高考数学二轮复习考前回扣8推理与证明复数算法学案

8.推理与证明、复数、算法1．归纳推理和类比推理共同点：两种推理的结论都有待于证明．不同点：归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理． [问题1] (1)若数列{a n }的通项公式为a n ＝1(n ＋1)2(n ∈N *)，记f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )＝________.(2)若数列{a n }是等差数列，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，则数列{b n }也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为__________________．答案 (1)n ＋22n ＋2(2)d n ＝n c 1·c 2·…·c n2．证明方法：综合法由因导果，分析法执果索因．反证法是常用的间接证明方法，利用反证法证明问题时一定要理解结论的含义，正确进行反设．[问题2] 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设_______________________． 答案 三角形三个内角都大于60° 3．复数的概念对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，a 叫做实部，b 叫做虚部；当且仅当b ＝0时，复数a ＋b i(a ，b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数a ＋b i 叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，复数a ＋b i 叫做纯虚数． [问题3] 若复数z ＝lg(m 2－m －2)＋i·lg(m 2＋3m ＋3)为实数，则实数m 的值为________． 答案 －24．复数的运算法则与实数运算法则相同，主要是除法法则的运用，另外复数中的几个常用结论应记熟： (1)(1±i)2＝±2i； (2)1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i＝－i ；(3)i 4n ＝1；i4n ＋1＝i ；i4n ＋2＝－1；i4n ＋3＝－i ；i 4n ＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝0；(4)设ω＝－12±32i ，则ω0＝1；ω2＝ω；ω3＝1；1＋ω＋ω2＝0.[问题4] 已知复数z ＝1－3i3＋i ，z 是z 的共轭复数，则|z |＝________.答案 15．(1)循环结构中几个常用变量①计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i ＝i ＋1. ②累加变量：用来计算数据之和，如s ＝s ＋i . ③累乘变量：用来计算数据之积，如p ＝p ×i .(2)处理循环结构的框图问题，关键是认清终止循环结构的条件及循环次数． [问题5] 执行如图的流程图，则输出S 的值为________．答案 2解析 由算法知，记第k 次计算结果为S k ，则有S 1＝11－2＝－1，S 2＝11－(－1)＝12，S 3＝11－12＝2，S 4＝11－2＝－1＝S 1，因此{S k }是周期数列，周期为3，输出结果为S 2 016＝S 3＝2.易错点1 复数概念不清例1 设复数z 1＝1－i ，z 2＝a ＋2i ，若z 2z 1的虚部是实部的2倍，则实数a 的值为________． 易错分析 本题易出现的问题有两个方面，一是混淆复数的实部和虚部；二是计算z 2z 1时，错用运算法则导致失误．解析z 2z 1＝a ＋2i 1－i ＝(a ＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝a －2＋(2＋a )i 2， 故该复数的实部是a －22，虚部是a ＋22.由题意，知a ＋22＝2×a －22，解得a ＝6. 答案 6易错点2 循环结束条件判断不准例2 如图所示是一算法的流程图，若此程序的运行结果为S ＝720，则在判断框中应填入关于k 的判断条件是______________．易错分析 本题可以按照开始的输入值、程序执行的规律和输出结果进行综合解决．容易出错的就是不清楚这个判断条件是什么，本题是当不满足判断框中的条件时结束循环，当判断框中的条件满足时执行循环，故应该从k ＝10开始按照递减的方式逐步进行，直到S 的输出结果为720.解析 第一次运行结果为S ＝10，k ＝9， 第二次运行结果为S ＝10×9＝90，k ＝8； 第三次运行结果为S ＝720，k ＝7. 这个程序满足判断框的条件时执行循环， 故判断条件是k ≥8或k >7. 答案 k ≥8或k >7易错点3 类比不当例3 已知圆的面积S (R )＝πR 2，显然S ′(R )＝2πR 表示的是圆的周长：C ＝2πR .把该结论类比到空间，写出球中的类似结论：_________________________________________________. 易错分析 该题易出现的问题是从平面圆类比到空间球的结论时缺乏对应特点的分析，误以为是球的表面积的导数问题，而无法得到正确的结论．解析 平面图形的面积应该和空间几何体的体积问题类比；平面图形的周长应和空间几何体的表面积类比．所以半径为R 的球的体积为V (R )＝43πR 3，其导函数V ′(R )＝43×3πR 2＝4πR 2，显然表示的是球的表面积．所以结论是：半径为R 的球的体积为V (R )＝43πR 3，其导函数表示的是球的表面积：S ＝4πR 2.答案 半径为R 的球的体积为V (R )＝43πR 3，其导函数表示的是球的表面积：S ＝4πR 2易错点4 循环次数把握不准例4 执行下面的流程图，若P ＝0.8，则输出的n ＝________.