高考数学立体几何含答案

2014年高考数学试题汇编 立体几何

一．选择题

1. （2014福建）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）

.A 圆柱 .B 圆锥 .C 四面体 .D 三棱柱

A

2. (2014新课标I)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为

A .62

B .42

C .6

D .4

【答案】：C

【解析】：如图所示，原几何体为三棱锥D ABC -， 其中4,42,25AB BC AC DB DC =====，

(

)

2

42

46DA =

+=，故最长的棱的长度为6DA =，选C

3. (2014新课标II)如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,

图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）

A. 1727

B. 59

C. 1027

D. 13

【答案】 C

..27

10

π54π34-π54π.342π944.2342π.

546π96321C v v 故选积之比削掉部分的体积与原体体积，高为径为，右半部为大圆柱，半，高为小圆柱，半径加工后的零件，左半部体积，，高加工前的零件半径为==

∴=?+?=∴=?=∴π 4（2014浙江）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 902

cm B. 1292

cm C. 1322

cm D. 1382

cm

D

5. (2014江西)一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）

【答案】B

【解析】俯视图为在底面上的投影，易知选：B

6(2014重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A.54

B.60

C.66

D.72 【答案】B 【解析】

B

S S S S S S 选，，，何体表的面积

的上部棱锥后余下的几；截掉高为，高原三棱柱：底面三角形侧上下侧上下∴60s 2

27

3392318152156344*3=++=+=?++===7. （2014辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．82π- B ．8π- C ．82

π

-

D ．84

π

-

【答案】B 【解析】

..π-82)2

1*π-2*2(2

B sh V 选几何体为直棱柱，体积===

8(2014湖南)一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

9(2014安徽)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为

（A ）321+ （B ）318+ （C ）21 （D ）18 7 A

10. (2014湖北)在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）

A.①和②

B.③和①

C. ④和③

D.④和②

点评：本题考查空间由已知条件 ，在空间坐标系中作出几何体的形状，再正视图与俯视图，容易题。 A. 6.

11. （2014大纲）已知二面角l αβ--为60?，AB α?，AB l ⊥，A 为垂足，CD β?，

C l ∈，135AC

D ∠=?，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为

（ ） A ．

14 B ．24

C 3

D ．12 【答案】B.

12. （2014辽宁）已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α?，则m n ⊥

C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α

D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 【答案】B 【解析】

.

.,..,.,B D C B A 选不用再看对平面上的直线直线垂直平面，则垂直对错，不一定平行平行同一平面的两直线对 13. (2014广东)若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是

A.14l l ⊥

B.14//l l

C.14,l l 既不垂直也不平行

D.14,l l 的位置关系不确定 答案:D

14、(2014四川)如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点。设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（ ） A

、[

3 B

、[3

C

、 D

、 【答案】B 【解析】

B m m m m OP n m m DA z y x n BD A A D B O m m P z y x C

C CB C

D 选）

（）（解得一个则法向量为面，，则轴建立坐标系，设为，分别以设边长为].1,36

[∈213122

1

31|

||||,cos |αsin ).1-,1,1(,0]

1,0[∈),,21

-,21-(),1,1,0(),0,1-,1(),,,().1,1,1(),0,0,1(),0,10(),0,2

1

,21(]1,0[∈),,0,0(,,,,12

2

2

1111++=

++=><========

15. (2014陕西)已知底面边长为1，

则该球的体积为（ ）

O

B 1

A 1

C 1

D 1

B

D C

A

P

32.

3A π .4B π .2C π 4.3

D π

【答案】 D 【解析】

D r r r r 选解得设球的半径为.π3

4

34V ∴,1,4)2(11)2(,32222====++=π

16．（2014大纲）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ） A ．

814π B ．16π C ．9π D ．274

π

【答案】A ．

17(2014安徽)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有 （A ）24对 （B ）30对 （C ）48对 （D ）60对 8 A

18. (2014湖北)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.

该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2

1.36

v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式2

275

v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A.

227 B.258 C.15750 D.355113

19 2014上海)如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，

,...)2,1(=i P i 是上底面上其余的八个点，则...)2,1(=?→

→

i AP AB i 的不同值的个数为

（ ）

（A ）1 (B)2 (C)4 (D)8 【答案】 A 【解析】

A

∴111,cos ||||选只有一个值=?>=

20 (2014北京)在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，

()

1,1,2D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上

的正投影图形的 面积，则（ ）

（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠

21. (2014新课标II)直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，

则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）

A. 110

B. 25

C.

30

D.

22

【答案】 C

10 (1030)

5

641-0|

|||θcos 2-1-,0(2-1,1-(∴).0,1,0(),0,1,1(),2,0,2(),2,2,0(,2,,111111C AN BM AN BM AN BM N M B A C C BC AC Z Y X C C A C B C 故选）。，），，则

轴，建立坐标系。令为，，如图，分别以=+=

?=

=====22 (2014江西)如右图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =11，AD =7，1AA =12，一质点从顶点A 射向点()4312E ，，，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将1i -次到第i 次反射点之间的线段记为()2,3,4i L i =，1L AE =，将线段1234,,,L L L L 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）

【答案】C

【解析】A(0,0,0),E(4,3,12),1E (8,6,0),2E (

328,7,4),3E (11,4

25,9),1312342

22=++=AE ，5342

2

1=+=EE ,3134134222

21=++??

