2016年广东省深圳市高三第二次(二模)调研考试文科数学试题及答案
2024年深圳市高三年级第二次调研考试数学试题参考答案及评分标准
2024年深圳市高三年级第二次调研考试数学试题参考答案及评分标准本试卷共4页，19小题，满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 5 13． 8π 14．3π；+∞,)（注：第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共5小题，共77分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）如图，三棱柱-ABC A B C 111中，侧面⊥BB C C 11底面ABC ，且=AB AC ，=A B A C 11．（1）证明：⊥AA 1平面ABC ；（2）若==AA BC 21，∠=︒BAC 90，求平面A BC 1与平面A BC 11夹角的余弦值．证明：（1）取BC 的中点M ，连结MA 、MA 1．因为=AB AC ，=A B A C 11，所以⊥BC AM ，⊥BC A M 1．由于AM ，⊂A M 1平面A MA 1，且1AMA M M =，因此⊥BC 平面A MA 1．…………………………………………………2分因为⊂A A 1平面A MA 1，所以⊥BC A A 1．又因为A A //1B B 1，所以⊥B B BC 1，因为平面⊥BB C C 11平面ABC ，平面BB C C 11平面=ABC BC ，且⊂B B 1平面BB C C 11，所以⊥B B1平面ABC ．因为A A //1B B 1，所以⊥AA 1平面ABC ．…………………………………………………………6分解：（2）（法一）因为∠=︒BAC 90，且=BC 2，所以==AB AC A BCA 1B 1C 1M以AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A (0,0,2)1，B，C，C 1．所以1(2,0,2)A B =-，1(0,2,2)A C =-，11(0,2,0)A C =． ………………………………………8分设平面A BC 1的法向量为m =x y z (,,)111，则1100A B A C ⋅=⋅=m m ⎩⎪⎨⎪⎧，可得⎩⎪-=⎨⎪-=⎧y x 001111，令=z11，则m =， 设平面A BC 11的法向量为n =x y z (,,)222，则11100A B A C ⋅=⋅=n n ⎩⎪⎨⎪⎧，可得⎩⎪=⎨⎪-=⎧y x 00222，令=z 12，则n =，……12分 设平面A BC 1与平面A BC 11夹角为θ，则m n m n ===⋅θ||||cos ||，所以平面A BC1与平面A BC 11． …………………………………………13分 （法二）将直三棱柱-ABC A B C 111补成长方体-ABDC A B D C 1111．连接C D 1，过点C 作⊥CP C D 1，垂足为P ，再过P 作⊥PQ A B 1，垂足为Q ，连接CQ .因为⊥BD 平面CDD C 11，且⊂CP 平面CDD C 11， 所以⊥BD CP ．又因为⊥CP C D 1，由于BD ，⊂C D 1平面A BDC 11，且1BD C D D =，所以⊥CP 平面A BDC 11．由于⊂A B 1平面A BDC 11，所以⊥A B CP 1. 因为CQ ，⊂PQ 平面CPQ ，且CQ PQ Q =，所以⊥A B 1平面CPQ ．因为⊂CQ 平面CPQ ， 所以⊥CQ A B 1．则∠CQP 为平面A BC 1与平面A BC 11的夹角或补角，………………………………………………11分 在△A BC 1中，由等面积法可得=CQ ． 因为==PQ A C 11∠==CQ CQP PQ cos 因此平面A BC 1与平面A BC 11． ………………………………………………13分16．（15分）已知函数(f x =+ax x )(1)e ，'f x ()是f x ()的导函数，且()()2e f x f x -='x ． （1）若曲线()=y f x 在=x 0处的切线为=+y kx b ，求k ，b 的值； （2）在（1）的条件下，证明：f x kx b +()．C 1ABB 1CA 1yMC 1ABB 1C A 1PQ DD 1解：（1）因为()(1)e x f x ax =+，所以()(1)e x f x ax a '=++， …………………………………………2分 则()()e x f x f x a '-=．因为()()2e x f x f x '-=，所以2a =． …………………………………………4分 则曲线()y f x =在点0x =处的切线斜率为(0)3f '=．又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点0x =处的切线方程为31y x =+，即得3k =，1b =． ………………………………………………………………………………………6分 （2）证：设函数()(21)e 31x g x x x =+--，x ∈R ，则()(23)e 3x g x x '=+-． ………………………………………………………………………………8分设()()g x h x '=，则()e (25)x h x x '=+， ………………………………………………………10分 所以，当52x >-时，()0h x '>，()g x '单调递增．又因为(0)0g '=，所以，0x >时，()0g x '>，()g x 单调递增；502x -<<时，()0g x '<，()g x 单调递减． 又当52x -时，()(23)e 30x g x x '=+-<，综上()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， ……………………………………13分 所以当0x =时，()g x 取得最小值(0)0g =， 即(21)e 310x x x +--，所以，当x ∈R 时，()31f x x +． ……………………………………………………………15分17．（15分）某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为97%．（1）从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．设事件A =“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件B =“该大型企业把零件交给甲工厂生产”．已知0()1P B <<，证明：(|)(|)P A B P A B >．解：（1）设甲工厂试生产的这批零件有m 件，乙工厂试生产的这批零件有n 件，事件M =“混合放在一起零件来自甲工厂”， 事件N =“混合放在一起零件来自乙工厂”，事件C =“混合放在一起的某一零件是合格品”， 则()mP M m n =+，()n P N m n=+， ()(|)()(|)(94%98%97%)m nP C P C M P M P C N P N m n m n=+=+=+⨯⨯+， ………………………2分 计算得3m n =． 所以1()4m P M m n ==+．…………………………………………………………………………………3分 X 的可能取值为0，1，2，3，1(3,)4X B ， …………………………………………………5分13()344E X =⨯=， …………………………………………………6分00331327(0)()()4464P X C ===，11231327(1)()()4464P X C ===，2213139(2)()()4464P X C ===，3303131(3)()()4464P X C ===．所以，X 的分布列为：………………………………………………8分证明：（2）因为在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，所以(|)(|)P B A P B A >．………………………………………………………………………………10分 即()()()()P AB P AB P A P A >． 因为()0P A >，()0P A >， 所以()()()()P AB P A P AB P A >．因为()1()P A P A =-，()()()P AB P B P AB =-， 所以()1())(()())()P AB P A P B P AB P A ->-(．即得()()()P AB P A P B >， ……………………………………………………………………12分 所以()()()()()()()P AB P AB P B P A P B P AB P B ->-．即()(1())()(()())P AB P B P B P A P AB ->-． 又因为1()()P B P B -=，()()()P A P AB P AB -=， 所以()()()()P AB P B P B P AB >．因为0()1P B <<，0()1P B <<， 所以()()()()P AB P AB P B P B >． 即得证(|)(|)P A B P A B >． …………………………………………………………………………15分18．（17分）设抛物线2:2C x py =（0p >），直线:2l y kx =+交C 于A ，B 两点．过原点O 作l 的垂线，交直线2y =-于点M ．对任意k ∈R ，直线AM ，AB ，BM 的斜率成等差数列．（1）求C 的方程；（2）若直线//l l '，且l '与C 相切于点N ，证明：AMN △的面积不小于．解：（1）设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，由题可知，当0k =时，显然有0AM BM k k +=； 当0k ≠时，直线OM 的方程为1y x k=-，点(2,2)M k -． 联立直线AB 与C 的方程得2240x pkx p --=， 224160p k p ∆=+>，所以122x x pk +=，124x x p =-， ………………………………………………………………………3分因为直线AM ，AB ，BM 的斜率成等差数列，所以121222222y y k x k x k +++=--． 即121244222kx kx k x k x k +++=--，122112(4)(2)(4)(2)2(2)(2)kx x k kx x k k x k x k +-++-=--， 化简得2122(2)(4)0k x x k ++-=． …………………………………………………5分将122x x pk +=代入上式得22(2)(24)0k pk k +-=， 则2p =，所以曲线C 的方程为24x y =． …………………………………………………………………………8分 （2）（法一）设直线:l y kx n '=+，联立C 的方程，得2440x kx n --=．由0∆=，得2n k =-，点2(2,)N k k ， …………………………………………10分 设AB 的中点为E ，因为1222x x k +=，21212()42222y y k x x k +++==+，则点2(2,22)E k k +． ……………12分 因为222222k k +-=，所以点M ，N ，E 三点共线，且点N 为ME 的中点， 所以AMN △面积为ABM △面积的14． ……………………………………………………………14分 记AMN △的面积为S ，点(2,2)M k -到直线AB ：20kx y -+=的距离2d =，所以3222221212211(24)||1()4(2)22881k S AB d k x x x x k k +=⨯=+⨯+-⨯=++，当0k =时，等号成立．所以命题得证． ………………………………………………………………………………………17分（法二）设直线:l y kx n '=+，联立C 的方程，得2440x kx n --=．由0∆=，得2n k =-，则点2(2,)N k k ．所以直线MN 与x 轴垂直． ……………………………………………………12分记AMN △的面积为S ，所以121||||22x x S MN -=⨯⨯1||4MN =⨯ …………………………………14分21|2|2k =⨯+322(2)22k =+．当0k =时，等号成立．所以命题得证． ……………………………………………………………………………………17分19．（17分）无穷数列1a ，2a ，…，n a ，…的定义如下：如果n 是偶数，就对n 尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是n a ；如果n 是奇数，就对31n +尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是n a ．（1）写出这个数列的前7项；（2）如果n a m =且m a n =，求m ，n 的值； （3）记()n a f n =，*n ∈N ，求一个正整数n ，满足()(())n f n f f n <<<…2024(((())))ff f f n <个……．解：（1）11a =，21a =，35a =，41a =，51a =，63a =，711a =． ……………………………3分 （2）由已知，m ，n 均为奇数，不妨设nm ．当1n =时，因为11a =，所以1m =，故1m n ==； ……………………………5分 当1n >时，因为314n n m +<，而n 为奇数，n a m =，所以312n m +=． ………………6分 又m 为奇数，m a n =，所以存在*k ∈N ，使得312km n +=为奇数． 所以3(31)95231122kn n n m ++=+=+=． 而95462n n n +<<，所以426k n n n <<，即426k <<，*k ∈N ，无解． …………………………7分 所以1m n ==． ……………………………………………………………………………8分 （3）显然，n 不能为偶数，否则()2nf n n <，不满足()n f n <． 所以，n 为正奇数．又1(1)1f a ==，所以3n． …………………………………………………………………10分设41n k =+或41n k =-，*k ∈N ．当41n k =+时，3(41)1()31414k f n k k n ++==+<+=，不满足()n f n <； ……………12分 当41n k =-时，3(41)1()61412k f n k k n -+==->-=，即()n f n <． ……………14分 所以，取202521n k =-，*k ∈N 时，202520242024220233(21)13(321)1()321(())32122k k n f n k f f n k -+⨯-+<==⨯-<==⨯-202232023220233(321)1(((())))3212k f f f n k ⨯-+<<==⨯-………20232202420243(321)1(((())))3212k f f f n k ⨯-+<==⨯-……即()(())n f n f f n <<<…2024(((())))ff f f n <个……． ……………………………………………………17分注：只要给出21m n k =-，并满足条件*,m k ∈N ，2025m 中的其一组,m k 的值，就认为是正确的．。
2016年深圳市高三年级二模文科数学参考答案(考试时间：20160425)
„„„„4 分
„„„„5 分
y kx 2, 2 2 联立 x 2 消去 y 并整理，得： (1+4k ) x 16kx 12 0 2 y 1, 4
2 2 ∵Δ 256k 48(1 4k ) 0 ，
„„„„6 分
解之，得 k
2
3 ， 4
„„„„7 分
由韦达定理可得 x1 x2
又∵ y2 kx2 2 ， y1 kx1 2 ，
16k 12 ， x1 x2 ， 2 1 4k 1+4k 2
„„„„8 分
（kx1 2)(kx1 2) k 2 x1 x2 2k ( x1 x2 ) 4 ， ∴ y1 y2 k ( x1 x2 ) 4 ， y1 y2
x
（Ⅰ）若 f ( x) 在 x 0 处的切线过点 P(1,6) ，求实数 a 的值； （Ⅱ）当 x [0, ] 时， f ( x) ax 恒成立，求实数 a 的取值范围.
