高三数学复习随堂训练(理科)湖南专版 第9讲《函数图象及性质的综合应用》人教A版必修1
2018届高三数学 第9练 函数性质的应用练习
第9练 函数性质的应用一、选择题1．(2016·广西桂林中学高一期中上)下列函数中，既是单调函数又是奇函数的是( ) A ．y ＝log 3x B ．y ＝3|x |C ．y ＝x 12D ．y ＝x 32．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (2)＝2，则f (2 014)的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－2D ．±23．(2017·西安质检)设f (x )是定义在实数集上的函数，且f (2－x )＝f (x )，若当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2) D ．f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫134．已知函数f (x )＝13log (x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，2 5．(2016·威海模拟)已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (2－x )>0的解集为( )A ．{x |x >2或x <－2}B ．{x |－2<x <2}C ．{x |x <0或x >4}D ．{x |0<x <4}6．设函数f (x )是奇函数，对任意的实数x ，y ，有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且当x >0时，f (x )<0，则f (x )在区间[a ，b ]上( ) A ．有最小值f (a ) B ．有最大值f (a ) C ．有最大值f (a ＋b2)D ．有最小值f (a ＋b2)7．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (－x )＝0，且在(－∞，0)上单调递增，如果x 1＋x 2<0且x 1x 2<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．可能为0B ．恒大于0C ．恒小于0D ．可正可负8．关于函数图象的对称性与周期性，有下列说法：①若函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (3＋x )，则f (x )的一个周期为T ＝2；②若函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (3－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称；③函数y ＝f (x ＋1)与函数y ＝f (3－x )的图象关于直线x ＝2对称；④若函数y ＝1x ＋1与函数f (x )的图象关于原点对称，则f (x )＝1x －1.其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题9．(2016·孝感模拟)已知y ＝f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，且当0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－2x ，则当10≤x ≤12时，f (x )＝________________.10．已知定义在R 上的偶函数y ＝f (x )满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②直线x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若关于x 的方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8.其中所有正确命题的序号为________．11．(2016·济宁期中)已知函数y ＝f (x )的定义域为{x |x ∈R 且x ≠2}，且y ＝f (x ＋2)是偶函数，当x <2时，f (x )＝|2x－1|，那么当x >2时，函数f (x )的递减区间是__________． 12．(2016·武汉调研)已知函数f (x )＝a log 2|x |＋1(a ≠0)，定义函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，给出下列命题：①F (x )＝|f (x )|； ②函数F (x )是奇函数；③当a >0时，若x 1x 2<0，x 1＋x 2>0，则F (x 1)＋F (x 2)>0成立； ④当a <0时，函数y ＝F (x 2－2x －3)存在最大值，不存在最小值． 其中所有正确命题的序号是________.答案精析1．D [根据对数函数的图象知y ＝log 3x 是非奇非偶函数；y ＝3|x |是偶函数；y ＝12x 是非奇非偶函数；y ＝x 3是奇函数，且在定义域R 上是单调函数，所以D 正确．] 2．A [∵g (－x )＝f (－x －1)， ∴－g (x )＝f (x ＋1)． 又g (x )＝f (x －1)， ∴f (x ＋1)＝－f (x －1)， ∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (2 014)＝f (2)＝2.]3．C [由f (2－x )＝f (x )可知函数f (x )的图象关于x ＝1对称，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53<f (2)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)．] 4．D [令t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a ，易知f (t )＝13log t 在其定义域上单调递减，要使f (x )＝13log (x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a 在[1，＋∞)上单调递增，且t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a >0，即⎩⎪⎨⎪⎧－－a 2≤1，g ?1?>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a >－12，即－12<a ≤2.]5．C [由题意可知f (－x )＝f (x )， 则(－x －2)(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )， 即(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0， 即b ＝2a .则f (x )＝a (x －2)(x ＋2)． 又函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a >0.f (2－x )>0，即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4.故选C.]6．B [不妨设a ≤x 1<x 2≤b ，则f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )⇒f (x －y )＝f (x )＋f (－y )＝f (x )－f (y )⇒f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＝－f (x 2－x 1)>0⇒f (x 1)>f (x 2)⇒f (x )在区间[a ，b ]上为减函数⇒f (x )在区间[a ，b ]上有最大值f (a )，故选B.] 7．C [由x 1x 2<0，不妨设x 1<0，x 2>0. ∵x 1＋x 2<0，∴x 1<－x 2<0.由f (x )＋f (－x )＝0，知f (x )为奇函数， 又由f (x )在(－∞，0)上单调递增，得f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，所以f (x 1)＋f (x 2)<0.故选C.]8．C [在f (x ＋1)＝f (3＋x )中，以x －1代换x ，得f (x )＝f (2＋x )，所以①正确；设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是y ＝f (x )上的两点，且x 1＝x ＋1，x 2＝3－x ，有x 1＋x 22＝2，由f (x 1)＝f (x 2)，得y 1＝y 2，即P ，Q 关于直线x ＝2对称，所以②正确；函数y ＝f (x ＋1)的图象由y ＝f (x )的图象向左平移1个单位得到，而y ＝f (3－x )的图象由y ＝f (x )的图象关于y 轴对称得y ＝f (－x )，再向右平移3个单位得到，即y ＝f [－(x －3)]＝f (3－x )，于是y ＝f (x ＋1)与函数y ＝f (3－x )的图象关于直线x ＝－1＋32＝1对称，所以③错误；设P (x ，y )是函数f (x )图象上的任意一点，点P 关于原点的对称点P ′(－x ，－y )必在y ＝1x ＋1的图象上，有－y ＝1－x ＋1，即y ＝1x －1，于是f (x )＝1x －1，所以④正确．] 9．－x 2＋22x －120解析 ∵f (x )在R 上是周期为4的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．由f (x ＋4)＝f (x )，可得f (x －12)＝f (x )．设－2≤x ≤0，则0≤－x ≤2，f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x ，当10≤x ≤12时，－2≤x －12≤0，f (x )＝f (x －12)＝－(x －12)2－2(x －12)＝－x 2＋22x －120. 10．①②④解析 对于①，∵f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，∴当x ＝－2时，f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)，∴f (－2)＝0，又f (x )是偶函数，∴f (2)＝0，∴①正确；对于②，∵f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，f (2)＝0，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴函数y ＝f (x )的周期T ＝4，又直线x ＝0是函数y ＝f (x )图象的对称轴， ∴直线x ＝－4也为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴， ∴②正确；对于③，∵函数f (x )的周期是4，∴y ＝f (x )在[8,10]上的单调性与在[0,2]上的单调性相同，∴y ＝f (x )在[8,10]上单调递减， ∴③错误；对于④，∵直线x ＝－4是函数y ＝f (x )图象的对称轴，∴x 1＋x 22＝－4，x 1＋x 2＝－8，∴④正确． 11．(2,4]解析 ∵y ＝f (x ＋2)是偶函数，∴f (－x ＋2)＝f (x ＋2)，则函数f (x )关于直线x ＝2对称，则f (x )＝f (4－x )．若x >2，则4－x <2，∵当x <2时，f (x )＝|2x－1|， ∴当x >2时，f (x )＝f (4－x )＝|24－x－1|，则当x ≥4时，4－x ≤0,24－x－1≤0，此时f (x )＝|24－x－1|＝1－24－x＝1－16·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，此时函数递增，当2<x ≤4时，4－x >0,24－x－1>0，此时f (x )＝|24－x－1|＝24－x－1＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，此时函数递减，∴函数的递减区间为(2,4]．12．②③解析 ①因为|f (x )|＝11(),||2,(),0||2,a a f x x f x x --⎧≥⎪⎨⎪-<<⎩而F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，这两个函数的定义域不同，不是同一函数，即F (x )＝|f (x )|不成立，①错误．②当x >0时，F (x )＝f (x )＝a log 2|x |＋1，－x <0，F (－x )＝－f (－x )＝－(a log 2|－x |＋1)＝－(a log 2|x |＋1)＝－F (x )；当x <0时，F (x )＝－f (x )＝－(a log 2|x |＋1)，－x >0，F (－x )＝f (－x )＝a log 2|－x |＋1＝a log 2|x |＋1＝－F (x )，所以函数F (x )是奇函数，②正确．③当a >0时，F (x )＝f (x )＝a log 2|x |＋1在(0，＋∞)上是单调增函数．若x 1x 2<0，x 1＋x 2>0，不妨设x 1>0，则x 2<0，x 1>－x 2>0，所以F (x 1)>F (－x 2)>0，又因为函数F (x )是奇函数，－F (x 2)＝F (－x 2)，所以F (x 1)＋F (x 2)>0，③正确．④函数y ＝F (x 2－2x －3)＝⎩⎪⎨⎪⎧a log 2(x 2－2x －3)＋1，x >3或x <－1，－a log 2(－x 2＋2x ＋3)－1，－1<x <3，当x>3或x<－1时，因为a<0，所以y＝F(x2－2x－3)既没有最大值，也没有最小值．。
