四年级数学统筹与最优化知识点分析与例题解析
专题05 最优化问题—四年级数学思维拓展精编讲义(解析)
2022-2023学年小学四年级思维拓展举一反三精编讲义专题05 最优化问题知识精讲在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才能做到用的时间最少，效果最佳。
这类问题在数学中称为统筹问题。
我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大（小）值，这类问题在数学中称为极值问题。
以上的问题实际上都是“最优化问题”。
典例分析【典例分析01】用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，剪一个饼需要2分钟（规定正反面各需要1分钟）。
问煎3个饼至少需要多少分钟？分析与解答：先将两个饼同时放入锅中一起煎，一分钟后两个饼都熟了一面，这时可将一个取出，另一个翻过去，再放入第三个。
又煎了一分钟，将两面都熟的那个取出，把第三个翻过去，再将第一个放入煎，再煎一分钟就会全部煎好。
所以，煎3个饼至少需要3分钟。
【典例分析02】妈妈让小明给客人烧水沏茶。
洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟。
要让客人喝上茶，最少需要多少分钟？分析：经验表明，能同时做的事，尽量同时做，这样可以节省时间。
水壶不洗，不能烧开水，因此，洗水壶和烧开水不能同时进行。
而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水可以同时进行。
根据以上的分析，可以这样安排：先洗水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，同时洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，共需要16分钟。
【典例分析03】五（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。
赵明打针需要5分钟，孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水需要1分钟。
卫生室只有一位校医，校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短？分析：校医应该给治疗时间最短的先治病，治疗时间长的最后治疗，才能使三位同学在卫生室的时间总和最短。
这样，三位同学留在卫生室的时间分别是：李佳1分钟，赵1+3=4分钟，赵明1+3+5=9分钟。
2016年春季四年级第2讲.统筹与最优化.B版
9
5.
北京、洛阳分别有 9 台和 12 台完全相同的机器，准备给杭州 13 台、西安 8 台，每台机器的运费如表所 示，如何调运能使总运费最省？
运费/元 发站 北京 洛阳 800 600 1000 700 到站 杭州 西安
【答案】15200 元 【分析】意愿冲突，先假设全运往杭州，需运费 9 800 12 600 14400 元； 此时西安还需 8 台，每从北京运一台，费用增加 200 元，每从洛阳运一台，费用增加 100 元，因此从洛 阳运往西安 8 台费用最省，总运费为 14400 8 100 15200 元．
【答案】5000 元 【分析】做此类问题时我们都可以根据“小往大处靠”的原则进行判断，观察可知五号仓的最大，所以先把一 号仓库的 10 吨货物往五号方向靠拢，先集中到二号仓库，那么现在二号仓库中就有 30 吨货物了．再根 据“小往大处靠”的原则， 那么这 30 吨货物应该集中到五号仓库中． 所以所需的费用是： 10 0.5 100 500 元， 30 0.5 300 4500 元，共需要： 500 4500 5000 元．
站点1 站点2 站点3
（2）若有 4 个回收站点，处理场应建在哪？
站点1 站点2 站点3 站点4
【答案】（1）站点 2；（2）站点 2 与站点 3 间的任意一点
4.
在一条公路上每隔 100 千米，有一个仓库．共有 5 个仓库，一号仓库存有 10 吨货物，二号仓库存有 20 吨货物，五号仓库存有 40 吨货物，其余两个仓库是空的．现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里， 如果每吨货物运输 1 千米需要 0.5 元运输费，那么最少要多少运费才行？
【答案】6726 【分析】原式 (12 22 27 2 ) (12 22 82 ) 6930 204 6726
2016年春季四年级第2讲.统筹与最优化.C版
【答案】D 点 【分析】“支往干靠”，将 B 移至 C；“小往大靠”，小学应建在 D 点．
7.
北京、洛阳分别有 9 台和 12 台完全相同的机器，准备给杭州 13 台、西安 8 台，每台机器的运费如表所 示，如何调运能使总运费最省？
运费/元 发站 北京 洛阳 800 600 1000 700 到站 杭州 西安
2
1.
