甘肃省兰州一中高三数学第三次模拟考试 文【会员独享】
甘肃省兰州一中高三数学实战演练(三)【会员独享】
甘肃省兰州一中高三数学实战演练（三）【会员独享】第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的)1．若全集R U =，}20|{<<=x x A ，}1|||{≤=x x B ，则B A C U ⋂)(为（ ） A ．}01|{<≤-x x B ．}11|{≤≤-x x C ．}21|{≤≤x x D ．}01|{≤≤-x x 2．（理）如果复数i a a a a z )23(222+-+-+=为纯虚数，那么实数a 的值为（ ） A ．－2 B ．1 C ．2 D ．1或 －2 （文）下列四个函数中，在（0，1）上为增函数的是（ ）A ．x y sin =B ．x y 2log -=C ．xy )21(= D ．12y x -=3．两个非零向量a ，b 互相垂直，给出下列各式： ①a ·b ＝0；②a ＋b ＝a －b ； ③|a ＋b|＝|a －b |；④|a |2＋|b |2＝(a ＋b 2)； ⑤（a ＋b ）·（a －b ）＝0．其中正确的式子有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个4．（理）已知等比数列{n a }的前n 项和12-=n n S ，则++2221a a (2)na +等于（ ） A ．2)12(-n B ．)12(31-nC ．14-nD ．)14(31-n（文）若数列{n a }的前n 项和为2n S n =，则（ ）A ．12-=n a nB ．12+=n a nC ．12--=n a nD ．12+-=n a n5．设 f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧><+)0(,log ),0(,121x x x x x,则f (x )≥21的解集是( )A ．(－∞,－2]∪[22, +∞) B. [－2, 0)∪(0,22] C. [－2, 0)∪[22, +∞) D. (－∞,－2]∪(0,22]6．函数y ＝sin x |cot x |（0＜x ＜）的图像的大致形状是（ ）7．若△ABC 的内角满足sin A ＋cos A ＞0，tan A －sin A ＜0，则角A 的取值范围是（ ） A ．（0，4π） B ．（4π，2π） C ．（2π，34π） D ．（34π，）8．（理）若直线4x －3y －2＝0与圆01242222=-++-+a y ax y x 有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．－3＜a ＜7B ．－6＜a ＜4C ．－7＜a ＜3D ．－21＜a ＜19（文）圆064422=++-+y x y x 截直线x －y －5＝0所得弦长等于（ ） A ．6 B ．225 C ．1 D ．59．0 1 2 3 4 5 2x3x7x2x3xxA ．181B ．91C ．920D ．209(文)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图)，为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在(1500，2000)(元)月收入段应抽出的人数为（ ）A ．20B ．30C ．40D ．5010．以下四个命题：①PA 、PB 是平面α的两条长度相等的斜线段，则它们在平面α内的射影的长度必相等；②平面α内的两直线12l l ﹑，若12l l ﹑均与平面β平行，则α∥β；③若平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；④α、β为两相交平面，且α不垂直于β，α内有一定直线l ，则在平面β内有无数条直线与l 垂直．其中正确的命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．从6名学生中选出4人分别从事A 、B 、C 、D 四项不同的工作，若其中甲、乙两人不能从事A 种工作，则不同的选派方案共有 ( )A ．96种B ．180种C ．240种D ．280种12．（理）已知抛物线C ：22++=mx x y 与经过A （0，1），B （2，3）两点的线段AB 有公共点，则m 的取值范围是( )A ．-∞(，]1- [3，)∞+B ．[3，)∞+C ．-∞(，]1-D ．[－1，3] （文）设R ∈x ，则函数)1|)(|1()(x x x f +-=的图像在x 轴上方的充要条件是( )A ．－1＜x ＜1B ．x ＜－1或x ＞1C ．x ＜1D ．－1＜x ＜1或x ＜－1第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题(本题共4小题，共20分)13． （理）若2)2122(lim 2=++-+∞→bn n an n n ，则实数a ＋b 的值为________． （文）在83)12(xx -的展开式中常数项是________． 14．已知点),(y x P 满足条件y x z k k y x x y x 3),(02,,0+=⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥若为常数的最大值为8，则k = . 15．已知正方体ABCD －A'B'C'D'，则该正方体的体积、四棱锥C'－ABCD 的体积以及该正方体的外接球的体积之比为________．16． 已知抛物线24y x =的准线与双曲线 22211x y a -=交于A 、B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知函数()212cos ,22f x x x x =--∈R. （I ）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（II ）设ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且()0c f C =，若向量()1,sin A =m 与向量()2,sin B =n 共线，求,a b 的值.18. （本小题满分12分）（理）袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求：(1)随机变量ξ的概率分布； (9分) (2)随机变量ξ的数学期望与方差. （3分）（文）有甲、乙两只口袋，甲袋装有4个白球2个黑球，乙袋装有3个白球和4个黑球，若从甲、乙两袋中各任取出两球后并交换放入袋中． （1）求甲袋内恰好有2个白球的概率；（2）求甲袋内恰好有4个白球的概率.19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， 190,22ACB AC AA BC ∠====.（1）若D 为AA 1中点，求证：平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D ； （2）若二面角B 1—DC —C 1的大小为60°，求AD 的长.20．（本小题满分12分）等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =. （1）求n a 与n b ； （2）证明：121111233n S S S ≤+++<…C 1B 1A 1BADC21．（本小题满分12分） （理）已知函数1()[3ln(2)ln(2)].2f x x x =+-- （1） 求x 为何值时，]7,3[)(在x f 上取得最大值；（2）设)(),()1ln()(x F x f x a x F 若--=是单调递增函数，求a 的取值范围. （文）已知函数32()3f x x ax x =--．（1）若)(x f 在∈x [1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）若x ＝3是)(x f 的极值点，求)(x f 在∈x [1，a ]上的最小值和最大值．22. （本小题满分12分）若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 过点),2,3(-离心率为,33⊙O 的圆心为原点，直径为椭圆的短轴，⊙M 的方程为,4)6()8(22=-+-y x 过⊙M 上任一点P 作⊙O 的切线,,PB PA 切点为.,B A （1）求椭圆的方程；（2）若直线PA 与⊙M 的另一交点为,Q 当弦PQ 最大时，求直线PA 的直线方程； （3）求OB OA ⋅的最大值与最小值.参考答案一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本题共4小题，共20分，把答案填在题中的横线上)13.理－1 文7 14. －6 15. 6∶2∶π33 16.三、解答题：本大题共6小题，共7分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知函数()212cos ,2f x x x x =--∈R. （I ）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（II ）设ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且()0c f C =，若向量()1,sin A =m 与向量()2,sin B =n 共线，求,a b 的值.解:（I ）1cos 21()222x f x x +=--=sin(2)16x π-- …………3分则()f x 的最小值是－2,最小正周期是22T ππ==. ……………………5分 （II ）()sin(2)106f C C π=--=,则sin(2)6C π-=1, 0,022C C ππ<<∴<<,112666C πππ∴-<-<,26C π∴-=2π, 3C π=, ………………………………………………7分向量()1,sin m A =与向量()2,sin n B =共线∴1sin 2sin AB=， ……………………………………………………8分 由正弦定理得，12a b = ①由余弦定理得，2222cos3c a b ab π=+-，即3=22a b ab +- ②由①②解得1,2a b ==. ……………………………………………………10分18. （本小题满分12分）（理）袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求：(1)随机变量ξ的概率分布； (9分)(2)随机变量ξ的数学期望与方差. （3分）（文）有甲、乙两只口袋，甲袋装有4个白球2个黑球，乙袋装有3个白球和4个黑球，若从甲、乙两袋中各任取出两球后并交换放入袋中． （1）求甲袋内恰好有2个白球的概率；（2）求甲袋内恰好有4个白球的概率.解：(理) (1)随机变量ξ可取的值为2,3,4.………………..2分11123211543(2);5C C C P C C ξ=== 212123*********(3);10P C P C P C C C ξ+=== 3132111154321(4);10P C P C C C C ξ===……………….8分得随机变量ξ的概率分布律为：………………..9分(2)随机变量ξ的数学期望为：2510141033532=⋅+⋅+⋅=ξE ；…………….10分 随机变量ξ的方差为：209101)5.24(103)5.23(53)5.22(222=⋅-+⋅-+⋅-=ξD …..12分（文）(1) 设甲袋内恰好有2个白球为事件A,()P A =22442267435C C C C =⋅⋅…………………4分(2)设甲袋内恰好有4个白球为事件B ，则B 包含三种情况． ……………5分①甲袋中取2个白球，且乙袋中取2个白球，②甲袋中取1个白球，1个黑球，且乙袋中取1个白球，1个黑球，③甲、乙两袋中各取2个黑球．……………………..8分∴ =)(B P 2211112243423424226721C C C C C C C C C C ++8=⋅⋅⋅⋅⋅⋅．…….12分 19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， 190,22ACB AC AA BC ∠====.（Ⅰ）若D 为AA 1中点，求证：平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D ； （Ⅱ）若二面角B 1—DC —C 1的大小为60°，求AD 的长. 解法一：（Ⅰ）∵11190AC B ACB ∠=∠=，∴1111B C AC ⊥， 又由直三棱柱性质知111B C CC ⊥，∴11B C ⊥平面ACC 1A 1.∴11B C CD ⊥……① …………………………3分C 1B 1A 1BADC由D为中点可知，1DC DC =∴22211DC DC CC +=即1CD DC ⊥……② ……………… ……………5分由①②可知CD ⊥平面B 1C 1D ，又CD ⊂平面B 1CD ，故平面1B CD ⊥平面B 1C 1D . … 6分（Ⅱ）由（1）可知11B C ⊥平面ACC 1A 1，如图，在面ACC 1A 1内过C 1作1C E CD ⊥，交CD 或延长线于E ，连EB 1，由三垂线定理可知11B EC ∠为二面角B 1—DC —C 1的平面角， ……………8分∴1160.B EC ∠=由B 1C 1=2知，1C E =， ………………………………………10分 设AD=x，则DC ∵1DC C 的面积为1，∴13321212=⋅+⋅x ，解得x =AD = ……………………………………12分解法二：（Ⅰ）如图，以C 为原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x, y, z 轴建立空间直角坐标系. 则 C （0，0，0），A （1，0，0），B 1（0，2，2），C 1（0，0，2），D （1，0，1）.