第27课 三角函数的图象与性质
三角函数的图像和性质
三角函数的图像和性质三角函数是数学中的一类特殊函数，以其图像的周期性和性质的多样性而被广泛研究和应用。
本文将介绍三角函数的图像特点和基本性质。
一、正弦函数的图像和性质正弦函数是最基本的三角函数之一，用sin(x)表示。
其图像为周期性曲线，其周期为2π。
在一个周期内，正弦函数的值在[-1,1]之间变化。
图像在x轴上的零点是正弦函数的特殊点，记为x=kπ，其中k为整数。
正弦函数的图像在x=kπ时经过极大值或极小值。
正弦函数的性质：1. 周期性：sin(x+2π)=sin(x)，即正弦函数在过一周期后会重复。
2. 奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即正弦函数关于原点对称。
3. 对称性：sin(π-x)=sin(x)，即正弦函数关于y轴对称。
二、余弦函数的图像和性质余弦函数是另一个常见的三角函数，用cos(x)表示。
余弦函数的图像也是周期性曲线，其周期同样为2π。
在一个周期内，余弦函数的值同样在[-1,1]之间变化。
与正弦函数不同的是，余弦函数的图像在x=kπ时经过极大值或极小值。
余弦函数的性质：1. 周期性：cos(x+2π)=cos(x)，即余弦函数在过一周期后会重复。
2. 奇偶性：cos(-x)=cos(x)，即余弦函数关于y轴对称。
3. 对称性：cos(π-x)=-cos(x)，即余弦函数关于原点对称。
三、正切函数的图像和性质正切函数是三角函数中另一个常见的函数，用tan(x)表示。
正切函数的图像为周期性曲线，其周期为π。
正切函数的图像在x=kπ+π/2时会出现无穷大的间断点，即tan(x)在这些点是无界的。
正切函数的性质：1. 周期性：tan(x+π)=tan(x)，即正切函数在过一个周期后会重复。
2. 奇偶性：tan(-x)=-tan(x)，即正切函数关于原点对称。
四、其他三角函数除了正弦函数、余弦函数和正切函数，还有其他与它们密切相关的三角函数。
1. 反正弦函数：用arcsin(x)表示，表示一个角的正弦值等于x，返回值在[-π/2, π/2]之间。
三角函数图像与性质
三角函数图像与性质在数学中，三角函数是研究角与角度关系的一类函数。
其中最重要的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数在数学和科学领域中有着广泛的应用，尤其是在研究周期性现象时起到了关键作用。
本文将详细介绍三角函数的图像特征和性质。
正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，通常用符号$\\sin$表示。
它的图像是一条连续的波浪线，呈现出周期性的特点。
正弦函数的定义域为整个实数集$\\mathbb{R}$，值域为闭区间[−1,1]。
在0度、90度、180度、270度和360度等特殊角度上，正弦函数的取值分别为0、1、0、-1和0。
正弦函数是奇函数，即$\\sin(-x)=-\\sin(x)$，具有对称性。
余弦函数的图像与性质余弦函数是另一个重要的三角函数，通常用符号$\\cos$表示。
它的图像类似于正弦函数，也是一条连续的波浪线，同样呈现周期性。
余弦函数的定义域为整个实数集$\\mathbb{R}$，值域为闭区间[−1,1]。
在0度、90度、180度、270度和360度等特殊角度上，余弦函数的取值分别为1、0、-1、0和1。
余弦函数是偶函数，即$\\cos(-x)=\\cos(x)$，具有对称性。
正切函数的图像与性质正切函数是三角函数中的另一个重要函数，通常用符号$\\tan$表示。
它的图像是一组相互平行的直线，具有间断点。
正切函数的定义域为整个实数集$\\mathbb{R}$，在某些特殊角度上可能不存在定义，例如在90度和270度时。
正切函数的值域为整个实数集$\\mathbb{R}$。
正切函数是奇函数，即$\\tan(-x)=-\\tan(x)$。
三角函数的性质除了上述基本性质外，三角函数还有一些重要的性质：1.周期性：正弦函数和余弦函数的周期为$2\\pi$，即在$[0, 2\\pi]$范围内图像重复；2.奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数；3.最值：正弦函数和余弦函数的最大值为1，最小值为-1；正切函数在定义域内取值范围较广；4.单调性：正弦函数、余弦函数和正切函数在各自的定义域上具有不同的单调性特点。
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数是数学中重要的概念之一，它们不仅在几何学和三角学中起着重要作用，还在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
本文将探讨三角函数的图像和性质，帮助读者更好地理解和应用三角函数。