统筹与最优化
预 习
车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为 18，30，17，25，20 分钟，每 台车床停产一分钟造成经济损失 5 元．现有两名工作效率相同的修理工，问： （1）怎样安排才能使得经济损失最少？ （2）怎样安排才能使从开始维修到维修结束历时最短？
【答案】910 元；55 分 【分析】（1）一人修 17、20、30，另一人修 18、25；最少损失 5 (17 3 20 2 30 18 2 25) 910 元． （2）因为 (18 30 17 25 20) 2 55 分，经过组合，一人修需 18，17 和 20 分钟的三台，另一人修 需 30 和 25 分钟的两台，修复时间最短，为 55 分钟． 2. 小明骑在牛背上赶牛过河．共有甲、乙、丙、丁 4 头牛．甲牛过河需要 1 分钟，乙牛过河需要 2 分钟， 丙牛过河需要 5 分钟，丁牛过河需要 6 分钟．每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这 4 头牛都赶到对 岸，最少要用多少分钟？ 【答案】13 【分析】要想用最少的时间，4 头牛都能过河，保证时间最短： 第一步：甲与乙一起过河，并由小明骑甲牛返回，共用： 2 1 3 分钟； 第二步：返回原地的小明再骑丙与丁过河后再骑乙牛返回，共用了 6 2 8 分钟； 第三步：最后小明骑甲与乙一起过河用了 2 分钟； 所以，小明要把这 4 头牛都赶到对岸，最小要用 3 8 2 13 分钟． 3. 有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水，水龙头注满第一个人的桶需要 2 分钟，注满第二个人的 桶需要 4 分钟，……．如此下去，注满第十个人的桶需要 20 分钟．当只有两个水龙头时，如何巧妙安 排这十个人打水，使他们总的等待时间最少？最少的时间是多少？ 【答案】250 分钟 【分析】要想总的时间最少，应该安排打水时间少的人先来打水，下面给出排队方式： 第一个水龙头 第一个 第二个 第三个 第四个 第五个 2 6 10 14 18 第二个水龙头 4 8 12 16 20
四年级数学统筹与最优化知识点分析与例题解析
四年级数学统筹与最优化主要内容及解题思路一、时间统筹1、排队问题：等候最短，先快后慢2、过河问题：1）快的来回走；2）接近的一起走二、地点统筹1、人数相同1）奇数点，中间点2）偶数点，中间段2、人数不同两头相比较，小的往大靠三、调运问题1、无冲突，直接运2、有冲突，比较差值例题：1、车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18,30,17,25,20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元。
1）现有一名工作效率相同的修理工，问怎样安排才能使得经济损失最少，最少为多少元？2）现有两名工作效率相同的修理工，问怎样安排才能使得经济损失最少，最少为多少元？解题思路：本题是排队问题，应采用先快后慢的方式，才能使等候时间最短。
1）第一步：排序，17,18,20,25,30第二步：采用由快到慢的方式修理机器，并且计算其它机器的等待时间（包括自身等待）。
17×5+18×4+20×3+25×2+30×1=85+72+60+50+30=297（分钟）第三步：计算损失297×5=1485（元）2）第一步：排序，17,18,20,25,30第二步：采用由快到慢的方式修理机器，并且计算其它机器的等待时间（包括自身等待）。
甲17,乙18,甲20,乙25,甲30，即甲：17,20,30乙：18,25甲修机器等待时间17×3+20×2+30甲修机器等待时间18×2+25即：17×3+（20+18）×2+25+30=51+76+25+30=182（分钟）第三步：计算损失182×5=910（元）2、小明骑在牛背上赶牛过河。
共有甲乙丙丁4头牛，甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要2分钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过河需要6分钟。
每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这4头牛都赶到对岸，最少要用多少分钟？解题思路：本题是过河问题，应采用1）快的来回走；2）接近的一起走。
四年级上学期数学 优化与统筹 例题+课后作业
优化与统筹知识点总结：1、田忌赛马齐国使者到大梁来，孙膑以刑徒的身份秘密拜见，劝说齐国使者。
齐国使者觉得此人是个奇人，就偷偷地把他载回齐国。
齐国将军田忌非常赏识他，并且待如上宾。
田忌经常与齐国众公子赛马，设重金赌注。
孙膑发现他们的马脚力都差不多，马分为上、中、下三等，于是对田忌说:“您只管下大赌注，我能让您取胜。
”田忌相信并答应了他，与齐王和各位公子用千金来赌注。
