陕西专用2019中考数学总复习第1部分教材同步复习第四章三角形课时17相似三角形及其应用真题精练
(陕西专用)2019中考数学总复习 第1部分 教材同步复习 第三章 函数 课时12 二次函数的综合与应用权威预测
第一部分 第三章 课时12如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)与x 轴交于点A (－1,0)和点B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x ＝1.(1)求点C 的坐标(用含a 的代数式表示)；(2)连接AC ，BC ，若△ABC 的面积为6，求此抛物线的表达式；(3)在第(2)问的条件下，点Q 为x 轴正半轴上一点，点G 与点C ，点F 与点A 关于点Q 成中心对称，当△CGF 为直角三角形时，求点Q 的坐标．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的对称轴为直线x ＝1，而抛物线与x 轴的一个交点A 的坐标为(－1,0)，∴抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为(3,0)．设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)，当x ＝0时，y ＝－3a ，∴点C 的坐标为(0，－3a )．(2)AB ＝4，OC ＝3a ，∴S △ABC ＝12AB ·OC ＝6a ， ∴6a ＝6，解得a ＝1，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3.(3)设点Q 的坐标为(m,0)．如答图1，答图2，过点G 作GH ⊥x 轴，垂足为点H ， ∵点G 与点C ，点F 与点A 关于点Q 成中心对称，∴QC ＝QG ，QA ＝QF ＝m ＋1，QO ＝QH ＝m ，OC ＝GH ＝3，∴OF ＝2m ＋1，HF ＝1.①当∠CGF ＝90°时，∵∠QGH ＋∠FGH ＝90°，∠QGH ＋∠GQH ＝90°， ∴∠GQH ＝∠HGF ，∴Rt △QGH ∽Rt △GFH ，∴GHFH＝QHGH，即31＝m3，解得m＝9，∴点Q的坐标为(9,0)；②当∠CFG＝90°时，∵∠GFH＋∠CFO＝90°，∠GFH＋∠FGH＝90°，∴∠CFO＝∠FGH，∴Rt△GFH∽Rt△FCO，∴GHFO＝FHCO，即32m＋1＝13，解得m＝4，∴点Q的坐标为(4,0)；③当∠GCF＝90°时，因∠GCF＜∠FCO＜90°，故此种情况不存在．综上所述，点Q的坐标为(9,0)或(4,0)．。
(陕西专用)2019中考数学总复习第1部分教材同步复习第二章方程(组)与不等式(组)课时5一元二次方
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• 用公式法解一元二次方程的一般步骤为： • ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值(注意符号)；
• ②求出b2－4ac的值(若b2－4ac＜0，方程无实数根)；
• ③在b2－4ac≥0的前提下，把a，b，c的值代入公式进行计算求出方程的根． • 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2－4ac≥0.
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• (2)面积问题常见图形归纳如下： • 第一：如图1，矩形ABCD的长为a，宽为b，空白部分的宽为x，则阴 影部分的面积为(a－2x)(b－2x)．
• 第二：如图2，矩形ABCD的长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空 白部分的面积为(a－x)(b－x)． • 第三：如图3，矩形ABCD的长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空 a－__ x)( b－ x__ ) _________. 白部分的面积为⑳(___ __ __
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解法
适用方程类型 所有一元二次 (2)确定a，b，c的值； 方程都适用
步骤
(1)将方程化成ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式；
公式法
－b± b2－4ac 2a (3)若b2－4ac≥0，则代入求根公式x＝⑧_____________ ；
若b2－4ac＜0，则方程没有实数根
方程一边为
(1)将方程一边化为0；
0，另一边能 (2)把方程的另一边分解为两个一次因式的积； 因式 分解法 分解成两个一 (3)令每个因式分别为0，转化为两个一元一次方程；
次因式的积
(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的根
5
①②⑥ 1．下列方程是一元二次方程的是__________.
