高考数学140分必读之把关题解析30讲(四)
高考数学140分必读之把关题解析30讲(12)
高考数学140分必读之把关题解析30讲（12）把关题解析30讲〔12〕1．江苏理(22)〔本小题总分值14分，第一小咨询总分值4分，第二小咨询总分值10分〕a R ∈，函数2()||f x x x a =-.(Ⅰ)当2a =时，求使()f x x =成立的x 的集合； (Ⅱ)求函数()y f x =在区间[12]，上的最小值.〔本小题要紧考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想和分析推理能力.总分值14分.〕解：〔Ⅰ〕由题意，2()2f x x x =-.当2x <时，2()(2)f x x x x =-=，解得0x =或1x =；当2x ≥时，2()(2)f x x x x =-=，解得1x =综上，所求解集为{011，，. 〔Ⅱ〕设此最小值为m .①当1a ≤时，在区间[12]，上，32()f x x ax =-. 因为22()323()03f x x ax x x a '=-=->，(12)x ∈，，那么()f x 在区间[12]，上是增函数，因此(1)1m f a ==-.②当12a <≤时，在区间[12]，上，2()()0f x x x a =-≥，由()0f a =知 ()0m f a ==.③当2a >时，在区间[12]，上，23()f x ax x =-. 22()233()3f x ax x x a x '=-=-.假设3a ≥，在区间(12)，内()0f x '>，从而()f x 为区间[12]，上的增函数， 由此得(1)1m f a ==-.假设23a <<，那么2123a <<. 当213x a <<时，()0f x '>，从而()f x 为区间2[1]3a ，上的增函数； 当223a x <<时，()0f x '<，从而()f x 为区间2[2]3a ，上的减函数. 因此，当23a <<时，(1)1m f a ==-或(2)4(2)m f a ==-.当723a <≤时，4(2)1a a -≤-，故(2)4(2)m f a ==-； 当733a <<时，14(2)a a -<-，故(1)1m f a ==-. 综上所述，所求函数的最小值 111274(2)23713a a a m a a a a -≤⎧⎪<≤⎪⎪=⎨-<≤⎪⎪->⎪⎩，当时；0，当时；，当时；，当时．(23)〔本小题总分值14分，第一小咨询总分值2分，第二、第三小咨询总分值各6分〕设数列{}n a 的前n 项和为n S ，1231611a a a ===，，，且1(58)(52)123n n n S n S An B n +--+=+=，，，，， 其中A B ，为常数. (Ⅰ)求A 与B 的值；(Ⅱ)证明：数列{}n a 为等差数列；(Ⅲ)1对任何正整数m n ，都成立.〔23〕本小题要紧考查等差数列的有关知识、不等式的证明方法，考查思维能力、运算能力. 总分值14分.解：〔Ⅰ〕由，得111S a ==，2127S a a =+=，312318S a a a =++=. 由1(58)(52)n n n S n S An B +--+=+，知2132372122S S A B S S A B --=+⎧⎨-=+⎩，， 即 28248A B A B +=-⎧⎨+=-⎩，，解得 20A =-，8B =-. 〔Ⅱ〕方法1由〔Ⅰ〕，得 1(58)(52)208n n n S n S n +--+=--， ①因此 21(53)(57)2028n n n S n S n ++--+=--. ② ②-①，得 21(53)(101)(52)20n n n n S n S n S ++---++=-， ③ 因此 321(52)(109)(57)20n n n n S n S n S ++++-+++=-. ④ ④-③，得 321(52)(156)(156)(52)0n n n n n S n S n S n S ++++-+++-+=. 因为 11n n n a S S ++=-，因此 321(52)(104)(52)0n n n n a n a n a ++++-+++=. 又因为 520n +≠，因此 32120n n n a a a +++-+=， 即 3221n n n n a a a a ++++-=-，1n ≥. 因此数列{}n a 为等差数列. 方法2由，得111S a ==，又1(58)(52)208n n n S n S n +--+=--，且580n -≠， 因此数列{}n S 是唯独确定的，因而数列{}n a 是唯独确定的. 设54n b n =-，那么数列{}n b 为等差数列，前n 项和(53)2n n n T -=.因此 1(1)(52)(53)(58)(52)(58)(52)20822n n n n n n n T n T n n n +++---+=--+=--，由唯独性得 n n b a =，即数列{}n a 为等差数列. 〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕可知，15(1)54n a n n =+-=-.要证1>，只要证 51mn m n a a a >++因为 54mn a mn =-，(54)(54)2520()16m n a a m n mn m n =--=-++，故只要证 5(54)12520()16mn mn m n ->+-+++即只要证 202037m n +->因为 558m n a a m n ≤+=+- 558(151529)m n m n <+-++-202037m n =+-，因此命题得证.2．辽宁理21．〔本小题总分值14分〕椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分不是F 1〔－c ，0〕、F 2〔c ，0〕，Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，同时满足.0||,022≠=⋅TF TF PT〔Ⅰ〕设x 为点P 的横坐标，证明x aca F +=||1； 〔Ⅱ〕求点T 的轨迹C 的方程；〔Ⅲ〕试咨询：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ， 使△F 1MF 2的面积S=.2b 假设存在，求∠F 1MF 2的正切值；假设不存在，请讲明理由.本小题要紧考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应 用，以及综合运用数学知识解决咨询题的能力.总分值14分. 〔Ⅰ〕证法一：设点P 的坐标为).,(y x由P ),(y x 在椭圆上，得.)()()(||222222221x aca xa b b c x y c x P F +=-++=++=由0,>+-≥+≥a c x a c a a x 知，因此 .||1x aca F +=………………………3分 证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r F r F ==那么.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由.||,4,211222121x a ca r P F cx r r a r r +===-=+得 证法三：设点P 的坐标为).,(y x 椭圆的左准线方程为.0=+x aca由椭圆第二定义得a c ca x F =+||||21，即.||||||21x a c a c a x a c P F +=+=由0,>+-≥+-≥a c x a c a a x 知，因此.||1x aca F +=…………………………3分 〔Ⅱ〕解法一：设点T 的坐标为).,(y x当0||=时，点〔a ，0〕和点〔－a ，0〕在轨迹上.当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由0||||2=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥. 又||||2PF =，因此T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，a F ==||21||1，因此有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+…………………………7分 解法二：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=时，点〔a ，0〕和点〔－a ，0〕在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由02=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥.又||||2PF =，因此T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为〔y x '',〕，那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y cx x因此⎩⎨⎧='-='.2,2y y c x x ①由a F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.222a y x =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+……………………7分〔Ⅲ〕解法一：C 上存在点M 〔00,y x 〕使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得a y ≤||0，由④得.