上海市普陀区2021届高三数学教学调研测试卷(11月)
2020届上海市普陀区高三上学期11月调研测试数学试题(解析版)
2020届上海市普陀区高三上学期11月调研测试数学试题一、单选题1．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差【答案】A【解析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x ≤≤≤≤≤．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x ≤≤≤，中位数仍为5x ，∴A 正确． ②原始平均数1234891()9x x x x x x x =+++++，后来平均数234817x x x x x '=+++（）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确 ③()()()222219119S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦由②易知，C 不正确．④原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 可能相等可能变小，D 不正确． 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.2．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C ．若//l α，m α⊂，则//l m D ．若//l α，//m α，则//l m【答案】B【解析】利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断D . 【详解】l m ⊥，m α⊂，则,l α可能平行，A 错；l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确； //l α，m α⊂，则//l m ， l 与m 异面；C 错，//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B.【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.3．已知等差数列{}n a （公差不为零）和等差数列{}n b ，如果关于x 的实系数方程21291299()0x a a a x b b b -++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=有实数解，那么以下九个方程20i i x a x b -+=（1,2,3,,9i =⋅⋅⋅）中，无实数解的方程最多有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为1d 不为零,等差数列{}n b 的公差为2d ,运用求和公式，化简可得,2554a b ≥，设方程2110x a x b -+=与方程2990x a x b -+=的判别式分别为1∆和9∆,利用等差数列的性质可得190∆+∆≥,从而判断方程实数解的情况；同理可得剩余方程实数解的情况. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为1d 不为零,等差数列{}n b 的公差为2d ，因为关于x 的实系数方程21291299()0x a a a x b b b -++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=有实数解，所以()()2129129490a a a b b b ∆=++⋅⋅⋅+-⨯++⋅⋅⋅+≥，即()()21919993622a a b b ++⎡⎤⎡⎤≥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,化简得2554a b ≥，所以第五个方程有解. 设方程2110x a x b -+=与方程2990x a x b -+=的判别式分别为1∆和9∆，则()()()()21922191199194442a a ab a b b b +∆+∆=-+-≥-+()()2525552422402a b a b =-⨯=-≥,所以10∆<和90∆<至多一个成立,同理可知,20∆<和80∆<至多一个成立,30∆<和70∆<至多一个成立,40∆<和60∆<至多一个成立,所以在所给的9个方程中无实数解的方程最多4个. 故选:B 【点睛】本题考查等差数列前n 项和公式及等差数列性质与一元二次方程解的情况相结合的问题；利用等差数列的性质和基本不等式得到190∆+∆≥是求解本题的关键;属于综合型强，难度大型试题. 4．设函数()sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若对于任意的15,62x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，在区间[]0,m 上总存在唯一确定的2x ，使得12()()0f x f x +=，则m 的最小值为（ ） A ．3πB ．6π C ．2π D ．56π 【答案】C【解析】由正弦函数图象及其单调性可得,()12f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,由三角函数的最值可得, 在区间[]0,m 上总存在唯一确定的2x ，使得12()()0f x f x +=,则在区间[]0,m 上总存在唯一确定的2x ,使得()20,2f x ⎡∈⎢⎣⎦，由函数()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数,值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，sin 232f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即可求出m 的最小值. 【详解】因为()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,15,62x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦,所以12,63x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，可得()1f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 因为在区间[]0,m 上总存在唯一确定的2x ，使得12()()0f x f x +=,所以在区间[]0,m 上总存在唯一确定的2x ,使得()20,2f x ⎡∈⎢⎣⎦，由函数()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数,值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,又sin 23f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭即2m π≥, 所以m 的最小值为2π. 故选: C 【点睛】本题考查正弦函数的图象和单调性及最值;根据正弦函数的单调性及最值得出在区间[]0,m 上总存在唯一确定的2x ,使得()20,2f x ⎡∈⎢⎣⎦是求解本题的关键;属于中档题.二、填空题 5．复数21iz =+（i 为虚数单位），则||z =________.【解析】由共轭复数的定义求出z ,再代入复数的模公式z =.【详解】 由题意可得,()()()2121111i z i i i i -===-++-,由共轭复数定义知,1z i =+, 所以由复数模的定义知,z ==故答案为 【点睛】本题考查复数的乘除运算及共轭复数的概念和复数模的概念;考查运算能力;属于基础题.6．函数tan()3y x ππ=+的最小正周期为________.【答案】1【解析】利用函数()tan y x ωφ=+的最小正周期计算公式即可求解. 【详解】因为tan y x =的最小正周期为π,所以函数()tan y x ωφ=+的最小正周期为T πω=， 所以函数tan()3y x ππ=+的最小正周期为1T ππ==, 故答案为:1 【点睛】本题考查正切函数的最小正周期的计算公式;属于基础题. 7．已知函数2()2f x x =-（0x ≤），则1()f x -=________.【答案】(2)x ≥-【解析】由反函数的定义反解x ,再由0x ≤即可得到()1f x -的表达式.【详解】因为函数2()2f x x =-（0x ≤）， 所以222x -≥-,即()2f x ≥-, 所以()22x f x =+,令()f x y =,则x =因为0x ≤,所以x =,即1()fx -=(2)x ≥-，故答案为：(2)x ≥- 【点睛】本题考查反函数的的定义;合理利用原函数的值域和定义域是求解本题的关键;属于基础题. 8．831(2)x x-展开式中的各项系数和为________. 【答案】1【解析】根据二项展开式的定义知,在831(2)x x -中,令1x =，即可得展开式中各项系数之和. 【详解】 在831(2)x x -中,令1x =可得, 其展开式中的各项系数和为：8312111⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭. 故答案为: 1 【点睛】本题考查二项式定理的应用;求二项式展开式的各项系数的和时,一般用特殊值代入法：令1x =时求二项式的值即可;属于基础题.9，高为1，则圆锥的侧面积为________.【解析】由题意求出圆锥的底面半径r ，代入圆锥的侧面积公式S rl π=求解即可. 【详解】由题意知,1l h ==,所以圆锥的底面半径1r ==, 由圆锥的侧面积公式可得,=1S rl ππ==侧,【点睛】本题考查圆锥的侧面积公式S rl π=;其中根据圆锥的轴截面三角形求出底面半径r 是求解本题的关键;属于基础题.10．若“2x <”是“x a <”的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2a >【解析】根据p 是q 的充分不必要条件,结合集合的包含关系,得到关于a 的不等式，解不等式即可. 【详解】因为“2x <”是“x a <”的充分非必要条件， 所以集合}{2x x <是集合}{x x a <的真子集, 所以实数a 的取值范围为2a >.故答案为:2a > 【点睛】本题考查利用充分条件与必要条件和集合间的包含关系求参数的范围;由充分必要条件正确转换为集合间的包含关系是求解本题的关键;属于中档题.11．等比数列{}n a 中，11a >，前n 项和为n S ，若11lim n n S a →∞=，那么1a 的取值范围是______.【答案】(【解析】由题知,()111n n a q S q-=-，得出1lim 1n n a S q→∞=-,由此得出1a 与q 的关系式,即可求出1a 范围. 【详解】 由题知,()111n n a q S q-=-,由极限的定义知, 1lim 1n n a S q→∞=-， 因为11lim n n S a →∞=，所以1111a q a =-,即211a q =-, 因为11a >,所以10q -<<,所以2112a <<,解得11a <.故答案为：( 【点睛】本题考查等比数列前n 项和公式及数列的极限,解题时需注意掌握极限的逆运算;属于中档题.12．第二届中国国际进口博览会11月初在上海举行了，在这届进口博览会上，某高校派出的4人承担了连续5天的志愿者服务，若每天只安排一人且每人至少参加一天志愿服务，则甲参加2天志愿服务的概率为________（结果用数值表示）. 【答案】14【解析】记“甲参加2天志愿服务”为事件A,假设4人分别为：甲、乙、丙、丁,则由题知4人中只有一人参加2天的志愿服务,有4种情况;其中5天中选2天有25C 种情况,其余人全排列,相乘得到总的基本事件数；再求出事件A 包含的基本事件数,利用古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】记“甲参加2天志愿服务”为事件A ，则由题知，4人中只有一人参加2天的志愿服务有4种情况; 其中5天中选2天有25C 种情况, 其余人全排列，所以总的基本事件数2353=4n C A ⨯⨯总; A 事件包含的基本事件数2353A n C A =⨯,由古典概型的概率公式得，()235323531=44A C A n P A n C A ⨯==⨯⨯总. 故答案为:14【点睛】本题考查排列组合问题和古典概型的概率公式的应用;解题的关键是对排列组合问题中的特殊元素要优先考虑和古典概型概率公式的正确应用;属于中档题.13．在等式4⨯□9+⨯□60=的两个“□”中，分别填入两正数，使它们的倒数和最小，则填上的两个正数的和为________. 【答案】10【解析】设两个正数为x 、y ，则4960x y +=，利用基本不等式求出11x y+的最小值，即可得到此时x 与y 满足的关系式,与4960x y +=联立,即可求出此时x 与y 的值. 【详解】设两个正数为x 、y ，则4960x y +=，所以11x y +()1114960x y x y ⎛⎫=++⨯ ⎪⎝⎭ 1941360y x x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭15136012⎛≥+= ⎝, 当且仅当94y x x y =时11x y +有最小值512.所以正数x 、y 满足方程：944960y x xy x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩， 解得64x y =⎧⎨=⎩，则10x y +=.故答案为:10 【点睛】本题考查学生灵活运用基本不等式求最值的问题及掌握取最值时的条件;4960x y +=这个条件的灵活运用与变形是求解本题的关键;属于中档题.利用基本不等式a b +≥求最值需要满足的条件：一正二定三相等. 