2019届河北省神州智达高考数学信息卷(理科)Word版含解析
2019年(理科数学)(新课标Ⅲ)试卷真题+参考答案+详细解析
2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合{1,0,1,2}A =-，2{|1}B x x =，则(A B = )A ．{1,0,1}-B ．{0,1}C ．{1,1}-D ．{0,1,2}2．（5分）若(1)2z i i +=，则(z = ) A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +3．（5分）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为( ) A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.84．（5分）24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为( ) A ．12B ．16C ．20D ．245．（5分）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3(a = ) A ．16B ．8C ．4D ．26．（5分）已知曲线x y ae xlnx =+在点(1,)ae 处的切线方程为2y x b =+，则( ) A ．a e =，1b =-B ．a e =，1b =C ．1a e -=，1b =D ．1a e -=，1b =-7．（5分）函数3222x xx y -=+在[6,6]-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．8．（5分）如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED的中点，则( )A ．BM EN =，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM EN ≠，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM EN =，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM EN ≠，且直线BM ，EN 是异面直线9．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于( )A ．4122-B ．5122-C ．6122-D ．7122-10．（5分）双曲线22:142x y C -=的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若||||PO PF =，则PFO ∆的面积为( )A 32B 32C ．22D ．3211．（5分）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则( )A ．233231(log )(2)(2)4f f f -->> B ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>C ．233231(2)(2)(log )4f f f -->> D ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>12．（5分）设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>，已知()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点 ③()f x 在(0,)10π单调递增④ω的取值范围是1229[,)510其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年高三数学最新信息卷一理科(含答案)
2019年高考高三最新信息卷理科数学（一）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·吉林实验中学]在复平面内与复数2i1iz=+所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为（）A．1i+B．1i-C．1i--D．1i-+2．[2019·哈六中]03x<<是12x-<成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．[2019·衡阳联考]比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图1所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（）A．乙的逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力B．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值4．[2019·西安中学]若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（）A．12B3CD5．[2019·郑州一中]已知函数()2log,11,11x xf xxx≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，则不等式()1f x≤的解集为（）A．(],2-∞B．(](],01,2-∞C．[]0,2D．(][],01,2-∞6．[2019·烟台一模]将函数()()sin0,π2f x xϕωϕω⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象关于y轴对称，且1π2fω⎛⎫=-⎪⎝⎭，则当ω取最小值时，函数()f x的解析式为（）A．()sin2π6f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭B．()sin2π6f x x⎛⎫=-⎪⎝⎭C．()sin4π6f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭D．()sin4π6f x x⎛⎫=-⎪⎝⎭7．[2019·聊城一模]数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有刍甍（méng），下广三丈，袤（mào）四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”．