【精品】2017年江苏省苏州市常熟中学高考数学二模试卷含答案

2017年江苏省苏州市常熟中学高考数学二模试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）已知全集U=Z，集合A={x|0＜x＜5，x∈U}，B={x|x≤1，X∈U}，则A∩（∁U B）=．2．（5分）若复数z的共轭复数满足，则复数z的虚部是．3．（5分）双曲线的准线方程是．4．（5分）某校共有学生1800人，现从中随机抽取一个50人的样本，以估计该校学生的身体状况，测得样本身高小于195cm的频率分布直方图如图，由此估计该校身高不小于175的人数是．5．（5分）命题“∀x＞2，都有x2＞2”的否定是．6．（5分）如图中流程图的运行结果是．7．（5分）口袋中有大小相同的5个小球，小球上分别标有数字1，1，2，2，4，一次从中取出两个小球，则取出的两个小球上所标数字之积为4的概率是．8．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=10，S4=28，数列的前n项和为T n，则T2017=．9．（5分）将函数y=sinxcosx的图象向右平移m（m＞0）个单位，所得曲线的对称轴与函数的图象的对称轴重合，则实数m的最小值为．10．（5分）如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，直线BE与边AC交于点F，若AD=BC=6，则=．11．（5分）已知直线l1：x﹣2y=0的倾斜角为α，倾斜角为2α的直线l2与圆M：x2+y2+2x﹣2y+F=0交于A、C两点，其中A（﹣1，0）、B、D在圆M上，且位于直线l2的两侧，则四边形ABCD的面积的最大值是．12．（5分）已知四面体ABCD的底面BCD是边长为2的等边三角形，AB=AC=3，则当棱AD长为时，四面体ABCD的体积最大．13．（5分）已知函数f（x），g（x）是定义在R上的一个奇函数和偶函数，且f （x﹣1）+g（x﹣1）=2x，则函数f（x）=．14．（5分）已知b≥a＞0，若存在实数x，y满足0≤x≤a，0≤y≤b，（x﹣a）2+（y﹣b）2=x2+b2=a2+y2，则的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．（14分）已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若sinB=acosC．，（1）求的值；（2）若M为边BC的中点，，求角B的大小．16．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，侧面C1CBB1是矩形．（1）D是棱B1C1上一点，AC1∥平面A1BD，求证：D为B1C1的中点；（2）若A1B⊥AC1，求证：平面A1ABB1⊥平面C1CBB1．17．（14分）已知椭圆C：的离心率为，焦距为2，直线y=kx（x≠0）与椭圆C交于A，B两点，M为其右准线与x轴的交点，直线AM，BM分别与椭圆C交于A1，B1两点，记直线A1B1的斜率为k1（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在常数λ，使得k1=λk恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．18．（16分）数列{a n}满足，n=1，2，3，…．（1）求a3，a4，并求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，记F（m，n）=，求证：m＜n，F （m，n）＜4对任意的；（3）设S k=a1+a3+a5+…+a2k﹣1，T k=a2+a4+a6+…+a2k，W k=，求使W k＞1的所有k的值，并说明理由．19．（16分）某冰淇淋店要派车到100千米外的冷饮加工厂原料，再加工成冰淇淋后售出，已知汽车每小时的运行成本F（单位：元）与其自重m（包括车子、驾驶员及所载货物等的质量，单位：千克）和车速v（单位：千米/小时）之间满足关系式：．在运输途中，每千克冷饮每小时的冷藏费为10元，每千克冷饮经过冰淇淋店再加工后，可获利100元．若汽车重量（包括驾驶员等，不含货物）为1.3吨，最大载重为1吨．汽车来回的速度为v（单位：千米/小时），且最大车速为80千米，一次进货x千克，而且冰淇淋供不应求．（1）求冰淇淋店进一次货，经加工售卖后所得净利润w与车速v和进货量x之间的关系式；（2）每次至少进货多少千克，才能使得销售后不会亏本（净利润w≥0）？（3）当一次进货量x与车速v分别为多少时，能使得冰淇淋店有最大净利润？并求出最大值．（提示：）20．（16分）已知函数（e为自然对数的底数，m∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）当时，求证：∀x＞0，f（x）＜x2lnx恒成立；（3）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）的根的个数，并证明你的结论．2017年高考熟中模拟卷B.选修4-2：矩阵与变换21．（10分）已知矩阵M对应的变换将点（﹣5，﹣7）变换为（2，1），其逆矩阵M﹣1有特征值﹣1，对应的一个特征向量为，求矩阵M．C.选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系，已知曲线C1的参数方程为，（，α为参数），曲线C2的极坐标方程为，求曲线C1与曲线C2的交点的直角坐标．【必做题】第22题、第23题，每题10分共计20分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.23．（10分）在英国的某一娱乐节目中，有一种过关游戏，规则如下：转动图中转盘（一个圆盘四等分，在每块区域内分别标有数字1，2，3，4），由转盘停止时指针所指数字决定是否过关．在闯n关时，转n次，当次转得数字之和大于n2时，算闯关成功，并继续闯关，否则停止闯关，闯过第一关能获得10欧元，之后每多闯一关，奖金翻倍．假设每个参与者都会持续闯关到不能过关为止，并且转盘每次转出结果相互独立．（1）求某人参加一次游戏，恰好获得10欧元的概率；（2）某人参加一次游戏，获得奖金X欧元，求X的概率分布和数学期望．24．（10分）（1）证明：；（2）证明：；（3）证明：．2017年江苏省苏州市常熟中学高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）已知全集U=Z，集合A={x|0＜x＜5，x∈U}，B={x|x≤1，X∈U}，则A∩（∁U B）={2，3，4} ．【解答】解：A={x|0＜x＜5，x∈U}={1，2，3，4}，B={x|x≤1，X∈U}，则∁U B={x|x＞1，X∈U}={2，3，4，5，…}，则A∩（∁U B）={2，3，4}，故答案为：{2，3，4}2．（5分）若复数z的共轭复数满足，则复数z的虚部是3．【解答】解：∵，∴﹣i••i=﹣i（3+4i），∴=4﹣3i．∴z=4+3i．∴复数z的虚部是3．故答案为：3．3．（5分）双曲线的准线方程是y=．【解答】解：双曲线，可得a=1，b=，c=2，双曲线的准线方程为：y=±．故答案为：y=．4．（5分）某校共有学生1800人，现从中随机抽取一个50人的样本，以估计该校学生的身体状况，测得样本身高小于195cm的频率分布直方图如图，由此估计该校身高不小于175的人数是288．【解答】解：由频率分布直方图得样本身高不小于175cm的频率为：（0.012+0.004）×10=0.16，∴估计该校身高不小于175cm的人数是：1800×0.16=288．故答案为：288．5．（5分）命题“∀x＞2，都有x2＞2”的否定是∃x0＞2，x02≤2．【解答】解：命题“∀x＞2，x2＞2”是全称命题，其否定是：∃x0＞2，x02≤2．故答案为：∃x0＞2，x02≤2．6．（5分）如图中流程图的运行结果是6．【解答】解：第一次，S=1，i=2，S＞10不成立，第二次，S=1+2=3，i=3，S＞10不成立，第三次，S=3+3=6，i=4，S＞10不成立第四次，S=6+4=10，i=5，S＞10不成立第五次，S=10+5=15，i=6，S＞10成立，输出i=6，故答案为：67．（5分）口袋中有大小相同的5个小球，小球上分别标有数字1，1，2，2，4，一次从中取出两个小球，则取出的两个小球上所标数字之积为4的概率是．【解答】解：∵口袋中有大小相同的5个小球，小球上分别标有数字1，1，2，2，4，一次从中取出两个小球，基本事件总数n=，取出的两个小球上所标数字之积包含的基本事件有：（1，4），（1，4），（2，2），共3个，∴取出的两个小球上所标数字之积为4的概率p=．故答案为：．8．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=10，S4=28，数列的前n项和为T n，则T2017=．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=10，S4=28，可得a1+a4=14，解得a1=4，10=4+3d，解得d=2，S n=4n+=n2+3n，==，T n=+…+=，则T2017==．故答案为：．9．（5分）将函数y=sinxcosx的图象向右平移m（m＞0）个单位，所得曲线的对称轴与函数的图象的对称轴重合，则实数m的最小值为．【解答】解：将函数y=sinxcosx=sin2x的图象向右平移m（m＞0）个单位，所得曲线的对称轴与函数的图象的对称轴重合，即2（x﹣m）=k，得到x=，k∈Z；，得到x=，k1∈Z；由题意x==，k，k1∈Z所以实数m的最小值为；故答案为：．10．（5分）如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，直线BE与边AC交于点F，若AD=BC=6，则=﹣18．【解答】解：以BC为x轴，以BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设∠ADC=α，则A（6cosα，6sinα），E（3cosα，3sinα），C（3，0），B（﹣3，0），设F（a，b），则，解得a=4cosα+1，b=4sinα，∴=（﹣3﹣6cosα，﹣6sinα），=（4cosα﹣2，4sinα），∴=（﹣3﹣6cosα）（4cosα﹣2）﹣24sin2α=﹣24cos2α+6﹣24sin2α=6﹣24=﹣18．故答案为：﹣18．11．（5分）已知直线l1：x﹣2y=0的倾斜角为α，倾斜角为2α的直线l2与圆M：x2+y2+2x﹣2y+F=0交于A、C两点，其中A（﹣1，0）、B、D在圆M上，且位于直线l2的两侧，则四边形ABCD的面积的最大值是．【解答】解：直线l1：x﹣2y=0的倾斜角为α，则tanα=，∴直线l2的斜率k=tan2α=．则直线l2的方程为y﹣0=（x+1），即4x﹣3y+4=0．又A（﹣1，0）在圆上，∴（﹣1）2﹣2+F=0，得F=1，∴圆的方程为x2+y2+2x﹣2y+1=0，化为标准方程：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆心（﹣1，1），半径r=1．直线l2与圆M相交于A，C两点，由点到直线的距离公式得弦心距d=，由勾股定理得半弦长=，弦长|AC|=2×=．又B，D两点在圆上，并且位于直线l2的两侧，四边形ABCD的面积可以看成是两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，如图所示，当BD为弦AC的垂直平分线时（即为直径时），两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，最大面积为：S=|AC|×|BE|+|AC|×|DE|=|AC|×|BD|=××2=，故答案为：．12．（5分）已知四面体ABCD的底面BCD是边长为2的等边三角形，AB=AC=3，则当棱AD长为时，四面体ABCD的体积最大．【解答】解：取BC的中点E，连结AE，DE，∵AB=AC，BD=CD，∴BC⊥AE，BC⊥DE，∴∠AED为二面角A﹣BC﹣D的平面角，∴A到平面BCD的距离d=AE•sin∠AED，显然当∠AED=90°时，四面体体积最大．此时，AE==2，DE==，∴AD==．故答案为：．13．（5分）已知函数f（x），g（x）是定义在R上的一个奇函数和偶函数，且f （x﹣1）+g（x﹣1）=2x，则函数f（x）=2x﹣2﹣x．【解答】解：根据题意，f（x﹣1）+g（x﹣1）=2x，则f（x）+g（x）=2x+1，①，进而有f（﹣x）+g（﹣x）=2﹣x+1，又由函数f（x），g（x）是定义在R上的一个奇函数和偶函数，则有f（﹣x）+g（﹣x）=﹣f（x）+g（x），即有﹣f（x）+g（x）=2﹣x+1，②，联立①②可得：f（x）=（2x+1﹣2﹣x+1）=2x﹣2﹣x，即f（x）=2x﹣2﹣x，故答案为：2x﹣2﹣x14．（5分）已知b≥a＞0，若存在实数x，y满足0≤x≤a，0≤y≤b，（x﹣a）2+（y﹣b）2=x2+b2=a2+y2，则的最大值为．【解答】解：如图设A（0，b），B（x，0），C（a，b﹣y）∵（x﹣a）2+（y﹣b）2=x2+b2=a2+y2∴△ABC为等边△，设△ABC边长为m，∠OAB=θ，（0）过C作CH⊥x轴与H，则∠ACH=θ﹣，∴b=mcosθ∴∴当θ=0时，故答案为：二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．（14分）已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若sinB=acosC．，（1）求的值；（2）若M为边BC的中点，，求角B的大小．【解答】解：（1）由△ABC的外接圆半径为1，及正弦定理得a=2RsinA=2sinA，∴sinB=acosC变形为：sin（A+C）=2sinAcosC⇒sinAcosC﹣cosAsinC=0sin（A﹣C）=0，∵A﹣C∈（﹣π，π），∴A﹣C=0，∴a=c，∴的值为1（2）∵M为边BC的中点，∴∴⇔又∵，a=c∴⇒⇒b=∴cosB=，∵B∈（0，π），∴角B的大小为．16．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，侧面C1CBB1是矩形．（1）D是棱B1C1上一点，AC1∥平面A1BD，求证：D为B1C1的中点；（2）若A1B⊥AC1，求证：平面A1ABB1⊥平面C1CBB1．【解答】证明：（1）连结AB1交A1B于E，连结DE．∵AC1∥平面A1BD，AC1⊂平面AB1C1，平面AB1C1∩平面A1BD=DE，∴AC1∥DE，∵侧面A1ABB1是菱形，∴E是AB1的中点，∴D是B1C1的中点．（2）∵侧面A 1ABB1是菱形，∴AB1⊥A1B，又A1B⊥AC1，AB1∩AC1=A，AB1⊂平面AB1C1，AC1⊂平面AB1C1，∴A1B⊥平面AB1C1，又B1C1⊂平面AB1C1，∴A1B⊥B1C1，∵侧面C1CBB1是矩形，∴B1C1⊥BB1，又BB1∩A1B=B，BB1⊂平面A1ABB1，A1B⊂平面A1ABB1，∴B1C1⊥平面A1ABB1．∵B1C1⊂平面C1CBB1，∴平面A1ABB1⊥平面C1CBB1．17．（14分）已知椭圆C：的离心率为，焦距为2，直线y=kx（x≠0）与椭圆C交于A，B两点，M为其右准线与x轴的交点，直线AM，BM分别与椭圆C交于A1，B1两点，记直线A1B1的斜率为k1（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在常数λ，使得k1=λk恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由椭圆的焦距2c=2，则c=1，双曲线的离心率e==，则a=，则b2=a2﹣c2=1，∴椭圆的标准方程：；（2）设A（x0，y0），则2y02=2﹣y02，则B（﹣x0，﹣y0），k=，右准线方程x=2，则M（2，0），直线AM的方程为y=（x﹣2），，整理得：（x0﹣2）2x2+2y02（x﹣2）2﹣2（x0﹣2）2=0，该方程两个根为x 0，，•===•x0，∴x则=，=（﹣2）=，则A1（，），同理可得B1（，﹣），则k1==﹣3k，即存在λ=﹣3，使得k1=λk恒成立．18．（16分）数列{a n}满足，n=1，2，3，…．（1）求a3，a4，并求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，记F（m，n）=，求证：m＜n，F（m，n）＜4对任意的；（3）设S k=a1+a3+a5+…+a2k﹣1，T k=a2+a4+a6+…+a2k，W k=，求使W k＞1的所有k的值，并说明理由．【解答】（1）解：a3=a1+4=4，a4=2a2=4．当n=2k，k∈N*时，a2k+2=2a2k，∴数列{a2k}是首项与公比都为2的等比数列．∴．即n=2k，k∈N*时，a n=．当n=2k﹣1，k∈N*时，a2k=a2k﹣1+4，∴数列{a2k﹣1}是首项为0，公差为4的等差+1数列．∴a2k=4（k﹣1）．即n=2k﹣1，k∈N*时，a n=2n﹣2．﹣1综上可得：a3=4，a4=4．a n=，k∈N*．（2）证明：b n==，设数列{b n}的前n项和为A n，则A n=0+1+++…+，A n=++…++，∴=1++…+﹣=﹣，∴A n=4﹣＜4．∵b n≥0，∴F（m，n）≤A n，故对任意的m＜n，F（m，n）＜4．（3）解：S k=a1+a3+a5+…+a2k﹣1==2k（k﹣1），T k=a2+a4+a6+…+a2k==2k+1﹣2．W k==，∴W1=0，W2=1，W3=＞1，W4=＞1，W5=＞1，W6=＜1．k≥6时，W k+1﹣W k=﹣=＜0，∴当k≥6时，W k+1＜W k．∴当k≥6时，W k+1≤W6＜1．综上可得：使W k＞1的所有k的值为3，4，5．19．（16分）某冰淇淋店要派车到100千米外的冷饮加工厂原料，再加工成冰淇淋后售出，已知汽车每小时的运行成本F（单位：元）与其自重m（包括车子、驾驶员及所载货物等的质量，单位：千克）和车速v（单位：千米/小时）之间满足关系式：．在运输途中，每千克冷饮每小时的冷藏费为10元，每千克冷饮经过冰淇淋店再加工后，可获利100元．若汽车重量（包括驾驶员等，不含货物）为1.3吨，最大载重为1吨．汽车来回的速度为v（单位：千米/小时），且最大车速为80千米，一次进货x千克，而且冰淇淋供不应求．（1）求冰淇淋店进一次货，经加工售卖后所得净利润w与车速v和进货量x之间的关系式；（2）每次至少进货多少千克，才能使得销售后不会亏本（净利润w≥0）？（3）当一次进货量x与车速v分别为多少时，能使得冰淇淋店有最大净利润？并求出最大值．（提示：）【解答】解：（1）汽车来回一次的运行成本为×1300v2×+×（1300+x）v2×=（2600+x）v，冷藏成本为10x×=，∴W=100x﹣（2600+x）v﹣．（2）∵（2600+x）v+≥2=5•，∴W≤100x﹣5•，当且仅当（2600+x）v=即v=40•时取等号．令100x﹣5•≥0，得2≥，解得x≥，当x=时，v=40•=20∈（0，80]，∴每次至少进货千克，才可能使销售后不会亏本．（3）由（2）可知W≤100x﹣5•=5（2x﹣•），x∈[，1000]，设f（x）=2x﹣•，则f′（x）=2﹣（•+）=2﹣（+），∵x∈[，1000]，∴=∈[，2]，∵函数y=x+在[，2]上单调递增，∴当=2时，+取得最大值，∴f′（x）≥2﹣＞0，∴f（x）在[，1000]上单调递增，∴当x=1000时，f（x）取得最大值f（1000）=1400，此时v=40•=∈（0，80]，∴W的最大值为5×1400=70000．∴当一次进货量为1000千克，车速为千米/时时，冰淇淋店有最大净利润70000元．20．（16分）已知函数（e为自然对数的底数，m∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）当时，求证：∀x＞0，f（x）＜x2lnx恒成立；（3）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）的根的个数，并证明你的结论．【解答】解：（1）f′（x）=，由f′（x）=0得x=1，x＜1时，f′（x）＞0，x＞1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，1]递增，在[1，+∞）递减，f（x）极大值=f（1）=+m，无极小值；（2）由（1）得：x＞0时，f（x）≤+m=﹣，当且仅当x=1时取“=”，设g（x）=x2lnx，则g′（x）=x（2lnx+1），由g′（x）=0解得：x=，x＜时，g′（x）＜0，x＞时，g′（x）＞0，故g（x）在（0，]递减，在[，+∞）递增，当且仅当x=时，g（x）min=﹣；∴f（x）≤﹣≤g（x），两等号不同时取，故∀x＞0，f（x）＜x2lnx恒成立；（3）设F（x）=f（x）﹣|lnx|，∴F（x）=f（x）﹣lnx，x≥1，∵f（x），﹣lnx都在[1，+∞）递减，∴F（x）在[1，+∞）递减，∵F（1）=+m，∴m=﹣时，F（x）在[1，+∞）恰有1个零点x=1，当m＜﹣时，∀x≥1，F（x）≤F（1）＜0，∴F（x）在[1，+∞）无零点，当m＞﹣时，F（1）＞0，∀x＞1，F（x）＜+m﹣lnx，显然＞1，∴F（）＜+m﹣ln=0，∴F（x）的图象不间断，∴F（x）在[1，+∞）恰有1个零点，且不是1，当0＜x＜1时，F（x）=f（x）+lnx，∵f（x），lnx都在（0，1]递增，∴F（x）在（0，1]递增，∵F（1）=+m，∴m≤﹣时，∀0＜x＜1，F（x）＜F（1）≤0，∴F（x）在（0，1）无零点，当m＞﹣时，F（1）＞0，∀0＜x＜1，F（x）＜＜+m+lnx，显然∈（0，1），∴F（）＜+m+ln=0，∵F（x）的图象不间断，∴F（x）在（0，1）恰有1个零点，综上，m=﹣时，方程|lnx|=f（x）恰有1个实根，m＜﹣时，方程|lnx|=f（x）无实根，m＞﹣时，方程|lnx|=f（x）有2个不同的实根．2017年高考熟中模拟卷B.选修4-2：矩阵与变换21．（10分）已知矩阵M对应的变换将点（﹣5，﹣7）变换为（2，1），其逆矩阵M﹣1有特征值﹣1，对应的一个特征向量为，求矩阵M．【解答】解：由题意可知：M=，M﹣1=，∴M﹣1=，设M﹣1=，则=，=，则，解得：，则M﹣1=，det（M﹣1）=﹣20+18=﹣2，则M=．∴矩阵M=．C.选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系，已知曲线C1的参数方程为，（，α为参数），曲线C2的极坐标方程为，求曲线C1与曲线C2的交点的直角坐标．【解答】解：∵曲线C1的参数方程为，（，α为参数），∴曲线C1的普通方程为y=1﹣2x2，x∈[0，1]，∵曲线C2的极坐标方程为，∴曲线C2的直角坐标方程为y=﹣，两方程联立：，得2﹣x﹣=0，解得，，∵x∈[0，1]，∴，y=﹣，∴曲线C1与曲线C2的交点的直角坐标为（）．【必做题】第22题、第23题，每题10分共计20分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.23．（10分）在英国的某一娱乐节目中，有一种过关游戏，规则如下：转动图中转盘（一个圆盘四等分，在每块区域内分别标有数字1，2，3，4），由转盘停止时指针所指数字决定是否过关．在闯n关时，转n次，当次转得数字之和大于n2时，算闯关成功，并继续闯关，否则停止闯关，闯过第一关能获得10欧元，之后每多闯一关，奖金翻倍．假设每个参与者都会持续闯关到不能过关为止，并且转盘每次转出结果相互独立．（1）求某人参加一次游戏，恰好获得10欧元的概率；（2）某人参加一次游戏，获得奖金X欧元，求X的概率分布和数学期望．【解答】解：（1）记“某人参加一次游戏，恰好获得10欧元”为事件A，由题意知，他只闯过了第一关，没有过第二关，因此，他第一关转得了2、3、4中的一个，第二关转得了（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2）中的一个，∴所求的概率为P（A）=×（5×）=；（2）根据题意，X的所有可能取值为0，10，20，40；计算P（X=0）=，P（X=10）=，P（X=20）=××=，P（X=40）=××=，∴X的概率分布为：数学期望为：E（X）=0×+10×+20×+40×=．24．（10分）（1）证明：；（2）证明：；（3）证明：．【解答】证明：（1）（k+1）=（k+1）•==（n+1）．（2）由（1）可得：=，∴左边==（﹣1）k+1=[（1﹣1）n+1﹣1]==右边．∴．（3）==+由（2）可知：==．设f（n）=，则f（1）=1，=f（n﹣1）．∴f（n）﹣f（n﹣1）=．∴n≥2时，f（n）=f（1）+f（2）﹣f（1）+…+f（n）﹣f（n﹣1）=1++…+．n=1时也成立．∴f（n）=1++…+．n∈N*．即：．赠送—高考物理解答题规范化要求物理计算题可以综合地考查学生的知识和能力，在高考物理试题中，计算题在物理部分中的所占的比分很大(60%)，单题的分值也很高。