①x2＋2x＝0; ②x2－3＝0; ③(x2＋3)2＝9； 1 ④x ＋x＝4；⑤x5－6y－2＝0;
陕西专版中考数学新突破复习第一部分教材同步复习第四章三角形4.2三角形课件
5
• 2．三角形内角和定理 • 三角形三个内角和等于1_8_0_°_____. • 3．三角形外角性质 • (1)三角形的任意一个外角_等_于______与它不相邻的
两个内角之和． • (2)三角形的任意一个外角_大__于_____任何一个和它
不相邻的内角．
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►知识点三 三角形的相关线段
概念
三角形一边的 中点与此边所 中线 对顶点的连线 叫做三角形的 中线
• 【解答】 根据三角形的三边关系，可得6－4＜AC＜6＋4， 即2＜AC＜10，故B选项符合题意，AC的长是5.
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三角形内角和与外角
• 【例2】 (2015·常德)如图，在 △ABC中，∠B＝40°，三角形 的外角∠DAC和∠ACF的平分线 交于点E，则∠AEC＝___7_0____ 度【．思路点拨】 本题主要考查三角形内角和定理及三角
中 连接三角形两边中 位 点的线段叫做三角 线 形的中位线
图示
性质 角平分线平分这个角 如图，AF是∠BAC 的平分线⇔∠BAF＝ _∠__C_A__F__＝12∠
BAC．
三角形的中位线平行 于第三边且等于第三 边的一半 如图，GH是中位线
⇔GH綊12BC．
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• 【温馨提示】 三角形三条中线的交点为三 角形的重心，它到三角形顶点的距离等于到 对边中点距离的2倍．
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三年中考 ·讲练
【陕西专版】中考数学同步课件：第4章-三角形
4 cm，所以 AC＝AB－BC＝10－4＝6(cm)，又因为 M 是 AC
中 考
全
的中点，所以 AM＝12AC＝12×6＝3(cm)．
程 总
复
习
·
陕
西
·
数
学
(2)点C在线段AB的延长线上，如图2，因为AB＝10
cm，BC＝4 cm，所以AC＝AB＋BC＝10＋4＝14(cm)，又因
为点M是AC的中点，所以AM＝12AC＝12×14＝7(cm)．
2．角的分类
分 类
锐角
直角
钝角
平角 周角 中
考
度 数
0°＜α＜90°
a＝9_0_°_
_9_0_°__＜__α_＜__1_8_0_°_
α＝ 180°
α＝ 360°
全 程 总
复
1 周 角 ＝ 2 平 角 ＝ 4 直 角 ＝ 360° ， 1 度 ＝ 60 分 ， 1 分 ＝ 60
习 ·
秒．
陕 西
·
数
学Hale Waihona Puke 3．角平分线及其定理中 考
综合(1)(2)，线段AM的长为3 cm或7 cm.