||20c b y ≤ 因此，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分 ③ ④当cb a 2≥时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=，由2222022021b c a y c x MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得.2tan 21=∠MF F 解法二：C 上存在点M 〔00,y x 〕使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x由④得.||20c b y ≤ 上式代入③得.0))((2224220≥+-=-=c b a c b a cb a x 因此，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分当cb a 2≥时，记c x y k k c x y k k M F M F -==+==00200121,，由,2||21a F F <知︒<∠9021MF F ，因此.2|1|tan 212121=+-=∠k k k k MF F …………14分22．〔本小题总分值12分〕函数)(x f y =在区间〔0，+∞〕内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f 设m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点〔)(,00x f x 〕得的切线方程，并设函数.)(m kx x g +=〔Ⅰ〕用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ； 〔Ⅱ〕证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；〔Ⅲ〕假设关于x 的不等式),0[231322+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，求b 的取值范畴及a 与b 所满足的关系.本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判定函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学差不多关系解决③ ④咨询题的能力.总分值12分〔Ⅰ〕解：).()(000x f x x f m '-=…………………………………………2分 〔Ⅱ〕证明：令.0)(),()()(),()()(00=''-'='-=x h x f x f x h x f x g x h 则 因为)(x f '递减，因此)(x h '递增，因此，当0)(,0>'>x h x x 时；当0)(,0<'<x h x x 时.因此0x 是)(x h 唯独的极值点，且是极小值点，可知)(x h 的最小值为0，因此,0)(≥x h 即).()(x f x g ≥…………………………6分〔Ⅲ〕解法一：10≤≤b ，0>a 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .)1(221b a -≤另一方面，由于3223)(x x f =满足前述题设中关于函数)(x f y =的条件，利用〔II 〕的结果可知，3223x b ax =+的充要条件是：过点〔0，b 〕与曲线3223x y =相切的直线的斜率大于a ，该切线的方程为.)2(21b x b y +=-因此3223x b ax ≥+的充要条件是.)2(21b a ≥…………………………10分综上，不等式322231x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(2)2(2121b a b -≤≤-①明显，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式.)1(2)2(2121b b -≤- ②有解、解不等式②得.422422+≤≤-b ③因此，③式即为b 的取值范畴，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分〔Ⅲ〕解法二：0,10>≤≤a b 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .)1(221b a -≤………………………………………………………………8分令3223)(x b ax x -+=φ，因此3223x b ax ≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.0)(≥x φ 由.0)(331--==-='a x xa x 得φ当30-<<a x 时;0)(<'x φ当3->a x 时，0)(>'x φ，因此，当3-=a x 时，)(x φ取最小值.因此0)(≥x φ成立的充要条件是0)(3≥-a φ，即.)2(21-≥b a ………………10分综上，不等式322231x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(2)2(2121b a b -≤≤-①明显，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式2121)1(2)2(b b -≤- ②有解、解不等式②得.422422+≤≤-b因此，③式即为b 的取值范畴，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分。
高考数学140分必读之把关题解析讲座二
高考数学140分必读之把关题解析讲座二 例1、设双曲线2222by a x -=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A ，P 是双曲线上异于顶点的一个动点，从A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP 分别交于Q 和R 两点.(1) 证明：无论P 点在什么位置，总有|→--OP |2=|→-OQ ·→--OR | ( O 为坐标原点)；(2) 若以OP 为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；例2、已知常数a > 0, n为正整数，f n ( x ) = x n– ( x + a)n ( x > 0 )是关于x的函数.(1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论.(2) 对任意n a , 证明f`n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n`(n)例3、已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v∈[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .(1) 判断函数p ( x ) = x2– 1 是否满足题设条件？(2) 判断函数g(x)=1,[1,0]1,[0,1]x xx x+∈-⎧⎨-∈⎩，是否满足题设条件？例4、已知点P ( t , y )在函数f ( x ) =1x x +(x ≠ –1)的图象上，且有t 2 – c 2at + 4c 2 = 0 ( c ≠ 0 ). (1) 求证：| ac | ≥ 4;(2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增.(3) 求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.例5、设定义在R 上的函数43201234()f x a x a x a x a x a =++++（其中i a ∈R ，i =0,1,2,3,4），当x = －1时，f (x )取得极大值23，并且函数y =f (x +1)的图象关于点（－1，0）对称． （1） 求f (x )的表达式；（2） 试在函数f (x )的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间⎡⎣上；（3） 若+213),(N )23n n n n n n x y n --==∈，求证：4()().3n n f x f y -<例6、设M是椭圆22:1124x yC+=上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程．。
高考数学140分方法
高考数学140分方法高考数学140分方法我所说的学习方法指的是最有效率的优化学习思想，是依据自己的实际状况在最短的时间内获得最有效的成果。
学习最主要的技巧是分析、解读、联想、应用。
同学和家长都知道，中学学习方法最重要，那么如何培育学习方法呢？为各位收编整理《高考数学140分方法各种题型解题思路》，供各位学生参考。
我对自己想读的高校做了深化的了解，已经很清晰在高考中也许要达到一个什么样的分数才能进入这所高校(尽管因为竞赛，我已先行获得高考自主选拔录用降分的实惠，但我的目标是裸分考进心目中的.学校)，然后把这些分数安排到各个科目。
我发觉，数学只要考到130多分就够了，然后我把这130多分再安排到各个题型上去，看哪些题可以舍弃，哪些题不能舍弃，这使我对整张数学试卷的答题策略有了清晰的相识。
首先我分析了近几年本省数学考卷的构成：十道选择题→五道填空题→六道大题。
对于前十五道题，我探讨了近几年高考卷，发觉大部分是基础题，只须要训练速度与精确度，少部分是技巧题，须要比较好的思维和联系课本学问的实力。
对这一部分题型，我特地去买了小题集(里面有许多套测试题，每套只有十道选择题和五道填空题)来专项突破。