14．已知()f x 是R 上的奇函数和单调递增函数，若集合2{|(21)()0,x f x f x λ++-≤}x ∈R 有且仅有2个子集，则实数λ的值是________.【答案】78-【解析】根据()f x 是R 上的奇函数和单调递增函数，化简不等式()()2210f x f x λ++-≤,再由集合2{|(21)()0,x f x f x λ++-≤}x ∈R 有且仅有2个子集，得到关于x 的一元二次方程有两个相等实数根，从而得到关于λ的方程，解方程即可. 【详解】因为()f x 是R 上的奇函数，所以不等式()()2210f x f x λ++-≤可化为()()221f x f x λ+≤-,又因为()f x 是R 上单调递增函数,所以221x x λ+≤-,即2210x x λ-++≤，因为集合2{|(21)()0,x f x f x λ++-≤}x ∈R 有且仅有2个子集， 所以此集合有且只有一个元素,所以可得方程2210x x λ-++=有两个相等的实数根, 所以判别式()()214210λ∆=--⨯⨯+=,解得78λ=-. 故答案为:78-【点睛】本题考查利用抽象函数的单调性和奇偶性解不等式和集合的子集个数与元素个数问题;判断出此集合为单元素集合是求解本题的关键;属于中档题，常考题型. 15．在平面内，已知非零向量a 与单位向量e 的夹角为3π，若向量b 满足2680b e b -⋅+=r r r，则||a b -的最小值为________.1【解析】设()a a =r ，(1,0)e =，(,)b x y =r ，由2680b e b -⋅+=r r r得：22680x y x +-+=，即22(3)1x y -+=，||a b -的最小值即圆上的点到直线0y -=距离的最小值，数形结合可得结果.【详解】设()a a =r ，(1,0)e =，(,)b x y =r，由2680b e b -⋅+=r r r得：22680x y x +-+=，即22(3)1x y -+=，所以向量b 的末端落在以()3,0为圆心,以1为半径的圆上,即图中的虚线圆上.因为非零向量a 与单位向量e 的夹角为3π, 所以向量a 的末端落在如图所示的射线上. 由向量减法的三角形法则可知,向量a b -是从圆上的点到射线上的点形成的向量. 由图形的对称性可知，只需考虑上半部分即可. 由几何分析可知,如图:圆心到射线的距离减去圆的半径即为||a b -最小值.所以min311a b -=-=-. 故答案为1 【点睛】本题考查平面向量的数量积和向量减法的三角形法则与数形结合的思想的应用;把求||a b -的最小值转化为求圆上的点到射线上的点的距离的最小值是求解本题的关键;属于综合型、难度大型试题.16．已知函数()210log 0ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则下列有关函数()()1y f f x =+的零点叙述正确序号是_______ .()1当0a >时,有3个零点；当0a <时,有2个零点；()2无论a 为何值，均有2个零点；()3无论a 为何值，均有4个零点；()4当0a >时,有4个零点；当0a <时,有1个零点. 【答案】()4【解析】因为函数()f x 为分段函数,函数()()1y f f x =+为复合函数,故需要分类讨论，确定函数()()1y f f x =+的解析式，从而可得函数()()1y f f x =+的零点个数.【详解】 分四种情况讨论：()1当1x >时,()2log 0f x x =>,所以函数()()1y ff x =+的解析式为()22log log 1y x =+,令0y =,则()22log log 1x =-，解得x=,有1个零点.()2当01x <≤时,()2log 0f x x =≤,所以函数()()1y ff x =+的解析式为2log2y a x =+,当0a >时,令0y =，则22a x -=，有1个零点;当0a <时,无零点.()3当0,10x ax ≤+≤时,函数()()1y f f x =+的解析式为：()2111y a ax a x a =++=++，则当0a >时,有1个零点；当0a <时,无零点.()4当0,10x ax ≤+>时，函数()()1y f f x =+的解析式为()2log 11y ax =++,则当0a >时, 有1个零点;当0a <时,无零点.综上可知,当0a >时,有4个零点；当0a <时,有1个零点. 故答案为:()4 【点睛】本题考查分段函数与复合函数相结合的函数零点问题;利用数学中的分类讨论思想分别求出对应的解析式和函数零点是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.三、解答题17．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且1cos 22A C +=.（1）若3a =，b =ABC ∆的面积；（2）若()sin sin )f A A A A =-，求(A)f 的取值范围.【答案】（1（2）31(,]22-.【解析】()1已知等式左边变形后，利用诱导公式化简求出sin 2B,从而求出角B;利用余弦定理求c 边，代入三角形的面积公式1sin 2ABC S ac B ∆=即可. ()2()f A 的解析式利用二倍角的正弦、余弦公式化简整理后化为一个角的正弦函数，根据角B 的度数表示出A C +的度数,确定出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可求出()f A 的取值范围. 【详解】()1在ABC ∆中,A B C π++=,所以1coscos sin 2222A CB B π+-===,因为022B π<<,所以26B π=即3B π=,由余弦定理可得,2222cos b a c ac B =+-, 即2179232c c =+-⨯⨯⨯， 整理得2320c c -+=， 解得1c =或2c =，所以当1c =时,11sin 312224ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯=,当2c =时,11sin 3222ABC S ac B ∆==⨯⨯=,所以ABC ∆. ()2()2cos sin f A A A A =-1cos 222A A -=-1sin 262A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,因为3B π=，所以23A C π+=, 可得203A π<<, 所以32662A πππ<+<， 所以(]sin 21,16A π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以()31,22f A ⎛⎤∈-⎥⎝⎦. 所以(A)f 的取值范围为31(,]22-. 【点睛】本题考查三角形的余弦定理和面积公式及利用二倍角的正弦、余弦公式和辅助角公式求三角函数的取值范围;其中二倍角的正弦、余弦公式和辅助角公式的熟练应用是求解本题的关键;属于常考题型、中档题.18．直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，且AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，M 是侧棱1CC 上一点，设MC h =.（1）若1h =，求证：1BM AC ⊥； （2）若多面体111ABM A B C -的体积为203，求直线AM 与平面ABC 所成的角. 【答案】（1）证明见解析；（2）4π. 【解析】()1以A 为坐标原点,以射线1AB AC AA 、、分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系,求出1,BM AC ,证得10BM AC ⋅=即可. ()2利用三棱柱111A B C ABC -被分割为一个三棱锥M ABC -和一个多面体111ABM A B C -，可得111111A B C ABC M ABC ABM A B C V V V ---=+，从而求出MC 的长度,再由线面角的定义知在Rt MAC ∆中求出MAC ∠的大小即可. 【详解】()1证明：以A 为坐标原点,以射线1AB AC AA 、、分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系如图所示：则()2,0,0B ,()0,2,1M ,()10,0,4A ,()0,2,0C ,所以()2,2,1BM =-,()10,2,4AC =-,所以()()12022140BM AC ⋅=-⨯+⨯+⨯-=, 所以1BM AC ⊥.()2因为三棱锥M ABC -的体积为1112223323M ABC ABC hV MC S h -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，三棱柱111A B C ABC -的体积为1111142282A B C ABC ABC V CC S -∆=⨯=⨯⨯⨯=,又因为111111A B C ABC M ABC ABM A B C V V V ---=+, 所以220833h =+,解得2h =，即M 为1CC 的中点. 因为MC ⊥平面ABC ,所以MAC ∠即为直线AM 与平面ABC 所成的角. 在Rt MAC ∆中,2,90MC AC MCA ==∠=︒, 所以Rt MAC ∆为等腰直角三角形, 故MAC ∠4π=即为所求的角.【点睛】本题考查利用空间向量的方法证明两直线垂直和线面角的求解;建立合适的空间直角坐标系和利用分割法把三棱柱111A B C ABC -分割为一个三棱锥M ABC -和一个多面体111ABM A B C -是求解本题的关键;属于中档题,常考题型.19．已知我国华为公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万只还需另投入16万元.设公司一年内共生产该款手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为()R x 万元，且24006,(040)()740040000(40)x x R x x xx -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩.(Ⅰ)写出年利润W (万元）关于年产量x (万只）的函数的解析式；(Ⅱ)当年产量为多少万只时，公司在该款手机的生产中获得的利润最大？并求出最大利润.【答案】(Ⅰ) 2638440(040)40000167360(40)x x x W x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩；（Ⅱ）见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式； （2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．试题解析：（1）当040x <≤时，()()21640638440W xR x x x x =-+=-+-，当40x >时，()()400001640168360W xR x x x x=-+=--+， 所以2638440,04040000168360,40x x x W x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩. （2）①当040x <≤时，()26326104W x =--+，所以()max 326104W W ==；②当40x >时，40000168360W x x=--+，由于40000161600x x +≥=， 当且仅当4000016x x=，即()5040,x =∈+∞时，取等号， 所以W 的最大值为6760，综合①②可知，当50x =时，W 取得最大值为6760.20．已知2()log f x x =，当点(,)M x y 在()y f x =的图象上运动时，点(2,)N x ny -在函数()n y g x =的图象上运动.（其中*n ∈N ）. （1）求()n y g x =的表达式；（2）设集合1{(,)|()}A x y y g x ==，2{(,)|(2)}B x y y g x a ==-+，若A B ⋂≠∅（∅为空集），求实数a 的取值范围；（3）设()1()()2n g x n H x =，若函数11()()()F x H x g x =-（0a x b <≤≤）的值域为22[log ，求实数a 、b 的值.【答案】（1）2()log (2)n g x n x =+；（2）94a ≤；（3） 2a =，3b =. 【解析】()1根据点(,)M x y 在()y f x =的图象上运动,可得2log y x =，点(2,)N x ny -在函数()n y g x =的图象上运动,可得()2n g x ny -=,由此可得()22log n g x n x -=,利用换元令2x t -=,即可得到()n g x 的表达式.()2由()1可知()1g x 与()22g x a -+的表达式，因为A B ⋂≠∅，可得方程()()22log 22log x x a +=+存在大于负2的实数解,分离参数a ,使a 为关于x 的表达式，求出关于x 的函数的值域即可.()3由()1可知()H x 的表达式,从而可得()()21log 22F x x x =-++,利用函数12y x =+和函数()2log 2y x =-+在()2,-+∞的单调性可判断出()F x 在()2,-+∞上的单调性,从而可得()F x 在区间[],a b 上的单调性,求出在区间[],a b 上的最值,进而得到关于,a b 的方程,解方程即可. 【详解】()1因为点(2,)N x ny -在函数()n y g x =的图象上运动，且2log y x =,所以()22log n g x n x -=,令2x t -=则()()2log 2n g t n t =+, 所以()()2log 2n g x n x =+.