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江苏省常熟市2017年中考数学二模试卷及答案 (1)

2017-2018学年第二学期二模试卷初三数学一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的，请你把答案填在答题卷上） 1．－15的倒数是（▲ ）A ．5 B ．－5 C ．15D ．－152. 下列各式计算正确的是（ ▲ ）A ．－14＝4B ．－2a ＋3b ＝－5abC ．－8ab÷(－2a)＝－4D ．－2×3＝－63．某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（▲ ）A ．中位数是4，平均数是3.75B ．众数是4，平均数是3.75C ．中位数是4，平均数是3.8D ．众数是2，平均数是3.8 4.长江是中国第一长河，是世界第三长，中国科学院利用卫星遥感影像测量计算，测出长江长度为6 397 000米．6 397 000这个数字用科学记数法表示为（ ▲ ） A ．6．397×104 B ．6．397×105 C ．6．397×106 D ．6．397×107 5．从2，3，4，5中任意选两个数，记作a 和b ，那么点（a ，b ）在函数y=图象上的概率是（ ▲ ） A ． B ． C ．D ．6．将直线y =－2x 向下平移两个单位，所得的直线是（ ▲ ）A ．y =－2x +2B ．y =－2x －2C ．y =－2(x －2)D ．y =－2(x +2) 7．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ▲ ）A ．等边三角形B ．平行四边形C ．正方形D ．正五边形 8．已知圆锥的底面半径为4cm ，母线长为5cm ，则这个圆锥的侧面积是（ ▲ ）． A ．20πcm 2 B ．20 cm C ．40πcm 2 D ．40cm 29. 抛物线2y ax bx c =++的顶点为D(一1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(一3，0)和(一2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①240b ac -<；②0a b c ++<；③c —a=2；④方程220ax bx c ++-=有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（ ▲ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第9题第10题第11题10．如图，在矩形ABCD 中，AD ＞AB ，将矩形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为MN ，连结CN ．若△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1︰4，则MNBM的值为（ ▲ ）xA ．2B ．4C ．D ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请你把答案填在答题卷上）． 11.下列数据1，3，5，5，6，2的极差是 ▲12．如图，直线a ∥b ，∠1=50°，∠2=30°，则∠3= ▲ ．第15题第16题第17题第18题13.函数y =中自变量x 的取值范围是__▲ _____．14.分解因式：a 3－2a 2b ＋ab 2＝___▲ ____．15．如图，AB 是⊙O 的直径，BD ，CD 分别是过⊙O 上点B ，C 的切线，且∠BDC ＝110°．连接AC ，则∠A 的度数是 ▲ °．16．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形，O （0,0），A （1，-2），B （3,1），反比例函数ky x=的图象过C 点，则k 的值为 ▲ ． 17.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，点M 是AD 边的中点，若线段MA 围绕点M 旋转得到线段A M ',连结C A ',则C A '长度的最小值是 ▲ ．18.如图，已知二次函数432+--=x x y 的图象交x 轴于A,B 两点（A 在B 左边），交y 轴于C 点，点P 是直线AC 上方抛物线上一动点（不与A,C 重合），求P 点到直线AC 距离的最大值 ▲ ．三、解答题(本大题共10题，共76分)19．（本题满分5分） 011(2()3π---+20．（本题满分5分）解不等式组：22(1)43x x xx -<-⎧⎪⎨≤-⎪⎩ 21．(本题5分) 先化简，再求值：2224124422a a a a a a⎛⎫--÷ ⎪-+--⎝⎭，其中a 是方程2310x x ++=的根 22．(本题7分)如图，在△ABC 中，AB=CB ，∠ABC=90°，D 为AB 延长线上一点，点E 在．BC 边上，且BE=BD ，连结AE 、DE 、DC ． (1)求证：．△A BE ≌△CBD ；(2)若∠CAE=30°，求∠BDC 的度数．23．(本题8分)某市共有35000余名学生参加中考体育测试，为了了解九年级男生立定跳远的成绩，从某校随机抽取了50名男生的测试成绩，根据测试评分标准，将他们的得分按优秀、良好、及格、不及格(分别用A 、B 、C 、D 表示)四个等级进行统计，并绘制成下面的扇形图和统计表：请你根据以上图表提供的信息，解答下列问题：（1）m= , n= , x= , y=(2)在扇形图中，C等级所对应的圆心角是度；(3)如果该校九年级共有500名男生参加了立定跳远测试，那么请你估计这些男生成绩等级达到优秀和良好的共有多少人?24．（本题8分）将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是；（2）从中随机抽出二张牌，两张牌牌面数字的和是5的概率是；（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率．25．(本题8分)如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，点A在点B的正东方向，AB=4km，有一艘小船在点P处，从点A 测得小船在北偏西60°方向，从点B测得小船在北偏东45°的方向．(1)求小船到海岸线l的距离；(2)小船从点P沿射线AP方向航行一段时间后，到C处，此时，从点B测得小船在北偏西15°的方向，求此时小船到观测点B的距离．(结果保留根号)26. （本题满分10分）如图，直线l：y=x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C与原点O关于直线l 对称．反比例函数y=的图象经过点C，点P在反比例函数图象上且位于C点左侧，过点P作x轴、y轴的垂线分别交直线l于M、N两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求AN •BM的值．27. （本小题满分10分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A,C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB= ，PD= ．(2)是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；(3)如图2，在整个运动过程中，线段PQ中点M所经过的路径长为．图1 图228．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．2017-2018学年第二学期初三数学二模答题卷11．____________；12．____________；13．___ _；14．___ __；15．_____ ___；16．_______ ___；17．______ _____；18．____ _____ ．三、解答题（本大题共76分）19．（本题满分5分）011 (2()3π---+20．（本题满分5分）解不等式组：22(1)43x xxx-<-⎧⎪⎨≤-⎪⎩21．(本题5分) 先化简，再求值：2224124422aa a a a a⎛⎫--÷⎪-+--⎝⎭，其中a是方程2310x x++=的根。

江苏省苏州市数学高考理数二模考试试卷

江苏省苏州市数学高考理数二模考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集U={-1,1,2,3,4}，集合A={1,2,3}，B={2,4}，则为（）A . {1,2,4}B . {2,3,4}C . {-1,2,4}D . {-1,2,3,4}2. （2分）(2017·河南模拟) 已知z1=m+i，z2=1﹣2i，若为实数，则实数m的值为（）A . 2B . ﹣2C .D . ﹣3. （2分）已知空间四面体D-ABC的每条棱长都等于1，点E,F分别是AB,AD的中点，则等于（）A .B . -C .D . -4. （2分）(2016·安庆模拟) 设两条直线的方程分别为x+ y+a=0，x+ y+b=0，已知a，b是方程x2+2x+c=0的两个实根，且0≤c≤ ，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值的差为（）A .B . 1C .D .5. （2分） (2016高三上·黑龙江期中) 在区间[0，π]上随机取一个数x，使的概率为（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·静安模拟) 某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A . 336种B . 320种C . 192种D . 144种7. （2分） (2018高三上·昭通期末) 己知三棱锥A—BCD的外接球O的表面积为42，其中AB AC，DB DC，则BC的长为（）A . 8B . 4C . 2D . 18. （2分） (2017高二下·临沭开学考) 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A . 34B . 55C . 78D . 899. （2分）(2017·日照模拟) 函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，为了得到g（x）=Asinωx的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）A . 向左平移个单位长度B . 向左平移个单位长度C . 向右平移个单位长度D . 向右平移个单位长度10. （2分）(2018·茂名模拟) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ，若a2+a8=10，则S9= （）A . 20B . 35C . 45D . 9011. （2分）(2017·宁德模拟) 已知M为双曲线右支上一点，A，F分别为双曲线C左顶点和的右焦点，MF=AF，若∠MFA=60°，则双曲线C的离心率为（）A . 2B . 3C . 4D . 612. （2分）直线y=a与y=2x﹣3及曲线y=x+ex分别交于A、B两点，则|AB|的最小值为（）A .B . eC . 3D . 2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·宿州期末) 如图所示，为了求出一个边长为10的正方形内的不规则图形的面积，小明设计模拟实验：向这个正方形内均匀的抛洒20粒芝麻，结果有8粒落在了不规则图形内，则不规则图形的面积为________．14. （1分） (2017高一上·眉山期末) 给出下列命题：①函数y=sin（﹣2x）是偶函数；②方程x= 是函数y=sin（2x+ ）的图象的一条对称轴方程；③若α、β是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ；④设x1、x2是关于x的方程|logax|=k（a＞0，a≠1，k＞0）的两根，则x1x2=1；其中正确命题的序号是________．（填出所有正确命题的序号）15. （1分） (2017高二下·故城期中) 已知（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn（n∈N*），若a0+a1+…+an=62，则n等于________．16. （1分） (2016高二下·衡水期中) 已知数列{an}满足an=（2n﹣1）2n ，其前n项和Sn=________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cosC+=1．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．18. （10分） (2017高二上·清城期末) 国家“十三五”计划，提出创新兴国，实现中国创新，某市教育局为了提高学生的创新能力，把行动落到实处，举办一次物理、化学综合创新技能大赛，某校对其甲、乙、丙、丁四位学生的物理成绩（x）和化学成绩（y）进行回归分析，求得回归直线方程为y=1.5x﹣35．由于某种原因，成绩表（如表所示）中缺失了乙的物理和化学成绩．甲乙丙丁物理成绩（x）75m8085化学成绩（y）80n8595综合素质（x+y）155160165180（1）请设法还原乙的物理成绩m和化学成绩n；（2）在全市物理化学科技创新比赛中，由甲、乙、丙、丁四位学生组成学校代表队参赛．共举行3场比赛，每场比赛均由赛事主办方从学校代表中随机抽两人参赛，每场比赛所抽的选手中，只要有一名选手的综合素质分高于160分，就能为所在学校赢得一枚荣誉奖章．若记比赛中赢得荣誉奖章的枚数为ξ，试根据上表所提供数据，预测该校所获奖章数ξ的分布列与数学期望．19. （5分）(2017·广西模拟) 如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1 ， BB1上的点，且EC=2FB．（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）若AB=EC=2，求二面角C﹣AF﹣E的余弦值．20. （15分） (2018高二上·湖州月考) 已知椭圆E过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1 ， F2在x 轴上，离心率，∠F1AF2的平分线所在直线为l．（1）求椭圆E的方程；（2）设l与x轴的交点为Q，求点Q的坐标及直线l的方程；（3）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．21. （10分） (2018高二上·湖南月考) 已知函数．（1）当时，求函数的最小值；（2）设，若对任意的，都有，求整数的最大值．22. （10分）(2017·西安模拟) 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=2sinθ，它在点处的切线为直线l．（1）求直线l的直角坐标方程；（2）已知点P为椭圆 =1上一点，求点P到直线l的距离的取值范围．23. （5分）(2018·南京模拟) (选修4-5：不等式选讲）已知实数满足，求当取最大值时的值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。

2017年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模试卷(解析版)