π 2
解： （Ⅰ） ∴ f (0) 1 ， 又
f ( x) e x a sin x ，
„„„„1 分
v
2016 年深圳市高三年级第二次调研考试
文科数学试题参考答案（A 卷）
选择题答案
一．选择题 （1） D （7） A （2） B （8） A （3） C （9） A （4） C （10）B （5） B （11）D （6） B （12）C
非选择题答案
二．填空题 （13） 3 三．解答题 （17） （本小题满分12分） 如图 ABC 中，点 M 是边 BC 上的一点， BM 3 ， AC 2 10 ， （14）
3 10 2 10 2 5 10 2 10 2 5
广东省深圳市高三第二次调研考试(图片)——文综(文综)
2016年深圳市高三第二次调研考试文科综合能力测试·地理试题参考答案及评分参考评分说明：1.非选择题部分，若考生答案与本答案不完全相同，但言之有理，可酌情给分，但不得超过该题所分配的分数。
2.考生答案中，中国地名出现错别字一般不给分；外国地名应以地图出版社出版的世界地图集为依据评分，若出现同音字可酌情给分。
36.（22分）（1）（6分）牦牛四肢粗健，适应当地高原丘陵地形（1分）；皮毛厚实，适应当地寒冷的气候（1分）；心肺发达，适应当地缺氧的环境（1分）；耐饥渴，适应当地干旱的环境（1分）；草场面积大，牧草丰富（2分）。
（2）（4分）每年5～10月份，牧草生物量增加，牦牛食物充足，体重增加（2分）；10月份后，牧草减少，牦牛体重下降，所以10月份是牦牛最为肥壮的月份（2分），适宜屠宰。
（3）（6分）青藏铁路开通后，交通运输条件改善（2分），市场规模扩大（1分）；牦牛放牧规模扩大（1分）；牦牛加工能力增强、产业链延长（或产品种类增多、用途广泛，产品附加值增加）（2分），经济效益提高。
（4）（6分）那曲地区高寒草场单位面积载畜量小（2分）；大幅扩大牦牛放牧规模会导致草地退（沙）化（2分），破坏脆弱的生态环境（或一旦破坏难以恢复）（1分）；大规模加工过程中可能加剧环境污染（1分）。
37.（22分）（1）（6分）5～8月气压带和风带北移（1分），此时北部沿海地区主要受赤道低气压带的控制，盛行上升气流，降水多形成雨季（2分）；11月至翌年1月气压带和风带南移（1分），此时北部沿海地区受来自海洋的东北信风以及地形对气流抬升的影响，形成丰富的降水（2分）。
（2）（4分）乔治敦纬度低，太阳辐射（或正午太阳高度角）的年变化小（2分）；邻近海洋，气温变化受海洋的调节作用大（2分）。
（3）（6分）森林资源丰富，建房的原料（木材）充足（2分）；气候湿热，木质结构的房屋利于通风散热（2分）；高脚有利于防洪涝、防虫蛇（2分）。
广东省深圳市高三第二次调研考试（数学文）（）
绝密★启用前 试卷类型：A2011年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科） .4本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：若锥体的底面积为S ，高为h ，则锥体的体积为Sh V 31=． 一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．设集合}5,4,3,2,1{=U ，}2,1{=A ，}4,3,2{=B ，则 )(B A U等于A ．}2{B ．}5{C ．}4,3,2,1{D ．}5,4,3,1{ 2．复数(1)z i i =+（i 为虚数单位）的模等于 A ．1 B. 2 C. 0 D. 23．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为A ∠，B ∠，C ∠所对的边，且4=a ，34=b ，︒=∠30A ，则B ∠等于A ．030 B ．030或0150 C ．060 D ．060或0120 4．已知向量)1,1(=a ，),2(n =b ，若b a ⊥，则n 等于A ．3-B ．2-C ．1D ．2 5. 曲线x x y ln 2-=在点)2,1(处的切线方程为A ．1--=x yB ．3+-=x yC ．1+=x yD ．1-=x y6．已知图1、图2分别表示A 、B 两城市某月1日至6日当天最低气温的数据折线图(其中横轴n 表示日期,纵轴x 表示气温)，记A 、B 两城市这6天的最低气温平均数分别为A x 和B x ,标准差分别为A s 和B s ．则A ．B A x x >，B A s s > B ．B A x x >，B A s s <C ．B A x x <，B A s s >D ．B A x x <，B A s s <7．已知p ：3k >；q ：方程22131x y k k +=--表示双曲线．则p 是q 的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 8．如右图，已知一个锥体的正（主）视图，侧（左）视图和俯视图均为直角三角形，且面积分别为3，4，6，则该锥 体的体积为A ．24B ．8C ．12D ．49．因为某种产品的两种原料相继提价，所以生产者决定对产品分两次提价，现在有三种提价方案：方案甲：第一次提价%p ，第二次提价%q ； 方案乙：第一次提价%q ，第二次提价%p ； 方案丙：第一次提价%2p q +，第二次提价%2p q+， 其中0>>q p ，比较上述三种方案，提价最多的是 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．一样多10．先后抛掷一枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6），正(主)视图侧(左)视图俯视图 nO4651015图1 nO 251015图2所得向上点数分别为m 和n ，则函数311201132y mx nx =-+在),1[∞+上为增函数的概率是 A.23 B. 34 C. 56 D. 79二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答．11．已知点),(y x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥100y x y x ，则x y u -=的取值范围是 ．12．定义⎩⎨⎧≥<=.,,,*b a b b a a b a 已知3.03=a ，33.0=b ，3.0log 3=c ，则=c b a *)*( ．（结果用a ，b ，c 表示）13．如图1是一个边长为1的正三角形，分别连接这个三角形三边中点，将原三角形剖分成4个三角形（如图2），再分别连接图2中一个小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成7个三角形（如图3），…，依此类推．设第n 个图中原三角形被剖分成n a 个三角形，则第4个图中最小三角形的边长为 ；=100a ．图1 图2 图3（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线θρcos 4=与cos 4ρθ=的交点为A ,点M 坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛π32，，则线段AM 的长为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图，直角三角形ABC 中，︒=∠90B ，4=AB ，以BC 为直径的圆交AC 边于点D ，2=AD ，则C ∠的大小为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．AB D… …16．（本小题满分12分）已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2sin 2cos 2cos 2sin32)(22x x x x x f ． （1）求函数)(x f 的最大值并求出此时x 的值； （2）若0)(=x f ，求)2sin(sin )cos(sin x x x x -π++π+的值．17．（本小题满分12分）某校高三（1）班共有40名学生，他们每天自主学习的时间全部在180分钟到330分钟之间，按他们学习时间的长短分5个组统计得到如下频率分布表：分组 频数频率[180 , 210） 4 0.1[210 , 240） 8s[240 , 270） 12 0.3 [270 , 300） 100.25[300 , 330）nt（1）求分布表中s ，t 的值；（2）某兴趣小组为研究每天自主学习的时间与学习成绩的相关性，需要在这40名学生中按时间用分层抽样的方法抽取20名学生进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？（3）已知第一组的学生中男、女生均为2人．在（2）的条件下抽取第一组的学生，求既有男生又有女生被抽中的概率．18．（本小题满分14分）如图1，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且121===CD AD AB ． 现以AD 为一边向形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2．（1）求证：AM ∥平面BEC ； （2）求证：⊥BC 平面BDE ； （3）求点D 到平面BEC 的距离.FEDCBA 图1 CDFEM19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的两焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，并且经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1M . （1）求椭圆C 的方程；（2）已知圆O :122=+y x ，直线l :1=+ny mx ，证明当点()n m P ,在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围．20．（本小题满分14分）执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为1a ，2a ，…，n a ，*N ∈n ，2011≤n ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）（1）若输入2λ=（2）若输入2＝λ，令11-=n n a b ，证明}{n b 是等差数列，并写出数列}{n a 的通项公式；（3）若输入25=λ，令212--=n n n a a c ，2011321201132c c c c T ++++= ．求证：98<T ．21．（本小题满分14分）开始输入λ的值1=i ，0=aaa -λ=1输出a1+=i i2011≤i 且λ≠a ？结束是否已知函数()e xf x =（e 为自然对数的底数），x a a x f x f xg ⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=1)()()(，∈x R ,0>a ．（1）判断函数)(x g 的奇偶性,并说明理由； （2）求函数)(x g 的单调递增区间；（3）证明：对任意实数1x 和2x ，且21x x ≠，都有不等式2)()()()()2(21212121x f x f x x x f x f x x f +<--<+成立． 深圳市高三年级第二次调研考试 数学(文科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：本大题每小题5分，满分40分． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B D B C C A D C C 二、填空题：本大题每小题5分，满分30分． 11． ]1,1[-． 12．c ． 13．18； 298 ． 14．32． 15．30． 说明：第13题第一空2分，第二空3分. 三、解答题16．（本小题满分12分） 已知函数22()23sincos (cos sin ).2222x x x x f x =-- （1）求函数)(x f 的最大值并求出此时x 的值；（2）若0)(=x f ，求sin cos(π)πsin sin()2x x x x +++-的值. 解：（1）22π()23sin cos (cos sin )3sin cos 2sin()22226x x x x f x x x x =--=-=- …………2分当ππ2π+,62x k k -=∈Z ，即2π2π+,3x k k =∈Z 时，()f x 取得最大值为2.…………6分（2）令()0f x =时，得3tan 3x =. …………8分 ∴sin cos()sin cos tan 13 2.sin cos tan 1sin sin()2x x x x x x x x x x ππ++--===-+++- …………12分17．（本小题满分12分）某校高三（1）班共有40名学生，他们每天自主学习的时间全部在180分钟到330 分钟之间，按他们学习时间的长短分5个组统计得到如下频率分布表：分组 频数 频率 [180,210） 40.1 [210,240） 8s [240,270） 12 0.3 [270,300） 10 0.25[300,330） n t （2）某兴趣小组为研究每天自主学习的时间与学习成绩的相关性，需要在这40名学生中按时间用分层抽样的方法抽取20名学生进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？（3）已知第一组的学生中男、女生均为2人．在（2）的条件下抽取第一组的学生，求既有男生又有女生被抽中的概率． 解：（1） 80.240s ==，10.10.30.250.15t s =----=．……………………………4分 （2）设应抽取x 名第一组的学生，则20,440x =得2x =．故应抽取2名第一组的学生． ……………………………6分 （3）在（II ）的条件下应抽取2名第一组的学生．记第一组中2名男生为12,a a ，2名女生为12,b b ．按时间用分层抽样的方法抽取2名第一组的学生共有6种等可能的结果，列举如下：121112212212,,,,,a a a b a b a b a b b b ． ……………………………9分其中既有男生又有女生被抽中的有11122122,,,a b a b a b a b 这4种结果， ………………10分 所以既有男生又有女生被抽中的概率为42.63P == …………………………12分 18．