全 程
总
复
习
·
陕
西
·
数
学
知识要点 ·归纳
中 考 全 程 总 复 习 · 陕 西
· 数 学
►知识点一 三角形及其分类
1．三角形定义：三条__线__段____首尾顺次连接所得到的 图形叫三角形．
2．三角形的分类
不等边三角形
中
(1)按边分等腰三角形腰等和边底三不角相形等的三角形
中
考
全
程
总
复
习
(陕西专版)中考数学新突破复习第一部分教材同步复习第四章三角形4.5相似三角形课件
(1)相似三角形实际应用的常见类型： ①测量高度：测量不能到达顶部的物体高度，通过使用 “在同一时刻物高与影长的比例相等”．测量旗杆的高度的 几种方法：平面镜测量法、影子测量法、手臂测量法、标杆 测量法； ②测量距离：测量不能直接到达的两点间的距离，常构 造相似三角形求解；
(2)解决相似三角形实际应用问题中相似三角形的判定方 法：
►知识点二 相似三角形
1．相似多边形 (1)定义：对应角相等，对应边_成__比__例___的两个多边形叫 做_相__似__多__边__形___． (2)性质：①相似多边形的对应角_相__等_，对应边_成__比__例_ ； ② 相 似 多 边 形 的 周 长 比 等 于 __相__似__比__ ， 面 积 比 等 于 _相__似__比__的__平__方___． 2．相似三角形的定义：_对__应__角__相__等____，___对__应__边__成___ _比__例___的两个三角形叫做相似三角形，它们对应边的比叫做 _相__似__比___．
(6)平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长 线)相交，所构成三角形与原三角形___相__似___．
4．相似三角形的性质 (1)相似三角形的对应角__相__等____，对应边__成__比__例____， 对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于 _相__似__比___； (2)相似三角形对应周长的比等于__相__似__比__，对应面积比 等于__相__似__比__的__平__方____．
3．相似三角形的判定 (1)有两角_对__应__相__等___的两个三角形相似； (2)两边对应成比例，且_夹__角___相等的两个三角形相似； (3)三边_对__应__成__比__例___的两个三角形相似； (4)一条直角边和斜边对应成比例的两个__直__角__三__角__形__相 似；
(陕西专用)2019中考数学总复习 第1部分 教材同步复习 第一章 数与式 课时2 整式(含因式分解
(6)(25a)2＝__2_45_a_2___. (7)4a·a2b＝____4_a3_b___； (8)x(mx＋y)＝_____m_x_2_＋_x_y____； (9)(x－2y)2＝_____x_2－__4x_y_＋_4_y_2 _____； (10)(m－1)(2m＋1)＝____2m__2－__m_－_1____； (11)4a3÷2a＝___2a_2___； (12)(3a2－6a＋3)÷3＝___a_2_－_2_a_＋_1_____.
单项式除以 把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式 单项式 中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
多项式除以 先用多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加
单项式 【注意】整式的混合运算法则：先乘方再乘除，最后加减，同级运算按照从左 到右的顺序进行计算．
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• 5．计算下列各题： • (1)a＋7a－5a＝___3a____； • (2)x2·x3＝____x5__； • (3)x7÷x3＝___x_4__； • (4)(m3)2＝____m__6 ___ ； • (5)(－mn2)2＝__m__2n_4 ___；
相加．即(m＋n)(a＋b)＝○24 ______m_a_＋_m_b_＋__n_a＋__n_b_______
(a±b)2＝○25 _____a_2_±_2a_b_＋__b2___(完全平方公式)
乘法公式
(a＋b)(a－b)＝○26 ___a_2－__b_2 ___(平方差公式)
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• 4．整式的除法
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2．单项式r22的系数是___12___. 3．单项式12x2y3z的次数是___6__. 4．下列各组单项式中，是同类项的是____①_⑤___. ①3和13； ②xy和2y； ③2x2和xy; ④x3和－x2；⑤m和－2m； ⑥ab2和a2b2.