现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（单位：立方丈）（）A．5.5B．5 C．6 D．6.58．[2019·哈六中]实数x，y满足不等式组()2020x yx yy y m-⎧≤+≥-≤⎪⎨⎪⎩，若3z x y=+的最大值为5，则正数m的值为（）A．2 B．12C．10 D．1109．[2019·镇海中学]已知正项等比数列{}n a满足7652a a a=+，若存在两项ma，na，使得2116m na a a⋅=，则19m n+的最小值为（）A．32B．114C．83D．10310．[2019·聊城一模]如图，圆柱的轴截面为正方形ABCD ，E 为弧BC 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（ ）ABCD11．[2019·天津毕业]已知双曲线()222210,0x ya b a b -=>>，过原点的直线与双曲线交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C ，若ABC △的面积为22a ，则双曲线的渐近线方程为（ ） A．y = B．y = C．y = D ．3y x =12．[2019·上高二中]定义：若数列{}n a 对任意的正整数n ，都有()1n n a a d d ++=为常数，则称{}n a 为“绝对和数列”，d 叫做“绝对公和” ．已知“绝对和数列”{}n a 中，12a =，绝对公和为3， 则其前2019项的和2019S 的最小值为（ ） A ．2019- B ．3010- C ．3025- D ．3027-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·呼和浩特质检]在52x ⎛ ⎝的展开式中，2x 的系数为______．14．[2019·衡水二中]已知函数()22sin tan ,,0e xx x x f x x -⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，则25π4f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____． 15．[2019·福建联考]在边长为2的等边三角形ABC 中，2BC BD =，则向量BA 在AD 上的投影 为______．16．[2019·德州一模]已知函数()22f x x ax =+，()24ln g x a x b =+，设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点P ，且在P 点处的切线相同，当()0,a ∈+∞时，实数b 的最大值是______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·甘肃联考]在ABC △中，3sin 2sin A B =，tan C（1）求cos2C ；（2）若1AC BC -=，求ABC △的周长．18．（12分）[2019·保山统测]某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A ，B 两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市()n n ∈*N 个人数超过1000人的大集团和8个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为415． （1）求n 的值；（2）若取出的2个集团是同一类集团，求全为大集团的概率；（3）若一次抽取4个集团，假设取出小集团的个数为X ，求X 的分布列和期望．19．（12分）[2019·河南名校]如图所示的三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，133BC BB ==，1B C 的中点为O ，若线段11A C 上存在点P 使得PO ⊥平面1AB C ．（1）求AB ；（2）求二面角11A B C A --的余弦值．20．（12分）[2019·烟台一模]已知F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点，过F 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点．当直线与x 轴垂直时，4AB =． （1）求抛物线C 的方程；（2）设直线AB 的斜率为1且与抛物线的准线l 相交于点M ，抛物线C 上存在点P 使得直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列，求点P 的坐标．21．（12分）[2019·济南模拟]已知函数()()2ln 12a f x x x x a x =-+-，其导函数()f x '的最大值为0．（1）求实数a 的值；（2）若()()()12121f x f x x x +=-≠，证明：122x x +>．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·宝鸡模拟]点P 是曲线()22124C x y -+=:上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点P 逆时针旋转90︒得到点Q ，设点Q 的轨迹为曲线2C ． （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）射线()03πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点，设定点()2,0M ，求M AB △的面积．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·上饶二模]已知函数()()10f x ax a =->．（1）若不等式()2f x ≤的解集为A ，且()2,2A ⊆-，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()1232f x f x aa ⎛⎫++> ⎪⎝⎭对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．绝密 ★ 启用前2019年高考高三最新信息卷理科数学答案（一）一、选择题． 1．