2017年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜2}，则A∩B=．2．已知i是虚数单位，复数z1=3+yi（y∈R），z2=2﹣i，且，则y=．3．表是一个容量为10的样本数据分组后的频率分布，若利用组中中近似计算本组数据的平均数，则的值为4．已知直线2x﹣y=0为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为．5．据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n个自然数平方和的一般公式．如图是一个求前n个自然数平方和的算法流程图，若输入x的值为1，则输出的S的值为．6．已知Ω1是集合{（x，y）|x2+y2≤1}所表示的区域，Ω2是集合{（x，y）|y≤|x|}所表示的区域，向区域Ω1内随机的投一个点，则该点落在区域Ω2内的概率为．7．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q=3，S3+S4=，则a3=．8．已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为，则该直四棱柱的侧面积为．9．已知α是第二象限角，且sinα=，则tanβ=．10．已知直线l：mx+y﹣2m﹣1=0，圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0，当直线l被圆C所截得的弦长最短时，实数m=．11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足2bcosA=2c﹣a，则角B的大小为．12．在△ABC中，AB⊥AC，AB=，AC=t，P是△ABC所在平面内一点，若=，则△PBC面积的最小值为．13．已知函数f（x）=，若函数g（x）=|f（x）|﹣3x+b有三个零点，则实数b的取值范围为．14．已知a，b均为正数，且ab﹣a﹣2b=0，则的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．已知向量．（1）当x=时，求的值；（2）若，且，求cos2x的值．16．如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，AC=BC，∠ACD=90°．（1）求证：AB⊥平面EDC；（2）若P为FG上任一点，证明：EP∥平面BCD．17．某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量ω（单位：千克）与肥料费用x（单位：百元）满足如下关系：ω=4﹣，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本2x（如是非的人工费用等）百元．已知这种水蜜桃的市场价格为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L（x）（单位：百元）．（1）求利润函数L（x）的关系式，并写出定义域；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？18．已知函数f（x）=alnx﹣bx3，a，b为实数，b≠0，e为自然对数的底数，e=2.71828．（1）当a＜0，b=﹣1时，设函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的最大值；（2）若关于x的方程f（x）=0在区间（1，e]上有两个不同的实数解，求的取值范围．19．已知椭圆C：的左焦点为F（﹣1，0），左准线为x=﹣2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线l交椭圆C于A，B两点．①若直线l经过椭圆C的左焦点F，交y轴于点P，且满足，求证：λ+μ为常数；②若OA⊥OB（O为原点），求△AOB的面积的取值范围．=，其中n∈N*，λ，μ为非零常20．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1数．（1）若λ=3，μ=8，求证：{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}是公差不等于零的等差数列．①求实数λ，μ的值；②数列{a n}的前n项和S n构成数列{S n}，从{S n}中取不同的四项按从小到大的顺序组成四项子数列．试问：是否存在首项为S1的四项子数列，使得该子数列中点所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，直线DE切圆O于点D，直线EO交圆O于A，B两点，DC⊥OB于点C，且DE=2BE，求证：2OC=3BC．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵的一个特征值λ1=﹣1，及对应的特征向量，求矩阵M的逆矩阵．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系．已知曲线C1的参数方程为，（α∈[0，2π]，α为参数），曲线C2的极坐标方程为，若曲线C1与曲线C2有且仅有一个公共点，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c为正实数，求证：．七、解答题（共2小题，满分20分）25．已知袋中装有大小相同的2个白球，2个红球和1个黄球．一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n局得n（n∈N*）分的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．（1）求在一局游戏中得3分的概率；（2）求游戏结束时局数X的分布列和数学期望E（X）．26．已知f n（x）=C n0x n﹣C n1（x﹣1）n+…+（﹣1）k C n k（x﹣k）n+…+（﹣1）n C n n （x﹣n）n，其中x∈R，n∈N*，k∈N，k≤n．（1）试求f1（x），f2（x），f3（x）的值；（2）试猜测f n（x）关于n的表达式，并证明你的结论．2017年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜2}，则A∩B={x|﹣1＜x＜2} ．【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜2}，则A∩B={x|﹣1＜x＜2}，故答案为：{x|﹣1＜x＜2}．2．已知i是虚数单位，复数z1=3+yi（y∈R），z2=2﹣i，且，则y=1．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：∵复数z1=3+yi（y∈R），z2=2﹣i，且，∴=1+i，化为：3+yi=（2﹣i）（1+i）=3+i，∴y=1．故答案为：1．3．表是一个容量为10的样本数据分组后的频率分布，若利用组中中近似计算本组数据的平均数，则的值为19.7【考点】BB：众数、中位数、平均数．【分析】根据加权平均数的定义计算即可．【解答】解：根据题意，样本容量为10，利用组中中近似计算本组数据的平均数，则=×（14×2+17×1+20×3+23×4）=19.7．故答案为：19.7．4．已知直线2x﹣y=0为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程为y=±x，结合题意可得=，又由双曲线离心率公式e2===1+，计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，其渐近线方程为：y=±x，又由其一条渐近线的方程为：2x﹣y=0，即y=，则有=，则其离心率e2===1+=，则有e=；故答案为：．5．据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n个自然数平方和的一般公式．如图是一个求前n个自然数平方和的算法流程图，若输入x的值为1，则输出的S的值为14．【考点】EF：程序框图．【分析】执行算法流程，写出每次循环得到的x，s的值，当s=14时满足条件s ＞5，输出S的值14即可．【解答】解：输入x=1，s=0，s=1≤5，x=2，s=1+4=5≤5，x=3，s=5+9=14＞5，输出s=14，故答案为：14．6．已知Ω1是集合{（x，y）|x2+y2≤1}所表示的区域，Ω2是集合{（x，y）|y≤|x|}所表示的区域，向区域Ω1内随机的投一个点，则该点落在区域Ω2内的概率为．【考点】CF：几何概型．【分析】以面积为测度，求出相应区域的面积，可得结论．【解答】解：不等式x2+y2≤1表示的平面区域为Ω1，面积为π；Ω2是集合{（x，y）|y≤|x|}所表示的区域，对应的面积为π，∴所求概率为，故答案为．7．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q=3，S3+S4=，则a3=3．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q=3，S3+S4=，∴+=，解得a1=．则a3==3．故答案为：3．8．已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为，则该直四棱柱的侧面积为16．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出侧棱长，再计算四棱柱的侧面积．【解答】解：如图所示，直四棱柱底面ABCD是边长为2的菱形，侧面对角线的长为，∴侧棱长为CC1==2；∴该直四棱柱的侧面积为S=4×2×2=16．故答案为：16．9．已知α是第二象限角，且sinα=，则tanβ=．【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，进而利用两角和的正切函数公式即可计算得解．【解答】解：∵α是第二象限角，且sinα=，∴cosα=﹣=﹣，tanα=﹣3，==﹣2，∴tanβ=．故答案为：．10．已知直线l：mx+y﹣2m﹣1=0，圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0，当直线l被圆C所截得的弦长最短时，实数m=﹣1．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】利用配方法将圆的方程化为标准式，求出圆心坐标和半径，判断出直线l过定点且在圆内，可得当l⊥PC时直线l被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长最短，即可得出结论．【解答】解：由C：x2+y2﹣2x﹣4y=0得（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，∴圆心坐标是C（1，2），半径是，∵直线l：mx+y﹣2m﹣1=0过定点P（2，1），且在圆内，∴当l⊥PC时，直线l被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长最短，∴﹣m=﹣1，∴m=﹣1．故答案为﹣1．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足2bcosA=2c ﹣a ，则角B 的大小为．【考点】HP ：正弦定理．【分析】由已知及余弦定理可得c 2+a 2﹣b 2=，进而利用余弦定理可求cosB=，结合范围B ∈（0，π），即可得解B 的值．【解答】解：∵2bcosA=2c ﹣a ，∴cosA==，整理可得：c 2+a 2﹣b 2=，∴cosB===，∵B ∈（0，π），∴B=．故答案为：．12．在△ABC 中，AB ⊥AC ，AB=，AC=t ，P 是△ABC 所在平面内一点，若=，则△PBC 面积的最小值为．【考点】9H ：平面向量的基本定理及其意义．【分析】建立直角坐标系，由向量的坐标运算得出P 的坐标，利用基本不等式求得△PBC 面积的最小值．【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得A （0，0），B （，0），C （0，t ），∵=+=（4，0）+（0，1）=（4，1），∴P （4，1）；又|BC |=，BC 的方程为tx +=1，∴点P到直线BC的距离为d=，∴△PBC的面积为S=•|BC|•d=••=|4t+﹣1|≥•|2﹣1|=，当且仅当4t=，即t=时取等号，∴△PBC面积的最小值为．故答案为：．13．已知函数f（x）=，若函数g（x）=|f（x）|﹣3x+b有三个零点，则实数b的取值范围为．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】求出函数|f（x）﹣3x的解析式，画出函数的图象，利用函数的极值，转化求解即可．|【解答】解：函数f（x）=，若函数g（x）=|f（x）|﹣3x+b有三个零点，就是h（x）=|f（x）|﹣3x与y=﹣b有3个交点，h（x）=，画出两个函数的图象如图：，当x＜0时，﹣≥6，当且仅当x=﹣1时取等号，此时﹣b＞6，可得b＜﹣6；当0≤x≤4时，x﹣x2≤，当x=时取得最大值，满足条件的b∈（﹣，0]．综上，b∈．给答案为：．14．已知a，b均为正数，且ab﹣a﹣2b=0，则的最小值为7．【考点】7F：基本不等式．【分析】a，b均为正数，且ab﹣a﹣2b=0，可得=1．于是=+b2﹣1. +b==+2≥4，再利用柯西不等式（+b2）（1+1）≥即可得出．【解答】解：∵a，b均为正数，且ab﹣a﹣2b=0，∴=1．则=+b2﹣1．+b==+2≥2+2=4，当且仅当a=4，b=2时取等号．∴（+b2）（1+1）≥≥16，当且仅当a=4，b=2时取等号．∴+b2≥8，∴=+b2﹣1≥7．故答案为：7．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．已知向量．（1）当x=时，求的值；（2）若，且，求cos2x的值．【考点】9R：平面向量数量积的运算；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）求出向量的坐标，再计算数量积；（2）化简，得出cos（2x﹣）=，再利用和角公式计算cos2x．【解答】解：（1）当x=时，=（，﹣1），=（，），∴=﹣=．（2）=sinxcosx﹣cos2x=sin2x﹣cos2x﹣=sin（2x﹣）﹣，若=﹣，则sin（2x﹣）=，∵，∴2x﹣∈[﹣，]，∴cos（2x﹣）=．∴cos2x=cos（2x﹣+）=cos（2x﹣）cos﹣sin（2x﹣）sin=﹣=．16．如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，AC=BC，∠ACD=90°．（1）求证：AB⊥平面EDC；（2）若P为FG上任一点，证明：EP∥平面BCD．【考点】LS：直线与平面平行的判定；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出CD⊥AC，从而CD⊥平面ABC，进而CD⊥AB，再求出CE⊥AB，CE⊥AB，由此能证明AB⊥平面EDC．（2）连结EF、EG，推导出EF∥平面BCD，EG∥平面BCD，从而平面EFG∥平面BCD，由此能证明EP∥平面BCD．【解答】证明：（1）∵平面ABC⊥平面ACD，∠ACD=90°，∴CD⊥AC，∵平面ABC∩平面ACD=AC，CD⊂平面ACD，∴CD⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，∴CD⊥AB，∵AC=BC，E为AB的中点，∴CE⊥AB，又CE∩CD=C，CD⊂平面EDC，CE⊂平面EDC，∴AB⊥平面EDC．（2）连结EF、EG，∵E、F分别为AB、AD的中点，∴EF∥BD，又BD⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，∴EF∥平面BCD，同理可EG∥平面BCD，且EF∩EG=E，EF、EG⊂平面BCD，∴平面EFG∥平面BCD，∵P是FG上任一点，∴EP⊂平面EFG，∴EP∥平面BCD．17．某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量ω（单位：千克）与肥料费用x（单位：百元）满足如下关系：ω=4﹣，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本2x（如是非的人工费用等）百元．已知这种水蜜桃的市场价格为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L（x）（单位：百元）．（1）求利润函数L（x）的关系式，并写出定义域；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）L（x）=16﹣x﹣2x=64﹣﹣3x（0≤x≤5）．（单位百元）．（2）法一：L（x）=67﹣利用基本不等式的性质即可得出最大值．法二：L′（x）=﹣3=，令：L′（x）=0，解得x=3．利用对数研究函数的单调性即可得出极大值与最大值【解答】解：（1）L（x）=16﹣x﹣2x=64﹣﹣3x（0≤x≤5）．（单位百元）．（2）法一：L（x）=67﹣≤67﹣=43，当且仅当x=3时取等号．∴当投入的肥料费用为300元时，该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是4300元．法二：L′（x）=﹣3=，令：L′（x）=0，解得x=3．可得x ∈（0，3）时，L′（x ）＞0，函数L （x ）单调递增；x ∈（3，5]时，L′（x ）＜0，函数L （x ）单调递减．∴当x=3时，函数L （x ）取得极大值即最大值．∴当投入的肥料费用为300元时，该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是4300元．18．已知函数f （x ）=alnx ﹣bx 3，a ，b 为实数，b ≠0，e 为自然对数的底数，e=2.71828．（1）当a ＜0，b=﹣1时，设函数f （x ）的最小值为g （a ），求g （a ）的最大值；（2）若关于x 的方程f （x ）=0在区间（1，e ]上有两个不同的实数解，求的取值范围．【考点】6E ：利用导数求闭区间上函数的最值；6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出g （a ）的最大值即可；（2）问题转化为函数y 1=的图象与函数m （x ）=的图象有2个不同的交点，根据函数的单调性求出的范围即可．【解答】解：（1）b=﹣1时，f （x ）=alnx +x 3，则f′（x ）=，令f′（x ）=0，解得：x=，∵a ＜0，∴＞0，x ，f′（x ），f （x ）的变化如下：故g（a）=f （）=ln （﹣）﹣，令t （x ）=﹣xlnx +x ，则t′（x ）=﹣lnx ，令t′（x ）=0，解得：x=1，且x=1时，t （x ）有最大值1，故g （a ）的最大值是1，此时a=﹣3；（2）由题意得：方程alnx ﹣bx 3=0在区间（1，e ]上有2个不同的实数根，故=在区间（1，e ]上有2个不同是实数根，即函数y 1=的图象与函数m （x ）=的图象有2个不同的交点，∵m′（x ）=，令m′（x ）=0，得：x=，x ，m′（x ），m （x ）的变化如下：），∴x ∈（1，）时，m （x ）∈（3e ，+∞），x ∈（，e ]时，m （x ）∈（3e ，e 3]，故a ，b 满足的关系式是3e＜≤e 3，即的范围是（3e ，e 3]．19．已知椭圆C ：的左焦点为F （﹣1，0），左准线为x=﹣2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足，求证：λ+μ为常数；②若OA ⊥OB （O 为原点），求△AOB 的面积的取值范围．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆的左焦点为F（﹣1，0），左准线为x=﹣2，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）①设直线l的方程为y=k（x+1），则P（0，k），代入椭圆得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，由此利用韦达定理、向量知识，结合已知条件能证明λ+μ为常数﹣4．②当直线OA，OB分别与坐标轴重合时，△AOB的面积，当直线OA，OB的斜率均存在且不为零时，设OA：y=kx，OB：y=﹣，将y=kx代入椭圆C，得到x2+2k2x2=2，由此利用换元法结合已知条件能求出△AOB的面积的取值范围．【解答】解：（1）∵椭圆C：的左焦点为F（﹣1，0），左准线为x=﹣2，∴由题设知c=1，=2，a2=2c，∴a2=2，b2=a2﹣c2=1，∴椭圆C的标准方程为=1．证明：（2）①由题设知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x+1），则P（0，k），设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l代入椭圆得x2+2k2（x+1）2=2，整理，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，∴，，由，，知，，∴λ+μ=﹣=﹣=﹣（定值）．∴λ+μ为常数﹣4．解：②当直线OA，OB分别与坐标轴重合时，△AOB的面积，当直线OA，OB的斜率均存在且不为零时，设OA：y=kx，OB：y=﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=kx代入椭圆C，得到x2+2k2x2=2，∴，，同理，，，==，△AOB的面积S△AOB==，令t=k2+1∈[1，+∞），则S△AOB令μ=∈（0，1），则=∈[，）．综上所述，△AOB的面积的取值范围是[，]．=，其中n∈N*，λ，μ为非零常20．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1数．（1）若λ=3，μ=8，求证：{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}是公差不等于零的等差数列．①求实数λ，μ的值；②数列{a n}的前n项和S n构成数列{S n}，从{S n}中取不同的四项按从小到大的顺序组成四项子数列．试问：是否存在首项为S 1的四项子数列，使得该子数列中点所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由．【考点】8H ：数列递推式．【分析】（1）λ=3，μ=8时，a n +1==3a n +2，化为：a n +1+1=3（a n +1），即可证明．（2）①设a n =a 1+（n ﹣1）d=dn ﹣d +1．由a n +1=，可得：a n +1（a n +2）=+4，（dn ﹣d +3）（dn +1）=λ（dn ﹣d +1）2+μ（dn ﹣d +1）+4，令n=1，2，3，解出即可得出．．②由①可得：S n ==n 2．设存在首项为S 1的四项子数列，使得该子数列中点所有项之和恰好为2017．则这四项为：三个奇数一个偶数，或者三个偶数一个奇数．1°三个奇数一个偶数：设S 1，S 2x +1，S 2y +1，S 2z 是满足条件的四项，则1+（2x +1）2+（2y +1）2+（2z ）2=2017，化为2（x 2+x +y 2+y +z 2）=1007，矛盾，舍去．2°三个偶数一个奇数，设S 1，S 2x ，S 2y ，S 2z 是满足条件的四项，则1+（2x ）2+（2y ）2+（2z ）2=2017，化为x 2+y 2+z 2=504．由504为偶数，x ，y ，z 中一个偶数两个奇数或者三个偶数．（i ）若x ，y ，z 中一个偶数两个奇数，不妨设x=2x 1，y=2y 1+1，z=2z 1+1，则2=251，矛盾．（ii ）若x ，y ，z 均为偶数，不妨设x=2x 1，y=2y 1，z=2z 1，则++=126，则x 1，y 1，z 1中有两个奇数一个偶数．不妨设x 1=2x 2，y 1=2y 2+1，z 1=2z 2+1，则=31．依此类推分类讨论即可得出．【解答】（1）证明：λ=3，μ=8时，a n +1==3a n +2，化为：a n +1+1=3（a n +1），∴：{a n +1}为等比数列，首项为2，公比为3．∴a n+1=2×3n﹣1，可得：a n=2×3n﹣1﹣1．（2）解：①设a n=a1+（n﹣1）d=dn﹣d+1．由a n+1=，可得：a n+1（a n+2）=+4，∴（dn﹣d+3）（dn+1）=λ（dn﹣d+1）2+μ（dn﹣d+1）+4，令n=1，2，3，解得：λ=1，μ=4，d=2．经过检验满足题意，可得：λ=1，μ=4，a n=2n﹣1．②由①可得：S n==n2．设存在首项为S1的四项子数列，使得该子数列中点所有项之和恰好为2017．则这四项为：三个奇数一个偶数，或者三个偶数一个奇数．1°三个奇数一个偶数：设S1，S2x+1，S2y+1，S2z是满足条件的四项，则1+（2x+1）2+（2y+1）2+（2z）2=2017，化为2（x2+x+y2+y+z2）=1007，矛盾，舍去．2°三个偶数一个奇数，设S1，S2x，S2y，S2z是满足条件的四项，则1+（2x）2+（2y）2+（2z）2=2017，化为x2+y2+z2=504．由504为偶数，x，y，z中一个偶数两个奇数或者三个偶数．（i）若x，y，z中一个偶数两个奇数，不妨设x=2x1，y=2y1+1，z=2z1+1，则2=251，矛盾．（ii）若x，y，z均为偶数，不妨设x=2x1，y=2y1，z=2z1，则++=126，则x1，y1，z1中有两个奇数一个偶数．不妨设x1=2x2，y1=2y2+1，z1=2z2+1，则=31．∵y2（y2+1），z2（z2+1）均为偶数，∴x2为奇数．不妨设0≤y2≤z2．当x2=1时，则+y2++z2=30， +y2≤14，检验可得：y2=0，z2=5，x2=1．当x2=3时，则+y2++z2=22， +y2≤10，检验可得：y2=1，z2=4，x2=3．当x2=5时，则+y2++z2=6， +y2≤2，检验可得：y2=0，z2=2，x2=5．即{S1，S4，S8，S44}，{S1，S12，S24，S36}，{S1，S4，S20，S40}为全部满足条件的四元子列．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，直线DE切圆O于点D，直线EO交圆O于A，B两点，DC⊥OB于点C，且DE=2BE，求证：2OC=3BC．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【分析】连接OD，计算OC，BC，即可证明结论．【解答】证明：连接OD，设圆的半径为R，BE=x，则OD=R，DE=2BE=2x，Rt△ODE中，∵DC⊥OB，∴OD2=OC•OE，∴R2=OC（R+x），①∵直线DE切圆O于点D，∴DE2=BE•OE，∴4x2=x（R+x），②，∴x=，代入①，解的OC=，∴BC=OB﹣OC=，∴2OC=3BC．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵的一个特征值λ1=﹣1，及对应的特征向量，求矩阵M的逆矩阵．【考点】OV：特征值与特征向量的计算．【分析】利用特征值、特征向量的定义，建立方程，求出M，再求矩阵M的逆矩阵．【解答】解：由题意，=﹣1•，∴，∴a=2，b=2，∴M=，∴|M|=1×2﹣2×3=﹣4，∴M﹣1=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系．已知曲线C1的参数方程为，（α∈[0，2π]，α为参数），曲线C2的极坐标方程为，若曲线C1与曲线C2有且仅有一个公共点，求实数a的值．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】求出两曲线的普通方程，根据直线与圆相切列方程解出a．【解答】解：曲线C1的方程为（x﹣）2+（y﹣3）2=4，圆心坐标为（，3），半径为2．∵曲线C2的极坐标方程为，∴+=a，∴曲线C2的直角坐标方程为，∵曲线C1与曲线C2有且仅有一个公共点，∴=2，解得a=1或a=5．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c为正实数，求证：．【考点】R6：不等式的证明．【分析】不等式两边同时加上a+b+c，分组使用基本不等式即可得出结论．【解答】证明：∵a，b，c为正实数，∴a+≥2b，b+≥2c，c+≥2a，将上面三个式子相加得：a+b+c+≥2a+2b+2c，∴≥a+b+c．七、解答题（共2小题，满分20分）25．已知袋中装有大小相同的2个白球，2个红球和1个黄球．一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n局得n（n∈N*）分的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．（1）求在一局游戏中得3分的概率；（2）求游戏结束时局数X的分布列和数学期望E（X）．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）根据相互独立事件的概率公式求出对应的概率值；（Ⅱ）由题意知随机变量X的可能取值，计算在一局游戏中得2分的概率值，求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设在一局游戏中得3分为事件A，则P（A）==；（Ⅱ）由题意随机变量X的可能取值为1，2，3，4；且在一局游戏中得2分的概率为=；则P（X=1）==，P（X=2）=×=，P（X=3）=×（1﹣）×=，P（X=4）=×（1﹣）×=，∴X的分布列为：EX=1×+2×+3×+4×=．26．已知f n（x）=C n0x n﹣C n1（x﹣1）n+…+（﹣1）k C n k（x﹣k）n+…+（﹣1）n C n n （x﹣n）n，其中x∈R，n∈N*，k∈N，k≤n．（1）试求f1（x），f2（x），f3（x）的值；（2）试猜测f n（x）关于n的表达式，并证明你的结论．【考点】RG：数学归纳法；DC：二项式定理的应用．【分析】（1）利用组合数公式直接计算；（2）根据（1）的计算猜想公式，根据组合数的性质进行化简，将条件向假设式配凑得出．【解答】解：（1）f1（x）=x﹣（x﹣1）=x﹣x+1=1，f2（x）=﹣+=x2﹣2（x2﹣2x+1）+（x2﹣4x+4）=2，f3（x）=x3﹣（x﹣1）3+（x﹣2）2﹣（x﹣3）3=x3﹣3（x﹣1）3+3（x ﹣2）3﹣（x﹣3）3=6，（2）猜想：f n（x）=n!．证明：①当n=1时，猜想显然成立；②假设n=k时猜想成立，即f k（x）=C k0x k﹣C k1（x﹣1）k+（x﹣2）k+…+（﹣1）k Ck（x﹣k）k=k!，k则n=k+1时，f k（x）=C x k+1﹣（x﹣1）k+1+C（x﹣2）k+1+…+（﹣1）k+1C（x﹣k﹣1）k+1=xC x k﹣（x﹣1）（x﹣1）k+（x﹣2）C（x﹣2）k+…+（﹣1）k（x﹣k）（x﹣k）k+（﹣1）k+1C（x﹣k﹣1）k+1=x[C x k﹣（x﹣1）k+C（x﹣2）k+…+（﹣1）k（x﹣k）（x﹣k）k]+[（x﹣1）k﹣2C（x﹣2）k+…+（﹣1）k k（x﹣k）k]+（﹣1）k+1C（x﹣k﹣1）k+1=x[C x k﹣（+）（x﹣1）k+（）（x﹣2）k+…+（﹣1）k（+）（x ﹣k）k]+（k+1）[（x﹣1）k﹣（x﹣2）k…+（﹣1）k+1（x﹣k）k]+（﹣1）k+1C（x﹣k﹣1）k+1=x[x k﹣C k1（x﹣1）k+（x﹣2）k+…+（﹣1）k C k k（x﹣k）k]﹣x[（x﹣1）k+（x﹣2）k+…+（﹣1）k﹣1C k k﹣1（x﹣k）k+（﹣1）k C（x﹣k﹣1）k]+（k+1）[（x﹣1）k﹣（x﹣2）k…+（﹣1）k+1（x﹣k）k+（﹣1）k（x﹣k ﹣1）k]=xk!﹣xk!+（k+1）k!=（k+1）!．∴当n=k+1时，猜想成立．2017年5月31日。

