汕头市潮阳区2015届高一上学期期末考试(数学)

汕头市潮阳区2015届高一上学期期末考试数学一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分．在每小题所列四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．（5分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个2．（5分）若α为第三象限角，则下列各式中不成立的是（）A．t anα﹣sinα＜0 B．s inα+cosα＜0 C．c osα﹣tanα＜0 D．t anαsinα＜03．（5分）函数y=log2x的反函数是（）A．y=﹣log2x B．y=x2C．y=2x D．y=log x2 4．（5分）如图，正方形中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点．那么=（）A．B．C．D．5．（5分）下列函数中，与函数y=定义域相同的函数为（）A．y=B．y=C．y=xe x D．y=6．（5分）已知tanα=4，=，则则tan（α+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣7．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．D．y=x|x| 8．（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan55°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b9．（5分）若函数y=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且•（O为坐标原点），则A=（）A．B．C．D．10．（5分）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，则函数y=f（x）=log3|x|的零点个数是（）A．多于4个B．4个C．3个D．2个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．（5分）幂函数y=f（x）过点（2，），则f（4）=．12．（5分）若，的夹角为30°，则的值为．13．（5分）函数f（x）=log a（x+1）﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，则P点的坐标是．14．（5分）函数f M（x）=，其中M是非空数集且M是R的真子集，若在实数集R上有两个非空子集A，B满足A∩B=∅，则函数F（x）=的值域为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（12分）设集合A={x2，2x﹣1，﹣4}，B={x﹣5，1﹣x，9}，若A∩B={9}，求A∪B．16．（12分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），（1）设，求（）．（2）若与垂直，求λ的值．（3）求向量在方向上的投影．17．（14分）在平面直角坐标系xoy中，点P（1，2cos2θ）在角α的终边上，点Q（sin2θ，﹣1）在角β的终边上，且满足•=﹣1（1）求点P，Q的坐标；（2）求cos（α﹣2β）的值．18．（14分）某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x（吨）．（1）求y关于x的函数；（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．（精确到0.1）19．（14分）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）﹣cos2x+a（a∈R，a为为常数）（1）求函数f（x）的最小正周期和单调区间（2）若函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位后院，得到函数g（x）的图象关于y 轴对称，求实数m的最小值．20．（14分）已知函数：f（x）=（a∈R且x≠a）（1）当a=1时，求f（x）值域；（2）证明：f（a﹣x）+f（a+x）=﹣2；（3）设函数g（x）=x2+|（x﹣a）f（x）|，求g（x）的最小值．参考答案一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分．在每小题所列四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．（5分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：利用集合的交集的定义求出集合P；利用集合的子集的个数公式求出P的子集个数．解答：解：∵M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，∴P=M∩N={1，3}∴P的子集共有22=4故选：B点评：本题考查利用集合的交集的定义求交集、考查一个集合含n个元素，则其子集的个数是2n．2．（5分）若α为第三象限角，则下列各式中不成立的是（）A．t anα﹣sinα＜0 B．s inα+cosα＜0 C．c osα﹣tanα＜0 D．tanαsinα＜0考点：三角函数值的符号．专题：三角函数的求值．分析：由α为第三象限角可得sinα＜0、cosα＜0、tanα＞0，再依次验证答案是否成立．解答：解：因为α为第三象限角，所以sinα＜0、cosα＜0、tanα＞0，则tanα﹣sinα＞0，A不成立；sinα+cosα＜0，B成立；cosα﹣tanα＜0，C成立；tanαsinα＜0，D成立，故选：A．