()2因为()()2log 2n g x n x =+,所以()()12log 2g x x =+,()()222log 2g x x =+， 所以()()2222log g x a x a -+=+,因为A B ⋂≠∅,所以存在2x >-使()()122g x g x a =-+, 即存在2x >-使()()22log 22log x x a +=+， 即方程()()220x a x +-+=有大于负2的实数根, 因为0,20x a x +>+>,所以()2a x x =>-,t =()0t >则22a t t =-++,即21924a t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,因为0t >，所以94a ≤, 所以a 的取值范围为94a ≤. ()3因为()()2log 2n g x n x =+，所以()1()()2n g x n H x =()2log 212n x +⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()()()22log 21log 2111222x x H x x +⎛⎫ ⎪+⎝⎭⎛⎫===⎪+⎝⎭,所以()()()()1121log 22F x H x g x x x =-=-++, 因为函数12y x =+和函数()2log 2y x =-+在()2,-+∞上均为减函数, 所以函数()()21log 22F x x x =-++在()2,-+∞上为减函数, 因为0a x b <≤≤,所以可得()()21log 22F x x x =-++在区间[],a b 上为减函数, 所以()()()2max 1log 22F x F a a a ==-++,()()()2min 1log 22F x F b b b ==-++， 因为函数()()21log 22F x x x =-++在区间[],a b上的值域为22[log , 所以()()22211log 2log log 2224a a a a -+==-+++,()()22211log 2log log 2225b b b b -+==-+++, 解得2,3,a b ==故所求的,a b 的值为2, 3.a b == 【点睛】本题主要考查了求函数的解析式和利用函数的单调性求函数的值域及参数的范围;解题的关键是利用点M 和点N 满足的关系正确求出()n y g x =的表达式；主要考查学生的适应能力和应变能力；本题属于新定义型试题,综合型强、难度大.21．已知数列{}n a 满足：12a =，12nn n a a λ+=+⋅，且1a 、21a +、3a 成等差数列，其中*n ∈N .（1）求实数λ的值和数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足等式：31212321n nb b b b n a a a a +++⋅⋅⋅+=-（*n ∈N ），求数列{}n b 的前n 项和n S ；（3）在（2）的条件下，问：是否存在这样的正数p ，可以确保恰有5个自然数n 使得不等式864256n p p n S +≤-+成立？若存在，求p 的取值范围，若不存在，说明理由. 【答案】（1）1λ=，2nn a =；（2）n S =226n +-；（3）存在，568253p <≤. 【解析】()1由题意和等差中项的性质列出关于λ的方程求出λ,再利用累加法求出数列{}n a 的通项公式即可.()2类比已知前n 项和n S 求通项公式的方法，由等式31212321nnb bb b n a a a a +++⋅⋅⋅+=-，得到()()31121231211,2n n b b b b n n a a a a --+++⋅⋅⋅+=--≥，两式相减得到()2,2n nb n a =≥,利用n a 求出n b 的通项公式,当1n =时,12b =，即可求出n S .()3结合条件对n 进行分类讨论,当3n ≥时,利用分离参数法化简得182125n p n -≤--,利用取特殊值和比商法判断出1225n n --的单调性,进而判断出182125n n ---的单调性,根据条件即可求出正数p 的取值范围. 【详解】()1因为12a =,12n n n a a λ+=+⋅,所以21222a a λλ=+⨯=+，32426a a λλ=+=+, 因为1a 、21a +、3a 成等差数列，所以()21321a a a +=+,即()232226λλ+=++,解得1λ=,12nn n a a +-=,所以21213212,2,,2n n n a a a a a a ---=-=⋅⋅⋅-=, 以上式子相加可得,23112222n n a a --=+++⋅⋅⋅+,因为()123121222222212n n n ---+++⋅⋅⋅+==--,所以222n n a -=-,即2nn a =.()2因为31212321nnb bb b n a a a a +++⋅⋅⋅+=-,()1所以()()31121231211,2n n b b b b n n a a a a --+++⋅⋅⋅+=--≥，()2()()12-可得，()2,2nnb n a =≥, 因为2nn a = ,所以即12n n b +=()2n ≥，当1n =时,112b a ==, 因为数列{}n b 的前n 项和为n S ,所以()1281222612n n nS -+-=+=--.()3假设存在这样的正数p .因为n S =226n +-,所以使不等式864256n p p n S +≤-+成立, 即使不等式2864252n p p n ++≤-成立即可.因为0p >,所以当1,2n =时,上式显然成立,当3n ≥时,不等式2864252n p p n ++≤-可化为182125n p n -≤--, 当3n =时,83p ≤;当4n =时,245p ≤; 当5n =时,4011p ≤；当6n =时,5625p ≤; 令1225n n c n -=-，则()112252252212322323n n n n n c n c n n n +---⎛⎫=⨯==- ⎪---⎝⎭， 当4n ≥时,26211235n ⎛⎫-≥> ⎪-⎝⎭,则11n nc c +>, 所以当4n ≥时,n c 随着n 的增大而增大,则182125n n ---随着n 的增大而减小,因为使不等式864256n p p n S +≤-+成立的自然数n 恰有5个， 所以正数p 的取值范围为568253p <≤. 【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式和等比数列的概念及前n 项和公式与分离参数法求参数的取值范围和利用比商法判断数列的单调性相结合;正确求出数列{}n b的通项及前n项和S是求解本题的关键;属于综合型、难度大型的压轴试题.n第 21 页共 21 页。
2021年高三数学11月联考试题沪教版
2021年高三数学11月联考试题沪教版一、填空题（本大题满分56分）本大题有14题，只要求直接填写结果．1. 设集合{}{}210,,2,A x x x R B x x x R =-≥∈=<∈，则 =_________. 2. 函数的反函数=_____________.3. 数列1，5，9，13，…的一个通项公式可能是=__________________.4. 若 则＝________________.5. 方程的解是_____________________．6. 已知等差数列的前项和为，若＝10，则＝_______________.7. 设函数（为常数），若在区间 上是增函数，则的 取值范围是 __________ .8. 设等比数列，，公比，若的前项和，则的值为 ____ ． 9. 若定义在上的奇函数对一切均有，则_________.10. 设中,角所对的边分别为，若，则的面积=_______________. 11. 若集合有且仅有两个不同的子集，则实数的 值为________________.12. 已知函数， 若函数的最小正周期是，且当时，则关于的方程的解集为________________________.13. 设函数1cos ,0,2()2sin cos ,,222x x f x x x x πππ⎧⎡⎤-∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪⎝⎦⎩，则函数的图像与x 轴围成的图形的面积是____________.14. 设为奇函数，且，若，则=__________. （用含的代数式表示）二、选择题(本大题满分20分）． 15. 函数= 的最小正周期为 【 】A． B． C． D．16.设数列，=1，前项和为，若，则数列的第5项是【】A . 81B . C. 54 D. 16217.设常数且，则函数的零点个数不可能．．．是【】A. 1个B. 2个C.3个D. 4个18.设中，角所对的边分别为，则“”的一个充分非必要条件是【】A． B.C. D.三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要步骤.19.(本题满分12分，7分+5分) 已知函数（1）求的单调递增区间；（2）求函数在区间上的最大值.20. (本题满分14分，6分+8分) 已知函数的定义域为集合，函数的定义域为集合。
上海市普陀区2021届高三数学下学期质量调研二模试题
上海市普陀区2021届高三数学下学期质量调研（二模）试题考生注意:1.本场考试时间120分钟.试卷4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上 作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1. 设全集=U }2,1,0,1{-，若集合}2,0,1{-=A ，则=A C U .2. 若复数i iz +=2（i 表示虚数单位），则=z Im . 3. 函数xx y 1-=的零点为 .4. 曲线x y 42=的顶点到其准线的距离为 .5. 若1)3cos(=+πθ，则=θcos .6. 设棱长为2的正方体的八个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 .7. 设8)12(-x 882210x a x a x a a ++++= ，则=+++821a a a .8. 设无穷等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若11=a ，且()3lim 1=+∞→n n S S ，则公比=q .9. 设x 、y 均为非负实数且满足⎩⎨⎧≤-+≤-0220y x y x ，则y x 3-的最小值为 .10. 某学校从4名男生、3名女生中选出2名担任招生宣讲员，则在这2名宣讲员中男、女生各1人的概率为 （结果用最简分数表示）.11. 设),(y x M 是直线3=+y x 上的动点，若21≤≤x ，则xy y x 11+-+的最大值为 .12. 如图，在△ABC 中，2π=C ，3=AC ，1=BC . 若O 为△ABC内部的点且满足0||||||=++OC OB OA ，则=||:||:||OC OB OA .二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13. 设a 、b 均为非零实数且b a >，则下列结论中正确的是（ ）)A (22-->b a )B ( 11-->b a )C (22b a > )D (33b a >14. 设167<<m ，则双曲线171622=-+-m y m x 的焦点坐标是（ ） )A ( )0,4(± )B (()0,3± )C ( )5,0(± )D (()4,0±15. 设βα,是两个不重合的平面，m l ,是两条不重合的直线，则“βα//”的一个充分非必要条件是（ ）)A ( l ≠⊂α，m ≠⊂α且β//l ，β//m )B (l ≠⊂α，m ≠⊂β，且m l //)C ( α⊥l ，β⊥m 且m l // )D ( α//l ，β//m ，且m l //16. 已知函数xxx f 313)(+=，设i x （3,2,1=i ）为实数，且0321=++x x x .给出下列结论：① 若0321>⋅⋅x x x ，则23)()()(321<++x f x f x f ； ② 若0321<⋅⋅x x x ，则23)()()(321>++x f x f x f .其中正确的是（ ）)A (①与②均正确 )B (①正确，②不正确 )C (①不正确，②正确 )D (①与②均不正确（第12题）三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的 步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，设底面半径为2的圆锥的顶点、底面中心依次为P 、O ，AB 为其底面的直径. 点C 位于底面圆周上，且 90=∠BOC . 异面直线PA 与CB 所成角的大小为 60.（1）求此圆锥的体积；（2）求二面角O BC P --的大小（结果用反三角函数值表示）.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 设函数x x f 2log )(=（0>x ）的反函数为)(1x f -. （1）解方程：0)(2)2(=-+x f x f ；（2）设)(x g y =是定义在R 上且以2为周期的奇函数.当10<<x 时，)()(1x f x g -=，试求)10(log 2g 的值.19.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图所示，某人为“花博会”设计一个平行四边形园地，其顶点分别为i A （4,3,2,1=i ），3021=A A 米， 120412=∠A A A ，D 为对角线42A A 和31A A 的交点.他以2A 、4A 为圆心分别画圆弧，一段弧与21A A 相交于1A 、另一段弧与43A A 相交于3A ，这两段弧恰与42A A 均相交于D .设θ=∠D A A 21.（1）若两段圆弧组成“甬路”L （宽度忽略不计），求L 的长（结果精确到1米）；（2）记此园地两个扇形面积之和为1S ，其余区域的面积为2S .