推荐学习高中数学人教A版必修5习题：第一章解三角形1.2.4

第4课时几何计算问题课时过关·能力提升基础巩固1在△ABC中,c=2,A=30°,B=120°,则△ABC的面积为().A.√32B.√3C.3√3D.3答案:B2已知三角形的面积为14,其外接圆的面积为π,则这个三角形的三边之积为().A.1B.2C.12D.4答案:A3已知锐角三角形ABC的面积为3√3,BC=4,CA=3,则角C的大小为().A.75°B.60°C.45°D.30°解析:由S=12AC·BC sin C=3√3,得sin C=√32,又C为锐角,故C=60°.答案:B4已知三角形两边之差为2,它们夹角的余弦值为35,面积为14,则这个三角形的这两边长分别是().A.3和5B.4和6C.6和8D.5和7解析:设a-b=2,cos C =35,sin C =45,S △ABC =12absin C=14,故ab=35. 由a-b=2和ab=35, 解得a=7,b=5. 答案:D5已知△ABC 的面积S =√3,A =π3,则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 解析:S =12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sin A ,即12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sin π3=√3,故|AB⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4, AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos A=4co s π3=2. 答案:26如图,一块四边形土地ABCD 的三边AD=40 m,DC=30 m,CB=30 m,∠ADC=150°,∠DCB=120°,则该土地的面积约为 m 2.(精确到0.01 m 2)答案:1 289.717已知a ,b ,c 是△ABC 的三边,其面积为14(a2+b2−c2),则角C = . 解析:由三角形的面积公式得12absin C =14(a2+b2−c2),所以sin C=a 2+b2-c22ab=cos C.所以tan C=1,所以C=π4.答案:π48已知三角形的两边长分别为5和3,它们夹角的余弦值是方程5x2-7x-6=0的根,则三角形的第三边长为.解析:设三角形的第三边长为a(a>0).解方程5x2-7x-6=0,得x1=−35,x2=2(舍去).因此已知两边夹角的余弦值为−35,由余弦定理,得a2=52+32-2×5×3×(-35)=52.故a=2√13,即所求边长为2√13.答案:2√139在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2a cos B.(1)证明:A=2B;(2)若△ABC的面积S=a 24,求角A的大小. (1)证明由正弦定理得sin B+sin C=2sin A cos B,故2sin A cos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin A cos B+cos A sin B.于是sin B=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以,B=π-(A-B)或B=A-B, 因此A=π(舍去)或A=2B, 所以,A=2B.(2)解由S=a 24,得12absin C=a24,故有sin B sin C=12sin2B=sin B cos B.由sin B≠0,得sin C=cos B.又B,C∈(0,π),所以C=π2±B.当B+C=π2时,A=π2;当C-B=π2时,A=π4.综上,A=π2或A=π4.能力提升1在△ABC中,a=√3,b=1,B=30°,则△ABC的面积S为().A.√32B.√34C.√32或√33D.√32或√34解析:由正弦定理asinA =bsinB,得sin A=asinBb =√3sin30°1=√32,所以A=60°或A=120°.当A=60°时,C=90°,S=12ab=12×√3×1=√32;当A=120°时,C=30°,S=12absin C=12×√3×1×sin30°=√34.答案:D2在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若2b=a+c,B=30°,△ABC的面积为32,则b等于().A.1+√3B.1+√32C.2+√32D.2+√3解析:由12acsin30°=32,得ac=6.由余弦定理,得b2=a2+c2-2ac cos30°=(a+c)2-2ac−√3ac=4b2−12−6√3,得b=√3+1.答案:A3在△ABC中,a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC外接圆的半径为().A.2√3B.4√2C.5√22D.3√2解析:S△ABC=12acsin B=12csin45°=√24c.又∵S△ABC=2,∴c=4√2.又由余弦定理得,b2=a2+c2-2ac cos B=1+32-2×1×4√2×√22=25,∴b=5.又∵bsinB=2R, ∴R =b 2sinB =52sin45°=5√22. 答案:C4如图所示,一块三角形土地ABC ,AD 是一条小路,BC=5 m,AC=4 m,cos ∠CAD =3132,AD =BD,则该土地的面积是 m2.解析:设CD=x m,则AD=BD=(5-x )m .在△CAD 中,由余弦定理,可知cos ∠CAD =(5-x )2+42-x 22×4×(5-x )=3132, 解得x=1.∴CD=1m,AD=BD=4m .在△CAD 中,由正弦定理,可知AD sinC=CDsin∠CAD,∴sin C =ADCD ·√1-cos 2∠CAD=4√1-(3132)2=3√78.∴S △ABC =12AC ·BC ·sin C =12×4×5×3√78=15√74(m2).答案:15√745在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,证明:a 2-b2c 2=sin (A -B )sinC .证明由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,b 2=a 2+c 2-2ac cos B.两式相减,得a 2-b 2=b 2-a 2+2c (a cos B-b cos A ), 即a 2-b 2=c (a cos B-b cos A ),则a 2-b 2c2=acosB -bcosAc=a c cos B −b ccos A.由正弦定理a sinA=b sinB=c sinC, 得a c =sinA sinC ,bc =sinB sinC. 故a 2-b 2c2=sinAcosB -sinBcosA sinC =sin (A -B )sinC .★6在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知cos C+(cos A −√3sin A)cos B =0.(1)求角B 的大小;(2)若a+c=1,求b 的取值范围.解(1)由已知得-cos(A+B )+cos A cos B −√3sin A cos B=0,即有sin A sin B −√3sin A cos B=0.因为sin A ≠0,所以sin B −√3cos B=0, 又cos B ≠0,所以tan B =√3. 又0<B<π,所以B =π3.(2)由余弦定理,有b 2=a 2+c 2-2ac cos B. 因为a+c=1,cos B =12,所以b 2=3(a -12)2+14.又0<a<1,于是有14≤b2<1,即有12≤b<1.7如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=√3,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.解(1)由已知得∠PBC=60°,所以∠PBA=30°.在△PBA中,由余弦定理得PA2=3+14−2×√3×12cos30°=74.故PA=√72.(2)设∠PBA=α,则∠PCB=∠PBA=α,由已知得PB=sinα.在△PBA中,由正弦定理得√3sin150°=sinαsin(30°-α),化简得√3cosα=4sinα.所以tanα=√34,即tan∠PBA=√34.小初高学习+试卷+教案+学案小初高学习+试卷+教案+学案。