易错分析 容易陷入循环运算的“黑洞”，出现运算次数的偏差而致错． 解析 顺着框图箭头的走向列举出有关的输出数据，有S ：0＋12＝12，12＋122＝34，34＋123＝78＝0.875. n ：2,3,4.“0.875<0.8”判断为“N”，输出n ＝4. 答案 41．(2018·江苏姜堰中学等三校联考)若复数z 1＝3－2i ，z 2＝1＋a i(a ∈R )，z 1·z 2为实数，则a ＝________. 答案 23解析 因为z 1·z 2＝3＋2a ＋(3a －2)i 为实数，所以a ＝23.2．已知复数z 1＝1＋3i ，z 2＝3＋i(i 为虚数单位)．在复平面内，z 1－z 2对应的点在第____象限． 答案 二解析 z 1－z 2＝(1－3)＋(3－1)i ＝－2＋2i ， 从而z 1－z 2对应的点在第二象限． 3．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若6＋a b ＝6a b(a ，b 均为实数)．请推测a ＝________，b ＝________.答案 6 35解析 由前面三个等式，发现被开方数的整数与分数的关系：整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测6＋a b中，a ＝6，b ＝62－1＝35.4.如图，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e ＝________.答案5＋12解析 设B (0，b )，F (－c,0)，A (a,0)， 在“黄金双曲线”中，∵FB →⊥AB →，∴FB →·AB →＝0，∴b 2＝ac ， 而双曲线中b 2＝c 2－a 2，∴ac ＝c 2－a 2， 等号两端同除以a 2，得e ＝5＋12. 5．已知P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，过P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得2yy ′＝2p ，则y ′＝p y，所以过P 的切线的斜率k ＝p y 0.类比上述方法求出双曲线x 2－y 22＝1在P (2，2)处的切线方程为________． 答案 2x －y －2＝0解析 将双曲线方程化为y 2＝2(x 2－1)，类比上述方法两边同时对x 求导得2yy ′＝4x ，则y ′＝2x y ，即过P 的切线的斜率k ＝2x 0y 0，由于P (2，2)，故切线斜率k ＝222＝2，因此切线方程为y －2＝2(x －2)， 整理得2x －y －2＝0.6．如图是一个算法的流程图，则输出k 的值是________．答案 5解析 当k ＝1，S ＝1时，经过第一次循环得S ＝2＋1＝3<80，k ＝2；经过第二次循环得S ＝2×3＋2＝8<80，k ＝3；经过第三次循环得S ＝2×8＋3＝19<80，k ＝4，经过第四次循环得S ＝2×19＋4＝42<80，k ＝5；经过第五次循环得S ＝2×42＋5＝89>80，退出循环，此时k ＝5. 7．如图是一个算法的伪代码，则输出的i 值为________．答案 5解析 由算法语句知，算法的功能是求满足S ＝9－(1＋2＋3＋…＋i )<0的最小正整数i ＋1的值，∵S ＝9－(1＋2＋3)＝3>0，S ＝9－(1＋2＋3＋4)＝－1<0，∴输出的i 值为5.8．执行如图所示的流程图，输出的结果为________．答案3解析 该流程图的输出结果为式子S ＝sin π3＋sin 2π3＋sin 3π3＋…＋sin 2 011π3＋sin2 012π3的值， 由于sin π3＝32，sin 2π3＝32，sin 3π3＝0，sin 4π3＝－32，sin 5π3＝－32，sin6π3＝0，所以sin π3＋sin 2π3＋sin 3π3＋sin 4π3＋sin 5π3＋sin 6π3＝0，因此S ＝sin π3＋sin 2π3＋sin 3π3＋…＋sin 2 011π3＋sin 2 012π3＝0×335＋32＋32＝ 3.9．若数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3＋5，a 3＝7＋9＋11，a 4＝13＋15＋17＋19，…，则a 10＝________. 答案 1 000解析 前9项共使用了1＋2＋3＋…＋9＝45个奇数，a 10由第46个到第55个，共10个奇数的和组成，即a 10＝(2×46－1)＋(2×47－1)＋…＋(2×55－1)＝10×(91＋109)2＝1 000.10．某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4堆最底层(第一层)分别按如图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f (n )表示第n 堆的乒乓球总数，则f (n )＝________.(答案用n 表示)答案n (n ＋1)(n ＋2)6解析 由图形观察可知，f (1)＝1，f (2)＝4，f (3)＝10，f (4)＝20，….故下一堆的个数是上一堆个数加上其第一层的个数，即f (2)＝f (1)＋3；f (3)＝f (2)＋6；f (4)＝f (3)＋10；…；f (n )＝f (n －1)＋n (n ＋1)2.将以上n －1个式子相加，可得f (n )＝f (1)＋3＋6＋10＋…＋n (n ＋1)2＝12[(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n )] ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n (n ＋1)(2n ＋1)＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)(n ＋2)6.。