湘教版高考数学一轮总复习课后习题 课时规范练16 函数图象
课时规范练16 函数图象基础 巩固练1.(湖南岳阳模拟)函数f(x)=x 42-e |x|+1在[-2,2]上的大致图象为( )2. (陕西西安模拟)已知函数f(x)在区间[-2,2]上的大致图象如图所示,则f(x)的解析式可以是 ( )A.f(x)=(e x -e -x )xB.f(x)=(e x -e -x )sin xC.f(x)=(e x -e -x )cos xD.f(x)=(e x -e -x )x 23.已知函数f(x)={lgx ,x >0,lg(-1x),x <0,若f(m)>f(-m),则实数m 的取值范围是( )A.(-1,0)∪(1,+∞)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(0,1)D.(-∞,-1)∪(0,1)4.定义在R 上的函数f(x)满足f(x+1)=12f(x),且当x ∈[0,1)时,f(x)=1-|2x-1|,当x ∈14,134时,y=f(x)的值域为( )A.12,1 B.[0,1] C.116,1D.0,1165.(多选题)已知函数f(x)={x 2,x ≥0,2x ,x <0,则下列判断错误的是( )A.f(x)是奇函数B.f(x)的图象与直线y=1有两个交点C.f(x)的值域是[0,+∞)D.f(x)在区间(-∞,0)上单调递增6.已知函数f(x)=lg x+x 2-1,则不等式f(x)>0的解集是 .7. (湖南郴州模拟)若函数f(x)=ax+b(x+c )2的图象如右图所示,则ab0(填“>”或“<”)8.设0<a<b,若函数y=|log 2x-1|,x ∈[a,b]的值域为[0,1],则a+b 的取值范围是 .综合 提升练9.(多选题)已知函数f(x)={x 2-2x +2,x ≤3,-x +8,x >3,下列叙述正确的是( )A.f(3)=5B.g(x)=f(x)-12的零点有3个C.f(x)<2的解集为{x|0<x<2或x>6}D.若a,b,c 互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则a+b+c 的取值范围是(5,9)创新 应用练10.若直角坐标系内两点M,N 满足条件①M,N 都在函数y 的图象上,②M,N 关于原点对称,则称点对(M,N)是函数y 的一个“共生点对”(点对(M,N)与(N,M)看作同一个“共生点对”),已知函数y={2x 2+4x +1,x ≤0,13x,x >0,则函数y 的“共生点对”有( ) A.0个B.1个C.2个D.3个11.函数f(x)={|x -3|,x ≥0,3x+1,x <0,若x 1<x 2<x 3,且f(x 1)=f(x 2)=f(x 3),则f (x 1)x 2+x 3的取值范围是 .课时规范练16 函数图象1.C 解析由已知得f(0)=0,排除选项D,又f(1)=12-e+1=32-e<0,排除选项B,f(2)=242-e 2+1=9-e 2>0,排除选项A,故选C.2.C 解析容易判断选项A,B 中的函数都是偶函数,图象应关于y 轴对称,与已知图象不符,选项C,D 中的函数都是奇函数,图象关于原点对称,对于选项D,当x>0时,e x >1,e -x =1ex <1,可得e x -e -x =e x -1ex >0,因此f(x)=(e x -e -x )x 2>0,图象应在x 轴上方,与已知图象不符,故选C.3.A 解析画出函数的图象(如图所示),可知函数为奇函数,所以不等式f(m)>f(-m)等价于f(m)>-f(m),即f(m)>0,观察函数图象可得实数m 的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞),故选A.4.B 解析由题知,当x ∈[1,2)时,可得f(x)=12f(x-1)=12(1-|2x-3|);当x∈[2,3)时,可得f(x)=12f(x-1)=14(1-|2x-5|),依此类推,所以在区间[n,n+1)(n ∈Z)上,可得f(x)=12n [1-|2x-(2n+1)|],作函数y=f(x)的图象,如图所示,所以当x ∈14,134时,f(x)∈[0,1],故选B.5.AB 解析作出函数图象(如图所示),显然图象不关于原点中心对称,故A 错误;f(x)图象与直线y=1有一个交点,故B 错误;由图象知函数的值域为[0,+∞),且在区间(-∞,0)内单调递增,故C,D 正确.故选AB. 6.(1,+∞) 解析不等式f(x)>0,即lgx+x 2-1>0,所以lgx>1-x 2.在同一坐标系中作出函数y=lgx,y=-x 2+1的图象(如图所示),由图可知,满足不等式lgx>-x 2+1的x 的取值范围为(1,+∞),所以不等式f(x)>0的解集是(1,+∞).7.< 解析由函数图象知-c>0,因此c<0.令x=0,得f(0)=bc 2,又由图象知f(0)>0,∴b>0.令f(x)=0,得x=-b a,结合图象知-ba>0,∴a<0.故ab<0.8.[3,6] 解析作出函数图象(如图所示),由f(x)=0,得x=2,由f(x)=1,得x=1或x=4,又因为0<a<b.①若a>2,则不合题意,舍去;②若a=2,则b=4,此时a+b=6;③若1<a<2,则b=4,此时5<a+b<6;④若a=1,则2≤b≤4,3≤a+b≤5. 综上,3≤a+b≤6. 9.ACD 解析f(3)=32-2×3+2=5,故A 正确;当x≤3时,方程x 2-2x+2-12=x 2-2x+32=0,其中Δ=4-4×32=-2<0,无实数根;当x>3时,由-x+8-12=-x+152=0,解得x=152,所以g(x)=f(x)-12的零点只有1个,故B 错误;当x≤3时,由x 2-2x+2<2,得x 2-2x=x(x-2)<0,解得0<x<2;当x>3时,由-x+8<2,得x>6,所以f(x)<2的解集为(0,2)∪(6,+∞),故C 正确;作出f(x)的图象(如图所示),不妨设a<b<c,则a+b=2×1=2,x 2-2x+2=(x-1)2+1≥1,由-x+8=1,解得x=7,所以3<c<7,所以a+b+c ∈(5,9),故D 正确,故选ACD. 10.C 解析根据“共生点对”的概念知,作出函数y=13x,x>0的图象关于原点对称的图象与函数y=2x2+4x+1(x≤0)的图象(如图所示),由图可知它们的交点有两个,所以函数y的“共生点对”有2个,故选C.11.0,12解析由题意,在f(x)={|x-3|,x≥0,3x+1,x<0中,x1<x2<x3,且f(x1)=f(x2)=f(x3),作出函数图象(如图所示),由图象可知,x2+x3=6,0<f(x1)=f(x2)=f(x3)<3,∴f(x1)x2+x3=f(x1)6,∴0<f(x1)x2+x3<12,故f(x1)x2+x3的取值范围是0,12.。
高考数学基础突破 集合与函数 9 函数的图象与性质的综合应用-人教版高三全册数学试题
2017年高考数学基础突破——集合与函数9．函数的图象与性质的综合应用【知识梳理】1.利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线.首先：(1)确定函数的定义域，(2)化简函数解析式，(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等).其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.函数图象间的变换(1)平移变换对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减.(2)对称变换(3)伸缩变换【基础考点突破】 考点1. 作函数的图像 【例1】作出下列函数的图像：(1)y ＝2－x x ＋1；(2)y ＝（12）|x ＋1|；(3)y ＝|log 2x －1|.【总结反思】为了正确作出函数的图像，除了掌握“列表、描点、连线”的方法外，还要做到以下两点：(1)熟练掌握几种基本函数的图像，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数以及形如y ＝x ＋1x的函数；(2)掌握常用的图像变换方法，如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等．变式训练1.分别作出下列函数的图像：(1)y ＝2x ＋2；(2)y ＝ln(1－x )．考点2.图象识别【例2 】(1)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图像是( )(2)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是( )【归纳总结】识图常用的方法如下．(1)定性分析法：通过对问题进行定性分析，结合函数的单调性、对称性等解决问题．(2)定量计算法：通过定量(如特殊点、特殊值)的计算，来分析解决问题．(3)函数模型法：由所提供的图像特征，结合实际问题的含义以及相关函数模型分析解决问题．变式训练2.(1) 函数y＝x sin x在区间[－π，π]上的大致图像是( )(2)[2013·某某卷] 函数y＝x33x－1的图像大致是( )【归纳总结】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.考点3.函数图像的应用 命题点1.确定方程根的个数【例3】已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有() A.10个 B.9个 C.8个 D.7个【归纳总结】当某些方程求解很复杂时，可以考虑利用函数的图象判断解的个数，即将方程解的个数问题转化为两个函数图象的交点问题，对应图象有几个交点，则方程有几个解.变式训练 3.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解的个数是________．命题点2.求参数的取值X 围【例4】已知a >0，且a ≠1，f (x )＝x 2－a x，当x ∈(－1，1)时，恒有f (x )<12，则实数a 的取值X 围是________．命题点3.求不等式的解集【例5】已知函数y ＝f (x )的图像是圆x 2＋y 2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f (x )>f (－x )－2x 的解集是________．【基础练习】1.(2016·某某一调)把函数y ＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式是() A.y ＝(x －3)2＋3 B.y ＝(x －3)2＋1 C.y ＝(x －1)2＋3D.y ＝(x －1)2＋12.函数y ＝1－1x －1的图象是( )3.使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值X围是( )A.(－1，0)B.[－1，0)C.(－2，0)D.[－2，0)4.函数y＝x sin x在[－π，π]上的图象是()5.(2015·某某卷)函数f(x)＝ax＋b（x＋c）2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A.a>0，b>0，c<0B.a<0，b>0，c>0C.a<0，b>0，c<0D.a<0，b<0，c<06.点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是()7.(2014·新课标全国Ⅰ卷)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x 的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP 的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图象大致为( )8.设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a ＝( ) A.－1B.1C.2D.49.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( )A.f (x 1)＋f (x 2)<0B.f (x 1)＋f (x 2)>0C.f (x 1)－f (x 2)>0D.f (x 1)－f (x 2)<0 10.(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点.点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )11.设奇函数f (x )的定义域为[－5，5].若当x ∈[0，5]时，f (x )的图象如图，则不等式f (x )＜0的解集是________.12.在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________.13.