2021届高考数学一轮复习第六章立体几何考点测试43空间几何体的表面积和体积(含解析)新人教版B版

考点测试43 空间几何体的表面积和体积高考概览 高考中本考点常见题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度考纲研读球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式一、基础小题1．设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3，则该西瓜的体积为( )A ．100πB ．256π3C ．400π3D ．500π3答案 D解析 由题意知切面圆的半径r ＝4，球心到切面的距离d ＝3，所以球的半径R ＝r 2＋d 2＝42＋32＝5，故球的体积V ＝43πR 3＝43π×53＝500π3，即该西瓜的体积为500π3.2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 C解析 由三视图可知该几何体是一个棱长为2的正方体去掉一个棱长为1的正方体，则该几何体的体积V ＝2×2×2－1×1×1＝7，故选C.3．一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示(均为直角三角形)，则该三棱锥的体积为( )A ．4B ．8C ．16D ．24答案 B解析 由正视图和侧视图知，该三棱锥的高为6，底面是直角边分别为4和2的直角三角形，所以该三棱锥的体积V ＝13×12×4×2×6＝8，故选B.4．如图是一个几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，侧视图是直角边长分别为1和3的直角三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的内接三棱锥的体积的最大值为( )A ．36B ．33 C ．433D ．3π3答案 B解析 由三视图可知该几何体为半个圆锥，圆锥的母线长l ＝2，底面半径r ＝1，高h ＝l 2－r 2＝ 3.由半圆锥的直观图可得，当三棱锥的底面是斜边为半圆直径，高为半圆半径的等腰直角三角形，三棱锥的高为半圆锥的高时，其内接三棱锥的体积达到最大值，最大体积为V ＝16×2×1×3＝33，故选B.5．已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24π＋48，则r ＝( )A ．2B ．4C ．1D ．3答案 A解析 如图，该几何体的直观图为四分之一圆锥与三棱锥的组合体，该几何体的体积为14×13×π×9r 2×4r ＋13×12×3r ×3r ×4r ＝24π＋48，得r ＝2.故选A.6．如图是一个几何体的三视图，且这个几何体的体积为8，则俯视图中三角形的高x 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 D解析 该几何体为四棱锥，体积为V ＝12×2＋4×23·x ＝8，解得x ＝4.7．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A ．8B ．4C ．83D ．163答案 C解析 由题意可知几何体的直观图如图中的三棱锥C －ABD ，是正方体的一部分，正方体的棱长为2，故该几何体的体积为23－4×13×12×2×2×2＝83.故选C.8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ． 3B ．433C ．533D ．2答案 A解析 如图，几何体的直观图是长方体的一部分，即棱锥P －ABCD ，所以几何体的体积为13×1＋22×2×3＝ 3.故选A.9．已知四面体ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，△ABD 为边长为2的等边三角形，BD ＝DC ，BD ⊥CD ，则四面体ABCD 的体积为( )A.233B ．43C ．433D ．2 3答案 A解析 如图，取线段BD 的中点E ，因为△ABD 为等边三角形，所以AE ⊥BD .又因为平面ABD ⊥平面BCD ，且交线为BD ，所以AE 为平面BCD 的垂线，长度为3，因为BD ＝DC ＝2，BD⊥DC ，所以V 四面体ABCD ＝13×12×2×2×3＝233.10．如图，在多面体ABCDEF 中，已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，FE ＝2，则该多面体的体积为( )A.23B ．33C.43 D ．32答案 A解析 如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32，则△BHC 中BC 边的高h ＝22.∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝2 4，∴V多面体ABCDEF＝V E－AGD＋V F－BHC＋V AGD－BHC＝2V E－AGD＋V AGD－BHC＝13×24×12×2＋24×1＝23.11．已知三棱锥D－ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，若AB＝3，AC＝3，BC＝CD＝BD＝23，则球O的表面积为( )A．4π B．12πC．16π D．36π答案 C解析如图所示，∵AB2＋AC2＝BC2，∴∠CAB为直角，设过△ABC的小圆面的圆心为O′，则O′为BC的中点，∵△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，∴球心在过△DBC的圆面上，即△DBC的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球的半径R＝2，球的表面积为S＝4πR2＝16π，故选C.12．如图是某几何体的三视图，图中方格的单位长度为1，则该几何体的表面积为________．答案8＋4 5解析由三视图还原几何体如图：可得三棱锥A －BCD ，计算可得BC ＝2，CD ＝2，BD ＝22，AD ＝25，AB ＝25，S △BCD ＝12×2×2＝2， S △ADC ＝12×2×25＝25， S △ABC ＝12×2×25＝25，△ABD 为等腰三角形，高为252－22＝32，S △ABD ＝12×22×32＝6，则该几何体的表面积为2＋25＋25＋6＝8＋4 5. 二、高考小题13．(2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF ＝90°，则球O 的体积为( )A ．86πB ．46πC ．26πD ．