对于条件（1）中的L ，当12.02131<-S S A A L时，则称其设计“用心”，问此人的设计是否“用心”？并说明理由.PAC O（第17题）1A 4D20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知曲线Γ:124322=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 经过1F 且与Γ相交于A 、B 两点.（1）求△21AF F 的周长；（2）若以2F 为圆心的圆截y 轴所得的弦长为22，且l 与圆2F 相切，求l 的方程；（3）设l 的一个方向向量),1(k =，在x 轴上是否存在一点M ，使得||||MB MA =且55tan =∠MAB ？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）记实数a 、b 中的较大者为},max{b a ，例如2}2,1max{=，1}1,1max{=.对于无穷数列}{n a ，记},max{212k k k a a c -=（*N ∈k ），若对于任意的*N ∈k ，均有k k c c <+1，则称数列}{n a 为“趋势递减数列”.（1）根据下列所给的通项公式，分别判断数列}{n a 是否为“趋势递减数列”，并说明理由.①nn a ⎪⎭⎫⎝⎛-=21， ②2sin πn a n =；（2）设首项为1的等差数列}{n b 的前n 项和为n S 、公差为d ，且数列}{n S 为“趋势递减数列”，求d 的取值范围；（3）若数列}{n d 满足1d 、2d 均为正实数，且||12++-=n n n d d d ，求证：}{n d 为“趋势递减数列”的充要条件为}{n d 的项中没有0.2020学年第二学期普陀区高三数学质量调研评分细则一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．}1{ 2.2- 3. 1 4.1 5.216. π127. 08.21 9. 3- 10.74 11. 263- 12. 1:2:4 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.题号 13 14 15 16 答案DBCA三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解: （1）设圆锥的高为h .以O 为坐标原点，以OC 、OB 、OP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.根据题设条件，可得)0,0,2(C 、),0,0(h P 、)0,2,0(-A 、)0,2,0(B .),2,0(h PA --=，)0,2,2(-=CB ……3分由异面直线PA 与CB 所成角的大小为60，得21444|0)(2)2()2(0|||||60cos 2=+⋅+⨯-+⨯-+-⨯=⋅=h h CB PA CB PA， 解得2=h .……5分圆锥的体积=V ππ382231312=⨯⨯=sh .…………6分（2）取BC 的中点D ,连接OD 、PD .由OC OB =，得BC OD ⊥；再由PC PB =，得BC PD ⊥. 所以PDO ∠即为二面角O BC P --的平面角.……10分 PO ⊥圆锥的底面，所以OD PO ⊥，故POD 为直角三角形.PABCO xyD在△POD 中，221==BC OD ，2=PO ，故PDO ∠tan 2==ODPO ……13分 即PDO ∠2arctan =，故二面角O BC P --的大小为2arctan …………14分 （坐标法比照给分）18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）0)(2)2(=-+x f x f 0log 2)2(log 22=-+⇔x x （*）……2分 将（*）变形，得222log )2(log x x =+，……3分即022=--x x ，解得2=x 或1-.……5分经检验1-=x 为增根.所以原方程的解集为}2{.……6分（2）x x f 2)(1=-（R ∈x ），所以当10<<x 时，x x g 2)(=……9分， 由于)(x g y =是定义在R 上且以2为周期的奇函数，所以对于任意实数x ，均有)()2(x g x g =+，)()(x g x g -=-.……11分 故)85(log )410(log )10(log 222g g g =-=……12分又因为1850<<，所以085log 2<，故582)58(log )85(log 58log 222-=-=-=g g即58)10(log 2-=g ……14分 19. （本题满分14分，第（1）问7分，第（2）问7分）解：（1）根据题设条件，可得在△421A A A 中，21422A A A A =.……1分由正弦定理，得2412141242sin sin A A A A A A A A A A ∠=∠，即4332sin 21sin 241==∠πA A A .……3分故43arcsin3-=πθ……4分，所以θa L 2=……5分 当30=a 时，=L ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅43arcsin 360π≈36米.答：甬路L 的长约为36米.……7分（2）由（1）得θ60=L ，在△D A A 21中，由余弦定理，得θcos 1800180021-=D A ，234故31A A =θcos 2260-，所以=31A A Lθθcos 22-……10分（按思维框架给分）θ9001=S ，)sin 2(9002θθ-=S ，故θθθ-=sin 221S S ……13分（按思维框架给分） 当43arcsin3-=πθ时，12.01181.0sin 2cos 22<≈---θθθθθ.所以此人的设计是“用心”的.……14分20. （本题满分16分，第（1）问4分，第（2）问6分，第（3）问6分）（1）根据题设条件，可得13422=+y x ，故2=a ，根据椭圆定义，可知42||||21==+a AF AF ，……1分1=c ，22||21==c F F …2分 由6||||||2121=++F F AF AF ，得△21AF F 的周长为6.…………4分（2）设圆2F 的方程为222)1(r y x =+-（0>r ） 令0=x ，得21y r =±-，故22122r -=得3r =……6分由l 与圆2F 相切，得)0,1(2F 到直线l ：)1(+=x k y 的距离31||22=+=kk d .解得3±=k ，…8分故直线l 的方程为)1(3+±=x y .……10分（3）假设在x 轴上存在一点)0,(0x M ，设直线l 的方程为)1(+=x k y （0≠k ），将直线l 的方程和椭圆的方程联立，得⎩⎨⎧=++=1243)1(22y x x k y ， 消去y 并整理，得0)3(48)43(2222=-+++k x k x k ，必有0>∆令),(11y x A ，),(11y x B ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+2221222143124438k k x x k k x x ……12分=+-=)1()(||2221k x x AB )1](4)[(221221k x x x x +-+=2243)1(12k k ++ ……13分故线段AB 的中点C 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-222433,434k k k k ，则线段AB 中垂线1l 的方程为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=+-2224341433k k x k k k y ……14分 令0=y ，得=0x 2243k k +-，点M⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-0,4322k k 到直线l 的距离22431||3k k k d ++= ……15分 又因为||||MB MA =，所以55||21tan ==∠AB d MAB ，即22431||3k k k ++⋅=2243)1(12105k k ++⋅化简得||15522k k =+，解得42=k ，故)0,194(-M .……16分21. （本题满分18分，第（1）问4分，第（2）问6分，第（3）问8分） 解：（1）①中0211212<⎪⎭⎫⎝⎛-=--k k a ，02122>⎪⎭⎫ ⎝⎛=kka 得kk c ⎪⎭⎫⎝⎛=41（k 为正整数）且041431<⎪⎭⎫⎝⎛-=-+kk k c c ，故①数列满足“趋势递减数列”的定义，故为“趋势递减数列”. ②112)1(+--=k k a ，02=ka ，0,21,21k k lc k l =⎧=⎨=-⎩（l 为正整数），其中23c c <，故②中数列不满足“趋势递减数列”的定义，故其不是“趋势递减数列”.……4分 （2）由数列}{n S 为“趋势递减数列”，得},{},max{432211S S c S S c =>=.……5分①若21S S ≥，则0122≤-=S S a ,即01≤+d a ，也即01≤+d ，故1-≤d .此时 >>>>≥n a a a 320，所以 >>>>>≥n S S S S S 4321 故11212++-=>=k k k k c S S c （*N ∈k ），满足条件.……7分②若21S S <，则32S S >，得1->d ；0233<-=S S a ，021<+d a ， 即021<+d ，解得21-<d ，所以211-<<-d .同理可以验证满足条件……9分 由①②可得，21-<d .………………10分 （3）先证明必要性：用反证法.假设存在正整数m )3(≥m ,使得0=m d ，则令a d d m m ==--21则数列}{n d 从1-m d 项开始以后的各项为 ,0,,,0,,a a a a ，故a c c k k ==+1，与}{n d 是“趋势递减数列”矛盾.……14分 再证明充分性：由||12++-=n n n d d d ，得},max{12++<n n n d d d ……15分因为}{n d 中的项没有0，所以对于任意正整数n ，0≠n d .于是032≠+k d （k 为正整数） 所以2212++≠k k d d ……16分① 当2212++>k k d d 时，k k k k k k k c d d a d d c =<==-++++},max{},max{2121222121 (17)分② 当2212++<k k d d 时，k k k k k k k c d d d d d c =<==-++++},max{},max{2122222121 所以均有k k c c <+1故}{n d 为“趋势递减数列”的充要条件是数列}{n d 的项中没有0.……18分。
上海市普陀区2021届高三二模数学试卷
上海市宝普陀区2021届高三二模数学试卷2021.4一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.设全集=U }2,1,0,1{-，若集合}2,0,1{-=A ，则=A C U .2.若复数i iz +=2（i 表示虚数单位），则=z Im .3.函数xx y 1-=的零点为.4.曲线x y 42=的顶点到其准线的距离为.5.若1)3cos(=+πθ，则=θcos .6.设棱长为2的正方体的八个顶点在同一球面上，则此球的表面积为.7.设8)12(-x 882210x a x a x a a ++++= ，则=+++821a a a .8.设无穷等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若11=a ，且()3lim 1=+∞→n n S S ，则公比=q .9.设x 、y 均为非负实数且满足⎩⎨⎧≤-+≤-0220y x y x ，则y x 3-的最小值为.10.某学校从4名男生、3名女生中选出2名担任招生宣讲员，则在这2名宣讲员中男、女生各1人的概率为（结果用最简分数表示）.11.设),(y x M 是直线3=+y x 上的动点，若21≤≤x ，则xy y x 11+-+的最大值为.12.如图，在△ABC 中，2π=C ，3=AC ，1=BC .若O 为△ABC 0||||||=++OC OC OB OB OA OA ，则=||:||:||OC OB OA .（第12题）二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设a 、b 均为非零实数且b a >，则下列结论中正确的是（）)A (22-->b a )B (11-->b a )C (22b a >)D (33b a >14.设167<<m ，则双曲线171622=-+-m y m x 的焦点坐标是（）)A ()0,4(±)B (()0,3±)C ()5,0(±)D (()4,0±15.设βα,是两个不重合的平面，m l ,是两条不重合的直线，则“βα//”的一个充分非必要条件是（）)A (l ≠⊂α，m ≠⊂α且β//l ，β//m )B (l ≠⊂α，m ≠⊂β，且ml //)C (α⊥l ，β⊥m 且ml //)D (α//l ，β//m ，且ml //16.已知函数xxx f 313)(+=，设i x （3,2,1=i ）为实数，且0321=++x x x .给出下列结论：1若0321>⋅⋅x x x ，则23)()()(321<++x f x f x f ；2若0321<⋅⋅x x x ，则23)()()(321>++x f x f x f .其中正确的是（）)A (①与②均正确)B (①正确，②不正确)C (①不正确，②正确)D (①与②均不正确三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，设底面半径为2的圆锥的顶点、底面中心依次为P 、O ，AB 为其底面的直径.点C 位于底面圆周上，且90=∠BOC .异面直线P A 与CB 所成角的大小为60.