?

??=E E ,

21

22

2321265

54535E E E E >=+??

?

??+??? ??=

……

二．填空题

1. (2014江苏) 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧

面积相等，且

4921=S S ，则2

1V V

的值是 ▲ .

2 (2014山东)三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则

1

2

V V = .

3 (2014天津)已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_______3

m.

【答案】

π3 20

【解析】

,

部是圆柱

几何体上部是圆锥，下

该几何体的体积为2

120

422

33

3

m.

4、(2014上海)（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC

,其表面展开图是三角

形

3

2

1

p

p

p，如图，求△

3

2

1

p

p

p的各边长及此三棱锥的体积V.

【答案】4,4,4；3

2

2

【解析】

3

2

2

-

3

2

2

3

6

2

3

3

1

3

1

-

∴

3

6

2

,)

3

3

2

(-

2

,

-

4

ΔP

P

ΔP

2

AC

ΔP

BC,

ΔP

AB,

ΔP

∴

2

Δ

AC

ΔP

BC,

ΔP

AB,

ΔP

∴

-

Δ

2

2

2

3

2

1

3

2

1

3

2

1

的体积为

所以，正三棱锥

的体积

正三棱锥

解得

则

高为

设正三棱锥

的正三角形

是边长为

所以，

的正三角形

均是边长为

的正三角形，

是边长为

为全等等腰三角形

是正三棱锥

ABC

P

h

S

V

ABC

P

h

h

h

ABC

P

ABC

ABC

P

ABC

=

?

?

=

?

?

=

=

=

5 (2014上海)若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用

反三角函数值表示）。

2

4

4

2

4

2

俯视图

侧视图

正视图

【答案】 22arctan 【

解

析

】

2

2arctan 2

2arctan θ,22θtan 83ππ∴3,π221

,,22222222

22所以，是，即解得，化简得则底面半径设圆锥高底侧底侧=====+=+?==+??=r

h

h r r h r r h r r S S r S h r r S r h π

三．解答题

1. (2014江苏) (本小题满分14分)

如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱AB AC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥,,6=PA .5,8==DF BC

求证: (1)直线//PA 平面DEF ；

(2)平面⊥BDE 平面ABC .

2 (2014山东)（本小题满分12分）

如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，60DAB ∠=，

22AB CD ==，M 是线段AB 的中点.

（Ⅰ）求证：111//C M A ADD ；

（Ⅱ）若1CD 垂直于平面ABCD 且13CD =求平面11C D M 和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值.

（第16题）

P D

C

E

F

B

A

3. (2014北京)（本小题14分）

如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P

中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,.

（1）求证：FG AB //；

（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长

.

（17）（共14分）

解：（I ）在正方形中，因为B 是AM 的中点，所以AB ∥DE 。

又因为AB ?平面PDE ， 所以AB ∥平面PDE ，

因为AB ?平面ABF ，且平面ABF 平面PDF FG =， 所以AB ∥FG 。

（Ⅱ）因为PA ⊥底面ABCDE,所以PA AB ⊥，PA AE ⊥.

如图建立空间直角坐标系Axyz ，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ,(2,1,0)C ,(0,0,2)P ,(0,1,1)F ,

BC (1,1,0)=.

设平面ABF 的法向量为(,,)n x y z =，则

0,0,n AB n AF ??=??

?=??即0,

0.x y z =??+=?

令1,z =，则1y =-。所以(0,1,1)n =-，设直线BC 与平面ABF 所成角为a,则

1sin cos ,2

n BC a n BC n BC

?==

=

。 因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为6

π

设点H 的坐标为(,,).u v w 。

因为点H 在棱PC 上，所以可设(01),PH PC λλ=，

即(,,2)(2,1,2).u v w λ-=-。所以2,,22u v w λλλ===-。

因为n 是平面ABF 的法向量，所以0n AB ?=，即(0,1,1)(2,,22)0λλλ-?-=。 解得23λ=

，所以点H 的坐标为422

(,,).333

。 所以222424

()()()2333

PH =

++-= 4. (2014重庆)（本小题满分12分）

如图（19），四棱锥ABCD P -，底面是以O 为中心的菱形，⊥PO 底面ABCD ，

3,2π

=

∠=BAD AB ，M 为BC 上一点，且

AP MP BM ⊥=

,21

.

（1）求PO 的长；

（2）求二面角C PM A --的正弦值。

【答案】（I ） 23

（II ）510

【解析】 （I ）

2

3433421.

4

3,3421π32cos 2122-414Δ.BC ⊥OM CD Δ,Δ,⊥222

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2222=+++=+=+=+=+=+==

???+=+=PO PO PO PO OM PO OM PO PM PO AO PO PA AM ABM PM PA AM B ABD ABCD PO ，解得即中，在都为正三角形，且面由题知，

（II ）

5

10--510

52|,sin |53-83

408-|

|||,cos )2-,3-,1(0),,,()

2,35

,1(0),,,().

