北京市顺义一中2017-2018学年高二上学期期中数学(理)试题 Word版含答案

顺义一中2017-2018学年度第一学期期中考试高二数学试卷一、选择题：（本大题共有八道小题，每个小题只有一个正确答案，请将各题的正确答案填到下面相应的表格内，总分40分） 1. “,a b 是异面直线”是指（ ）A. a ⊂平面a ，b ⊂平面β且αβ⋂=∅B. a ⊂平面α，b ⊄平面αC. a ⊂平面α，b ⊂平面βD.a b ⋂=∅且a 不平行于b 2. 原点到直线250x y +-=的距离为（ ）A. 123. 直线210x ay +-=与(1)10a x ay --+=平行，则实数a 的值是（ ） A.12 B. 0 C. 12-或0 D. 12或0 4. 对两条不相交的空间直线a 和b ，必定存在平面α，使得（ ） A. ,a b αα⊂⊂B. ,//a b αα⊂C. ,a b αα⊥⊥D. ,a b αα⊂⊥5.已知直线l 的斜率k 满足11k -≤<，则它的倾斜角α的取值范围是（ ） A. 44ππα-<<B. 44ππα-≤<C. 04πα<<或34παπ<< D. 04πα≤<或34παπ≤<6. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若132,12a S ==，则6a 等于（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 147. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）A. 28+B. 30+C. 56+60125+8.三条直线123:0,:20,:5150l x y l x y l x ky -=+-=--=构成一个三角形，则k 的取值范围是（ ）A. k R ∈B. k R ∈且1,0k k ≠±≠C. k R ∈且5,10k k ≠±≠-D. k R ∈且5,1k k ≠±≠二、填空题：（本大题共6道小题，请把正确答案填在相应的横线处，总分30分）9. 点(,2)m 到直线:30l x y -+=m 的值为__________.10. 在正四面体ABCD 中，E 是BC 边的中点，则AE 与BD 所成角的余弦值为_________. 11. 已知三点(0,),(2,3),(4,5)A a B C a 在一条直线上，则实数a 的值是________，直线的倾斜角是__________.12. 已知直线l 过点(1,2)，且在两坐标轴的截距相等，则直线的方程是___________. 13. 给出下列：①如果αβ⊥，那么α内所有直线都垂直于β； ②如果,,l αγβγαβ⊥⊥⋂=，那么l γ⊥ ③若//,αββγ⊥，则αγ⊥④若,,a a b αβαβ⊥⋂=⊥，则b α⊥。

其中正确的序号是____________.14.已知平面上一点(5,0)M ，若直线上存在点P 使4PM =，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是_________________（填上所有正确答案的序号）。

①1y x =+； ②2y =； ③43y x =三、解答题：（本小题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

） 15.（本小题共13分）已知直线l 与直线4350x y -+=垂直，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求 直线l 的方程16.（本小题共13分）直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，.2CAB π∠=（I ）//AB 平面11A B C ； （II ）证明11CB BA ⊥；（III ）已知2,AB BC ==11C ABA -的体积。

17.（本小题共13分）在ABC ∆中，已知2sin cos sin()B A A C =+。

（I ）求角A ；（II ）若2BC =，ABC AB 。

18.（本小题共13分）已知两直线12:40,:(1)0l ax by l a x y b -+=-++=，求分别满足下列条件的,a b 的值。

（I ）直线1l 过点(3,1)--，并且直线1l 与2l 垂直；（II ）直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到12,l l 的距离相等。

19.（本小题共14分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//,,AB CD PD AD E =是PB 中点，F 是DC 上的点，且1,2DF AB PH =为PAD ∆中AD 边上的高。

（I ）证明：PH ⊥平面ABCD ；（II ）若1,2,1PH AD FC ===，求三棱锥E BCF -的体积； （III ）证明：EF ⊥平面PAB 。

20.（本小题共14分）数列{}n a 满足12,(0)a a a a a ==->，且{}n a 从第二项起是公差为6的等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和。

（I ）当2n ≥时，用a 与n 表示n a 与n S ；（II ）若在6S 与7S 两项中至少有一项是n S 的最小值，试求a 的取值范围；（III ）若a 为正整数，在（II ）的条件下，设n S 取6S 为最小值的概率是1p ，n S 取7S 为 最小值的概率是2p ，比较1p 与2p 的大小。