陕西专用2019中考数学总复习第1部分教材同步复习第四章三角形课时17相似三角形及其应用权威预测
第一部分 第四章 课时171．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，在AB 边上求作一点P ，使得△BPC ∽△BCA ．(用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)第1题图解：如答图，点P 即为所求．2．小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB 的高度：如图，在水平地面点E 处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE ＝20米．当她与镜子的距离CE 为2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B ．已知她的眼睛距地面高度DC ＝1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB 的高度．(注：入射角＝反射角)．第2题图解：根据反射定律知，∠FEB ＝∠FED ，∴∠BEA ＝∠DEC ．∵∠BAE ＝∠DCE ＝90°，∴△BAE ∽△DCE ，∴BA DC ＝AE CE. ∵AE ＝20米，CE ＝2.5米，DC ＝1.6米，∴AB 1.6＝202.5， 解得AB ＝12.8.答：大楼AB 的高度为12.8米．3．如图，小华在晚上由路灯A 走向路灯B ．当他走到点P 时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A 的底部；当他向前再步行12 m 到达点Q 时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B 的底部．已知小华的身高是1.6 m ，两个路灯的高度都是9.6 m ，且AP ＝QB ．求两个路灯之间的距离．第3题图解：∵PM ∥BD ，∴△APM ∽△ABD ，∴AP AB ＝PM BD ，即AP AB ＝1.69.6，∴AP ＝16AB ．∵NQ ∥AC ，∴△BNQ ∽△BCA ．∴QB AB ＝QN AC ，即QB AB ＝1.69.6，∴QB ＝16AB ．∵AP ＋PQ ＋QB ＝AB ，∴16AB ＋12＋16AB ＝AB ，解得AB ＝18.答：两个路灯之间的距离为18 m.。
2019年陕西省中考数学复习试卷(附答案)(可编辑修改word版)
2019年陕西省中考数学复习试卷（附答案）副标题题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.计算：（-3）0=（ ）A. 1B. 0C. 3D. −1 32.如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为（ ）A.B.C.D.3.如图，OC是∠AOB的角平分线，l∥OB，若∠1=52°，则∠2的度数为（ ）A. 52∘B. 54∘C. 64∘D. 69∘4.若正比例函数y=-2x的图象经过点O（a-1，4），则a的值为（ ）A. B. 0 C. 1 D. 2−1A. B. 2a 2⋅3a 2=6a2(−3a 2b )2=6a 4b 2C. D. (a−b )2=a 2−b 2−a 2+2a 2=a26.如图，在△ABC 中，∠B =30°，∠C =45°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ．若DE =1，则BC 的长为（ ）A. B. C. D. 32+22+32+37.在平面直角坐标系中，将函数y =3x 的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x 轴的交点坐标为（ ）A. B. C. D. (2,0)(−2,0)(6,0)(−6,0)8.如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =6，若点E ，F 分别在AB ，CD 上，且BE =2AE ，DF =2FC ，G ，H 分别是AC 的三等分点，则四边形EHFG 的面积为（ ）A. 1B. C. 2 D. 4329.如图，AB 是⊙O 的直径，EF ，EB 是⊙O 的弦，且EF =EB ，EF 与AB 交于点C ，连接OF ，若∠AOF =40°，则∠F 的度数是（ ）A. 20∘B. 35∘C. 40∘D. 55∘10.在同一平面直角坐标系中，若抛物线y =x 2+（2m -1）x +2m -4与y =x 2-（3m +n ）x +n关于y 轴对称，则符合条件的m ，n 的值为（ ）A. ，B. ，m =57n =−187m =5n =−6C. ，D. ，m =−1n =6m =1n =−2二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）11.已知实数-，0.16，，π，，，其中为无理数的是______．123253412.若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为______．13.如图，D 是矩形AOBC 的对称中心，A （0，4），B （6，0），若一个反比例函数的图象经过点D ，交AC于点M ，则点M 的坐标为______．14.如图，在正方形ABCD 中，AB =8，AC 与BD 交于点O ，N是AO 的中点，点M 在BC 边上，且BM =6．P 为对角线BD 上一点，则PM -PN 的最大值为______．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）15.化简：（+）÷a−2a +28a a 2−4a +2a 2−2a四、解答题（本大题共10小题，共73.0分）16.