每天测一套，我做练习的目的是提高速度和精确度，目标是在25分钟之内完成并保证100%正确率。
刚起先一套测下来要用四十多分钟，还常出错。
在基础学问复习的基础上，这部分题就靠多练，练了几十套之后就很有感觉了，上手很顺畅。
最终我基本达到了自己的目标，25分钟完成，间或错1题。
对于后面的大题，我发觉本省高考数学试题支配几年来都是固定的依次(结果20xx年高考时依次变了，这个还是要当心)，16三角函数→17数列→18概率/排列组合→19立体几何→20解析几何→21函数与导数(我们高考时概率/排列组合和函数与导数的依次调换了)。
其中，20、21题比较难，21题是压轴题，18、19题尽管不难，但对书写要求比较高，表达不规范常被扣分。
高考数学145分必读之把关题解析教案 浙教版
高考数学145分必读之把关题解析教案 浙教版1．重庆一模21．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点。
（Ⅰ）求这三条曲线的方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由。
21．（12分）解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………（1分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分） 对于椭圆，1222a MF MF =++(222222211321a ab ac ∴=+∴=+=+∴=-=+∴= 椭圆方程为：………………………………（4分）对于双曲线，1222a MF MF '=-=2222221321a abc a '∴'∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为：………………………………（6分）（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ C ………………………………………………（7分）()1112312322DC AP x CH a x a ∴=+=-=-+()()()2222221112121132344-23246222DH DC CH x y x a a x a aa DH DE DH l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=-+--+⎣⎦⎣⎦=-+==-+=∴=='= 当时,为定值; 此时的方程为： …………（12分）22．（14分）已知正项数列{}n a 中，16a=，点(n n A a 在抛物线21y x =+上；数列{}n b 中，点(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上。
2019届高三数学备考冲刺140分问题01数集与点集的运算含解析
问题01 数集与点集的运算一、考情分析集合是高考数学必考内容,一般作为容易题.给定集合判定集合间的关系、集合的交、并、补运算是考查的主要形式,常与函数的定义域、值域、不等式(方程)的解集相结合,在知识交汇处命题,以选择题为主,多出现在试卷的前3题中． 二、经验分享(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合；如下面几个集合请注意其区别： ①{}220x x x -=；②{}22x y x x =-；③{}22y y x x =-；④(){}2,2x y y xx =-.(2)二元方程的解集可以用点集形式表示,如二元方程2xy =的整数解集可表示为()()()(){}1,2,2,1,1,2,2,1----.(3)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．(4)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系. (5)一般讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况．(6)解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点：①紧扣新定义．首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；②用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质． 三、知识拓展1．若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n ,真子集的个数为2n －1. 2．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ()()UUAB A B U ⇔=∅⇔=痧 .3．奇数集：{}{}{}21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z .4. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N 对加法运算是封闭的;整数集对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数集对四则运算是封闭的.对加、减、乘运算封闭的数集叫数环,有限数集{0}就是一个数环,叫零环.设F 是由一些数所构成的集合,其中包含0和1,如果对F 中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为0),仍是F 中的数,即运算封闭,则称F 为数域. 四、题型分析(一)与数集有关的基本运算【例1】【2018年理新课标I 卷】已知集合，则A. B.C.D.【分析】首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.【点评】对于集合的运算,一般先把参与运算的集合化简,解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果，要注意端点值的取舍．【小试牛刀】【2017全国1理1】已知集合{}1A x x =<,{}31xB x =<,则（ ）. A. {}0AB x x =< B. A B =R C. {}1A B x x => D. A B =∅【答案】A【解析】{}1A x x =<,{}{}310x B x x x =<=<,所以{}0A B x x =<,{}1AB x x =<.故选A.(二)与点集有关的基本运算 【例2】已知3(,)|3,{(,)|20},2y M x y N x y ax y a M N x -⎧⎫===++==∅⎨⎬-⎩⎭,则=a （ ）A ．－2B ．－6C ．2D ．一2或－6【分析】首先分析集合M 是除去点(2,3)的直线33y x =-,集合N 表示过定点(1,0)-的直线,MN =∅等价于两条直线平行或者直线20ax y a ++=过(2,3),进而列方程求a 的值．【解析】由3333(2)2y y x x x -=⇒=-≠-若M N φ=,则①：点(2,3)在直线20ax y a ++=上,即2602a a a ++=⇒=-；②：直线33y x =-与直线20ax y a ++=平行,∴362aa -=⇒=-,∴2a =-或6-.【点评】分析集合元素的构成,将集合运算的结果翻译到两条直线的位置关系是解题关键． 【小试牛刀】【2018年理数全国卷II 】已知集合，则中元素的个数为A. 9B. 8C. 5D. 4 【答案】A 【解析】，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A.(三)根据数集、点集满足条件确定参数范围【例3】设常数a ∈R ,集合A ＝{|(－1)(－a )≥0},B ＝{|≥a －1},若A ∪B ＝R ,则a 的取值范围为( ) A ．(－∞,2) B ．(－∞,2] C ．(2,＋∞) D ．[2,＋∞)【分析】先得到A ＝(－∞,1]∪[a ,＋∞),B ＝[a －1,＋∞),再根据区间端点的关系求参数范围.【点评】求解本题的关键是对a 进行讨论.【小试牛刀】已知P ＝{|2<<,∈N},若集合P 中恰有3个元素,则的取值范围为________． 【答案】(5,6]【解析】因为P 中恰有3个元素,所以P ＝{3,4,5},故的取值范围为5<≤6. (四) 数集、点集与其他知识的交汇【例4】已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：存在非零常数T,对任意x ∈R,有()()f x T Tf x +=成立.（1）函数()f x x =是否属于集合M ？说明理由；（2）设函数()(0x f x a a =>且1a ≠）的图象与y x =的图象有公共点,证明：()x f x a =∈M ；（3）若函数()sin f x kx =∈M ,求实数k 的取值范围.【分析】抓住集合M 元素的特征,集合M 是由满足()()f x T Tf x +=的函数构成． 【解析】（1）对于非零常数T ,f （+T ）=+T ,Tf （）＝T ． 因为对任意∈R,+T =T 不能恒成立,所以f （）＝ M ．（2）因为函数f （）=a （a >0且a ≠1）的图象与函数y =的图象有公共点,所以方程组：⎪⎩⎪⎨⎧==x y a y x有解,消去y 得a =,显然=0不是方程的a =解,所以存在非零常数T ,使a T =T ． 于是对于f （）=a ,有f （＋T ）=a +T = a T ·a =T ·a =T f （）,故f （）=a ∈M ．【点评】集合与其他知识的交汇处理办法往往有两种：其一是根据函数、方程、不等式所赋予的实数的取值范围,进而利用集合的知识处理；其二是由集合的运算性质,得到具有某种性质的曲线的位置关系,进而转化为几何问题处理．