18学年高中数学第三章不等式章末检测卷新人教A版必修5

第三章 不等式章末检测卷(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是( ) A ．ac >bd B ．a －c >b －d C ．a ＋c >b ＋d D.a d >b c答案 C解析 ∵a >b ，c >d ，∴a ＋c >b ＋d . 2．不等式1x <12的解集是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(0,2)D ．(－∞，0)∪(2，＋∞)答案 D 解析 由1x <12，得1x －12＝2－x 2x<0， 即x (2－x )<0，解得x >2或x <0，故选D. 3．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N答案 A解析 ∵M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3) ＝(2a 2－4a )－(a 2－2a －3)＝a 2－2a ＋3 ＝(a －1)2＋2>0. ∴M >N .4．已知点P (x 0，y 0)和点A (1,2)在直线l ：3x ＋2y －8＝0的异侧，则( ) A ．3x 0＋2y 0>0 B ．3x 0＋2y 0<0 C ．3x 0＋2y 0<8 D ．3x 0＋2y 0>8答案 D解析 设f (x ，y )＝3x ＋2y －8，则由题意，得f (x 0，y 0)·f (1,2)<0，得3x 0＋2y 0－8>0. 5．不等式x 2－ax －12a 2<0(其中a <0)的解集为( ) A ．(－3a,4a ) B ．(4a ，－3a ) C ．(－3,4) D ．(2a,6a )答案 B解析 方程x 2－ax －12a 2＝0的两根为4a ，－3a ， 且4a <－3a ，故不等式的解集为4a <x <－3a .6．已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12 答案 A解析 由题意知y ＝x ＋3z2，所以y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz ＝x 2＋9z 24xz ＋32≥29x 2z 24xz ＋32＝32＋32＝3(当且仅当x 2＝9z 2时等号成立)，所以y 2xz的最小值为3.7．方程x 2＋(m －2)x ＋5－m ＝0的两根都大于2，则m 的取值范围是( ) A ．(－5，－4] B ．(－∞，－4]C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－5)∪(－5，－4]答案 A解析 令f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m ，要使f (x )＝0的两根都大于2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m －2－－m ，f ，－m －22>2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥16，m >－5，⇒－5<m ≤－4，m <－2故选A.8．如果log 3m ＋log 3n ≥4，那么m ＋n 的最小值为( ) A ．4 B ．4 3 C ．9 D ．18 答案 D解析 ∵log 3m ＋log 3n ＝log 3mn ≥4， ∴mn ≥34，又由已知条件隐含着m >0，n >0.故m ＋n ≥2mn ≥234＝18，当且仅当m ＝n ＝9时取到最小值． ∴m ＋n 的最小值为18.9．已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( ) A ．(1－3，2) B ．(0,2) C ．(3－1,2) D ．(0,1＋3) 答案 A解析 如图，根据题意得C (1＋3，2)．作直线－x ＋y ＝0，并向左上或右下平移，过点B (1,3)和C (1＋3，2)时，z ＝－x ＋y 分别取得最大值和最小值， 即－(1＋3)＋2<z <－1＋3，∴z ＝－x ＋y 的取值范围是(1－3，2)．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集是( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]答案 A解析 f (x )≥x 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋2≥x2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x ＋2≥x2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2－x －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 2＋x －2≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－1≤x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－2≤x ≤1⇔－1≤x ≤0或0<x ≤1 ⇔－1≤x ≤1.11．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C ．5 D ．6 答案 C解析 ∵x ＋3y ＝5xy ，∴15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×1＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋2 3x 5y ·12y5x＝5， 当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立．12．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为( )A.256B.83C.113 D ．4 答案 A解析 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分(含边界)，当直线ax ＋by ＝z (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时， 目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值12， 即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，而2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·2a ＋3b 6＝136＋(b a ＋a b )≥136＋2＝256(当且仅当a ＝b ＝65时取等号)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．关于x 的不等式x 2－2x ＋3≤a 2－2a －1在R 上的解集是∅，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－1,3)解析 ∵x 2－2x －(a 2－2a －4)≤0的解集为∅，∴Δ＝4＋4(a 2－2a －4)<0， ∴a 2－2a －3<0，∴－1<a <3.14．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x ＋2)<5的解集是____________． 答案 {x |－7<x <3} 解析 令x <0，则－x >0， ∵x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x 2＋4x ， 又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴x <0时，f (x )＝x 2＋4x ，故有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x <0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x <5，得0≤x <5；由⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x 2＋4x <5，得－5<x <0，即f (x )<5的解集为(－5,5)．由于f (x )向左平移两个单位即得f (x ＋2)， 故f (x ＋2)<5的解集为{x |－7<x <3}．15．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．答案 52解析 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，作出直线l ：x ＋y ＝0，由图可知当l 平移到A 点时，z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，x －3y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝58，y ＝158，∴A (58，158)，∴z max ＝58＋158＝208＝52.16．设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b 取得最小值．答案 －2解析 由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a |＋|a |b≥2b 4|a |·|a |b＝1， 因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54； 当a <0时，12|a |＋|a |b 的最小值是－14＋1＝34. 故12|a |＋|a |b 的最小值为34， 此时⎩⎪⎨⎪⎧b 4|a |＝|a |b，a <0，即a ＝－2.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)当x >3时，求函数y ＝2x 2x －3的值域．解 ∵x >3，∴x －3>0. ∴y ＝2x 2x －3＝x －2＋x －＋18x －3＝2(x －3)＋18x －3＋12≥2 x －18x －3＋12＝24. 当且仅当2(x －3)＝18x －3，即x ＝6时，上式等号成立， ∴函数y ＝2x2x －3的值域为[24，＋∞)．18．(12分)若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R . 解 (1)由题意知1－a <0且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a <0，41－a＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3.∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0，即为2x 2－x －3>0， 解得x <－1或x >32.∴所求不等式的解集为{x |x <－1或x >32}．(2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0， 若此不等式的解集为R ，则Δ＝b 2－4×3×3≤0， ∴－6≤b ≤6.19．(12分)已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解 方法一 f (x )＝(x －a )2＋2－a 2， 此二次函数图象的对称轴为x ＝a .①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ， 即2a ＋3≥a ，解得－3≤a <－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2， 由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围为－3≤a ≤1. 方法二 令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立， 即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a <－1，g －，解得－3≤a ≤1.20．(12分)某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时，若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润W ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)由题意知约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋－x －y ，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N .目标函数为W ＝2x ＋3y ＋300，作出可行域如图中阴影部分所示(整点)，作初始直线l 0∶2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，W 有最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50，最优解为A (50,50)， 所以W max ＝550元．所以每天生产的卫兵个数为50，骑兵个数为50，伞兵个数为0时利润最大，最大利润为550元．21．(12分)甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是 100(5x ＋1－3x)元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于 3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解 (1)根据题意，200(5x ＋1－3x )≥3 000⇒5x －14－3x≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.(2)设利润为y 元，则y ＝900x ×100(5x ＋1－3x)＝9×104×[－3(1x －16)2＋6112]，故x ＝6千克/小时时，y max ＝457 500元．22．(12分)已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }． (1)求a ，b 的值；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解 (1)由题意知，1和b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝1＋b ，2a ＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即为x 2－(c ＋2)x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0. ①当c >2时，原不等式的解集为{x |2<x <c }； ②当c <2时，原不等式的解集为{x |c <x <2}； ③当c ＝2时，原不等式无解．综上知，当c >2时，原不等式的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，原不等式的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，原不等式的解集为∅.。