《高等数学》单元试题
(完整版)高等数学测试题及解答(分章)
第一单元 函数与极限一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sinlim 0=→xx kx 成立的k 为 。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、____________22lim22=--++∞→x x n 。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
高数笔记单元测试题及答案
高数笔记单元测试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 0 \) 处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 无定义2. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是：A. 0B. 1C. 2D. 无穷大3. 函数 \( y = \ln x \) 的定义域是：A. \( (-\infty, 0) \)B. \( (0, +\infty) \)C. \( (-\infty, +\infty) \)D. \( [0, +\infty) \)4. 曲线 \( y = x^3 \) 在 \( x = 1 \) 处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 275. 函数 \( f(x) = 3x - 2 \) 的反函数是：A. \( x = 3y - 2 \)B. \( y = \frac{x + 2}{3} \)C. \( y = 3x + 2 \)D. \( x = \frac{y + 2}{3} \)6. 定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是：A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{4} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. 17. 函数 \( y = \sin x \) 的周期是：A. \( 2\pi \)B. \( \pi \)C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \frac{1}{2} \)8. 函数 \( y = e^x \) 的导数是：A. \( e^x \)B. \( e^{-x} \)C. \( x \cdot e^x \)D. \( 1 \)9. 微分 \( dy \) 与 \( dx \) 的关系是：A. \( dy = f'(x) dx \)B. \( dy = f(x) dx \)C. \( dx = f'(x) dy \)D. \( dx = f(x) dy \)10. 若 \( \int f(x) dx = F(x) + C \)，则 \( \int f'(x) dx \) 是：A. \( f(x) \)B. \( f'(x) \)C. \( F(x) \)D. \( C \)答案：1. A 2. B 3. B 4. C 5. D 6. B 7. A 8. A 9. A 10. A二、简答题（每题5分，共10分）1. 什么是泰勒级数？请给出 \( e^x \) 在 \( x = 0 \) 处的泰勒展开式。
高等数学试题及答案解析
高等数学试题及答案解析一、选择题1. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3在区间[0, 5]上的最大值是：A. 3B. 5C. 7D. 9答案：D解析：首先求导f'(x) = 2x - 4，令f'(x) = 0得到x = 2，这是函数的极值点。
计算f(2) = 2^2 - 4*2 + 3 = -1。
接下来检查区间端点，f(0) = 3，f(5) = 5^2 - 4*5 + 3 = 9。
因此，最大值为f(5) = 9。
2. 若f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(x)等于：A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) + cos(x)D. -sin(x) - cos(x)答案：A解析：根据导数的基本公式，sin(x)的导数是cos(x)，cos(x)的导数是-sin(x)。
因此，f'(x) = cos(x) - sin(x)。
二、填空题1. 求不定积分∫(2x + 1)dx = __________。
答案：x^2 + x + C解析：根据不定积分的基本公式，∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n ≠ -1。
将n = 1代入公式，得到∫(2x + 1)dx = ∫2x dx + ∫1 dx = x^2 + x + C。
2. 若y = ln(x)，则dy/dx = __________。
答案：1/x解析：对自然对数函数求导，根据对数函数的导数公式，ln(x)的导数是1/x。
