)dans H s( x −2αdx),pour tout s>0,on peut montrer que∂βx R=Oα(h−|β|)et (1−ϕ(x))∂βx R=Oα(h∞)pour toutβ∈N n.3.2.Contrˆo le des temps grands.Comme dans Robert–Tamura[24]et Castella[3],on voit la r´e solvante comme l’int´e grale en temps du propagateur.En effet,i(3.7)(P−(E+i0))−1=h T0e−it(P−E)/h f(P0)S h dt+O−β(h∞), pour tout T assez grand etβ>0.D´e monstration.—La preuve est enti`e rement donn´e e au bas de la page173de[24],et on rappelle juste les deux´e tapes.D’abord,on´e nonce une version du th´e or`e me d’Egorov. Proposition3.3(Proposition3.1de[24]).—Soitω(x,ξ)∈C∞0(R2n).Supposons que ωt∈S(1)soit nul pr`e s de{(x,ξ);(x,ξ)=exp(t H p)(y,η)avec(y,η)∈suppω}. Alors x βOp(ωt)e−itP/h Op(ω) x β =O(h∞),pour toutβ≥0.Cette estimation reste uniform´e ment vraie pour t dans un compact de R`a condition queωt soit uniform´e ment dans S(1).On dit qu’un symboleω∈C∞(R2n)est de classe A0si|∂αx∂βξω(x,ξ)| x −|α| ξ −L,pour tout L>0.Les ensemblesΓ−(resp.Γ+)d´efinis parΓ±(R,d,σ)={(x,ξ);|x|>R,d−1<|ξ|<d et±cos(x,ξ)>σ},sont appel´e s les zones entrantes(resp.sortantes).Dans[24],la proposition3.3est´e nonc´e e pourωt∈A0,mais elle reste vraie pourωt∈S(1).Comme les surfaces d’´e nergie proche de E0sont non-captives,cette proposition implique que le micro-support de e−iT(P−E)/h f(P0)S h(x)est micro-localis´e dans une zone sortante modulo O−β(h∞),pour toutβ≥0.Le lemme3.2est alors une cons´e quence directe du lemme suivant qui repose sur les constructions d’Isozaki et Kitada.Proposition3.4(Lemme2.3de[24]).—Soitω,ω±∈A0tel que le support deω±(resp.ω)soit dansΓ±(R,d,σ±)(resp.{|x|<9R/10}),avec R assez grand etσ−<σ+.Alorsx βOp(ω∓)(P−(E±i0))−1Op(ω±) x β =O(h∞),x βOp(ω)(P−(E±i0))−1Op(ω±) x β =O(h∞),pour toutβ≥0.Remarquons que Robert et Tamura suppose que l’´e nergie E est r´e elle et que le potentiel est`a courte port´e e,ρ>1(pour pouvoir d´e velopper la th´e orie de la diffusion),mais les propositions pr´e c´e dentes sont encore valables pour des potentiels`a longue port´e e(voir l’appendice de[23] o`u la construction des propagateurs approch´e s entrant et sortant est faites pourρ>0(voir aussi les travaux d’Isozaki et Kitada[16]et[17]))et pour des´e nergies v´e rifiant(H6)(en fait, pour E∈C proche de E0et±Im E≥0).3.3.Contrˆo le des temps petits.En utilisant les lemmes3.1et3.2et les propri´e t´e s du calcul pseudo-diff´e rentiel,on obtient, pour q∈C∞0(R2n),(3.9)Op(q)u h=Op(q) u h+O−β(1),o`u u h est d´efini pari(3.10) u h:=h T0χ(t)e−it(P−E)/h f(P0)S h dt,avecχ∈C∞0(R).Remarquons que,pour toute fonction g∈C∞0(R n)telle que g=1pr`e s de0,f(P0)S h=g(x)f(P0)S h+O(h∞)=(2π)−n h−n2εh−1D´e monstration.