（1）求此圆锥的体积；（2）求二面角O BC P --的大小（结果用反三角函数值表示）.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设函数x x f 2log )(=（0>x ）的反函数为)(1x f -.（1）解方程：0)(2)2(=-+x f x f ；（2）设)(x g y =是定义在R 上且以2为周期的奇函数.当10<<x 时，)()(1x fx g -=，试求)10(log 2g 的值.19.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图所示，某人为“花博会”设计一个平行四边形园地，其顶点分别为i A （4,3,2,1=i ），3021=A A 米， 120412=∠A A A ，D 为对角线42A A 和31A A 的交点.他以2A 、4A 为圆心分别画圆弧，一段弧与21A A 相交于1A 、另一段弧与43A A 相交于3A ，这两段弧恰与42A A 均相交于D .设θ=∠D A A 21.（1）若两段圆弧组成“甬路”L （宽度忽略不计），求L 的长（结果精确到1米）；（2）记此园地两个扇形面积之和为1S ，其余区域的面积为2S .对于条件（1）中的L ，当12.02131<-S S A A L时，则称其设计“用心”，问此人的设计是否“用心”？并说明理由.20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知曲线Γ:124322=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 经过1F 且与Γ相交于A 、B 两点.（1）求△21AF F 的周长；PABC O （第17题）1A 2A 3A4A D（第19题）（2）若以2F 为圆心的圆截y 轴所得的弦长为22，且l 与圆2F 相切，求l 的方程；（3）设l 的一个方向向量),1(k d =，在x 轴上是否存在一点M ，使得||||MB MA =且55tan =∠MAB 若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）记实数a 、b 中的较大者为},max{b a ，例如2}2,1max{=，1}1,1max{=.对于无穷数列}{n a ，记},max{212k k k a a c -=（*N ∈k ），若对于任意的*N ∈k ，均有k k c c <+1，则称数列}{n a 为“趋势递减数列”.（1）根据下列所给的通项公式，分别判断数列}{n a 是否为“趋势递减数列”，并说明理由.①nn a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21，②2sinπn a n =；（2）设首项为1的等差数列}{n b 的前n 项和为n S 、公差为d ，且数列}{n S 为“趋势递减数列”，求d 的取值范围；（3）若数列}{n d 满足1d 、2d 均为正实数，且||12++-=n n n d d d ，求证：}{n d 为“趋势递减数列”的充要条件为}{n d 的项中没有0.xy1F 2F O（第20题）参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．}1{ 2.2- 3.1 4.15.21 6.π127.08.219.3-10.7411.263-12.1:2:4二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.题号13141516答案DBCA三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解:（1）设圆锥的高为h .以O 为坐标原点，以OC 、OB 、OP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.根据题设条件，可得)0,0,2(C 、),0,0(h P 、)0,2,0(-A 、)0,2,0(B .),2,0(h P A --=，)0,2,2(-=CB ……3分由异面直线P A 与CB 所成角的大小为60，得21444|0)(2)2()2(0|60cos 2=+⋅+⨯-+⨯-+-⨯==h h，解得2=h .……5分圆锥的体积=V ππ382231312=⨯⨯=sh .…………6分（2）取BC 的中点D ,连接OD 、PD .由OC OB =，得BC OD ⊥；再由PC PB =，得BC PD ⊥.所以PDO ∠即为二面角O BC P --的平面角.……10分PO ⊥圆锥的底面，所以OD PO ⊥，故POD 为直角三角形.PABCO xyyD在△POD 中，221==BC OD ，2=PO ，故PDO ∠tan 2==ODPO ……13分即PDO ∠2arctan =，故二面角O BC P --的大小为2arctan …………14分（坐标法比照给分）18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）0)(2)2(=-+x f x f 0log 2)2(log 22=-+⇔x x （*）……2分将（*）变形，得222log )2(log x x =+，……3分即022=--x x ，解得2=x 或1-.……5分经检验1-=x 为增根.所以原方程的解集为}2{.……6分（2）x x f2)(1=-（R ∈x ），所以当10<<x 时，x x g 2)(=……9分，由于)(x g y =是定义在R 上且以2为周期的奇函数，所以对于任意实数x ，均有)()2(x g x g =+，)()(x g x g -=-.……11分故)85(log )410(log )10(log 222g g g =-=……12分又因为1850<<，所以085log 2<，故582)58(log )85(log 58log 222-=-=-=g g 即58)10(log 2-=g ……14分19.（本题满分14分，第（1）问7分，第（2）问7分）解：（1）根据题设条件，可得在△421A A A 中，21422A A A A =.……1分由正弦定理，得2412141242sin sin A A A A A A A A A A ∠=∠，即4332sin 21sin 241==∠πA A A .……3分故43arcsin 3-=πθ……4分，所以θa L 2=……5分当30=a 时，=L ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅43arcsin 360π≈36米.答：甬路L 的长约为36米.……7分（2）由（1）得θ60=L ，在△D A A 21中，由余弦定理，得θcos 1800180021-=D A ，1A 2A 3A 4A D故31A A =θcos 2260-，所以=31A A Lθθcos 22-……10分（按思维框架给分）θ9001=S ，)sin 2(9002θθ-=S ，故θθθ-=sin 221S S ……13分（按思维框架给分）当43arcsin3-=πθ时，12.01181.0sin 2cos 22<≈---θθθθθ.所以此人的设计是“用心”的.……14分20.（本题满分16分，第（1）问4分，第（2）问6分，第（3）问6分）（1）根据题设条件，可得13422=+y x ，故2=a ，根据椭圆定义，可知42||||21==+a AF AF ，……1分1=c ，22||21==c F F …2分由6||||||2121=++F F AF AF ，得△21AF F 的周长为6.…………4分（2）设圆2F 的方程为222)1(r y x =+-（0>r ）令0=x ，得y =，故=，得r =……6分由l 与圆2F 相切，得)0,1(2F 到直线l ：)1(+=x k y 的距离31||22=+=kk d .解得3±=k ，…8分故直线l 的方程为)1(3+±=x y .……10分（3）假设在x 轴上存在一点)0,(0x M ，设直线l 的方程为)1(+=x k y （0≠k ），将直线l 的方程和椭圆的方程联立，得⎩⎨⎧=++=1243)1(22y x x k y ，消去y 并整理，得0)3(48)43(2222=-+++k x k x k ，必有0>∆令),(11y x A ，),(11y x B ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+2221222143124438k k x x k k x x ……12分=+-=)1()(||2221k x x AB )1](4)[(221221k x x x x +-+=2243)1(12k k ++……13分故线段AB 的中点C 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-222433,434k k k k ，则线段AB 中垂线1l 的方程为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=+-2224341433k k x k k k y ……14分令0=y ，得=0x 2243k k +-，点M⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-0,4322k k 到直线l 的距离22431||3k k k d ++=……15分又因为||||MB MA =，所以55||21tan ==∠AB dMAB ，即22431||3k k k ++⋅=2243)1(12105k k ++⋅化简得||15522k k =+，解得42=k ，故)0,194(-M .……16分21.（本题满分18分，第（1）问4分，第（2）问6分，第（3）问8分）解：（1）①中0211212<⎪⎭⎫⎝⎛-=--k k a ，02122>⎪⎭⎫ ⎝⎛=kka 得kk c ⎪⎭⎫⎝⎛=41（k 为正整数）且041431<⎪⎭⎫⎝⎛-=-+kk k c c ，故①数列满足“趋势递减数列”的定义，故为“趋势递减数列”.②112)1(+--=k k a ，02=ka ，0,21,21k k lc k l =⎧=⎨=-⎩（l 为正整数），其中23c c <，故②中数列不满足“趋势递减数列”的定义，故其不是“趋势递减数列”.……4分（2）由数列}{n S 为“趋势递减数列”，得},{},max{432211S S c S S c =>=.……5分①若21S S ≥，则0122≤-=S S a ,即01≤+d a ，也即01≤+d ，故1-≤d .此时 >>>>≥n a a a 320，所以 >>>>>≥n S S S S S 4321故11212++-=>=k k k k c S S c （*N ∈k ），满足条件.……7分②若21S S <，则32S S >，得1->d ；0233<-=S S a ，021<+d a ，即021<+d ，解得21-<d ，所以211-<<-d .同理可以验证满足条件……9分由①②可得，21-<d .………………10分（3）先证明必要性：用反证法.假设存在正整数m )3(≥m ,使得0=m d ，则令ad d m m ==--21则数列}{n d 从1-m d 项开始以后的各项为 ,0,,,0,,a a a a ，故a c c k k ==+1，与}{n d 是“趋势递减数列”矛盾.……14分再证明充分性：由||12++-=n n n d d d ，得},max{12++<n n n d d d ……15分因为}{n d 中的项没有0，所以对于任意正整数n ，0≠n d .于是032≠+k d （k 为正整数）所以2212++≠k k d d ……16分1当2212++>k k d d 时，k k k k k k k c d d a d d c =<==-++++},max{},max{2121222121……17分2当2212++<k k d d 时，kk k k k k k c d d d d d c =<==-++++},max{},max{2122222121所以均有kk c c <+1故}{n d 为“趋势递减数列”的充要条件是数列}{n d 的项中没有0.……18分。
2021届上海市普陀区高三下学期数学高考调研试卷及答案
