6.3不等式的证明(1--5)

七、放缩法
1、定义
欲证不等式A≤B，可通过适当放大或缩小， 欲证不等式A≤B，可通过适当放大或缩小，借助一 A≤B 或多个)中间量C作比较，使得A≤C C≤B同时 A≤C与 个(或多个)中间量C作比较，使得A≤C与C≤B同时 成立，由不等式的传递性知A≤B显然成立， A≤B显然成立 成立，由不等式的传递性知A≤B显然成立，这种方 法叫做放缩法。 法叫做放缩法。
至多n 至少n+1 n+1个 至多n-1个 至少n+1个
原结论词 反设词
有无穷多个 只有有限多个
存在唯一的 不存在或至少存在两个
对任意p 对任意p，使…恒成立 恒成立 至少有一个p 至少有一个p，使…不成立 不成立
例1、设a,b,c ∈ (0,1), 求证： 1 （1 − a)b,(1 − b)c,(1 − c)a不可能同时大于 4
2、证明思路
综合法的证题思路是由因导果， 综合法的证题思路是由因导果，也就是从已知 由因导果 的不等式出发， 的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的 不等式，直接推导出所要证的不等式。 不等式，直接推导出所要证的不等式。
3、重要不等式 a, b均为正数时，
（ ）、a + b ≥ 2 ab 1 （当且仅当a = b时取“=”） a+b 2 （2）、ab ≤ ( ) (当且仅当a = b时取“=”） 2
1 1 4 例1、已知a > b > c，求证： + ≥ a−b b−c a−c
例2、设a > b > c且a + b + c = 0 求证: b − ac < 3a
2
典型练习
1、 若 a、 b 均 为 正 数 , 求 证 : a +
b
b a 证明方法一： 证明方法一： Q a + b − ( a + b ) b a
例1、已知a,b,c,d是正数，求证： a,b,c,d是 a b c d 1< + + + <2 a +b+c b+c +d c +d +a d +a +b
1+ 例2、求证：
提示： 提示：
1 2
+
1 3
+⋅⋅⋅+
1 n
< 2 n， ∈ N ) (n
*
QБайду номын сангаас
1 k
=
2 2 k
<
2 k + k −1
= 2( k − k −1), k ∈ N
2 2 2
4、若a、b、c是不全相等得正数且abc=1, 是不全相等得正数且abc=1,
1 1 1 求证：a + b + c < + + a b c
5、已知是不全相等的正 数，且 a + b + c = 1, 1 (1 求证： ) ab + bc + ca < 3 1 1 1 ( 2)( − 1)( − 1)( − 1) > 8 a b c
均为正数， 例、已知a,b,c均为正数，证明下列不等式 已知 均为正数 证明下列不等式:
1 a(b + c ) + b(a + c ) + c(a + b ) ≥ 6abc 、
2 2 2 2 2 2
bc ca ab 2、 + + ≥ a + b + c a b c
3、已知a, b, c ∈ R, 求证： a + b + c ≥ ab + bc + ca.
比 较 法
≥ a + b.