三、解答题1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2的极值点。
答案：极值点为x = 3。
解析：首先求导f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
令f'(x) = 0，解得x = 1 和 x = 3。
计算二阶导数f''(x) = 6x - 12，代入x = 1得到f''(1) = -6 < 0，说明x = 1是极大值点；代入x = 3得到f''(3) = 18 > 0，说明x = 3是极小值点。
高等数学试题(2)
《系 专业 班级 姓名 学号高等数学试题(2)公共模块1（80分）一．判断题（每题1分，共8分）1、若f(x)在0x 处连续，则f(x)在点0x 处左右极限存在且相等。
( √)2、函数商的导数等于函数导数的商。
( ╳ )3、在自变量的同一个变化过程中，如果f(x)为无穷大，则)(1x f 为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，则)(1x f 为无穷大。
( ╳ )4、函数在定义域内的最大值一定为极大值。
( ╳ )5、两个可导且相差一常数的函数是同一函数的原函数。
( √ )6、奇函数在对称区间的定积分为0。
( √ )7、连续函数在闭区间[a,b]上的定积分一定存在。
( √ )8、⎰=')())((x f dx x f ( ╳ ) 二．填空题（每题2分，共16分）1、函数)53tan(+=x y 的复合过程为： y= tanu u= 3x+52、=→xx x sin lim13、x y cos =，则()=5y-sinx4、 d 3x = 2x dx d arctanx+c =211x+ dx5、⎰=11dx x26、在直线运动中，物体的加速度a 与速度v 的关系是： v a = 三、选择题（每题2分，共16分）1、设f （sinx ）=cos2x ，则f （x ）= [ A ] A.2x 2-1 B. x 2-2x+1 C. 2x 2+1 D. 1- 2x 22、)(lim )(lim x f x f ax ax +-→→=处极限存在的一个是函数在点a x = [ A ]A ．充要条件 B.充分条件 C.必要条件 D.无关条件3、当x →∞时，xx 1sin是 [ D ]A.无穷小量B.无穷大量C.无极限D.有极限为14、.函数x e x f =)(，则=')1(f [ A ] A.e B.e 1- C.2e D.-2e 1-5、若='⎰-dx x f x f e x )(,)(则的一个原函数是 [ C ]A.x e --B. c e x +-C. -c e x +-D. x e - 6、函数的单调增区间为x x f ln )(= [ B ]A.(+∞,e )B.( +∞,0)C.(0,e)D.(1,e)7、微分方程0sin 2=+-'''x y y 的阶数为： [ B ] A.1 B.2 C.0 D.38、下列积分等于零的是 [ B ] A.xdx x cos 211-⎰ B.xdx x sin 211-⎰ C.dx x x )1(211--⎰C.dx x e x x)(211+-⎰三．解答题一（每题5分，共30分）1、 求极限2sin limxtdt xx ⎰→解：该题用洛比塔法则=()''⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰→200sin lim xtdt x x -----------------------------2分 =xx x 2sin lim 0→ -----------------------------2分=21 -----------------------------1分2、函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥+=03sin 02)(x axxx x x f ，在x=0处连续，求a解：()200=+f -----------------------------2分()af 300=- -----------------------------2分所以32=a -----------------------------1分2、 求不定积分⎰+dx x x 1sin cos解： =x d x sin 1sin ⎰+-----------------------------2分 =()c x ++231sin 32-----------------------------3分3、 求反常积分dx xe x⎰+∞-02解：2lim22xdeAxA ⎰-+∞→=-----------------------------2分⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+∞→2lim210x e AA -----------------------------2分=21-----------------------------1分四．解答题二（每题6分，共12分）1、解微分方程02=+'yxyyxdxdy 2-=-----------------------------2分cxydx x ydy +-=-=32322-----------------------------4分1、 求函数523123+-=x x y 的极大值和极小值。