即11(0,2,0),(1,0,1),(1,0,1)C B DC CD ==-=0101)1,0,1()1,0,1(;,0000)0,2,0()1,0,1(111=++-=-⋅=⋅⊥=++=⋅=⋅DC CD B C CD B C CD 由得由得1CD DC ⊥；又111DC C B C =，∴CD ⊥平面B 1C 1D .又CD ⊂平面B 1CD ，∴平面1B CD ⊥平面B 1C 1D ……………………………6分（Ⅱ）设AD=a ，则D 点坐标为（1，0，a ），1(1,0,),(0,2,2)CD a CB ==， 设平面B 1CD 的法向量为(,,)m x y z =. 则由,1,0220001-=⎩⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅z z y ax x CD m CB m 令 0,220x az y z +=⎧⇒⎨+=⎩令z=-1. 得(,1,1)m a =-，又平面C 1DC 的法向量为(0,1,0)n =， 则由2121||||60cos 2=+⇒=a n m，即a =，故AD = ……………………………………12分20．（本小题满分12分）等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =.（1）求n a 与n b ； （2）证明：121111233n S S S ≤+++<…解：（I ）由已知可得223123q a a q q ++=⎧⎪+⎨=⎪⎩…………2分 解得，3q =或4q =-（舍去），26a =……………4分3(1)33n a n n ∴=+-= 13n n b -=………………6分（2）证明：(33)12211()2(33)31n n n n S S n n n n +=∴==-++……………..7分121112*********(1)(1)322334131n S S S n n n ∴+++=-+-+-++-=-++………….9分11121210(1)123313n n n ≥∴<≤∴≤-<++…………11分故121111233n S S S ≤+++<…………………..12分21．（本小题满分12分） （理）已知函数1()[3ln(2)ln(2)].2f x x x =+-- （I ） 求x 为何值时，]7,3[)(在x f 上取得最大值；（Ⅱ）设)(),()1ln()(x F x f x a x F 若--=是单调递增函数，求a 的取值范围. （文）已知函数32()3f x x ax x =--．（1）若)(x f 在∈x [1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）若x ＝3是)(x f 的极值点，求)(x f 在∈x [1，a ]上的最小值和最大值．解：（Ⅰ）.44]2123[21)(2--=--+='x x x x x f …………………………3分 24,()0;4,()0.()(2,4),(4,).()[3,7].111(3)(7)[3ln 5ln1][3ln 9ln 5][ln 625ln 729]0,222x f x x f x f x f x f f ''∴<<<>>∴+∞∴-=---=-<当时当时在上是减函数在是增函数在上的最大值应在端点处取得(3)(7).7,()[3,7].6f f x f x ∴<=即当时取得在上的最大值分（Ⅱ）∵ F (x)是单调递增函数，/()0F x ∴≥恒成立又.)4)(1()1(45)1(441)(222--+-+-=----='x x a x x a x x x a x F 显然在F (x)2()(2,),(1)(4)0f x x x +∞-->的定义域上恒成立.2(1)54(1)0(2,)a x x a ∴-+-+≥+∞在恒成立. ………………………………10分下面分情况讨论a a x x a ,),2(0)1(45)1(2上恒成立时在∞>+-+-的解的情况. 当01<-a 时，显然不可能有2(1)54(1)0(2,)a x x a -+-+≥+∞在上恒成立. 当210,(1)54(1)580(2,)a a x x a x -=-+-+=->+∞时在上恒成立. 当01>-a 时，又有两种情况：①2516(1)(1)0a a +-+≤； ②252(1)2524(1)0.2(1)a a a -≤-⋅+⨯-+≥-且由①得21690a +≤，无解；由②得1.10, 1.4a a a ≥-->∴>综上所述各种情况，当21,(1)54(1)0(2,)a a x x a ≥-+-+≥+∞时在上恒成立. ∴所求的a 的取值范围为[).,1+∞ ………………………………………………12分(文)解：（1）0323)(2>--='ax x x f ． ∵ x ≥1． ∴ )1(23xx a -<， 当x ≥1时，)1(23x x -是增函数，其最小值为0)11(23=-． ∴ a ＜0（a ＝0时也符合题意）． ∴ a ≤0．…………………6分（2）0)3(='f ，即27－6a －3＝0， ∴ a ＝4．∴ x x x x f 34)(23--=有极大值点31-=x ，极小值点3=x ．此时f （x ）在31[-∈x ，]3上时减函数，在3[∈x ，＋)∞上是增函数． ∴ f （x ）在1[∈x ，]a 上的最小值是18)3(-=f ，最大值是6)1(-=f ，（因12)4()(-==f a f ）．…………………12分22. （本小题满分12分）若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 过点),2,3(-离心率为,33⊙O 的圆心为原点，直径为椭- 11 - 圆的短轴，⊙M 的方程为,4)6()8(22=-+-y x 过⊙M 上任一点P 作⊙O 的切线,,PB PA 切点为.,B A（1）求椭圆的方程；（2）若直线PA 与⊙M 的另一交点为,Q 当弦PQ 最大时，求直线PA 的直线方程；（3）求OB OA ⋅的最大值与最小值.解：（1）由题意得：222222294115,10,a b a c ab a bc ⎧+=⎪⎪⎧=⎪⎪=∴⎨⎨=⎪⎩⎪⎪=+⎪⎩所以椭圆的方程为2211510x y +=…………4分 （2）由题可知当直线PA 过圆M 的圆心（8,6）时，弦PQ 最大。
高考三模 甘肃省兰州一中2015届高三第三次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案
兰州一中2015届高三第三次模拟考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将试题纸和答题卡一并交回．第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座位号和准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置．2．答题时，考生需用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|-1<x<1}，B={x|x2-3x≤0}，则A∩B等于()．A．B．(-1，3] C．，(45，50]，(50，55]，(55，60]进行分组，得到频率分布直方图如图所示．已知样本中体重在区间(45，50]上的女生数与体重在区间(55，60]上的女生数之比为4:3．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)从样本中体重在区间(50，60]上的女生中随机抽取两人，求体重在区间(55，60]上的女生至少有一人被抽中的概率．20．(本小题满分12分)已知⊙C过点P(1，1)，且与⊙M：(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称．(Ⅰ)求⊙C的方程；(Ⅱ)过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A，B，且直线P A和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．(Ⅰ)求a，b的值，并求函数f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)设g(x)=f(x)-3x，试问过点(2，2)可作多少条直线与曲线y=g(x)相切？请说明理由．请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲在△ABC 中，AB =AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 延长线于点D ．(Ⅰ)求证：PC PDAC BD=； (Ⅱ)若AC =2，求AP ·AD 的值．23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xoy 中，动点A 的坐标为(2-3sin α，3cos α-2)，其中α∈R ．以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的方程为ρcos(θ -4π)=a ． (Ⅰ)判断动点A 的轨迹表示什么曲线； (Ⅱ)若直线l 与动点A 的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a 的值．24．(本小题满分10分)选修4-5；不等式选讲若实数a ，b 满足ab >0，且a 2b =4，若a +b ≥m 恒成立． (Ⅰ)求m 的最大值； (Ⅱ)若2|x -1|+|x |≤a +b 对任意的a ，b 恒成立，求实数x 的取值范围．D兰州一中2015届高三第三次模拟试题文科数学参考答案一、选择题1．C 解析：∵A =(-1，1)，B =，则A ∩B =． 解析：直线y +2=k (x +1)过定点(-1，-2)，作图得k 的取值范围是(-∞，-2)∪(0，23]．14．16解析：在36对可能的结果中，和为7的有6对：(1，6)，(2，5)，(2，5)，(3，4)，(3，4)，(4，3)．∴得到两数之和为7的概率是61366=． 15．(1，-1) 解析：由题意可知b 的终点在直线x =1上，可设b =(1，y )，则||⋅a b b =17y 2+48y +31=0，∴y =-1或y =-3117(增解，舍去)，∴b =(1，-1)．16 解析：∵{a n }是等差数列，∴a =0，S n =n 2，∴a 2=3，a 3=5，a 4=7． 设三角形最大角为θ，由余弦定理，得cos θ=-12，∴θ=120°．∴该三角形的面积S =12×3×5×sin120°三、解答题17．(Ⅰ)解：a 1=2，a 2=2+k ，a 3=2+3k ，由a 22=a 1a 3得，(2+k )=2(2+3k )，∵k ≠0，∴k =2．······················································································2分 由a n +1=a n +2n ，得a n -a n -1=2(n -1)， ∴a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+···+(a n -a n -1)=2+2=n 2-n +2．·························6分(Ⅱ)解：(1)122n n n n a k n n n n k n ---==⋅⋅．·······························································8分 ∴T n =12301212222nn -+++⋅⋅⋅+， 2341101221222222n n n n n T +--=+++⋅⋅⋅++，························································10分 两式相减得，234111111111111111(1)22222222222n n n n n n n n n T +-++--+=+++⋅⋅⋅+-=--=-，∴T n =1-12nn +．·······················································································12分 18．(Ⅰ)证明：设O 为AB 的中点，连结A 1O ，∵AF =14AB ，O 为AB 的中点，∴F 为AO 的中点，又E 为AA 1的中点，∴EF ∥A 1O ．又∵D 为A 1B 1的中点，O 为AB 的中点，∴A 1D =OB ． 又A 1D ∥OB ，∴四边形A 1DBO 为平行四边形． ∴A 1O ∥BD ．又EF ∥A 1O ，∴EF ∥BD ． 又EF ⊄平面DBC 1，BD ⊂平面DBC 1． ∴EF ∥平面DBC 1．…………………6分 (Ⅱ)解：∵AB =BC =CA =AA 1=2，D 、E 分别为A 1B 1、AA 1的中点，AF =14AB ，∴C 1D ⊥面ABB 1A 1． 而11D BEC C BDE V V --=，1111BDE ABA B BDB ABE A DE S S S S S ∆∆∆∆=---=1113222121112222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=．∵C 1D∴111113332D BEC C BDE BDE V V S C D --∆==⋅=⨯=．………………………………12分19．(Ⅰ)解：样本中体重在区间(45，50]上的女生有a ×5×20=100a (人)，·····················1分样本中体重在区间(50，60]上的女生有(b +0.02)×5×20=100(b +0.02)(人)，··············2分依题意，有100a =43×100(b +0.02)，即a =43×(b +0.02)．