【答案】B 【解析】复数()()()2i 1i 2i1i 1i 1i 1i z -===+++-，∴复数的共轭复数是1i -， 就是复数2i1iz =+所对应的点关于实轴对称的点为A 对应的复数，故选B ． 2．【答案】A【解析】解12x -<得到13x -<<，假设03x <<，一定有13x -<<，反之不一定， 故03x <<是12x -<成立的充分不必要条件．故答案为A ． 3．【答案】C【解析】对于选项A ，甲的逻辑推理能力指标值为4，优于乙的逻辑推理能力指标值为3， 所以该命题是假命题；对于选项B ，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5， 所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，所以该命题是假命题； 对于选项C ，甲的六维能力指标值的平均值为()12343453466+++++=，乙的六维能力指标值的平均值为()154354346+++++=，因为2346<，所以选项C 正确； 对于选项D ，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故该命题是假命题．故选C ． 4．【答案】A【解析】由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，即2c a =， 所以离心率12c e a ==，故选A ． 5．【答案】D【解析】当1x ≥时，()1f x ≤，即为2log 1x ≤，解得12x ≤≤； 当1x <时，()1f x ≤，即为111x≤-，解得0x ≤， 综上可得，原不等式的解集为][(,01,2⎤-∞⎦，故选D ．6．【答案】C【解析】将函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，可得πsin 6y x ωωϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象， ∵所得图象关于y 轴对称，∴πππ62k ωϕ-+=+，k ∈Z ． ∵()1sin πsin 2πf ϕϕω⎛⎫=-=+=- ⎪⎝⎭，即1sin 2ϕ=，则当ω取最小值时，π6ϕ=，∴ππ63πk ω-=+，取1k =-，可得4ω=， ∴函数()f x 的解析式为()sin 4π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选C ．7．【答案】B【解析】根据三视图知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如图所示：结合图中数据，计算该几何体的体积为111231423115232V V V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯==-三棱柱三棱锥（立方丈）． 8．【答案】A【解析】先由2020x y x y -≤+≥⎧⎨⎩画可行域，发现0y ≥，所以()0y y m -≤可得到y m ≤，且m 为正数． 画出可行域为AOB △（含边界）区域．3z x y =+，转化为3y x z =-+，是斜率为3-的一簇平行线，z 表示在y 轴的截距，由图可知在A 点时截距最大，解2y x y m ==⎧⎨⎩，得2m x y m ==⎧⎪⎨⎪⎩，即,2m A m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时max 352mz m =+=，解得2m =，故选A 项． 9．【答案】B【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，且0q >， 由7652a a a =+，得6662q a a a q=+， 化简得220q q --=，解得2q =或1q =-（舍去）， 因为2116m n a a a =，所以()()11211116m n a qa qa --=，则216m n q+-=，解得6m n +=，所以()19119191810106663n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当9n m m n =时取等号，此时96n m m n m n =+=⎧⎪⎨⎪⎩，解得3292m n ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩， 因为m ，n 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1983m n +>，验证可得，当2m =，4n =时，19m n +取最小值为114，故选B ．10．【答案】D【解析】取BC 的中点H ，连接EH ，AH ，90EHA ∠=︒，设2AB =，则1BH HE ==，AH =AE =， 连接ED，ED ，因为BC AD ∥，所以异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠， 在EAD △中，cos EAD ∠==，故选D ． 11．【答案】B【解析】以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点C ，∴以AB 为直径的圆的方程为222x y c +=，由对称性知ABC △的面积212222OBC S S ch ch a ==⨯==△，即22a h c =，即B 点的纵坐标为22a y c=，则由22222a x c c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得224222224a a x c c c c ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为点B 在双曲线上，则4422222441a a c c c a b--=， 即()22422222441c a a a c c c a --=-，即2222222411c a a a c c a ⎛⎫-+= ⎪-⎝⎭， 即222222241c a c a c c a -⋅=-，即2222241c a a c a -=-， 即2222222241c a c a a c a a --==-，得()24224a c a =-， 即2222a c a =-，得223a c =，得c =，b ．则双曲线的渐近线方程为by x a=±=，故选B ．12．