一、正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，记为y = sin(x)。
它的图像是一条连续的曲线，在坐标系中呈现周期性变化。
正弦函数的性质如下：1. 周期性：正弦函数的周期是2π，即在一个周期内，y = sin(x)的值在0到2π之间循环变化。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足y = sin(-x) = -sin(x)。
这意味着正弦函数在原点对称。
3. 取值范围：正弦函数的值域在[-1, 1]之间，即-1 ≤ sin(x) ≤ 1。
当x = 0时，sin(x) = 0，当x = π/2时，sin(x) = 1，当x = -π/2时，sin(x) = -1。
4. 单调性：在一个周期内，正弦函数先递增后递减。
当x = π/2 +2kπ（k为整数）时，取得极大值1；当x = -π/2 + 2kπ（k为整数）时，取得极小值-1。
二、余弦函数的图像与性质余弦函数是与正弦函数密切相关的三角函数，记为y = cos(x)。
它的图像也是一条连续的曲线，具有周期性变化。
余弦函数的性质如下：1. 周期性：余弦函数的周期同样为2π，即在一个周期内，y = cos(x)的值在0到2π之间循环变化。
2. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即满足y = cos(-x) = cos(x)。
这意味着余弦函数关于y轴对称。
3. 取值范围：余弦函数的值域同样在[-1, 1]之间，即-1 ≤ cos(x) ≤ 1。
当x = 0时，cos(x) = 1，当x = π/2时，cos(x) = 0，当x = π时，cos(x) = -1。
4. 单调性：在一个周期内，余弦函数先递减后递增。
当x = 2kπ（k为整数）时，取得极大值1；当x = π + 2kπ（k为整数）时，取得极小值-1。
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数是数学中的重要概念，它们的图像和性质对于初中数学学习者来说是必须掌握的内容。
在本文中，我将详细介绍三角函数的图像与性质，并给出一些例子和说明，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这些知识。
一、正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图像是一条连续的曲线，呈现出周期性变化。
正弦函数的性质包括：1. 周期性：正弦函数的周期是2π，即在每个2π的区间内，正弦函数的图像重复出现。
2. 幅度：正弦函数的幅度表示波峰和波谷的最大差值，通常记为A。
幅度越大，波峰和波谷的差值越大。
3. 对称性：正弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = -f(-x)。
4. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即f(x) = -f(x)。
举例说明：假设有一条正弦函数的图像，周期为2π，幅度为1。
在区间[0, 2π]内，正弦函数的图像先从0逐渐上升到1，然后下降到0，再下降到-1，最后又上升到0。
这样的周期性变化会一直重复下去。
根据正弦函数的性质，可以得出该图像关于y轴对称，且是奇函数。
二、余弦函数的图像与性质余弦函数也是一种常见的三角函数，它的图像和正弦函数有些相似，但也有一些不同之处。
余弦函数的性质包括：1. 周期性：余弦函数的周期也是2π，与正弦函数相同。
2. 幅度：余弦函数的幅度也表示波峰和波谷的最大差值，通常记为A。
与正弦函数不同的是，余弦函数的幅度表示波峰和波谷的绝对值最大差值。
3. 对称性：余弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = f(-x)。
4. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即f(x) = f(x)。
举例说明：假设有一条余弦函数的图像，周期为2π，幅度为1。
在区间[0, 2π]内，余弦函数的图像先从1逐渐下降到0，然后下降到-1，再上升到0，最后又上升到1。
这样的周期性变化会一直重复下去。
根据余弦函数的性质，可以得出该图像关于y轴对称，且是偶函数。
三、正切函数的图像与性质正切函数是三角函数中的另一种重要函数，它的图像与正弦函数和余弦函数有很大的不同。
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数是数学中的一类重要的函数，包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan），以及它们的倒数函数（csc，sec，cot）。
下面是关于三角函数的一些图像与性质：1. 正弦函数（sin）的图像：正弦函数是一个周期函数，它的图像在一个周期内呈现出振荡的形式，取值范围在-1到1之间。