点评：本题考查三角函数值的符号，牢记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦是解题的关键．3．（5分）函数y=log2x的反函数是（）A．y=﹣log2x B．y=x2C．y=2x D．y=log x2考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数式与对数式的互化即可得出．解答：解：由函数y=log2x解得x=2y，把x与y互换可得y=2x，x∈R．∴函数y=log2x的反函数是y=2x，x∈R．故选：C．点评：本题考查了反函数的求法、指数式与对数式的互化，属于基础题．4．（5分）如图，正方形中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点．那么=（）A．B．C．D．考点：向量数乘的运算及其几何意义．专题：计算题．分析：利用向量的数乘运算和向量加减法的几何意义，结合正方体进行求解．解答：解：∵，∴，∵，∴，∵，∴==，∵=，∵，∴=．故选D．点评：本题考查向量的数乘运算和向量加减法的几何意义，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5．（5分）下列函数中，与函数y=定义域相同的函数为（）A．y=B．y=C．y=xe x D．y=考点：正弦函数的定义域和值域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：由函数y=的意义可求得其定义域为{x∈R|x≠0}，于是对A，B，C，D逐一判断即可得答案．解答：解：∵函数y=的定义域为{x∈R|x≠0}，∴对于A，其定义域为{x|x≠kπ}（k∈Z），故A不满足；对于B，其定义域为{x|x＞0}，故B不满足；对于C，其定义域为{x|x∈R}，故C不满足；对于D，其定义域为{x|x≠0}，故D满足；综上所述，与函数y=定义域相同的函数为：y=．故选D．点评：本题考查函数的定义域及其求法，正确理解函数的性质是解决问题之关键，属于基础题．6．（5分）已知tanα=4，=，则则tan（α+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：由题意和两角和的正切公式直接求出tan（α+β）的值．解答：解：由得tanβ=3，又tanα=4，所以tan（α+β）===，故选：B．点评：本题考查两角和的正切公式的应用：化简、求值，属于基础题．7．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．D．y=x|x|考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：探究型．分析：对于A，非奇非偶；对于B，是偶函数；对于C，是奇函数，但不是增函数；对于D，令f（x）=x|x|=，可判断函数既是奇函数又是增函数，故可得结论．解答：解：对于A，非奇非偶，是R上的增函数，不符合题意；对于B，是偶函数，不符合题意；对于C，是奇函数，但不是增函数；对于D，令f（x）=x|x|，∴f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣f（x）；∵f（x）=x|x|=，∴函数是增函数故选D．点评：本题考查函数的性质，考查函数的奇偶性与单调性的判断，属于基础题．8．（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan55°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b考点：不等式比较大小．专题：不等式的解法及应用．分析：利用诱导公式、三角函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=sin33°，b=cos55°=sin35°，∴a＜b＜1，又c=tan55°＞tn45°=1，∴c＞b＞a．故选：C．点评：本题考查了诱导公式、三角函数的单调性，属于基础题．9．（5分）若函数y=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且•（O为坐标原点），则A=（）A．B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；平面向量数量积的含义与物理意义．专题：计算题；数形结合．分析：根据图象求出函数的周期，再求出ω的值，根据周期设出M和N的坐标，利用向量的坐标运算求出A的值．解答：解：由图得，T=4×=π，则ϖ=2，设M（，A），则N（，﹣A），∵，A＞0，∴×﹣A×A=0，解得A=，故选B．点评：本题考查了由函数图象求出函数解析式的方法，考查向量的数量积的计算，考查了读图能力．10．（5分）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，则函数y=f（x）=log3|x|的零点个数是（）A．多于4个B．4个C．3个D．2个考点：对数函数的图像与性质；函数的周期性．专题：压轴题；数形结合．分析：根据定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，我们易画出函数f（x）的图象，然后根据函数y=f（x）﹣log3|x|的零点个数，即为对应方程的根的个数，即为函数y=f（x）与函数y=log3|x|的图象交点的个数，利用图象法得到答案．解答：解：若函数f（x）满足f（x+2）=f（x），则函数是以2为周期的周期函数，又由函数是定义在R上的偶函数，结合当x∈[0，1]时，f（x）=x，我们可以在同一坐标系中画出函数y=f（x）与函数y=log3|x|的图象如下图所示：由图可知函数y=f（x）与函数y=log3|x|的图象共有4个交点，即函数y=f（x）﹣log3|x|的零点个数是4个，故选B点评：本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，利用转化思想，将函数的零点个数问题，转化为函数图象交点个数问题，是解答本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．