【答案】C【解析】依题意，要使其前2019项的和2019S 的最小值只需每一项的值都取最小值即可， ∵12a =，绝对公和3d =，∴21a =-或21a =（舍）， ∴32a =-或32a =（舍），∴41a =-或41a =（舍）， ，∴满足条件的数列{}n a 的通项公式2,12,11,n n a n n =⎧⎪=-⎨⎪-⎩为大于的奇数为偶数， ∴所求值为()()()2345201801912a a a a a a a +++++++()2019121230252-=+--⨯=-，故选C ．二、填空题． 13．【答案】80【解析】52x ⎛ ⎝的展开式中，通项公式()()35552155C 22C 1rr r r r r r r T x x---+⎛ ⎝==-，令3522r -=，解得2r =．2x ∴的系数325C 280==，故答案为80． 14．【答案】31e【解析】因为225π25π25π13sin tan 144422f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以3232331ee 2ef -⨯-⎛⎫===⎪⎝⎭．故答案为31e． 15．【答案】【解析】2BC BD =，D ∴为BC 的中点，()12AD AB AC ∴=+， 111222cos1203222BA AD AB BA AC BA ∴⋅=⋅+⋅=-+⨯⨯⨯︒=-，221124AD AB AC AB AC=++⋅== 则向量BA 在AD上的投影为BA AD AD⋅==16．【答案】【解析】设()00,P x y ，()22f x x a '=+，()24a g x x'=．由题意知，()()00f x g x =，()()00f x g x ''=，即2200024ln x ax a x b +=+，① 200422ax a x +=，② 解②得：0x a =或02x a =-（舍）， 代入①得：2234ln b a a a =-，()0,a ∈+∞，()68ln 4214ln b a a a a a a '=--=-，当140,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0b '>；当14e ,a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，0b '<．∴实数b的最大值是1144e e b ⎛⎫== ⎪⎝⎭三、解答题． 17．【答案】（1）1718-；（2）5 【解析】（1）∵tan 35C =1cos 6C =，∴2117cos 221618C ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭．（2）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．∵3sin 2sin A B =，∴32a b =，∵1AC BC b a -=-=，∴2a =，3b =．由余弦定理可得2222cos 13211c a b ab C =+-=-=，则11c ABC △的周长为5+18．【答案】（1）7n =；（2）37；（3）详见解析．【解析】（1）由题意知共有8n +个集团，取出2个集团的方法总数是28C n +，其中全是小集团的情况有28C ，故全是小集团的概率是()()282856487C C 15n n n +==++， 整理得到()()78210n n ++=，即2151540n n +-=，解得7n =．（2）若2个全是大集团，共有27C 21=种情况； 若2个全是小集团，共有28C 28=种情况， 故全为大集团的概率为21321287=+．（3）由题意知，随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，计算()0487415C C 10C 39P X ===；()1387415C C 81C 39P X ===；()2287415C C 282C 65P X ===；()3187415C C 563C 195P X ===；()4087415C C 24C 39P X ===，故X 的分布列为：数学期望为()182856232012343939651953915E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．【答案】（16（26．【解析】（1）方法一：设AB 的长为t ，依题意可知BA ，BC ，1BB 两两垂直，分别以BC ，1BB ，BA 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示．则()0,0,A t，)C，()10,1,0B，)1C，1,02O ⎫⎪⎪⎝⎭，()10,1,A t ，因此()13,1,0B C =-，()3,0,AC t =-，()113,0,AC t =-．设()1113,0,A PAC t λλλ==-，易求得点P 的坐标为),1,t t λ-，所以13,2OP t t λ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎭． 因为OP ⊥平面1AB C，所以()111302213102OP B C OP AC t t λλλ⎧⎪⎫⋅=⨯--=⎪⎭⎫⋅=⨯--⋅-=⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎭．解之得23t λ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩，所以AB方法二：如图，在平面11BCC B 内过点O 作1B C 的垂线分别交BC 和11B C 于M ，N ，连接PN ， 在平面ABC 内过点M 作BC 的垂线交AC 于R ，连接OR ．依题意易得，11RM AB PN R ⇒∥∥，M ，N ，P ，O 五点共面． 因为PO ⊥平面1AB C ，所以RM ONPO RO RMO ONP MO PN⊥⇒~⇒=△△．① 在1B ON △中，1tan30ON B O =⋅︒=，11cos30OB B N=︒，因此N为线段11B C 靠近1C 的三等分点． 由对称性知，M 为线段BC 靠近B 的三等分点，因此23RM AB =，13PN AB =．代入①，得AB =． （2）由（1）方法一可知，312OP ⎛= ⎝⎭是平面1AB C 的一个法向量且()13,1,0B C =-，11B A ⎛= ⎝⎭． 设平面11A B C 的法向量为n ，则1110B C B A ⋅=⇒⋅=⎧⎪⎨⎪⎩n n n 可以为()．2363cos 22,OP OP OP ⋅〈〉===⨯n n n．