设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值X 围是________ .14.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x （x ＞0），2x （x ≤0），且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a的取值X 围是____.15.已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0.(1)某某数m的值；(2)作出函数f(x)的图象；(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；(4)若方程f(x)＝a只有一个实数根，求a的取值X围.16.当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜log a x恒成立，某某数a的取值X围.17.(1)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且当x∈R时，f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，求证y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称；(2)若函数y＝log2|ax－1|的图象的对称轴是x＝2，求非零实数a的值.2017年高考数学基础突破——集合与函数9．函数的图象与性质的综合应用（教师版）【知识梳理】1.利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线.首先：(1)确定函数的定义域，(2)化简函数解析式，(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等).其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.函数图象间的变换(1)平移变换对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减.(2)对称变换(3)伸缩变换【基础考点突破】考点1.作函数的图像【例1】作出下列函数的图像：(1)y ＝2－x x ＋1；(2)y ＝（12）|x ＋1|；(3)y ＝|log 2x －1|.【解析】(1)易知函数的定义域为{x ∈R |x ≠－1}．y ＝2－x x ＋1＝－1＋3x ＋1，因此由y ＝3x 的图像向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度即可得到函数y ＝2－xx ＋1的图像，如图①所示．(2)先作出y ＝(12)x，x ∈[0，＋∞)的图像，然后作其关于y 轴的对称图像，再将整个图像向左平移1个单位长度，即得到y ＝(12)|x ＋1|的图像，如图②所示．(3)先作出y ＝log 2x 的图像，再将图像向下平移1个单位长度，保留x 轴上方的部分，将x 轴下方的图像翻折到x 轴上方来，即得到y ＝|log 2x －1|的图像，如图③所示．【总结反思】为了正确作出函数的图像，除了掌握“列表、描点、连线”的方法外，还要做到以下两点：(1)熟练掌握几种基本函数的图像，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数以及形如y ＝x ＋1x的函数；(2)掌握常用的图像变换方法，如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等．变式训练1.分别作出下列函数的图像：(1)y ＝2x ＋2；(2)y ＝ln(1－x )．【解析】(1)将y ＝2x的图像向左平移2个单位长度，即得到函数y ＝2x ＋2的图像，如图①所示．(2)作出函数y ＝ln x 的图像，将y ＝ln x 的图像以y 轴为对称轴翻折，得到函数y ＝ln(－x )的图像，再将y ＝ln(－x )的图像向右平移1个单位长度，得到函数y ＝ln(1－x )的图像，如图②所示．考点2.图象识别【例2 】(1)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图像是( )(2)[2013·某某卷] 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是( )【答案】(1)B (2)C【解析】 (1)作出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1的图像如图所示，再把f (x )的图像向左平移一个单位长度，可得到函数y ＝f (x ＋1)的图像．故选B.(2)由题意可知函数图像最开始为“斜率为负的线段”，接着为“与x 轴平行的线段”，最后为“斜率为负值，且小于之前斜率的线段”．观察选项中图像可知，C 项符合． 【归纳总结】识图常用的方法如下．(1)定性分析法：通过对问题进行定性分析，结合函数的单调性、对称性等解决问题． (2)定量计算法：通过定量(如特殊点、特殊值)的计算，来分析解决问题．(3)函数模型法：由所提供的图像特征，结合实际问题的含义以及相关函数模型分析解决问题．变式训练2.(1) 函数y ＝x sin x 在区间[－π，π]上的大致图像是( )(2)[2013·某某卷] 函数y ＝x33x －1的图像大致是( )【解析】 (1)容易判断函数y ＝x sin x 为偶函数，可排除D.当0＜x ＜π2时，y ＝x sin x ＞0，当x ＝π时，y ＝0，可排除B ，C.故选A.(2)函数的定义域是{x ∈R |x ≠0}，排除选项A ；当x <0时，x 3<0，3x－1<0，故y >0，排除选项B ；当x →＋∞时，y >0且y →0，故为选项C 中的图像．【归纳总结】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.考点3.函数图像的应用 命题点1.确定方程根的个数【例3】已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有() A.10个 B.9个 C.8个 D.7个 【答案】A【解析】根据f (x )的性质及f (x )在[－1，1]上的解析式可作图如下：可验证当x ＝10时，y ＝|lg 10|＝1；当x ＞10时，|lg x |＞1. 因此结合图象及数据特点知y ＝f (x )与y ＝|lg x |的图象交点共有10个.【归纳总结】当某些方程求解很复杂时，可以考虑利用函数的图象判断解的个数，即将方程解的个数问题转化为两个函数图象的交点问题，对应图象有几个交点，则方程有几个解.变式训练 3.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解的个数是________．【解析】方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或f (x )＝1.作出y ＝f (x )的图像，由图像知f (x )＝12有2个解，f (x )＝1有3个解，所以原方程解的个数为5.命题点2.求参数的取值X 围【例4】已知a >0，且a ≠1，f (x )＝x 2－a x，当x ∈(－1，1)时，恒有f (x )<12，则实数a 的取值X 围是________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，2] 【解析】由题知，当x ∈(－1，1)时，f (x )＝x 2－a x <12，即x 2－12<a x .在同一坐标系中分别作出二次函数y ＝x 2－12，指数函数y ＝a x的图像(图略)．当x ∈(－1，1)时，要使指数函数的图像恒在二次函数图像的上方，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥12，a 1≥12，a ≠1，所以12≤a ≤2且a ≠1.故实数a 的取值X 围是12≤a <1或1<a ≤2.命题点3.求不等式的解集【例5】已知函数y ＝f (x )的图像是圆x 2＋y 2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f (x )>f (－x )－2x 的解集是________．【答案】{x |－1<x <0或1<x ≤2}【解析】由题设中的图像可知，f (x )是奇函数，所以f (x )>f (－x )－2x 可转化为2f (x )>－2x ，即f (x )>－x .在图中作出直线y ＝－x ，由图可得原不等式的解集为{x |－1<x <0或1<x ≤2}．【归纳总结】对于形如f (x )>g (x )或可化为f (x )>g (x )的不等式，可以分别作出函数f (x )，g (x )的图像，找到f (x )的图像位于g (x )的图像上方部分所对应的x 的取值X 围，即为不等式f (x )>g (x )的解集．【基础练习】1.(2016·某某一调)把函数y ＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式是() A.y ＝(x －3)2＋3B.y ＝(x －3)2＋1C.y ＝(x －1)2＋3D.y ＝(x －1)2＋1答案C解析 把函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位，即把其中x 换成x ＋1，于是得y ＝[(x ＋1)－2]2＋2＝(x －1)2＋2，再向上平移1个单位，即得到y ＝(x －1)2＋2＋1＝(x －1)2＋3. 2.函数y ＝1－1x －1的图象是( )解析 将y ＝－1x的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即可得到函数y ＝1－1x －1的图象. 答案 B3.使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值X 围是( ) A.(－1，0) B.[－1，0)C.(－2，0)D.[－2，0)解析 在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1，0)，故选A.答案 A4.函数y ＝x sin x 在[－π，π]上的图象是()解析 容易判断函数y ＝x sin x 为偶函数，可排除D.当0＜x ＜π2时，y ＝x sin x ＞0，当x＝π时，y ＝0，可排除B ，C ，故选A.5.(2015·某某卷)函数f (x )＝ax ＋b（x ＋c ）2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A.a >0，b >0，c <0B.a <0，b >0，c >0C.a <0，b >0，c <0D.a <0，b <0，c <0 解析 函数f (x )的定义域为{x |x ≠－c }，由题中图象可知－c ＝x P ＞0，即c <0. 令f (x )＝0，可得x ＝－b a ，则x N ＝－b a ，又x N ＞0，则b a＜0，所以a ，b 异号，排除A ，D. 答案 C6.点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，O ，P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图，那么点P 所走的图形是()答案 C7.(2014·新课标全国Ⅰ卷)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图象大致为( )解析 由题图可知：当x ＝π2时，OP ⊥OA ，此时f (x )＝0，排除A ，D ；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，OM ＝cos x ，设点M 到直线OP 的距离为d ，则dOM＝sin x ，即d ＝OM sin x ＝sin x cos x ，∴f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x ≤12，排除B.答案 C8.(2015·全国Ⅰ卷)设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a ＝( ) A.－1B.1C.2D.4解析 设(x ，y )是函数y ＝f (x )图象上任意一点，它关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )，由y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a的图象关于直线y ＝－x 对称，可知(－y ，－x )在y ＝2x ＋a的图象上，即－x ＝2－y ＋a，解得y ＝－log 2(－x )＋a ，所以f (－2)＋f (－4)＝－log 22＋a －log 24＋a ＝1，解得a ＝2，选C. 答案 C9.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( ) A.f (x 1)＋f (x 2)<0 B.f (x 1)＋f (x 2)>0 C.f (x 1)－f (x 2)>0D.f (x 1)－f (x 2)<0解析 函数f (x )的图象如图所示：且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数. 