①·································3分根据频率分布直方图可知(0.02+b +0.06+a )×5=1，②··········································4分解①②得：a =0.08，b =0.04．······································································6分 (Ⅱ)解：样本中体重在区间(50，55]上的女生有0.04×5×20=4人，分别记为 A 1，A 2，A 3，A 4，··················································································7分 体重在区间(55，60]上的女生有0.02×5×20=2人，分别记为B 1，B 2．··················8(第18题解图)分从这6名女生中随机抽取两人共有15种情况：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)．·······10分其中体重在(55，60]上的女生至少有一人共有9种情况：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)．····························································································11分 记“从样本中体重在区间(50，60]上的女生随机抽取两人，体重在区间(55，60]上的女生至少有一人被抽中”为事件M ，则P (M )=93155=．··········································12分20．(Ⅰ)解：设圆心C (a ，b )，则222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩，解得00a b =⎧⎨=⎩． (3)分则圆C 的方程为x 2+y 2=r 2，将点P 的坐标代入得r 2=2， 故圆C 的方程为x 2+y 2=2．·····································································5分 (Ⅱ)解：由题意知，直线P A 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数， 故可设P A ：y -1=k (x -1)，PB ：y -1=-k (x -1)，且k ≠0，······································6分 由221(1)2y k x x y -=-⎧⎨+=⎩，得(1+k 2)x 2-2k (k -1)x +k 2-2k -1=0，······································7分 ∵点P 的横坐标x =1一定是该方程的解，故可得x A =22211k k k --+． (8)分同理，x B =22211k k k+-+．···········································································9分∴(1)(1)2()B A B A B A AB B A B A B Ay y k x k x k k x x k x x x x x x ------+===---=1=k OP ． (11)分∴直线AB 和OP 一定平行．·····································································12分依题设，f (1)=5，f ′(1)=-3，∴a =-3，b =-2．···················································4分 ∴f ′(x )=2-22232223xx x x x ---=，令f ′(x )>0，又x >0，∴x ．∴函数的单调增区间为，+∞)．······················································6分(Ⅱ)g (x )=f (x )-3x =2x -2ln x ，g ′(x )=2-2x．设过点(2，2)与曲线g (x )的切线的切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0-2=g ′(x 0)(x 0-2)，即2x 0-2ln x 0-2=(2-02x )(x 0-2)，∴ln x 0+02x =2． (8)分令h (x )=ln x +2x -2，则h ′(x )=212x x-，∴x =2． ∴h (x )在(0，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增．······································10分∵h (12)=2-ln2>0，h (2)=ln2-1<0，h (e 2)=22e >0． ∴h (x )与x 轴有两个交点，∴过点(2，2)可作2条曲线y =g (x )的切线．···············12分22．(Ⅰ)证明：∵∠CPD =∠ABC ，∠D =∠D ，∴△DPC ～△DBA ． ∴PC PD AB BD=． 又∵AB =AC ，∴PC PDAC BD=．·····································································5分 (Ⅱ)解：∵∠ACD =∠APC ，∠CAP =∠CAD ，∴△APC ～△ACD ． ∴AP AC AC AD =，∴AC 2=AP ·AD =4．·······························································10分 23．(Ⅰ)解：设动点A 的直角坐标为(x ，y )，则23sin ,3cos 2.x y αα=-⎧⎨=-⎩∴动点A 的轨迹方程为(x -2)2+(y +2)2=9，其轨迹是以(2，-2)为圆心，半径为3的圆．·····················································5分(Ⅱ)解：直线l 的极坐标方程ρcos(θ-4π)=a 化为直角坐标方程是x +y ．由=3，得a =3，或a =-3．··························································10分24．(Ⅰ)解：由题设可得b =24a >0，∴a >0．∴a +b =a +24a =2422a a a ++≥3， 当a =2，b =1时，a +b 取得最小值3，∴m 的最大值为3．·································5分(Ⅱ)解：要使2|x -1|+|x |≤a +b 对任意的a ，b 恒成立，须且只须2|x -1|+|x |≤3．用零点区分法求得实数x 的取值范围是-13≤x ≤53．········································10分。
甘肃省兰州一中高三第三次月考(数学文)
甘肃省兰州一中2008—2009学年度高三第三次月考数学试题（文科）考试时间：120分钟 试卷分值：150第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将每题正确选项的序号填在答题卡的相应位置。
1．已知集合N M R x x y y N x x x M ⋂∈+==≥-=则},,13|{},0)1(|{22= （ ）A ．φB ．}1|{≥x xC ．}1|{>x xD ．}01|{<≥x x x 或2．函数3)(,93)(23-=-++=x x f x ax x x f 在已知时取得极值，则a= （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 3．已知向量αααtan ,),cos ,(sin ),4,3(则且b a b a ⊥==为 （ ）A ．43B ．34 C ．43-D ．34-4．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 5．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是△ABC 的（ ）A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点 6．函数xx y ||lg =的图象大致是（ ）7则第3组的频率和累积频率分别为（ ）A ．0.14和0.37B ．371141和 C ．0.03和0.06 D ．376143和 8．命题甲：)3lg(),1lg(,lg :,2,2,)21(21++-x x x x xx 命题乙成等比数列成等差数列则甲是乙的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件9．函数),2||,0)(sin(R x x A y ∈<>+=πϕωϕω的部分图象如图所示，则函数为 （ ）A ．)48sin(4ππ+-=x yB ．)48sin(4ππ-=x y C ．)48sin(4ππ--=x yD ．)48sin(4ππ+=x y10．在△ABC 中，A=60°，b=1，△ABC 的面积为3，则CB A cb a sin sin sin ++++= （ ）A ．339 B ．2393 C ．239 D ．339211．设2)(,2),1(log ,2,2)(231>⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-x f x x x e x f x 则不等式的解集为 （ ）A ．),3()2,1(+∞⋃B ．),10(+∞C ．),10()2,1(+∞⋃D ．（1，2）12．设公比不为1的正项等比数列)(,),(}{x f y N n n f a a n n =∈=+记的通项公式为的反函数为}{,7)6()3(),(111n a f f x f y 则数列若=+=---前六项的乘积为（ ）A ．33B ．183C ．63D ．36第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上。
甘肃省兰州一中高三第三次模拟考试语文试题(Word版,含答案)
甘肃省兰州一中高三第三次模拟考试试题语文第I卷阅读题甲必考题一、现代文阅读（9分，每小题3分）阅读下面的文字，完成1～3题。
《周易》的前生今世《易传》是对《周易》一书的第一次系统解释的著作，因为共有10篇文字，故又称《十翼》。
《易经》与《周易》，不是两名一实的重同关系，而是种属关系。
自从阴、阳爻由数字中归类抽象出来之后，很自然地固定为六十四个六爻卦体，对这些卦体作出有序排列，并且各自给予一个卦名，便诞生了第一部《易经》。
据史传，这第一部《易经》诞生于夏代初期，其名为《连山》。
夏代之前，洪水泛滥，人或为鱼鳖；大禹治水，洪灾顿息，舜将帝位禅让于禹，建立夏朝。
由于长期的洪灾，人们对赖以避难的高山心怀感激；洪灾之后的渔猎生活，山上盛产的野果和飞禽走兽，为人们的主要生活来源；对山的崇拜，也就成为一种必然。
因此，在对六十四卦排序之时，象征山的“艮”卦名列榜首，也就顺理成章。
六爻重卦“艮”是由两个经卦“艮”相重而成，象形山连着山。
所以，夏代制定的以“艮”为首卦的《易经》，便取名为《连山》。
我国最早图腾对象“山”，也因此可以确认。
由渔猎社会转向农业社会，也是在以“山”为崇拜对象的夏代。
个中原因，显然是洪水消减之后，人们纷纷从山上下来，在平原上安营扎寨的缘故。
长期的农事活动，使人们对“春播一粒粟，秋收万颗粮”的土地产生了感情。
于是，由“山”移情于“地”的观念随着农事活动的深入展开而得以确立。
商汤取夏政而代之，作为治国之策的《易经》，也必须作出相应的改编。
由于古籍资料的残缺，我们已无法知道改编的全部内容，但是从商朝初期诞生的第二部《易经》称名《归藏》，可以确定这部《易经》的首卦已由“艮”改换为“坤”。
坤为地，以“坤”为首卦的《归藏》，表达了商代先人对大地的崇拜，我们祖先由此进入第二个图腾崇拜时代。
商代八百年，是农业社会逐渐走向成熟的阶段。
成熟的农业生产，使先人们意识到农作物的收成好坏并不取决于土地，而是取决于天气：风调雨顺，五谷丰登；洪涝旱灾，歉收甚至颗粒无收。
高三数学第三次模拟考试试题文甘肃省三模