因为二面角11A B C A --为锐角，故所求二面角11A B C A --． 20．【答案】（1）24y x =；（2）()1,2P ±．【解析】（1）因为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在抛物线方程22y px =中，令2p x =，可得y p =±．于是当直线与x 轴垂直时，24AB p ==，解得2p =． 所以抛物线的方程为24y x =．（2）因为抛物线24y x =的准线方程为1x =-，所以()1,2M --． 设直线AB 的方程为1y x =-，联立241y xy x ==-⎧⎨⎩消去x ，得2440y y --=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y +=，124y y =-． 若点()00,P x y 满足条件，则2PM PA PB k k k =+， 即0010200102221y y y y y x x x x x +--⋅=++--， 因为点P ，A ，B 均在抛物线上，所以2004y x =，2114y x =，2224y x =．代入化简可得()()00122200120122224y y y y y y y y y y y +++=++++，将124y y +=，124y y =-代入，解得02y =±． 将02y =±代入抛物线方程，可得01x =． 于是点()1,2P ±为满足题意的点． 21．【答案】（1）1a =；（2）见解析．【解析】（1）由题意，函数()f x 的定义域为()0,+∞，其导函数()()ln 1f x x a x '=--， 记()()h x f x ='，则()1axh x x='-． 当0a ≤时，()10axh x x-'=≥恒成立，所以()h x 在()0,+∞上单调递增，且()10h =． 所以()1,x ∀∈+∞，有()()0h x f x ='>，故0a ≤时不成立；当0a >时，若10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()10ax h x x -'=>；若1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则()10ax h x x -'=<．所以()h x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减．所以()max 1ln 10h x h a a a ⎛⎫==-+-= ⎪⎝⎭．令()ln 1g a a a =-+-，则()111a g a a a'-=-=． 当01a <<时，()0g a '<；当1a >时，()0g a '>． 所以()g a 在()0,1的单减，在()1,+∞单增． 所以()()10g a g ≥=，故1a =．（2）当1a =时，()21ln 2f x x x x =-，则()1ln f x x x =+-'．由（1）知()1ln 0f x x x '=+-≤恒成立， 所以()21ln 2f x x x x =-在()0,+∞上单调递减，且()112f =-，()()()12121f x f x f +=-=，不妨设120x x <<，则1201x x <<<， 欲证122x x +>，只需证212x x >-，因为()f x 在()0,+∞上单调递减，则只需证()()212f x f x <-，又因为()()121f x f x +=-，则只需证()()1112f x f x --<-，即()()1121f x f x -+>-． 令()()()2F x f x f x =+-（其中()0,1x ∈），且()11F =-． 所以欲证()()1121f x f x -+>-，只需证()()1F x F >，()0,1x ∈， 由()()()()()21ln 1ln 22F x f x f x x x x x =--=+--+-'-'+'，整理得()()()()ln ln 2210,1F x x x x x -'=--+∈，， ()()()22102x F x x x -=-'>'，()0,1x ∈，所以()()()ln ln 221F x x x x =--+-'在区间()0,1上单调递增， 所以()0,1x ∀∈，()()()()ln ln 22110F x x x x F =--+-<'='，所以函数()()()2F x f x f x =+-在区间()0,1上单调递减， 所以有()()1F x F >，()0,1x ∈， 故122x x +>．22．【答案】（1）1:4cos C ρθ=，2:4sin C ρθ=；（2）3-．【解析】（1）曲线1C 的圆心为()2,0，半径为2，把互化公式代入可得：曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=．设(),Q ρθ，则,2πP ρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则有4cos 4sin π2ρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．所以曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （2）M 到射线π3θ=的距离为2sin 3πd ==)4sin cos ππ2133B A AB ρρ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，则1332S AB d =⨯= 23．【答案】（1）3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）1,22⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】（1）12ax -≤，212ax -≤-≤，13x a a -≤≤，13,A a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦． ()2,2A ⊆-，1232aa⎧->-⎪⎪∴⎨⎪<⎪⎩，32a >，a ∴的取值范围3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）由题意3112ax x -++>恒成立，设()11h x ax x =-++，()()()()()1,1112,111,a x x h x a x x a a x x a ⎧⎪-+<-⎪⎪⎛⎫=-+-≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，①01a <≤时，由函数单调性()()min 11h x h a =-=+，312a +>，112a ∴<≤， ②1a >时，()min 11a h x h a a +⎛⎫== ⎪⎝⎭，132a a +>，12a ∴<<，综上所述，a 的取值范围1,22⎛⎫⎪⎝⎭．。