又0<|x 1|<|x 2|，∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0. 答案 D10.(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点.点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )解析 法一 当点P 位于边BC 上时，∠BOP ＝x ，0≤x ≤π4，则BPOB ＝tan x ，∴BP ＝tan x ，∴AP ＝4＋tan 2x ，∴f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π4，可见y ＝f (x )图象的变化不可能是一条直线或线段，排除A ，C.当点P 位于边CD 上时，∠BOP ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤3π4，则BP ＋AP ＝BC 2＋CP2＋AD 2＋DP 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1tan x 2＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan x 2. 当点P 位于边AD 上时，∠BOP ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫3π4≤x ≤π，则AP OA ＝tan(π－x )＝－tan x ，∴AP ＝－tan x ，∴BP ＝4＋tan 2x ，∴f (x )＝－tan x ＋4＋tan 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4≤x ≤π，根据函数的解析式可排除D ，故选B.法二 当点P 位于点C 时，x ＝π4，此时AP ＋BP ＝AC ＋BC ＝1＋5，当点P 位于CD 的中点时，x ＝π2，此时AP ＋BP ＝22＜1＋5，故可排除C ，D ，当点P 位于点D 时x ＝3π4，此时AP ＋BP ＝AD ＋BD ＝1＋5，而在变化过程中不可能以直线的形式变化，故选B. 答案 B11.设奇函数f (x )的定义域为[－5，5].若当x ∈[0，5]时，f (x )的图象如图，则不等式f (x )＜0的解集是________.答案 (－2，0)∪(2，5]12.在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________.解析 函数y ＝|x －a |－1的图象如图所示，因为直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，故2a ＝－1，解得a ＝－12.答案 －1213.设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值X 围是________ .解析 如图，要使f (x )≥g (x )恒成立，则－a ≤1，∴a ≥－1.答案 [－1，＋∞)14.(2015·某某模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x （x ＞0），2x （x ≤0），且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的取值X 围是________.解析 当x ≤0时，0＜2x≤1，所以由图象可知要使方程f (x )－a ＝0有两个实根，即函数y ＝f (x )与y ＝a 的图象有两个交点，所以由图象可知0＜a ≤1.答案 (0，1]15.已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0.(1)某某数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值X 围.解 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4. (2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －4）＝（x －2）2－4，x ≥4，－x （x －4）＝－（x －2）2＋4，x <4.f (x )的图象如图所示：(3)f (x )的减区间是[2，4].(4)从f (x )的图象可知，当a >4或a <0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，方程f (x )＝a 只有一个实数根，即a 的取值X 围是(－∞，0)∪(4，＋∞).16.当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2＜log a x 恒成立，某某数a 的取值X 围. 解 设f (x )＝(x －1)2，g (x )＝log a x ， 在同一直角坐标系中画出f (x )与g (x )的图象，要使x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2＜log a x 恒成立，只需函数f (x )的图象在g (x )的图象下方即可.当0＜a ＜1时，由两函数的图象知，显然不成立； 当a ＞1时，如图，使x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2＜log a x 恒成立，只需f (2)≤g (2)， 即(2－1)2≤log a 2，解得1＜a ≤2. 综上可知，1＜a ≤2.17.(1)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且当x ∈R 时，f (m ＋x )＝f (m －x )恒成立，求证y ＝f (x )的图象关于直线x ＝m 对称；(2)若函数y ＝log 2|ax －1|的图象的对称轴是x ＝2，求非零实数a 的值.(1)证明 设P (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象上任意一点，则y 0＝f (x 0).又P 点关于x ＝m 的对称点为P ′，则P ′的坐标为(2m －x 0，y 0).由已知f (x ＋m )＝f (m －x )，得f (2m －x 0)＝f [m ＋(m －x 0)]＝f [m －(m －x 0)]＝f (x 0)＝y 0. 即P ′(2m －x 0，y 0)在y ＝f (x )的图象上.∴y ＝f (x )的图象关于直线x ＝m 对称.(2)解 对定义域内的任意x ，有f (2－x )＝f (2＋x )恒成立.∴|a (2－x )－1|＝|a (2＋x )－1|恒成立，即|－ax ＋(2a －1)|＝|ax ＋(2a －1)|恒成立. 又∵a ≠0，∴2a －1＝0，得a ＝12.。
湘教版高考数学一轮总复习课后习题 第九章 平面解析几何 课时规范练41
课时规范练41《素养分级练》P320基础巩固组1.以点(1,-1)为圆心,且与直线x-y+2=0相切的圆的方程为( )A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x+1)2+(y-1)2=8D.(x-1)2+(y+1)2=8答案:D解析:因为直线与圆相切,所以圆的半径等于点(1,-1)到直线x-y+2=0的距离,即半径r=|1-(-1)+2|=2√2,则所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=8.√12+(-1)2.(广东茂名高三检测)已知圆C:(是圆上的动点,AM与圆相切,且|AM|=2,则点A的轨迹方程是( )A.y2=4xB.x2+y2-2x-2y-3=0C.x2+y2-2y-3=0D.y2=-4x答案:B解析:因为圆C:(是圆上的动点,所以|MC|=1.又AM 与圆相切,且|AM|=2,所以|AC|=√|MC |2+|AM |2=√5.设A(x,y),则(x-1)2+(y-1)2=5,即x 2+y 2-2x-2y-3=0,所以点A 的轨迹方程为x 2+y 2-2x-2y-3=0.3.(河北唐山二模)若圆C:x 2+y 2+Dx+2y=0的圆心在直线x-2y+1=0上,则C 的半径为 . 答案:√10解析:圆C:x 2+y 2+Dx+2y=0的圆心为-D2,-1,则有-D2-2×(-1)+1=0,则D=6,则C 的半径为12√62+22=√10.4.(全国甲,文14)设点M 在直线2上,则☉M 的方程为 . 答案:(x-1)2+(y+1)2=5解析:(方法1)设A(3,0),B(0,1),则线段AB 的垂直平分线方程为y-12=3(x -32),即y=3x-4. 由{y =3x -4,2x +y -1=0,解得{x =1,y =-1,即圆心M 的坐标为(1,-1).设☉M 的半径为r,则r 2=(3-1)2+12=5.故所求☉M 的方程为((a,1-2a),☉M 的半径为r,则r2=(a-3)2+(1-2a)2=(a-0)2+(1-2a-1)2,整理可得-10a+10=0,即a=1.则圆心M(1,-1),故所求☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.5.有一种大型商品,A,B两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是:每单位距离,A地的运费是B地运费的2倍.已知A,B两地相距6千米,顾客购物的唯一标准是总费用较低.建立适当的平面直角坐标系.(1)求A,B两地的售货区域的分界线的方程;(2)画出分界线的方程表示的曲线的示意图,并指出在方程表示的曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地.解:(1)以线段AB的中点O为坐标原点,AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy,则点A(3,0),B(-3,0),设B地每单位距离的运费为a元,售货区域内一点为P(x,y).若在两地的购货费用相同,则2a√(x-3)2+y2=a√(x+3)2+y2,化简可得(x-5)2+y2=16,故A,B两地的售货区域的分界线的方程为(x-5)2+y2=16.(2)由(1)可知,A,B两地的售货区域的分界线是以(5,0)为圆心,以4为半径的圆,如图所示,所以,在圆(x-5)2+y2=16上的居民从A,B两地购货的总费用相同,选择A或B地购货都可以.由2a√(x-3)2+y2>a√(x+3)2+y2,可得(x-5)2+y2>16,所以,在圆(x-5)2+y2=16外的居民从B地购货便宜.由2a√(x-3)2+y2<a√(x+3)2+y2,可得(x-5)2+y2<16,所以,在圆(x-5)2+y2=16内的居民从A地购货便宜.综合提升组6.(多选)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x-2y+4=0,则下列说法正确的是( )A.yx 的最大值为43B.yx的最小值为0C.x2+y2的最大值为√5+1D.x+y的最大值为3+√2答案:ABD解析:由实数x,y 满足方程x 2+y 2-4x-2y+4=0,可得点(x,y)在圆(x-2)2+(y-1)2=1上,作其图象如图所示.y x表示点(x,y)与坐标原点连线的斜率,设过坐标原点的圆的切线方程为y=kx,则|2k -1|√k 2+1=1,解得k=0或k=43,则y x∈0,43,y xmain=0,故A,B 正确;x 2+y 2表示圆上的点(x,y)到坐标原点的距离的平方,圆上的点(x,y)到坐标原点的距离的最大值为|OC|+1,所以x 2+y 2的最大值为(|OC|+1)2,又|OC|=√22+12,所以x 2+y 2的最大值为6+2√5,故C 错误; 因为x 2+y 2-4x-2y+4=0可化为(x-2)2+(y-1)2=1,故可设x=2+cosθ,y=1+sinθ,θ为参数,所以x+y=2+cosθ+1+sinθ=3+√2sin θ+π4,所以x+y 的最大值为3+√2,故D 正确.故选ABD.7.(山东济宁二模)已知直线l 1:kx+y=0过定点A,直线l 2:x-ky+2√2+2k=0过定点B,l 1与l 2的交点为C,则|AC|+|BC|的最大值为 . 答案:2√6解析:l 1:kx+y=0,则l 1过定点A(0,0),l 2:x+2√2+k(2-y)=0, 则l 2过定点B(-2√2,2).显然k×1+1×(-k)=0,即l1,l2相互垂直,而l1与l2的交点为C,所以点C 的轨迹是以AB为直径的圆,且圆心为(-√2,1),半径为√3.令|AC|=x,则|BC|=√12-x2,且0≤x≤2√3,所以(|AC|+|BC|)2=12+2x√12-x2≤12+(x2+12-x2)=24,当且仅当x=√12-x2,即x=√6时,等号成立.所以|AC|+|BC|的最大值为2√6.创新应用组8.(河北衡水中学模拟)几何学家帕普斯在其代表作《数学汇编》中研究了“三线轨迹”问题:到两条已知直线距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数的动点轨迹为圆锥曲线.今有平面内三条给定的直线l1,l2,l3,且l2,l3均与l1垂直.若动点M到l2,l3的距离的乘积与到l1的距离的平方相等,则动点M在直线l2,l3之间的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案:A解析:因为l2,l3均与l1垂直,所以l2,l3平行.又因为动点M到l2,l3的距离的乘积与到l1的距离的平方相等,记l1为y=0,直线l2为到l1的距离为|y|,M到l2的距离为|x|,M到l3的距离为|a-x|,所以y2=|a-x|·|x|.若a>0,则y2=(a-x)x;若a<0,则y2=(x-a)·(-x),即y2=(a-x)x.综上,y2=(a-x)x,即在直线l2,l3之间的轨迹为圆.。