2017年高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题含答案

2017年高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，考试时间120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |lg(x －1)>0}，则A ∩(∁U B )＝( )A.{x |1<x <2} B ．{x |1≤x <2} C.{x |x <2} D ．{x |x ≤1}答案 C解析 B ＝{x |x >2}，∴∁U B ＝{x |x ≤2}，∴A ∩(∁U B )＝{x |x <2}，故选C.2.定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋i －i 2i ＝0的复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在( )A.第一象限 B ．第二象限 C.第三象限 D ．第四象限答案 B解析由题意得，2z i －[－i(1＋i)]＝0，则z ＝－i (1＋i )2i ＝－12－i2，∴z ＝－12＋i2，其在复平面内对应的点在第二象限，故选B.3.下列说法中，不正确的是( )A.已知a ，b ，m ∈R ，命题：“若am 2<bm 2，则a <b ”为真命题B.命题：“∃x 0∈R ，x 20－x 0>0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”C.命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D.“x >3”是“x >2”的充分不必要条件答案 C解析本题考查命题真假的判断．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 中至少有一个为真命题，C 错误，故选C.4.将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有( )A.24种 B ．12种 C.10种 D ．9种答案 B解析第一步，为甲校选1名女教师，有C 12＝2种选法；第二步，为甲校选2名男教师，有C 24＝6种选法；第三步，为乙校选1名女教师和2名男教师，有1种选法，故不同的安排方案共有2×6×1＝12种，选B.5.sin2α＝2425，0<α<π2，则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )A.－15 B.15 C.－75 D.75答案 D 解析2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos α＋22sin α＝sin α＋cos α，又∵(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin2α＝4925，0<α<π2，∴sin α＋cos α＝75，故选D.6. 执行如图所示的程序框图，若输入t 的值为5，则输出的s 的值为( )A.916 B.54 C.2116 D.118答案 D解析依题意，当输入t 的值是5时，执行题中的程序框图，s ＝1，k ＝2<5，s ＝1＋12，k ＝3<5，s ＝1＋12－122，k ＝4<5，s ＝1＋12－122＋123，k ＝5≥5，此时结束循环，输出的s ＝1＋12－122＋123＝118，选D.7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．2π－23 B ．2π－43 C.5π3 D ．2π－2答案 A解析本题考查几何体的三视图和体积．由三视图得该几何体为底面半径为1，高为2的圆柱体挖去一个底面边长为2的正方形，高为1的正四棱锥后剩余的部分，则其体积为2×π×12－13×(2)2×1＝2π－23，故选A.8.将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向右平移π12个单位后的图象关于y 轴对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A.0 B ．－1 C.－12 D ．－32答案 D解析 f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向右平移π12个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋φ的图象，又g (x )的图象关于y 轴对称， ∴g (0)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝±1，∴－π6＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )， ∴φ＝2π3＋k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∴2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，∴f (x )min ＝－32.9.设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x －y ≥－2y ≥0，所表示的区域为M ，函数y ＝1－x 2的图象与x 轴所围成的区域为N ，向M 内随机投一个点，则该点落在N 内的概率为( )A.2π B.π4 C.π8 D.π16答案 B解析本题考查不等式组表示的平面区域、几何概型．在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(2，0)，(－2，0)，(0，2)为顶点的三角形区域，函数y ＝1－x 2的图象与x 轴围成的区域如图中的阴影部分所示，则所求概率为12π×1212×22×2＝π4，故选B.10. 如图，在正六边形ABCDEF 中，点P 是△CDE 内(包括边界)的一个动点，设＝λ＋μ(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4 B ．[3,4]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，52 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2 答案 B解析本题考查平面向量的运算、线性规划的应用．以A 为原点，分别以AB ，AE 所在的直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，设正六边形的边长为1，则A (0,0)，B (1,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，D (1，3)，E (0，3)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，设点P (x ，y )，则＝(x ，y )，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，＝(1,0)，则由＝λ＋μ得⎩⎨⎧ x ＝－12λ＋μ，y ＝32λ解得⎩⎨⎧λ＝233y ，μ＝x ＋33y ，则λ＋μ＝x ＋3y ，又因为点P 在△CDE 内，所以当点P 与点D 重合时，λ＋μ取得最大值1＋3×3＝4，当点P 在线段CE 上时，λ＋μ取得最小值3，所以λ＋μ的取值范围为[3,4]，故选B.11.在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的下顶点，M ，N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π4，则椭圆C 的离心率的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，63B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤63，32D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤63，223 答案 A解析因为OP 在y 轴上，在平行四边形OPMN 中，MN ∥OP ，因此M ，N 的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即M ，N 关于x 轴对称，|MN |＝|OP |＝a ，可设M (x ，－y 0)，N (x ，y 0)．由k ON ＝k PM 得y 0＝a2.把点N 的坐标代入椭圆方程得|x |＝32b ，点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32b ，a 2.因为α是直线ON 的倾斜角，因此tan α＝a 2÷32b ＝a 3b.又α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π4，因此33<tan α≤1，33<a 3b ≤1，33≤b a <1，13≤b 2a 2<1，e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2∈⎝⎛⎦⎥⎤0，63，选A.12.定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意的实数x ，都有2f (x )＋xf ′(x )<2恒成立，则使x 2f (x )－f (1)<x 2－1成立的实数x 的取值范围为( )A.{x |x ≠±1} B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C.(－1,1) D ．(－1,0)∪(0,1)答案 B解析令g (x )＝x 2f (x )－x 2，则g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )－2x ＝x [2f (x )＋xf ′(x )－2]，当x >0时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．又f (x )是偶函数，则g (－x )＝x 2f (－x )－x 2＝x 2f (x )－x 2＝g (x )，即g (x )是偶函数．不等式x 2f (x )－f (1)<x 2－1可变形为x 2f (x )－x 2<f (1)－1，即g (x )<g (1)，g (|x |)<g (1)，|x |>1，解得x <－1或x >1，选项B 正确.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13.已知a ＝ln 12013－12013，b ＝ln 12014－12014，c ＝ln 12015－12015，则a ，b ，c 的大小关系为________．答案 a >b >c解析令f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x －1＝1－x x . 当0<x <1时，f ′(x )>0，即函数f (x )在(0,1)上是增函数． ∵1>12013>12014>12015>0，∴a >b >c .14.已知三棱锥P －ABC 的顶点P 、A 、B 、C 在球O 的球面上，△ABC 是边长为3的等边三角形，如果球O 的表面积为36π，那么P 到平面ABC 距离的最大值为________．答案 3＋2 2解析依题意，边长是3的等边△ABC 的外接圆半径r ＝12·3sin60°＝1，∵球O 的表面积为36π＝4πR 2，∴球O 的半径R ＝3，∴球心O 到平面ABC 的距离d ＝R 2－r 2＝22，∴球面上的点P 到平面ABC 距离的最大值为R ＋d ＝3＋2 2.15.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果△ABC 的面积等于8，a ＝5，tan B ＝－43，那么a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝________.答案 5654解析 △ABC 中，∵tan B ＝－43，∴sin B ＝45，cos B ＝－35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝2c ＝8，∴c ＝4，∴b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝65，∴a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝b sin B＝5654.16.过直线l ：x ＋y ＝2上任意一点P 向圆C ：x 2＋y 2＝1作两条切线，切点分别为A ，B ，线段AB 的中点为Q ，则点Q 到直线l 的距离的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，2 解析依题意，设点P (x 0,2－x 0)，则直线AB 的方程为x 0x ＋(2－x 0)y ＝1(注：由圆x 2＋y 2＝r 2外一点E (x 0，y 0)向该圆引两条切线，切点分别为F ，G ，则直线FG 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2)，直线OP 的方程是(2－x 0)x －x 0y ＝0，其中点Q 是直线AB 与OP 的交点，因此点Q (x ，y )的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 0x ＋(2－x 0)y ＝1，(2－x 0)x －x 0y ＝0的解．由⎩⎪⎨⎪⎧x 0x ＋(2－x 0)y ＝1，(2－x 0)x －x 0y ＝0得⎩⎨⎧x ＝x 0(2－x 0)2＋x 20，y ＝2－x0(2－x 0)2＋x 20，即点Q ⎝ ⎛ x 0(2－x 0)2＋x 20，⎭⎪⎫2－x 0(2－x 0)2＋x 20，点Q 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2(2－x 0)2＋x 20－22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 20－2x 0＋2－22.注意到0<1x 20－2x 0＋2＝1(x 0－1)2＋1≤1，－2<1x 20－2x 0＋2－2≤－1,1≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 20－2x 0＋2－2<2，所以22≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 20－2x 0＋2－22<2，即点Q 到直线l 的距离的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，2.三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 3＝39，且2a 2是3a 1与a 3的等差中项．(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若数列{a n }为递增数列，b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋2，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，问是否存在正整数n 使得T n >12成立？若存在，求出n 的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)设数列{a n }的公比为q . 由S 3＝39得a 1(1＋q ＋q 2)＝39. ①因为2a 2是3a 1与a 3的等差中项，则3a 1＋a 3＝4a 2.即q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝1或q ＝3.代入①式得：当q ＝1时，a 1＝13，{a n }的通项公式为a n ＝13；当q ＝3时，a 1＝3，{a n }的通项公式为a n ＝3×3n －1＝3n .(2)因为数列{a n }为递增数列，所以a n ＝3n ，b n ＝1log 33n ·log 33n ＋2＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2. T n ＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋… ⎦⎥⎤＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2. 由T n >12得n 2－n －4>0，即n >1＋172.又n ∈N *，所以存在最小正整数n ＝3，使得T n >12成立. 18.[2015·德阳二诊](本小题满分12分)为了整顿食品的安全卫生，食品监督部门对某食品厂生产的甲、乙两种食品进行了检测调研，检测某种有害微量元素的含量，随机在两种食品中各抽取了10个批次的食品，每个批次各随机地抽取了一件，下表是测量数据的茎叶图(单位：毫克)规定：当食品中的有害微量元素含量在[0,10]时为一等品，在(10,20]时为二等品，20以上为劣质品．(1)用分层抽样的方法在两组数据中各抽取5个数据，再分别从这5个数据中各选取2个．求甲的一等品数与乙的一等品数相等的概率；(2)每生产一件一等品盈利50元，二等品盈利20元，劣质品亏损20元．根据上表统计得到的甲、乙两种食品为一等品、二等品、劣质品的频率分别估计这两种食品为一等品、二等品、劣质品的概率．若分别从甲、乙食品中各抽取1件，设这两件食品给该厂带来的盈利为X，求随机变量X的概率分布和数学期望．解(1)从甲中抽取的5个数据中，一等品有4×510＝2个，非一等品有3个；从乙中抽取的5个数据中，一等品有6×510＝3个，非一等品有2个；设“从甲中抽取的5个数据中任取2个，一等品个数为i”为事件A i(i＝0,1,2)，则P(A0)＝C23C25＝310，P(A1)＝C12C13C25＝35，P(A2)＝C22C25＝110.设“从乙中抽取的5个数据中任取2个，一等品个数为i”为事件B i(i＝0,1,2)，则P(B0)＝C22C25＝110，P(B1)＝C12C13C25＝35，P(B2)＝C23C25＝310.∴甲的一等品数与乙的一等品数相等的概率为：P＝P(A2·B2)＋P(A1·B1)＋P(A0·B0)＝110×310＋35×35＋310×110＝2150.(2)由题意，设“从甲中任取一件为一等品”为事件C1，则P(C1)＝410＝25，设“从甲中任取一件为二等品”为事件C2，则P(C2)＝410＝25，设“从甲中任取一件为劣质品”为事件C 3，则P (C 3)＝210＝15.设“从乙中任取一件为一等品”为事件D 1，则P (D 1)＝610＝35；设“从乙中任取一件为二等品”为事件D 2，则P (D 2)＝210＝15；设“从乙中任取一件为劣质品”为事件D 3，则P (D 3)＝210＝15.X 可取－40,0,30,40,70,100.P (X ＝－40)＝P (C 3·D 3)＝15×15＝125，P (X ＝0)＝P (C 3·D 2＋C 2·D 3)＝15×15＋25×15＝325，P (X ＝30)＝P (C 1·D 3＋C 3·D 1)＝25×15＋15×35＝15，P (X ＝40)＝P (C 2·D 2)＝25×15＝225，P (X ＝70)＝P (C 1·D 2＋C 2·D 1)＝25×15＋25×35＝825，P (X ＝100)＝P (C 1·D 1)＝25×35＝625，∴X 的分布列为：E (X )＝－40×125＋0×325＋30×15＋40×225＋70×825＋100×625＝54.19. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD .底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，BA ∥CD ，AB ＝2，AD ＝CD ＝1.E 是线段PB 的中点．(1)求证：AC ⊥平面PBC ；(2)若二面角P －AC －E 的余弦值为33，求直线P A 与平面EAC 所成角的正弦值．解 (1)证明：∵PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥PC .又∵AB ＝2，AD ＝CD ＝1，∴AC ＝BC ＝2，由AC 2＋BC 2＝AB 2得AC ⊥BC .又PC ∩BC ＝C ，∴AC ⊥平面PBC .(2)解法一：由(1)知AC ⊥PC ，AC ⊥EC ，∴∠PCE 就是二面角P －AC －E 的平面角，即cos ∠PCE ＝33.设PC ＝a ，则PB ＝2＋a 2.因为E 是线段PB 的中点，有CE ＝PE ＝2＋a 22.在△PCE 中，PE 2＝PC 2＋CE 2－2·PC ·CE ·cos ∠PCE ，即2＋a 24＝a 2＋2＋a 24－2·a ·2＋a 22·33，解得a ＝1.由(1)知AC ⊥平面PBC ，AC ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面PBC .过点P 在平面PBC 内作PH ⊥CE ，垂足为点H ，连接AH ，于是PH ⊥平面ACE ，∠P AH 就是直线P A 与平面EAC 所成的角．由cos ∠PCE ＝33，可得sin ∠PCE ＝63，于是PH ＝PC ·sin ∠PCH ＝63.同时，P A ＝PC 2＋AC 2＝ 3.在Rt △PHA 中，sin ∠P AH ＝PH P A ＝23.故直线P A 与平面EAC 所成角的正弦值为23.解法二：设AB 的中点为F ，连接CF ，则CF ⊥AB ，又AB ∥CD ，所以CF ⊥CD ，以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,1,0)，B (1，－1,0)．设P (0,0，a )(a >0)，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，a 2，＝(1,1,0)，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，a 2. 设n ＝(x ，y ，z )是平面ACE 的法向量，所以则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －y ＋az ＝0，令x ＝a ，得y ＝－a ，z ＝－2，∴n ＝(a ，－a ，－2)，又由(1)知CB ⊥平面P AC ，即＝(1，－1,0)是平面P AC 的法向量．依题意，|cos 〈，n 〉|＝＝2a 2·2a 2＋4＝33，解得a ＝1.于是n ＝(1，－1，－2)，＝(1,1，－1)．设直线P A 与平面EAC 所成的角为θ，有sin θ＝＝1－1＋23×6＝23. 故直线P A 与平面EAC 所成角的正弦值为23.20.(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，过点M (1,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，|MA |＝λ|MB |，且当直线l 垂直于x 轴时，|AB |＝ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求弦长|AB |的取值范围．解 (1)由已知e ＝22，得c a ＝22，又当直线垂直于x 轴时，|AB |＝2，所以椭圆过点⎝⎛⎭⎪⎫1，22，代入椭圆方程得1a 2＋12b 2＝1，∵a 2＝b 2＋c 2，联立方程可得a 2＝2，b 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)当过点M 的直线斜率为0时，点A ，B 分别为椭圆长轴的端点，λ＝|MA ||MB |＝2＋12－1＝3＋22>2或λ＝|MA ||MB |＝2－12＋1＝3－22<12，不符合题意．∴直线的斜率不能为0.设直线方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程代入椭圆方程得：(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0，由根与系数的关系可得，⎩⎨⎧ y 1＋y 2＝－2m m 2＋2， ①y 1y 2＝－1m 2＋2， ②将①式平方除以②式可得：y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－4m 2m 2＋2，由已知|MA |＝λ|MB |可知，y 1y 2＝－λ， ∴－λ－1λ＋2＝－4m 2m 2＋2，又知λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，∴－λ－1λ＋2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0， ∴－12≤－4m 2m 2＋2≤0，解得m 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，27. |AB |2＝(1＋m 2)|y 1－y 2|2＝(1＋m 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2＋22＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋22，∵m 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，27，∴1m 2＋2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，12， ∴|AB |∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，928. 21.[2016·福建质检](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋a x －1，a ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为0，求a 的值；(2)证明：e x ＋(ln x －1)sin x >0.解 (1)f (x )＝ln x ＋a x －1的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x 2.若a ≤0，则f ′(x )>0，于是f (x )在(0，＋∞)上单调递增，故f (x )无最小值，不符合题意．若a >0，则当0<x <a 时，f ′(x )<0；当x >a 时，f ′(x )>0. 故f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．于是当x ＝a 时，f (x )取得最小值ln a ．由已知得ln a ＝0，解得a ＝1.综上，a ＝1.(2)证明：①下面先证当x ∈(0，π)时，e x ＋(ln x －1)sin x >0. 因为x ∈(0，π)，所以只要证e xsin x >1－ln x ．由(1)可知1x ≥1－ln x ，于是只要证e x sin x >1x ，即只要证x e x －sin x >0.令h (x )＝x e x －sin x ，则h ′(x )＝(x ＋1)e x －cos x .当0<x <π时，h ′(x )＝(x ＋1)e x －cos x >1·e 0－1＝0，所以h (x )在(0，π)上单调递增．所以当0<x <π时，h (x )>h (0)＝0，即x e x －sin x >0.故当x ∈(0，π)时，不等式e x ＋(ln x －1)sin x >0成立．②当x ∈[π，＋∞)时，由(1)知1x ≥1－ln x ，于是有x ≥1－ln 1x ，即x ≥1＋ln x ．所以e x ≥e 1＋ln x ，即e x ≥e x ，又因为e x ≥e(1＋ln x )，所以e x ≥e(1＋ln x )，所以e x ＋(ln x －1)sin x ≥e(ln x ＋1)＋(ln x －1)sin x＝(e ＋sin x )ln x ＋(e －sin x )>0.综上，不等式e x ＋(ln x －1)sin x >0成立.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程； (2)若点P 坐标为(3，5)，圆C 与直线l 交于A 、B 两点，求|P A |＋|PB |的值．解 (1)由⎩⎨⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t 得直线l 的普通方程为x ＋y －3－5＝0. 又由ρ＝25sin θ得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5.(2)把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得 ⎝⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0. 由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t 1、t 2是上述方程的两实数根，所以t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3, 5)，A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，所以|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |(a ∈R )．(1)当a ＝4时，求不等式f (x )≥5的解集．(2)若f (x )≥4对a ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝4时，|x －1|＋|x －a |≥5等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x <1，－2x ＋5≥5或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x ≤4，3≥5或⎩⎪⎨⎪⎧x >4，2x －5≥5，解得x ≤0或x ≥5.所以不等式f (x )≥5的解集为{x |x ≤0或x ≥5}．(2)因为f (x )＝|x －1|＋|x －a |≥|(x －1)－(x －a )|＝|a －1|，所以f (x )min ＝|a －1|.要使f (x )≥4对a ∈R 恒成立，则|a －1|≥4即可，所以a ≤－3或a ≥5，即实数a 的取值范围是{a |a ≤－3或a ≥5}.。

2017年高考江苏数学试题及答案(word解析版)(2)

23232017年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I」、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上..(1) _________________________________________________________________________________________ 【2017年江苏，1, 5分】已知集合 A {1,2} , B {a,a 2 3} •若AI B 1，则实数a 的值为 ____________________________ . 【答案】1【解析】•••集合 A {1,2} , B {a,a 2 3} . AI B 1 ,.•. a 1 或 a 23 1，解得 a 1 .【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用.(2) 【2017年江苏，2, 5分】已知复数z 1 i 1 2i ,其中i 是虚数单位，则z 的模是 _____________________ . 【答案】.10【解析】复数 z 1 i 1 2i 1 2 3i 1 3i , A |z 1 2 3210 .【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.(3)【2017年江苏，3, 5分】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200, 400, 300,100件•为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 ________ 件.【答案】18 【解析】产品总数为 200 400 300 100 1000件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为【答案】怎佥，则应从丙种型号的产品中抽取 300 —18件. 100【点评】本题的考点是分层抽样.分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致,即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取. 按照一定的比例,(4)【2017年江苏，4,5分】如图是一个算法流程图：若输入x 的值为丄，则输出y 的值是16 【答案】【解析】【点评】 1 丄初始值x -，不满足x 1，所以y 2 log ；62 16 本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法,基础题. 2 4log 2 2.注意解题方法的积累，属于 ◎丫7-；心(5)【2017年江苏，5,5分】若tan1.则 tan6【解析】 Q tantan叫tan tan 11 tan tan —4 本题考查了两角差的正切公式，属于基础题.1,••• 6tan 6 tan 1，解得 tan6【点评】 (6)【2017年江苏，6, 5分】如如图，在圆柱 QO 2内有一个球O ,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。