2013年高三第三次模拟考试试卷数学文科本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损.5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.第I 卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|，则A B =( ) A.{3,4,5} B.{4,5,6} C.{|36}x x <≤ D.{|36}x x ≤<2．已知i 是虚数单位，则i i+-221等于（ ）A ．i -B ．i -54C ．i5354- D ．i3. 若向量,a b 满足||||||1==+=a b a b ，则⋅a b 的值为( )A.12-B.12 C.1- D. 1 4．公差不为零的等差数列第2，3，6项构成等比数列，则这三项的公比为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 5．执行如右图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．5021- B ．262(41)3- C ．5121- D ．252(41)3-6. 某几何体的三视图如下，则几何体的表面积为（ ） A. 28+65 B. 30+65 C. 56+125 D. 60+1257．已知函数()sin()3cos()(0,||)2f x x x πωϕωϕωϕ=+-+><，其图象相邻的两条对称轴方程为0x =与2x π=，则( ) A ．f(x)的最小正周期为2π，且在(0, π)上为单调递增函数 B ．f(x)的最小正周期为2π，且在(0, π)上为单调递减函数C ．f(x)的最小正周期为π，且在(0,)2π上为单调递增函数 D ．f(x)的最小正周期为π，且在(0,)2π上为单调递减函数 8．函数f(x)=ln(x-1x )的图象是( )A ．B ．C ．D ．9．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，直线l 与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若AF FB =，36BA BC ⋅=，则抛物线的方程为( )A ．26y x =B ．23y x =C ．212y x = D ．223y x =10．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=2AB=6 ,则该球的表面积为 ( )A ．16πB ．24πC ．323πD ．48π11. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点)0)(0,(>-c c F ，作圆：2224a x y += 的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为( )A. 10B. 10C. 10D. 212．已知函数32()132x mx m n x y +++=+的两个极值点分别为x1，x2，且x1∈(0, 1)，x2∈(1, +∞)，记分别以m ，n 为横、纵坐标的点P(m,n)表示的平面区域为D ，若函数log (4)(1)a y x a =+>的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,3]B ．(1,3)C ． (3,)+∞D ．[3,)+∞第Ⅱ卷(共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分, 共20分．13.某市有A 、B 、C 三所学校共有高三文科学生1500人，且A 、B 、C 三所学校的高三文科学生人数成等差数列，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B 校学生中抽取________人.14．已知函数490,10,33x y x y x y z x yy +-≥⎧⎪--≤=-⎨⎪≤⎩满足则的最大值是 .15. 设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令lg n n a x =，则1299a a a +++的值为 ．16．观察下列算式：13 =1, 23 =3+5, 33 = 7+9+11,43 =13 +15 +17 +19 ， … …若某数n3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则n= ． 三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a, b, c, 且2(a2+b2-c2)=3ab.（Ⅰ）求2sin 2A B+；（Ⅱ）若c=2，求△ABC 面积的最大值． 18.（本小题满分12分）在某大学自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人. （Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数；（Ⅱ）若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A. 在至少一科成绩为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A 的概率. 19. (本小题满分12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=2,D 为AA1的中点，BD 与AB1交于点O ，CO 丄侧面ABB1A1. (Ⅰ)证明: BC ⊥AB1;(Ⅱ)若OC=OA ，求三棱锥B1-ABC 的体积. 20．（本小题满分12分） 如图，已知椭圆22143x y +=的左焦点为F ，过点F的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于D 、E 两点．（Ⅰ）若点G 的横坐标为14-，求直线AB 的斜率；（Ⅱ）记△GFD 的面积为S1，△OED （O 为原点）的面积为S2． 试问：是否存在直线AB ，使得S1=S2？说明理由. 21．（本小题满分12分）已知x xx g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=，其中e 是自然常数，.a R ∈（Ⅰ）当1=a 时, 研究()f x 的单调性与极值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：1()()2f x g x >+；（Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于B 、C 两点，弦CD ∥AP ，AD 、BC 相交于点E ，F 为CE 上一点，且DE2 = EF·EC . （Ⅰ）求证：CE·EB = EF·EP；（Ⅱ）若CE:BE = 3:2，DE = 3，EF = 2，求PA 的长. 23. (本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=ty t x 541531(t 为参数）.若以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为)4sin(2πθρ+=.(Ⅰ) 求曲线C的直角坐标方程;(Ⅱ) 求直线l被曲线C所截得的弦长.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲．设函数f(x)=|2x-1|+|2x-3| , x∈R.(Ⅰ)解不等式f(x)≤5；(Ⅱ)若mxfxg+=)(1)(的定义域为R，求实数m的取值范围.2013年高考三模参考答案 数学文科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BAACDBCBDDAB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分, 共20分．13. 40 14. -1 15. -2 16. 45三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. 17. （本题满分12分）解：（Ⅰ）22222233,cos 224a b c a b c ab C ab +-+-=∴==()21cos 1cos 7,sin 2228A B A B C A B C π-++++=-∴=== ………６分（Ⅱ）ab ，b a ，c ab c b a 2342,2322222=-+∴==-+且又2232,24,82a b ab ab ab ab +≥∴≥-∴≤当且仅当22==b a 时，△ABC 面积取最大值，最大值为7. …………12分 18（本小题满分12分）解: (I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有100.2540÷=人 ………………2分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯=………………4分（II ）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.940⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=……8分（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A ，又恰有两人的两科成绩等级均为A ， 所以还有2人只有一个科目得分为A设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A 的同学，则在至少一科成绩等级为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为{Ω={甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}},一共有6个基本事件设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B ，所以事件B 中包含的基本事件有1个，则1()6P B =. ………………12分19. (本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为11ABB A 是矩形，D 为1AA 中点，1AB =，12AA =22AD =,所以在直角三角形1ABB 中,112tan 2AB AB B BB ∠==,在直角三角形ABD 中,12tan 2AD ABD AB ∠==,所以1AB B ∠=ABD∠,…………………2分又1190BAB AB B ∠+∠=，190BAB ABD ∠+∠=，所以在直角三角形ABO 中，故90BOA ∠=， 即1BD AB ⊥， ……………………………4分又因为11CO ABB A ⊥侧面，111AB ABB A ⊂侧面,所以1CO AB ⊥所以，1AB BCD ⊥面,BC BCD⊂面,故1BC AB ⊥………………………6分（Ⅱ）在Rt ∆ABD 中，可求得6BD =,213262AD AB OC OA BD ⨯==== 111--11236332318B ABC C ABB ABB V V S OC ∆==⋅=⋅⋅=.……………12分20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，直线AB 的斜率存在，设其方程为(1)y k x =+．将其代入22143x y +=，整理得2222(43)84120k x k x k +++-=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以2122843k x x k -+=+．…………4分 故点G 的横坐标为21224243x x k k +-=+． 依题意，得2241434k k -=-+， 解得12k =±． ………………6分（Ⅱ）假设存在直线AB ，使得12S S =，显然直线AB 不能与,x y 轴垂直．由（Ⅰ）可得 22243(,)4343k k G k k -++．因为 DG AB ⊥，所以 2223431443Dkk k k x k +⨯=---+，解得 2243D k x k -=+， 即 22(,0)43k D k -+．因为 △GFD ∽△OED ， 所以12||||S S GD OD =⇔=．所以2243k k -=+，整理得 2890k +=． 因为此方程无解，所以不存在直线AB ，使得 12S S =． ………………12分21．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ） x x x f ln )(-=，∴当10<<x 时，/()0f x <，此时()f x 单调递减 当e x <<1时，/()0f x >，此时()f x 单调递增∴()f x 的极小值为1)1(=f ……4分 （Ⅱ） ()f x 的极小值为1，即()f x 在],0(e 上的最小值为1，∴ 0)(>x f ， min ()1f x =令21ln 21)()(+=+=x x x g x h ，2/ln 1)(x xx h -=，当e x <<0时，0)(>'x h ，()h x 在],0(e 上单调递增∴min max |)(|12121211)()(x f e e h x h ==+<+== ∴在（Ⅰ）的条件下，1()()2f x g x >+……………………8分（Ⅲ）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3，① 当0≤a 时，(]e x ,0∈，所以0)(/<x f ， 所以)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，e a 4=（舍去），所以，此时)(x f 无最小值.②当e a <<10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a 上单调递增3ln 1)1()(min =+==a a f x f ，2e a =，满足条件. ③ 当e a ≥1时，(]e x ,0∈，所以0)(/<x f ，所以)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，e a 4=（舍去），所以，此时)(x f 无最小值.综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值3 .……12分22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 （I ）∵EC EF DE ⋅=2， ∴C EDF ∠=∠， 又∵C P ∠=∠， ∴P EDF ∠=∠， ∴EDF ∆∽PAE ∆ ∴EP EF ED EA ⋅=⋅ 又∵EB CE ED EA ⋅=⋅，∴EP EF EB CE ⋅=⋅ ………………5分（II ）29=CE ，3=BE ，415=BPPA 是⊙O 的切线，PC PB PA ⋅=2，4315=PA ………………10分23. (本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程解：(Ⅰ)由2sin()4πρθ=+得：ρ=cos θ+sin θ 两边同乘以ρ得：ρ2=ρcos θ+ρsin θ∴x2+y2-x-y=0 即(x-12)2+(y-12)2=12 ………………5分 (Ⅱ) 将直线参数方程代入圆C 的方程得: 5t2-21t+20=0∴t1+t2=215, t1t2=4∴∣MN ∣=∣t1-t2∣=21212()4t t t t +-=41………………10分24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲． 解：(Ⅰ)∵ f(x)=|2x-1|+|2x-3| , f(x)≤5 ∴有12445x x ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩ 或132225x ⎧≤≤⎪⎨⎪≤⎩或32445x x ⎧>⎪⎨⎪-≤⎩文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.11文档收集于互联网，如有不妥请联系删除. 解得：11,42x -≤<或13,22x ≤≤或39,24x <≤ ∴不等式的解集为：{x ∣19,44x -≤≤}. ………………5分 (Ⅱ) 若m x f x g +=)(1)(的定义域为R ，则f(x)+m≠0恒成立， 即f(x)+m=0在R 上无解.又f(x)=|2x-1|+|2x-3|≥|2x -1-2x+3|=2，∴f(x)最小值为2,∴m >-2 ………………10分。