计算：-2×+|1-|-（）-23−2731217.如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是BC 边上的高．请用尺规作图法，求作△ABC 的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法）18.如图，点A，E，F在直线l上，AE=BF，AC∥BD，且AC=BD，求证：CF=DE．19.本学期初，某校为迎接中华人民共和国建国七十周年，开展了以“不忘初心，缅怀革命先烈，奋斗新时代”为主题的读书活动．校德育处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示：根据以上信息，解答下列问题：（1）补全上面两幅统计图，填出本次所抽取学生四月份“读书量”的众数为______．（2）求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；（3）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数．20.小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG=5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG 方向移动，当移动带点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG=2米，小明眼睛与地面的距离EF=1.6米，测倾器的高度CD=0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB．（小平面镜的大小忽略不计）21.根据记录，从地面向上11km以内，每升高1km，气温降低6℃；又知在距离地面11km以上高空，气温几乎不变．若地面气温为m（℃），设距地面的高度为x（km）处的气温为y（℃）（1）写出距地面的高度在11km以内的y与x之间的函数表达式；（2）上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安途中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气温为-26℃时，飞机距离地面的高度为7km，求当时这架飞机下方地面的气温；小敏想，假如飞机当时在距离地面12km的高空，飞机外的气温是多少度呢？请求出假如当时飞机距离地面12km时，飞机外的气温．22.现有A、B两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．其中，A袋装有2个白球，1个红球；B袋装有2个红球，1个白球．（1）将A袋摇匀，然后从A袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率；（2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜．请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．23.如图，AC是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线．作BM=AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD．（1）求证：AB=BE；（2）若⊙O的半径R=5，AB=6，求AD的长．24.在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y=ax2+（c-a）x+c经过点A（-3，0）和点B（0，-6），L关于原点O对称的抛物线为L′．（1）求抛物线L的表达式；（2）点P在抛物线L′上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D．若△POD与△AOB相似，求符合条件的点P的坐标．25.问题提出：（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；问题探究：（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC=90°，求满足条件的点P到点A的距离；问题解决：（3）如图3，有一座草根塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的草根景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）答案和解析1.【答案】A【解析】解：（-3）0=1．故选：A．直接利用零指数幂的性质计算得出答案．此题主要考查了零指数幂的性质，正确掌握零指数幂的性质是解题关键．2.【答案】D【解析】解：从上往下看，所以小正方形应在大正方形的右上角．故选：D．找到从上面看所得到的图形即可．本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．3.【答案】C【解析】解：∵l∥OB，∴∠1+∠AOB=180°，∴∠AOB=128°，∵OC平分∠AOB，∴∠BOC=64°，又l∥OB，且∠2与∠BOC为同位角，∴∠2=64°，故选：C．依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠BOC=64°，再根据平行线的性质，即可得出∠2的度数．本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．4.【答案】A【解析】解：∵正比例函数y=-2x的图象经过点O（a-1，4），故选：A．由正比例函数图象过点O，可知点O的坐标满足正比例函数的关系式，由此可得出关于a的一元一次方程，解方程即可得出结论．