高等数学试题及答案大全
高等数学试题及答案大全一、选择题1. 下列函数中，不是周期函数的是（）。
A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)2. 函数f(x) = x^2 + 3x - 2在区间[-5, 2]上的最大值是（）。
A. 0B. 3C. 4D. 5二、填空题1. 若函数f(x) = 2x - 3在x = 1处的导数为5，则原函数在x = 1处的值为______。
2. 曲线y = x^3 - 2x^2 + x在x = 2处的切线斜率为______。
三、解答题1. 求函数f(x) = ln(x) + 1的导数，并说明其在x = e处的导数值。
2. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求其极值点。
四、证明题1. 证明函数f(x) = x^3在R上的单调性。
2. 证明等差数列的前n项和公式S_n = n(a_1 + a_n)/2。
五、应用题1. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 3x + 200，销售价格为P(x) = 50 - 0.05x，其中x表示产品数量。
求该工厂的盈利函数，并求出其盈利最大时的产品数量。
2. 一个圆的半径为r，求其面积与周长的比值。
答案：一、选择题1. C解析：函数y = e^x不是周期函数，其他选项都是周期函数。
2. D解析：函数f(x) = x^2 + 3x - 2的导数为f'(x) = 2x + 3，令其等于0，解得x = -3/2，但x = -3/2不在区间[-5, 2]内。
检查区间端点，f(-5) = -8，f(2) = 5，因此最大值为5。
二、填空题1. -1解析：由f'(x) = 2，且f'(1) = 5，可得f(1) = f'(1) * (1 - 0) + f(0) = 5 + f(0)，又因为f(0) = -3，所以f(1) = 5 - 3 = 2。
2. -4解析：由y' = 3x^2 - 4x + 1，代入x = 2，得y' = 3 * 2^2 - 4 * 2 + 1 = 12 - 8 + 1 = 5。
【经典期末卷】大学高数(下)期末单元测试卷及详细解答
学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 审题： 审批： ------------------------------------------------ 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- （答题不能超出密封装订线）班级（学生填写）： 姓名： 学号： ---------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封--------------------------- 线 ------------------------------------------------ （答题不能超出密封线）4．求方程y y y y '='+''2)(的通解．(4分)5. 求微分方程 2d 22d x yxy xe x -+=的通解。
(4分)6. 求微分方程09422=+y dxyd 满足初始条件23,20====x x dxdy y的特解。
（4分）班级（学生填写）： 姓名： 学号： ------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封--------------------------- 线 ------------------------------------------------ （答题不能超出密封线）)7. 求x e y dx dy-=+微分方程的通解。
(4分)8. 求微分方程的一条积分曲线，使其在原点处与直线相切. (4分)9. 求微分方程x y y x sin =+'满足0)(=πy 的特解．(4分)10. 求微分方程430,(0)6,(0)10y y yy y ''''-+===的特解.(4分)11. 求微分方程0)(22=-+xydy dx y x 的通解。
高数第一章测试题
高数第一章测试题一、选择题1. 极限的定义中，ε的值可以是（）。
A. 任意正实数B. 固定正实数C. 非负整数D. 正整数2. 函数f(x)在x=0处连续的充要条件是（）。
A. 有定义B. 极限存在C. 极限值等于函数值D. 左右极限相等3. 下列函数在x=0处不可导的是（）。
A. y = x^2B. y = sin(x)C. y = 1/xD. y = e^x4. 定积分的几何意义是（）。
A. 曲线与x轴所围成的面积B. 曲线与y轴所围成的面积C. 曲线与直线y=a所围成的面积D. 曲线与直线x=a所围成的面积5. 微分的物理意义是（）。
A. 速度B. 加速度C. 位移D. 路程二、填空题1. 极限lim(x→0) (sin(x) / x) 的值为______。
2. 函数y = 2x在x=2处的导数为______。
3. 定积分∫(0,1) x^2 dx 的值为______。
4. 微分d(y) = (2x + 3)dx，对应的原函数是______。
5. 曲线y = x^3 + 2x在x=1处的切线斜率为______。