高三下学期数学高考调研试卷一、填空题1.集合U={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A={﹣1，0，1}，B={1，2}，那么∁U(A∪B)=________.2. ，，那么cos(π﹣x)=________.3.一个关于x、y的二元线性方程组的增广矩阵是，那么________．4.复数为虚数单位〕，表示的共轭复数，那么________.5.直线l的参数方程是〔，为参数〕，那么直线l的倾斜角的大小为________.6.高三某位同学参加物理､化学､政治科目的等级考，这位同学在物理､化学､政治科目考试中得A+概率分别为，这三门科目考试成绩互不影响，那么这位考生至少得2个A+的概率为________.7.在某次数学测验中，6位学生的成绩如下：78，85，a，82，69，80，他们得平均成绩为80，他们成绩的中位数为________.8.下面是某算法的程序框图，那么程序运行后输出的结果为________.9.圆锥的底面半径为1，母线长为3，那么该圆锥内半径最大的球的外表积为________．10.实数m>1，实数x､y满足不等式组，假设目标函数z=x+my的最大值等于10，那么m=________.n(x n，y n)是直线3x+y= (n∈N*)与圆x2+y2=5在第四象限的交点，那么极限=________.12.向量的夹角为锐角，且满足､，假设对任意的，都有|x+y|≤1成立，那么的最小值为________.二、单项选择题13.如图，一个空间几何体的主视图､左视图､俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长都为1，那么这个几何体的体积是〔〕A. B. C. D. 114.三角形所在平面内一点P满足，那么点P是三角形的〔〕A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心15.著名的波那契列{a n}：1，1，2，3，5，8，…，满足a1=a2=1，a n+2=a n+1+a n(n∈N*)，那么1+a3+a5+a7+a9+…+a2021是斐波那契数列中的〔〕A. 第2021项B. 第2021项C. 第2022项D. 第2023项16.x∈R，符号表示不超过x的最大整数，假设函数(x≠0)有且仅有4个零点，那么实数a的取值范围是〔〕A. B. C. D.三、解答题17.如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AC=4，BD=2，且侧棱AA11为A1C1与B1D1的交点.〔1〕求点B1到平面D1AC的距离；〔2〕在线段BO1上，是否存在一个点P，使得直线AP与CD1垂直？假设存在，求出线段BP的长；假设不存在，请说明理由.18.设函数.〔1〕求函数f(x)的最大值和最小正周期；〔2〕设A，B，C为的三个内角，，且C为锐角，，a=4，求c边的长.19.如图，曲线与直线相交于，作交轴于，作交曲线于，……，以此类推.〔1〕写出点和的坐标；〔2〕猜想的坐标，并用数学归纳法加以证明.20.A､B为椭圆=1(a>b>0)和双曲线=1的公共顶点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B的动点，且满足，设直线AP､BP､AQ､BQ的斜率分别为k1､k2､k3､k4.〔1〕求证：点P､Q､O三点共线；〔2〕当a=2，b= 时，假设点P､Q都在第一象限，且直线PQ的斜率为，求△BPQ的面积S；〔3〕假设F1､F2分别为椭圆和双曲线的右焦点，且QF1PF2，求k12+k22+k32+k42的值.21.假设函数f(x)对任意的x∈R，均有f(x﹣1)+f(x+1)≥2f(x)，那么称函数f(x)具有性质P.〔1〕判断下面两个函数是否具有性质P，并说明理由；①y=3x；②y=x3；〔2〕假设函数g(x)= ，试判断g(x)是否具有性质P，并说明理由；〔3〕假设函数f(x)具有性质P，且f(0)=f(n)=0(n>2，n∈N*)求证：对任意1≤k≤n﹣1，k∈N*，均有f(k)≤0.答案解析局部一、填空题1.【解析】【解答】解：∵U={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A={﹣1，0，1}，B={1，2}，∴A∪B={﹣1，0，1，2}，∁U(A∪B)={﹣2，3}。
上海市普陀区2021届高三上学期一模数学试题
普陀区2020学年第一学期高三数学质量调研本场考试时间120分钟．试卷4页，满分150分一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 若集合{|01}A x x =<≤，{|(1)(2)0,R}B x x x x =--≤∈，则A B =________．{}02x x <≤先求出集合B ，再由并集定义即可求出.{}{|(1)(2)0,R}12B x x x x x x =--≤∈=≤≤， ∴{}02A B x x ⋃=<≤.故答案为：{}02x x <≤.2. 函数2(0)y x x =≥的反函数是____________)0y x =≥反函数，即利用y 表示x ，即可．由2y x =,解得x =x,y 得到反函数()0y x =≥ 3. 若2παπ<<且1cos 3α=-，则tan α=_________．-先由已知求出sin α，再由商数关系即可求出.2παπ<<且1cos 3α=-，sin 3α∴==， sintan cos ααα∴==-故答案为：-4. 设无穷等比数列{}n a 的各项和为2，若该数列的公比为12，则3a =________． 14根据题意，得到121a q=-，求得11a =，结合等比数列通项公式，即可求解.由题意，无穷等比数列{}n a 的各项和为2，且公比为12， 可得121a q =-，可得11a =，所以2231111()24a a q ==⨯=. 故答案为：14. 5. 在81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中4x 项的系数为__________．28写出二项展开式的通项公式，令x 的指数等于4，求出r 可得结果. 二项展开式的通项公式为882881()(1)r rr r r r C x C x x---=-，0,1,2,,8r =，令824r -=，得2r，所以二项展开式中4x 项的系数为228(1)28C -=.故答案为：286. 已知正方体的棱长为1，则正方体的外接球的体积为 ．2试题分析：正方体棱长为1，所以 3423R R V R π==== 22(2)16x y -+=根据椭圆的方程，可求出椭圆的右焦点和长半轴，椭圆的右焦点和长半轴是圆的圆心和半径，故可写出圆的方程.由椭圆方程可知221612a b ==，则24c = 所以椭圆右焦点为()2,0长半轴为4. 根据题意可知，()2,0为圆心，4为圆的半径. 则圆的方程为()22216x y -+=. 故答案为：()22216x y -+=.8. 一个袋中装有同样大小、质量的10个球，其中2个红色、3个蓝色、5个黑色．经过充分混合后，若从此袋中任意取出4个球，则三种颜色的球均取到的概率为_________．12【分析】三种颜色均取得有3种情形：2个红色，1个蓝色和1个黑色；1个红色，两个蓝色和1个黑色；1个红色，1个蓝色和2个黑色，分类计数后可得所求的概率.10个球中任取4个共有4101098721024C ⨯⨯⨯==（种），三种颜色均取得有3种情形： （1）2个红色，1个蓝色和1个黑色，共有35=15⨯种，（2）1个红色，两个蓝色和1个黑色，共有232530C ⨯⨯=种， （3）1个红色，1个蓝色和2个黑色，共有252360C ⨯⨯=种，故三种颜色均取共有105种， 故所求的概率为10512102=. 故答案为：12. 9. 设1()lg f x x x =-，则不等式1(1)1f x-<的解集为__________． 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭根据初等函数的性质，得到函数1()lg f x x x=-为单调递减函数，且(1)1f =，把不等式1(1)1f x -<转化为111x->，即可求解. 由题意，函数1()lg f x x x=-，根据初等函数的性质，可得函数()f x 为单调递减函数，且(1)1f =，则不等式1(1)1f x -<等价于111x ->，即11220x x x--=>，解得102x <<， 所以不等式的解集为10,2⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：10,2⎛⎫⎪⎝⎭.10. 某展馆现有一块三角形区域可以布展，经过测量其三边长分别为14、10、6（单位：m ），且该区域的租金为每天4元/2m ．若租用上述区域5天，则仅场地的租用费约需________元．（结果保留整数）520根据余弦定理求出一个角，根据面积公式求出三角形的面积后可得结果. 设ABC 的,,A B C 对应的边为,,a b c ，且14,10,6a b c ===，由余弦定理可得222222106141cos 221062b c a A bc +-+-===-⨯⨯，因为0A π<<，所以23A π=， 所以3sin 2A =， 所以113sin 106153222ABC S bc A ==⨯⨯⨯=△，所以仅场地的租用费为15345303⨯⨯=520≈元. 故答案为：52011. 如图所示，在直角梯形ABCD 中，已知//AD BC ，2ABC π∠=，1AB AD ==，2BC =，M为BD 的中点．设P 、Q 分别为线段AB 、CD 上的动点，若P 、M 、Q 三点共线，则AQ CP ⋅的最大值为_________．2-建立直角坐标系，设00(0,),[0,1]P y y ∈，求得直线CD 的方程，设000(,2),[1,2]Q x x x -+∈，根据//MP MQ ，得出00001102x y y x --+=，把001312AQ CP x y ⋅=-++，再化简得到0000131131[(1)]2212x y y y -++=-⋅+--，结合函数的单调性，即可求解. 以B 为原点，,BC BA 分别为,x y 轴建立如图所示的直角坐标系，如图所示，则11(0,0),(2,0),(0,1),(1,1),(,)22B C A D M ， 设00(0,),[0,1]P y y ∈，又由1CD k =-，所以直线:2CD y x =-+，设000(,2),[1,2]Q x x x -+∈，所以0001113(,),(,)2222MP y MQ x x =--=--+，因为P 、M 、Q 三点共线，所以//MP MQ ，可得0001311()()()2222x y x --+=--，整理得00001102x y y x --+=，又由0000000(,1)(2,)2AQ CP x x y x x y y ⋅=-+⋅-=--+00000011213122x y x y x y =---++=-++， 又由000000110,[1,2],[0,1]2x y y x x y --+=∈∈，可得0001(1)12x y y -=-，又因为010y -≤，所以00(1)y x -⋅关于0x 单调递减， 所以00002(1)(1)(1)1y x y y -≤-≤-⋅， 所以000122112y y y -≤-≤-，解得0203y ≤≤， 所以000000011111111122231313()12122212y x y y y y y ---++=-⋅++=-⋅-⋅++--0000000331113311311()(1)[(1)]()221212212212y y h y y y y y =-+⋅++=⋅+-=-⋅+-=----， 令01t y =-，则0t >，令31122y t t =⋅+，可得函数y在上减函数，在y在)+∞上增函数，当011[,1]3t y =-∈时，min 31112212y =⋅+⨯=，所以0max ()2h y =-. 故答案为：2-.12. 设b 、c 均为实数，若函数()bf x x c x=++在区间[1,)+∞上有零点，则22b c +的取值范围是___________．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 根据零点的定义，转化为方程在区间[1,)+∞上有实数根，然后根据一元二次方程的实数根的分布的性质，结合重要不等式进行求解即可.因为函数()bf x x c x =++在区间[1,)+∞上有零点， 所以方程()0bf x x c x=++=在区间[1,)+∞上有实数解，即20x cx b ++=在区间[1,)+∞上有实数解，设2()g x x cx b =++，要想20x cx b ++=在区间[1,)+∞上有实数解， 当20x cx b ++=在区间[1,)+∞上有唯一实数解时， 只需2(1)0101()1g c b c b c b ≤⇒++≤⇒+≤-⇒+≥，而2222222222112222()()22b c bc b c bc b c b c b c b c +≥⇒+≥++=+⇒+≥+=，当20x cx b ++=在区间[1,)+∞上有二个不相等实数根时，设为12,x x ，则有222121*********(1)(1)0102c b c b c bx x c c b x x b c c ⎧⎧⎧∆=->->>⎪⎪⎪+=->⇒<-⇒>⎨⎨⎨⎪⎪⎪-->++><-⎩⎩⎩，由2240(2)010c b c b c ⎧->⇒+>⎨++>⎩，而2c <-，所以不等式2(2)0c +>显然成立， 因此有225b c +> ，综上所述：2212b c +≥， 故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 抛物线28y x =的准线方程是（ ） A. 4x = B. 2x =C. 2x =-D. 4x =-C由抛物线的知识直接可得答案.抛物线28y x =的准线方程是2x =-故选：C 14. 设x 、y 均为实数，且3147625x y-=，则在以下各项中(),x y 的可能取值只能是（ ）．A. ()2,1B. ()2,1-C. ()1,2-D. ()1,2--B利用二阶行列式的运算法则可得出关于x 、y 的等式，由此可得出合适的选项.()()31421820227625x x y x y y-=---=-+=，所以，25x y -=.满足25x y -=的有序实数对(),x y 为B 选项.故选：B.15. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长2AB =，高14A A =，E 为棱1A A 的中点．设BAD ∠=α、BED θ∠=、1B ED γ∠=，则α、β、γ之间的关系正确的是（ ）．A. αγθ=>B. γαθ>>C. θγα>>D. αθγ>>B求出α、β、γ的大小即可求解. 由题意可得2BAD πα∠==，连接BD ，则BDE 为等边三角形，所以3BED πθ∠==，连接1B D ，则222122426B D =++=222222BE DE ==+=取1B D 的中点O ，连接EO ，则16BO =862EO =-=所以16tan 32B EO ∠== 所以13B EO π∠=，即123B ED πγ∠==，所以γαθ>>.故选：B16. 设b 、c 均为实数，关于x 的方程20x b x c ++=在复数集C 上给出下列两个结论：①存在b 、c ，使得该方程仅有两个共轭虚根； ②存在b 、c ，使得该方程最多有6个互不相等的根． 其中正确的是（ ）． A. ①与②均正确 B. ①正确，②不正确 C. ①不正确，②正确 D. ①与②均不正确A取0,1b c ==可知①正确；分析根为实根和虚根的两种情况，讨论根的个数即可.