2017年江苏省苏州市常熟中学高考数学二模试卷和答案

2017年江苏省苏州市常熟中学高考数学二模试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）已知全集U=Z，集合A={x|0＜x＜5，x∈U}，B={x|x≤1，X∈U}，则A∩（∁U B）=．2．（5分）若复数z的共轭复数满足，则复数z的虚部是．3．（5分）双曲线的准线方程是．4．（5分）某校共有学生1800人，现从中随机抽取一个50人的样本，以估计该校学生的身体状况，测得样本身高小于195cm的频率分布直方图如图，由此估计该校身高不小于175的人数是．5．（5分）命题“∀x＞2，都有x2＞2”的否定是．6．（5分）如图中流程图的运行结果是．7．（5分）口袋中有大小相同的5个小球，小球上分别标有数字1，1，2，2，4，一次从中取出两个小球，则取出的两个小球上所标数字之积为4的概率是．8．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=10，S4=28，数列的前n项和为T n，则T2017=．9．（5分）将函数y=sinxcosx的图象向右平移m（m＞0）个单位，所得曲线的对称轴与函数的图象的对称轴重合，则实数m的最小值为．10．（5分）如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，直线BE与边AC交于点F，若AD=BC=6，则=．11．（5分）已知直线l1：x﹣2y=0的倾斜角为α，倾斜角为2α的直线l2与圆M：x2+y2+2x﹣2y+F=0交于A、C两点，其中A（﹣1，0）、B、D在圆M上，且位于直线l2的两侧，则四边形ABCD的面积的最大值是．12．（5分）已知四面体ABCD的底面BCD是边长为2的等边三角形，AB=AC=3，则当棱AD长为时，四面体ABCD的体积最大．13．（5分）已知函数f（x），g（x）是定义在R上的一个奇函数和偶函数，且f （x﹣1）+g（x﹣1）=2x，则函数f（x）=．14．（5分）已知b≥a＞0，若存在实数x，y满足0≤x≤a，0≤y≤b，（x﹣a）2+（y﹣b）2=x2+b2=a2+y2，则的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．（14分）已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若sinB=acosC．，（1）求的值；（2）若M为边BC的中点，，求角B的大小．16．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，侧面C1CBB1是矩形．（1）D是棱B1C1上一点，AC1∥平面A1BD，求证：D为B1C1的中点；（2）若A1B⊥AC1，求证：平面A1ABB1⊥平面C1CBB1．17．（14分）已知椭圆C：的离心率为，焦距为2，直线y=kx（x≠0）与椭圆C交于A，B两点，M为其右准线与x轴的交点，直线AM，BM分别与椭圆C交于A1，B1两点，记直线A1B1的斜率为k1（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在常数λ，使得k1=λk恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．18．（16分）数列{a n}满足，n=1，2，3，…．（1）求a3，a4，并求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，记F（m，n）=，求证：m＜n，F （m，n）＜4对任意的；（3）设S k=a1+a3+a5+…+a2k﹣1，T k=a2+a4+a6+…+a2k，W k=，求使W k＞1的所有k的值，并说明理由．19．（16分）某冰淇淋店要派车到100千米外的冷饮加工厂原料，再加工成冰淇淋后售出，已知汽车每小时的运行成本F（单位：元）与其自重m（包括车子、驾驶员及所载货物等的质量，单位：千克）和车速v（单位：千米/小时）之间满足关系式：．在运输途中，每千克冷饮每小时的冷藏费为10元，每千克冷饮经过冰淇淋店再加工后，可获利100元．若汽车重量（包括驾驶员等，不含货物）为1.3吨，最大载重为1吨．汽车来回的速度为v（单位：千米/小时），且最大车速为80千米，一次进货x千克，而且冰淇淋供不应求．（1）求冰淇淋店进一次货，经加工售卖后所得净利润w与车速v和进货量x之间的关系式；（2）每次至少进货多少千克，才能使得销售后不会亏本（净利润w≥0）？（3）当一次进货量x与车速v分别为多少时，能使得冰淇淋店有最大净利润？并求出最大值．（提示：）20．（16分）已知函数（e为自然对数的底数，m∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）当时，求证：∀x＞0，f（x）＜x2lnx恒成立；（3）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）的根的个数，并证明你的结论．2017年高考熟中模拟卷B.选修4-2：矩阵与变换21．（10分）已知矩阵M对应的变换将点（﹣5，﹣7）变换为（2，1），其逆矩阵M﹣1有特征值﹣1，对应的一个特征向量为，求矩阵M．C.选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系，已知曲线C1的参数方程为，（，α为参数），曲线C2的极坐标方程为，求曲线C1与曲线C2的交点的直角坐标．【必做题】第22题、第23题，每题10分共计20分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.23．（10分）在英国的某一娱乐节目中，有一种过关游戏，规则如下：转动图中转盘（一个圆盘四等分，在每块区域内分别标有数字1，2，3，4），由转盘停止时指针所指数字决定是否过关．在闯n关时，转n次，当次转得数字之和大于n2时，算闯关成功，并继续闯关，否则停止闯关，闯过第一关能获得10欧元，之后每多闯一关，奖金翻倍．假设每个参与者都会持续闯关到不能过关为止，并且转盘每次转出结果相互独立．（1）求某人参加一次游戏，恰好获得10欧元的概率；（2）某人参加一次游戏，获得奖金X欧元，求X的概率分布和数学期望．24．（10分）（1）证明：；（2）证明：；（3）证明：．2017年江苏省苏州市常熟中学高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）已知全集U=Z，集合A={x|0＜x＜5，x∈U}，B={x|x≤1，X∈U}，则A∩（∁U B）={2，3，4} ．【解答】解：A={x|0＜x＜5，x∈U}={1，2，3，4}，B={x|x≤1，X∈U}，则∁U B={x|x＞1，X∈U}={2，3，4，5，…}，则A∩（∁U B）={2，3，4}，故答案为：{2，3，4}2．（5分）若复数z的共轭复数满足，则复数z的虚部是3．【解答】解：∵，∴﹣i••i=﹣i（3+4i），∴=4﹣3i．∴z=4+3i．∴复数z的虚部是3．故答案为：3．3．（5分）双曲线的准线方程是y=．【解答】解：双曲线，可得a=1，b=，c=2，双曲线的准线方程为：y=±．故答案为：y=．4．（5分）某校共有学生1800人，现从中随机抽取一个50人的样本，以估计该校学生的身体状况，测得样本身高小于195cm的频率分布直方图如图，由此估计该校身高不小于175的人数是288．【解答】解：由频率分布直方图得样本身高不小于175cm的频率为：（0.012+0.004）×10=0.16，∴估计该校身高不小于175cm的人数是：1800×0.16=288．故答案为：288．5．（5分）命题“∀x＞2，都有x2＞2”的否定是∃x0＞2，x02≤2．【解答】解：命题“∀x＞2，x2＞2”是全称命题，其否定是：∃x0＞2，x02≤2．故答案为：∃x0＞2，x02≤2．6．（5分）如图中流程图的运行结果是6．【解答】解：第一次，S=1，i=2，S＞10不成立，第二次，S=1+2=3，i=3，S＞10不成立，第三次，S=3+3=6，i=4，S＞10不成立第四次，S=6+4=10，i=5，S＞10不成立第五次，S=10+5=15，i=6，S＞10成立，输出i=6，故答案为：67．（5分）口袋中有大小相同的5个小球，小球上分别标有数字1，1，2，2，4，一次从中取出两个小球，则取出的两个小球上所标数字之积为4的概率是．【解答】解：∵口袋中有大小相同的5个小球，小球上分别标有数字1，1，2，2，4，一次从中取出两个小球，基本事件总数n=，取出的两个小球上所标数字之积包含的基本事件有：（1，4），（1，4），（2，2），共3个，∴取出的两个小球上所标数字之积为4的概率p=．故答案为：．8．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=10，S4=28，数列的前n项和为T n，则T2017=．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=10，S4=28，可得a1+a4=14，解得a1=4，10=4+3d，解得d=2，S n=4n+=n2+3n，==，T n=+…+=，则T2017==．故答案为：．9．（5分）将函数y=sinxcosx的图象向右平移m（m＞0）个单位，所得曲线的对称轴与函数的图象的对称轴重合，则实数m的最小值为．【解答】解：将函数y=sinxcosx=sin2x的图象向右平移m（m＞0）个单位，所得曲线的对称轴与函数的图象的对称轴重合，即2（x﹣m）=k，得到x=，k∈Z；，得到x=，k1∈Z；由题意x==，k，k1∈Z所以实数m的最小值为；故答案为：．10．（5分）如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，直线BE与边AC交于点F，若AD=BC=6，则=﹣18．【解答】解：以BC为x轴，以BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设∠ADC=α，则A（6cosα，6sinα），E（3cosα，3sinα），C（3，0），B（﹣3，0），设F（a，b），则，解得a=4cosα+1，b=4sinα，∴=（﹣3﹣6cosα，﹣6sinα），=（4cosα﹣2，4sinα），∴=（﹣3﹣6cosα）（4cosα﹣2）﹣24sin2α=﹣24cos2α+6﹣24sin2α=6﹣24=﹣18．故答案为：﹣18．11．（5分）已知直线l1：x﹣2y=0的倾斜角为α，倾斜角为2α的直线l2与圆M：x2+y2+2x﹣2y+F=0交于A、C两点，其中A（﹣1，0）、B、D在圆M上，且位于直线l2的两侧，则四边形ABCD的面积的最大值是．【解答】解：直线l1：x﹣2y=0的倾斜角为α，则tanα=，∴直线l2的斜率k=tan2α=．则直线l2的方程为y﹣0=（x+1），即4x﹣3y+4=0．又A（﹣1，0）在圆上，∴（﹣1）2﹣2+F=0，得F=1，∴圆的方程为x2+y2+2x﹣2y+1=0，化为标准方程：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆心（﹣1，1），半径r=1．直线l2与圆M相交于A，C两点，由点到直线的距离公式得弦心距d=，由勾股定理得半弦长=，弦长|AC|=2×=．又B，D两点在圆上，并且位于直线l2的两侧，四边形ABCD的面积可以看成是两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，如图所示，当BD为弦AC的垂直平分线时（即为直径时），两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，最大面积为：S=|AC|×|BE|+|AC|×|DE|=|AC|×|BD|=××2=，故答案为：．12．（5分）已知四面体ABCD的底面BCD是边长为2的等边三角形，AB=AC=3，则当棱AD长为时，四面体ABCD的体积最大．【解答】解：取BC的中点E，连结AE，DE，∵AB=AC，BD=CD，∴BC⊥AE，BC⊥DE，∴∠AED为二面角A﹣BC﹣D的平面角，∴A到平面BCD的距离d=AE•sin∠AED，显然当∠AED=90°时，四面体体积最大．此时，AE==2，DE==，∴AD==．故答案为：．13．（5分）已知函数f（x），g（x）是定义在R上的一个奇函数和偶函数，且f （x﹣1）+g（x﹣1）=2x，则函数f（x）=2x﹣2﹣x．【解答】解：根据题意，f（x﹣1）+g（x﹣1）=2x，则f（x）+g（x）=2x+1，①，进而有f（﹣x）+g（﹣x）=2﹣x+1，又由函数f（x），g（x）是定义在R上的一个奇函数和偶函数，则有f（﹣x）+g（﹣x）=﹣f（x）+g（x），即有﹣f（x）+g（x）=2﹣x+1，②，联立①②可得：f（x）=（2x+1﹣2﹣x+1）=2x﹣2﹣x，即f（x）=2x﹣2﹣x，故答案为：2x﹣2﹣x14．（5分）已知b≥a＞0，若存在实数x，y满足0≤x≤a，0≤y≤b，（x﹣a）2+（y﹣b）2=x2+b2=a2+y2，则的最大值为．【解答】解：如图设A（0，b），B（x，0），C（a，b﹣y）∵（x﹣a）2+（y﹣b）2=x2+b2=a2+y2∴△ABC为等边△，设△ABC边长为m，∠OAB=θ，（0）过C作CH⊥x轴与H，则∠ACH=θ﹣，∴b=mcosθ∴∴当θ=0时，故答案为：二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．（14分）已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若sinB=acosC．，（1）求的值；（2）若M为边BC的中点，，求角B的大小．【解答】解：（1）由△ABC的外接圆半径为1，及正弦定理得a=2RsinA=2sinA，∴sinB=acosC变形为：sin（A+C）=2sinAcosC⇒sinAcosC﹣cosAsinC=0sin（A﹣C）=0，∵A﹣C∈（﹣π，π），∴A﹣C=0，∴a=c，∴的值为1（2）∵M为边BC的中点，∴∴⇔又∵，a=c∴⇒⇒b=∴cosB=，∵B∈（0，π），∴角B的大小为．16．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，侧面C1CBB1是矩形．（1）D是棱B1C1上一点，AC1∥平面A1BD，求证：D为B1C1的中点；（2）若A1B⊥AC1，求证：平面A1ABB1⊥平面C1CBB1．【解答】证明：（1）连结AB1交A1B于E，连结DE．∵AC1∥平面A1BD，AC1⊂平面AB1C1，平面AB1C1∩平面A1BD=DE，∴AC1∥DE，∵侧面A1ABB1是菱形，∴E是AB1的中点，∴D是B1C1的中点．（2）∵侧面A1ABB1是菱形，∴AB1⊥A1B，又A1B⊥AC1，AB1∩AC1=A，AB1⊂平面AB1C1，AC1⊂平面AB1C1，∴A1B⊥平面AB1C1，又B1C1⊂平面AB1C1，∴A1B⊥B1C1，∵侧面C1CBB1是矩形，∴B1C1⊥BB1，又BB1∩A1B=B，BB1⊂平面A1ABB1，A1B⊂平面A1ABB1，∴B1C1⊥平面A1ABB1．∵B1C1⊂平面C1CBB1，∴平面A1ABB1⊥平面C1CBB1．17．（14分）已知椭圆C：的离心率为，焦距为2，直线y=kx（x≠0）与椭圆C交于A，B两点，M为其右准线与x轴的交点，直线AM，BM分别与椭圆C交于A1，B1两点，记直线A1B1的斜率为k1（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在常数λ，使得k1=λk恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由椭圆的焦距2c=2，则c=1，双曲线的离心率e==，则a=，则b2=a2﹣c2=1，∴椭圆的标准方程：；（2）设A（x0，y0），则2y02=2﹣y02，则B（﹣x0，﹣y0），k=，右准线方程x=2，则M（2，0），直线AM的方程为y=（x﹣2），，整理得：（x0﹣2）2x2+2y02（x﹣2）2﹣2（x0﹣2）2=0，该方程两个根为x 0，，•===•x0，∴x则=，=（﹣2）=，则A1（，），同理可得B1（，﹣），则k1==﹣3k，即存在λ=﹣3，使得k1=λk恒成立．18．（16分）数列{a n}满足，n=1，2，3，…．（1）求a3，a4，并求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，记F（m，n）=，求证：m＜n，F （m，n）＜4对任意的；（3）设S k=a1+a3+a5+…+a2k﹣1，T k=a2+a4+a6+…+a2k，W k=，求使W k＞1的所有k的值，并说明理由．【解答】（1）解：a3=a1+4=4，a4=2a2=4．当n=2k，k∈N*时，a2k+2=2a2k，∴数列{a2k}是首项与公比都为2的等比数列．∴．即n=2k，k∈N*时，a n=．=a2k﹣1+4，∴数列{a2k﹣1}是首项为0，公差为4的等差当n=2k﹣1，k∈N*时，a2k+1数列．=4（k﹣1）．即n=2k﹣1，k∈N*时，a n=2n﹣2．∴a2k﹣1综上可得：a3=4，a4=4．a n=，k∈N*．（2）证明：b n==，设数列{b n}的前n项和为A n，则A n=0+1+++…+，A n=++…++，∴=1++…+﹣=﹣，∴A n=4﹣＜4．∵b n≥0，∴F（m，n）≤A n，故对任意的m＜n，F（m，n）＜4．（3）解：S k=a1+a3+a5+…+a2k﹣1==2k（k﹣1），T k=a2+a4+a6+…+a2k==2k+1﹣2．W k==，∴W1=0，W2=1，W3=＞1，W4=＞1，W5=＞1，W6=＜1．k≥6时，W k+1﹣W k=﹣=＜0，∴当k≥6时，W k+1＜W k．∴当k≥6时，W k+1≤W6＜1．综上可得：使W k＞1的所有k的值为3，4，5．19．（16分）某冰淇淋店要派车到100千米外的冷饮加工厂原料，再加工成冰淇淋后售出，已知汽车每小时的运行成本F（单位：元）与其自重m（包括车子、驾驶员及所载货物等的质量，单位：千克）和车速v（单位：千米/小时）之间满足关系式：．在运输途中，每千克冷饮每小时的冷藏费为10元，每千克冷饮经过冰淇淋店再加工后，可获利100元．若汽车重量（包括驾驶员等，不含货物）为1.3吨，最大载重为1吨．汽车来回的速度为v（单位：千米/小时），且最大车速为80千米，一次进货x千克，而且冰淇淋供不应求．（1）求冰淇淋店进一次货，经加工售卖后所得净利润w与车速v和进货量x之间的关系式；（2）每次至少进货多少千克，才能使得销售后不会亏本（净利润w≥0）？（3）当一次进货量x与车速v分别为多少时，能使得冰淇淋店有最大净利润？并求出最大值．（提示：）【解答】解：（1）汽车来回一次的运行成本为×1300v2×+×（1300+x）v2×=（2600+x）v，冷藏成本为10x×=，∴W=100x﹣（2600+x）v﹣．（2）∵（2600+x）v+≥2=5•，∴W≤100x﹣5•，当且仅当（2600+x）v=即v=40•时取等号．令100x﹣5•≥0，得2≥，解得x≥，当x=时，v=40•=20∈（0，80]，∴每次至少进货千克，才可能使销售后不会亏本．（3）由（2）可知W≤100x﹣5•=5（2x﹣•），x∈[，1000]，设f（x）=2x﹣•，则f′（x）=2﹣（•+）=2﹣（+），∵x∈[，1000]，∴=∈[，2]，∵函数y=x+在[，2]上单调递增，∴当=2时，+取得最大值，∴f′（x）≥2﹣＞0，∴f（x）在[，1000]上单调递增，∴当x=1000时，f（x）取得最大值f（1000）=1400，此时v=40•=∈（0，80]，∴W的最大值为5×1400=70000．∴当一次进货量为1000千克，车速为千米/时时，冰淇淋店有最大净利润70000元．20．（16分）已知函数（e为自然对数的底数，m∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）当时，求证：∀x＞0，f（x）＜x2lnx恒成立；（3）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）的根的个数，并证明你的结论．【解答】解：（1）f′（x）=，由f′（x）=0得x=1，x＜1时，f′（x）＞0，x＞1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，1]递增，在[1，+∞）递减，f（x）极大值=f（1）=+m，无极小值；（2）由（1）得：x＞0时，f（x）≤+m=﹣，当且仅当x=1时取“=”，设g（x）=x2lnx，则g′（x）=x（2lnx+1），由g′（x）=0解得：x=，x＜时，g′（x）＜0，x＞时，g′（x）＞0，故g（x）在（0，]递减，在[，+∞）递增，当且仅当x=时，g（x）min=﹣；∴f（x）≤﹣≤g（x），两等号不同时取，故∀x＞0，f（x）＜x2lnx恒成立；（3）设F（x）=f（x）﹣|lnx|，∴F（x）=f（x）﹣lnx，x≥1，∵f（x），﹣lnx都在[1，+∞）递减，∴F（x）在[1，+∞）递减，∵F（1）=+m，∴m=﹣时，F（x）在[1，+∞）恰有1个零点x=1，当m＜﹣时，∀x≥1，F（x）≤F（1）＜0，∴F（x）在[1，+∞）无零点，当m＞﹣时，F（1）＞0，∀x＞1，F（x）＜+m﹣lnx，显然＞1，∴F（）＜+m﹣ln=0，∴F（x）的图象不间断，∴F（x）在[1，+∞）恰有1个零点，且不是1，当0＜x＜1时，F（x）=f（x）+lnx，∵f（x），lnx都在（0，1]递增，∴F（x）在（0，1]递增，∵F（1）=+m，∴m≤﹣时，∀0＜x＜1，F（x）＜F（1）≤0，∴F（x）在（0，1）无零点，当m＞﹣时，F（1）＞0，∀0＜x＜1，F（x）＜＜+m+lnx，显然∈（0，1），∴F（）＜+m+ln=0，∵F（x）的图象不间断，∴F（x）在（0，1）恰有1个零点，综上，m=﹣时，方程|lnx|=f（x）恰有1个实根，m＜﹣时，方程|lnx|=f（x）无实根，m＞﹣时，方程|lnx|=f（x）有2个不同的实根．2017年高考熟中模拟卷B.选修4-2：矩阵与变换21．（10分）已知矩阵M对应的变换将点（﹣5，﹣7）变换为（2，1），其逆矩阵M﹣1有特征值﹣1，对应的一个特征向量为，求矩阵M．【解答】解：由题意可知：M=，M﹣1=，∴M﹣1=，设M﹣1=，则=，=，则，解得：，则M﹣1=，det（M﹣1）=﹣20+18=﹣2，则M=．∴矩阵M=．C.选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系，已知曲线C1的参数方程为，（，α为参数），曲线C2的极坐标方程为，求曲线C1与曲线C2的交点的直角坐标．【解答】解：∵曲线C1的参数方程为，（，α为参数），∴曲线C1的普通方程为y=1﹣2x2，x∈[0，1]，∵曲线C2的极坐标方程为，∴曲线C2的直角坐标方程为y=﹣，两方程联立：，得2﹣x﹣=0，解得，，∵x∈[0，1]，∴，y=﹣，∴曲线C1与曲线C2的交点的直角坐标为（）．【必做题】第22题、第23题，每题10分共计20分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.23．（10分）在英国的某一娱乐节目中，有一种过关游戏，规则如下：转动图中转盘（一个圆盘四等分，在每块区域内分别标有数字1，2，3，4），由转盘停止时指针所指数字决定是否过关．在闯n关时，转n次，当次转得数字之和大于n2时，算闯关成功，并继续闯关，否则停止闯关，闯过第一关能获得10欧元，之后每多闯一关，奖金翻倍．假设每个参与者都会持续闯关到不能过关为止，并且转盘每次转出结果相互独立．（1）求某人参加一次游戏，恰好获得10欧元的概率；（2）某人参加一次游戏，获得奖金X欧元，求X的概率分布和数学期望．【解答】解：（1）记“某人参加一次游戏，恰好获得10欧元”为事件A，由题意知，他只闯过了第一关，没有过第二关，因此，他第一关转得了2、3、4中的一个，第二关转得了（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2）中的一个，∴所求的概率为P（A）=×（5×）=；（2）根据题意，X的所有可能取值为0，10，20，40；计算P（X=0）=，P（X=10）=，P（X=20）=××=，P（X=40）=××=，∴X的概率分布为：数学期望为：E（X）=0×+10×+20×+40×=．24．（10分）（1）证明：；（2）证明：；（3）证明：．【解答】证明：（1）（k+1）=（k+1）•==（n+1）．（2）由（1）可得：=，∴左边==（﹣1）k+1=[（1﹣1）n+1﹣1]==右边．∴．（3）==+由（2）可知：==．设f（n）=，则f（1）=1，=f（n﹣1）．∴f（n）﹣f（n﹣1）=．∴n≥2时，f（n）=f（1）+f（2）﹣f（1）+…+f（n）﹣f（n﹣1）=1++…+．n=1时也成立．∴f（n）=1++…+．n∈N*．即：．。