高三数学函数图象、函数的综合应用同步精讲 人教版
高三数学函数图象、函数的综合应用同步精讲 人教版一. 本周教学内容：函数图象、函数的综合应用 二. 本周教学重、难点：1. 掌握利用描点法和图象变换作出函数图象的一般方法；掌握函数图象变化的一般规律；能够利用函数的图象来观察分析函数的性质。
2. 掌握函数与其它数学知识，实际问题的综合，掌握数学模型的构造，函数关系式的建立。
【典型例题】[例1] 设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象为下列之一，则a 的值为（ ）A. 1B. 1-C.251-- D. 251+-解：∵ 0>b ∴ 不是前两个图形，从后两个图形看02>-ab∴ 0<a ，故应是第3个图形 ∵ 图象过原点 ∴ 012=-a ，结合0<a ∴ 1-=a[例2] 在同一平面直角坐标系中，函数)(x f y =和)(x g y =的图象关于直线x y =对称，现将)(x g y =的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，所得到的图象是由两条线段组成的折线（如图所示），则函数)(x f 的表达式为（ ）A. ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-+=20,221,22)(x x x x x fB. ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤--=20,221,22)(x x x x x fC. ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-=42,1221,22)(x x x x x fD. ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-=42,3221,62)(x x x x x f解：由图象求得解析式⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-+=10,1202,12)(x x x xx h 将)(x h 图象向右平移2个单位，向下平移1个单位得到)(x g 图象∴ ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-=32,4220,12)(x x x xx g ∵ )(x f 与)(x g 的图象关于x y =对称∴ )(x f 与)(x g 互为反函数∴ ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-+==-20,221,22)()(1x x x x x g x f[例3] 关于x 的方程x a x x =-+-342恰有三个不相等的实数根，则实数a 的值是 。
人教A版高中数学选修复习随堂训练理科湖南专三角函数的图象与性质
课时作业(十八) [第18讲 三角函数的图象与性质][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．函数y ＝cos x －12的定义域为( )A.⎣⎡⎦⎤－π3，π3 B.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π3，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3，k ∈Z D ．R2．[2011·枣庄模拟] 下列函数中，以π为最小正周期的偶函数，且在⎝⎛⎭⎫π2，π上为减函数的是( )A ．y ＝sin2x ＋cos2xB ．y ＝|sin x |C ．y ＝cos 2xD ．y ＝tan x 3．[2010·江西卷] 函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－54，－1C.⎣⎡⎦⎤－54，1D.⎣⎡⎦⎤－1，54 4．[2010·上海卷] 函数y ＝12sin2x 的最小正周期T ＝________. 能力提升5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上( )A ．单调递增且有最大值B ．单调递增但无最大值C ．单调递减且有最大值D ．单调递减但无最大值6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，若存在a ∈(0，π)，使得f (x ＋a )＝f (x －a )恒成立，则a的值是( )A.π6B.π3C.π4D.π27．若x 为三角形中的最小内角，则函数y ＝sin x ＋cos x 的值域是( )A ．(1，2] B.⎝⎛⎦⎥⎤0，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，22 8．函数f (x )＝sinπx －14x 的零点的个数是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．89．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( )A.π3B.2π3C ．π D.4π310．函数f (x )＝(sin x －cos x )2的最小正周期为________．11．函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________．12．设函数y ＝cos 12πx 的图象位于y 轴右侧所有的对称中心从左到右依次为A 1，A 2，…，A n ，….则A 50的坐标是________．13．给出下列命题：①正切函数的图象的对称中心是唯一的；②y ＝|sin x |，y ＝|tan x |的最小正周期分别为π，π2； ③若x 1>x 2，则sin x 1>sin x 2；④若f (x )是R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f ⎝⎛⎭⎫－T2＝0.其中正确命题的序号是________． 14．(10分)[2011·朝阳二模] 已知函数f (x )＝2sin x cos x －2sin 2x ＋1. (1)求函数f (x )的最小正周期及值域； (2)求f (x )的单调递增区间．15．(13分)[2011·湖南省“六校联考”] 已知函数f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x ＋m 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为6. (1)求常数m 的值及函数f (x )图象的对称中心；(2)作函数f (x )关于y 轴的对称图象得函数f 1(x )的图象，再把函数f 1(x )的图象向右平移π4个单位得到函数f 2(x )的图象，求函数f 2(x )的单调递减区间．难点突破16．(12分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．课时作业(十八)【基础热身】1．C [解析] 由题意得cos x ≥12， ∴2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，故选C.2．B [解析] 由函数为偶函数，排除A 、D ；由在⎝⎛⎭⎫π2，π上为减函数，排除C ，故选B.3．C [解析] y ＝sin 2x ＋sin x －1＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋122－54， ∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－12时，y min ＝－54；当sin x ＝1时，y max ＝1，∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－54，1，故选C.4．π [解析] 由周期公式得T ＝2π|ω|＝2π2＝π.【能力提升】5．A [解析] 由－π2≤x －π4≤π2，得－π4≤x ≤3π4，则函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4在区间⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上是增函数，又⎣⎡⎦⎤0，π2⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以函数在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，且有最大值22，故选A.6．D [解析] 设x －a ＝t ，得x ＝t ＋a ， 则f (x ＋a )＝f (x －a )可化为f (t ＋2a )＝f (t )，即函数f (x )是周期为2a 的周期函数，又f (x )的最小正周期为π，且a ∈(0，π)，∴a ＝π2，故选D.7．A [解析] 因x 为三角形中的最小内角，故x ∈⎝⎛⎦⎤0，π3，由此可得y ＝sin x ＋cos x >1，排除错误选项B ，C ，D ，故选A.8．C [解析] 如图所示，画出函数y ＝sinπx 和y ＝14x 的图象， 在[0，＋∞)上，两个函数图象有4个交点，∴在(－∞，＋∞)上，方程sinπx ＝14x 的解有7个，即函数f (x )＝sinπx －14x 的零点的个数是7，故选C.9．A [解析] 画出函数y ＝sin x 的简图，要使函数的值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则函数定义域为⎣⎡⎦⎤2k π＋5π6，2k π＋13π6，k ∈Z 或其子集，又定义域为[a ，b ]，则a ，b 在同一个k 所对应的区间内，且[a ，b ]必须含2k π＋3π2，还有2k π＋5π6、2k π＋13π6之一，知b －a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤2π3，4π3，故选A.10．π [解析] f (x )＝(sin x －cos x )2＝sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x ＝1－2sin x cos x ＝1－sin2x ，∴函数f (x )的最小正周期为π.11.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z [解析] 要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， ∴2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .12．(99,0) [解析] 由12πx ＝π2＋k π，k ≥0且k ∈Z ，得图象的对称中心横坐标为x ＝2k＋1，k ≥0且k ∈N ，令k ＝49即可得A 50的坐标是(99,0)．13．④ [解析] ①正切函数的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )；②y ＝|sin x |，y ＝|tan x |的最小正周期都是π；③正弦函数在定义域R 上不是单调函数；④f ⎝⎛⎭⎫－T 2＝f ⎝⎛⎭⎫－T 2＋T ＝f ⎝⎛⎭⎫T2＝－f ⎝⎛⎭⎫－T 2，故f ⎝⎛⎭⎫－T2＝0. 14．[解答] (1)f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则函数f (x )的最小正周期是π， 函数f (x )的值域是[]－2，2.(2)依题意得2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，即f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )．15．[解答] (1)f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＋1＋m＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1＋m ，∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1.∴m ≤f (x )≤3＋m ，∴3＋m ＝6，m ＝3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋4.所以函数f (x )的图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，4，k ∈Z .