解：令0b =，c 为正实数，则存在两个共轭的虚根，如0,1b c ==，则存在两个共轭虚根，x i =±，故①正确；若x 为实数，则方程可看做20x b x c ++=，只需保证x 有两个正解即可，此时方程有四个实根；若x 为虚数，则设=+x m ni ，(),m n R ∈ 有20x b x c ++=，等价于222220m n mni b m n c -+++=，所以20mn =，又x 为虚数，所以0n ≠，则有0m =，即20n b n c -++=，()n R ∈，即20n b n c --=最多有两个根，所以方程最多有6个解.只需2240400b c b c b ⎧->⎪+>⎨⎪<⎩即可，如3,2b a =-=，方程有1,2,1,2--四个实根，有317317,22- 两个虚根.故②正确；故选：A.易错点睛：（1）根为复数时，设=+x m ni ，代入计算，可得0m =；（2）把握求实根和虚根时，两个方程之间的关系，,b c 保证一个最多方程4个根，一个方程最多2个根.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. 设a 为常数，函数()sin 2cos(22)1f x a x x π=+-+（R x ∈）（1）设a =()y f x =的单调递增区间及频率f ； （2）若函数()y f x =为偶函数，求此函数的值域． （1）增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈，频率1π；（2）[0,2]．（1）当a =()2sin(2)16f x x π=++，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）由函数()y f x =为偶函数，得到对于任意的x ∈R ，均有()()f x f x -=成立，进而求得0a =，即可求得函数的值域.（1）当a =()2cos 212sin(2)16f x x x x π=++=++，令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以此函数的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈，又由函数的()f x 的最小正周期为22T ππ==，所以f 11T π==． （2）由题意，函数()f x 定义域R ，因为函数()y f x =为偶函数，所以对于任意的x ∈R ，均有()()f x f x -=成立， 即sin(2)cos(2)1sin 2cos 21a x x a x x -+-+=++， 即2sin 20a x =对于任意实数x 均成立，只有0a =，此时()cos 21f x x =+，因为1cos21x -≤≤，所以01cos22x ≤+≤， 故此函数的值域为[0,2]．（1）设P 为Γ右支上的任意一点，求1||PF 的最小值；（2）设O 为坐标原点，求O 到l 的距离，并求l 与Γ的交点坐标． （1）1min9PF =；（2）O 到l 的距离3；l 与Γ的交点坐标为(4.1,0.675)．（1）设00(,)P x y ，由两点距离公式有1||PF 0544x =+，结合已知04x ≥，即可求1||PF 的最小值； （2）根据双曲线方程写出渐近线方程为34yx ，由题设知l ：34150x y +-=，由点线距离公式求O 到l 的距离，联立双曲线、直线方程即可求交点坐标.（1）根据题设条件，可得1(5,0)F -．设00(,)P x y ，其中04x ≥，且22009916y x =- 1||PF 2200(5)x y =++0544x =+，04x ≥ 所以当04x =时，1min9PF =．（2）2(5,0)F ，Γ的两条渐近线方程为34yx ， 根据题设，得l ：34150x y +-=，O 到l 的距离22334d ==+．将l 与Γ的方程联立，得2234150916144x y x y +-=⎧⎨-=⎩，消去y 得，1041x =，解得 4.1x =，代入得0.675y =，所以l 与Γ的交点坐标为(4.1,0.675)．2、由直线l 与双曲线渐近线关系写出直线方程，结合点线距离公式求距离，联立方程求交点即可.19. 某商场共有三层楼，在其圆柱形空间内安装两部等长的扶梯I 、∏供顾客乘用．如图，一顾客自一楼点A 处乘I 到达二楼的点B 处后，沿着二楼面上的圆弧BM 逆时针步行至点C 处，且C 为弧BM 的中点，再乘∏到达三楼的点D 处．设圆柱形空间三个楼面圆的中心分别为O 、1O 、2O ，半径为8米，相邻楼层的间距4AM =米，两部电梯与楼面所成角的大小均为1arcsin 3．（1）求此顾客在二楼面上步行的路程；（2）求异面直线AB 和CD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． （1）2π米；（2）421arccos9-． （1）过点B 作一楼面的垂线，垂足为B '，则B '落在圆柱底面圆上，计算出1BO M ∠的大小，再利用扇形的弧长公式可计算得出结果；（2）以O 为坐标原点，以射线OB '、OA 、2OO 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线AB 和CD 所成角的大小.（1）过点B 作一楼面的垂线，垂足为B '，则B '落在圆柱底面圆上， 连接B A '，则B A '即为BA 在圆柱下底面上的射影，所以BAB '∠即为BA 与一楼面所成的角，即1arcsin 3BAB '∠=．4BB AM '==，所以，12AB =，可得2282AB AB BB ''=-=．在AOB '中，8OA OB ='=，则222OA OB AB ''+=，所以AOB '是等腰直角三角形，故12BO M AOB π'∠=∠=．又因为AB CD =，所以弧BC 的长为824ππ⨯=，所以此顾客在二楼面上步行的路程为2π米；（2）由（1）可知OA 、OB '、2OO 两两互相垂直相交，于是以O 为坐标原点，以射线OB '、OA 、2OO 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．易得()8,0,4B ，()0,8,0A，()C、()D -， 向量()8,8,4AB =-，()4CD =-，设异面直线AB 和CD 所成角的大小为θ，则4cos AB CD AB CDθ⋅==⋅即θ=，所以异面直线AB 和CD 所成角的大小为． 20. 已知无穷数列{}n a 的首项为1a ，其前n 项和为n S ，且1n n a a d +-=（*N n ∈），其中d 为常数且0d ≠．（1）设11a d ==，求数列{}n a 的通项公式，并求1lim(1)n na →∞-的值； （2）设2d =，77S =-，是否存在正整数k 使得数列{}n n S ⋅中的项k k S ⋅<求出满足条件k 的所有值；若不存在，请说明理由．（3）求证：数列{}n a 中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数m 且1m ≥-，使得1a md =．（1）n a n =（*N n ∈）；1lim(1)n na →∞-=1；（2）存在；k 的值为1,2,3,4,5,6,7,8；（3）证明见解析． （1）利用已知条件得数列{}n a 是以1为首项、1为公差的等差数列，求出通项公式，取极限即可；（2）利用等差数列的前n 项和公式先得到4a ，再求出1a，利用等差数列的前n 项和公式得到328n n S n n ⋅=-，即3228(8)k k S k k k k ⋅=-=-，即可求出满足条件k 的所有值；（3）①先证必要性：存在k ，使得s t k a a a +=，利用等差数列的通项公式得到1(1)a k s t d =--+，故存在m ，使得1m k s t =--+，使得1a md =，m Z ∈．运用反证法．证明即可；②再证充分性：当1a md =，1m ≥-，m Z ∈，任取等差数列{}n a 中不同的两项s a 和t a （s t ≠），利用等差数列的通项公式得到11(2)s t m a s t m d a ++-+++-= 满足题意.（1）由11n n a a +-=，得数列{}n a 是以1为首项、1为公差的等差数列．故n a n =（*N n ∈）；1lim(1)n n a →∞-=1lim(1)1n n→∞-=．（2）{}n a是等差数列，7477S a ==-， 得41a =-，又因为2d =， 所以17a =-． 故221()822n d dS n a n n n =+-=-， 所以328n n S n n ⋅=-（*N n ∈），3228(8)k k S k k k k ⋅=-=-<， 当k =1,2,3,4,5,6,7,8时，0k k S ⋅≤<，不等式成立；当29,k k k S k ≥⋅≥>所以满足条件的所有的k 的值为1,2,3,4,5,6,7,8．（3）①先证必要性：任取等差数列{}n a 中不同的两项s a 和t a （s t ≠）， 存在k ，使得s t k a a a +=， 则112(2)(1)a s t d a k d ++-=+-， 得1(1)a k s t d =--+，故存在m ， 使得1m k s t =--+， 使得1a md =，m Z ∈． 再证1m ≥-：运用反证法． 假设当0d ≠时，1m ≥-不成立， 则1m <-恒成立．对于不同的两项1a 、2a ，应存在l a ， 使得12l a a a +=，即(21)(1)m d md l d +=+-，故2l m =+，又因为m 是小于1-的整数， 故0l ≤．所以假设不成立， 故1m ≥-．②再证充分性：当1a md =，1m ≥-，m Z ∈， 任取等差数列{}n a 中不同的两项s a 和t a （s t ≠），s t a a +=112(2)(2)a s t d a s t m d ++-=+++-，因为20s t m ++-≥且2s t m Z ++-∈， 所以11(2)s t m a s t m d a ++-+++-=， 综上①②可得，等差数列{}n a 中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数m 且1m ≥-，使得1a md =得证．21. 已知函数()f x 22,0log ,0x x x x ⎧≤=⎨>⎩，（1）解不等式()0x f x ⋅≤；（2）设k 、m 均为实数，当(,]x m ∈-∞时，()f x 的最大值为1，且满足此条件的任意实数x 及m 的值，使得关于x 的不等式2()(2)310f x m k m k ≤--+-恒成立，求k 的取值范围；（3）设t 为实数，若关于x 的方程[]2()log ()0f f x t x --=恰有两个不相等的实数根1x 、2x 且12x x <，试将1221212log 211x x x x ++--+-表示为关于t 的函数，并写出此函数的定义域．（1）(,1]-∞；（2）4k ≥；（3）1221212log 211x x x x ++--+-1t t=+；函数的定义域为(]1,3．（1）根据函数()f x 22,0log ,0x x x x ⎧≤=⎨>⎩，分0x ≤，0x >讨论求解.（2）由(,]x m ∈-∞时，max ()f x =1，得到02m ≤≤，根据不等式2()(2)310f x m k m k ≤--+-恒成立，转化为4(3)83k m m ≥-++-对于任意的[0,2]m ∈都成立求解.（3）易得()()22,1()log log ,1x x f f x x x ≤⎧=⎨>⎩，分1x ≤，1x >，将原方程分别转化为 2x t x =-，2log x t x =-求解.【详解】（1）当0x ≤时，()2x f x =，代入()0x f x ⋅≤，得20x x ⋅≤， 因为20x >， 所以0x ≤；当0x >时，2()log f x x =，代入()0x f x ⋅≤，得2log 0x x ⋅≤，所以2log 0x ≤， 解得01x <≤．故原不等式的解集为(,1]-∞． （2）当(,]x m ∈-∞时，max ()f x =1，故02m ≤≤． 要使得不等式2()(2)310f x m k m k ≤--+-恒成立，需使2(2)310m k m k --+-1≥， 即2(2)3110m k m k --+-≥对于任意的[0,2]m ∈都成立．因为133m ≤-≤， 所以4(3)83k m m ≥-++-对于任意的[0,2]m ∈都成立． 由30m ->，403m <-得4(3)84843m m -++≤-+=-（当且仅当1m =时，等号成立） 所以4k ≥（3）由函数()f x 22,0log ,0x x x x ⎧≤=⎨>⎩，得()()22,1()log log ,1x x f f x x x ≤⎧=⎨>⎩， ①若1x ≤，则方程[]2()log ()0f f x t x --=变为x =2log ()t x -，即2x t x =-，且13t <≤； ②若1x >，则方程[]2()log ()0f f x t x --=变为()222log log log ()x t x =-，即2log x t x =-，且1t > 于是1x 、2x 分别是方程2x t x =-、2log x t x =-的两个根且121x x t ≤<< 由于函数2log y x =与2x y =的图像关于直线y x =对称，故12x x t +=122122log 2()x x t x x t +=-+=，121211x x --+-1t=故1221212log 211x x x x ++--+-1t t=+此函数的定义域为(]1,3【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<； 若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<；。
★试卷4套汇总★上海市普陀区2021年新高考数学教学质量检测试题