【小试牛刀】在直角坐标系xoy 中,全集},|),{(R y x y x U ∈=,集合}20,1s i n )4(c o s |),{(πθθθ≤≤=-+=y x y x A ,已知集合A 的补集A C U 所对应区域的对称中心为M ,点P 是线段)0,0(8>>=+y x y x 上的动点,点Q 是x 轴上的动点,则MPQ ∆周长的最小值为（ ）A ．24B ．104C ．14D ．248+ 【答案】B(五)与数集、点集有关的信息迁移题 【例5】若集合A 具有以下性质： (Ⅰ)0∈A,1∈A ；(Ⅱ)若∈A ,y ∈A ,则－y ∈A ,且≠0时,1x∈A .则称集合A 是“好集”．下列命题正确的个数是( ) (1)集合B ＝{－1,0,1}是“好集”；(2)有理数集Q 是“好集”；(3)设集合A 是“好集”,若∈A ,y ∈A ,则＋y ∈A . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【分析】抓住新定义的特点,根据“好集”满足的两个性质,逐个进行验证．【解析】选C,(1)集合B 不是“好集”,假设集合B 是“好集”,因为－1∈B,1∈B ,所以－1－1＝－2∈B ,这与－2∉B 矛盾．(2)有理数集Q 是“好集”,因为0∈Q,1∈Q ,对任意的∈Q ,y ∈Q ,有－y ∈Q ,且≠0时,1x∈Q ,所以有理数集Q 是“好集”．(3)因为集合A 是“好集”,所以0∈A ,若∈A ,y ∈A ,则0－y ∈A ,即－y ∈A ,所以－(－y )∈A ,即＋y ∈A .【点评】紧扣新定义,抓住新定义的特点,把新定义叙述的问题的本质搞清楚,并能够应用到具体的解题过程中．【小试牛刀】【2017浙江温州高三模拟】已知集合22{(,)|1}M x y x y =+≤,若实数λ,μ满足：对任意的(,)x y M ∈,都有(,)x y M λμ∈,则称(,)λμ是集合M 的“和谐实数对”,则以下集合中,存在“和谐实数对”的是（ ） A ．{(,)|4}λμλμ+= B ．22{(,)|4}λμλμ+= C ．2{(,)|44}λμλμ-= D ．22{(,)|4}λμλμ-= 【答案】C.【解析】分析题意可知,所有满足题意的有序实数对(,)λμ所构成的集合为{(,)|11,11}λμλμ-≤≤-≤≤,将其看作点的集合,为中心在原点,(1,1)-,(1,1)--,(1,1)-,(1,1)为顶点的正方形及其内部,A,B,D 选项分别表示直线,圆,双曲线,与该正方形及其内部无公共点,选项C 为抛物线,有公共点(0,1)-,故选C. 五、迁移运用1．【安徽省宿州市2018届第三次质检】已知全集，集合，集合，则（ ）A. B.C.D.【答案】A2．【四川省成都市2018届模拟】设，则是的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由得或，作出函数和，以及的图象，如图所示，则由图象可知当时，，当时，，因为，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.点睛：本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中正确作出相应函数的图象，利用数形结合法求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想方法的应用，以及推理与论证能力.3．【辽宁省葫芦岛市2018届第二次模拟】设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，的子集个数为故选C.4．【河南省洛阳市2018届三模】设集合，，则的子集个数为（）A. 4 B. 8 C. 16 D. 32【答案】C5．【安徽省皖江八校2018届联考】设集合,,若,则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，∴，即，∴，故选B.6．【山东省济南2018届二模】设全集,集合,集合则下图中阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，，∴故选：D7．【安徽省江南十校2018届二模理】已知全集为，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，，所以，即．8．【2018届四川成都高三上学期一诊模拟】已知集合2{|},{|320},A x x aB x x x=<=-+<若,A B B⋂=则实数a的取值范围是（）A. 1a< B. 1a≤ C. 2a> D. 2a≥【答案】D【解析】集合{}{}{}2|,|320|12A x x a B x x x x x =<=-+<=<<, ,A B B B A ⋂=∴⊆,则2a ≥,故选D.9．【2018届安徽蒙城高三上学期“五校”联考】已知集合{}{}0,1,1,0,3A B a ==-+,若A B ⊆,则a 的值为（ ）A. 2-B. 1-C. 0D. 1 【答案】A【解析】 因为{}{}0,1,1,0,3A B a ==-+,且A B ⊆, 所以31a +=,所以2a =-,故选A.10．【2018届湖南省五市十校教研教改共同体高三12月联考】已知集合{}220M x x x =--<,{N x y ==,则M N ⋃=（ ）A. {}1x x >- B. {}12x x ≤< C. {}12x x -<< D. {}0x x ≥ 【答案】A【解析】[)[){|12},1,1,2M x x N M N =-<<=+∞∴⋃=,选A. 11.已知集合，，则的元素个数为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B12．设集合，，记，则点集所表示的轨迹长度为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由题意的圆心为，半径为1，而圆心（-3sin α，-3cos α），满足（-3sin α）2+（-3cos α）2=9， 故圆心在以（0，0）圆心，半径为3的圆上，∴集合A 对应的几何图形为圆2+y 2=4和2+y 2=16之间的圆环区域，13.【2017全国2理2】设集合{}1,2,4A =,{}240B x x x m =-+=.若1AB =,则B =（）.A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5 【答案】C【解析】由题意知1x =是方程240x x m -+=的解,代入解得3m =,所以2430x x -+=的解为1x =或3x =,从而{}13B =，.故选C.14．若集合{}2|870,|3x M x N x x P x N ⎧⎫=∈-+<=∉⎨⎬⎩⎭,则M P 等于（ ）A.{}3,6B.{}4,5C.{}2,4,5D.{}2,4,5,7 【答案】C【解析】因为{}{}{}2|870|17=2,3,4,5,6,|3x M x N x x x N x P x N ⎧⎫=∈-+<=∈<<=∉⎨⎬⎩⎭,所以{}2,4,5MP =,故选C.15．已知集合{}∅=-==B A x y x A ,1,则集合B 不可能是（ ）A ．{}124+<x x x B ．{}1),(-=x y y xC ．{}1-=x yD ．{})12(log 22++-=x x y y【答案】D 【解析】{}{}11≥=-==x x x y x A ,{}{}1)12(log 22≤=++-=y y x x y y ,故选D. 16.已知集合M 是由具有如下性质的函数()f x 组成的集合：对于函数()f x ,在定义域内存在两个变量12,x x 且12x x <时有1212()()f x f x x x ->-．则下列函数①()(0)x f x e x =>；②ln ()x f x x=；③()f x =()1sin f x x =+在集合M 中的个数是 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B对于③()()0f x f x '==>,函数()f x 在(0,)+∞单调递增,在定义域内存在两个变量12,x x 且12x x <时,在()f x 单调增区间时有0()1f x '<<,此时只须1x >时可得0()1f x '<<.满足题意 对于④()1sin ,,()cos f x x f x x '=+=,函数()f x 在3(2,2)()22k k k Z ππππ++∈单调递减,在定义域内存在两个变量12,x x 且12x x <时,在()f x 单调减区间时有()0f x '<,满足题意.17．设{}n a 是公比为q 的等比数列,||1q >,令1(1,2,)n n b a n =+=,若数列{}n b 有连续四项在集合{53,23,19,37,82}--中,则q =（ ）A ．32-B ．43-C ．23-D ．32【答案】A18.已知集合A ＝{(,y )|2＋y 2≤1,,y ∈},B ＝{(,y )|||≤2,|y |≤2,,y ∈},定义集合A ⊗B ＝{(1＋2,y 1＋y 2)|(1,y 1)∈A ,(2,y 2)∈B },则A ⊗B 中元素的个数为( )A ．77B ．49C ．45D ．30【答案】C【解析】如图,集合A 表示如图所示的所有圆点“”,集合B 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”,集合A ⊗B 显然是集合{(,y )|||≤3,|y |≤3,,y ∈}中除去四个点{(－3,－3),(－3,3),(3,－3),(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),即集合A ⊗B 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”,共45个．