顺义一中2015-2016学年度第一学期期中考试高二数学试题参考答案一、 选择题二、填空题9. 1或3- 11. 1，45︒ 12. 20x y -=或30x y +-= 13.②③ 14. ②③ 三、解答题15. 解：依题意可设直线l 的方程为y kx m =+因直线l 与直线43+50x y -=垂直，故有413k ⋅=- 得34k =- 故直线l 的方程为34y x m =-+，其与x 轴、y 轴的交点坐标分别为 4,03m ⎛⎫ ⎪⎝⎭与()0,m 故直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为： 214224233S m m m === 得6m =± 因此，所求直线l 的方程为364y x =-+或364y x =-- 即34240x y +-=或34+240x y +=16. 解:（I ）证明： 几何体111ABC A BC -为直三棱柱∴ 平面ABC //平面111A B C而平面11ABB A 平面ABC AB =，平面11ABB A 平面1111A BC A B = 由面面平行的性质定理可得：11//AB A B 又11AB A B C ⊄平面，1111A B A BC ⊆平面 故有线面平行的判定定理可得：11AB A BC //平面（II ）证明：由几何体为直三棱柱可得: 1AA ABC ⊥平面，而AC ABC ⊆平面故有1AC AA ⊥，又2CAB π∠=，即AC AB ⊥ 而1ABAA A =，且111,AB AA ABB A ⊆平面，由线面垂直的判定定理可得：11AC ABB A ⊥平面 而111BA ABB A ⊆平面，故有1AC BA ⊥ 易知四边形11ABB A 为正方形，因此11AB BA ⊥ 而1ACAB A =且11,AC AB ABC ⊆平面 因此11BA AB C ⊥平面又11CB AB C ⊆平面 故有11CB BA ⊥（III ）由题意易得：三棱锥11C ABA -的体积为1111113C ABA AA B V A C S -∆=⋅在t R ABC ∆中，1AC ===于是，111AC AC ==，12AB AA ==，111122222AA B S AB AA ∆=⋅=⨯⨯= 因此，三棱锥11C ABA -的体积为1111112=33C ABA AA B V AC S -∆=⋅17. 解（I ）因为在ABC ∆中，由+=A B C π+可得A CB π+=-，()()sin sin sin AC B B π+=-=所以2sin cos sin()sin B A A C B =+=， 即：2cos 1A =，1cos 2A =，3A π= （II ）因为2BC =，ABC ∆222cos 2AC AB BC A AC AB+-=∙，即：221422b c bc+-=……①，1sin 2AB AC A =∙12= 由①②可得：2AB AC ==18. 解: （I ） 由直线1l ：40ax by -+= 过点()3,1--可得：340a b -++=即34b a =- ①又直线1l ：40ax by -+=与直线()2:10l y a x y b =-++=垂直 故有()()110a a b -+-⋅=即20a a b --= ②由①②可得：2a b == 即为所求的值（II ）由直线1l ：40ax by -+=与直线()2:10l y a x y b =-++=平行可得：()()10a b a ---=即0ab a b +-=又坐标原点到两直线1l 与2l 的距离相等，即12d d ==两直线斜率存在，纵截距互为相反数，有()4b b=--于是可得232a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩或22a b =⎧⎨=-⎩ 即为所求值 19. 解：（1）由AB ⊥平面PAD ，PH ⊆平面PAD 可得：AB PH ⊥又PH 为PAD ∆中边AD 的高，即PH AD ⊥ 而ABAD A =，,AB AD ⊆平面ABCD故由线面垂直的判定定理可得：PH ⊥平面ABCD (2) 由E 为PB 中点可得：三棱锥E BCF -的体积为12E BCF P BCF V V --=而又由（1）可得：1111112133263P BCF BCF V PH S PH AD FC -∆=⋅=⋅⋅=⨯⨯⨯= 故所求三棱锥E BCF -的体积为16（III ）取AB 的中点G ，连接,GE GF ，PF易知：12AG AB DF == 又//AG DF 故四边形ADFG 为平行四边形 于是得//AD FG而EG 为ABP ∆的中位线，故//EG AP 又,ADAP A EG FG G ==可得平面//EFG 平面ADP 而AB ⊥平面ADP 于是有AB ⊥平面EFG 又EF ⊆平面EFG 因此，EF AB ⊥ 在t R PDF ∆中，PF =Rt BFG ∆中，BF 而PD AD FG ==，BG AG DF == 故 BF PF = 在等腰三角形BPF 中，E 为底边BP 的中点，于是有EF BP ⊥又AB BP B =，,AB BP ⊆平面PAB故由线面垂直的判定定理可得：EF ⊥平面PAB20.解：(I)依题意可知：当2n ≥时，()62612n a a n n a =-+-=--()()()()()2111216392+62n n n n S a T a a n n a n a ---=+=+--+⨯=-++（II ）由已知，当2n ≥时，n a 是等差数列，公差为6，数列递增.①若6S 是n S 的最小值，则6700a a ≤⎧⎨≥⎩ 即240300a a -≤⎧⎨-≥⎩故此时2430a ≤≤；②若7S 是n S 的最小值，则7800a a ≤⎧⎨≥⎩ 即300360a a -≤⎧⎨-≥⎩故此时3036a ≤≤.综上所述，当6S 与7S 两项中至少有一项是n S 的最小值时，所求实数a 的取值范围 是[]24,36（III ）因a 为正整数，由（II ）可知，24,25,26,...,36a = 共13个整数 当6S 是n S 的最小值时，24,25,26,27,28,29,30a = 共7个整数； 当7S 是n S 的最小值时，30,31,32,33,34,35,36a = 共7个整数。