2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若[]1,6a ∈，则函数2x ay x+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是（ ）A ．45 B ．35 C ．25 D ．152．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21B ．42C ．63D ．843．双曲线2212y x -=的渐近线方程为（ ）A ．32y x =±B ．y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±4．设命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为 A ．,a b R ∀∈，a b a b -≥+ B ．,a b R ∃∈，a b a b -<+ C ．,a b R ∃∈，a b a b ->+D ．,a b R ∃∈，a b a b -≥+5．函数22cos x xy x x--=-的图像大致为（ ）.A ．B ．C ．D ．圆22221x y a b+=的焦距为2，则双曲线的标准方程为（ ） A ．22143x y -=B ．22143y x -=C ．22123x y -=D ．22132y x -=7．若()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x +=-，则 A ．()f x 的值域为RB ．()f x 为周期函数，且6为其一个周期C ．()f x 的图像关于2x =对称D ．函数()f x 的零点有无穷多个8．已知直线y ＝k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，直线y ＝2k （x ﹣2）与抛物线D ：y 2＝8x 交于M ，N 两点，设λ＝|AB|﹣2|MN|，则（ ） A ．λ＜﹣16B ．λ＝﹣16C ．﹣12＜λ＜0D ．λ＝﹣129．若0,0x y >>，则“222x y xy +=”的一个充分不必要条件是 A ．x y = B ．2x y = C ．2x =且1y =D ．x y =或1y =10．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则x y +=（ ）A ．170B ．10C ．172D ．1211．等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，则数列{}n a 的前n 项和n S *()n N ∈中最小的是（ ）A ．7S 或8SB ．12SC ．13SD ．14S12．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ） A ．12B ．45C ．38D ．34二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市普陀区2021届新高考二诊数学试题含解析
上海市普陀区2021届新高考二诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．8x ⎛- ⎝的二项展开式中，2x 的系数是（ ）A ．70B ．-70C ．28D ．-28【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，二项展开式的通项为3882188((1)r r rr r rr T C xC x --+==-，令38242r r -=⇒=，所以2x 的系数是448(1)70C -=，故选A ．考点：二项式定理的应用．2．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（ ） A ．4 B ．6C ．3D ．8【答案】A 【解析】 【分析】根据所给函数解析式满足的等量关系及指数幂运算，可得()()m f f n f m n ⎛⎫+=⎪⎝⎭；利用定义可证明函数()f x 的单调性，由赋值法即可求得函数()f x 在[]1,16上的最大值.【详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫⎪⎝⎭⋅=，则()()m f f n f m n ⎛⎫+=⎪⎝⎭； 任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则1201x x <<， 故120x f x ⎛⎫<⎪⎝⎭， 令1m x =，2n x =，则()()1212x f f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()()11220x f x f x f x ⎛⎫-=<⎪⎝⎭， 故函数()f x 在()0,∞+上单调递增， 故()()max 16f x f =， 令16m =，4n =，故()()()44164f f f +==， 故函数()f x 在[]1,16上的最大值为4. 故选：A. 【点睛】本题考查了指数幂的运算及化简，利用定义证明抽象函数的单调性，赋值法在抽象函数求值中的应用，属于中档题.3．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.4．如图，在ABC V 中，,(,),2AD AB BD xAB yAC x y R AD ⊥=+∈=u u u v u u u v u u u v u u u v ，且12AC AD ⋅=u u u v u u u v，则2x y +=（ ）A ．1B ．23-C ．13-D ．34-【答案】C 【解析】 【分析】由题可0,12AD AB AC AD ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以将已知式子中的向量用AD AB AC u u u r u u u r u u u r ，，表示，可得到的,x y 关系，再由,,B D C 三点共线，又得到一个关于,x y 的关系，从而可求得答案 【详解】由BD xAB yAC =+u u u v u u u v r r u u u v ，则(1),[(](1)AD x AB y AC AD AD AD x AB y AC x AD AB y AD AC =++⋅=⋅++=+⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，即412y =，所以13y =，又,,B D C 共线，则1111,,233x y x x y ++==-+=-. 故选：C 【点睛】此题考查的是平面向量基本定理的有关知识，结合图形寻找各向量间的关系，属于中档题. 5． “11x y -≤+≤且11x y -≤-≤”是“221x y +≤”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】画出“11x y -≤+≤,11x y -≤-≤,221x y +≤,所表示的平面区域,即可进行判断.【详解】如图，“11x y -≤+≤且11x y -≤-≤”表示的区域是如图所示的正方形，记为集合P ，“221x y +≤”表示的区域是单位圆及其内部，记为集合Q ，显然P 是Q 的真子集,所以答案是充分非必要条件， 故选:A .【点睛】本题考查了不等式表示的平面区域问题,考查命题的充分条件和必要条件的判断,难度较易. 6．已知命题:p x R ∀∈，20x >，则p ⌝是（ ） A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．0x ∃∈R ，200x ≤.C ．0x ∃∈R ，200x >D ．x ∀∉R ，20x ≤.【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题，得到结果. 【详解】根据全称命题的否定为特称命题，可得0:p x R ⌝∃∈，200x ≤本题正确选项：B 【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.7．已知平面向量()4,2a →=，(),3b x →=，//a b →→，则实数x 的值等于（ ） A ．6 B ．1C ．32D ．32-【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】()4,2a →=Q ，(),3b x →=，//a b →→，432x ∴⨯=，即6x =， 故选：A 【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标运算，属于容易题. 8．已知函数()()sin 06f x A x a a A ωπ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在区间70,3ωπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有三个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，若123523x x x π++=，则()f x 的最小正周期为（ ） A ．2πB ．23πC ．πD ．43π【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，知当7π3x ω=时，π5π62x ω+=，由对称轴的性质可知122π3x x ω+=和238π3x x ω+=，即可求出w ，即可求出()f x 的最小正周期. 【详解】解：由于()()sin 06f x A x a a A ωπ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在区间70,3ωπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有三个零点1x ，2x ，3x ， 当7π3x ω=时，π5π62x ω+=， ∴由对称轴可知1x ，2x 满足12πππ2662x x ωω+++=⨯， 即122π3x x ω+=. 同理2x ，3x 满足23ππ3π2662x x ωω+++=⨯，即238π3x x ω+=， ∴12310π5π233x x x ω++==，2ω=， 所以最小正周期为：2ππ2T ==. 故选：C. 【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期，涉及函数的对称性的应用，考查计算能力.9积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A ．212- B ．212+ C ．612- D ．312- 【答案】D 【解析】因为蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，又因为鸡蛋的体积为4π3，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离13142d =-=，而截面到球体最低点距离为312-，而蛋巢的高度为12，故球体到蛋巢底面的最短距离为13311222⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭. 点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的. 10．已知函数()2cos sin 6f x x x m π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭（m ∈R ）的部分图象如图所示.则0x =（ ）A ．32π B ．56π C ．76π D ．43π-【答案】C 【解析】 【分析】由图象可知213f π⎛⎫=-⎪⎝⎭,可解得12m =-,利用三角恒等变换化简解析式可得()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令()=0f x ,即可求得0x .依题意，213f π⎛⎫=-⎪⎝⎭，即252cos sin 136m ππ⋅+=-,解得12m =-；因为()1112cos sin 2cos cos 6222f x x x x x x π⎫⎛⎫=⋅+-=⋅+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭211cos cos 2cos 2sin 2226x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭ 所以02262x k πππ+=+，当1k =时，076x π=. 故选:C. 【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解析式和已知函数值求自变量,考查三角恒等变换在三角函数化简中的应用,难度一般.11．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当()1,0x ∈-时，()433xf x =+，则33log 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2-B ．3C ．3-D ．2【答案】D 【解析】 【分析】 判断321log 03-<<，利用函数的奇偶性代入计算得到答案. 【详解】 ∵321log 03-<<，∴33332224log log log 223333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.12．设复数z 满足|3|2z -=，z 在复平面内对应的点为(,)M a b ，则M 不可能为（ ）A ．B ．(3,2)C ．(5,0)D ．(4,1)【答案】D 【解析】 【分析】依题意，设z a bi =+，由|3|2z -=，得22(3)4a b -+=，再一一验证.设z a bi =+， 因为|3|2z -=， 所以22(3)4a b -+=， 经验证(4,1)M 不满足， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了复数的概念、复数的几何意义，还考查了推理论证能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。