故A ⊗B 中元素的个数为45.故选C.19.非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意a ,G b ∈,都有G a b ⊕∈；（2）存在G e ∈,使得对一切G a ∈,都有a e e a a ⊕=⊕=,则称G 关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①{}G =非负整数,⊕为整数的加法；②{}G =偶数,⊕为整数的乘法；③{}G =平面向量,⊕为平面向量的加法；④{}G =二次三项式,⊕为多项式的加法；⑤{}G =虚数,⊕为复数的乘法．其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是（ ）A ．①③B ．②③C ．①⑤D ．②③④【答案】B20．若集合(){},,,|04,04,04,,,E p q r s p s q s r s p q r s N =≤<≤≤<≤≤<≤∈且,(){},,,|04,04,,,F t u v w t u v w t u v w N =≤<≤≤<≤∈且,用()card X 表示集合X 中的元素个数,则()()card E card F +=（ ）A ．50B ．100C ．150D ．200【答案】D【解析】()()333312*********card E card F +=++++⨯=,故选D.21．【2018届江苏省南京市多校高三上学期第一次段考】已知集合{}1,2,21A m =--,集合{}22,B m =,若B A ⊆,则实数m =__________．【答案】1【解析】由题意得2211m m m =-⇒=,验证满足22.设P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a 、b P ∈,都有a b +、a b -、ab 、a P b ∈（除数0b ≠）,则称P 是一个数域,例如有理数集Q 是数域,有下列命题：①数域必含有0,1两个数；②整数集是数域；③若有理数集Q M ⊆,则数集M 必为数域；④数域必为无限集．其中正确的命题的序号是 ．【答案】①④【解析】当a b =时,0,1a a b P b -==∈,故可知①正确；当11,2,2a b Z ==∉不满足条件,故可知②不正确；对③当M 中多一个元素i 则会出现1i M +∉所以它也不是一个数域；故可知③不正确；根据数据的性质易得数域有无限多个元素,必为无限集,故可知④正确,故答案为①④.【点评】本题考查简单的合情推理、新定义问题以及转化与划归思想,属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.本题的解答都围绕新概念“数域” 对任意a 、b P ∈,都有a b +、a b -、ab 、aP b∈这一性质展开的.。
高考数学140分必读之把关题解析30讲7
高考数学140分必读之把关题解析30讲（7）5、已知两个向量)log ,log 1(22x x +=，),(log 2t x = )0(≠x . （1）若t =1且⊥，求实数x 的值； （2）对t ∈R 写出函数b a x f ⋅=)(具备的性质.解：（1）由已知得0log 2log 222=+x x ……2分 2log 0log 22-==x x 或 ……4分解得1±=x ，或41±=x ……6分 （2）x t x x f 222log )1(log )(++= ……8分 具备的性质： ①偶函数；②当21log 2tx +-=即212tx +-±=时，)(x f 取得最小值4)1(2t +-（写出值域为)4)1[2∞++-，（t 也可）；③单调性：在]2,0(21t +-上递减，),2[21+∞+-t上递增；由对称性，在)0,2[21t +--上递增，在]2,(21t +---∞递减 ……14分说明：写出一个性质得3分，写出两个性质得5分，写出三个性质得6分，包括写出函数的零点（1±=x ，)1(2t x +-±=）等皆可。
写出函数的定义域不得分，写错扣1分6、已知函数12()(,0)4f t att R a a=-+∈<的最大值为正实数，集合}0|{<-=xax x A ，集合}|{22b x x B <=。
（1）求A 和B ；（2）定义A 与B 的差集：A x x B A ∈=-|{且}B x ∉。
设a ，b ，x 均为整数，且A x ∈。
)(E P 为x 取自B A -的概率，)(F P 为x 取自BA 的概率，写出a 与b 的二组值，使32)(=E P ，31)(=F P 。
（3）若函数)(t f 中，a ，b 是（2）中a 较大的一组，试写出)(t f 在区间[n 上的最大值函数()g n 的表达式。
解：（1）∵)()(412R t t b at t f a∈+-=，配方得ab ab t a t f 4122)()(-+-=，由0<a 得最大值1041>⇒>-b ab 。
高考数学140分必读之把关题解析30讲(8)
高考数学140分必读之把关题解析30讲（8）9、对于在区间[m ，n ]上有意义的两个函数f (x )与g (x )，如果对任意x ∈[m ，n ]均有| f (x ) – g (x ) |≤1，则称f (x )与g (x )在[m ，n ]上是接近的，否则称f (x )与g (x )在[m ，n ]上是非接近的，现有两个函数f 1(x ) = log a (x – 3a )与f 2 (x ) = log aax -1(a > 0，a ≠1)，给定区间[a + 2，a + 3]．（1）若f 1(x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上都有意义，求a 的取值范围； （2）讨论f 1(x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上是否是接近的？ 解：（1）要使f 1 (x )与f 2 (x )有意义，则有a x a a a x a x 31003>⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠>>->-且要使f 1 (x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上有意义， 等价于真数的最小值大于0即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠><<⇒>-+>-+1010032031a a a a a a a 且 （2）f 1 (x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上是接近的⇔| f 1 (x ) – f 2 (x )|≤1⇔ax a x aa ---1log )3(log ≤1⇔|log a [(x – 3a )(x – a )]|≤1 ⇔a ≤(x – 2a )2 – a 2≤a1对于任意x ∈[a + 2，a + 3]恒成立设h (x ) = (x – 2a )2 – a 2，x ∈[a + 2，a + 3]且其对称轴x = 2a < 2在区间[a + 2，a + 3]的左边⎪⎩⎪⎨⎧++⇔⎪⎩⎪⎨⎧⇔)3(1)2( )( 1)( max min a h a a h a x h ax h a⎪⎩⎪⎨⎧+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧--⇔0192654 69 144 a a a a a aa ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-⇔12579 12579 54 a a a 或12579 0-<⇔a 当12579 0-<a 时f 1 (x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上是接近的≤ ≤ ≤ ≤≤ ≤ ≤≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≤当12579 -< a < 1时，f 1 (x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上是非接近的．10、min{1s ，2s ，┅，n s }，max{1s ，2s ，┅，n s }分别表示实数1s ，2s ，┅，n s 中的最小者和最大者．（1）作出函数)(x f ＝｜x ＋3｜＋2｜x －1｜（x ∈R ）的图像；（2）在求函数)(x f ＝｜x ＋3｜＋2｜x －1｜（x ∈R ）的最小值时，有如下结论：min )(x f ＝min{)3(-f ，)1(f }＝4．请说明此结论成立的理由；（3）仿照（2）中的结论，讨论当1a ，2a ，┅，n a 为实数时，函数)(x f ＝||11x x a -＋||22x x a -＋┅＋||n n x x a -(x ∈R ，1x ＜2x ＜┅＜nx ∈R )的最值． 解：（1）图略；（2）当x ∈（－∞，－3）时，)(x f 是减函数，当x ∈[－3，1）时，)(x f 是减函数， 当x ∈[1，＋∞）时，)(x f 是增函数， ∴min )(x f ＝min{)3(-f ，)1(f }＝4．（3）当1a ＋2a ＋┅＋n a ＜0时，max )(x f ＝max{)(1x f ，)(2x f ，┅，)(n x f }； 当1a ＋2a ＋┅＋n a ＞0时，min )(x f ＝min{)(1x f ，)(2x f ，┅，)(n x f }； 当1a ＋2a ＋┅＋n a ＝0时，min )(x f ＝min{)(1x f ，)(n x f }， max )(x f ＝max{)(1x f ，)(n x f }．