(2)由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋4，得f 1(x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π6＋4.所以f 2(x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤－2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＋4 ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＋4.因为－π2＋2k π≤2x －23π≤2k π＋π2，k ∈Z .所以π12＋k π≤x ≤7π12＋k π(k ∈Z )，所以函数f 2(x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z .【难点突破】16．[解答] 由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )， 即sin(－ωx ＋φ)＝sin(ωx ＋φ)，所以－cos φsin ωx ＝cos φsin ωx 对任意x 都成立． 又ω>0，∴cos φ＝0.依题设0≤φ≤π，所以φ＝π2，∴f (x )＝cos ωx ，其对称中心为(π2＋k πω，0)(k ∈Z )．∵f (x )的图象关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，∴令π2＋k πω＝3π4，∴ω＝23(2k ＋1)，k ＝0,1,2，….当k ＝0时，ω＝23，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋π2在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数；当k ＝1时，ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数；当k ≥2时，ω≥103，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2在⎣⎡⎦⎤0，π2上不是单调函数．综上得ω＝23或ω＝2.。
人教A版高中数学必修一复习随堂训练理科湖南专函数及其表示
课时作业(四) [第4讲 函数及其表示][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．下列各组函数中表示相同函数的是( ) A ．y ＝5x 5与y ＝x 2 B ．y ＝lne x 与y ＝e ln xC ．y ＝(x －1)(x ＋3)x －1与y ＝x ＋3D ．y ＝x 0与y ＝1x 02．已知f ：x →sin x 是集合A (A ⊆[0,2π])到集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12的一个映射，则集合A 中的元素最多有( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个3．已知f (x )＝x 21＋x 2，那么f (1)＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝( ) A ．3 B.72 C ．4 D.92 4．[2011·惠州三调] 某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组实验数据：( )A ．y ＝2x －2B ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xC ．y ＝log 2xD ．y ＝12(x 2－1) 能力提升5．[2011·广州调研] 函数y ＝log 12(3x －2)的定义域是( )A ．[1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫23，＋∞C.⎣⎡⎦⎤23，1D.⎝⎛⎦⎤23，1 6．[2011·石门一中模拟] 函数f (x )＝22x －2的值域是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)∪(0，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)7．[2011·莆田模拟] 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式恒成立的是( )A ．f (x 1)－f (x 2)>0B ．f (x 1)－f (x 2)<0C ．f (x 1)＋f (x 2)<0D ．f (x 1)＋f (x 2)>0 8．[2011·郑州一中模拟] 定义在实数集上的函数f (x )，如果存在函数g (x )＝Ax ＋B (A ，B 为常数)，使得f (x )≥g (x )对于一切实数x 都成立，那么称g (x )为函数f (x )的一个承托函数．给出如下命题：①对给定的函数f (x )，其承托函数可能不存在，也可能有无数个； ②定义域和值域都是R 的函数f (x )不存在承托函数； ③g (x )＝2x 为函数f (x )＝e x 的一个承托函数；④g (x )＝12x 为函数f (x )＝x 2的一个承托函数． 其中，正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．39．图K4－1)A ．y ＝32|x －1|(0≤x ≤2) B ．y ＝32－32|x －1|(0≤x ≤2)C ．y ＝32－|x －1|(0≤x ≤2)D ．y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2)10．已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________.11．[2012·荆州中学质检] 设f (x )＝⎩⎨⎧－log 3(x ＋1)(x >6)，3x －6－1(x ≤6)，满足f (n )＝－89，则f (n ＋4)＝________. 12．[2011·长春二模] 设f (x )的定义域为D ，若f (x )满足下面两个条件，则称f (x )为闭函数．①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[a ，b ]．如果f (x )＝2x ＋1＋k 为闭函数，那么k 的取值范围是________．13．已知函数f (x )＝x 2，g (x )为一次函数，且一次项系数大于零，若f [g (x )]＝4x 2－20x ＋25，则函数g (x )＝________.14．(10分)已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且f (x )最小值是－1，函数g (x )与f (x )的图象关于原点对称．(1)求f (x )和g (x )的解析式；(2)若h (x )＝f (x )－λg (x )在区间[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．15．(13分)解答下列问题：(1)若f(x＋1)＝2x2＋1，求f(x)；(2)若2f(x)－f(－x)＝x＋1，求f(x)；(3)若函数f(x)＝xax＋b，f(2)＝1，且方程f(x)＝x有唯一解，求f(x)．难点突破16．(12分)设f(x)＝ax2＋bx，则是否存在实数a，使得至少有一个正实数b，使函数f(x)的定义域和值域相同？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．课时作业(四)【基础热身】1．D [解析] 对于A ，两函数的对应法则不同； 对于B ，两函数的定义域不同； 对于C ，两函数的定义域不同；对于D ，两函数的定义域都为{x |x ∈R ，x ≠0}，对应法则都可化为y ＝1(x ≠0)． 2．B [解析] 当sin x ＝0时，x ＝0，π，2π；当sin x ＝12时，x ＝π6，5π6.所以，集合A 中的元素最多有5个．3．B [解析] 由f (x )＝x 21＋x2可得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝11＋x 2， 所以f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1，又∵f (1)＝12，f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝1，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1，f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1，∴f (1)＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝72. 4．D [解析] 直线是均匀的，故选项A 不是；指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是单调递减的，也不符合要求；对数函数y ＝log 2x 的增长是缓慢的，也不符合要求；将表中数据代入选项D 中，基本符合要求．【能力提升】5．D [解析] 由题知log 12(3x －2)≥0＝log 121，又知对数函数的真数大于零，所以0<3x －2≤1，解得23<x ≤1.6．D [解析] 1f (x )＝2x －1－1>－1，结合反比例函数的图象可知f (x )∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)，故选D.7．B [解析] f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，为偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f (x 1)－f (x 2)<0.8．C [解析] ①正确，②错误；③正确；④错误．9．B [解析] 从图象上看出x ＝0时y ＝0，代入各个选项就可以排除A 、C ，x ＝1时y ＝32，代入选项，D 就可以排除．10．lg 2x －1(x ＞1) [解析] 令2x ＋1＝t (t ＞1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x ＞1)．11．－2 [解析] 由于x >6时函数的值域为(－∞，－log 37)，－89不在(－∞，－log 37)内，所以n ≤6，由3n －6－1＝－89，解得n ＝4，所以f (n ＋4)＝f (8)＝－2.12．－1<k ≤－12 [解析] f (x )＝2x ＋1＋k 为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞上的增函数，又f (x )在[a ，b ]上的值域为[a ，b ]，∴⎩⎨⎧f (a )＝a ，f (b )＝b ，即f (x )＝x 在⎣⎡⎭⎫－12，＋∞上有两个不等实根，即2x ＋1＝x －k 在⎣⎡⎭⎫－12，＋∞上有两个不等实根．方法一：问题可化为y ＝2x ＋1和y ＝x －k 的图象在⎣⎡⎭⎫－12，＋∞上有两个不同交点．对于临界直线m ，应有－k ≥12，即k ≤－12.对于临界直线n ，y ′＝(2x ＋1)′＝12x ＋1，令12x ＋1＝1，得切点P 横坐标为0，∴P (0,1)． ∴直线n ：y ＝x ＋1，令x ＝0，得y ＝1，∴－k ＜1，即k >－1.综上，－1<k ≤－12.方法二：化简方程2x ＋1＝x －k ，得x －(2k ＋2)x ＋k 2－1＝0.令g (x )＝x 2－(2k ＋2)x ＋k 2－1，则由根的分布可得⎩⎨⎧g ⎝⎛⎭⎫－12≥0，k ＋1>－12，Δ>0，即⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫k ＋122≥0，k >－32，k >－1，解得k >－1.又2x ＋1＝x －k ，∴x ≥k ，∴k ≤－12.综上，－1<k ≤－12. 13．2x －5 [解析] 由g (x )为一次函数，设g (x )＝ax ＋b (a >0)． 因为f [g (x )]＝4x 2－20x ＋25， 所以(ax ＋b )2＝4x 2－20x ＋25，即a 2x 2＋2abx ＋b 2＝4x 2－20x ＋25，解得a ＝2，b ＝－5， 故g (x )＝2x －5.14．[解答] (1)依题意，设f (x )＝ax (x ＋2)＝ax 2＋2ax (a >0)． f (x )图象的对称轴是x ＝－1，∴f (－1)＝－1，即a －2a ＝－1，得a ＝1.∴f (x )＝x 2＋2x .由函数g (x )的图象与f (x )的图象关于原点对称， ∴g (x )＝－f (－x )＝－x 2＋2x .(2)由(1)得h (x )＝x 2＋2x －λ(－x 2＋2x )＝(λ＋1)x 2＋2(1－λ)x . ①当λ＝－1时，h (x )＝4x 满足在区间[－1,1]上是增函数；②当λ<－1时，h (x )图象的对称轴是x ＝λ－1λ＋1，则λ－1λ＋1≥1，又λ<－1，解得λ<－1； ③当λ>－1时，同理则需λ－1λ＋1≤－1，又λ>－1，解得－1<λ≤0.综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0]． 15．[解答] (1)令t ＝x ＋1，则x ＝t －1， 所以f (t )＝2(t －1)2＋1＝2t 2－4t ＋3. 所以f (x )＝2x 2－4x ＋3.(2)因为2f (x )－f (－x )＝x ＋1， 用－x 去替换等式中的x ， 得2f (－x )－f (x )＝－x ＋1，即有⎩⎨⎧2f (x )－f (－x )＝x ＋1，2f (－x )－f (x )＝－x ＋1，解方程组消去f (－x )，得f (x )＝x3＋1.(3)由f (2)＝1得22a ＋b＝1，即2a ＋b ＝2.由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0，解此方程得：x ＝0或x ＝1－b a .又因为方程有唯一解，所以1－ba ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，所以所求解析式为f (x )＝2xx ＋2.【难点突破】16．[解答] 要使解析式f (x )＝ax 2＋bx 有意义， 则ax 2＋bx ＝x (ax ＋b )≥0.当a >0时，函数的定义域为⎝⎛⎦⎤－∞，－ba ∪[0，＋∞)，由于函数的值域为非负数，因此a >0不符合题意；当a ＝0时，f (x )＝bx ，此时函数的定义域为[0，＋∞)，函数的值域也为[0，＋∞)，符合题意；当a <0时，函数的定义域为⎣⎡⎦⎤0，－b a ，又f (x )＝ax 2＋bx ＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2－b 24a ，∵0<－b 2a <－b a ，∴当x ＝－b 2a 时，函数f (x )有最大值－b 24a ，由题意有－b 24a ＝⎝⎛⎭⎫－b a2，即a 2＝－4a ，解得a ＝－4.综上，存在符合题意的实数a ，a 的值为0或－4.。