三、计算题1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1在x=1处的导数。
2. 计算极限lim(x→∞) (1 + 1/x)^x。
3. 求定积分∫(0,2) e^x dx。
4. 求微分d(y) = (x^2 + 3x)e^x dx的原函数。
5. 求曲线y = 2x^3 - 3x^2在x=-1处的切线方程。
四、应用题1. 一个物体的速度v(t) = 3t^2 - 2t + 1，求在时间t=2时的速度和加速度。
2. 一块矩形土地的长为x米，宽为(x-10)米，土地的周长为60米，求矩形土地的面积。
3. 一个圆的半径以每秒0.5厘米的速度增长，如果初始半径为2厘米，求10秒后圆的面积。
4. 一个水箱的容积V(x) = x^2 - 4x + 5，现在水箱中有水x^2 - 2x + 3立方米，水面高度为h米，求水箱中水的深度。
高等数学第一章试题库
第一章试题库第一部分基础练习题一、选择题1.下列数列收敛的是()。
A.sin n x n = B.1sin n x n n = C.1ln n x n = D.1(1)n n-+2.0()f x +和0()f x -都存在是函数()f x 在0x x =处有极限的（）.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件3.下列函数中，相同的是（）.A.2()lg f x x =与()2lg g x x =B.()f x =()g x =C.()f x x =与()g x =D.()arcsin f x x =与()arcsin()g x x π=-4.设函数()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则（）是奇函数。
A.[()]f f x B.[()]g g x C.[()]f g x D.[()]g f x 5.下列变量中是无穷小量的是（）A.1ln(1)1(0)x x +-→B.11sin ()x x x→∞C.()122x x →- D.11(0)x e x -→6.函数()cos f x x x =（）A.x →∞时为无穷大量 B.x →∞时极限存在C.在(,)-∞+∞内有界 D.在(,)-∞+∞内无界7., 1, n n n x n n⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，当n →+∞时{}n x 是()A.无穷大量B.无穷小量C.有界变量D.无界变量8.下列关于无穷小的说法中，错误的是（）A.有限个无穷小的乘积仍是无穷小B.无穷小与有界函数的乘积是无穷小C.两个无穷小的商仍是无穷小D.有限个无穷小的代数和仍是无穷小9.当x →∞时，函数()sin f x x x =是()。
A．无穷大量B．无穷小量C．无界函数D．有界函数10.下列函数在自变量的变化过程中为无穷小量的是（）。
A )0(sin ln →x xxB )0(1→x e xC )1()1(12→-x x D)0(cot →x x 11.设45)(,0,0,)(2-=⎪⎩⎪⎨⎧<≥=x x g x x x x x f ，则=)]0([g f ()A.16-B.4-C.4D.1612.已知(21)f x -的定义域为[0,1],则()f x 的定义域为（）．A．[1/2,1]B．[-1,1]C．[0,1]D．[-1,2]13.下列各式计算正确的是()A.sin lim1x xx →∞= B.01lim sin 1x x x→= C.1lim sin1x x x→∞= D.011lim sin 1x xx→=14.函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<+=<<-+=2020022)(2x x x x x x f 的定义域是()A．)2,2(-B．]0,2(-C．]2,2(-D．(0,2]15.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=010001sin )(x e x x x x f x 则=→)(lim 0x f x ()A．1B．0C．1-D．不存在16.下列函数在定义域内关于原点对称的是()A．22ln(1)x x +B．1xx +C．3x x e e -+D．ln(x +17.下列数列收敛的是（）.A.12,2,,(2),n ---L LB.135721,,,,,357921n n -+，L LC.1135721,,,,(1),357921n n n -----+L L ,D.1234,,,,(1),23451n n n ---+,L L 18.下列计算正确的的是（）.A.1lim(1)xx x e→∞+= B.01lim(1x x e x →+= C.1lim sin 1x x x →∞= D.sin lim 1x xx→∞=19.=-→xx x 21)1(lim （）A.21- B.e - C.21eD.20.22442lim ,313x ax x x x →∞-+=-+那么a 的值为（）A.1B.0C.2D.321.当0x →时，tan sin x x e e -与n ax 为等价无穷小，则().A．1,1a n ==B．1,22a n ==C．1,32a n ==D．1,44a n ==22.