11、已知函数y =f (x)满足f (a -tan θ)=cot θ-1，（其中，a 、θ∈R 均为常数）（1）求函数y =f (x)的解析式；（2）利用函数y =f (x )构造一个数列{x n }，方法如下：对于给定的定义域中的x 1，令x 2= f (x 1)，x 3= f (x 2)，…，x n = f (x n-1)，…在上述构造过程中，如果x i (i=1,2,3,…)在定义域中，构造数列的过程继续下去；如果x i不在定义域中，则构造数列的过程停止.① 如果可以用上述方法构造出一个常数列{x n }，求a 的取值范围；② 如果取定义域中的任一值作为x 1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{x n }，求a 实数的值.解：（1）令tan ,cot 1.x a y θθ=-⎧⎨=-⎩ 则 tan ,co t 1.a x y θθ=-⎧⎨=+⎩①×②，并整理，得 y=xa a x --+1，∴y =f (x) =xa a x --+1， （x ≠a ）. ………………………………4分（2）①根据题意，只需当x≠a 时，方程f (x) =x 有解，亦即方程 x 2+(1-a )x+1-a =0 有不等于的解.①②将x=a 代入方程左边，得左边为1，故方程不可能有解x=a . 由 △=(1-a )2-4(1-a )≥0，得 a ≤-3或a ≥1，即实数a 的取值范围是(,3][1,)-∞-+∞ . …………………………9分 ②根据题意，xa a x --+1=a 在R 中无解，亦即当x≠a 时，方程(1+a )x=a 2+a -1无实数解. 由于x=a 不是方程(1+a )x=a 2+a -1的解，所以对于任意x ∈R ，方程(1+a )x=a 2+a -1无实数解，∴ a = -1即为所求a 的值. ……………………………………14分12、（Ⅰ）已知函数：1()2()(),([0,),)n n n f x x a x a x n N -*=+-+∈+∞∈求函数()f x 的最小值; （Ⅱ）证明:()(0,0,)22nnna b a b a b n N *++≥>>∈；（Ⅲ）定理:若123,,k a a a a 均为正数,则有123123()nnnnnkka a a a a a a a kk++++++++≥ 成立(其中2,,)k k N k *≥∈为常数．请你构造一个函数()g x ，证明： 当1231,,,,,k k a a a a a + 均为正数时，12311231()11nnnnnk k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++ ．解：（Ⅰ）令111'()2()0n n n f x nx n a x ---=-+=得11(2)()2n n x a x x a x x a --=+∴=+∴=…2分 当0x a ≤≤时，2x x a <+ '()0f x ∴≤ 故()f x 在[0,]a 上递减．当,'()0x a f x >>故()f x 在(,)a +∞上递增．所以，当x a =时，()f x 的最小值为()0f a =.….4分 （Ⅱ）由0b >，有()()0f b f a ≥= 即1()2()()0n n n n f b a b a b -=+-+≥ 故()(0,0,)22nnna b a b a b n N *++≥>>∈．………………………………………5分（Ⅲ）证明:要证：12311231()11nnnnnk k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++只要证：112311231(1)()()n n n n n n k k k a a a a a a a a -+++++++≥++++设()g x =1123123(1)()()n n n n n n k a a a x a a a x -+++++-++++ …………………7分 则11112'()(1)()n n n k g x k nx n a a a x ---=+⋅-++++ 令'()0g x =得12ka a a x k+++= …………………………………………………….8分当0x ≤≤12ka a a k+++ 时，1112'()[(]()n n k g x n kx x n a a a x --=+-++++≤111212()()0n n k k n a a a x n a a a x --++++-++++=故12()[0,]ka a a g x k+++ 在上递减，类似地可证12()(,)ka a a g x k ++++∞ 在递增所以12()ka a a x g x k+++= 当时，的最小值为12()ka a a g k+++ ………………10分而11212121212()(1)[()]()n nnnnnkkkk k a a a a a a a a a g k a a a a a a kkk-+++++++++=+++++-++++=1121212(1)[()()(1)()]n nnnnnnk k k n k k a a a a a a k a a a k-++++++++-++++=11212(1)[()()]n nnnnnk k nk k a a a k a a a k-++++-+++ =1112121(1)[()()]n n n n nnk k n k ka a a a a a k---++++-+++由定理知: 11212()()0n n n n n k k k a a a a a a -+++-+++≥ 故12()0ka a a g k+++≥1211[0,)()()0kk k a a a a g a g k+++++∈+∞∴≥≥故112311231(1)()()n n n n n n k k k a a a a a a a a -+++++++≥++++ 即:12311231()11nnnnnk k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++ .…………………………..14分13、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .(Ⅰ)若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，证明a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列； (Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题，判断它的真伪，并给出证明. 证：(Ⅰ) ∵S m ＋1＝S m ＋a m ＋1，S m ＋2＝S m ＋a m ＋1＋a m ＋2．由已知2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1，∴ 2(S m ＋a m ＋1＋a m ＋2)＝S m ＋(S m ＋a m ＋1)，∴a m ＋2＝－12a m ＋1，即数列{a n }的公比q ＝－12.∴a m ＋1＝－12a m ，a m ＋2＝14a m ，∴2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，∴a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列.(Ⅱ) (Ⅰ)的逆命题是：若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列.设数列{a n }的公比为q ，∵a m ＋1＝a m q ，a m ＋2＝a m q 2．由题设，2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，即2a m q 2＝a m ＋a m q ，即2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或q ＝－12.当q ＝1时，A ≠0，∴S m ， S m ＋2， S m ＋1不成等差数列.逆命题为假.14、已知二次函数()()R x a ax x x f ∈+-=2同时满足：①不等式()0≤x f 的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在210x x <<，使得不等式()()21x f x f >成立。
高考数学140分必读之把关题解析30讲(2)