比赛即将开始，孙膑说:"现在用您的下等马对付他们的上等马，用您的上等马对付他们的中等马，用您的中等马对付他们的下等马。
"三场比赛结束后，田忌一场败而两场胜，最终赢得齐王的千金赌注。
2、烙饼问题3、合理安排时间4、必胜策略（取棋子，报数游戏）①每次取1-n个棋子，总数，取最后一个赢策略：总数÷（1+n）有余数，则先拿掉余数，之后总与对手凑成1+n没有余数，则后取，总与对手凑成1+n②每次取1-n个棋子，总数，取最后一个输策略：最后留给对方一枚棋子，对方不得不取。
赢的关键在于能不能取到倒数第二枚棋子。
问题转化为：每次取1-n个棋子，总数，取倒数第二枚棋子赢。
（总数－1）÷（1+n），之后同①做法例题讲解例1、烙饼问题用一个平底锅煎荷包蛋，一个锅每次只能同时煎2个。
如果煎一个荷包蛋每面需要2分钟。
（1）煎2个荷包蛋至少需要（）分钟。
（2）煎4个荷包蛋至少需要（）分钟。
（3）煎8个荷包蛋至少需要（）分钟。
（4）煎3个荷包蛋至少需要（）分钟，（5）煎5个荷包蛋至少需要（）分钟。
（6）妈妈煎荷包蛋一共用了30分钟，她最多煎了（）个荷包蛋。
演练1、练一练（1）妈妈用平底锅烙饼，每次最多烙两张，两面都要烙，每面需要3分钟，烙5张饼需要（）分钟。
（2）妈妈用平底锅煎鱼，平底锅上最多能放2条鱼，鱼的两面都要煎，每煎一面要用5分钟，煎9条鱼至少要用多少分钟？例2、合理安排时间（1）小珍一家早上起来都要喝牛奶，她需要做三件事：一是热牛奶，二是洗3个杯子，三是倒3杯牛奶。
四年级数学统筹与最优化知识点分析与例题解析
四年级数学统筹与最优化主要内容及解题思路一、时间统筹1、排队问题：等候最短，先快后慢2、过河问题：1）快的来回走；2）接近的一起走二、地点统筹1、人数相同1）奇数点，中间点2）偶数点，中间段2、人数不同两头相比较，小的往大靠三、调运问题1、无冲突，直接运2、有冲突，比较差值例题：1、车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18,30,17,25,20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元。
1）现有一名工作效率相同的修理工，问怎样安排才能使得经济损失最少，最少为多少元2）现有两名工作效率相同的修理工，问怎样安排才能使得经济损失最少，最少为多少元解题思路：本题是排队问题，应采用先快后慢的方式，才能使等候时间最短。
1）第一步：排序，17,18,20,25,30第二步：采用由快到慢的方式修理机器，并且计算其它机器的等待时间（包括自身等待）。
17×5+18×4+20×3+25×2+30×1=85+72+60+50+30=297（分钟）第三步：计算损失297×5=1485（元）2）第一步：排序，17,18,20,25,30第二步：采用由快到慢的方式修理机器，并且计算其它机器的等待时间（包括自身等待）。
甲17,乙18,甲20,乙25,甲30，即甲：17,20,30乙：18,25甲修机器等待时间17×3+20×2+30甲修机器等待时间18×2+25即：17×3+（20+18）×2+25+30=51+76+25+30=182（分钟）第三步：计算损失182×5=910（元）2、小明骑在牛背上赶牛过河。
共有甲乙丙丁4头牛，甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要2分钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过河需要6分钟。
每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这4头牛都赶到对岸，最少要用多少分钟解题思路：本题是过河问题，应采用1）快的来回走；2）接近的一起走。
小学四年级奥数第7讲 最优化问题(含答案分析)
第7讲最优化问题一、知识要点在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才能做到用的时间最少，效果最佳。
这类问题在数学中称为统筹问题。
我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大（小）值，这类问题在数学中称为极值问题。
以上的问题实际上都是“最优化问题”。
二、精讲精练【例题1】用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，剪一个饼需要2分钟（规定正反面各需要1分钟）。
问煎3个饼至少需要多少分钟？练习1：1、烤面包时，第一面需要2分钟，第二面只要烤1分钟，即烤一片面包需要3分钟。
小丽用来烤面包的架子，一次只能放两片面包，她每天早上吃3片面包，至少要烤多少分钟？2、用一只平底锅烙大饼，锅里只能同时放两个。
烙熟大饼的一面需要3分钟，现在要烙3个大饼，最少要用几分钟？【例题2】妈妈让小明给客人烧水沏茶。
洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟。