（5分）幂函数y=f（x）过点（2，），则f（4）=2．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：利用待定系数法求出幂函数的表达式，即可得到结论．解答：解：设幂函数y=f（x）=xα，∵幂函数y=f（x）过点（2，），∴f（2）=，∴，即f（x）=，则f（4）=，故答案为：2点评：本题主要考查幂函数的求值，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础．12．（5分）若，的夹角为30°，则的值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：条件中给出两个向量的模和两向量的夹角，代入数量积的公式运算即可，只是题目所给的模不是数字，而是用三角函数表示的式子，因此代入后，还要进行简单的三角函数变换，二倍角公式逆用．解答：解：因为：=2sin15°•4cos15°•cos30°=4sin30°•cos30°=2sin60°=．故答案为：．点评：本题考查向量的数量积公式、三角函数的二倍角公式．考查计算能力．13．（5分）函数f（x）=log a（x+1）﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，则P点的坐标是（0，﹣2）．考点：对数函数的图像与性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由于函数y=log a x的图象恒过定点（1，0），将y=log a x的图象先向左平移1个单位，再下平移2个单位，即可得到函数f（x）的图象，进而得到定点．解答：解：由于函数y=log a x的图象恒过定点（1，0），将y=log a x的图象先向左平移1个单位，再下平移2个单位，即可得到函数f（x）=log a（x+1）﹣2（a＞0，a≠1）的图象，则恒过定点（0，﹣2）．故答案为：（0，﹣2）．点评：本题考查对数函数的图象的特征，考查函数图象的变换规律，属于基础题．14．（5分）函数f M（x）=，其中M是非空数集且M是R的真子集，若在实数集R上有两个非空子集A，B满足A∩B=∅，则函数F（x）=的值域为{1}．考点：函数的值域；交集及其运算．专题：新定义；函数的性质及应用；集合．分析：对F（x）中的x属于什么集合进行分类讨论，利用题中新定义的函数求出f（x）的函数值，从而得到F（x）的值域即可．解答：解：当x∈C R（A∪B）时，f（A∪B）（x）=0，f A（x）=0，f B（x）=0，∴F（x）==1，同理得：当x∈B时，F（x）=1；当x∈A时，F（x）=1；故F（x）=，则值域为{1}．故答案为：{1}．点评：本题主要考查了函数的值域、分段函数，解答关键是对于新定义的函数f M（x）的正确理解，属于创新型题目．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（12分）设集合A={x2，2x﹣1，﹣4}，B={x﹣5，1﹣x，9}，若A∩B={9}，求A∪B．考点：子集与交集、并集运算的转换．专题：计算题．分析：根据A∩B={9}知9∈A，由集合A中的元素值由两种情况：x2=9和2x﹣1=9，求出x的值来再代入进行验证，集合的元素的互异性和题中的条件是否成立．解答：解：由题意知A∩B={9}，因此9∈A，①若x2=9，则x=±3，当x=3时，A={9，5，﹣4}，x﹣5=1﹣x，与B集合的互异性矛盾；当x=﹣3时，A={9，﹣7，﹣4}，B={﹣8，4，9}，满足题意．②若2x﹣1=9，则x=5，此时A={25，9，﹣4}，B={0，﹣4，9}，A∩B={﹣4，9}，与A∩B={9}矛盾，舍去．故A∪B={﹣8，﹣7，﹣4，4，9}．点评：本题考查了集合的混合运算，根据A∩B中元素的特点进行分类求解，注意需要把求出的值再代入集合进行验证，是否满足条件以及集合元素的三个特征．16．（12分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），（1）设，求（）．（2）若与垂直，求λ的值．（3）求向量在方向上的投影．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的含义与物理意义．专题：计算题．分析：（1）利用向量的坐标运算法则求出的坐标；利用向量的数量积公式求出．（2）利用向量垂直的充要条件：数量积为0，列出方程求出λ．（3）利用向量数量积的几何意义得到一个向量在另一个向量方向上的投影公式为两个向量的数量积比上第二个向量的模．解答：解：（1）∵=（1，2），=（2，﹣2），∴=（4，8）+（2，﹣2）=（6，6）．∴=2×6﹣2×6=0，∴（）=0=0．（2）=（1，2）+λ（2，﹣2）=（2λ+1，2﹣2λ），由于与垂直，∴2λ+1+2（2﹣2λ）=0，∴λ=．（3）设向量与的夹角为θ，向量在方向上的投影为|a|cosθ．∴||cosθ===﹣=﹣．点评：本题考查向量的坐标运算法则、考查向量的数量积公式、考查两个向量垂直的充要条件、考查利用向量的数量积公式求一个向量在另一个向量方向上的投影．17．（14分）在平面直角坐标系xoy中，点P（1，2cos2θ）在角α的终边上，点Q（sin2θ，﹣1）在角β的终边上，且满足•=﹣1（1）求点P，Q的坐标；（2）求cos（α﹣2β）的值．考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值；平面向量及应用．分析：（1）利用向量的数量积和倍角公式即可求出；（2）利用倍角公式、三角函数的定义及两角差的余弦公式即可求出．