高考数学140分必读之把关题解析30讲(2)1．杭州二模21． (本小题满分14分) 设双曲线2222by a x -=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A ，P 是双曲线上异于顶点的一个动点，从A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP 分别交于Q 和R 两点.(1) 证明：无论P 点在什么位置，总有|→--OP |2 =|→-OQ ·→--OR | ( O 为坐标原点)；(2) 若以OP 为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；解：(1) 设OP ：y = k x, 又条件可设AR: y =a b (x – a ), 解得：→--OR = (b ak ab --,b ak kab --), 同理可得→-OQ = (b ak ab +,bak kab +), ∴|→-OQ ·→--OR | =|b ak ab --b ak ab ++b ak kab --b ak kab +| =|b k a |)k 1(b a 222222-+. 4分 设→--OP = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP 方程联立解得: m 2 =22222k a b b a -, n 2 = 222222k a b b a k -, ∴ |→--OP |2 = :m 2 + n 2 = 22222k a b b a -+ 222222k a b b a k -=222222k a b )k 1(b a -+ , ∵点P 在双曲线上，∴b 2 – a 2k 2 > 0 .∴无论P 点在什么位置，总有|→--OP |2 = |→-OQ ·→--OR | . 4分 （2）由条件得：222222ka b )k 1(b a -+= 4ab, 2分 即k 2 = 22a 4ab ab b 4+-> 0 , ∴ 4b > a, 得e > 417 2分 22. (本小题满分12分)已知常数a > 0, n 为正整数，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于x 的函数.(1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论.(2) 对任意n ≥ a , 证明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n)解: (1) f n `( x ) = nx n – 1 – n ( x + a)n – 1 = n [x n – 1 – ( x + a)n – 1 ] ,∵a > 0 , x > 0, ∴ f n `( x ) < 0 , ∴ f n ( x )在（0，+∞）单调递减. 4分（2）由上知：当x > a>0时, f n ( x ) = x n – ( x + a)n 是关于x 的减函数,∴ 当n ≥ a 时, 有：(n + 1 )n – ( n + 1 + a)n ≤ n n – ( n + a)n . 2分又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [x n –( x+ a )n ] ,∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n –( n + 1 + a )n ] < ( n + 1 )[ n n – ( n + a)n ] = ( n + 1 )[ n n – ( n + a )( n + a)n – 1 ] 2分( n + 1 )f n `(n) = ( n + 1 )n[n n – 1 – ( n + a)n – 1 ] = ( n + 1 )[n n – n( n + a)n – 1 ], 2分∵( n + a ) > n ,∴f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n) . 2分2．杭州一模21. (本小题满分12分)已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v ∈[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .(1) 判断函数p ( x ) = x 2 – 1 是否满足题设条件？(2) 判断函数g(x)=1,[1,0]1,[0,1]x x x x +∈-⎧⎨-∈⎩，是否满足题设条件？解： (1) 若u ,v ∈ [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u 2 – v 2 |=| (u + v )(u – v) |，取u = 43∈[–1，1]，v = 21∈[–1，1], 则 |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | =45| u – v | > | u – v |， 所以p( x)不满足题设条件.（2）分三种情况讨论：10. 若u ,v ∈ [–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，满足题设条件；20. 若u ,v ∈ [0，1]， 则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，满足题设条件；30. 若u ∈[–1，0]，v ∈[0，1]，则：|g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，满足题设条件;40 若u ∈[0，1]，v ∈[–1，0], 同理可证满足题设条件.综合上述得g(x)满足条件.22. (本小题满分14分)已知点P ( t , y )在函数f ( x ) =1x x +(x ≠ –1)的图象上，且有t 2 – c 2at + 4c 2 = 0 ( c ≠ 0 ). (1) 求证：| ac | ≥ 4;(2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增.(3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.证：(1) ∵ t ∈R, t ≠ –1,∴ ⊿ = (–c 2a)2 – 16c 2 = c 4a 2 – 16c 2 ≥ 0 ，∵ c ≠ 0, ∴c 2a 2 ≥ 16 , ∴| ac | ≥ 4.(2) 由 f ( x ) = 1 – 1x 1+, 法1. 设–1 < x 1 < x 2, 则f (x 2) – f ( x 1) = 1–1x 12+–1 + 1x 11+= )1x )(1x (x x 1221++-. ∵ –1 < x 1 < x 2, ∴ x 1 – x 2 < 0, x 1 + 1 > 0, x 2 + 1 > 0 ,∴f (x 2) – f ( x 1) < 0 , 即f (x 2) < f ( x 1) , ∴x ≥ 0时，f ( x )单调递增.法2. 由f ` ( x ) = 2)1x (1+> 0 得x ≠ –1, ∴x > –1时，f ( x )单调递增.（3）（仅理科做）∵f ( x )在x > –1时单调递增，| c | ≥ |a |4 > 0 , ∴f (| c | ) ≥ f (|a |4) = 1|a |4|a |4+= 4|a |4+ f ( | a | ) + f ( | c | ) = 1|a ||a |++ 4|a |4+> 4|a ||a |++4|a |4+=1. 即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.3．南通二模19．（本小题满分15分）设定义在R 上的函数43201234()f x a x a x a x a x a =++++（其中i a ∈R ，i =0,1,2,3,4），当x = －1时，f (x )取得极大值23，并且函数y =f (x +1)的图象关于点（－1，0）对称． （1） 求f (x )的表达式；（2） 试在函数f (x )的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间⎡⎣上；（3）若+21,N )2n n n n x y n -==∈，求证：4()().3n n f x f y -< 解：（1）31().3f x x x =-…………………………5分 （2）()0,0,3-⎭或()0,0,.3⎛ ⎝⎭…………10分 （3）用导数求最值，可证得4()()(1)(1).3n n f x f y f f -<--<……15分20．（本小题满分13分） 设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ………………………………………………………3分 由（1）－（2）可得1.3MN QN k k ∙=-………………………………6分又MN ⊥MQ ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x = 直线QN 的方程为1111()3y y x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-……10分从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程.………………13分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考数学140分必读之把关题解析30讲（四）1．北京宣武区二模19. （本题满分14分）已知点()P a b n n n ，满足：a a b b b a n N n n n n n n+++==-∈11121·，，，且已知P 01323，⎛⎝ ⎫⎭⎪ （1）求过点P P 01，的直线l 的方程；（2）判断点()P n n ≥2与直线l 的位置关系，并证明你的结论；（3）求点P n 的极限位置。
解：（1）由a b 001323==，，得： b a 1212311334133414=-⎛⎝ ⎫⎭⎪==⨯=， 显然直线l 的方程为x y +=1………………3分 （2）由a b 111434==，，得： b a 2223411445144515=-⎛⎝ ⎫⎭⎪==⨯=， ∴点P l 2∈，猜想点()P n n ≥2在直线l 上，以下用数学归纳法证明： 当n ＝2时，点P l 2∈假设当n k k =≥()2时，点P l k ∈，即a b k k +=1 当n k =+1时，a b a b b k k k k k +++++=+1111·()()=+=+-=-=+1111112a b a b a b a k k k k k kk∴点P l k +∈1综上，点()P l n n ∈≥2………………8分 （3）由a a b b b a a b n n n n nnn n +++==-+=111211·，，，得：()a a b a a a a a a a a a n n n n n n nnn n n n++=-=--=+≠∴=+122111110111··∴数列1a n ⎧⎨⎩⎫⎬⎭是以130a =为首项，公差为1的等差数列∴=+=+=-=-+=++=+==++=++=→∞→∞→∞→∞→∞1313111323130231211a n a n b a n n n a n b n n n nn n n n n nn n n n n ， lim lim lim lim lim()∴−→−P P n 01， 即点P n 的极限位置为点P （0，1）………………14分20. （本题满分14分）已知直线l y mx ：=+1与曲线()C ax y m a R ：，222+=∈交于两点A 、B 。