(本小题满分14分)如图1，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且121===CD AD AB ． 现以AD 为一边向形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2． （1）求证：AM ∥平面BEC ；（2）求证：⊥BC 平面BDE ；EG M AFBCD E N（3）求点D 到平面BEC 的距离.图1 图2（1）证明：取EC 中点N ，连结BN MN ,． 在△EDC 中，,M N 分别为,EC ED 的中点， 所以MN ∥CD ，且12MN CD =． 由已知AB ∥CD ，12AB CD =， 所以MN ∥AB ，且MN AB =． …………………………3分 所以四边形ABNM 为平行四边形．所以BN ∥AM ． …………………………4分 又因为⊂BN 平面BEC ，且⊄AM 平面BEC ，所以AM ∥平面BEC ． ………………………5分 （2）证明：在正方形ADEF 中，ED AD ⊥． 又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =，所以⊥ED 平面ABCD ．所以ED BC ⊥． ………………………7分 在直角梯形ABCD 中，1==AD AB ，2=CD ，可得2=BC ．在△BCD 中，2,2===CD BC BD ，所以222CD BC BD =+．所以BC BD ⊥． …………………………8分 所以BC ⊥平面BDE ． …………………………10分 （3）解法一：由（2）知，BC ⊥平面BDE又因为BC ⊂平面BCE ， 所以平面BDE ⊥平面BEC ． ……………………11分 过点D 作EB 的垂线交EB 于点G ，则⊥DG 平面BEC所以点D 到平面BEC 的距离等于线段DG 的长度 ………………………12分在直角三角形BDE 中，DG BE DE BD S BDE ⋅=⋅=∆2121 MEC所以3632==⋅=BEDEBD DG 所以点D 到平面BEC 的距离等于36. ………………………14分 解法二：由（2）知，BD BC BE BC ⊥⊥, 所以,1222121=⋅⋅=⋅=∆BC BD S BCD .26322121=⋅⋅=⋅=∆BC BE S BCE ………………………12分 又BCE D BCD E V V --=，设点D 到平面BEC 的距离为.h 则⋅=⋅∆3131DE S BCD h S BCE ⋅∆ 所以 36261==⋅=∆∆BCE BCD S DE S h 所以点D 到平面BEC 的距离等于36. ………………………14分 19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的两焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，并且经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1M . （1）求椭圆C 的方程；（2）已知圆O :122=+y x ，直线l :1=+ny mx ，证明当点()n m P ,在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围．解：(1)解法一：设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，由椭圆的定义知:()()22222223321101104,1,322a c b a c ⎛⎫⎛⎫=++--+-===-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得 3,2==b a故C 的方程为13422=+y x . ...............4分 解法二：设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，依题意，122=-b a ①， 将点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1M 坐标代入得12312222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ② 由①②解得3,422==b a ，故C 的方程为13422=+y x . ...............4分 （2）因为点()n m P ,在椭圆C 上运动，所以22143m n +=，则1342222=+>+n m n m ， 从而圆心O 到直线1:=+ny mx l 的距离r nm d =<+=1122，所以直线l 与圆O 相交. ............... 8 分 直线l 被圆O 所截的弦长为22211212nm d L +-=-=341112413112222+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=m m m...............10 分,31341141,4341340222≤+≤≤+≤∴≤≤m m m 3362≤≤∴L . ...............14 分 20．(本小题满分14分)执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为1a ，2a ，…，n a ，*N ∈n ，2011≤n ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）（1）若输入2λ=（2）若输入2＝λ，令11-=n n a b ，证明}{n b 是等差数列，并写出数列}{n a 的通项公式；（3）若输入25=λ，令212--=n n n a a c ，2011321201132c c c c T ++++= ．求证：98<T ．解:（1）输出结果为0，22，2. ………………4分（注：写对第一个数给1分，写对二个数得2分.） （2）当2＝λ时，111111---=-++n n n n a a b b 111211----=n na a 1112----=n n n a a a 1-=（常数），*N ∈n ，2010≤n ． 所以，}{n b 是首项11-=b ，公差1-=d 的等差数列． …………………………6分 故n b n -=，n a n -=-11，数列}{n a 的通项公式为na n 11-=，*N ∈n ，2011≤n ． ……………………………9分 （3）当25＝λ时，n n a a -=+2511，212--=n n n a a c412122124121222511252212212111=----⋅=------=----=+++n n n n n n nn n n n n nn a a a a a a a a a a a a c c ， ……………………………11分 ∴}{n c 是以21为首项，41为公比的等比数列．nn n c ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=-41241211开始输入λ的值1=i ，0=aaa -λ=1输出a1+=i i2011≤i 且λ≠a ？结束是否n n c n c c c T ⋅++++= 32132nn ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=41241641441232＋＋＋143241241641441241+⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n T ＋＋＋两式作差得1432412412412412412412411+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n nn n T ＋＋即 111121443121121214434414n n n n n T n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 118181881811943499434nn n n n n n T ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=--=--⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦……………………………13分当2011=n 时，201120128818182011994349T ⎛⎫⎛⎫=--⋅⋅<⎪⎪⎝⎭⎝⎭……………………14分 21．（本小题满分14分）已知函数()e xf x =（e 为自然对数的底数），x a a x f x f xg ⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=1)()()(，∈x R ,0>a ．（1）判断函数)(x g 的奇偶性,并说明理由； （2）求函数)(x g 的单调递增区间；（3）证明：对任意实数1x 和2x ，且21x x ≠，都有不等式2)()()()()2(21212121x f x f x x x f x f x x f +<--<+成立． 解: （1） 函数)(x g 的定义域为R ，且11()()()()()()g x f x f x a x f x f x a x g x a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--++=----+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ∴ 函数)(x g 是奇函数. ………………2分 （2）2111()e e e e e 1e (e )(e )x x x x x x x xg x a a a a a a ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫'=+-+=-++=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦………………3分当1a =时，2'()e (e 1)0xxg x -=-≥且当且仅当0x =时成立等号，故()g x 在R 上递增； ………………4分 当01a <<时，1a a <，令'()0g x >得1e xa>或e x a <， 故()g x 的单调递增区间为(,ln )a -∞或(ln ,)a -+∞； ………………5分 当1a >时，1a a >，令'()0g x >得e x a >或1e xa<， 故()g x 的单调递增区间为(,ln )a -∞-或(ln ,)a +∞． ………………6分 （3）不妨设21x x >,2)()()()()2(21212121x f x f x x x f x f x x f +<--<+⇔121212212e e e e e 2x xx x x x x x +-+<<-, 12211221222212ee ee 12x x x x x x x x x x -----+⇔<<- ………………7分令0221>-=x x x ,则只需证e e e e 122x x x x x ---+<< ………………8分 先证e e 12x x x--<, 由（2）知()e e 2x xg x x -=--在R 上递增,∴ 当0>x 时，()(0)0g x g >=∴ e e2x xx -->，从而由0>x 知e e 12x xx--<成立； ………………10分再证e e e e 22x x x x x ---+<，即证：e e e ex xxxx ---<+， 令e e ()e e x x x x h x x ---=-+，则222e 12()1e 1e 1x x x h x x x -=-=--++是减函数， ∴当0>x 时，0)0()(=<h x h ，从而e e e ex xxxx ---<+成立. ………………13分 综上，对任意实数1x 和2x ，且21x x ≠，都有不等式2)()()()()2(21212121x f x f x x x f x f x x f +<--<+成立. ………………14分。
广东省深圳市高三第二次调研考试（二模）文科数学试题
2009年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科） 2009.5本试卷共6页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。
不按要求填涂的，答案无效。
3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。
漏涂、错涂、多涂的答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回。