当自变量取0、π/2、π、3π/2等特殊值时，正弦函数的值为0、1、0、-1，分别对应于函数的最小值、最大值、0点和最大负值。
2. 余弦函数（cos）的图像：余弦函数也是一个周期函数，它的图像与正弦函数的图像非常相似，只是相位差了π/2。
余弦函数的取值范围也在-1到1之间，当自变量取0、π/2、π、3π/2等特殊值时，余弦函数的值依次为1、0、-1、0。
3. 正切函数（tan）的图像：正切函数的图像在每个周期上有无穷多个交点，它的值可以为任何实数。
正切函数与正弦函数和余弦函数之间存在着一定的关系，即tan(x) =sin(x) / cos(x)。
当自变量取π/2、3π/2、5π/2等特殊值时，正切函数的值为正无穷大；取-π/2、-3π/2、-5π/2等特殊值时，正切函数的值为负无穷大。
4. 三角函数的周期性：正弦函数、余弦函数和正切函数都是周期函数，它们的周期分别为2π、2π和π。
这意味着，当自变量增加一个周期时，函数的值将重复出现。
例如，sin(x + 2π) = sin(x)。
5. 三角函数的奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数是奇函数。
奇函数的图像关于原点对称，即f(-x) = -f(x)；偶函数的图像关于y轴对称，即f(-x) =f(x)。
这些是关于三角函数图像与性质的一些基本信息，三角函数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
sin(ωx+φ)的图象与性质课件
(2)因为 x∈[1π2，π2]， 所以 2x＋π6∈[π3，76π]． 当 2x＋π6＝π2，即 x＝π6时，f(x)取得最大值 2； 当 2x＋π6＝76π，即 x＝π2时，f(x)取得最小值－1. 故 f(x)的值域为[－1,2]．
33
1．五点法作图时要注意五个点的选取，一般是令 ωx＋φ 取 0，π2，π，32π，2π，再算出相应的 x 值，然后列表描点作图．
10
解：函数 y＝sin(2x－π6)的图象向左平移π6个单位后得到的函 数解析式为 y＝sin[2(x＋π6)－π6]，即 y＝sin(2x＋π6)，其对称轴方程 满足 2x＋π6＝kπ＋π2，k∈Z，
即 x＝k2π＋π6，k∈Z. 令 k＝0，得图象的一条对称轴方程为 x＝π6.
11
5．已知函数 f(x)＝2sin(2x－23π)．
1．y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞))的物理意义
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)表示一个振动量时，A 叫做_振___幅__，
T＝2ωπ叫做_周__期___，f＝T1叫做_频__率___，ωx＋φ 叫做_相___位__ ，φ 叫做_初___相__.
2．用“五点法”作 y＝Asin(ωx＋φ) 的图象
28
(方法二)函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数 为 g(x)＝sin[3(x＋m)－π4]．
g(x)是偶函数当且仅当 g(－x)＝g(x)对 x∈R 恒成立， 亦即 sin(－3x＋3m－π4)＝sin(3x＋3m－π4)对 x∈R 恒成立． 所以 sin(－3x)cos(3m－π4)＋cos(－3x)sin(3m－π4) ＝sin 3xcos(3m－π4)＋cos 3xsin(3m－π4)， 即 2sin 3xcos(3m－π4)＝0 对 x∈R 恒成立， 所以 cos(3m－π4)＝0，故 3m－π4＝kπ＋π2(k∈Z)， 所以 m＝k3π＋π4(k∈Z)．从而，最小正实数 m＝π4.
三角函数的图像和性质教学课件
图像变化
当角度增加时，余 弦函数的值会减小， 图像会向中心靠拢； 当角度减小时，余 弦函数的值会增加， 图像会向外扩展。
图像周期
余弦函数的图像具 有周期性，周期为 360度。在一个周 期内，图像会重复 出现。
正切函数的图像
图像形状
01 正切函数的图像在直角坐标系中呈现出周期性和无界性，其形状类似于波浪线。
调性。
PART 04
三角函数的应用
在几何学中的应用
三角函数在几何学中有着广泛的应用， 例如在计算角度、长度、面积等方面。
三角函数可以帮助我们理解几何图形的 性质，例如在研究圆、椭圆、抛物线等 方面。
三角函数还可以用于解决一些几何问题， 例如在计算最短路径、最大面积等方面。
在物理学中 的应用
交流电
三角函数的基本性质
周期性
三角函数（如正弦函数和 余弦函数）具有明显的周 期性，这意味着它们的图 像会重复出现。
振幅和相位
振幅和相位是描述三角函 数的重要参数。振幅决定 了图像的最高点和最低点， 而相位决定了图像在垂直 方向上的位置。
奇偶性
三角函数中的正弦函数和 余弦函数具有不同的奇偶 性。正弦函数是奇函数， 而余弦函数是偶函数。