甘肃省兰州一中高三数学第三次模拟考试 文【会员独享】
甘肃省兰州一中高三数学第三次模拟考试 文【会员独享】考生注意：本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟． 所有试题均在答题卡上作答．其中，选择题用2B 铅笔填涂，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔作答． 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B )． 如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )=P (A )·P (B )． 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为kn k k n n p p C k P --=)1()(． 球的表面积公式：S =4πR 2，其中R 表示球的半径． 球的体积公式：V =43πR 3，其中R 表示球的半径． 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 设全集U 是实数集R ，M ={x |24x > }，N ＝{x |13x <≤}，则图中阴影部分表示的集合是A .{}21x x -≤< B.{}22x x -≤≤ C.{}12x x <≤ D.{}2x < 2．己知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17=170，则a 7+a 9+a 11的值为A. 10B. 20C. 25 D ．30 3．设)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+则的值是A ．1813B ．223C ．2213D ．614．函数y =213x -(-1≤x <0)的反函数是A. y =31log x +(x ≥13)B. y = -31log x +(x ≥13) C. y =31log x +(13<x ≤1)D. y = -31log x +(13<x ≤1) 5．某所学校计划招聘男教师x 名,女教师y 名, x 和y 须满足约束条件25,2,6.x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩则该校招聘的教师人数最多是A ．6B ．8C ．12D ．106．设{}{}(,),()()cos2sin2M a b N f x f x a x b x ==|=+平面内的点，给出M 到N 的映射:(,)()cos 2sin 2f a b f x a x b x →=+，若点(1,3)的像()f x 的图象可以由曲线O ABCD A 1B 1C 1D 1· 2sin 2y x =按向量m 平移得到，则向量m 的坐标为A ．(,0)6πB ．(,0)6π-C ．(,0)12π-D ．(,0)12π 7．若m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的个数是①若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线； ②若m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定是平行直线；③已知α、β互相垂直，m 、n 互相垂直，若α⊥m ，则β⊥n ； ④m 、n 在平面α内的射影互相垂直，则m 、n 互相垂直. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．设函数()m f x x ax =+的导函数()21f x x '=+，则数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭(n ∈N *)的前n 项和是 A .n n ＋1 B . n ＋2n ＋1 C . nn －1D . n ＋1n9．已知椭圆C ：12222=+by a x ，以抛物线216y x =的焦点为椭圆的一个焦点，且短轴的一个端点与两个焦点可组成一个等边三角形，则椭圆C 的离心率为 A .23 B．21 C D ．4310. 如图，已知球O 是棱长为1 的正方体1111ABCD A BC D -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为A ．3B ．3πC ．6D ．6π11．将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校, 要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等, 则不同的分配方法种数为A ．96B ．114C ．128D ．136 12．定义在R 上的函数()f x 满足2log (1)(0)()(1)(2)(0)x x f x f x f x x -≤⎧=⎨--->⎩则(2011)f 的值为A ． 1-B ．0C ．1D ．2第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上．13．若二项式nn的值是_____．14．过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线l，交抛物线于A、B两点，交其准线于C点，若3CB BF=，则直线l的斜率为___________．15．如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别在边CD和BC上，且3,3DC DE BC BF==，若AC mAE nAF=+，其中,m n R∈，则m n+=_________．16.给出如下命题：①直线6π=x是函数)3sin(π+=xy的一条对称轴；②函数)(xf关于点（3,0）对称，满足)6()6(xfxf-=+，且当[]3,0∈x时,函数为增函数，则)(xf在[]9,6上为减函数；③命题“对任意Ra∈,方程012=-+axx有实数解”的否定形式为“存在Ra∈，方程12=-+axx无实数解”；④ 2lg5lg2lg50+⋅1=．以上命题中正确的是.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知向量π(1,sin),(1,4cos()),6m a x n x=+=+设()g x m n=⋅（a R∈，且a为常数）.（1）求()g x的最小正周期；（2）若()g x在π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的最大值与最小值之和为7，求a的值.18．（本小题满分12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4. （1）从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求2n m +＜的概率.19．（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A BC D -中，1A D ⊥平面ABCD ， 底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱 12AA =.（1）求证：1//C D 平面11ABB A ；（2）求直线1BD 与平面11AC D 所成角的正弦值.20. （本小题满分12分）已知函数c bx x a x x f ++⋅+=23)(的图象上的一点()m M ,1处的切线的方程为2=y ，其中R c b a ∈,,.（1）若3-=a ,求)(x f 的解析式，并表示成k t k t x x f ,(,)()(3++=为常数）；（2）问函数()y f x =是否有单调减区间，若存在，求单调减区间（用a 表示），若不存在，请说明理由.ABCDD 1A 1B 1C 1OB21. （本小题满分12分）已知数列{}n a 是各项不为0的等差数列，n S 为其前n 项和，且满足221n n a S -=, 令11n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T .（1）求数列{}n a 的通项公式及数列{}n b 的前n 项和n T ；（2） 是否存在正整数,(1)m n m n <<，使得1T ，m T ，n T 成等比数列？若存在，求出所有的,m n 的值；若不存在，请说明理由．22．（本小题满分12分）如图，在等边ABC ∆中，O 为边AB 的中点，AB =4,D ,E 为ABC ∆的高==若以A ,B 为焦点，O 为中心的椭圆过D 点，建立适当的直角坐标系，记椭圆为M .（1）求椭圆M 的方程；（2）过点E 的直线l 与椭圆M 交于不同的两点P ,Q ，点P 在点E , Q 之 间，且→→=EQ EP λ，求实数λ的取值范围.参考答案第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡．．．对 应题号后的横线上．13． 4 14．22± 15．3216． ①②③④ 三、 解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程演算步骤．17．(本小题满分10分)解：π()14sin cos()6g x a x x =⋅=+++m n ………………………………2分222sin 1x x a =-++2cos2x x a =++π2sin(2)6x a =++ …………4分（1）π()2sin(2),π6g x x a T =++=. …………………………………… 6分 （2）πππ5π0,23666x x ≤<∴≤+<当ππ262x +=，即π6x =时，max 2y a =+. ………………………7分 当ππ266x +=，即0x =时，min 1y a =+ …………………………8分 故 127,a a +++= 即2a =. …………………………………10分18. (本小题满分12分)解：（1）从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有246C =：即(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4).从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有(1,2),(1,3).因此所求事件的概率为13P = . ………………… 6分（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，在从袋中随机取一个 球，记下编号为n ，其一切可能的结果（m , n ）有114416C C ⋅=：即（1,1）（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（3,1）（3,2）,（3,3） （3,4）,（4,1） （4,2），（4,3）（4,4），共 16个 满足条件n≥ m +2 的事件为（1,3） （1,4） （2,4）， 共3个.所以满足条件n≥ m +2 的事件的概率为1316P =. 故满足条件n <m +2 的事件的概率1313111616P P =-=-=. ………12分 19．(本小题满分12分)（1）证明：四棱柱1111ABCD A BC D -中，11//BB CC ，又1CC ⊄面11ABB A ，所以1//CC 平面11ABB A ， ………………2分ABCD 是正方形，所以//CD AB ，又CD ⊄面11ABB A ，所以//CD 平面11ABB A ， ………………3分 所以平面11//CDD C 平面11ABB A ，所以1//C D 平面11ABB A . ………………5分 （2）解：ABCD 是正方形，AD CD ⊥， 因为1A D ⊥平面ABCD ， 所以1A D AD ⊥，1A D CD ⊥，如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -，. ………………6分在1ADA ∆中，由已知可得1A D =，所以11(0,0,0),(1,0,0),(1,1D A A C -，11(0,1(1(1,1,0)B D B -，1(2,1BD =--， ……………………………………………………………8分因为1A D ⊥平面ABCD ， 所以1A D ⊥平面1111A B C D ，111A D B D ⊥，又1111B D AC ⊥，所以11B D ⊥平面11AC D ， 所以平面11AC D 的一个法向量为(1,1,0)=n ， …………………10分设1BD 与n 所成的角为β，又),3,1,2(1--=BD 则113cos 42BD BD β⋅-===-n n .