参考公式：若锥体的底面积为S ，高为h ，则锥体的体积为=13V Sh ；若圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则圆锥的侧面积为=S πrl ．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}1,2,3,4,5,6=U ，集合{}1,2,5=A ，C U B {4,5,6}=，则集合=ABA ．{ 5 }B ． {1,2}C ．{1,2,3}D ．{3,4,6}2．“(3)0-≤x x ”是“12-≤x ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在空间直角坐标系xyz O -中，过点(4,2,3)--M 作直线OM 的垂线l ，则直线l 与平面Oxy 的交点(,,0)P x y 的坐标满足条件A ．42290+-=x yB ．42290-+=x yC ．42290++=x yD ．42290--=x y4．如右图，一个空间几何体的主(正)视图、侧(左)视图都是周长为8、一个内角为60°的菱形及其一条对角线，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为 A ．5πB ．4πC ．3πD ．2π5．已知离心率为e 的曲线22217-=x y a ，其右焦点与抛物线216=y x 的焦点重合，则e 的值为A ．34B ．42323C ．43D ．2346．若奇函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数，又(3)-f =0，则不等式()0<f x x的解集为A ．(3,0)(3,)-+∞B ．(3,0)(0,3)-C ．(,3)(3,)-∞-+∞D ．(,3)(0,3)-∞-7．设数列{}n a 是等差数列，且28n 6,6,=-=a a S 是数列{}n a 的前n 项和，则 A ．65<S S B ．65=S SC ．45<S SD ．45=S S8．已知直线2=x 、4=x 与函数4log =y x 图像的交点分别为A 、B ，与函数ln =y x 图像的交点分别为C 、D ，则直线AB 与CDA ．相交，且交点在第一象限B ．相交，且交点在第二象限C ．相交，且交点在第四象限D ．相交，且交点在坐标原点9．在右程序框图中，当n ∈N *（n>1）时，函数()n f x 表示函数1n-f x ()的导函数.若输入函数1sin cos =+()f x x x ，则输出的函数()n f x 可化为A ．2sin(-x π)4B ．2sin(--x π)4第4题图俯视图左视图正视图开始输入f 1(x )f n (x )=f ＇n-是 否n=2n=n+1n >2009？ 输出f n (x )结束 第9题图C ．2sin(+x π)4D ．2sin(-+x π)410．某宾馆有n(n ∈N )*间标准相同的客房，客房的定价将影响入住率．经调查分析，得出每间客房的定价与每天的入住率的大致关系如下表： 每间客房的定价 220元 200元 180元 160元 每天的住房率50℅60℅70℅75℅对每间客房，若有客住，则成本为80元；若空闲，则成本为40元．要使此宾馆每天的住房利润最高，则每间客房的定价大致应为 A ．220元 B ．200元 C ．180元 D ．160元二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题（第13题前一空2分，后一空3分），每道试题考生都必须做答11．已知向量(3,4)=-a ，向量b 与a 方向相反，且,1λ==b a b ，则实数λ= ．12．200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于60km/h 的汽车数量为 辆．13．数列{}n a 的前n 项和是n S ，若数列{}n a 的各项按如下规则排列：1121231234121,,,,,,,,,,,,,,,2334445555-n n nn则15=a ，若存在正整数k ，使10<k S ，110+≥k S ，则=k a ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）已知点P 是曲线cos :(sin =⎧⎨=⎩43x θC θy θ为参数，)≤≤0θπ上一点，O 为原点．若直线OP 的倾斜角为4π，则点P 的直角坐标为 ．15．（几何证明选讲选做题）如右图，A 、B 是两圆的交点，AC 是小圆的直径，D 和E 分别是CA 和CB 的延长线与大圆的交点，已知10,4==BE AC ，且AD BC =，则DE = ．三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文时速频率组距km/h8070605040300.0050.0100.0180.0280.039第12题图D BEAC第15题图字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知复数i (,)=+∈R z x y x y 在复平面上对应的点为M ．（Ⅰ）设集合{}{}4,3,2,0,0,1,2=---=P Q ，从集合P 中随机取一个数作为x ，从集合Q 中随机取一个数作为y ，求复数z 为纯虚数的概率；（Ⅱ）设[][]0,3,0,4∈∈x y ，求点M 落在不等式组：23000+-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩x y x y 所表示的平面区域内的概率．17．（本小题满分12分）如图，已知点(3,4),(2,0),A C 点O 为坐标原点，点B 在第二象限，且3=OB ，记θ∠=AOC ．（Ⅰ）求sin 2θ的值；（Ⅱ）若科7=AB ，求∆BOC 的面积．18．（本小题满分14分）在直三棱柱111C B A ABC -中，⊥AD 平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上． （Ⅰ）求证：B A BC 1⊥；（Ⅱ）若3=AD ，2==BC AB ，P 为AC 的中点，求三棱锥BC A P 1-的体积．19．（本题满分14分） 已知函数3211()(,)32+=-++∈R a f x x x bx a a b ，且其导函数()'f x 的图像过原点．第17题图θxCOBAy第18题图BACDP1B 1A 1C（Ⅰ）当1=a 时，求函数()f x 的图像在3=x 处的切线方程； （Ⅱ）若存在0<x ，使得()9'=-f x ，求a 的最大值； （Ⅲ）当0>a 时，求函数()f x 的零点个数．20．（本题满分14分）已知等比数列{}n a 的公比1>q ，且1a 与4a 的一等比中项为42，2a 与3a 的等差中项为6．（I ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，123(1)(N )+*+=+-∈n n n n b S a n ，请比较n b 与1+n b 的大小；（Ⅲ）数列{}n a 中是否存在三项，按原顺序成等差数列？若存在，则求出这三项；若不存在，则加以证明．21．（本小题满分14分）如图，已知椭圆222:1(1)+=>x C y a a的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆:M 226270+--+=x y x y 相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且0,⋅=AP AQ 求证：直线l 过定点，并求出该定点N 的坐标．xOyAQlF深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科）答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：本大题每小题5分，满分50分． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 BACBCBDDCC二、填空题：本大题每小题5分；第13题第一空2分,第二空3分;第14、15两小题中选做一题，如果两题都做，以第14题的得分为最后得分)，满分20分． 11．15- . 12．76. 13．56 ，57 ． 14．⎪⎭⎫⎝⎛512512，． 15．63三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知复数i (,)z x y x y =+∈R 在复平面上对应的点为M .（Ⅰ）设集合{}{}4,3,2,0,0,1,2P Q =---=，从集合P 中随机取一个数作为x ，从集合Q中随机取一个数作为y ,求复数z 为纯虚数的概率；（Ⅱ）设[][]0,3,0,4x y ∈∈,求点M 落在不等式组：23000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区内y xD CBA OyxOCBAθ的概率.解：(1)记 “复数z 为纯虚数”为事件A∵组成复数z 的所有情况共有12个：4,4i,42i --+-+，3,3i,32i --+-+，2,2i,22i --+-+，0,i,2i ，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型. ……2分 其中事件A 包含的基本事件共2个: i,2i.………4分 ∴所求事件的概率为21()126P A ==………………6分 （2）依条件可知,点M 均匀地分布在平面区域03(,)|04x x y y ⎧≤≤⎫⎧⎨⎨⎬≤≤⎩⎩⎭内,属于几何概型. 该平面区域的图形为右图中矩形OABC 围成的区域, 面积为 3412.S =⨯=……8分所求事件构成的平面区域为230(,)00x y x y x y ⎧⎫+-≤⎧⎪⎪⎪≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪≥⎩⎩⎭,其图形如下图中的三角 第16题图形OAD (阴影部分)又直线230x y +-=与x 轴、y 轴的交点分别为3(3,0),(0,)2A D ,所以三角形OAD 的面积为11393.224S =⨯⨯=……10分∴所求事件的概率为.S P S ===19341216………………12分17．（本小题满分12分）如图, 已知点(3,4),(2,0),A C 点B 在第二象限，且3OB =，O 为坐标原点，记AOC θ∠=．（Ⅰ）求sin 2θ的值；（Ⅱ）若7AB =,求BOC ∆的面积．解：(1)A 点的坐标为(3,4)，22345OA ∴+=43sin ,cos 55θθ∴== ………………3分24sin 22sin cos 25θθθ==……………6分 (2)（解法一）在OAB ∆中， 5,3,7OA OB AB ===，2225371cos 2532AOB +-∴∠==-⨯⨯， 第17题图0180AOB <∠<︒，B 1C 1A 1CDPAB213sin 1()2AOB ∴∠=--=331433-4sin sin =sin cos cos sin 525BOC AOB AOB AOB θθθ∠=∠+∠+∠-⨯∴（） ………10分BOC ∴∆的面积193-12S sin 2OB OC BOC =⋅⋅∠=………………12分 （解法二）设(,)B x y ，由3OB =，7AB =得22229(3)(4)49x y x x ⎧+=⎪⎨-+-=⎪⎩， ………8分 解得：9312y +=9312y -= 又点B 在第二象限，故931210y =. ………10分 BOC ∴∆的面积193-12S 2OC y =⋅=………12分18．（本小题满分14分）在直三棱柱111C B A ABC -中， AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上. (Ⅰ)求证：B A BC 1⊥; (Ⅱ)若3AD =2==BC AB ,P 为AC 的中点，求三棱锥BC A P 1-的体积.（Ⅰ）证明：三棱柱 111C B A ABC -为直三棱柱，∴⊥A A 1平面ABC ，又⊂BC 平面ABC ，∴BC A A ⊥1 ------------------------------------------------------2分AD ⊥平面1A BC ，且⊂BC 平面1A BC ，∴BC AD ⊥.又 ⊂1AA 平面AB A 1,⊂AD 平面AB A 1,A AD A A =⋂1，∴BC ⊥平面1A AB ，----------------------------5分 第18题图又⊂B A 1平面BC A 1，∴ B A BC 1⊥-----------------------------------7分（2）在直三棱柱111C B A ABC - 中，⊥A A 1AB.AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上,∴ B A AD 1⊥.在Rt ABD ∠∆中，3AD =AB BC ==2，3sin AD ABD AB ∠==,060ABD ∠= 在1Rt ABA ∠∆中， tan AA AB =⋅=016023分 由（1）知BC ⊥平面1A AB ，⊂AB 平面AB A 1,从而AB BC ⊥2222121=⨯⨯=⋅=⋅∆BC AB S ABCP 为AC 的中点，121==∆∆ABC BCP S S -----------------------11分 ∴=-BC A P V 1111123123333A BCP BCP V S A A -∆=⋅=⨯⨯=---------------------14分 19.（本题满分14分）已知函数3211()(,)32a f x x x bx a ab +=-++∈R ，且其导函数()f x '的图像过原点. (Ⅰ)当1a =时,求函数()f x 的图像在3x =处的切线方程; (Ⅱ)若存在0x <,使得()9f x '=-,求a 的最大值； (Ⅲ)当0a >时，求函数()f x 的零点个数.解: 3211()32a f x x x bx a +=-++,2()(1)f x x a xb '=-++由(0)0f '=得 0b =,()(1)f x x x a '=--.---------------------2分(Ⅰ) 当1a =时, 321()13f x x x =-+,()(2)f x x x '=-，(3)1f =,(3)3f '=所以函数()f x 的图像在3x =处的切线方程为13(3)y x -=-,即380x y --=--------------------4分(Ⅱ) 存在0x <,使得()(1)9f x x x a '=--=-,9991()()()(6a x x x x x x--=--=-+-≥-⋅-=，7a ≤-， 当且仅当3x =-时，7.a =-所以a 的最大值为7-. 9分x (,0)-∞ 0 (,1)a -∞+ 1a + (1,)a ++∞(Ⅲ) 当0a >时，,(),()x f x f x '的变化情况如下表： ----------11分()f x 的极大值(0)0f a =>，()f x 的极小值3321111(1)(1)3()06624f a a a a a ⎡⎤+=-+=-+-+<⎢⎥⎣⎦又14(2)0,3f a -=--<213()(1)32f x x x a a ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦，3((1))02f a a +=>.所以函数()f x 在区间()32,0,(0,1),(1,(1))2a a a -+++内各有一个零点， 故函数()f x 共有三个零点。