2017年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学一模试卷

2017年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学一模试卷一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程1．（5分）已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁U M=．2．（5分）若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|=．3．（5分）函数f（x）=的定义域为．4．（5分）如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是5．（5分）某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为．6．（5分）已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．7．（5分）从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l的右焦点，则双曲线的离心率为．9．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，则a8的值为．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且=2，则直线l的方程为．11．（5分）在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足=+，且•=1，则实数λ的值为．12．（5分）已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=．13．（5分）若函数f（x）=，则函数y=|f（x）|﹣的零点个数为．14．（5分）若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为．二.解答题：本大题共6小题，共计90分15．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=（1）求边c的长；（2）求角B的大小．16．（14分）如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C 交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1（1）求证：E是AB中点；（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．17．（14分）某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）•高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．（1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）问当α为何值时l最小？并求最小值．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=l （a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．19．（16分）已知函数f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a （a为正实数，且为常数）（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．20．（16分）已知n为正整数，数列{a n}满足a n＞0，4（n+1）a n2﹣na n+12=0，设数列{b n}满足b n=（1）求证：数列{}为等比数列；（2）若数列{b n}是等差数列，求实数t的值：（3）若数列{b n}是等差数列，前n项和为S n，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12S n﹣a14n2=16b m成立，求满足条件的所有整数a1的值．四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分．A.[选修4一1：几何证明选讲]21．（10分）如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[]，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成（﹣2，4）．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的另一个特征值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求++的最大值．四.必做题：每小题0分，共计20分25．如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且==．（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；（2）求二面角N﹣PC﹣B的余弦值．26．设|θ|＜，n为正整数，数列{a n}的通项公式a n=sin tan nθ，其前n项和为S n（1）求证：当n为偶函数时，a n=0；当n为奇函数时，a n=（﹣1）tan nθ；（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2θ•[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．2017年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程1．（5分）已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁U M={6，7} ．【分析】解不等式化简集合M，根据补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}={x|1≤x≤5，x∈Z}={1，2，3，4，5}，则∁U M={6，7}．故答案为：{6，7}．【点评】本题考查了集合的运算与解不等式的应用问题，是基础题．2．（5分）若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|=．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由z+i=，得=，则|z|=．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3．（5分）函数f（x）=的定义域为{x|x＞且x≠1} ．【分析】根据对数函数的性质以及分母不是0，得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＞且x≠1，故函数的定义域是{x|x＞且x≠1}，故答案为：{x|x＞且x≠1}．【点评】本题考查了求函数的定义域以及对数函数的性质，是一道基础题．4．（5分）如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是24【分析】模拟程序代码的运行过程，可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量t的值，由于循环变量的初值为2，终值为4，步长为1，故循环体运行只有3次，由此得到答案．【解答】解：当i=2时，满足循环条件，执行循环t=1×2=2，i=3；当i=3时，满足循环条件，执行循环t=2×3=6，i=4；当i=4时，满足循环条件，执行循环t=6×4=24，i=5；当i=5时，不满足循环条件，退出循环，输出t=24．故答案为：24．【点评】本题考查了循环语句的应用问题，模拟程序的运行过程，是解答此类问题的常用方法．5．（5分）某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为300．【分析】用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有900名学生，算出高二年级学生人数．【解答】解：∵用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，∴高二年级要抽取45﹣20﹣10=15，∵高级中学共有900名学生，∴每个个体被抽到的概率是=∴该校高二年级学生人数为=300，故答案为：300．【点评】本题考查分层抽样，抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以做到知二求一．6．（5分）已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．【分析】正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，求出PO，由此能求出该正四棱锥的体积．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，则AO=AC=．在直角三角形POA中，PO===1．所以VP﹣ABCD=•SABCD•PO=×4×1=．故答案为：．【点评】本题考查正四棱锥的体积的求法，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查数形结合思想等，是中档题．7．（5分）从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为．【分析】先求出基本事件总数n==6，再利用列举法求出这两个数的和为3的倍数包含的基本事件个数，由此能求出这两个数的和为3的倍数的槪率．【解答】解：从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，基本事件总数n==6，这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：（1，2），（2，4），共2个，∴这两个数的和为3的倍数的槪率p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l的右焦点，则双曲线的离心率为2．【分析】求得抛物线的焦点坐标，可得c=2，由双曲线的方程可得a=1，由离心率公式可得所求值．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），则双曲线﹣=l的右焦点为（2，0），即有c==2，∴a=1，可得双曲线的离心率为e==2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，同时考查抛物线的焦点坐标，考查运算能力，属于基础题．9．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，则a8的值为2．【分析】利用等比数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出，由此能求出a8的值．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，∴，解得，∴a8==（a1q）（q3）2=8×=2．故答案为：2．【点评】本题考查等比数列中第8项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且=2，则直线l的方程为x﹣y﹣1=0．【分析】由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，利用韦达定理，结合向量知识，即可得出结论．【解答】解：由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，可得（m2+1）y2+2my﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1=﹣2y2，y1+y2=﹣，y1y2=﹣联立解得m=1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，故答案为：x﹣y﹣1=0．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．11．（5分）在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足=+，且•=1，则实数λ的值为﹣或1．【分析】【方法一】根据题意，利用平面向量的线性运算，把、用、与λ表示出来，再求•即可．【方法二】建立平面直角坐标系解答更好做些．【解答】解：【方法一】△ABC中，AB=1，AC=2，∠A=60°，点P满足=+，∴﹣=λ，∴=λ；又=﹣=（+λ）﹣=+（λ﹣1），∴•=λ•[+（λ﹣1）]=λ•+λ（λ﹣1）=λ×2×1×cos60°+λ（λ﹣1）×22=1，整理得4λ2﹣3λ﹣1=0，解得λ=﹣或λ=1，∴实数λ的值为﹣或1．【方法二】建立平面直角坐标系如图所示A（0，0），B（，），C（2，0），设P（x，y）=（x，y），=（，），=（2，0），=（x﹣，y﹣）=（x﹣2，y），∴（x，y）=（，）+λ（2，0）=（+2λ，），∴x=+2λ①，y=②；又（x﹣）（x﹣2）+y（y﹣）=1③；由①②③解得λ=﹣或λ=1．故答案为：﹣或1．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算与线性表示的应用问题，也考查了运算推理能力，是基础题．12．（5分）已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=2﹣4．【分析】利用角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得tanα、tan的值，可得tan（α+）的值．【解答】解：∵sinα=3sin（α+）=3sinα•+3cosα•，∴tanα=，∴tan=tan（﹣）===2﹣，∴tan（α+）====2﹣4，故答案为：2﹣4．【点评】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，同角三角的基本关系，属于基础题．13．（5分）若函数f（x）=，则函数y=|f（x）|﹣的零点个数为4．【分析】利用分段函数，对x≥1，通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当x＜1时，利用数形结合求解函数的零点个数即可．【解答】解：当x≥1时，=，即lnx=，令g（x）=lnx﹣，x≥1时函数是连续函数，g（1）=﹣＜0，g（2）=ln2﹣=ln＞0，g（4）=ln4﹣2＜0，由函数的零点判定定理可知g（x）=lnx﹣，有2个零点．（结合函数y=与y=可知函数的图象由2个交点．）当x＜1时，y=，函数的图象与y=的图象如图，考查两个函数有2个交点，综上函数y=|f（x）|﹣的零点个数为：4个．故答案为：4．【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点个数的求法，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力．14．（5分）若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为1．【分析】由题意可得x＞，y＞0，又x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2），求出y3﹣y2≥﹣y，当且仅当y=时取得等号，设f（x）=x3﹣x2，求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求最小值．【解答】解：由正数x，y满足15x﹣y=22，可得y=15x﹣22＞0，则x＞，y＞0，又x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2），其中y3﹣y2+y=y（y2﹣y+）=y（y﹣）2≥0，即y3﹣y2≥﹣y，当且仅当y=时取得等号，设f（x）=x3﹣x2，f（x）的导数为f′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），当x=时，f（x）的导数为×（﹣2）=，可得f（x）在x=处的切线方程为y=x﹣．由x3﹣x2≥x﹣⇔（x﹣）2（x+2）≥0，当x=时，取得等号．则x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2）≥x﹣﹣y≥﹣=1．当且仅当x=，y=时，取得最小值1．故答案为：1．【点评】本题考查最值的求法，注意运用变形和导数，求得单调区间、极值和最值，考查化简整理的运算能力，属于难题．二.解答题：本大题共6小题，共计90分15．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=（1）求边c的长；（2）求角B的大小．【分析】（1）由acosB=3，bcosA=l，利用余弦定理化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c．相加即可得出c．（2）由（1）可得：a2﹣b2=8．由正弦定理可得：==，又A﹣B=，可得A=B+，C=，可得sinC=sin．代入可得﹣16sin2B=，化简即可得出．【解答】解：（1）∵acosB=3，bcosA=l，∴a×=3，b×=1，化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c．相加可得：2c2=8c，解得c=4．另解：∵在△ABC中，A+B+C=π，则sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sin（π﹣C）=sinC，由正弦定理得，c=acosB+bcosA=3+1=4．（2）由（1）可得：a2﹣b2=8．由正弦定理可得：==，又A﹣B=，∴A=B+，C=π﹣（A+B）=，可得sinC=sin．∴a=，b=．∴﹣16sin2B=，∴1﹣﹣（1﹣cos2B）=，即cos2B﹣=，∴﹣2═，∴=0或=1，B∈．解得：B=．另解：由正弦定理得===3，又tan（A﹣B）===，解得tanB=，B∈（0，π），B=．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、倍角公式、诱导公式、和差公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（14分）如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C 交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1（1）求证：E是AB中点；（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．【分析】（1）利用同一法，首先通过连接对角线得到中点，进一步利用中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理，得到结论．（2）利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直．【解答】证明：（1）连结BC1，取AB中点E′，∵侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，∴O为AC1的中点，∵E′是AB的中点，∴OE′∥BC1；∵OE′⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴OE′∥平面BCC1B1，∵OE∥平面BCC1B1，∴E，E′重合，∴E是AB中点；（2）∵侧面AA1C1C是菱形，∴AC1⊥A1C，∵AC1⊥A1B，A1C∩A1B=A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，∴AC1⊥平面A1BC，∵BC⊂平面A1BC，∴AC1⊥BC．【点评】本题考查的知识要点：线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理和性质定理，属于中档题．17．（14分）某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）•高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．（1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）问当α为何值时l最小？并求最小值．【分析】（1）求出上底，即可将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）求导数，取得函数的单调性，即可解决当α为何值时l最小？并求最小值．【解答】解：（1）设上底长为a，则S=，∴a=﹣，（tanα＞）∴l=﹣+（arctan＜α＜）；（2）l′=h，∴0＜α＜，l′＜0，＜α＜，l′＞0，∴时，l取得最小值+hm．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，取得函数的模型是关键．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=l （a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．【分析】（1）由题意可知2c=2，c=1，离心率e=，求得a=2，则b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程：（2）则直线PQ的方程：y=k（x﹣）﹣，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的率之和为定值．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆+=l （a＞b＞0），焦点在x轴上，2c=1，c=1，椭圆的离心率e==，则a=，b2=a2﹣c2=1，则椭圆的标准方程：；（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），A（，0），由题意PQ的方程：y=k（x﹣）﹣，则，整理得：（2k2+1）x2﹣（4k2+4k）x+4k2+8k+2=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，则y1+y2=k（x1+x2）﹣2k﹣2=，则k AP+k AQ=+=，由y1x2+y2x1=[k（x1﹣）﹣]x2+[k（x2﹣）﹣]x1=2kx1x2﹣（k+）（x1+x2）=﹣，k AP+k AQ===1，∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1．【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆位置关系，韦达定理及直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．19．（16分）已知函数f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a （a为正实数，且为常数）（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）求出函数f（x）的导数，问题转化为a≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx++1，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）问题转化为（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立，通过讨论x的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1）f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a，f′（x）=lnx++1﹣a，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，则a≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx++1，（x＞0），g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故g（x）min=g（1）=2，故0＜a≤2；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，即（x﹣1）[（x+1）lnx﹣ax+a]≥0恒成立，当0＜a≤2时，由（1）知，当x∈（0，﹢∞）时，f（x）单调递增．又f（1）=0，当x∈（0，1），f（x）＜0；当x∈（1，﹢∞）时，f（x）＞0，故不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立．若a＞2，对f（x）二次求导，令二次导函数=0，得到x0＞1，当x∈（1，x0）时，f（x）单调递减，∴当x∈（1，x0）时，f（x）＜f（1）=0，此时（x﹣1）f（x）＜0，矛盾，综上所述，0＜a≤2．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，考查函数恒成立问题，是一道中档题．20．（16分）已知n为正整数，数列{a n}满足a n＞0，4（n+1）a n2﹣na n+12=0，设数列{b n}满足b n=（1）求证：数列{}为等比数列；（2）若数列{b n}是等差数列，求实数t的值：（3）若数列{b n}是等差数列，前n项和为S n，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12S n﹣a14n2=16b m成立，求满足条件的所有整数a1的值．2=0，化为：=2×，【分析】（1）数列{a n}满足a n＞0，4（n+1）a n2﹣na n+1即可证明．（2）由（1）可得：=，可得=n•4n﹣1．数列{b n}满足b n=，可得b1，b2，b3，利用数列{b n}是等差数列即可得出t．（3）根据（2）的结果分情况讨论t的值，化简8a12S n﹣a14n2=16b m，即可得出a1．2=0，【解答】（1）证明：数列{a n}满足a n＞0，4（n+1）a n2﹣na n+1∴=a n，即=2，+1∴数列{}是以a1为首项，以2为公比的等比数列．（2）解：由（1）可得：=，∴=n•4n﹣1．∵b n=，∴b1=，b2=，b3=，∵数列{b n}是等差数列，∴2×=+，∴=+，化为：16t=t2+48，解得t=12或4．（3）解：数列{b n}是等差数列，由（2）可得：t=12或4．①t=12时，b n==，S n=，∵对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12S n﹣a14n2=16b m成立，∴×﹣a14n2=16×，∴=，n=1时，化为：﹣=＞0，无解，舍去．②t=4时，b n==，S n=，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12S n﹣a14n2=16b m成立，∴×﹣a14n2=16×，∴n=4m，∴a1=．∵a1为正整数，∴=k，k∈N*．∴满足条件的所有整数a1的值为{a1|a1=2，n∈N*，m∈N*，且=k，k∈N*}．【点评】本题考查了三角函数的诱导公式、等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分．A.[选修4一1：几何证明选讲]21．（10分）如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．【分析】连接OC，先证得三角形OBC是等边三角形，从而得到∠DCA=60°，再在直角三角形ACD中得到∠DAC的大小；考虑到直角三角形ABE中，利用角的关系即可求得边AE的长．【解答】解：如图，连接OC，因BC=OB=OC=3，因此∠CBO=60°，由于∠DCA=∠CBO，所以∠DCA=60°，又AD⊥DC得∠DAC=30°；（5分）又因为∠ACB=90°，得∠CAB=30°，那么∠EAB=60°，从而∠ABE=30°，于是．（10分）【点评】本题主要考查了弦切角、解三角形知识等，属于基础题．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[]，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成（﹣2，4）．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的另一个特征值．【分析】（1）先设矩阵A=，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1及矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）．得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M；（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，从而求得另一个特征值为2．【解答】解：（1）设矩阵A=，这里a，b，c，d∈R，则=8=，故，由于矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）．则=，故联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=．（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，故矩阵M的另一个特征值为2．【点评】本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．【分析】（1）先利用三角函数的差角公式展开圆O2的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆O2的直角坐标方程及圆O1直角坐标方程．（2）先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可．【解答】解：（1）ρ=2⇒ρ2=4，所以x2+y2=4；因为，所以，所以x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0．（5分）（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=1．化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1，即．（10分）【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求++的最大值．【分析】利用柯西不等式，结合a+b+c=3，即可求得++的最大值．【解答】解：由柯西不等式可得（++）2≤[12+12+12][（）2+（）2+（）2]=3×12∴++≤3，当且仅当==时取等号．∴++的最大值是6，故最大值为6．【点评】本题考查最值问题，考查柯西不等式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．四.必做题：每小题0分，共计20分25．如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且==．（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；（2）求二面角N﹣PC﹣B的余弦值．【分析】（1）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点，，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能求出异面直线MN与PC所成角．（2）求出平面PBC的法向量和平面PNC的法向量，利用向量法能求出二面角N ﹣PC﹣B的余弦值．【解答】解：（1）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点，，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．则A（1，﹣1，0），B（1，1，0），C（﹣1，1，0），D（﹣1，﹣1，0），…（2分）设P（0，0，p），则=（﹣1，1，p），又AP=2，∴1+1+p2=4，∴p=，∵===（），=（），设异面直线MN与PC所成角为θ，则cosθ===．θ=30°，∴异面直线MN与PC所成角为30°．（2）=（﹣1，1，﹣），=（1，1，﹣），=（，﹣），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（0，，1），设平面PNC的法向量=（a，b，c），则，取c=1，得=（，2，1），设二面角N﹣PC﹣B的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角N﹣PC﹣B的余弦值为．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．26．设|θ|＜，n为正整数，数列{a n}的通项公式a n=sin tan nθ，其前n项和为S n（1）求证：当n为偶函数时，a n=0；当n为奇函数时，a n=（﹣1）tan nθ；（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2θ•[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．【分析】（1）利用sin=，即可得出．（2）a2k+a2k=（﹣1）tan nθ．利用等比数列的求和公式即可得出．﹣1【解答】证明：（1）a n=sin tan nθ，当n=2k（k∈N*）为偶数时，a n=sinkπ•tan nθ=0；当n=2k﹣1为奇函数时，a n=•tan nθ=（﹣1）k﹣1tan nθ=（﹣1）tan nθ．+a2k=（﹣1）tan nθ．∴奇数项成等比数列，首项为tanθ，公比为（2）a2k﹣1﹣tan2θ．∴S2n==sin2θ•[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．【点评】本题考查了三角函数的诱导公式、等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