当0x →时，下列函数哪一个是其他三个的高阶无穷小（）.A.2xB.1cos x -C.tan x x -D.2ln(1)x +23.当0x →时，与2x 等价的无穷小量是（A.2ln(1)x + B.21xe - C.1cos x-1-24.当0→x 时,1是x 的（）.A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小25．当0→x 时，)2sin(3x x +与x 比较是（）．A．高阶无穷小B．等价无穷小C．同阶无穷小，但不是等价无穷小D．低阶无穷小26．设2, 01()2, >1x x f x x x -⎧<≤=⎨⎩，则1x =是该函数的()A.可去间断点B.跳跃间断点C.第二类间断点D 连续点27．设1sin , 0()1, 0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，则0x =是该函数的()A.可去间断点 B.跳跃间断点 C.第二类间断点 D.连续点28．0x =为函数1()sin f x x x=的（）A．可去间断点B．跳跃间断点C．振荡间断点D．无穷间断点29．函数1sin ,0()0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处（）A.无极限B.不连续C.连续D.以上都不对30．0x =是11()1x f x e =+的（）。
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《高等数学》单元考试卷
姓名： 学号： 成绩：
一、填空题：（每小题1.5分，共15分）
1、函数f （x ）=3x 的一个原函数为 ，全体原函数为 。
2、若f （x ）是g （x ）的一个原函数，则f （x ）与g （x ）的关系是 。
3、已知∫f （ax+b ）dx=F （ax+b ）+c ，（c 、a 、b 均为常数），则∫f （x ）dx= 。
4、⎰
X dx d
0costdt =
5、用定积分表示右图中阴影部分的面积A= 。
6 、微分方程中未知函数的 称微分方程的阶。
7、方程
dx
dy
=2x 表示的曲线通过点（1，4）的解为 ; 满足条件⎰=10
2ydx 的解为 。
8、比较大小 ：⎰
10
x 2
dx
⎰
1
x 4dx
二、选择题：（每小题2分，共20分） 1、下列等式中正确的一个是（ ）
A 、⎰=')()(x f dx x f
B 、[⎰=')(])(x f dx x f
C 、d[⎰=)(])(x f dx x f
D 、[⎰='')(])(x f dx x f 2、下列等式成立的是（ ）
A 、⎰+=c x xdx cos sin
B 、⎰++=
-c x dx x 1
1
1ααα C 、c Lna a dx a x x +=⎰ D 、⎰+=c x xdx sin cos 3、设∫f （x ）dx=Lnx+C ，那么∫xf （x ）dx=（ ）
A 、x+C
B 、Lnx+
C C 、21x 2+C
D 、x
1+C 4、下列等式中（ ）不是
x
1
的定积分。
A 、Ln x B 、Ln x +C C 、21Lnx 2+C D 、2
1
Ln （Cx ）2
5、下列等式中错误的是（ ）
A 、⎰
b
a [- f （x ）]dx+⎰=
b a
dx x f 0)( B 、⎰⎰=b a b
a
dt t f dx x f )()(
B 、⎰-=a
a
dx x f 0)( D 、⎰=a
a
dx x f 0)(
6、广义积分⎰
∞
+e
Lnx x dx
2
)(=（ ）
A 、0
B 、1
C 、-1
D 、发散
7、在下列因素中，不影响定积分⎰b
a
dx x f )(的值的因素是（ ）
A 、被积函数f （x ）
B 、被积表达式f （x ）dx
C 、积分区间[a ，b]
D 、积分变量x 8、方程（ ）是一阶线性微分方程
A 、dy+（x 2y+x 3）dx=0
B 、y '- y 3=0
C 、y '-Cosy=0
D 、3y '+yCosy=x
9、已知二阶齐次线性微分方程的两个特征根r 1=0 r 2= -1，它的微分方程是（ ） A 、0=+''y y B 、0=-''y y C 、0='+''y y D 、0='-''y y 10、右端不显含x 的方程),(y y f y '=''为了降价，令p y ='则y ''应变为（ ）才能代入方程求解。
A 、p y '+''
B 、dx dp y =
'' C 、dx
dp
p y ='' D 、dy dp p y =''
三、求解下列各积分：24分
1、dx x x
⎰
--2
33 2、dx e x ⎰
1
3+=x
3、xdx x ⎰-+44
32sin )cos 1(π
π 4、dx x 22
4-⎰
四、求下列微分方程的通解。
1、（1- x 2）y '+xy=1 6分 2、（e x+y -e x ）dx+（e x+y +e y ）dy=0 6分
2、x xe y y y =+'-''23 8分
五、应用题：
1、求由曲线y=x 2和曲线y 2=x 所围成的图形面积。
7分
2、求由椭圆22a x + 22
b
y =1围成的图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积。
7分
六、求满足等式f （x ）=x 3-4x+
⎰1
0)(4
3dx x f 的函数f （x ）。
7分。