人教A版高中数学选修复习随堂训练理科湖南专抛物线A
课时作业(五十)A [第50讲 抛物线][时间：35分钟 分值：80分]基础热身1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( ) A ．(2,0) B ．(－2,0) C ．(4,0) D ．(－4,0)2．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A .若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x3．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115 D.37164．点A ，B 在抛物线x 2＝2py (p >0)上，若A ，B 的中点是(x 0，y 0)，当直线AB 的斜率存在时，其斜率为( )A.2p y 0B.p y 0C.p x 0D.x 0p 能力提升 5．[2010·福建卷] 以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＋2x ＝0B ．x 2＋y 2＋x ＝0C ．x 2＋y 2－x ＝0D ．x 2＋y 2－2x ＝0 6．[2010·山东卷] 已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2 7．[2010·陕西卷] 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )A.12B ．1C ．2D ．4 8．[2011·湖南六校联考] 已知点M 是抛物线y ＝14x 2上一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 9．[2011·东北三校模拟] 已知抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＝1，则a 的值为________．10．[2010·浙江卷] 设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．11．给定抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (－1,0)，斜率为k 的直线与C 相交于M ，N 两点，若线段MN 的中点在直线x ＝3上，则k ＝________.12．(13分)[2011·西城一模] 已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过点M (4,0)． (1)若点F 到直线l 的距离为3，求直线l 的斜率；(2)设A ，B 为抛物线上两点，且直线AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰好过点M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值．难点突破13．(12分)[2011·西城一模] 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 的直线交y 轴正半轴于点P ，交抛物线于A ，B 两点，其中点A 在第一象限．(1)求证：以线段FA 为直径的圆与y 轴相切；(2)若FA →＝λ1AP →，BF →＝λ2FA →，λ1λ2∈⎣⎡⎦⎤14，12，求λ2的取值范围．课时作业(五十)A【基础热身】1．B [解析] 由y 2＝－8x ，易知焦点坐标是(－2,0)．2．B [解析] 抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 坐标为⎝⎛⎭⎫a4，0，则直线l 的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，它与y 轴的交点为A ⎝⎛⎭⎫0，－a 2，所以△OAF 的面积为12⎪⎪⎪⎪a 4·⎪⎪⎪⎪a 2＝4，解得a ＝±8.所以抛物线方程为y 2＝±8x .3．A [解析] 设动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和为d ，直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F (1,0)的距离，故本题转化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P 使得P 到点F (1,0)和直线l 2的距离之和最小，最小值为F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即d min ＝|4－0＋6|5＝2.4．D [解析]设A (x 1，y 1)，B (x 2211x 22＝2py 2，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝2p (y 1－y 2)，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22p ＝x 0p .【能力提升】5．D [解析] 因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0)，即所求圆的圆心．又知该圆过原点，所以圆的半径为r ＝1，故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2－2x ＋y 2＝0.6．B [解析] 抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p 2，将其代入y 2＝2px ，得y 2－2py －p 2＝0，所以y 1＋y 22＝p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x ， 准线方程为x ＝－1.7．C [解析] 方法1：∵抛物线的准线方程为x ＝－p2，圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝16.∴3－⎝⎛⎭⎫－p2＝4，∴p ＝2.方法2：作图可知，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切于点(－1,0)，所以－p2＝－1，解得p ＝2.8．C [解析] 由题意可知，焦点坐标为F (0,1)，准线方程为l ：y ＝－1.过点M 作MH ⊥l 于点H ，由抛物线的定义，得|MF |＝|MH |.∴|MA |＋|MF |＝|MH |＋|MA |，当C 、M 、H 、A 四点共线时，|MA |＝|MC |－1，|MH |＋|MC |有最小值，于是，|MA |＋|MF |的最小值为4－(－1)－1＝4.故选C.9．－14 [解析] 抛物线方程为x 2＝1a y ，故其准线方程是y ＝－14a ＝1，解得a ＝－14.10.324 [解析] 设抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，由B 为线段FA 的中点，所以B ⎝⎛⎭⎫p 4，1，代入抛物线方程得p ＝2，则B 到该抛物线准线的距离为p 4＋p 2＝3p 4＝324.11．±22 [解析] 过点A (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)，与抛物线方程联立后消掉y 得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，有x 1＋x 1＝4－2k 2k 2，x 1x 2＝1.因为线段MN 的中点在直线x ＝3上，所以x 1＋x 2＝6，即4－2k 2k 2＝6，解得k ＝±22.而此时k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0的判别式大于零，所以k ＝±22.12．[解答] (1)由已知，x ＝4不合题意．设直线l 的方程为y ＝k (x －4)．由已知，抛物线C 的焦点坐标为(1,0)，因为点F 到直线l 的距离为3，所以|3k |1＋k 2＝3，解得k ＝±22，所以直线l 的斜率为±22.(2)证明：设线段AB 中点的坐标为N (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线MN 的斜率为y 0x 0－4，因为AB 不垂直于x 轴，所以直线AB 的斜率为4－x 0y 0，直线AB 的方程为y －y 0＝4－x 0y 0(x －x 0)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝4－x 0y 0(x －x 0)，y 2＝4x ，消去x ，得⎝⎛⎭⎫1－x 04y 2－y 0y ＋y 20＋x 0(x 0－4)＝0， 所以y 1＋y 2＝4y 04－x 0， 因为N 为AB 中点，所以y 1＋y 22＝y 0，即2y 04－x 0＝y 0，所以x 0＝2，即线段AB 中点的横坐标为定值2. 【难点突破】13．[解答] (1)证明：由已知F ⎝⎛⎭⎫p2，0，设A (x 1，y 1)，则y 21＝2px 1，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋p 4，y 12，圆心到y 轴的距离为2x 1＋p 4，圆的半径为|FA |2＝12×⎪⎪⎪⎪x 1－⎝⎛⎭⎫－p 2＝2x 1＋p 4，所以，以线段FA 为直径的圆与y 轴相切． (2)解法一：设P (0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由FA →＝λ1AP →，BF →＝λ2FA →，得⎝⎛⎭⎫x 1－p 2，y 1＝λ1(－x 1，y 0－y 1)，⎝⎛⎭⎫p 2－x 2，－y 2＝λ2⎝⎛⎭⎫x 1－p 2，y 1，所以x 1－p2＝－λ1x 1，y 1＝λ1(y 0－y 1)，p 2－x 2＝λ2⎝⎛⎭⎫x 1－p 2，y 2＝－λ2y 1， 由y 2＝－λ2y 1，得y 22＝λ22y 21.又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2， 所以x 2＝λ22x 1.代入p 2－x 2＝λ2⎝⎛⎭⎫x 1－p 2，得p 2－λ22x 1＝λ2⎝⎛⎭⎫x 1－p 2，p 2(1＋λ2)＝x 1λ2(1＋λ2)， 整理得x 1＝p2λ2，代入x 1－p 2＝－λ1x 1，得p 2λ2－p 2＝－λ1p2λ2，所以1λ2＝1－λ1λ2，因为λ1λ2∈⎣⎡⎦⎤14，12，所以λ2的取值范围是⎣⎡⎦⎤43，2.解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB ：x ＝my ＋p2，将x ＝my ＋p2代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2(*)． 由FA →＝λ1AP →，BF →＝λ2FA →，得 ⎝⎛⎭⎫x 1－p 2，y 1＝λ1(－x 1，y 0－y 1)，⎝⎛⎭⎫p 2－x 2，－y 2＝λ2⎝⎛⎭⎫x 1－p 2，y 1，所以x 1－p2＝－λ1x 1，y 1＝λ1(y 0－y 1)， p 2－x 2＝λ2⎝⎛⎭⎫x 1－p 2，y 2＝－λ2y 1， 将y 2＝－λ2y 1代入(*)式，得y 21＝p 2λ2，所以2px 1＝p 2λ2，x 1＝p2λ2.代入x 1－p 2＝－λ1x 1，得1λ2＝1－λ1λ2，因为λ1λ2∈⎣⎡⎦⎤14，12，所以λ2的取值范围是⎣⎡⎦⎤43，2.。