2017届高三第二次模拟考试数学理 (含答案)word版

2017年高考考前适应性训练数学（理工农医类）本试卷共4页，分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.第I 卷（选择题共60分）注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数ii ++113的虚部是A.i -B.1-C.iD.12.设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=143422y x x A ，{}2x y y B ==，则B A ⋂=A.[]2,2-B.[]2,0C.0.4D.0.83.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()(σσ2,1N ＞)0，若ξ在（0.2）内取值的概率为0.8，则ξ在()1,0内取值的概率为 A.0.1B.0.2C.0.4D.0.84. 已知两条直线 a ，b 与两个平面α、αβ⊥b ,，则下列命题中正确的是 ①若,//αa 则b a ⊥；②若b a ⊥，则a//α；③若β⊥b ，则βα// ； ④若βα⊥，则b//β. A. ①③B.②④C.①④D.②③5.已知点P 在圆522=+y x 上，点Q （0，—1），则线段PQ 的中点的轨迹方程是 A.022=-+x y xB.0122=-++y y x C.0222=--+y y xD.022=+-+y x y x6.已知a x x p ≥-+-910:的解集为R ，aq 1:＜1，则⌝p 是q 的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A 班和文史类专业的B 班各抽取20名同学参加环保知识测试.统计得到成绩与专业的列联表：附：参考公式及数据：（1）卡方统计量()()()()()22122111222112112211222112n n n n n n n n n n n n n x ++++-=(其中)22211211n n n n n +++=；（2）独立性检验的临界值表：则下列说法正确的是A.有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关B.有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关C.有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关D.有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关8.函数()(()⎩⎨⎧≤++-=0142ln 2x x x x x x x f 的零点个数为A.0B.1C.2D.39.如图为某个几何体的三视图，则该几何体的侧面积为 A.π416+ B.π412+ C.π816+ D.π812+10.已知函数()x f 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，()()[]()1212x x x f x f --＜0恒成立，设()()3,2,21f c f b f a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，则a 、b 、c 的大小关系为 A.c ＞a ＞bB.c ＞b ＞aC.a ＞c ＞bD.b ＞a ＞c11.已知双曲线154:22=-y x C 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 的右支上一点，且212F F PF =，则21PF ⋅等于A.24B.48C.50D.5612.对于定义域为D 的函数()x f ，若存在区间[](a D b a M ⊆=,＜)b ，使得(){}M M x x f y y =∈=,，则称区间M 为函数()x f 的“等值区间”.给出下列四个函数：①();2xx f =②();3x x f =③();sin x x f =④().1log 2+=x x f则存在“等值区间”的函数的个数是A.1个B.2个C.3个D.4个＞)0第II 卷（非选择题共90分）注意事项：1.将第II 卷答案用0.5mm 的黑字签字笔答在答题纸的相应位置上。

2017届高三第二次教学质量检测数学理试题(12页有答案)

-1012}012}01}-101}-1012} 23B．5A．4C．D．3[+高三年级第二次教学质量检测试题理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={-2，，，，，B={x|-2<x≤2}，则A B=A．{-1，，，B．{-1，，C．{-2，，，D．{-2，，，，2.复数2-i1+i对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.已知向量a=(2,-1),b=(3,x)，若a⋅b=3，则x=A．3B．4C．5D．64.已知双曲线x2y2-a b23=1的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为457445.已知条件p：x-4≤6；条件q：x≤1+m，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是A．(-∞,-1]B．(-∞,9]C．1,9]D．[9，∞)6.运行如图所示的程序框图，输出的结果S=A．14B．30C．62D．1268.已知α,β是两个不同的平面，l,m,n是不同的直线，下列命题不正确的是A．πA．332D．27.(x-1)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是xA．56B．35C．－56D．－35．．．A．若l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α,则l⊥αB．若l//m,l⊂/α,m⊂α,则l//αC．若α⊥β,αβ=l,m⊂α,m⊥l,则m⊥βD．若α⊥β,m⊥α,n⊥β,，则m⊥n9.已知f(x)=sin x+3cos x(x∈R)，函数y=f(x+ϕ)的图象关于直线x=0对称，则ϕ的值可以是πππB．C．D．263410.男女生共8人，从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为1528，则其中女生人数是A．2人B．3人C．2人或3人D．4人11.已知抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B(点A在x轴下方)，点A与1点A关于x轴对称，若直线AB斜率为1，则直线A B的斜率为12B．3C．12.下列结论中，正确的有①不存在实数k,使得方程x ln x-1x2+k=0有两个不等实根；2②已知△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且a2+b2=2c2，则角C的最大值为π6；③函数y=ln与y=ln tan x2是同一函数；④在椭圆x2y2+a2b2=1(a>b>0)，左右顶点分别为A，B，若P为椭圆上任意一点（不同于A,B），则直线PA与直线PB斜率之积为定值．A．①④B．①③C．①②D．②④13.已知等比数列{a}的前n项和为S，且a+a=5n2414.已知实数x、y满足约束条件⎨y≥2,则z=2x+4y的最大值为______．⎪x+y≤6②若a∈(0,1)，则a<a1+11-x是奇函数(第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求做答.二.填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.5,a+a=，则S=__________．n13246⎧x≥2⎪⎩15.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的半径为__________．16.下列命题正确是．(写出所有正确命题的序号)①若奇函数f(x)的周期为4，则函数f(x)的图象关于(2,0)对称；③函数f(x)=ln；三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=A+高三理科数学试题和答案第3页共6页π2．， 20 40 60 80 ，（1）求 cos B 的值；（2）求 sin 2 A + sin C 的值．18.（本小题满分 12 分）如图，三棱柱 ABC - A B C 中，侧棱 AA ⊥ 平面 ABC ， ∆ABC 为等腰直角三角形，1 1 1 1∠BAC = 90 ，且 AA = AB ， E , F 分别是 C C , BC 的中点．1 1（1）求证：平面 AB F ⊥ 平面 AEF ；1（2）求二面角 B - AE - F 的余弦值．119.（本小题满分 12 分）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0 100]，样本数据分组为第一组[0， )，第二组[20， )，第三组 [40， )，第四组 [60， )，第五组 [80 100]．（1）求直方图中 x 的值；（2）如果年上缴税收不少于 60 万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业 1200 家，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（3）从所抽取的企业中任选 4 家，这 4 家企业年上缴税收少于 20 万元的家数记为 X ，求 X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）= 1(a > b > 0) 经过点 P (2, 2) ，离心率 e = ，直线 l 的方程为 220．（本小题满分 12 分）已知椭圆 C ： x 2 y 2+ a 2 b 22 2x = 4 ．（1）求椭圆 C 的方程；（2）经过椭圆右焦点 F 的任一直线（不经过点 P ）与椭圆交于两点 A ， B ，设直线 AB 与l 相交于点 M ，记 P A , PB , PM 的斜率分别为 k , k , k ，问：是否存在常数 λ ，使得1 2 3k + k = λ k ？若存在，求出 λ 的值，若不存在，说明理由．12321.（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = ax + ln x ，其中 a 为常数，设 e 为自然对数的底数．（1）当 a = -1 时，求 f ( x ) 的最大值；（2）若 f ( x ) 在区间 (0, e ] 上的最大值为 -3 ，求 a 的值；（3）设 g ( x ) = xf ( x ), 若 a > 0, 对于任意的两个正实数 x , x ( x ≠ x ) ，1 2 1 2证明： 2 g ( x 1 + x 2) < g ( x ) + g ( x ) ．1 2请考生在第 22、23 二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用⎪⎪ 5⎩17．解：（1）∵ B = A + ， ∴ A = B -， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1 分 ==2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程⎧3 x =- t + 2 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ⎨ ( t 为参数)，以原点 O 为极点， x⎪ y = 4 t ⎪5轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 ρ = a sin θ ．（1）若 a = 2 ，求圆 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程；（2）设直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍，求 a 的值．23.（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲已知函数 f ( x ) = 2x -1 + 2x + 5 ，且 f ( x ) ≥ m 恒成立．（1）求 m 的取值范围；（2）当 m 取最大值时，解关于 x 的不等式： x - 3 - 2x ≤ 2m - 8 ．高三第二次质量检测理科数学答案一．ADABD CCABC CA二．13．631614．20 15． 61 16．①③ππ2 23 4 又 a = 3, b = 4 ，所以由正弦定理得，sin Asin B34所以， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3 分- cos B sin B所以 -3sin B = 4cos B ，两边平方得 9sin 2 B = 16cos 2 B ，3又 sin 2 B + cos 2 B = 1 ，所以 cos B = ± ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分5π 3而 B > ，所以 cos B = - ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分2 53 4（2）∵ cos B = - ，∴ sin B = ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分5 5∴面 ABC ⊥ 面 BB C C..........2 分+ = 则 F (0,0,0) ， A ( 22 2 2 2 2 1 ∵ B = A +π2，∴ 2 A = 2 B - π ，∴ sin 2 A = sin(2 B - π ) = - sin 2 B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分4 3 24= -2sin B cos B = -2 ⨯ ⨯ (- ) = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分5 5 25又 A + B + C = π ，∴ C = 3π 2- 2 B ，7 24 7 31∴ sin C = - cos 2 B = 1 - cos 2 B = ．∴ sin 2 A + sin C = ． (12)25 25 25 25分18．解答：（1）证明：∵ F 是等腰直角三角形 ∆ABC 斜边 BC 的中点，∴ AF ⊥ BC ．又∵侧棱 AA ⊥ 平面ABC ，11 1∴ AF ⊥ 面 BB 1C 1C ， AF ⊥ B 1F ．…3 分设 AB = AA = 1 ，则1，EF= ，．∴ B F 2 + EF 2 = B E 2 ，∴ B F ⊥ EF ．.......... 4 分1 11又 AF ⋂ EF = F ，∴ B F ⊥平面 AEF ．…1而 B F ⊂ 面 AB F ，故：平面 AB F ⊥ 平面 AEF ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5 分1 11（2）解：以 F 为坐标原点， FA ， FB 分别为 x ， y 轴建立空间直角坐标系如图，设 AB = AA = 1 ，12 2 1,0,0) ， B (0, - ,1) ， E (0, - , ) ，12 2 1 2 2AE = (- , - , ) , AB = (- , ,1) ．… ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分2 2 2 2 2由（1）知， B F ⊥平面 AEF ，取平面 AEF 的法向量：12m = FB = (0, ,1) ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分14 4 256 4 4 4 644 4 64 4 4 64设平面 B AE 的法向量为 n = ( x , y , z ) ，1由取 x = 3 ，得 n = (3, -1,2 2) (10),分设二面角 B - AE - F 的大小为θ ，1则 cos θ=|cos ＜＞|=| |= ．由图可知θ 为锐角，∴所求二面角 B - AE - F 的余弦值为．… ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12 分119．解答：解：（I ）由直方图可得： 20 ⨯ (x + 0.025 + 0.0065 + 0.003 ⨯ 2) = 1解得 x = 0.0125 ．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 分（II ）企业缴税收不少于 60 万元的频率 = 0.003 ⨯ 2 ⨯ 20 = 0.12 ， ∴1200 ⨯ 0.12 = 144 ．∴1200 个企业中有144 个企业可以申请政策优惠．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分（III ） X 的可能取值为 0,1,2,3,4 ．由（I ）可得：某个企业缴税少于 20 万元的概率 = 0.0125 ⨯ 20 = 0.25 =分1 3 81 1 3 27P ( X = 0) = C 0 ( )0 ( )4 = P ( X = 1) = C 1 ( )1 ( )3 = 41 3 27 1 3 3P ( X = 2) = C 2 ( )2 ( )2 = P ( X = 3) = C 3 ( )3 ( )1 =4 4 14 (5)X0 1 2 3 44 4 256∴ E ( X ) = 0 ⨯ 81+ = 1 ① 又e = , 所以 = = 4, a = 8,b 1 + 2k 2 1 + 2k 2, x x = x - 2 x - 22, k = k = 2k - 2 4 - 2 2P8125627 64 27 64 3 64 1 2561 3 1P ( X = 4) = C 4 ( )4 ( )0 =4...................................... 10 分............. 11 分27 27 3 1+ 1⨯ + 2 ⨯ + 3 ⨯ + 4 ⨯= 1． ....12 分25664 64 64 25620．解：（1）由点 P (2, 2) 在椭圆上得， 4 2 2 c 2 a 2 b 2 2 a 2②由 ①②得 c 2 2 2 = 4 ，故椭圆 C 的方程为 x 2 y 2+ = 1 ……………………..4 分 8 4（2）假设存在常数 λ ，使得 k + k = λ k .1 23由题意可设 AB 的斜率为k , 则直线AB 的方程为 y = k ( x - 2) ③代入椭圆方程x 2 y 2+ = 1 并整理得 (1+ 2k 2 ) x 2 - 8k 2 x + 8k 2 - 8 = 0 8 48k 2 8k 2 - 8设 A ( x , y ), B ( x , y ) ，则有 x + x = ④ ……………6 分 1 1 2 2 1 2 1 2在方程③中，令 x = 4 得， M (4,2 k ) ，从而 k = y 1 - 2 y 2 - 21 2 1,3 2= k - .又因为 A 、F 、B 共线，则有 k = k AF = k BF ，即有y当 a = -1 时， f ( x ) = - x + ln x ， f ' ( x ) = -1 + 1①若 a ≥ - ，则 f ' ( x ) ≥ 0 ，从而 f ( x ) 在 (0, e ] 上是增函数，y1=2= k ……………8 分x - 2x - 21 2所以 k + k = 1 2 y - 2 y - 2 1 + 2 x - 2 x - 21 2= y y 1 11 +2 - 2( + )x - 2 x - 2 x - 2 x - 2 1 2 1 2= 2k - 2x 1 + x 2 - 4x x - 2( x + x ) + 41 212⑤ ……………10 分将④代入⑤得 k + k = 2k - 2 1 2 8k 2- 41 + 2k2 8k 2 - 8 8k 2- 2 + 41 + 2k2 1 + 2k 2= 2k - 2 ，又 k = k - 32 2 ，所以 k + k = 2k 1 2 3 . 故存在常数 λ = 2 符合题意…………12 分21.【解答】解：（1）易知 f ( x ) 定义域为 (0, +∞) ，1 - x= ，x x令 f ' ( x ) = 0 ，得 x = 1 ．当 0 < x < 1 时， f ' ( x ) > 0 ；当 x > 1 时， f ' ( x ) < 0 ． (2)分∴ f ( x ) 在 (0,1) 上是增函数，在 (1,+∞) 上是减函数．f ( x )max= f (1) = -1．∴函数 f ( x ) 在 (0, +∞) 上的最大值为 -1 ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分（2）∵ f '( x ) = a + 1 1 1, x ∈ (0, e ], ∈ [ , +∞) ．x x e1e∴ f ( x )max= f (e ) = ae + 1 ≥ 0 ，不合题意． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分11② 若 a < - ，则由 f ' ( x ) > 0 ⇒ a +ex> 0 ，即 0 < x < -1a11由 f ' ( x ) < 0 ⇒ a +< 0 ，即 - < x ≤ e ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分xa从而 f ( x ) 在 (0, - ) 上增函数，在 (- （3）法一：即证 2a ( x + x 2) + 2( 12 )ln( 222 2 x 2 x21 1a a, e ) 为减函数∴ f ( x ) max 1 1 = f (- ) = -1 + ln(- ) a a1 1令 -1 + ln(- ) = -3 ，则 ln(- ) = -2a a∴- 11= e -2 -e 2 < -a ，即 a = -e 2．∵ e ，∴ a = -e 2 为所求 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分1 1 x + x x + x2 2 22 ) ≤ ax 2 + ax 2 + x ln x + x ln x 1 2 1 1 222a ( x + x ( x + x )21 2 )2 - ax 2 - ax 2 = a ⋅[ 1 21 2- x 2 - x 2 ]1 2( x - x )2= -a 1 2 2< 0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 9 分另一方面，不妨设 x < x ，构造函数1 2k ( x ) = ( x + x )ln(1x + x12) - x ln x - x ln x ( x > x )1 1 1x + xx + x则 k ( x ) = 0 ，而 k ' ( x ) = ln 1 - ln x = ln 1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分1x + x由 0 < x < x 易知 0 < 11< 1 , 即 k ' ( x ) < 0 ， k ( x ) 在 ( x , +∞) 上为单调递减且连续， 1x + x故 k ( x ) < 0 ，即 ( x + x )ln( 11) < x ln x + x ln x 1 1相加即得证⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12 分1法二： g ' ( x ) = 2ax + 1 + ln x , g '' ( x ) = 2a + > 0.........9 分x故 g ' ( x ) 为增函数，不妨令 x > x 21令 h ( x ) = g ( x ) + g ( x ) - 2 g (1x + x12)( x > x )1h ' ( x ) = g '(x ) - g ' (x + x12) ......... 10 分易知 x > x + x x + x1 ，故h ' ( x ) = g '(x ) - g ' ( 12 2) > 0 (11)分而 h ( x ) = 0 ，知 x > x 时， h ( x ) > 0112(2)圆 C ： x 2 + y - a ⎫2∴圆心 C 到直线的距离 d = 2- 8 得 a = 32 或 a = 32 ⎪ -4 x - 4, x < - 523.解 (1) f (x) = ⎨6, - 5⎩ 4 x + 4, x > 22 ≤ x ≤ ⎩3 - x - 2 x ≤4 ⎧ 3 ≤ x < 3 .所以，原不等式的解集为 ⎨⎧x x ≥ - ⎬ .故 h ( x ) > 0 ，即 2 g ( x 1 + x 2) < g ( x ) + g ( x )21 2 (12)分22.解 (1) a = 2 时，圆 C 的直角坐标方程为 x 2 + (y -1)2 = 1 ；直线 l 的普通方程为 4 x + 3 y - 8 = 0 . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分⎛⎪ = ⎝ 2 ⎭a 2 4 ，直线 l : 4 x + 3 y - 8 = 0 ，∵直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍，3a1 a5 = 2 ⨯ 2 ，11 .⎧2 ⎪1 ⎪2 ≤ x ≤ 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 分⎪1 ⎪ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分当 - 5 12 时，函数有最小值 6 ，所以 m ≤ 6 . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分另解：∵ 2x -1 + 2x + 5 ≥ (2x -1) - (2x + 5) = -6 = 6 .∴ m ≤ 6 .(2)当 m 取最大值 6 时，原不等式等价于 x - 3 - 2x ≤ 4 ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分等价于 ⎨ x ≥ 3 ⎩ x - 3 - 2x ≤ 4 ⎧ x < 3 ，或 ⎨，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分可得 x ≥ 3 或 - 11 ⎫ ⎩ 3 ⎭⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分。

2017年苏州市中考数学二模试卷(含答案和解释)