广东省深圳市2016届高三数学第二次调研考试试题理(含解析) (1)
2016年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）1．复数z 满足(1i)1i z +=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A．2C ．2D ．1 【答案】D 【解析】1i1i 11i 1iz --===++． 2．设,A B 是两个集合，则“x A ∈”是“x AB ∈”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 3．若1cos()23πα-=，则cos(2)πα-=（ ） A． BC ． 79-D ．79【答案】C 【解析】∵1cos()23πα-=，∴1sin 3α=． ∴27cos(2)cos 22sin 19πααα-=-=-=-． 4．若,x y 满足约束条件10,10,410.x y x x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则目标函数13y z x +=+的最大值为（ ）A ．14 B ．23 C ．32D ．2 【答案】C 【解析】目标函数13y x ++点(,)x y 和点(3,1)--由图可知：当其经过点(1,5)A 即max 15133132y z x ++===++ ．5．如图所示的流程图中,若输入,,a b c 的值分别是2,4,5，则输出的x =（ ）A ．1B ．2C ．lg 2D ．10 【答案】A【解析】由题意可知a b c <<，∴lg 2lg51x =+=．6．已知函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经过如下变换得到：先将()g x 的图象向右平移3π个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变．则函数()f x 的一条对称轴方程为（ ） A ．6x π=B ．512x π=C ．3x π=D ．712x π= 【答案】D【解析】cos y x =3π−−−−−→向右个单位所有点的纵坐标不变cos()3y x π=-−−−−−−−→横坐标变为原来的一半纵坐标不变cos(2)3y x π=-．∴()cos(2)3f x x π=-．对称轴方程为2,3x k k Z ππ-=∈，即1,26x k k Z ππ=+∈，故选A ．7．以直线y =为渐近线的双曲线的离心率为为（ ）A ．2 BC ．2【答案】C【解析】∵双曲线的渐近线方程为y =，∴b a =a b =．∴224c a =，或2243c a =． ∴2e =，或e = 8．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（ ） A ．310 B ．35 C ．25 D ．15【答案】B【解析】2222322355()35C A A A P A ⋅⋅==． 9．如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+=（ ）A ．2B ．83C ．65D ．85【答案】D【解析】∵AC AM BN λμ=+()()AB BM BC CN λμ=+++11()()22AB AD AD AB λμ=++-11()()22AB AD λμλμ=-++,∴112112λμλμ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩， 解得6525λμ⎧=⎪⎨⎪=⎩，85λμ+=． 10．已知函数ln ,0,()ln(),0.x x x f x x x x -- >⎧=⎨--+<⎩ 则关于m 的不等式11()ln 22f m <-的解集为（ ）A. 1(0,)2 B ．(0,2) C ．11(,0)(0,)22- D ．(2,0)(0,2)- 【答案】C【解析】函数()f x 的定义域(,0)(0,)-∞+∞关于原点对称，∵0x >时，0x -<，()ln ()f x x x f x -=-+=， 同理：()()f x f x -=，∴()f x 为偶函数．NA DC MB∵()f x 在(0,)+∞上为减函数，且1(2)ln 22ln 22f =--=-， ∴当0m >时，由11()ln 22f m <-，得1()(2)f f m<，∴12m>，解得102m <<．根据偶函数的性质知当0m <时，得102m -<<．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（ ）A ．48B ．16C ．32 D．【答案】D【解析】该几何体的直观图，如图：4S =⨯=h =∴111633V Sh ==⨯=．12．设定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()()ln xf x f x x x '-=，11()f e e=，则()f x （ ） A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值 C ．既有极大值，又有极小值 D ．既无极大值，也无极小值 【答案】D【解析】()f x 的定义域为(0,)+∞， ∵()()ln xf x f x x x '-=，∴2()()ln xf x f x xx x '-=， ∴()ln ()f x x x x '=，∴2()1ln 2f x x c x =+， ∴21()ln 2f x x x cx =+．∵211111()ln 2f c e e e e e =+⨯=，∴12c =． ∴22111()ln ln (ln 1)0222f x x x x '=++=+≥，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增，∴()f x 在(0,)+∞上既无极大值也无极小值． 二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分ADC BP13．高为π，体积为2π的圆柱的侧面展开图的周长为 ． 【答案】6π【解析】∵2222V r h r πππ===，∴1r =，∴侧面展开图的周长为2(2)6r πππ+=．14．过点(3,1)P 的直线l 与圆22:(2)(2)4C x y -+-=相交于,A B 两点，当弦AB 的长取最小值时，直线l 的倾斜角等于 ． 【答案】4π 【解析】∵AB 的长取最小值时，AB 垂直于PC ，∴1AB PC k k ⋅=-，即(1)1AB k ⋅-=-，∴1AB k =，直线l 的倾斜角等于4π． 15．在1020161(2)x展开式中，4x 项的系数为____________．(结果用数值表示)【答案】180【解析】含有4x项为228048201612()180C x x⋅⋅-=．另解：10102016201611(2)[2]xx=+，∴通项10110201612)rrr r T C x-+=，20161)rx的通项11()(4033)2016221(1)(1)r k r k k k kkk k rrT C xxC x---+=-=-∴1(4033)42010r k r ⎧-=⎪⎨⎪≤≤⎩，∴8r =． ∴4x 项的系数为82102180C =．16．如图，在凸四边形ABCD 中，1AB =，BC =，AC CD ⊥，AC CD =．当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为_________．【答案】D【解析】设AC CD x ==，在ABC ∆中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠，∴213x ABC =+-∠，∵sin sin AC AB ABC ACB =∠∠,∴sin sin ABCACB x ∠∠=．在BCD ∆中，BD ====ABCD∵(0,)ABC π∠∈，∴sin()4ABC π∠-可以取到最大值1，∴max 1BD ==．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ． 17．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n a 是n S 和1的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T ． 【解析】（1）由题意得：12n n S a +=， ① 当2n ≥时，112(1)n n S a --=-，② ①-②得122n n n a a a -=-，即12n n a a -=，∴12nn a a -=． 由①式中令1n =，可得11a =，∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴12n n a -=． （2）由12n n n a b n -=⋅得 112233n n n T a b a b a b a b =⋅+⋅+⋅++⋅1211222322n n -=⋅+⋅+⋅++⋅12312122232(1)22n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅01211222222221212nn nn n n n T n n n ---=++++-⋅=-⋅=--⋅-∴(1)21n n T n =-⋅+．18．(本小题满分12分)某市在以对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”，其它为“合格”．(1)某校高一年级有男生500人，女生4000人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分层抽样的方法从高一学生中抽取了45名学生的综合素质评价结果，其各个等级的把握认为“综合素（2生的概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高一学生中随机抽取3人．（i ）求所选3人中恰有2人综合素质评价为“优秀”的概率；（ii ）记X 表示这3人中综合素质评价等级为“优秀”的个数，求X 的数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【解析】（1）设从高一年级男生中抽出m 人，则,25500500400m ==+． ∴25205,20182x y =-==-=而45(1551015)91.1252.706301525208k ⨯⨯-⨯===<⨯⨯⨯ ∴没有90%的把握认为“测评结果为优秀与性别有关”．（2）（i ）由（1）知等级为“优秀”的学生的频率为15152453+=，∴从该市高一学生中随机抽取1名学生，该生为“优秀”的概率为23．记“所选3名学和g 中恰有2人综合素质评价‘优秀’学生”为事件A ，则事件A 发生的概率为：223224()()(1)339P A C =⨯⨯-=；（ii ）由题意知，随机变量2~(3,)3X B ，∴随机变量X 的数学期望2()323E X =⨯=．19．(本小题满分12分)在三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，侧面11ABB A 是边长为2的正方体．点,E F 分别在线段111,AA A B 上，且113,,24AE A F CE EF ==⊥． （1）证明：平面11ABB A ⊥平面ABC ；（2）若CA CB ⊥，求直线1AC 与平面CEF 所成角的正弦值． 【解析】（1）取线段AB 中点M ，连接EM ，在正方体11ABB A 中，131,2AM A E ==， 在Rt EAM ∆和1Rt FA E ∆中，1123AE AM A F A E ==， 又12EAM FA E π∠=∠=，∴1Rt EAM Rt FA E ∆∆∼，∴1AEM A FE ∠=∠，从而1112AEM A EF A FE A EF π∠+∠=∠+∠=，∴2FEM π∠=，即EF EM ⊥．又,EF CE ME CE E ⊥=， ∴EF ⊥平面CEM ，∵CM ⊂平面CEM ， ∴ CM EF ⊥， 在等腰三角形CAB∆中，CM AB ⊥，又AB 与EF 相交，知CM ⊥平面1AB ， ∵CM ⊂平面ABC ，∴平面11ABB A ⊥平面ABC ；ACBA 1B 1C 1FE（2）在等腰三角形CAB ∆中，由,2CA CB AB ⊥=知CA CB ==，且1CM =，记线段11A B 中点为N ，连接MN ，由（1）知，,,MC MA MN 两两互相垂直， 以M 为坐标原点，分别以,,MC MA MN 为正交基底建立如图所示空间直角坐标系Oxyz ，则111(1,0,0),(0,1,),(0,,2),(0,1,0),(1,0,2)24C E F A C ，设平面CEF 的法向量为(,,)x y z =n ，则,CE EF ⊥⊥n n ，即102202332042x y z x y z y z y z ⎧-++=⎪--=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪-+=⎪⎩，取2z =，则4,5y x ==，从而得到平面CEF 的一个法向量(5,4,2)=n ．1(1,1,2)AC =-，记直线1AC 与平面CEF 所成角为θ，则111||sin |cos ,|18||||AC AC AC θ⋅=<>===⋅n n n ． 故直线1AC 与平面CEF20．（本小题满分12分）过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，且,A B 两点的纵坐标之积为4-．（1）求抛物线C 的方程；（2）已知点D 的坐标为(4,0)，若过D 和B 两点的直线交抛物线C 的准线于P 点，求证：直线AP 与x 轴交于一定点．【解析】（1）抛物线的焦点为(,0)2pF ， 故可设直线AB 的方程为2px my =+，由222p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2220y pmx p --=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则212y y p =-，∴24p -=-，由0p >，可得2p =．∴抛物线C 的方程为24y x =．