—D’apr`e s la m´e thode BKW(voir[8]ou[7]par exemple),on sait que,pour tout t assez petit,(3.15)e−it(P−E)/h g(y)e iy·ξ/h =a(t,x,ξ,h)e iϕ(t,x,ξ)/h+O(h∞),La phaseϕet le symbole a sont C∞par rapport`a t,x,ξ.La phase v´e rifie l’´e quation eikonale (3.16) ∂tϕ+p(x,∂xϕ)−E0=0ϕ(0,x,ξ)=x·ξL’amplitude a(t,x,ξ)est`a support compact en x et d´e veloppable par rapport`a ha(t,x,ξ,h)∼∞j=0h j a j(t,x,ξ).De plus,les coefficients a j v´e rifient les´e quations de transport habituelles(3.17)(∂t+∇xϕ·∇x+∆xϕ/2−F1)a0=0 (∂t+∇xϕ·∇x+∆xϕ/2−F1)a j=122).Remarquons que,d’apr`e s(3.16),on a(3.23)ϕ(t,x,ξ)=x·ξ−t(ξ2/2+V(x)−E0)+t2S(1).De plus,grˆa ce au lemme3.1,ξ2reste dans un compact disjoint de0sur le support de f(ξ2/2). En particulier,pour C1δ<t<1/C1avec C1assez grand(ind´e pendant deδ),on a(3.24)−ξ·∂ξϕ=−x·ξ+tξ2+t2S(1)≥δ,sur le support de1δ<|x|<2δa(t,x,ξ,h)f(ξ2/2).Comme les d´e riv´e es par rapport`aξde la fonc-tion−δξ2(h/δ)M ,pour tout M∈N.D’un autre cot´e,pour t<δ/C2avec C2assez grand,on a(3.27)x·∂ξϕx2≥1,sur le support de1δ<|x|<2δa(t,x,ξ,h)f(ξ2/2).Comme les d´e riv´e es par rapport`aξde la fonc-tionδxχ∈C∞0(]−∞,C2])avecχ(t/δ)χ(t)e iϕ(t,x,ξ)/h a(t,x,ξ,h)f(ξ2/2) S(ξ)dξdt= (h/δ)M ,(3.28)pour tout M∈N.Ainsi(3.29) J−δ L2=O δnχ χ`a son support compact disjoint de0.On fait alors le changement de variablest=δT,x=δX,ξ=Ξ.Le symbole1δ<|x|<2δ˘χ(t/δ)χ(t)a(t,x,ξ,h)f(ξ2/2) S(ξ)devient11<|X|<2˘a(T,X,Ξ)o`u le sym-bole˘a∈S(1)est`a support compact dans]0,+∞[T×(R n\{0})X×(R n\{0})Ξ.On pose (3.31)Φ(T,X,Ξ,δ)=δ−1ϕ(δT,δX,Ξ).Cette fonction est C∞par rapport aux variables T,X,ΞetPour δ=0,il existe un unique point critiqueT(X,0)=|X |2(E 0−V (0)), Ξ(X,0)=X√|X |(car T >0sur supp(˘a )).En ce point,(3.34)Hess T,ΞΦ= 0−t Ξ−Ξ−T,est de d´e terminant −T n −1Ξ2ce qui est uniform´e ment minor´e sur supp(˘a ).Par le th´e or`e medes fonctions implicite,pour δassez petit,l’´e quation ∂T,ΞΦ=0a donc une unique solution ( T , Ξ)(X,δ)=( T , Ξ)(X,0)+δ R avec R ∈S (1).En particulier,d’apr`e s (3.32)et(3.34),Hess T,ΞΦest uniform´e ment minor´e au point critique pour δ≪1.En ´e crivant(3.35)∂T,ΞΦ(T,Ξ)=Hess T,ΞΦ( T, Ξ)(T − T ,Ξ− Ξ)+O (|T − T |2,|Ξ− Ξ|2),on constate que (3.36)|(T,Ξ)−( T, Ξ)|2.(3.37)Et donc (3.38)J 0δ(x ) L 2=Oδn2=Oδ12.En,utilisant une d´e composition dyadique δ=2−n avec h 1−µ<δ<2εainsi que (3.22),(3.26),(3.29)et (3.38),il vient1|x |<εJ L 2≤ J ∞h 1−µ + J +h 1−µ +δ=2−nh 1−µ<δ<2εJ −δ + J 0δ + J +δ h(1−µ)(n2hµM+δ=2−nh 1−µ<δ<2εδn2hn +12(h/δ)Mhn +12−µ(n2−µn2|ln h |+√2|ln h |)hn +1ε+h ν),(3.39)avec ν>0.Pour obtenir (3.39),on fixe µ>0assez petit (pour majorer le premier terme)puis M assez grand.3.4.Calcul pr`e s de 0.Dans