所以直线1BD 与平面11AC D 所成角的正弦值为34. ……………12分 20．(本小题满分12分)解：（1）()()023123/2/=++=⇒+⋅+=b a f b x a x x f由()2112=+++=⇒=c b a f m,1,33==⇒-=c b a()21133)(323+-=++-=x x x x x f ………………………………4分（2）()b x a x x f +⋅+=232/由（1）知32--=a b所以 ()()()/2233223313a f x x a x a x x +⎛⎫=+⋅-+=+⋅- ⎪⎝⎭…6分 令()/230,13a f x x x +=⇒=-= ………8分 当23133a a +-=⇔=-即()()0132/≥-=x x f()x f 为R 上为增函数，所以函数没有单调减区间； ………9分当23133a a +->⇔<-时，可以判定()x f 单调减区间为⎪⎭⎫⎝⎛+-332,1a …10分1当31332->⇔<+-a a 时，可以判定()x f 单调减区间为⎪⎭⎫⎝⎛+-1,332a …11分综上：3a =-，函数没有单调减区间；3a <-，()x f 单调减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-332,1a ；3a >-，()x f 单调减区间为⎪⎭⎫⎝⎛+-1,332a . …12分21．(本小题满分12分) 解：(1) 212121()(21)(21)2n n n n a a n a S n a --+-===-，0n a ≠， 21n a n =-， …………………………………2分111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===--+-+， ……………4分 111111(1)2335212121n nT n n n =-+-++-=-++. ……………6分（2）由（1）知，21n n T n =+，所以113T =，21m m T m =+ 21n nT n =+ …7分 若1T ，m T ，n T 成等比数列，则21()()21321m nm n =++， 即2244163m nm m n =+++． ………………………………………8分 由2244163m n m m n =+++ 可得223241m m n m -++=，………9分所以22410m m -++>， 从而11m <<+ ………10分 又*m N ∈，且1m >，所以2m =， …………………………11分 此时12n =．故当且仅当2m =，12n =，数列{}n T 中的1T ，m T ，n T 成等比数列． (12)分22. (本小题满分12分)解：（1）建立如图所示的直角坐标系，==,1==2==,()()2,0,1,0E D ∴. 设椭圆方程为()0,12222>>=+b a by a x ,1,242==⇒=∴b c c 5=a ,即椭圆方程为;1522=+y x ……6分（2）设),(11y x p ,),(22y x Q)2,0(E ，即()().2,,2,2211-=-=y x EQ y x EP→→=EQ EP λ ⎩⎨⎧⎩⎨⎧+-==⇒-=-=∴22)2(221212121λλλλλy y x x y y x x ① ……7分 又Q P , 都在椭圆上⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∴.15,1522222211y x y x ② ………………8分由①②得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-+∴151)22(5)(22222222y x y x λλλ 消去2x 得λλλλλλ4351)22(2222222-=⇒-=-+-y y y …………10分 112≤≤-y ,331≤≤∴λ又P 在Q E ,之间，又10,<<∴=λλEQ EP ，λ∴范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,31. ………………12分。
甘肃省兰州一中三模(文)
兰州一中高三第三次模拟考试试题数学（文）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题 1．函数f (x )( ) A ．(0,2) B ．(0,2] C ．(2,)+∞ D ．(,2)-∞ 2．已知幂函数f (x )的图象经过(9,3)，则(3)f ＝( )A ．3 B． CD ．1 3．下列命题错误．．的是 ( ) A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠” B ．若“p q ∧”为假命题，则p ，q 均为假命题 C ．回归直线y bx a =+一定过样本中心点(,)x y D ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件4．圆22(2)(1)2x y -+-=与x 轴交于A ,B 两点，则弦AB 所对劣弧AB 的弧长( ) A ．3πB C ． 2πD 5．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ①()sin f x x =，②()cos f x x =，③1()f x x =， ④1()lg 1xf xx-=+， 则输出的函数是 ( )A ．()sin f x x =B ．()cos f x x =C ．1()f x x =D ．1()lg 1x f x x-=+ 6．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π47．设2log 31()3a =，5log 41()3b =，ln 33c =，则a ，b ，c 的大小关系是 ( )A ． c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．a c b >> 8．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·DC →的最大值为( )A ．1B ．12C D ．29．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且4S ＝(a ＋b )2－c 2，则sin()4C π+等于( )A ．1B ．CD 10．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，若其准线经过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点M 为这两条曲线的一个交点， MF p =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2+C 1+ D11．已知函数224,0()4(3),0x x f x x x a x +≥⎧=⎨-+-<⎩，其中a R ∈.若对任意的正实数1x ，存在唯一的非零实数212()x x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 ( )A ．[1,5]B ．(0,2)C ．(2,5]D ．(,1][5,)-∞+∞ 12．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞ B ．(0，12) C ．(0,1) D ．(0,)+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知复数z ＝－2i ，则复数1+1z 虚部为_________. 14．在平面上，正三角形的内切圆与外接圆的半径之比为1:2；类似地，在空间，正四面体的内切球与外接球半径之比为___________.15．已知函数32()21f x x ax x =-++在区间[1,2]上单调递减，则实数a 的取值范围是___________.16．关于函数f (x )＝2(sin x －cos x )cos x 有以下四个结论： ①函数f (x )的最大值为2；②把函数h (x )＝2sin2x －1的图象向右平移π4个单位可得到函数f (x )的图象； ③函数f (x )在区间75[,]84ππ上单调递增；④函数f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2π＋π8，－1(k ∈Z )． 其中正确的结论是___________. 三、解答题 17．（本小题12分）已知正项等差数列{a n }前三项的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 1、b 2、b 3. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式；(2)令211n n n c b a =+-，求数列{n c }的前n 项和n S . 18．（本小题12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点．BQ D CAP(1)若P A ＝PD ，求证：平面PQB ⊥平面P AD ；(2)试在线段PC 上确定一点M ，使P A ∥平面MQB ，并求出PMPC的值. 19．（本小题12分）某校为了解学生每天参加体育运动时间的情况，随机抽取了100名学生进行调查，其中女生有55名，下面是根据调查结果绘制的学生日均体育运动时间的频率分布直方图:将日均体育运动时间不低于40分钟的学生称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女生．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否有90%的把握认为“体育迷”与性别有关？体育迷”中有2名女生．若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女生的概率． 附：K 2＝n ad －bc 2a ＋b c ＋d a ＋cb ＋d，20．（本小题12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝63，A ，B 是椭圆C 上两点， N (3，1)是线段AB 的中点. (1)求直线AB 的方程；(2)若以AB 10y +-=相切，求出该椭圆方程. 21. （本小题满分12分）设函数()x f x e x =-，()()ln h x f x x a x =+-. (1)求函数()f x 在区间[1,1]-上的值域； (2)证明：当a >0时，()2ln h x a a a ≥-.请考生在第22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 23.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x225223 (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为θρsin 52=. (1)求直线l 及圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点B A ,.若点P ||||PB PA +. 24.（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲 （1）求不等式1123-≥---x x 的解集；（2）已知1,,=+∈+b a R b a ，求证：225)1()122≥+++b b a a （.甘肃省兰州第一中学高三第三次模拟考试（文）参考答案一、选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.25; 14. 1：3 ;15. 13[,)8+∞;16. ③④三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．解：(1)设等差数列的公差为d ，由已知得a 1+a 2＋a 3=15，则a 2＝5. 所以{b n }中的b 1、b 2、b 3依次为7－d ，10，18＋d .依题意有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去). 故a n ＝2n +1. 又b 1=5，b 2=10，所以b n ＝b 1·q n －1＝5·2n －1. (2)∵a n ＝2n +1，b n ＝5·2n －1，∴c n ＝12152(21)1n n -+⨯+-=14n （n ＋1）+152n -⨯＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1+152n -⨯ ∴S n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1+51(122)n -+++＝5254(1)n nn +⋅-+.18．解：(1)证明：连接BD ，因为四边形ABCD 为菱形，且∠BAD ＝60°，∴△ABD 为正三角形，又Q 为AD 的中点，所以AD ⊥BQ ；又因为P A ＝PD ，Q 为AD 的中点，所以AD ⊥PQ ；又BQ∩PQ＝Q，所以AD⊥平面PQB，又AD⊂平面P AD，所以平面PQB⊥平面P AD.(2)解连接AC交BQ于N，作NM∥P A交PC于点M,因NM∥P A，NM MQB⊂面,PA MQB⊄面,所以P A∥平面MQB.由AQ∥BC可得，所以△ANQ∽△CNB，所以ANNC＝AQBC＝12，因为P A∥MN，所以PMPC＝ANAC＝13.19．解:(1)由所给的频率分布直方图知，“体育迷”人数为”人数为75，则据题意完成2×2列联表：将2×2列联表的数据代入公式计算：K2＝－275×25×45×55＝10033≈3.030.