要让客人喝上茶，最少需要多少分钟？练习2：1、小虎早晨要完成这样几件事：烧一壶开水需要10分钟，把开水灌进热水瓶需要2分钟，取奶需要5分钟，整理书包需要4分钟。
他完成这几件事最少需要多少分钟？2、小强给客人沏茶，烧开水需要12分钟，洗茶杯要2分钟，买茶叶要8分钟，放茶叶泡茶要1分钟。
为了让客人早点喝上茶，你认为最合理的安排，多少分钟就可以了？【例题3】五（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。
赵明打针需要5分钟，孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水需要1分钟。
卫生室只有一位校医，校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短？练习3：1、甲、乙、丙三人分别拿着2个、3个、1个热水瓶同时到达开水供应点打热水。
热水龙头只有一个，怎样安排他们打水的次序，可以使他们打热水所花的总时间最少？2、甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务，甲、乙、丙三人需要的时间分别是10分钟、16分钟和8分钟。
小学四年级奥数第7讲 最优化问题后附答案
第7讲最优化问题一、知识要点在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才能做到用的时间最少，效果最佳。
这类问题在数学中称为统筹问题。
我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大（小）值，这类问题在数学中称为极值问题。
以上的问题实际上都是“最优化问题”。
二、精讲精练【例题1】用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，剪一个饼需要2分钟（规定正反面各需要1分钟）。
问煎3个饼至少需要多少分钟？练习1：1、烤面包时，第一面需要2分钟，第二面只要烤1分钟，即烤一片面包需要3分钟。
小丽用来烤面包的架子，一次只能放两片面包，她每天早上吃3片面包，至少要烤多少分钟？2、用一只平底锅烙大饼，锅里只能同时放两个。
烙熟大饼的一面需要3分钟，现在要烙3个大饼，最少要用几分钟？【例题2】妈妈让小明给客人烧水沏茶。
洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟。
要让客人喝上茶，最少需要多少分钟？练习2：1、小虎早晨要完成这样几件事：烧一壶开水需要10分钟，把开水灌进热水瓶需要2分钟，取奶需要5分钟，整理书包需要4分钟。
他完成这几件事最少需要多少分钟？2、小强给客人沏茶，烧开水需要12分钟，洗茶杯要2分钟，买茶叶要8分钟，放茶叶泡茶要1分钟。
为了让客人早点喝上茶，你认为最合理的安排，多少分钟就可以了？【例题3】五（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。
赵明打针需要5分钟，孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水需要1分钟。
卫生室只有一位校医，校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短？练习3：1、甲、乙、丙三人分别拿着2个、3个、1个热水瓶同时到达开水供应点打热水。
热水龙头只有一个，怎样安排他们打水的次序，可以使他们打热水所花的总时间最少？2、甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务，甲、乙、丙三人需要的时间分别是10分钟、16分钟和8分钟。
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四年级数学
统筹与最优化主要内容及解题思路
一、时间统筹
1、排队问题：等候最短,先快后慢
2、过河问题：1）快的来回走；2)接近的一起走
二、地点统筹
1、人数相同
1)奇数点,中间点
２)偶数点,中间段
2、人数不同
两头相比较,小的往大靠
三、调运问题
1、无冲突，直接运
2、有冲突，比较差值
例题：
1、车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18，30,１7,25，2０分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元.
1）现有一名工作效率相同的修理工，问怎样安排才能使得经济损失最少，最少为多少元？
2）现有两名工作效率相同的修理工,问怎样安排才能使得经济损失最少,最少为多少元?
解题思路:本题是排队问题,应采用先快后慢的方式，才能使等候时间最短。
1）
第一步:排序,１7,18，20,25，30
第二步:采用由快到慢的方式修理机器，并且计算其它机器的等待时间（包括自身等待）.