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是将点O的坐标代入正比例函数关系得出关于a的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，将点的坐标代入函数解析式中找出方程是关键．5.【答案】D【解析】解：∵2a2•3a2=6a4，故选项A错误，∵（-3a2b）2=9a4b2，故选项B错误，∵（a-b）2=a2-2ab+b2，故选项C错误，∵-a2+2a2=a2，故选项D正确，故选：D．根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，本题得以解决．本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．6.【答案】A【解析】解：过点D作DF⊥AC于F如图所示，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF=1，在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=2，在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CD=DF=，∴BC=BD+CD=2，过点D作DF⊥AC于F如图所示，根据角平分线的性质得到DE=DF=1，解直角三角形即可得到结论．本题考查了角平分线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将函数y=3x的图象向上平移6个单位长度所得函数的解析式为y=3x+6，∵此时与x轴相交，则y=0，∴3x+6=0，即x=-2，∴点坐标为（-2，0），故选：B．根据“上加下减”的原则求得平移后的解析式，令y=0，解得即可．本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵BE=2AE，DF=2FC，∴，=∵G、H分别是AC的三等分点∴，=∴∴EG∥BC∴，且BC=6∴EG=2，同理可得HF∥AD，HF=2∴四边形EHFG为平行四边形，且EG和HF间距离为1∴S四边形EHFG=2×1=2，由题意可证EG∥BC，EG=2，HF∥AD，HF=2，可得四边形EHFG为平行四边形，即可求解．本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，证明四边形EHFG为平行四边形是本题的关键．9.【答案】B【解析】解：连接FB．∵∠AOF=40°，∴∠FOB=180°-40°=140°，∴∠FEB=∠FOB=70°∵EF=EB∴∠EFB=∠EBF=55°，∵FO=BO，∴∠OFB=∠OBF=20°，∴∠EFO=∠EBO，∠EFO=∠EFB-∠OFB=35°，故选：B．连接FB，得到∠FOB=140°，求出∠EFB，∠OFB即可．本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10.【答案】D【解析】解：∵抛物线y=x2+（2m-1）x+2m-4与y=x2-（3m+n）x+n关于y轴对称，∴，解之得，故选：D．根据关于y轴对称，a，c不变，b变为相反数列出方程组，解方程组即可求得．本题考查了二次函数图象与几何变换，根据题意列出方程组是解题的关键．11.【答案】，π，334【解析】解：，、0.16是有理数；无理数有、π、．故答案为：、π、．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.2020020002…相邻两个2之间0的个数逐次加1，等有这样规律的数．12.【答案】6【解析】解：如图所示为正六边形最长的三条对角线，由正六边形性质可知，△AOB ，△COD 为两个边长相等的等边三角形，∴AD=2AB=6，故答案为6．根据正六边形的性质即可得到结论．该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用正多边形和圆的性质来分析、判断、解答．13.【答案】（，4）32【解析】解：∵A （0，4），B （6，0），∴C （6，4），∵D 是矩形AOBC 的对称中心，∴D （3，2），设反比例函数的解析式为y=，∴k=3×2=6，∴反比例函数的解析式为y=，把y=4代入得4=，解得x=，故M的坐标为（，4）．故答案为（，4）．根据矩形的性质求得C（6，4），由D是矩形AOBC的对称中心，求得D（3，2），设反比例函数的解析式为y=，代入D点的坐标，即可求得k的值，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得M点的坐标．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，求得D点的坐标是解题的关键．14.【答案】2【解析】解：如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，根据轴对称性质可知，PN=PN'，∴PM-PN=PM-PN'≤MN'，当P，M，N'三点共线时，取“=”，∵正方形边长为8，∴AC=AB=，∵O为AC中点，∴AO=OC=，∵N为OA中点，∴ON=，∴ON'=CN'=，∴AN'=，∵BM=6，∴CM=AB-BM=8-6=2，∴==∴PM ∥AB ∥CD ，∠CMN'=90°，∵∠N'CM=45°，∴△N'CM 为等腰直角三角形，∴CM=MN'=2，即PM-PN 的最大值为2，故答案为：2．作以BD 为对称轴作N 的对称点N'，连接PN'，MN'，依据PM-PN=PM-PN'≤MN'，可得当P ，M ，N'三点共线时，取“=”，再求得==，即可得出PM ∥AB ∥CD ，∠CMN'=90°，再根据△N'CM 为等腰直角三角形，即可得到CM=MN'=2．本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．15.