因为3.030＞2.706，所以有90%的把握认为“体育迷”与性别有关．(2)由所给的频率分布直方图知，“超级体育迷”人数为100×(10×0.005)＝5，记a i(i＝1,2,3)表示男生，b j(j＝1,2)表示女生，从5名“超级体育迷”中任意选取2人，所有可能结果构成的基本事件空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1) ，(a1，b2) ，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2) }，共有10个基本事件组成，且每个基本事件出现是等可能的．用A表示事件“任选2人，至少1名女生”，则A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b2)，(a3，b2)，(b1，b2)}，共有7个基本事件组成，故任选2人，至少有1名女生观众的概率为P(A)＝7 10.20. 解：(1)离心率e＝63，设椭圆C：x2＋3y2＝a2(a＞0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，设直线AB的方程为y＝k(x－3)＋1，代入x2＋3y 2＝a 2，整理得(3k 2＋1)x 2－6k (3k －1)x ＋3(3k －1)2－a 2＝0.① Δ＝4[a 2(3k 2＋1)－3(3k －1)2]＞0，②且x 1＋x 2＝6k （3k －1）3k 2＋1，由N (3，1)是线段AB 的中点，得x 1＋x 22＝3.解得k ＝－1，代入②得a 2＞12，∴直线AB 的方程为y －1＝－(x －3)，即x ＋y －4＝0.(2)圆心N (3，1)10y +-=的距离d ==AB ∴=当1k =-时方程①即22424480x x a -+-=1221206124x x a x x ⎧⎪∆>⎪∴+=⎨⎪⎪⋅=-⎩=，解得224a =. ∴椭圆方程为221248x y +=. 21. 解：'()1x f x e =-，'()=00f x x =令，得，在(1,0)-上，'()0f x <，()f x 单调递减；在(0,1)上，'()0f x >，()f x 单调递增.∴当x ∈[－1，1]时，min ()(0)1f x f ==，又1(1)1,(1)1,(1)(1)f f e f f e-=+=--<[1,1]e ∴-函数的值域为.（2）()ln x h x e a x =-，'()0x a h x e x =-=，即(0)x ae x x=>， 当0a >时该方程有唯一零点记为0x ，即00x ae x =， 0(0,)'()0,()x x h x h x ∈<当时，单调递减；0(,+)'()0()x x h x h x ∈∞>当时，，单调递增.min00()()ln x h x h x e a x ∴==-00001ln lnx a a e a a x x x a=+=+ 0000ln ln ln 2ln x a aa e a a ax a a a a a x x =+-=+-≥-. 22. 解：(1) 直线l 的直角坐标方程为053=--+y x圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －5)2＝5. ……………5分 (2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得(3－22t )2＋(22t )2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根， 所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝32. ………10分 23. 解：（1）当1x ≤时，3221x x -+-≥-，221x x ∴≥-∴-≤≤当13x <<时，3221x x --+≥-，362x x ∴≤∴≤，12x ∴<≤ 当3x ≥时，32210x x x x φ--+≥-∴≤∴∈，综上，原不等式的解集为[2,2]-. ……………5分(2)证明：41)2(,1,,2=+≤∴=+∈b a ab b a R b a 且 . 2222221111()()4()()a b a b a b a b ∴+++=++++2222()24[()2]a b ab a b ab a b +-=++-+ 225)41(4121)4121(421)21(4222=⨯-+⨯-+≥-+-+=ba ab ab . （当且仅当21==b a 时不等式取等号） ……………10分。
兰州市数学高三文数第三次模拟测试试卷(I)卷
兰州市数学高三文数第三次模拟测试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高三上·同心期中) 已知复数满足，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高三上·潮州期末) 若，，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高二上·湖北月考) 在如下的列联表中，类1中类B所占的比例为（）Ⅱ类1类2类A a bⅠ类B c dA .B .C .D .4. （2分） (2017高一上·成都期末) 在△ABC中，若，，，O为△ABC的内心，且，则λ+μ=（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高二上·温州期中) 设函数，则使得成立的的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分）函数的图象在外的切线与圆的位置关系是（）A . 相切B . 相交但不过圆心C . 过圆心D . 相离7. （2分）已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，P是准线上一点，且，则双曲线的离心率是（）A .B .C . 2D . 38. （2分）(2017·沈阳模拟) 函数与的图象关于直线x=a对称，则a可能是（）A .B .C .D .9. （2分）若等比数列的首项为1，公比为，前n项和为，则（）A .B .C .D .10. （2分）“”是“直线与圆相交”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件11. （2分）(2017·福建模拟) 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .12. （2分）已知f（x）=x2+sin，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·丰台期末) 从某企业生产的某种产品中抽取100件样本，测量这些样本的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标[75，85）[85，95）[95，105）[105，115）[115，125]值分组频数62638228则样本的该项质量指标值落在[105，125]上的频率为________．14. （1分）在等差数列{an}中，a1007=2，则前2013项的和为________．15. （1分） (2019高三上·上海月考) 设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则三个角、、中最小的角是________.16. （1分）在区间（0，1）内随机地取出两个数，则两数之和小于的概率为________三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2018高二上·济源月考) 在锐角中，内角的对边分别为 ,且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.18. （10分）正在进行中的CBA比赛吸引了众多观众，辽篮的表现更是牵动了广大球迷的心，某机构为了解该地群众对赛事的关注程度，随机调查了120名群众，得到如下列联表（单位：名）男女合计关注602080不关注202040合计8040120附表：p（k2≥k0）0.150.100.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 5.024 6.6357.87910.828（1）从这80名男群众中按是否对赛事关注分层抽样，抽取一个容量为8的样本，问样本中对赛事关注和不关注的群众各多少名？（2）根据以上列联表，问能否在犯错率不超过0.010的前提下认为群众性别与关注赛事有关？（3）从（1）中的8名男性群众中随机选取2名进行跟踪调查，求选到的两名群众中恰有一名观注赛事的概率．19. （10分） (2016高二上·枣阳开学考) 如图，在四棱锥 A﹣BCDE中，侧面△ADE为等边三角形，底面 BCDE 是等腰梯形，且CD∥B E，DE=2，CD=4，∠CD E=60°，M为D E的中点，F为AC的中点，且AC=4．（1）求证：平面ADE⊥平面BCD；（2）求证：FB∥平面ADE；（3）求四棱锥A﹣BCDE的体积．20. （10分） (2016高二上·宁波期中) 设椭圆C：的离心率e= ，左顶点M到直线=1的距离d= ，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；（3）在（2）的条件下，试求△AOB的面积S的最小值．21. （10分） (2016高一上·徐州期末) 已知函数f（x）=x2+4x+a﹣5，g（x）=m•4x﹣1﹣2m+7．（1）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；（2）当a=0时，若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围；（3）若y=f（x）（x∈[t，2]）的置于为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为6﹣4t？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（注：区间[p，q]的长度q﹣p）22. （10分）(2017·葫芦岛模拟) 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线 C2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上一点，Q为曲线 C2上一点，求|PQ|的最小值．23. （10分）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+a|，g（x）=|x﹣2|+1．（1）当a=2时，解不等式f（x）≥5；（2）若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得g（x2）=f（x1）成立，求实数a的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、。
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兰州一中2011届高三第三次模拟考试数学（文）试题考生注意：本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟． 所有试题均在答题卡上作答．其中，选择题用2B 铅笔填涂，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔作答． 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B )． 如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )=P (A )·P (B )． 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为kn k k n n p p C k P --=)1()(． 球的表面积公式：S =4πR 2，其中R 表示球的半径． 球的体积公式：V =43πR 3，其中R 表示球的半径． 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 设全集U 是实数集R ，M ={x |24x > }，N ＝{x |13x <≤}，则图中阴影部分表示的集合是A .{}21x x -≤< B.{}22x x -≤≤ C.{}12x x <≤ D.{}2x < 2．己知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17=170，则a 7+a 9+a 11的值为A. 10B. 20C. 25 D ．30 3．设)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+则的值是A ．1813B ．223C ．2213D ．614．函数y =213x -(-1≤x <0)的反函数是A. y(x ≥13)B. y(x ≥13) C. y(13<x ≤1)D. y13<x ≤1) 5．某所学校计划招聘男教师x 名,女教师y 名, x 和y 须满足约束条件25,2,6.x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩则该校招聘的教师人数最多是A ．6B ．8C ．12D ．106．设{}{}(,),()()cos2sin2M a b N f x f x a x b x ==|=+平面内的点，给出M 到N 的映射:(,)()cos 2sin 2f a b f x a x b x →=+，若点的像()f x 的图象可以由曲线O ABCD A 1B 1C 1D 1· 2sin 2y x =按向量m 平移得到，则向量m 的坐标为A ．