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课时作业(九) [第9讲 函数图象及性质的综合应用][时间：45分钟 分值：100分]基础热身 1．[2011·郑州模拟] 若函数f (x )是R 上的减函数，且f (x )的图象经过点A (0,3)，B (3，－1)，则不等式|f (x ＋1)－1|<2的解集是( )A ．{x |0<x ≤2}B ．{x |0≤x <2}C ．{x |－1<x <0}D ．{x |－1<x <2} 2．[2011·山东卷] x －x 2的图象大致是( )图K9－13．已知方程2x ＋x ＝0的实根为a ，log 2x ＝2－x 的实根为b ，log 12x ＝x 的实根为c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b >c >aB ．c >b >aC ．a >b >cD ．b >a >c4．[2011·豫南九校联考] 将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位，若所得的图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 能力提升 5．[2011·湖南“六校联考”] 已知图K9－2①是函数y ＝f (x )的图象，则图K9－2②中的图象对应的函数可能是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (－|x |) 6．[2011·哈密模拟] 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图K9－3，则b 的取值范围为( )A ．b <0B ．b >0C ．b ≤0D ．b ≥0 7．[2011·淮南一模] 已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a ＞b )的图象如图K9－4所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )－8．为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( ) A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度9．已知定义域为R 的函数f (x )在[2，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋2)为偶函数，则( )A ．f (－1)<f (0)<f (2)<f (3)B ．f (－1)<f (3)<f (0)<f (2)C ．f (－1)<f (0)<f (3)<f (2)D ．f (2)<f (3)<f (0)<f (－1)10．[2011·郑州模拟] 如图K9－6，正方形ABCD 的顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，顶点C 、D 位于第一象限，直线l ：x ＝t (0≤t ≤2)将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为f (t )，则函数S ________(填序号)．图K9－11．[2011·宁化质检] 已知定义在[0，＋∞)上的函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象如图K9－8所示，则不等式f (x )·g (x )>0的解集是________．－812．从今年的x (x ∈[1,8)年内起，小李的年薪y (单位万元)与年数x 的关系是y ＝2＋0.2x ，小马的年薪与年数x 的关系是y ＝0.5＋1.2x ，大约经过________年，小马的年薪超过小李．13．已知a >0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时均有f (x )<12，则实数a 的取值范围是________．14．(10分)如图K9－9，在第一象限内，矩形ABCD 三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log 22x ，y ＝x 12，y ＝－18x 2＋58x 的图象上，且矩形的相邻的边分别与两坐标轴平行．若A 点的纵坐标是2，求顶点D15．(13分)设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调增(或减)区间，f (x )的解析式(不必写推导过程)．难点突破16．(12分)已知二次函数y ＝g (x )的导函数的图象与直线y ＝2x 平行，且y ＝g (x )在x＝－1处取得最小值m －1(m ≠0)．设函数f (x )＝g (x )x .(1)若曲线y ＝f (x )上的点P 到点Q (0,2)的距离的最小值为2，求m 的值； (2)k (k ∈R )如何取值时，函数y ＝f (x )－kx 存在零点，并求出零点．课时作业(九)【基础热身】1．D [解析] 化简原不等式得－1<f (x ＋1)<3，又∵f (x )的图象经过A (0,3)，B (3，－1)，∴f (0)＝3，f (3)＝－1，∴f (3)<f (x ＋1)<f (0)，∵函数f (x )为减函数，∴0<x ＋1<3，－1<x <2.2．A [解析] 设f (x )＝2x －x 2，f (－1)＝－12<0，f (0)＝1>0，f (3)＝－1<0，f (5)＝7>0，故函数y ＝2x －x 2至少在区间(－1,0)，(0,3)，(3,5)内有三个变号零点，综合各个选项可知只有选项A 符合这个性质．故选A.3．A [解析] 利用图象确定函数交点．4．B [解析] 函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位得到f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋ωπ2＋φ＝sin(ωx ＋φ)的图象，与原图象重合，故ωπ2＝2k π，k ∈Z ，故ω不可能是6.【能力提升】5．C [解析] 由题图②知，图象对应的函数是偶函数，且当x <0时，对应的函数是y ＝f (x )，故选C.对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．6．A [解析] 解法一：观察f (x )的图象，可知函数f (x )的图象过原点，即f (0)＝0，得d ＝0，又f (x )的图象过点(1,0)，∴a ＋b ＋c ＝0①，又有f (－1)＜0，即－a ＋b －c ＜0②，①＋②得b ＜0.解法二：由图象知f (x )＝0有三根0,1,2，∴f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ＝ax (x －1)(x －2)＝ax 3－3ax 2＋2ax ，∴b ＝－3a ，∵a >0，∴b ＜0.7．A [解析] 设f (x )的零点为a ，b ，由图可知0<a <1，b <－1，则g (x )是一个减函数，可排除C 、D ，再根据g (0)＝1＋b <0，可排除B ，故正确选项为A.8．C [解析] 变换函数的解析式为y ＝lg(x ＋3)－1，只要把函数y ＝lg x 的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度即可．答案为C.9．C [解析] 函数y ＝f (x ＋2)为偶函数，图象关于y 轴对称，把这个函数图象向右平移2个单位即得到函数y ＝f (x )的图象，即函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称．由函数f (x )在[2，＋∞)上为减函数，则函数f (x )在(－∞，2]上为增函数．由f (3)＝f (4－3)＝f (1)，故f (－1)<f (0)<f (3)<f (2)，正确选项为C.10．③ [解析] 当0<t ≤22时，f (t )＝12·t ·2t ＝t 2，当22<t ≤2时，f (t )＝1－12·(2－t )·2(2－t )＝－t 2＋22t －1，即函数f (t )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22上是开口向上的抛物线，在⎝ ⎛⎭⎪⎫22，2上是开口向下的抛物线，故填③.11.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪0<x <12或1<x <2或x >2 [解析] 由题图可知，当0<x <12时，f (x )>0，g (x )>0； 当12<x <1时，f (x )>0，g (x )<0； 当1<x <2时，f (x )<0，g (x )<0； 当x >2时，f (x )>0，g (x )>0.因此f (x )·g (x )>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪0<x <12或1<x <2或x >2.12．6 [解析] 画出函数图象，从图象上观察知道在这8年内先是小马的年薪低，中间超过了小李．令函数f (x )＝2＋0.2x －0.5－1.2x ＝1.5＋0.2x －1.2x ，则f (5)＝2.5－2.48832>0，f (6)＝2.7－1.26＝2.7－2.98598<0，根据函数的零点定理，存在x 0∈(5,6)，当x >x 0时，0.5＋1.2x >2＋0.2x ，由于x13.12≤a <1或1<a ≤2 [解析] 由题意可知a x >x 2－12在(－1,1)上恒成立，令y 1＝a x ，y 2＝x 2－12，由图象知：⎩⎨⎧a －1≥(－1)2－12，a 1≥1－12，a >0且a ≠1，∴12≤a <1或1<a ≤2.14．[解答] 显然，D 点的横坐标与A 点的横坐标相等，纵坐标与C 点的纵坐标相等．由于A 点在y ＝log 22x 的图象上，其纵坐标为2，所以横坐标为x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝12.要求C点的纵坐标，需要求其横坐标，而它的横坐标等于B 点的横坐标．因为B 点的纵坐标y B＝y A ＝2，所以x C ＝x B ＝4，从而y D ＝y C ＝12，故D ⎝⎛⎭⎫12，12.15．[解答] (1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得 f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的周期函数，从而得 f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π) ＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数且f (x ＋2)＝－f (x )， 得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]， 即f (1＋x )＝f (1－x )，故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．当－4≤x ≤4时，设f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4. (3)函数f (x )的单调递增区间为[4k －1,4k ＋1](k ∈Z )，单调递减区间为[4k ＋1,4k ＋3](k ∈Z )，f (x )＝⎩⎨⎧x －4k (4k －1<x ≤4k ＋1)，2＋4k －x (4k ＋1<x ≤4k ＋3)＝1－|x －(4k ＋1)|(4k －1<x ≤4k ＋3，k ∈Z )． 【难点突破】16．[解答] (1)设g (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则g ′(x )＝2ax ＋b ， 又g ′(x )的图象与直线y ＝2x 平行， ∴2a ＝2，a ＝1.又g (x )在x ＝－1处取最小值，∴－b2＝－1，b ＝2.∴g (－1)＝a －b ＋c ＝1－2＋c ＝m －1，c ＝m .f (x )＝g (x )x ＝x ＋mx ＋2，设P (x 0，y 0)，则|PQ |2＝x 20＋(y 0－2)2＝x 20＋⎝⎛⎭⎫x 0＋m x 02＝2x 20＋m 2x 20＋2m ≥22m 2＋2m ，∴22m 2＋2m ＝2，∴m ＝－1±2.(2)由y ＝f (x )－kx ＝(1－k )x ＋mx ＋2＝0， 得(1－k )x 2＋2x ＋m ＝0，(*)当k ＝1时，方程(*)有一解x ＝－m 2，函数y ＝f (x )－kx 有一个零点x ＝－m2；当k ≠1时，方程(*)有两解⇔Δ＝4－4m (1－k )>0，若m >0，k >1－1m，函数y ＝f (x )－kx 有两个零点x ＝－2±4－4m (1－k )2(1－k )＝1±1－m (1－k )k －1；若m <0，k <1－1m ，函数y ＝f (x )－kx 有两个零点x ＝－2±4－4m (1－k )2(1－k )＝1±1－m (1－k )k －1；当k ≠1时，方程(*)有一解⇔Δ＝4－4m (1－k )＝0，k ＝1－1m ，函数y ＝f (x )－kx 有一个零点x ＝1k －1.。