（2）【方法1】依题意，直线BD 与x 轴不垂直，∴24x ≠．∴直线BD 的方程可表示为22(4)4y y x x =--，① ∵抛物线C 的准线方程为1x =-，② 由①，②联立方程组可求得P 的坐标为225(1,)4y x ---， 由（1）可得124y y =-， ∴P 的坐标可化为1215(1,)1y y --， ∴1121121151411APy y y y k x y --==---，∴直线AP 的方程为111214()1y y y x x y -=--， 令0y =，可得222111111114444y y x x y --=-=-=， ∴直线AP 与x 轴交于定点1(,0)4．【方法2】直线AP 与x 轴交于定点1(,0)4M ． 证明如下：依题意，直线BD 与x 轴不垂直，∴24x ≠． ∴直线BD 的方程可表示为22(4)4y y x x =--，① ∵抛物线C 的准线方程为1x =-，② 由①，②联立方程组可求得P 的坐标为225(1,)4y x ---， 由①，②联立方程组可求得P 的坐标为225(1,)4y x ---， 由（1）可得124y y =-，∴214y y =-．∴P 的坐标可化为1215(1,)1y y --， ∴,P M 两点连线的斜率为12112150141114PMy y y k y --==---,∴,A M 两点连线的斜率为1121104114AM y yk y x -==--, ∴PM AM k k =，∴P 、A 、M 三点共线， 即直线AP 与x 轴交于定点1(,0)4．21．（本小题满分12分）已知函数2()x ax f x e=，直线1y x e =为曲线()y f x =的切线．（1）求实数a 的值；（2）用m i n {,}mn 表示,m n 中的最小值，设函数1()min{(),}(0)g x f x x x x=->，若函数2()()h x g x cx =-为增函数，求实数c 的取值范围．【解析】（1）对()f x 求导得222(2)()()x x x xx e x e x x f x a a e e ⋅-⋅-'=⋅=⋅， 设直线1y x e=与曲线()y f x =切于点00(,)P x y ，则0200001(2x )1x x ax x e e x a ee ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⋅⎪⎩，解得01a x ==．所以a 的值为1．（2）记函数211()()(),0x x F x f x x x x x e x=--=-+>，下面考察函数()y F x =的符号．对函数()y F x =求导得2(2)1()1,0x x x F x x e x -'=-->． 当2x ≥时()0F x '<恒成立．当02x <<时，2(2)(2)[]12x x x x +--≤=， 从而2222(2x)11111(x)11110x x x F e x e x x x-'=--≤--<--=-<． ∴()0F x '<在(0,)+∞上恒成立，故()y F x =在(0,)+∞上单调递减． ∵2143(1)0,(2)02F F e e =>=-<，∴(1)(2)0F F ⋅<． 又曲线()y F x =在[1,2]上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知∃惟一的0(1,2)x ∈，使0()0F x =∴00(0,),()0;(,),()0x x F x x x F x ∈>∈+∞<．∴020101()min{(),},xx x x xg x f x x x x x x e ⎧-<≤⎪⎪=-=⎨⎪>⎪⎩，，从而2022201-0()(),x x cx x x x h x g x cx x cx x xe ⎧-<≤⎪⎪=-=⎨⎪->⎪⎩， ∴021120()(2)2,xcx x x x h x x x cx x xe ⎧+-<≤⎪⎪'=⎨-⎪->⎪⎩，由函数2()()h x g x cx =-为增函数，且曲线()y h x =在(0,)+∞上连续不断知()0h x '≥在0(0,)x ，0(,)x +∞上恒成立．①当0x x >时，(2)20x x x cx e --≥在0(,)x +∞上恒成立，即22xxc e -≤在0(,)x +∞上恒成立．记02(),x x u x x x e -=>，则03(),xx u x x x e -'=>， 当x 变化时，()u x '，()u x 变化情况如下表：∴min 3()()(3)u x u x u e ===-极小． 故“22x x c e -≤在0(,)x +∞上恒成立”只需min 312()c u x e ≤=-，即312c e ≤-． ②当00x x <<时，21()12h x cx x '=+-，当0c ≤时，()0h x '>在0(0,)x 上恒成立．综合（1）（2）知，当312c e ≤-时，函数2()()h x g x cx =-为增函数．故实数c 的取值范围是31(,]2e-∞-．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是O 直径，C 在O 上，CF AB ⊥于F ，点D 为线段CF 上任意一点，延长AD 交O 于E ，30AEC ∠=．证明:（1）AF FO =；（2）若CF =AD AE ⋅的值．A【解析】（1）证明：连接,OC AC ， ∵30AEC ∠=，∴60AOC ∠=．∵OA OC =，∴AOC ∆为等边三角形． ∵CF AB ⊥，∴CF 为AOC ∆中AO 边上的中线，即AF FO =． （2）连接BE ，∵CF =AOC ∆为等边三角形, ∴1AF =，4AB =．∵AB 是O 直径，∴90AEB ∠=， ∴AEB AFD ∠=∠．∵BAE DAF ∠=∠，∴AEB ∆∽AFD ∆， ∴AD AFAB AE=，即414AD AE AB AF ⋅=⋅=⨯=． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合．若曲线C 的参数方程为32c o s (2s i n x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），直线l 的极坐标方程为sin()14πθ-=．(1)将曲线C 的参数方程化为极坐标方程；FEBCAD O(2)由直线l 上一点向曲线C 引切线，求切线长的最小值． 【解析】（1）圆C 的直角坐标方程为22(3)4x y -+=．∵222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===， ∴圆C 的极坐标方程为26cos 50ρρθ-+=．(2) ∵直线l sin()14πθ-=，∴sin cos 1ρθρθ-=，∴直线l 的直角坐标方程为10x y -+=． 设直线l 上点P ，切点为A ，圆心(3,0)C ，则有22224PA PC AC PC =-=-， 当PC 最小时，有PA 最小．∵PC ≥=，∴2PA =，∴切线长的最小值为2．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式231x x m --+≥+有解，记实数m 的最大值为M . （1）求M 的值；（2）正数,,a b c 满足2a b c M ++=，求111a b b c+≥++. 【解析】23(2)(3)5x x x x --+≤--+=， 若不等式231x x m --+≥+有解， 则满足15m +≤，解得64m -≤≤. ∴4M =.（2）由（1）知正数,,a b c 满足24a b c ++=， ∴11111[())]()4a b b c a b b c a b b c+=++++++++11(1)(1144b c a b a b b c ++=++≥+=++， 当且仅当,2a c a b =+=时，取等号.。
广东省深圳市高三数学第二次调研考试试题文(含解析)
广东省深圳市2016届高三第二次调研考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知i 为虚数单位，在复平面内，复数321ii-+对应的点所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D 【解析】 试题分析：()()()()3213215=1112i i i ii i i -⋅---=++⋅-，在第四象限. 考点：复数运算.【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.2.设,A B 是两个集合，则“x A ∈”是“()x AB ∈”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B考点：充要条件.3.下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是（ ）A ．3y x = B ．y =．1y x=D ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 试题分析：1y x=的单调区间是()(),0,0,-∞+∞，单调区间分开，故在定义域上不是单调函数.考点：函数的单调性.4.在等差数列{}n a 中，若前10项的和1060S =，且77a =，则4a =（ ）A ．4B ．-4C ．5D ．-5 【答案】C 【解析】 试题分析：()()1101047410560,52a a S a a a ⋅+==+==.考点：等差数列的基本概念.5.设,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥C ．若//l α，m α⊂，则//l mD ．若//l α，//m α，则//m l 【答案】B考点：空间点线面位置关系. 6.若直线3x π=是函数()()sin 2f x x ϕ=+（其中2πϕ<）的图象的一条对称轴，则ϕ的值为（ ） A ．3π- B ．6π- C ．6πD ．3π 【答案】B【解析】 试题分析：2sin 1,336f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 考点：三角函数图象与性质.7.在如图所示的流程图中，若输入的,,a b c 的值分别为2，4，5，则输出的x =（ ）A ．1B ．2C ．lg 2D ．10【答案】A 【解析】试题分析：第一个判断框是比较三个数的大小，故判断为否，第二个判断框是比较,b c 的大小，故判断为否，最终lg lg lg lg101x a c ac =+===. 考点：算法.8．将一颗骰子掷两次，则第二次出现的点数是第一次出现的点数的3倍的概率为（ ） A ．118 B ．112C ．16D ．13【答案】A考点：概率.9. 在平面直角坐标系xOy中，若,x y满足约束条件24010x yx yy+-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩，则z x y=+的最大值为（）A．7 3B．1 C．2 D．4【答案】A【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点52,33A⎛⎫⎪⎝⎭处取得最大值为73.考点：线性规划.10.如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若AC AM BDλμ=+，则λμ+=（）A．43B．53C．158D．2【答案】B考点：向量运算.11.如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A．203πB．8π C．9πD．19 3π【答案】D考点：三视图.【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为x ,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为,,a b c 长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 12.已知函数()g x 的图象与函数()()ln 1f x x a =+-的图象关于原点对称，且两个图象恰好有三个不同的交点，则实数a 的值为（ ） A ．1eB ．1C ．eD ．2e 【答案】C考点：函数图象与性质.【思路点晴】由于两个函数图象关于原点对称，且有3个交点，故对称性可知两个函数都过原点，()0ln 10,f a a e =-==.数形结合是解函数问题一个很重要的思想方法. 函数零点(方程的根)的问题，常见的类型有：(1)零点或零点存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)利用零点求参数范围问题.解决这类问题的常用方法有：解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知点F 为抛物线2:4E y x =的焦点，点()2,A m 在抛物线E 上，则AF =___________．【答案】3 【解析】试题分析：()2,A m 代入抛物线方程，解得22m =±()1,0，故183AF =+= 考点：抛物线的概念.14.函数()23ln f x x x x =-+在___________处取到极大值．【答案】12考点：导数与极值.15.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，n S 为前n 天两只老鼠打洞之和，则n S =__________尺． 【答案】11212nn n S -=-+ 【解析】试题分析：大老鼠是首项为1公比为2的等比数列，小老鼠是首项为1公比为12的等比数列，故111121221112212nn n n n S -⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+=-+--. 考点：数列求和.【思路点晴】解答函数应用题的一般步骤：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③求模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将数学问题还原为实际问题的意义．求最值常用基本不等式或者导数.16.