6π答案 D解析 设PA ＝PB ＝PC ＝2a ，则EF ＝a ，∵△ABC 是边长为2的等边三角形，F 为AB 的中点， ∴FC ＝3，又∠CEF ＝90°，∴EC 2＝3－a 2. 在△PEC 中，cos ∠PEC ＝a 2＋3－a 2－2a22a 3－a2.在△AEC 中，cos ∠AEC ＝a 2＋3－a 2－42a 3－a2. ∵∠PEC 与∠AEC 互补，∴3－4a 2＝1，a ＝22， 故PA ＝PB ＝PC ＝ 2.又AB ＝BC ＝AC ＝2，∴PA ⊥PB ⊥PC ，∴外接球的直径2R ＝ 22＋22＋22＝6，∴R ＝62，∴V ＝43πR 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫623＝6π.故选D.14. (2019·浙江高考)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm 3)是( )A ．158B ．162C ．182D ．324答案 B解析 如图，该柱体是一个五棱柱，棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3.则底面面积S ＝2＋62×3＋4＋62×3＝27，因此，该柱体的体积V ＝27×6＝162.故选B.15．(2018·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 C解析 由三视图可知该几何体是直四棱柱，其中底面是直角梯形，直角梯形上、下底边的长分别为1 cm ，2 cm ，高为2 cm ，直四棱柱的高为2 cm.故直四棱柱的体积V ＝1＋22×2×2＝6 cm 3.16．(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π答案 B解析 根据题意，可得截面是边长为22的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是2的圆，且高为22，所以其表面积为S ＝2π(2)2＋2π×2×22＝12π.故选B.17．(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为( )A ．8B ．6 2C ．8 2D ．8 3答案 C解析 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，连接BC 1，根据线面角的定义可知∠AC 1B ＝30°，因为AB ＝2，AB BC 1＝tan30°，所以BC 1＝23，从而求得CC 1＝BC 21－BC 2＝22，所以该长方体的体积为V ＝2×2×22＝8 2.故选C.18．(2018·全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为( )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3答案 B解析 如图所示，点M 为三角形ABC 的重心，E 为AC 的中点，当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D －ABC 体积最大，此时，OD ＝OB ＝R ＝4.∵S △ABC ＝34AB 2＝93，∴AB ＝6，∵点M 为三角形ABC 的重心，∴BM ＝23BE ＝23，∴在Rt △OMB 中，有OM ＝OB 2－BM 2＝2.∴DM ＝OD ＋OM ＝4＋2＝6，∴(V 三棱锥D －ABC )max ＝13×93×6＝18 3.故选B.19．(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π答案 B解析 由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为6，高为14的圆柱，所以该几何体的体积V ＝12×32×π×14＝63π.故选B.20．(2019·江苏高考)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积是120，E 为CC 1的中点，则三棱锥E －BCD 的体积是________．答案 10解析 设长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BC ＝a ，CD ＝b ，CC 1＝c ，则abc ＝120，∴V E －BCD ＝13×12ab ×12c ＝112abc ＝10.21. (2019·北京高考)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为________．答案 40解析 由题意知去掉的四棱柱的底面为直角梯形，底面积S ＝(2＋4)×2÷2＝6，高为正方体的棱长4，所以去掉的四棱柱的体积为6×4＝24.又正方体的体积为43＝64，所以该几何体的体积为64－24＝40.22．(2019·天津高考)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________．答案π4解析 由题意知圆柱的高恰为四棱锥的高的一半，圆柱的底面直径恰为四棱锥的底面正方形对角线的一半．因为四棱锥的底面正方形的边长为2，所以底面正方形对角线长为2，所以圆柱的底面半径为12.又因为四棱锥的侧棱长均为5，所以四棱锥的高为52－12＝2，所以圆柱的高为1.所以圆柱的体积V ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫122×1＝π4.23．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．答案 402π解析 因为母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，所以母线SA ，SB 所成角的正弦值为158，因为△SAB 的面积为515，设母线长为l ，所以12×l 2×158＝515，所以l 2＝80，因为SA与圆锥底面所成角为45°，所以底面圆的半径为l cos π4＝22l ，因此，圆锥的侧面积为πrl＝22πl 2＝402π. 24. (2018·天津高考)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M －EFGH 的体积为________．答案112解析 由题意知四棱锥的底面EFGH 为正方形，其边长为22，即底面面积为12，由正方体的性质知，四棱锥的高为12.故四棱锥M －EFGH 的体积V ＝13×12×12＝112.25．(2018·江苏高考)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．