解答：解：（1）∵点P（1，2cos2θ），点Q（sin2θ，﹣1），∴=（1，2cos2θ），=（sin2θ，﹣1），∵•=﹣1∴sin2θ﹣2cos2θ=﹣1．∴（1﹣cos2θ）﹣（1+cos2θ）=﹣1，解得cos2θ=，∵2cos2θ=1+cos2θ=，∴P（1，），∵sin2θ=（1﹣cos2θ）=，∴Q（，﹣1）（2）∵|OP|=，|0Q|=，∴sinα=，cosα=，sinβ=，cosβ=，∴sin2β=2sinβcosβ=﹣，cos2β=2cos2β﹣1=﹣∴cos（α﹣2β）=cosαcos2β+sinαsin2β==﹣点评：本题考查了向量的数量积、三角函数的定义及两角差的余弦公式、倍角公式，属于中档题18．（14分）某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x（吨）．（1）求y关于x的函数；（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．（精确到0.1）考点：分段函数的应用．专题：转化思想．分析：（1）由题意知：x≥0，令；．将x取值范围分三段，求对应函数解析式可得答案．（2）在分段函数各定义域上讨论函数值对应的x的值．解答：解：（1）由题意知，则当时，y=（5x+3x）×1.8=14.4x当时，当时，=24x﹣9.6即得（2）由于y=f（x）在各段区间上均单增，当x∈时，y≤f（）＜26.4当x∈时，y≤f（）＜26.4当x∈时，令24x﹣9.6=26.4，得x=1.5所以甲户用水量为5x=7.5吨，付费S1=4×1.8+3.5×3=17.70元乙户用水量为3x=4.5吨，付费S2=8.7元点评：本题是分段函数的简单应用题，关键是列出函数解析式，找对自变量的分段区间．19．（14分）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）﹣cos2x+a（a∈R，a为为常数）（1）求函数f（x）的最小正周期和单调区间（2）若函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位后院，得到函数g（x）的图象关于y 轴对称，求实数m的最小值．考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）由两角和与差的正弦公式化简可得函数解析式f（x）=2sin（2x﹣）+a，由正弦函数的图象和性质即可求函数f（x）的最小正周期和单调区间．（2）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换求得函数解析式，然后根据整体思想求得对称轴，最后确定最小值．解答：解：（1）∵f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）﹣cos2x+a=sin2x﹣cos2x+a=2sin （2x﹣）+a，∴T==π，∴由2k≤2x﹣≤2kπ，k∈Z可解得：kπ≤x≤kπ，k∈Z，由2kπ≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得：kπ≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间是：[kπ，kπ]，k∈Z，函数f（x）的单调递减区间是：[kπ，kπ+]，k∈Z，（2）函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位后，得到函数解析式为：g（x）=2sin[2（x﹣m）﹣]+a=2sin（2x﹣2m﹣）+a，∵函数g（x）的图象关于y轴对称，∴由2m+=kπ，k∈Z可解得：m=，k∈Z，∴由m＞0，实数m的最小值是．点评：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换，属于基础题．20．（14分）已知函数：f（x）=（a∈R且x≠a）（1）当a=1时，求f（x）值域；（2）证明：f（a﹣x）+f（a+x）=﹣2；（3）设函数g（x）=x2+|（x﹣a）f（x）|，求g（x）的最小值．考点：函数的最值及其几何意义；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：（1）将a=1代入函数的解析式求出函数的表达式，从而求出函数的值域；（2）先根据已知得到f（2a﹣x），带入f（x）+2+f（2a﹣x）直接运算即可；（3）分情况讨论x≥a﹣1和x＜a﹣1两类情况，去掉绝对值，利用二次函数的性质，即可确定g（x）的最小值．解答：解：（1）a=1时，f（x）==﹣1﹣，∴f（x）的值域是：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，+∞）；（2）证明：∵f（x）=，∴f（a﹣x）==，f（a+x）==﹣，∴f（a﹣x）+f（a+x）=﹣=﹣2，∴命题得证．（3）g（x）=x2+|x+1﹣a|（x≠a）①当x≥a﹣1且x≠a时，g（x）=x2+x+1﹣a=+﹣a，如果a﹣1≥﹣即a≥时，则函数在[a﹣1，a）和（a，+∞）上单调递增g（x）min=g（a﹣1）=（a﹣1）2如果a﹣1＜﹣即a＜且a≠﹣时，g（x）min=g（﹣）=﹣a，当a=﹣时，g（x）最小值不存在；②当x≤a﹣1时g（x）=x2﹣x﹣1+a=+a﹣，如果a﹣1＞，即a＞时，g（x）min=g（）=a﹣，如果a﹣1≤，即a≤时，g（x）min=g（a﹣1）=（a﹣1）2，当a＞时，（a﹣1）2﹣（a﹣）=＞0，当a＜时，（a﹣1）2﹣（﹣a）=＞0，综合得：当a＜且a≠﹣时，g（x）最小值是﹣a，当≤a≤时，g（x）最小值是（a﹣1）2；当a＞时，g（x）最小值为a﹣当a=﹣时，g（x）最小值不存在．点评：本题考查绝对值函数的化简，利用二次函数性质求最值，以及分类讨论的数学思想，属于难题.。