【答案】解：原式=[•(a−2)2+8a (a +2)(a−2)a (a−2)a +2=•(a +2)2(a +2)(a−2)a (a−2)a +2=a ．【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16.【答案】解：原式=-2×（-3）+-1-43=1+．3【解析】直接利用立方根的性质以及负指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．17.【答案】解：如图所示：⊙O即为所求．【解析】作线段AB 的垂直平分线，交AD 于点O ，以O 为圆心，OB 为半径作⊙O ，⊙O 即为所求．本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18.【答案】证明：∵AE =BF ，∴AE +EF =BF +EF ，即AF =BE ，∵AC ∥BD ，∴∠CAF =∠DBE ，在△ACF 和△BDE 中，，{AC =BD ∠CAF =∠DBE AF =BE ∴△ACF ≌△BDE （SAS ）∴CF =DE ．【解析】根据平行线的性质得到∠CAF=∠DBE ，证明△ACF ≌△BDE ，根据全等三角形的性质证明结论．本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．19.【答案】3【解析】解：（1）根据统计图可知众数为3，故答案为3；（2）平均数=；（3）四月份“读书量”为5本的学生人数=1200×=120（人），答：四月份“读书量”为5本的学生人数为120人．（1）根据统计图可知众数为3；（2）平均数=；（3）四月份“读书量”为5本的学生人数=1200×=120（人）．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20.【答案】解：如图，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则CH =BD ，BH =CD =0.5．在Rt △ACH 中，∠ACH =45°，∴AH =CH =BD ，∴AB =AH +BH =BD +0.5．∵EF ⊥FB ，AB ⊥FB ，∴∠EFG =∠ABG =90°．由题意，易知∠EGF =∠AGB ，∴△EFG ∽△ABG ，∴=即=，EF AB FG BG 1.6BD +0.525+BD 解之，得BD =17.5，∴AB =17.5+0.5=18（m ）．∴这棵古树的高AB 为18m ．【解析】过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则CH=BD ，BH=CD=0.5．解Rt △ACH ，得出AH=CH=BD ，那么AB=AH+BH=BD+0.5．再证明△EFG ∽△ABG ，根据相似三角形对应边成比例求出BD=17.5，进而求出AB 即可．本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，相似三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形，难度一般．21.【答案】解：（1）根据题意得：y =m -6x ；（2）将x =7，y =-26代入y =m -6x ，得-26=m -42，∴m =16∴当时地面气温为16℃∵x =12＞11，∴y =16-6×11=-50（℃）假如当时飞机距地面12km 时，飞机外的气温为-50℃．【解析】（1）根据气温等于该处的温度减去下降的温度列式即可；（2）根据（1）的结论解答即可．本题考查了一次函数的应用以及函数值的求解，要注意自变量的取值范围和高于11千米时的气温几乎不再变化的说明．22.【答案】解：（1）共有3种等可能结果，而摸出白球的结果有2种∴P （摸出白球）=；23（2）根据题意，列表如下：A B红1红2白白1（白1，红1）（白1，红2）（白1，白）白2（白2，红1）（白2，红2）（白2，白）红（红，红1）（红，红2）（白1，白）由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有4种，颜色相同的结果有5种∴P （颜色不相同）=，P （颜色相同）=4959∵＜4959∴这个游戏规则对双方不公平【解析】（1）P （摸出白球）=；（2）由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有4种，颜色相同的结果有5种P （颜色不相同）=，P （颜色相同）=，＜这个游戏规则对双方不公平本题考查了概率，根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率23.【答案】（1）证明：∵AP 是⊙O 的切线，∴∠EAM =90°，∴∠BAE +∠MAB =90°，∠AEB +∠AMB =90°．又∵AB =BM ，∴∠MAB =∠AMB ，∴∠BAE =∠AEB ，∴AB =BE（2）解：连接BC∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC =90°在Rt △ABC 中，AC =10，AB =6，∴BC =8，∵BE =AB =BM ，∴EM =12，由（1）知，∠BAE =∠AEB ，∴△ABC ∽△EAM∴∠C =∠AME ，=，EM AC AM BC 即=，1210AM 8∴AM =485又∵∠D =∠C ，∴∠D =∠AMD∴AD =AM =．485【解析】（1）根据切线的性质得出∠EAM=90°，等腰三角形的性质∠MAB=∠AMB ，根据等角的余角相等得出∠BAE=∠AEB ，即可证得AB=BE ；（2）证得△ABC ∽△EAM ，求得∠C=∠AME ，AM=，由∠D=∠C ，求得∠D=∠AMD ，即可证得AD=AM=．本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．