答案 43解析 多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成，其中正四棱锥的底面边长为2，高为1，∴其体积为13×(2)2×1＝23，∴多面体的体积为43.三、模拟小题26．(2019·沈阳市东北育才学校模拟)将半径为3，圆心角为2π3的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π答案 B解析 将半径为3，圆心角为2π3的扇形围成一个圆锥，设圆锥的底面圆的半径为R ，则有2πR ＝3×2π3，所以R ＝1，设圆锥的内切球的半径为r ，结合圆锥和球的特征，可知内切球球心必在圆锥的高线上，设圆锥的高为h ，因为圆锥的母线长为3，所以h ＝9－1＝22，所以rh －r ＝R 3，解得r ＝22，因此内切球的表面积S ＝4πr 2＝2π.故选B. 27．(2019·济南一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是( )A.27π4B ．27πC ．9πD ．108π答案 B解析 易知此几何体是底面为正方形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，直观图如图，可补为棱长为3的正方体，故2R ＝32＋32＋32＝33，故该几何体外接球的表面积S ＝4πR 2＝27π.28．(2019·衡水中学模拟)四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，△BCD 是边长为3的等边三角形，若AB ＝2，则球O 的表面积为( )A ．4πB ．12πC ．16πD ．32π答案 C解析 取CD 的中点E ，连接AE ，BE ，∵在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，△BCD 是边长为3的等边三角形．∴Rt △ABC ≌Rt △ABD ，△ACD 是等腰三角形，设△BCD 的中心为G ，作OG ∥AB 交AB 的中垂线于O ，则O 为外接球的球心，∵BE ＝332，BG ＝3，∴外接球的半径R ＝BG 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2＝3＋1＝2.∴四面体ABCD 外接球的表面积为4πR 2＝16π.故选C.29．(2019·石家庄模拟)用长度分别为2,3,5,6,9(单位：cm)的五根木棒连接(只允许连接，不允许折断)，组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为( )A ．258 cm 2B ．414 cm 2C ．416 cm 2D ．418 cm 2答案 C解析 设长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为a ，b ，c ，则长方体的表面积S ＝2(ab ＋bc ＋ac )≤12[(a ＋b )2＋(b ＋c )2＋(a ＋c )2]，当且仅当a ＝b ＝c 时上式“＝”成立．由题意可知，a ，b ，c 不可能相等，故当a ，b ，c 的大小最接近时，长方体的表面积最大，此时从同一顶点出发的三条棱的长分别为8,8,9，用长度为2,6的木棒连接，长度为3,5的木棒连接各为一条棱，长度为9的木棒为第三条棱，组成长方体，此时长方体的表面积为2×(8×8＋8×9＋8×9)＝416(cm 2)．30．(2019·江西新余四中、上高二中联考)如图所示，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ，E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，△EAB ，△FBC ，△GCD ，△HDA 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA为折痕折起△EAB ，△FBC ，△GCD ，△HDA 使得E ，F ，G ，H 重合，得到四棱锥．当正方形ABCD 的边长变化时，所得四棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为( )A ．3 3B ．853C ．3 5D ．1653答案 D解析 图形折起合并以后就是右图所示的四棱锥E ′－ABCD ，设正方形ABCD 的边长为a ，取CD 的中点M ，连接E ′M ，E ′O ，OM ，则|OM |＝a 2，|E ′M |＝5－a2，则|E ′O |＝|E ′M |2－|OM |2＝25－5a ，故四棱锥的体积为V ＝13S ·h ＝13a 2·25－5a ＝13 25a 4－5a 5.构造函数h (a )＝25a 4－5a 5，求导，得h ′(a )＝100a 3－25a 4，当h ′(a )>0时，0<a <4，故h (a )在(0,4)上单调递增，在其他区间上单调递减；故当a ＝4时，h (a )取得最大值，也就是V 取得最大值，将a ＝4代入，得V ＝1653.故选D.31．(2019·衡水中学模拟)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，8327B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16327C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33 D ．⎝⎛⎦⎥⎤0，233答案 D解析 根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a 的直铁条要组成三棱锥形的铁架，有以下两种情况：①底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a ，a ，如图1，过S 作SD ⊥BC ，此时AD ＝3，SD ＝a 2－1，则有a 2－1＜2＋3，即a 2＜8＋43＝(6＋2)2，即有1＜a ＜6＋ 2.②构成三棱锥的两条对棱长为a ，其他各棱长为2，如图2所示，过S 作SD ⊥AB ，此时SD ＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，则有24－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22>a ，得0＜a ＜2 2.∴当①中，SA ⊥平面ABC ，a ＝22时，三棱锥体积取得最大值，此时V S －ABC ＝13SA ·S △ABC ＝13×2×12×2×2×sin60°＝233；当②中a 趋近于0时，V S －ABC 趋近于0.∴此三棱锥体积的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，233.故选D.本考点在近三年高考中未涉及此题型．。