cette partie,on reprend le calcul de(3.40)B 1(x )=ih −1−n (2π)n Tχ(t )e iϕ(t,x,ξ)/h a (t,x,ξ,h )f (ξ2/2) S (ξ)dξdt +O (h ∞),pour δ1<|x |<δ2avec 0<δ1<δ2petits mais fix´e s.D’apr`e s (3.29),on a vuque (3.41)B 1(x )=ih −1−n (2π)n T0˘χ(t )e iϕ(t,x,ξ)/h a (t,x,ξ,h )f (ξ2/2) S (ξ)dξdt +O (h ∞),avec ˘χ=χ(1−χ∈C ∞0(R )et 2e iψ(x )/h +O (h ∞),o`u b (x,h )∼j ≥0b j (x )hjest un symbole classique `a support compact avec(3.48)b 0=i (2π)1−n4sgn ϕ′′t,ξ2˘χ(t )a 0(t,x,ξ)f (ξ2/2) S(ξ),o`u (t,ξ)est l’unique couple de points (avec t dans le support de ˘χ)v´e rifiant (3.45).A l’aide de (3.34),on trouve sgn ϕ′′t,ξ=1−n et on remarque que (3.49)|det ϕ′′t,ξ|12|ξ|(1+o (1)),quand t →0.Notons (x (t,ξ),ξ(t,ξ))la courbe hamiltonienne issue de (0,ξ)avec p (0,ξ)=E d´e finition du champ hamiltonien donne x (t,ξ)=tξ+t 2S (1)et,d’apr`e s la discussionpr´e c´e dente,(t,ξ)→x(t,ξ)est un diff´e omorphisme pour t assez petit mais disjoint de0.De plus,son jacobien v´e rifie:(3.50) dxh T0e−it(P−E)/h f(P0)S h dt,micro-localement pr`e s deρ0∈p−1(E0).Autrement dit,on calcule Op(q) u h,pour q un symbole `a support compact proche deρ0.Soient t1,...,t K les temps strictement positifs d´efinies dans(2.5).On se donne une fonction χ∈C∞0(R)´e gale`a1pr`e s de0et`a support assez proche de0(et doncχest nulle pr`e s des t k).Soit˘χ∈C∞0(]0,+∞[)une fonction comme dans la partie pr´e c´e dente,`a support assez proche de0et v´e rifiant˘χ(t−ν)=1pr`e s de0pour un certainν>0petit.Il existe alors une fonction χ∈C∞0(R),nulle pr`e s de0et des t k,telle que,pour t∈[0,T],(3.52)χ(t)+Kk=1˘χ(t−ν−t k)+ χ(t)=1.Ainsi, u h s’´e crit(3.53) u h=B1+B2+ih ˘χ(t−ν−t k)e−it(P−E)/h f(P0)S h dt.Rappelons que,d’apr`e s[21],l’´e volution est un op´e rateur int´e gral de Fourier d’ordre0: (3.55)e−it(P−E)/h∈I0cl(Λt),dont la relation canonique est donn´e e par leflot hamiltonien:(3.56)Λt={(x,ξ,y,η);(x,ξ)=κt(y,η)}κt(y,η)=exp(t H p)(y,η).La notation cl signifie que le symbole de l’OIF`a un d´e veloppement en puissance de h.Deplus,le symbole et chaque terme de son d´e veloppement sont holomorphes par rapport`a F1. Comme le micro-support de f(P0)S h est contenu dans{(0,ξ);ξ2/2∈supp f},le th´e or`e me d’Egorov implique que le dernier terme dans(3.53)est micro-localement nul pr`e s deρ0.En effet,pour t∈supp1[0,T] χ(t),l’op´e rateur d´e volution e−it(P−E)/h envoie le micro-support de f(P0)S h hors du support de q.Rappelons que“A=B micro-localement pr`e s deρ0”signifieque Op(q)A=Op(q)B+O(h∞).Comme B1est bien d´e crit par les sections3.3et3.4,il nousreste`a´e tudier B2.On peut´e crire(3.57)B2=Kk=0e−i(ν+t k)(P−E)/h ih +∞0˘χ(t)e−it(P−E)/h f(P0)S h dt=h−12b(x,h)e iψ(x)/h∈h−12D0cl(Λk,b k0,Ωk),micro-localement pr`e s deρ0.LesΛk co¨ıncident avec ceux d´efinis en(2.6)et les symboles des distributions lagrangiennes ainsi que les b k0sont r´e guliers par rapport`a F1.Finalement remarquons que,micro-localement pr`e s deρ0,on a(P−E)B k2=(P−E)i3.6.Convergence vers une mesure de Wigner.Proposition 3.6.