2017年苏州市中考数学二模试卷(含答案和解释)2017年江苏省苏州中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）�3的相反数是（） A．�3 B．3 C． D． 2．（3分）北京时间2016年2月11日23点30分，科学家宣布：人类首次直接探测到了引力波，印证了爱因斯坦100年前的预言，引力波探测器LIGO的主要部分是两个互相垂直的长臂，每个臂长4000米，数据4000用科学记数法表示为（） A．0.4×103 B．0.4×104 C．4×103 D．4×104 3．（3分）下列运算中，正确的是（） A． =3 B．（a+b）2=a2+b2 C．（）2= （a≠0） D．a3•a4=a12 4．（3分）2015年1月份，无锡市某周的日最低气温统计如下表，则这七天中日最低气温的众数和中位数分别是（）日期 19 20 21 22 23 24 25 最低气温/℃ 2 4 5 3 4 6 7 A．4，4 B．5，4 C．4，3 D．4，4.5 5．（3分）如图所示，AB∥CD，∠CAB=116°，∠E=40°，则∠D的度数是（） A．24° B．26° C．34° D．22° 6．（3分）已知反比例函数的图象经过点P（a，a），则这个函数的图象位于（） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 7．（3分）五张标有2、6，3，4，1的卡片，除数字外，其它没有任何区别，现将它们背面朝上，从中任取一张，得到卡片的数字为偶数的概率是（） A． B． C． D． 8．（3分）因为sin30°= ，sin210°= ，所以sin210°=sin（180°+30°）=�sin30°；因为sin45°= ，sin225°= ，所以sin225°=sin（180°+45°）=�sin45°，由此猜想，推理知：一般地当α为锐角时有sin（180°+α）=�sinα，由此可知：sin240°=（） A． B． C． D． 9．（3分）菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，点B的坐标为（9，3 ），点D是AB的中点，点P在OB上，则△ADP的周长最小值为（） A．3 +3 B．3 +3 C．3 D．3 10．（3分）如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=�x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，以AP为一边作等边三角形APB（顺时针），取线段AB的中点H，当点P从点O运动到点N时，点H运动的路径长是（） A． B．2 C．1 D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（3分）分解因式：x2�4= ． 12．（3分）若分式的值为0，则x的值等于． 13．（3分）甲、乙两人进行射击测试，每人20次射击成绩的平均数都是8.5环，方差分别是：S甲2=3，S乙2=2.5，则射击成绩较稳定的是（填“甲”或“乙”）． 14．（3分）不等式组的最大整数解是． 15．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积是． 16．（3 分）如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F的长度为． 17．（3分）已知当x=m和x=n时，多项式x2�4x+1的值相等，且m≠n，则当x=m+n�3时多项式x2�4x+1的值为． 18．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为．三、解答题（本大题共10小题，共76分，把解答过程写在答题卷相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明）． 19．（5分）计算：�3tan30°�（）�2． 20．（5分）先化简，再求值：，其中a满足a2+3a=5． 21．（6分）学校准备随机选出七、八两个年级各1名学生担任领操员．现已知这两个年级分别选送一男、一女共4名学生为备选人，请你利用树状图或列表求选出“一男一女”两名领操员的概率． 22．（6分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．（1）求证：AD=AF；（2）如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论． 23．（8分）某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分．组别正确字数x 人数A 0≤x＜8 10 B 8≤x＜16 15 C 16≤x＜24 25 D 24≤x＜32 m E 32≤x＜40 n 根据以上信息解决下列问题：（1）在统计表中，m= ，n= ，并补全条形统计图．（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是．（3）若该校共有900名学生，如果听写正确的个数少于24个定为不合格，请你估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数． 24．（8分）某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名同学购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？ 25．（8分）如图，一次函数y=kx�4（k≠0）的图象与y轴交于点A，与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点B（6，b）．（1）b= ；k= ．（2）点C是直线AB上的动点（与点A，B不重合），过点C且平行于y轴的直线l交这个反比例函数的图象于点D，当点C的横坐标为3时，得△OCD，现将△OCD沿射线AB方向平移一定的距离（如图），得到△O′C′D′，若点O的对应点O′落在该反比例函数图象上，求点O′，D′的坐标． 26．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线．（2）若BC=2 ，sin∠BCP= ，求点B到AC 的距离．（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长． 27．（10分）如图1，在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD�DE运动，到点E停止，点P在AD上以5cm/s的速度运动，在DE上以1cm/s的速度运动，过点P 作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN．设点P的运动时间为t（s）．（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为cm．（用含t的代数式表示）（2）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．（3）如图2，若点O在线段BC上，且CO=1，以点O为圆心，1cm长为半径作圆，当点P开始运动时，⊙O 的半径以0.2cm/s的速度开始不断增大，当⊙O与正方形PQMN的边所在直线相切时，求此时的t值． 28．（10分）如图1，抛物线y=ax2�6ax+6（a≠0）与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜8），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）分别求出直线AB和抛物线的函数表达式．（2）设△PMN的面积为S1，△AEN 的面积为S2，若S1：S2=36：25，求m的值．（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B．①在x轴上找一点Q，使△OQE′∽△OE′A，并求出Q点的坐标．②求BE′+ AE′的最小值．2017年江苏省苏州中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）�3的相反数是（） A．�3 B．3 C． D．【解答】解：�3的相反数是3．故选：B． 2．（3分）北京时间2016年2月11日23点30分，科学家宣布：人类首次直接探测到了引力波，印证了爱因斯坦100年前的预言，引力波探测器LIGO的主要部分是两个互相垂直的长臂，每个臂长4000米，数据4000用科学记数法表示为（）A．0.4×103 B．0.4×104 C．4×103 D．4×104 【解答】解：4000=4×103，故选：C． 3．（3分）下列运算中，正确的是（） A． =3 B．（a+b）2=a2+b2 C．（）2= （a≠0） D．a3•a4=a12 【解答】解：（�3）3=�27，负数没有平方根，故A错误；（a+b）2=a2+2ab+b2，故B错误；（）2= ，故C正确；a3•a4=a7，故D错误．故选：C． 4．（3分）2015年1月份，无锡市某周的日最低气温统计如下表，则这七天中日最低气温的众数和中位数分别是（）日期 19 20 21 22 23 24 25 最低气温/℃ 2 4 5 3 4 6 7 A．4，4 B．5，4 C．4，3 D．4，4.5 【解答】解：将一周气温按从小到大的顺序排列为2，3，4，4，5，6，7，中位数为第四个数4； 4出现了2次，故众数为4．故选：A． 5．（3分）如图所示，AB∥CD，∠CAB=116°，∠E=40°，则∠D的度数是（） A．24° B．26° C．34° D．22° 【解答】解：∵AB∥CD，∠CAB=116°，∴∠ACD=180°�∠CAB=64°，∵∠E=40°，∴∠D=∠ACD�∠E=24°．故选：A． 6．（3分）已知反比例函数的图象经过点P（a，a），则这个函数的图象位于（）A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限【解答】解：设反比例函数解析式为y= （k≠0），∵点P（a，a）在反比例函数图象上，∴k=a2．当a≠0时，k=a2＞0，反比例函数图象在第一、三象限；当a=0时，点P为原点，不可能在反比例函数图象上，故无此种情况．故选：A． 7．（3分）五张标有2、6，3，4，1的卡片，除数字外，其它没有任何区别，现将它们背面朝上，从中任取一张，得到卡片的数字为偶数的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：在2、6，3，4，1这5张卡片中，数字为偶数的有2、6、4这3张，∴得到卡片的数字为偶数的概率为，故选：C． 8．（3分）因为sin30°= ，sin210°= ，所以sin210°=sin（180°+30°）=�sin30°；因为sin45°= ，sin225°= ，所以sin225°=sin（180°+45°）=�sin45°，由此猜想，推理知：一般地当α为锐角时有sin（180°+α）=�sinα，由此可知：sin240°=（） A． B． C． D．【解答】解：∵当α为锐角时有sin（180°+α）=�sinα，∴sin240°=sin（180°+60°）=�sin60°=�．故选：C． 9．（3分）菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点B的坐标为（9，3 ），点D是AB的中点，点P在OB上，则△ADP的周长最小值为（） A．3 +3 B．3 +3 C．3 D．3 【解答】解：如图，连接CD交OB于P，连接PA，此时△AD P的周长最小．作BH⊥x轴于H．∵B（9，3 ），∴OH=9，BH=3 ，∵∠BHO=90°，∴OB= =6 ，∴OB=2BH，∴∠BOH=30°，∠OBH=60°，∵四边形OABC为菱形，∴设OC=BC=x，∴CH=OH�OC=9�x，在Rt△BCH中，∠BHC=90°，∴BC2=CH2+BH2，∴x2=（9�x）2+27，∴x=6，∴A（3，3 ），B（9，3 ），C（6，0），∵D为AB中点，∴D （6，3 ），∴CD=3 ，AD=3，∴△ADP的周长的最小值=AD+CD=3+3 ，故选：B． 10．（3分）如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=�x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，以AP为一边作等边三角形APB（顺时针），取线段AB 的中点H，当点P从点O运动到点N时，点H运动的路径长是（）A． B．2 C．1 D．【解答】解：由上图可知，当P在O点时，△AOB1为正三角形，当P在N点时，△ANB2为正三角形，H1，H2分别为AB1与AB2的中点，∵P在直线ON上运动，∴B1B2的运动轨迹也为直线，∵△OAB1为正三角形，∴∠OAB1=∠1+∠2=60°，同理∠NAB2=∠2+∠3=60°，∴∠1=∠3，在△OAN与△B1AB2中，，∴△OAN≌△B1AB2，∴B1B2=ON，∴点A横坐标为，∵AN⊥x轴，∴M（，0），∵直线ON的解析式为：y=�x，∴∠MON=45°，∴N （，�），∴ON=2=B1B2，∵H1，H2分别为AB1 与AB2的中点，∴H1H2= B1B2=1，故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（3分）分解因式：x2�4= （x+2）（x�2）．【解答】解：x2�4=（x+2）（x�2）．故答案为：（x+2）（x�2）． 12．（3分）若分式的值为0，则x的值等于 3 ．【解答】解：由题意得：x�3=0，且x≠0，解得：x=3，故答案为：3． 13．（3分）甲、乙两人进行射击测试，每人20次射击成绩的平均数都是8.5环，方差分别是：S甲2=3，S乙2=2.5，则射击成绩较稳定的是乙（填“甲”或“乙”）．【解答】解：∵S甲2=3，S乙2=2.5，∴S甲2＞S乙2，∴乙的射击成绩较稳定．故答案为：乙． 14．（3分）不等式组的最大整数解是 2 ．【解答】解：，由①得，x＜3；由②得，x≥�1；∴不等式组的解为�1≤x＜3，它所包含的整数为�1，0，1，2．∴它的最大整数解为2．故答案为2． 15．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积是3π．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120°，∴阴影部分的面积是 =3π，故答案为：3π． 16．（3分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE 沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F的长度为2�．【解答】解：∵在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，∴AE= ，由折叠易得△ABB′为等腰直角三角形，∴S△ABB′= BA•AB′=2，S△ABE=1，∴CB′=2BE�BC=2 �2，∵AB∥CD，∴∠FCB′=∠B=45°，又由折叠的性质知，∠B′=∠B=45°，∴CF=FB′=2�．故答案为：2�． 17．（3分）已知当x=m和x=n时，多项式x2�4x+1的值相等，且m≠n，则当x=m+n�3时多项式x2�4x+1的值为�2 ．【解答】解：∵x=m 和x=n时，多项式x2�4x+1的值相等，∴y=x2�4x+1的对称轴为直线x= =�，解得m+n=4，∴x =m+n�3=4�3=1，x2�4x+1=12�4×1+1=�2．故答案为：�2 18．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为．【解答】解：如图，作BF⊥l3，AE⊥l3，∵∠ACB=90°，∴∠BCF+∠ACE=90°，∵∠BCF+∠CBF=90°，∴∠ACE=∠CBF，在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF，∴CE=BF=3，CF=AE=4，∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，∴AG=1，BG=EF=CF+CE=7 ∴AB= =5 ，∵l2∥l3，∴ = ∴DG= CE= ，∴BD=BG�DG=7�= ，∴ = ．故答案为：．三、解答题（本大题共10小题，共76分，把解答过程写在答题卷相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明）． 19．（5分）计算：�3tan30°�（）�2．【解答】解：原式=2 �3× �4= �4． 20．（5分）先化简，再求值：，其中a满足a2+3a=5．【解答】解：原式= ÷ = ÷ = • = ，当a2+3a=5时，原式= ． 21．（6分）学校准备随机选出七、八两个年级各1名学生担任领操员．现已知这两个年级分别选送一男、一女共4名学生为备选人，请你利用树状图或列表求选出“一男一女”两名领操员的概率．【解答】解：画树状图如下：由上面的树状图可知，一共有4种情况，一男一女所占的情况有2种，∴概率为 = ． 22．（6分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．（1）求证：AD=AF；（2）如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠EAF=∠EDB，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEB中，，∴△AEF≌△DEB（ASA），∴AF=BD，∵在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，∴AD=BD=DC= BC，∴AD=AF；（2）解：四边形ADCF是正方形．∵AF=BD=DC，AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AB=AC，AD是中线，∴AD⊥BC，∵AD=AF，∴四边形ADCF是正方形． 23．（8分）某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分．组别正确字数x 人数A 0≤x＜8 10 B 8≤x＜16 15 C 16≤x＜24 25 D 24≤x＜32 m E 32≤x＜40 n 根据以上信息解决下列问题：（1）在统计表中，m= 30 ，n= 20 ，并补全条形统计图．（2）扇形统计图中“C 组”所对应的圆心角的度数是90°．（3）若该校共有900名学生，如果听写正确的个数少于24个定为不合格，请你估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数．【解答】解：（1）抽查的总人数是：15÷15%=100（人），则m=100×30%=30，n=100×20%=20．．故答案是：30，20；（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是：360°× =90°．故答案是：90°；（3）“听写正确的个数少于24个”的人数有：10+15+25=50 （人）．900× =450 （人）．答：这所学校本次比赛听写不合格的学生人数约为450人． 24．（8分）某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名同学购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？【解答】解：设甲、乙两种票各买x张，y张，根据题意，得：，解得：，答：甲、乙两种票各买20张，15张． 25．（8分）如图，一次函数y=kx�4（k≠0）的图象与y轴交于点A，与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点B（6，b）．（1）b= 2 ；k= 1 ．（2）点C是直线AB上的动点（与点A，B不重合），过点C且平行于y轴的直线l交这个反比例函数的图象于点D，当点C的横坐标为3时，得△OCD，现将△OCD沿射线AB方向平移一定的距离（如图），得到△O′C′D′，若点O的对应点O′落在该反比例函数图象上，求点O′，D′的坐标．【解答】解：（1）∵点B在反比例函数y= （x＞0）的图象上，将B（6，b）代入y= ，得b=2，∴B（6，2），∵点B在直线y=kx�4上，∴2=6k�4，解得k�1，故答案为：2，1．（2）∵点C的横坐标为3，把x=3代入y=x�4，得y=�1，∴C（3，�1），∵CD∥y轴，∴点D的横坐标为3，把x=3代入y= ，可得y=4，∴D（3，4）．由平移可得，△OCD≌△O'C'D'，设O'（a，），则C'（a+3，�1），∵点C'在直线y=x�4上，∴ �1=a+3�4，∴ =a，∵a＞0，∴a=2 ，∴O'（2 ，2 ），∴D'（2 +3，2 +4）． 26．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线．（2）若BC=2 ，sin∠BCP= ，求点B到AC的距离．（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．【解答】解：（1）∵∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180° ∴2∠BCP+2∠BCA=180°，∴∠BCP+∠BCA=90°，又C点在直径上，∴直线CP是⊙O的切线．（2）如右图，作BD⊥AC于点D，∵PC⊥AC ∴BD∥PC ∴∠PCB=∠DBC ∵BC=2 ，sin∠BCP= ，∴sin∠BCP=sin∠DBC= = = ，解得：DC=2，∴由勾股定理得：BD=4，∴点B到AC的距离为4．（3）如右图，连接AN，∵AC为直径，∴∠ANC=90°，∴Rt△ACN 中，AC= =5，又CD=2，∴AD=AC�CD=5�2=3．∵BD∥CP，∴ ，∴CP= ．在Rt△ACP中，AP= = ， AC+CP+ AP=5+ + =20，∴△ACP 的周长为20． 27．（10分）如图1，在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD�DE运动，到点E停止，点P在AD上以5cm/s的速度运动，在DE 上以1cm/s的速度运动，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN．设点P的运动时间为t（s）．（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为（t�1）cm．（用含t的代数式表示）（2）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．（3）如图2，若点O在线段BC上，且CO=1，以点O为圆心，1cm长为半径作圆，当点P开始运动时，⊙O的半径以0.2cm/s的速度开始不断增大，当⊙O与正方形PQMN的边所在直线相切时，求此时的t值．【解答】解：（1）由勾股定理可知AB= =10．∵D、E分别为AB和BC的中点，∴DE= AC=4，AD= AB=5．∴点P在AD上的运动时间= =1s，当点P在线段DE上运动时，DP段的运动时间为（t�1）s，∵DE段运动速度为1cm/s，∴DP=（t�1）cm，故答案为：t�1．（2）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有一种情况，如下图所示．当正方形的边长大于DP时，重叠部分为五边形，∴3＞t�1，t＜4，DP＞0，∴t�1＞0，解得t＞1．∴1＜t＜4．∵△DFN∽△ABC，∴ = = = ，∵DN=PN�PD，∴DN=3�（t�1）=4�t，∴ = ，∴FN= ，∴FM=3�= ， S=S梯形FMHD+S矩形DHQP，∴S= ×（ +3）×（4�t ）+3（t�1）=�t2+3t+3（1＜t＜4）．（3）①当圆与边PQ相切时，如下图，当圆与PQ相切时，r=PE，由（1）可知，PD=（t�1）cm，∴PE=DE�DP=4�（t�1）=（5�t）cm，∵r 以0.2cm/s的速度不断增大，∴r=1+0.2t，∴1+0.2t=5�t，解得：t= s．②当圆与MN相切时，r=CM．由（1）可知，DP=（t�1）cm，则PE=CQ=（5�t）cm，MQ=3cm，∴MC=mq+cq=5�t+3=（8�t）cm，∴1+0.2t=8�t，解得：t= s．∵P到E点停止，∴t�1≤4，即t≤5，∴t= s（舍），综上所述，当t= s时，⊙O与正方形PQMN的边所在直线相切． 28．（10分）如图1，抛物线y=ax2�6ax+6（a≠0）与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜8），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）分别求出直线AB和抛物线的函数表达式．（2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，若S1：S2=36：25，求m的值．（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B．①在x轴上找一点Q，使△OQE′∽△OE′A，并求出Q点的坐标．②求BE′+ AE′的最小值．【解答】解：（1）把点A（8，0）代入抛物线y=ax2�6ax+6，得64a�48a+6=0，∴16a=�6，a=�，∴y=�x2+ x+6与y轴交点，令x=0，得y=6，∴B（0，6）．设AB为y=kx+b过A（8，0），B（0，6），∴ ，解得：，∴直线AB的解析式为y=�x+6．（2）∵E（m，0），∴N（m，�m+6），P（m，� m2+ m+6）．∵PE∥OB，∴△ANE∽△ABO，∴ = ，∴ = ，解得：AN= ．∵PM⊥AB，∴∠PMN=∠NEA=90°．又∵∠PNM=∠ANE，∴△NMP∽△NEA．∵ = ，∴ = ，∴PM= AN= × =12�m．又∵PM=�m2+ m+6�6+ m=�m2+3m，∴12�m=�m2+3m，整理得：m2�12m+32=0，解得：m=4或m=8．∵0＜m＜8，∴m=4．（3）①在（2）的条件下，m=4，∴E（4，0），设Q（d，0）．由旋转的性质可知OE′=OE=4，若△OQE′∽△OE′A．∴ = ．∵0°＜α＜90°，∴d＞0，∴ = ，解得：d=2，∴Q（2，0）．②由①可知，当Q为（2，0）时，△OQE′∽△OE′A，且相似比为 = = = ，∴ AE′=QE′，∴BE′+ AE′=BE′+QE′，∴当E′旋转到BQ所在直线上时，BE′+QE′最小，即为BQ长度，∵B（0，6），Q（2，0），∴BQ= =2，∴BE′+ AE′的最小值为2 ．。

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