大学精品课件：动力学5D

m1y1 m1g 2( y1 y2 ), m2y2 m2g 2( y1 y2 ),
d2 f dt 2
2(x1 x2 )(x1 x2 ) 2(x1 x2 )2 2( y1 y2 )(y1 y2 ) 2( y1 y2 )2
0
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§5-5、第一类拉格朗日方程
m1x1 2(x1 x2)
z
解：1、给出系统的动能和约束方程
T 1 m(x2 y 2 z2 ) 2
f1 x 0, f2 z 0
y 2、求系统主动力的广义力
x
mg
Qx 0, Qy 0, Qz mg,
d T
dt q j
T q j
Qj
s
i
i1
fi , q j
( j 1,2,3)
mx 1, my 0, mz mg 2,
x 0, y ct, z 0,1 0,2 mg
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§5-5、第一类拉格朗日方程
例: 质量为m的质点被约束在半径为R的光滑圆柱面上，用
第一类拉格朗日方程建立质点的运动微分方程。 (r, )
O
r
解：1、给出质点的动能和约束方程
T 1 m[(2r)2 r2 ]
2
f1 r R 0
2、求系统的广义力
D 位形坐标。
•第二类拉格朗日方程不能求约束力。 2
§5-5、第一类拉格朗日方程
二、第一类拉格朗日方程 约束方程
z
m1
r
dr
f (x, y, z) x2 y2 z2 L2 0 对上述方程求微分有：2xdx 2 ydy 2zdz 0
xdx ydy zdz 0
y
r xi yj zk dr dxi dyj dzk
d2 f dt 2
y xcos x x2 sin x 0
(1 cos2 x) mg mx2 sin x
1 cos2 x mg mx2 sin x
1 cos2 x 8
§5-5、第一类拉格朗日方程
例: 质量为m1和 m2的质点用长度为L的刚性无质量杆连接,在铅 垂面内运动，用第一类拉格朗日方程建立其运动微分方程。
x 约束方程求全微分,反映两点的微小位移在两点连线上的投影相等. 3
§5-5、第一类拉格朗日方程
设描述系统位形的坐标：q1,qn
系统的约束方程为： fi (q1,, qn,t) 0, (i 1,, s)
系统的自由度: k=n-s
将约束方程两边求变分：
n j 1
fi q j
q
j
0,
系统的第一类拉格朗日方程为：
y m1
m2
g
O
x
解：1、给出质点的动能和约束方程
T
1 2
m1[ x12
y12 ]
1 2
m2[
x22
y22 ]
f (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 L2 0
2、求系统的广义力 Qx1 Qx2 0 Qy1 m1g,Qy2 m2 g,
m1x1 2(x1 x2)
m2x2 2(x1 x2)
m2x2 2(x1 x2)
m1y1 m1g 2( y1 y2 ), m2y2 m2g 2( y1 y2 ),
(i 1,, s)
d
dt
T q j
T q j
Qj
s
i
i1
fi , q j
( j 1,, n)
fi (q1,, qn ,t) 0, (i 1,, s)
s
其中：
i1
i
fi 为约束力对应于坐标q q j
j的广义力,
i称为拉格朗日乘子。
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§5-5、第一类拉格朗日方程
例： 在质量为m的质点被约束在光滑的水平轴 y 上运动，用 第一类拉格朗日方程建立系统的动力学方程。
§5-5、第一类拉格朗日方程
一、问题的引出
n
(Fi miai ) •ri 0
i1k dj 1 Nhomakorabeadt
T q j
T q j
Q j q j
0
利用q j ( j 1,, k)的独立性，有：
z
系统的动能
d dt
T q j
T q j
Qj
m1
x
m2
y
T
1 2
m1(
x12
y12
z12 )
1 2
m2
mg Q mgr cos , Qr mg sin
d
dt
T q j
T q j
Qj
s
i
i1
fi , q j
( j 1,2)
m d R mg cos
dt
mg sin mR2
m d r2 mgr cos , m(r2r) mg sin , dt 6
§5-5、第一类拉格朗日方程
x
O (x, y)
解：1、给出质点的动能和约束方程
T 1 m[x2 y 2 ] f x2 y2 R2 0
2
2、求系统的广义力
mg
Qx 0 Qy mg
y df xx yy 0
d
dt
T q j
T q j
Qj
s
i
i1
fi , q j
( j 1,2)
dt
d2 f dt 2
xx yy x2
(
x22
y22
z22 )
系统的约束方程
f (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2 L2 0
描述系统位置和形状的坐标不独立 1
§5-5、第一类拉格朗日方程
l0 x1
A
k
A
x
O
B
m1g 2
m2 g
B
B A
3
y
m3 g
地面光滑 •应用第二类拉格朗日方程必须选取独立的
解：1、给出质点的动能和约束方程
2、求系统的广义力
T 1 m[x2 y 2 ] f y sin x 0 2
Qx 0 Qy mg
d T
dt q j
T q j
Qj
s
i
i1
fi , q j
( j 1,2)
mx cos x my mg ,
df y x cos x 0 dt
y 2
0
mx 2x my mg 2y, 2R2 mgy m(x2 y 2 )
m(xx yy) m(x2 y 2 )
2R mgy m(x2 y 2 )
x(mx) y(my) m(x2 y 2 )
R
R
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§5-5、第一类拉格朗日方程
例: 质量为m的质点被约束在y=sinx的轨道上运动，该轨道在铅 垂平面内，用第一类拉格朗日方程建立质点的运动微分方程。
x
反映的微小位移应满足的关系 r • dr xdx ydy zdz 0
z
m1
约束方程 f (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2 L2 0
m2
(x1 x2 )dx1 ( y1 y2 )dy1 (z1 z2 )dz1
y
(x1 x2 )dx2 ( y1 y2 )dy2 (z1 z2 )dz2