17×5+18×４+20×３+25×2+30×1=85+7２+60+５0+３0=297（分钟）
第三步：计算损失2９7×5=1485（元）
2）
第一步:排序，１７,18，２0，25，30
第二步:采用由快到慢的方式修理机器，并且计算其它机器的等待时间（包括自身等待）。
甲1７，乙１8,甲20,乙25,甲30，即
甲：１７,2０,３0
乙:1８,2５
甲修机器等待时间1７×3+２0×２+30
甲修机器等待时间18×2+２5
即：17×３+（20+18）×2+２5+30=5１＋76+25+３０＝１８2(分钟）
第三步:计算损失182×5=910(元）
2、小明骑在牛背上赶牛过河。
共有甲乙丙丁4头牛,甲牛过河需要1
分钟，乙牛过河需要2分钟，丙牛过河需要５分钟，丁牛过河需要6分钟。
每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这4头牛都赶到对岸，最少要用多少分钟？
解题思路:本题是过河问题，应采用1)快的来回走;2）接近的一起走。
但是在来回过河的时候,又有两种方式，一种是每次都采用最快的来回走的方式，并且一起走的时候采用第一快和第二快的搭档;另一种是优先考虑接近的搭档。
方案1:优先最快的来回走，每次走都是第一快和第二快搭档.
时间：2＋1+5+1＋6=１５分钟
方案2：最快的来回走，并且优先考虑时间接近的一起走的原则。
时间:2＋1＋6＋2＋2＝１3分钟
方案２较好,时间为1３分钟。
3、道路沿线有一些垃圾回收站点（每一个垃圾站回收量相同），现需要将每个回收站点的垃圾都运到一个处理场（处理场也可以设在站点
上），希望所有站点到处理场的距离总和最短。
（1）若有三个回收站点,处理场应健在哪?
解题思路:地点统筹问题,人数相同(垃圾量相同）,奇数点,选中间点，因此选站点２.
（2）若有四个回收站点，处理场应健在哪?
解题思路：地点统筹问题，人数相同(垃圾量相同)，偶数点，选中间段，因此可以选站点２、或者站点３，或者这两个站点中间段。
4、在一条公路上每隔1０0千米，有一个仓库。
共有5个仓库，一号仓库存有１0吨货物,二号仓库存有20吨货物，5号仓库存有40吨货物,其余两个仓库是空的。
现有想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要0.5元运输费，那么最少需要多少运费才行？
解题思路:地点统筹问题,每一个仓库存放重量不同,选择两头相比较,小的往大靠原则。
0吨0吨
10吨20吨40吨第一步:仓库1-－10吨〈仓库5—-40吨,仓库1向仓库５方向靠拢，将10吨放入仓库2，仓库2变为３０吨;
第二步:仓库2－—30吨<仓库5－-4０吨，仓库2向仓库５方向靠拢，将3０吨放入仓库3，仓库3变为３0吨
同理仓库4变为30吨。
第三步：仓库4—-3０吨〈仓库5—－4０吨，仓库４向仓库５方向靠拢,将３0吨放入仓库５,仓库5变为70吨
第四步:确定仓库5为最终的仓库。
第五步：计算运费：（１0×１00×４+2０×10０×3）×０。
5=5000(元）
5、某地共有６块甘蔗地,每块地的产量如下图所示，现准备建设一个蔗糖厂,问糖厂建于何处总运费最省?
3
解题思路：地点统筹问题，每一个产量不同,选择两头相比较，小的往大靠原则.
第一步：仓确定主要路线，也就是将分支合并。
3
第二步：比较Ａ和F，F大，因此Ａ向F靠拢,将A的产量加入Ｂ.
第三步:比较B和F，B大，因此Ｆ向B靠拢，将F的产量加入Ｅ.
第四步:比较B和E，E大，因此B向E靠拢,将Ｂ的产量加入C。
第五步：比较C和E,C大,因此Ｅ向C靠拢,将Ｅ的产量加入C。
第六步：糖厂建于C处。
６，北京、洛阳分别有９台和１２台完全相同的机器，准备给杭州13台、西安8台,每台机器的运费如表所示，如何调运能使总运费最省？
解题思路:调运问题,由题意，运往西安的比运往杭州的要贵,因此北京和洛阳的机器都想运往杭州节约成本,因此属于冲突问题。
第一步：确定是冲突的调运问题；
第二步,选择差值较小的，然后解决运输问题，因此应选择洛阳１2个机器中的８台，运往西安。
第三步：选择剩下的机器和北京的９台的机器,运往杭州。
第四步:求解。
８×7０0+4×600+9×800=1５2０0（元)。