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()22:434C x y -+-=，点A B 、在圆C 上，且AB =OA OB +的最小值是___________．【答案】8 【解析】试题分析：由图可知，AB 中点D 在以()4,3为圆心，半径为1的圆上，且2OA OB OD +=.而OD 的最小值为114OO -=，故28OA OB OD +=≥.考点：直线与圆的位置关系.【思路点晴】本题属于秒杀题.由于圆的方程是给定的，我们就先画出这个圆.然后23AB =也是固定的弦长，也就是圆心到弦的距离固定为1，也就意味着AB 中点D 在以()4,3为圆心，半径为1的圆上.根据向量运算的平行四边形法则可知2OA OB OD +=，也就是说，只要求出OD 的最小值即可，最小值就等于圆心到原点的距离减去半径.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，点M 是边BC 上的一点，03,210,45BM AC B ==∠=，310cos 10BAM ∠=． （1）求线段AM 的长度； （2）求线段MC 的长度．【答案】（1）35AM =；（2）1MC =或5MC =. 【解析】试题解析：（1）∵0cos 180BAM BAM ∠=<∠<，∴sin BAM ∠==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分又∵sin 3BAM BM ∠==， ∴由正弦定理sin sin BM AMBAM B =∠∠2=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分∴AM =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）∵()cos cos 22AMC BAM B ∠=∠+∠=-=．．．．．．．．．．．．．7分又∵AC =∴由余弦定理得((2222MC MC =+-⨯．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分解得15MC MC ==或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：解三角形. 18.（本小题满分12分）2016年全国两会，即中华人民共和国第十二届全国人民代表大会第四次会议和中国人民政治协商会议第十二届全国委员会第四次会议，分别于2016年3月5日和3月3日在北京开幕．为了解哪些人更关注两会，某机构随机抽取了年龄在1575岁之间的100人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如下图所示，其分组区间为：[)[)[)[)[]15,25,25,35,35,45,55,65,65,75．把年龄落在区间[)15,35和[]35,75内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”，经统计“青少年人”与“中老年人”的人数之比为9：11．（1）求图中a b 、的值；（2）若“青少年人”中有15人在关注两会，根据已知条件完成下面的22⨯列联表，根据此统计结果能否有99%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注两会？ 关注 不关注 合计 青少年人 15 中老年人 合计5050100附参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．临界值表：()20P K k ≥ 0.05 0.010 0.0010k3.841 6.635 10.828【答案】（1）0.035a =，0.015b =；（2）列联表见解析，有超过99%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注两会.（2）根据题目所给数据，填写好表格，根据公式计算29.091K ≈，故有超过99%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注两会. 试题解析：（1）依频率分布直方图可知：()()45100.0310055100.0100.0050.005100b a ⎧⨯+=⎪⎪⎨⎪⨯+++=⎪⎩， 解之，得0.0350.015a b =⎧⎨=⎩，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分考点：1.频率分布直方图；2独立性检验.19.（本小题满分12分）如图，平面ABCD ⊥平面ADEF ，四边形ABCD 为菱形，四边形ADEF 为矩形，M N 、分别是EF BC 、的中点，02,60AB AF CBA =∠=．（1）求证：DM ⊥平面MNA ； （2）若三棱锥A DMN -3A 到平面DMN 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（230.试题解析：（1）证明：连接AC ，在菱形ABCD 中，060CBA ∠=，且AB BC =， ∴ABC ∆为等边三角形，又∵N 为BC 的中点，∴AN BC ⊥，∵//BC AD ，∴AN AD ⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分又∵平面ABCD ⊥平面ADEF ，∴AN ⊂平面ADEF ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ∴AN ⊥平面ADEF ， 又DM ⊂平面ADEF ，∴DM AN ⊥，∵在矩形ADEF 中，2,AD AF M =为EF 的中点， ∴AMF ∆为等腰直角三角形，∴045AMF ∠=， 同理可证：∴045DME ∠=，∴090DMA ∠=， ∴DM AM ⊥， 又∵AMAN A =，且,AM AN ⊂平面MNA ，∴DM ⊥平面MNA ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分作AH MN ⊥交MN 于H ，∵DM ⊥平面MNA ，∴DM AH ⊥，∴AH ⊥平面DMN ，则AH 即为点A 到平面DMN 的距离．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 11分∵在Rt MNA ∆中，MA AN ==AH =，∴点A 到平面DMN 的距离为5．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：1.立体几何证明垂直；2.求点到面的距离. 20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的上顶点P 在圆()22:29C x y ++=上，且椭圆的离（1）求椭圆E 的方程；（2）若过圆C 的圆心的直线l 与椭圆E 交于A B 、两点，且1PA PB =，求直线l 的方程．【答案】（1）2214x y +=；（2）2y =-或2y =-.试题解析：（1）依题意，令0x =时，()22029y ++=，解得15y y ==-或， ∴点P 的坐标为()0,1，即1b =，又∵2c e a ==，解得2a =， ∴椭圆的方程为2214x y +=；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）∵直线l 经过圆心()0,2C -，①直线l 的斜率不存在时，不合题意；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分 ②直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =-，设()()1122,,,A x y B x y ，联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理，得：()221416120k x kx +-+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分∵()2225648140k k ∆=-+>，解之，得234k >，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 由韦达定理可得1212221612,1414k x x x x k k+==++，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 又∵22112,2y kx y kx =-=-，∴()()()()21212121112124,2224y y k x x y y kx kx k x x k x x +=+-=--=-++，∴()()()1111121212,1,11PA PB x y x y x x y y y y =--=+-++()()()2221212221214813991414k k kx xk x x k k +=+-++=-+++ …………………… 10分 ()22222121489362111414k k k k k+-++===++， 解之，得25k =，即k =0∆>， ∴直线l的方程为2y =-或2y =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：直线与圆锥曲线的位置关系.【方法点晴】涉及直线与椭圆的基本题型有：（1）位置关系的判断；（2）弦长、弦中点问题；（3）轨迹问题；（4）定值、最值及参数范围问题；（5）存在性问题．常用思想方法和技巧有：（1）数形结合思想；（2）设而不求；（3）坐标法；（4）根与系数关系. 研究直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往易忽视直线的斜率不存在的情况而导致失解． 21.（本小题满分12分）已知()cos xf x e a x =+（e 为自然对数的底数）．（1）若()f x 在0x =处的切线过点()1,6P ，求实数a 的值； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ax ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）4a =；（2）221,e a ππ⎡⎤⎢⎥∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 【解析】试题解析：（1） ∵()sin xf x e a x '=-，∴()01f '=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分又∵()01f a =+，∴()f x 在0x =处的切线方程为1y x a =++．．．．．．．．．．．．．．．．．．①．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分 把点()1,6P 代入①，解得4a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 （2）由()f x ax ≥可得()cos xe a x x ≥-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②令()cos g x x x =-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∵()1sin 0g x x '=+≥，且()010g =-<，022g ππ⎛⎫=>⎪⎝⎭， ∴存在0,2m π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()1g m =，且当()0,x m ∈时，()0g x <，当,2x m π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x >．．．．．．．．．．．．．．．5分 （1）当x m =时，()0,cos 0me g m m m >=-=，此时，对任意a R ∈②式恒成立；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）当,2x m π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，∵()cos 0g x x x =->，由()cos xe a x x ≥-变形可得cos xe a x x≤-，令()cos xe h x x x=-，下面研究()h x 的最小值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分∴()()()2cosx sinx 1cos x e x h x x x ---'=-与()cos sin 1t x x x x =---同号．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 且()1sin cos 0t x x x '=+->对0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立， ∴函数()t x 在,2m π⎛⎤⎥⎝⎦上为增函数， 而2022t ππ⎛⎫=-<⎪⎝⎭， ∴,2x m π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0t x <，∴()0h x '<， ∴函数()h x 在,2m π⎛⎤⎥⎝⎦上为减函数， ∴()2min22e h x h πππ⎛⎫==⎪⎝⎭， ∴22e a ππ≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：函数导数与不等式.【方法点晴】解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 为圆O 的直径，C 在圆O 上，CF AB ⊥于F ，点D 为线段CF 上任意一点，延长AD 交圆O于E ，030AEC ∠=．（1）求证：AF FO =；（2）若CF =AD AE 的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）4.