2

3

03(),23-4343-()23,03-().0,03-(),

04

343-(),2300(),0,03(,,,,2121212122222221111111的正弦值为

二面角，解得一个则法向量设面，解得一个则法向量设面，，，，，，，，，，，，建立坐标系，则为据题分别以C PM A n n n n n n n n n PM n CP n z y x n PMC n PM n AP n z y x n APM CP PM AP C M P A z y x OP OB OA ∴==><∴==

>=

<∴===========5. （2014福建）（本小题满分12分）

在平行四边形ABCD 中，1AB BD CD ===，,AB BCD CD BD ⊥⊥.将ABD ?沿

BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图.

（1）求证：CD ⊥CD ；

（2）若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值.

17．解：(1)证明：∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AB ?平面ABD ，AB ⊥BD ，∴AB ⊥平面BCD .

又CD ?平面BCD ，∴AB ⊥CD .

(2)过点B 在平面BCD 内作BE ⊥BD .

由(1)知AB ⊥平面BCD ，BE ?平面BCD ，BD ?平面BCD ，∴AB ⊥BE ，AB ⊥BD . 以B 为坐标原点，分别以BE →，BD →，BA →

的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示)．

依题意，得B (0，0，0)，C (1，1，0)，D (0，1，0)，A (0，0，1)，M ????0，12，12. 则BC →＝(1，1，0)，BM →＝????0，12，12，AD →

＝(0，1，－1)． 设平面MBC 的法向量n ＝(x 0，y 0，z 0)， 则?????n ·BC →＝0，n ·BM →＝0，即?????x 0＋y 0

＝0，12y 0＋1

2z 0＝0，

取z 0＝1，得平面MBC 的一个法向量n ＝(1，－1，1)． 设直线AD 与平面MBC 所成角为θ， 则sin θ＝||

cos 〈n ，AD →〉＝|n ·AD →||n |·|AD →

|

＝63.

6 (2014陕西)（本小题满分12分）

四面体ABCD 及其三视图如图所示，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分

别交四面体的棱CA DC BD ，，

于点H G F ，，.

（I ）证明：四边形EFGH 是矩形；

（II ）求直线AB 与平面EFGH 夹角θ的正弦值.

【答案】 （1） 省略 （2）

510

【解析】 （1）

.

FG.⊥BCD ⊥,//∴,,AD//HG AD//EF,∴ADHG

ADEF EFGH ?HG EF,EFGH,AD//HC AH EH//BC,∴EHBC EFGH,?EH EFGH,//B BCD

⊥AD DC,⊥BD Δ,Δ为矩形所以，四边形，即面，

且且共面和，面面同理且共面面面面且为等腰由题知，EHGF EF EF HG EF HG EF GC DG FB DF C RT BCD ====

（2）

5

10

|,cos |sin 510

2

52|

|||,cos ),0,1,1(0),,,()0,1-1(),21

00(),1-20()

0,0,1(),2

1

1,0(),0,1,0(),020(),100(,,DA ,DB ,DC (1)=

><===

>=<∴=======∴n AB n AB n AB n AB n FG n FE n z y x n EHGF FG FE AB G E F B A z y x θ所以，，解得一个则

法向量，设面，，，，，，，，，，轴建系，则为知，分别以由

（20）(2014安徽)（本小题满分 13 分） 如图，四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥底面ABCD ．四边形ABCD 为梯形，AD ∥BC ，且AD=2BC. 过A 1，C ，D 三点的平面记为α，BB 1与α的交点为Q.

（I ）证明：Q 为BB 1的中点；

（Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；

（Ⅲ）若AA 1=4，CD=2，梯形ABCD 的面积为6，求平面α与底面ABCD 所成二面角的大小.

（Ⅰ）证：因为BQ ∥1AA ，BC ∥AD ，BC ∩BQ =B ，AD ∩1AA =A ，

所以平面QBC ∥平面AD A 1，

从而平面CD A 1与这两个平面的交线相互平行，即QC ∥D A 1， 故QBC ?与AD A 1?的对应边相互平行，于是QBC ?∽AD A 1?， 所以

2

1

11===AD BC AA BQ BB BQ ，即Q 是1BB 的中点． （Ⅱ）解：如图1，连接QA ，QD ，设h AA =1，梯形ABCD 的高为d ，四棱柱被平面α所

分成上下两部分的体积分别为上V 和下V ，a BC =，则a AD 2=．

图1

ahd d h a V AD A Q 31

221311=????=-，

ahd h d a a V ABCD Q 4

1

)21(2231=??+?=-，

所以下V =AD A Q V 1-+ABCD Q V -=ahd 12

7

， 又ahd V ABCD D C B A 2

3

1111=-，

所以上V =ABCD D C B A V -1111-下V

=

ahd 2

3

-ahd 127

=ahd 12

11

， 故

7

11

=下上V V ． （Ⅲ）