图像变化规律
02 正切函数的图像随着角度的变化而呈现周期性的变化，其变化规律是每隔180度重复一次。
图像与x轴交点
03 正切函数的图像与x轴的交点是无穷多个，且分布不均，主要集中在x轴的两侧。
其他三角函数的图像
正切函数图像在直角坐标系中呈现 出周期性和无界性，是三角函数中 较为特殊的一种。
余切函数图像与正切函数图像互为 反函数，在直角坐标系中呈现出对 称性和周期性。
工程学
在工程学中，三角函数可以用于解决各种实际问题，如结 构工程中的应力分析、机械工程中的振动分析等。
三角函数的性质和图像
三角函数的性质和图像
三角函数的性质与其连续变化的图像形状之间息息相关，为我们解释物理世界中复杂物理关系提供了重要依据。
五个小标题，相关内容
三角函数的性质和图形
1、定义
三角函数是用变量对正n角形的三种角度和相应角的大小而表达的关系式，主要包括正弦函数sinH，余弦函数 cosH和正切函数 tanH。
2、几何性质：
三角函数在几何中有一些性质，例如正弦函数SinH，余弦函数CosH 和正切函数tanH全部符合三角形的特性，其中的SinH和CosH的图像是三角形的内切圆，而tanH的图像是三角形的外切圆。
3、参数性质：
任意线性变换，三角函数的图像也被重新变换，只要保持原来变量关
系，图像也保持类型不变。
4、增减性质：
在某种范围内，正弦函数SinH和余弦函数CosH都是增函数，正切函数TanH是减函数。
5、图像特点：
三角函数的图像大体上是正弦曲线，在Π/2位置有拐点，有半波长形状，在此基础上可以通过变换做出不同的图形。
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第27课 三角函数的图象与性质（1）
一、教学目标
1．了解三角函数的周期性，知道三角函数)sin(ϕω+=x A y ，
)cos(ϕω+=x A y 的周期为ω
π
2=
T ；
2．能画出x y sin =，x y cos =，x y tan =的图象，并能根据图象理解正弦函数、余弦函数在]2,0[π,正切函数在)2
,2(π
π-
上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)；
二、基础知识回顾与梳理 1、下列判断是否正确？ ①x x f sin )(=的周期是π； ②)3
2sin()(π
+=x x f 的周期是
2
π； ③2
1
4sin )(+
=x x f 的周期是4π；
【教学建议】本题主要是帮助学生复习、理解三角函数周期性的概念。
（1）可以提出两个问题：①)sin(ϕω+=x A y ，)cos(ϕω+=x A y 的周期是什么？
②加了绝对值之后，函数的图象有什么变化？
（2）做完一二两题之后，学生可能会有一个感觉：加了绝对值之后，
周期就要减半。
引导学生画第三题的图形去判断这个结论是否正确。
2、下列判断是否正确？ （1）)6
2sin(π
+=x y 的单调增区间为Z k k k ∈++-
],6
,
3
[ππ
ππ
；
(2)
)
6
2sin(π
+
-=x y 的单
调
增
区
间
为
Z k k k ∈---
],3
,
6
[ππ
ππ
；
（3）)4tan(π
+
=x y 的单调增区间为Z k k k ∈++-],4
,43[ππ
ππ。
【教学建议】本题主要是求三角函数单调性。
通过这一组判断题，可以
帮助学生注意在求解三角函数单调性时的几个易错点。
求三角函数单调性时一般是将ϕω+x 看成一个整体放入正弦函数、余弦函数、正切函数的单调区间中。
其中要注意ω的正负，如果是负的，需要如何处理，可以利用复合函数单调性来解释原因，还要注意正切函数的单调区间只能是开区间。
3、关于函数x y 2cos 1+=的图象，下面说法正确的是______ （1）关于x 轴对称 （2）关于原点对称
（3）关于点
）（0,4
π
对称 （4）关于直线2
π
=
x 对称
【教学建议】本题可以从代数和几何两种方法入手。
先引导学生利用五
点作图法画图，从图象观察答案。
然后引导学生四个选项所反映的代数式分别是什么？
三、诊断练习
1、教学处理：课前由学生自主完成3道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。
课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。
将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。
点评时要简洁，要点击要害。
2、诊断练习点评
题1：关于正弦函数x y sin =有下列说法；（1）关于原点对称；（2）关
于y 轴对称；（3）关于直线2
π
=
x 对称；（4）关于)0,(π对称；
（5）在]2,2[ππ-上是周期函数；（6）在第一象限是单调增函数，其中正确的是______。
【分析与点评】要求学生画出x y sin =的图象，画图的时候注意五个特殊点的选取，然后从图象上观察各个选项的对错。