试题解析： （1）证明 ： 连接,OC AC ，∵030AEC ∠=，∴0260AOC AEC ∠=∠=， 又OA OC =，∴AOC ∆为等边三角形， ∵CF AB ⊥，∴CF 为AOC ∆中AO 边上的中线，∴AF FO =；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分考点：几何证明选讲.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l过极坐标系内的两点4A π⎛⎫ ⎪⎝⎭和3,2B π⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）写出曲线C 和直线l 在直角坐标系中的普通方程；（2）若P 是曲线C 上任意一点，求ABP ∆面积的最小值． 【答案】（1）22143x y +=，260x y +-=；（2）1. 【解析】试题分析：（1）消参可得曲线C 的普通方程为22143x y +=．()()2,2,0,3A B ，可求得直线AB 的方程为260x y +-=；（2）由题意可设()2cos P θθ根据点到直线的距离公式d =ABP ∆面积的最小值为112=．（2）由题意可设()2cos P θθ，则 点P 到直线AB的距离d =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分=≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 当sin 16πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时取到最小值，又AB =所以，ABP ∆面积的最小值为112=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 考点：坐标系与参数方程.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲若关于x 的不等式x a b -≤的解集为{}|13x x -≤≤．（1）求,a b 的值；（2）若()()0y a y b --<，求11z y a b y=+--的最小值． 【答案】（1）1,2a b ==；（2）4.试题解析：（1）显然0b >，由x a b -≤可得b x a b -≤-≤，即a b x a b -≤≤+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分由题意可知：13a b a b -=-⎧⎨+=⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分解之，得1,2a b ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由题意可知12y <<，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分 ()()111121122121212y y z y y y y y y y y ⎛⎫--=+=+-+-=++⎡⎤ ⎪⎣⎦------⎝⎭．．．．．．．．．．．．．8分 由12y <<，可得10,20y y ->->， ∴2412z y≥+=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 当且仅当2112y y y y --=--即()31,22y =∈时取到等号， ∴当32y =时，z 取得最小值为4．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 考点：不等式选讲.。
深圳市2016届高三年级第二次调研考试(理数)试卷及答案
深圳市2016届高三年级第二次调研考试数学（理科）本试卷共8页，24小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名 和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、 不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上． 3．非选择题必须用毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定 区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和 涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答． 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．1．复数z 满足(1i)1i z +=-（i 为虚数单位），则z =（ ）AB．2C ．2D ．1 2．设,A B 是两个集合，则“x A ∈”是“x A B ∈”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．若1cos()23πα-=，则cos(2)πα-=（ ） A．9- B．9 C ． 79-D ．794．若,x y 满足约束条件10,10,410.x y x x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则目标函数13y z x +=+的最大值为（ ）A ．14B ．23C ．32D ．25．在如图所示的流程图中,若输入的,,a b c 的值分别是2,4,5，则输出的x =（ ）A ．1B ．2C ．lg 2D ．106．已知函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经过如下变换得到：先将()g x 的图象向右平移3π个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变．则函数()f x 的一条对称轴方程为（ ） A ．6x π=B ．512x π=C ．3x π=D ．712x π= 7．以直线y =为渐近线的双曲线的离心率为为（ ）A ．2 BC ．2D8．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（ ） A ．310 B ．35 C ．25 D ．159．如图，正方形ABCD 中，M 、N 是BC 、CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+= （ ）A ．2B ．83C ．65D ．8510．已知ln ,0,()ln(),0.x x x f x x x x -- >⎧=⎨--+<⎩ 则关于m 的不等式11()ln 22f m <-的解集为（ ）A. 1(0,)2 B ．(0,2) C ．11(,0)(0,)22- D ．(2,0)(0,2)-N A D C M B 否否是输出x结束是x=l g a +l g cx=l g b l g ax=l g a ∙l g b b>ca>b 且a>c开始a,b,c输入11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（ ）A ．48B ．16C ．32D ．16512．设定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()()ln xf x f x x x '-=，11()f e e=，则()f x （ ） A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值 C ．既有极大值，又有极小值 D ．既无极大值，也无极小值第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。
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广东省深圳市2014届高三4月第二次调研
考试
数学（文科）
一、选择题
1.i为虚数单位，复数z＝1＋i的模为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2
2.已知集合M＝{x｜－2＜x＜1} ，N＝{x｜－1＜x＜2}，则M∩N＝
A、{x｜－2＜x＜2}
B、{x｜－1＜x＜2}
C、{x｜－1＜x＜1}
D、{x｜－2＜x＜1}
3、已知函数的值为
4、已知命题p：“学生甲通过了全省美术联考”；q：“学生乙通过了全省美术联考”，则表示
A、甲、乙都通过了
B、甲、乙都没有通过
C、甲通过了，而乙没有通过
D、甲没有通过，而乙通过了
5、若实数a，b满足a＞b，则下列不等式成立的是
6.两条异面直线在同一个平面上的正投影不．
可能是
A.两条相交直线
B.两条平行直线
C.两个点
D.一条直线和
直线外一点
7、执行如图1所示的程序框图，则输出0的
概率为
8、在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，则AB AC
•＝
A、23
B、2
C、－23
D、－2
9、过点（0，－1）的直线l与两曲线y＝lnx和x2＝2py均相切，则p的值为
A、1
4B、1
2
C、2
D、4
10.如图2，我们知道，圆环也可看作线段AB绕圆心O旋转一周所形
成的平面图形，又圆环的面积 22)()(22r R r R r R S +⨯⨯-=-=ππ.所以，圆环的面积等于是以线段r R AB -=为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成的圆的周长2
2r R +⨯π为长的矩形面积.请将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：
若将平面区域
d)r 0}()(|),{(222<<≤+-=其中r y d x y x M 绕y 轴旋转一
周，则所形成的旋转体的体积是
A. d r 22π
B. d r 222π
C. 22rd π
D. 222rd π
二、 填空题
(一)必做题:
11、数列{n a }满足
12、若角α的终边过点（1,2），则sin （πα+）的值为＿＿＿＿
13、当k ＞0时，两直线kx －y ＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积的最大值为＿＿＿
(二)选做题:
14.(坐标系与参数方程选做题)极坐标系(,)(02)ρθθπ≤<中，点（1,0）关于直线2sin ρθ＝1对称的点的极坐标是 .
15.(几何证明选讲选做题)如图3，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，DB ⊥BC ，AH ⊥BD ，垂足为H ，若DC ＝33，BC ＝3，则DH ＝＿＿＿＿ .
三、 解答题:
16.(本小题满分12分)
已知函数)6cos(sin )(π
ωω++=x x x f ,其中R x ∈,ω＞0. (1) 当ω=1时,求)3(π
f 的值; (2) 当)(x f 的最小正周期为π,求f （x ）在区间[0,]4π
上取得最大值时x 的值.
17.( 本小题满分13分)
某企业通过调查问卷（满分50分）的形式对本企业900名员土的工作满意度进行调查，
并随机抽取了其中30名员工（16名女员工，14名男员工）的得分，如下表：
（1)根据以上数据，估计该企业得分大于45分的员工人数；
（2)现用计算器求得这30名员工的平均得分为40.5分，若规定大于平均得分为‘满意’，
否则为“不满意”，请完成下列表格：
〔3）根据上述表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%
的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关？
18.( 本小题满分13分)
如图4，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PB⊥平面ABCD.
（l）若AC＝6，BD＝8，PB＝3，求三棱锥A一PBC的体积；
（2)若点E是DP的中点，证明：RD⊥平面ACE．
19.( 本小题满分14分)
设等差数列}{n a 的公差为d ,n S 是}{n a 中从第12-n 项开始的连续12-n 项的和,即
（1）当13,2a d ==时，求4S
（2）若1S ,2S ,3S 成等比数列,问:数列}{n S 是否成等比数列?请说明你的理由;
(1) 若
04151>=d a ,证明:
*),1
4121(981111321N n d S S S S n n ∈+-≤++++ .
20.（本小题满分14分）
如图5，椭圆E:22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12
，F 为右焦点，点A 、B 分别为左、
右顶点，椭圆E 上的点到F 的最短距离为1
（l)求椭圆E 的方程；
(2）设t ∈R 且t ≠0，过点M(4, t)的直线MA, MB 与椭圆E 分别交于点P ，Q ．
求证：点P ，F,Q 共线．
20.( 本小题满分14分)
已知a 为正常数,点A,B 的坐标分别是)0,(),0,(a a -,直线AM,BM 相交于点M,且它们的斜率之积是2
1a -. (1) 求懂点M 的轨迹方程,并指出方程所表示的曲线;
(2) 当2=a 时,过点)0,1(F 作直线AM l ∥,记l 与(1)中轨迹相交于两点P,Q,动直线AM 与y 轴交与点N,证明
AN AM PQ 为定值.
21.( 本小题满分14分)
设f （x ）是定义在［a ，b ］上的函数，若存在c (,)a b ∈，使得f （x ）在［a ，c ］上单调递减，在［c ，b ］上单调递增，则称f （x ）为［a ，b ］上单谷函数，c 为谷点。
（1）已知m R ∈，判断函数
是否为区间［0,2］上的单谷函数；
(2)已知函数
的导函数 ①证明：
上的单谷函数： ②记函数
上的峰点为
精品资料
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山不在高，有仙则名。
水不在深，有龙则灵。
斯是陋室，惟吾德馨。
苔痕上阶绿，草色入帘青。
谈笑有鸿儒，往来无白丁。
可以调素琴，阅金经。
无丝竹之乱耳，无案牍之劳形。
南阳诸葛庐，西蜀子云亭。
孔子云：何陋之有？。