(,0)6πB ．(,0)6π-C ．(,0)12π-D ．(,0)12π 7．若m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的个数是①若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线； ②若m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定是平行直线；③已知α、β互相垂直，m 、n 互相垂直，若α⊥m ，则β⊥n ； ④m 、n 在平面α内的射影互相垂直，则m 、n 互相垂直. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．设函数()m f x x ax =+的导函数()21f x x '=+，则数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭(n ∈N *)的前n 项和是 A .n n ＋1 B . n ＋2n ＋1 C . nn －1D . n ＋1n9．已知椭圆C ：12222=+by a x ，以抛物线216y x =的焦点为椭圆的一个焦点，且短轴的一个端点与两个焦点可组成一个等边三角形，则椭圆C 的离心率为 A .23 B．21 C ．3 D ．4310. 如图，已知球O 是棱长为1 的正方体1111ABCD A BC D -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为A ．3B ．3πC ．6D ．6π11．将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校, 要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等, 则不同的分配方法种数为A ．96B ．114C ．128D ．136 12．定义在R 上的函数()f x 满足2log (1)(0)()(1)(2)(0)x x f x f x f x x -≤⎧=⎨--->⎩则(2011)f 的值为A ． 1-B ．0C ．1D ．2第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上．13．若二项式nn的值是_____．14．过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线l，交抛物线于A、B两点，交其准线于C点，若3CB BF=，则直线l的斜率为___________．15．如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别在边CD和BC上，且3,3DC DE BC BF==，若AC mAE nAF=+，其中,m n R∈，则m n+=_________．16.给出如下命题：①直线6π=x是函数)3sin(π+=xy的一条对称轴；②函数)(xf关于点（3,0）对称，满足)6()6(xfxf-=+，且当[]3,0∈x时,函数为增函数，则)(xf在[]9,6上为减函数；③命题“对任意Ra∈,方程012=-+axx有实数解”的否定形式为“存在Ra∈，方程12=-+axx无实数解”；④ 2lg5lg2lg50+⋅1=．以上命题中正确的是.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知向量π(1,sin),(1,4cos()),6m a x n x=+=+设()g x m n=⋅（a R∈，且a为常数）.（1）求()g x的最小正周期；（2）若()g x在π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的最大值与最小值之和为7，求a的值.18．（本小题满分12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4. （1）从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求2n m +＜的概率.19．（本小题满分12分）如图，四棱柱 1111A B C D A B C D -中，1A D ⊥平面ABCD ， 底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱 12AA =.（1）求证：1//C D 平面11ABB A ；（2）求直线1BD 与平面11AC D 所成角的正弦值.20. （本小题满分12分）已知函数c bx x a x x f ++⋅+=23)(的图象上的一点()m M ,1处的切线的方程为2=y ，其中R c b a ∈,,.（1）若3-=a ,求)(x f 的解析式，并表示成k t k t x x f ,(,)()(3++=为常数）；（2）问函数()y f x =是否有单调减区间，若存在，求单调减区间（用a 表示），若不存在，请说明理由.ABCDD 1A 1B 1C 1OB21. （本小题满分12分）已知数列{}n a 是各项不为0的等差数列，n S 为其前n 项和，且满足221n n a S -=, 令11n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T .（1）求数列{}n a 的通项公式及数列{}n b 的前n 项和n T ；（2） 是否存在正整数,(1)m n m n <<，使得1T ，m T ，n T 成等比数列？若存在，求出所有的,m n 的值；若不存在，请说明理由．22．（本小题满分12分）如图，在等边ABC ∆中，O 为边AB 的中点，AB =4,D ,E 为ABC ∆的高==若以A ,B 为焦点，O 为中心的椭圆过D 点，建立适当的直角坐标系，记椭圆为M .（1）求椭圆M 的方程；（2）过点E 的直线l 与椭圆M 交于不同的两点P ,Q ，点P 在点E , Q 之 间，且→→=EQ EP λ，求实数λ的取值范围.参考答案第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡．．．对 应题号后的横线上．13． 4 14．22± 15．3216． ①②③④ 三、 解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程演算步骤．17．(本小题满分10分)解：π()14sin cos()6g x a x x =⋅=+++m n ………………………………2分222sin 1x x a =-++2cos2x x a =++π2sin(2)6x a =++ …………4分（1）π()2sin(2),π6g x x a T =++=. …………………………………… 6分 （2）πππ5π0,23666x x ≤<∴≤+<当ππ262x +=，即π6x =时，max 2y a =+. ………………………7分 当ππ266x +=，即0x =时，min 1y a =+ …………………………8分 故 127,a a +++= 即2a =. …………………………………10分18. (本小题满分12分)解：（1）从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有246C =：即(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4).从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有(1,2),(1,3).因此所求事件的概率为13P = . ………………… 6分（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，在从袋中随机取一个 球，记下编号为n ，其一切可能的结果（m , n ）有114416C C ⋅=：即（1,1）（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（3,1）（3,2）,（3,3） （3,4）,（4,1） （4,2），（4,3）（4,4），共 16个 满足条件n≥ m +2 的事件为（1,3） （1,4） （2,4）， 共3个.所以满足条件n≥ m +2 的事件的概率为1316P =. 故满足条件n <m +2 的事件的概率1313111616P P =-=-=. ………12分 19．(本小题满分12分)（1）证明：四棱柱1111ABCD A BC D -中，11//BB CC ，又1CC ⊄面11ABB A ，所以1//CC 平面11ABB A ， ………………2分ABCD 是正方形，所以//CD AB ，又CD ⊄面11ABB A ，所以//CD 平面11ABB A ， ………………3分 所以平面11//CDD C 平面11ABB A ，所以1//C D 平面11ABB A . ………………5分 （2）解：ABCD 是正方形，AD CD ⊥， 因为1A D ⊥平面ABCD ， 所以1A D AD ⊥，1A D CD ⊥，如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -，. ………………6分在1ADA ∆中，由已知可得1A D =，所以11(0,0,0),(1,0,0),(1,1D A A C -，11(0,1(1(1,1,0)B D B -，1(2,1BD =--， ……………………………………………………………8分因为1A D ⊥平面ABCD ， 所以1A D ⊥平面1111A B C D ，111A D B D ⊥，又1111B D AC ⊥，所以11B D ⊥平面11AC D ， 所以平面11AC D 的一个法向量为(1,1,0)=n ， …………………10分设1BD 与n 所成的角为β，又),3,1,2(1--=BD 则113cos 42BD BD β⋅===-n n .所以直线1BD 与平面11AC D 所成角的正弦值为34. ……………12分 20．(本小题满分12分)解：（1）()()023123/2/=++=⇒+⋅+=b a f b x a x x f由()2112=+++=⇒=c b a f m,1,33==⇒-=c b a()21133)(323+-=++-=x x x x x f ………………………………4分（2）()b x a x x f +⋅+=232/由（1）知32--=a b所以 ()()()/2233223313a f x x a x a x x +⎛⎫=+⋅-+=+⋅- ⎪⎝⎭…6分 令()/230,13a f x x x +=⇒=-= ………8分 当23133a a +-=⇔=-即()()0132/≥-=x x f()x f 为R 上为增函数，所以函数没有单调减区间； ………9分当23133a a +->⇔<-时，可以判定()x f 单调减区间为⎪⎭⎫⎝⎛+-332,1a …10分1当31332->⇔<+-a a 时，可以判定()x f 单调减区间为⎪⎭⎫⎝⎛+-1,332a …11分综上：3a =-，函数没有单调减区间；3a <-，()x f 单调减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-332,1a ；3a >-，()x f 单调减区间为⎪⎭⎫⎝⎛+-1,332a . …12分21．(本小题满分12分) 解：(1) 212121()(21)(21)2n n n n a a n a S n a --+-===-，0n a ≠， 21n a n =-， …………………………………2分111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===--+-+， ……………4分 111111(1)2335212121n nT n n n =-+-++-=-++. ……………6分（2）由（1）知，21n n T n =+，所以113T =，21m m T m =+ 21n nT n =+ …7分 若1T ，m T ，n T 成等比数列，则21()()21321m nm n =++， 即2244163m nm m n =+++． ………………………………………8分 由2244163m n m m n =+++ 可得223241m m n m -++=，………9分所以22410m m -++>， 从而11m <<+ ………10分 又*m N ∈，且1m >，所以2m =， …………………………11分 此时12n =．故当且仅当2m =，12n =，数列{}n T 中的1T ，m T ，n T 成等比数列． (12)分22. (本小题满分12分)解：（1）建立如图所示的直角坐标系，==,1==2==,()()2,0,1,0E D ∴. 设椭圆方程为()0,12222>>=+b a by a x ,1,242==⇒=∴b c c 5=a ,即椭圆方程为;1522=+y x ……6分（2）设),(11y x p ,),(22y x Q)2,0(E ，即()().2,,2,2211-=-=y x y x→→=EQ EP λ ⎩⎨⎧⎩⎨⎧+-==⇒-=-=∴22)2(221212121λλλλλy y x x y y x x ① ……7分 又Q P , 都在椭圆上⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∴.15,1522222211y x y x ② ………………8分由①②得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-+∴151)22(5)(22222222y x y x λλλ 消去2x 得λλλλλλ4351)22(2222222-=⇒-=-+-y y y …………10分 112≤≤-y ,331≤≤∴λ又P 在Q E ,之间，又10,<<∴=λλ，λ∴范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,31. ………………12分。