24.【答案】解：（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得：，{9a +(c−a )+c =0c =−6解得：，{a =1c =−6∴L ：y =x 2-5x -6（2）∵点A 、B 在L ′上的对应点分别为A ′（-3，0）、B ′（0，-6），∴设抛物线L ′的表达式y =x 2+bx +6，将A ′（-3，0）代入y =x 2+bx +6，得b =-5，∴抛物线L ′的表达式为y =x 2-5x +6，A （-3，0），B （0，-6），∴AO =3，OB =6，设：P （m ，m 2-5m +6）（m ＞0），∵PD ⊥y 轴，∴点D 的坐标为（0，m 2-5m +6），∵PD =m ，OD =m 2-5m +6，Rt △POD 与Rt △AOB 相似，①△POD ∽△BOA 时，，即m =2（m 2-5m +6），PD OB =OD OA 解得：m =或4；32②当△OPD ∽△AOB 时，同理可得：m =1或6；∵P 1、P 2、P 3、P 4均在第一象限，∴符合条件的点P的坐标为（1，2）或（6，12）或（，）或（4，2）．3234【解析】（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）分△POD ∽△BOA 、△OPD ∽△AOB 两种情况，分别求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．25.【答案】解：（1）如图记为点D 所在的位置．（2）如图，∵AB =4，BC =10，∴取BC 的中点O ，则OB ＞AB ．∴以点O 为圆心，OB 长为半径作⊙O ，⊙O 一定于AD 相交于P 1，P 2两点，连接BP 1，P 1C ，P 1O ，∵∠BPC =90°，点P 不能再矩形外；∴△BPC 的顶点P 1或P 2位置时，△BPC 的面积最大，作P 1E ⊥BC ，垂足为E ，则OE =3，∴AP 1=BE =OB -OE =5-3=2，由对称性得AP 2=8．（3）可以，如图所示，连接BD ，∵A 为▱BCDE 的对称中心，BA =50，∠CBE =120°，∴BD =100，∠BED =60°作△BDE 的外接圆⊙O ，则点E 在优弧上，取的中点E ′，连接E ′B ，E ′D ，⏜BD ⏜BED 则E ′B =E ′D ，且∠BE ′D =60°，∴△BE ′D 为正三角形．连接E ′O 并延长，经过点A 至C ′，使E ′A =AC ′，连接BC ′，DC ′，∵E ′A ⊥BD ，∴四边形E ′D 为菱形，且∠C ′BE ′=120°，作EF ⊥BD ，垂足为F ，连接EO ，则EF ≤EO +OA -E ′O +OA =E ′A ，∴S △BDE =•BD •EF ≤•BD •E ′A =S △E ′BD ，1212∴S 平行四边形BCDE ≤S 平行四边形BC ′DE ′=2S △E ′BD =1002•sin60°=5000（m 2）3所以符合要求的▱BCDE 的最大面积为5000m 2．3【解析】（1）利用平行四边形的判定方法画出图形即可．（2）以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O一定于AD相交于P1，P2两点，点P1，P2即为所求．（3）可以，如图所示，连接BD，作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧上，取的中点E′，连接E′B，E′D，四边形BC′DE′即为所求．本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，圆周角定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．第21页，共21页。
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第一部分第四章课时17
1．(2018·陕西)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线．
已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．
第1题图
解：∵CB⊥AD，ED⊥AD，∴BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴BC
DE
＝
AB
AD
，∴
1
1.5
＝
AB
AB＋8.5
，
解得AB＝17.
检验：当AB＝17时，1.5(AB＋8.5)≠0，所以AB＝17是分式方程的解．
答：河宽AB为17米．
2．(2016·陕西)某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量，方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED＝1.5米，CD＝2米；然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH＝2.5米，FG＝1.65米．
如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计．请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．
第2题图
解：由题意可得∠ABC＝∠EDC＝∠GFH＝90°，∠ACB＝∠ECD, ∠AFB＝∠GHF，
故△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，
则AB
ED
＝
BC
DC
，
AB
GF
＝
BF
FH
，
即AB
1.5
＝
BC
2
，
AB
1.65
＝
BC＋18
2.5
，解得AB＝99.
答：“望月阁”的高AB的长度为99米．。