（1）设OP OA OB →=→+→，当a =-2时，求点P 的轨迹方程；（2）是否存在常数a ，对任意m R ∈，都有OA OB →→=-·2？如果存在，求出a 的值；如果不存在，说明理由。
（3）是否存在常数m ，对任意a R ∈+，都有OA OB →→·为常数？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由。
解：（1）设()()A x yB x y 1122，，，，则()OP OA OB x x y y →=→+→=++1212，由y mx x y =+-+=⎧⎨⎩12022消去y ，得： ()m x mx 2222101-+-=<>依题意有()()m m m 222202420-≠=+->⎧⎨⎪⎩⎪∆解得： m 21>且m 22≠，即m <-1或m >1且m ≠±2()x x m m x x m y y mx mx m x x m 1221221212122221211242+=-=-+=+++=++=-，∴点P 的坐标为：x m m y m =-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪224222消去m ，得：22022x y y -+=，即()y x --=12122由y m =-422，得m y y224=- ∴->-≠⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪241242y yy y，解得y <0或y >4∴点P 的轨迹方程为()y x --=112122（y <0或y >4）………………5分 （2）假设存在这样的常数a由y mx ax y =++=⎧⎨⎩1222消去y 得：()ma x mx x x m m a x x m a22122122210221++-=<>+=-+=-+，OA OB x x y y →→=+·1212()()()()=+++=++++x x mx mx m x x m x x 1212212121111·()=+-++-++=--++=-m m a m mm am m a 2222211213112··解得：a =13当a =13时，m 2130+≠，且方程<2>判别式 ∆=++⎛⎝⎫⎭⎪>4413022m m∴对任意m R ∈，A 、B 两点总存在，故当a =13时，对任意m R ∈，都有OA OB →→=-·2………………10分（3）假设这样的常数m 存在，对任意的a R ∈+，使OA OB →→·为一常数M 。
即OA OB x x y y M →→=+=·1212即--++=31122m m aM 化简，得：()()1212-=++M a M m ∵a 为任意正实数()∴-=++=⎧⎨⎩102102M M m ，即3102m +=，矛盾。
故这样的常数m 不存在。
………………14分2．大连二模20．（本小题满分12分）数列}{n a ，设S n 是数列的前n 项和，并且满足.24,111+==+n n a S a（Ⅰ）令}{),3,2,1(21n n n n b n a a b 证明 =-=+是等比数列，并求{b n }的通项公式；（Ⅱ）令.lim ,}log log 1{,31222n n n n n n n T n C C T b C ∞→++⋅=求项和的前为数列解：（Ⅰ）.)(23)(2ab x b a x x f ++-='依题意知，s 、t 是二次方程0)(='x f 的两个实根.∵,0)()(,0)()(,0)0(22>-=-='<-=-='>='a b b ab b b f b a a ab a a f ab f ……2分 ∴0)(='x f 在区间（0，a ）与（a ，b ）内分别有一个实根. ∵.0,b t a s t s <<<<∴< …………4分 （Ⅱ）由s 、t 是0)(='x f 的两个实根，知.3,3)(2ab st b a t s =+=+ ∴)(32)(274)())(()()()(32233b a ab b a t s ab t s b a t s t f s f +++-=++++-+=+…6分 ∵)),()((21)(31)(272)3()2(3t f s f b a ab b a b a f t s f +=+++-=+=+ 故AB 的中点C （)2(,2ts f t s ++）在曲线y=f(x)上. ……8分 （Ⅲ）过曲线上点),(11y x 的切线方程为).]()(23[11211x x ab x b a x y y -++-=-∵)()(1111b x a x x y -⋅-=，又切线过原点.∴].)(23[))((1211111ab x b a x x b x a x x ++--=--- 解得1x =0，或.21ba x +=当1x =0时，切线的斜率为a b ；当21b a x +=时，切线的斜率为.)(412ab b a ++-……10分∵,22,0,0<+>>b a b a ∴两斜率之积.11)1(2)()(41)(])(41[22222-≥--=->⋅+-=⋅++-ab ab ab ab b a ab ab ab b a 故两切线不垂直. ………………12分21．（本小题满分12分）已知函数.0),)(()(b a b x a x x x f <<--=其中（Ⅰ）设t x s x x f ==及在)(处取到极值，其中;0:,b t a s t s <<<<<求证 （Ⅱ）设)),(,()),(,(t f t B s f s A 求证：线段AB 的中点C 在曲线y=f(x)上； （Ⅲ）若22<+b a ，求证：过原点且与曲线y=f(x)相切的两条直线不可能垂直.解：（Ⅰ）以线段AB 的中点O 为原点，直线AB 为x 轴建立直角坐标系，作CD ⊥AB 于D ， 由题知：||21=⋅ ① 而A cos ||||⋅⋅=⋅ ② 由①②.21||,21cos ==⋅AD A AC 即 ………………2分 同理，2||,23||==则 ∴A （－1，0）、B （1，0）……4分 设双曲线方程),(),,21(),0,0(1112222y x E h c b a by a x ->>=-由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===.52,52,2311h y x EC BE 得 …………6分因为E 、C 两点在双曲线上，所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==-=-11254254141222222222b a c b h ab h a………………8分 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==767122b a ，∴双曲线方程为1767122=-y x …………10分 （Ⅱ）设),(),,(2211y x N y x M ∵2022220121)()(|,|||x x y x x y TN TM -+=-+∴=∴)(2)()()(21021222012022221x x x x x x x x x y y -+-=---=- ①又M 、N 在双曲线上，满足)(6,1677,16772221222122222121x x y y y x y x -=-∴=-=-② 将②代入①，)(2)(72102221x x x x x -=-∵021212)(7,x x x x x =+∴≠ …………………………12分 又,7)(27,77221021>+=∴>+x x x x x∴0x 取值范围为（+∞,7） ………………14分3．德州模拟21. （12分）已知定点A （0，1），B （0，－1），C （1，0），动点P 满足AP BP k PC →→=→·||2（1）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线。
（2）当k AP BP =→+→2时，求的最大值和最小值。
||解：（1）设p(x ，y)则AP x y BP x y PC x y →=-→=+→=--()()()，，，111由AP BP k PC →→=→·||2得x y k x y 222211+-=-+[()] 3分整理得()()k x kx k y k --+-++=2121102（*） 4分 当k=1时，*式化为x=1表示直线 5分 当k ≠1时，*式化为()()x k k y k --+=-211122表示心()||k k k --1011，为圆，为半径的圆 6分 （2）当k=2时，*式化为()[]x y x -+=∈211322，，此时，||AP BP x y x →+→=+=-224322∴其最小值为2，最大值为6 12分22. （14分）△ABC 中，|AB|=|AC|=1，AB AC →→=·12，P 1为AB 边上的一点，BP AB 123≠，从P 1向BC 作垂线，垂足是Q 1；从Q 1向CA 作垂线，垂足是R 1；从R 1向AB 作垂线，垂足是P 2，再由P 2开始重复上述作法，依次得Q 2，R 2，P 3；Q 3，R 3，P 4……（1）令BP n 为x n ，寻求BP n 与BP n +1（即x x n n 与+1）之间的关系。