—Il existe une mesure de Radon positive µh −1sur R 2n telle que,pourtout q ∈C ∞0(R 2n ),(3.63)h Op(q )u h ,u h −→ q,µh −1 ,quand h →0.D´e monstration .—Par lin´e arit´e ,on peut supposer que q est `a support compact pr`e s d’unpoint ρ0.Soit v (x )∈C ∞0(R n )avec v =1pr`e s de 0et v δ(x )=v (x/δ)pour δ>0.D’apr`e sl’hypoth`e se (H4)’et comme l’intersection de deux vari´e t´e s Λj et Λk est forc´e ment un ferm´e ,la r´e gularit´e de la mesure combin´e e avec le lemme d’Urysohn implique qu’il existe une suitede fonctions f m (x,ξ)∈C ∞0(R 2n ,[0,1])telles que,sur le support de q ,mes n (supp(1−f m )∩Λ)−→0,(3.64)lorsque m →+∞et Λrestreint au support de f m ne se recoupe pas.Plus explicitement,les f m sont construites de la fa¸c on suivante :comme le ferm´e Λj ∩Λkest de mesure nulle dans la vari´e t´e lisse Λj ,la r´e gularit´e de la mesure entraine l’existenced’un ouvert U m j de Λj ,de mesure inf´e rieure `a 1/m ,qui contient Λj ∩Λk .Comme U m jest la restriction `a Λj d’un ouvert V m j de R 2n ,le lemme d’Urysohn nous fournit une fonction f m j ∈C ∞0(R 2n ),de support inclus dans V m j,´e gale `a 1au voisinage de Λj ∩Λk .De la mˆe me mani`e re,on construit f m k en intervertissant les indices j et k .On pose alors f m =1−f m j f m kque l’on tronque hors du support de q .Soit q ∈C ∞0(R 2n )`a support proche de celui de q et ´e gal `a 1pr`e s de celui-ci.D’apr`e s (3.9),(3.53),la discussion apr`e s (3.56)et les propri´e t´e s du calcul pseudo-diff´e rentiel,on a(3.65)Op(q )u h =Op(q )(B 1+B 2)+R 0etOp( q )u h =Op( q )(B 1+B 2)+ R0,avec R 0, R0=O −β(1)pour tout β≥0.Le lemme 3.5,(3.47)et (3.60)et la proposition 1.2.2de [18]sur la norme L 2d’une int´e grale oscillante impliquentv δB 1=R 1=O (√2)(3.66)Op(1−f m )(1−v δ)B 1=R 2=o m →∞(h −12)(3.67)Op(f m )(1−v δ)B 1=h −12)+O m (h12K k =0B k,m2avec B k,m 2∈D 0cl (Λk ,f m |Λkb k 0,Ωk ∩supp f m )(3.70)Ici,une fonction est un o m →∞(1)si elle tend vers 0lorsque m →∞.De mˆe me,une fonction est un O m (h )si,pour tout m fix´e ,elle est un O (h ).En particulier,(3.71)Op(q )u h =O −β(h −1pour tousβ≥0et q∈C∞0(R2n).On a alorsOp(q)u h,u h = Op(q)u h,Op( q)u h +O(h∞)= R0+Op(q)(R1+R2+R3),Op( q)u h+h−1δ)+Oδ,m(h12explose quand x→0.Mais en effectuant le changement de variable dont le Jacobien。