题2：函数)4
3
4
(sin ππ
≤
≤-
=x x y 的值域是___________ 【分析与点评】此题有两种常用方法，一是利用正弦函数的图象，二是利用三角函数线。
这两种方法都要熟练掌握，可以请两位学生板演，要求在]4
3
,4[ππ-
上的图象用红粉笔描出。
【变式】若将解析式改为)4
34(cos sin ππ
≤≤-+=x x x y 答案：[]
2,0
题3：若动直线x =a 与函数f （x ）=sinx 和g （x ）=cosx 的图像分别交于
M 、N 两点，则|MN|的最大值为________．
【分析与点评】本题实质就是求|sina-cosa |的最大值，要求学生具备将
三角函数式转化为y As i n(x )=w +j 形式的意识与能力。
题4：方程cosx ＝
1
7
x 的解的个数是________． 【分析与点评】本题培养考察数形结合的能力，只有
1
7
x 的取值在-1到+1之间时方程才有解，研究cosx 在-7到7之间的图像与1
7
x 的交点
个数，故在画图时要结合计算才行。
3、要点归纳
（1）研究三角函数的性质，一般通过三角变换将表达式化为)sin(ϕω+=x A y 的形式，再进行研究。
（2）要重视图象在解题中的作用，相关的结论要熟记，比如周期、单调性、奇偶性、对称性。
（3）三角函数线作为解题利器不能淡忘。
四、范例导析
例1、求下列函数的定义域：
（1）)cos 22lg(x y +=； （2）3tan -=x y 。
【教学处理】首先要求学生列出三角不等式，然后利用三角函数值的范围截取图像，再根据图像得出x 的范围，即所求的定义域。
【引导分析与精讲建议】
分析：求定义域即列出使解析式有意义的不等式（组），再通过图象或三角函数线求解。
问题1：如何从余弦函数和正切函数的图象观察出不等式的解集？ 问题2：对于2
2
cos -
>x ，两段图象如何合并？用三角函数线如何求解？哪种方法简单？
问题3： 如何从一个周期的图像观察得出R 上的三角不等式的解集。
例2：已知函数34
sin 324cos 4sin
2)(2+-=x
x x x f 。
（1） 求函数)(x f 的最小正周期及最值； （2） 令)3
()(π
+
=x f x g ，判断函数)(x g 的奇偶性，并说明理由
【教学处理】指导学生认真读题，将条件进行转化，再分组讨论后讲解。
【引导分析与精讲建议】
问题1：解三角函数题，先干什么？化简的目标是什么形式？ --------k x A x f ++=)sin()(ϕω
你估计会用到什么公式，熟悉吗？二倍角公式、辅助角公式等。
问题2：)(x g 的奇偶性如何判断？（定义法） 并追问：
（1）求)(x f 的单调增区间； （2）求)(x f 的对称中心，对称轴方程.
例3 ：求下列函数的值域： （1）]3
2,6[,sin 21π
π∈-=x x y （必修4课本P32页5改编）；
（2）;sin 21sin 2x
x
y -+=
（3）);2cos 2(sin cos sin x x x x y +=
（4）]4
3,3[,1sin cos 2
ππ∈+-=x x x y 【教学处理】指导学生归纳总结求三角函数的值域几种常见形式，如果
不具备这种形式，如何对三角函数式进行化简
【引导分析与精讲建议】
可以与学生交流四个小题分别是关于三角函数的那种形式： 第一小题：是正弦函数与一次函数复合而成 第二小题：是正弦函数与反比例函数复合而成（可以根据学生情况介绍反解法）
第三小题：是k x A y ++=)sin(ϕω形式（如何化简） 第四小题：是余弦函数与二次函数复合而成 【变式】：设函数])2
,0[(2385cos sin )(2
π
∈-++=x a x a x x f 的最大值为1，
试确定a 的值.
【点评】：)(x f 的最值问题向哪个方向转化？（余弦函数与二次函数的复合）。
换元后即转化为二次函数“动轴定区间”问题，数形结合求解。
五、解题反思
1、由三角函数构成的函数定义域的求法，一般先列出是函数式有意义的自变量所满足的条件，然后利用单位圆中的三角函数线或三角函数的图象进行求解。
2、三角函数求值域时要熟悉几种常见形式，主要有： （1） 形如k x A y ++=)sin(ϕω的形式;
（2） 含sinx,cosx,tanx 的复合函数形式
（3）易元变换，整体思想求解含sinx+cosx,sinxcosx 形式，比如求
函数x x x x y cos sin cos sin ++=。
另外，还要注意两个方面：（1）求值域不可忽略定义域，脱离定义域，研究函数是无意义的 （2）换元要注意变量的取值范围。
1、 掌握三种方法：（1）配角法
（)sin(cos sin 22ϕω++=
+x b a x b x a ）
（2）置换法（根据复合函数法则，置换求解)sin()(ϕω+=x A x f 对
称中心，对称轴，单调区间） （3）图象法（根据三角函数线或三角函数的图象求解函数性质）。