a a + b b − ab ( a + b ) = ab
a a + b b − (a b + b a ) = ab (a − b)( a − b ) = ab
2
( a − b) ( a + b) = ≥0 ab
a b ∴ + ≥ a+ b b a
证明方法二： 证明方法二：
由面积关系即得： 由面积关系即得：
aB + bC + cA < (a + A)2 = k 2
小结： 小结： 换元法、放缩法、反证法、 换元法、放缩法、反证法、 构造法、 构造法、判别式法的应用 作业： 作业： 三维设计》 《三维设计》活页作业九
（1）比较法 ）
一、比较法
比较法是证明不等式最基本的方法也是最常用的方法。 比较法是证明不等式最基本的方法也是最常用的方法。
两种形式
①作差法： 作差法：
a > b ⇔ a − b > 0,a < b ⇔ a − b < 0;
a a 作商法： ②作商法： 当b > 0时,a > b ⇔ > 1,a < b ⇔ < 1; b b
a b a a +b b Q + = b a ab
( a + b )(a − ab + b) = ab ( a + b )( 2 ab − ab ) ≥ ab
综 合 法
= a+ b
a b ∴ + ≥ a+ b b a
证明方法三： 证明方法三：要证 : a + b ≥ a + b b a a b 只需证 : + − ( a + b) ≥ 0 分 b a 析 a a + b b − ab ( a + b ) 即证 : ≥0 法
2、注意 考虑二次项系数是否可以为零
1 x + x +1 3 1 ≤ 例 、求证： ≤ 2 2 x +1 2
2
六、反证法
1、定义
从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾， 从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论 的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
几点说明
①作较法证明不等式的思路:作差(商),变形,判断； 作较法证明不等式的思路:作差( ),变形,判断； 变形 ②作差法证题时, 通常是进行因式分解 利用各因式的符 差法证题时 通常是进行因式分解,利用各因式的符 号进行判断,或进行配方 利用非负数的性质进行判断； 或进行配方,利用非负数的性质进行判断 号进行判断 或进行配方 利用非负数的性质进行判断； 通常要考虑式子的正负,尤其是作为除 ③作商法证题时,通常要考虑式子的正负 尤其是作为除 商法证题时 通常要考虑式子的正负 式式子的值必须确定符号;证幂指数 证幂指数、 式式子的值必须确定符号 证幂指数、根式或乘积不等 式时常用比商法。 式时常用比商法。
2、证明思路
分析法的证题思路是执果索因，也就是从求证的不 分析法的证题思路是执果索因，也就是从求证的不 执果索因 等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件， 等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把 证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的 问题，如果能够肯定这些条件都已具备， 问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可 以判定所证的不等式成立。这种方法在探求不等式 以判定所证的不等式成立。 的证明思路时是最有效的方法之一。 的证明思路时是最有效的方法之一。
2、证明思路
利用放缩法证明不等式， 利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特征及已知条 采取舍掉式中一些正项或负项， 件，采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩 小分子、分母、把式子中的某些项换以较大或较小的数， 小分子、分母、把式子中的某些项换以较大或较小的数，从 而达到证明不等式的目的． 而达到证明不等式的目的．此类证法是一种技巧性较强的不 等变形，必须时刻注意放缩的跨度，进行恰当地放缩， 等变形，必须时刻注意放缩的跨度，进行恰当地放缩，任何 不适宜的放缩(放的过大或过小 都会导致推证的失败。 放的过大或过小)都会导致推证的失败 不适宜的放缩 放的过大或过小 都会导致推证的失败。
练习：课本 练习：课本P15 小结： 小结：综合法的步骤 作业： 三维设计》 作业：《三维设计》作业七
不等式的证明（3） 不等式的证明（ ） 分析法
三、分析法
1、定义
从求证的不等式出发， 从求证的不等式出发，层层推出使这个不等式成 立的充分条件，直到得到一个明显成立的不等式 立的充分条件， 或一个比较容易证明的不等式为止， 或一个比较容易证明的不等式为止，这种证明方 法叫做分析法。 法叫做分析法。
2、证明思路
反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的， 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的， 在使用反证法时， 在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相 异的结论，缺少任何一种可能， 异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全 的．
大于（ 原结论词 大于（>） 反设词 不大于 （≤） 小于（ 小于（<） 不小于 （≥） 都是 不都是 都不是 至少有一个是 至少n 至少n个 至多n 至多n个
ab
a a + b b − (a b + b a ) 只需证 : ≥0 ab
即证 : (a − b )( a − b ) ≥0 ab
( a − b )2 ( a + b ) 即证 : ≥ 0, 成立 ab
a b ∴ + ≥ a+ b b a
2、设a,b ∈ R, 且a + b ≥ 1 求证：a + b + 3ab ≥ 1.
求证： 例1、求证： x + 3 > 3 x
2
例2、已知 a , b, m都是正数，并且 a < b，求证： a+m a > , 并举例说明其物理意义 。 b+m b