河北省2019年高考理科数学试卷(含答案)
河北省2019年高考理科数学试卷（含答案）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}2．（5分）设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．（x+1）2+y2＝1B．（x﹣1）2+y2＝1C．x2+（y﹣1）2＝1D．x2+（y+1）2＝13．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a6．（5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）7．（5分）已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且（a﹣b）⊥b，则a与b的夹角为（）10．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）11．（5分）关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年高考数学最新信息卷05(理数)含答案
2019年高考高三最新信息卷理 科 数 学（五）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·南洋模范中学] “112x <<”是“不等式11x -<成立”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也不必要条件2．[2019·吉林调研]欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有 非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，πi 4ie 表示的复数位于复平面内（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．[2019·安阳一模]2291sin cos αα+的最小值为（ ） A ．18B ．16C ．8D ．64．[2019·桂林一模]下列函数中是奇函数且有零点的是（ ） A ．()f x x x =+ B ．()1f x x x -=+ C ．()1tan f x x x=+D ．()πsin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5．[2019·河南八市联考]如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（ ）A ．84B．78+C．76+D．80+6．[2019·维吾尔二模]将函数()f x 的图象向右平移一个单位长度，所得图象与曲线ln y x =关于 直线y x =对称，则()f x =（ ） A ．()ln 1x +B ．()ln 1x -C ．1e x +D ．1e x -7．[2019·河南联考]已知函数()()π2sin 02f x x ωϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，且()01f =，若函数()f x 的图象关于4π9x =对称，则ω的取值可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．[2019·天一大联考]如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等． 某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，设其命中10，9，8，7环的概率分别为1P ，2P ，3P ，4P ， 则下列选项正确的是（ ）A ．12P P =B ．123P P P +=C ．40.5P =D ．2432P P P +=9．[2019·虹口二模]已知直线l 经过不等式组21034020x y x y y -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，且与圆22:16O x y +=相交于A 、B 两点，则当AB 最小时，直线l 的方程为（ ） A ．20y -= B ．40x y -+= C ．20x y +-=D ．32130x y +-=10．[2019·凯里一中]已知ABC △是边长为a 的正三角形，且AM AB λ=，()1AN AC λ=-()λ∈R ，设()f BN CM λ=⋅，当函数()f λ的最大值为2-时，a =（ ）AB．CD．11．[2019·齐齐哈尔二模]已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作垂直x 轴的直线交椭圆E 于A ，B 两点，点A 在x 轴上方．若3AB =，2ABF △的内切圆的面积为9π16，则直线2AF 的方程是（ ） A ．3230x y +-= B ．2320x y +-= C ．4340x y +-=D ．3430x y +-=12．[2019·西大附中]已知奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，若函数()()()22g x f x f a x =+-恰有4个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞ B ．()1,+∞C ．(]01,D ．()01,第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·西城期末]在某次国际交流活动中，组织者在某天上午安排了六场专家报告（时间如下，转场时间忽略不计），并要求听报告者不能迟到和早退．某单位派甲、乙两人参会，为了获得更多的信息，单位要求甲、乙两人所听报告不相同，且所听报告的总时间尽可能长，那么甲、乙两人应该舍去的报告名称为______．14．[2019·天津毕业]已知πsin dx a x =⎰，则5ax ⎛+ ⎝的二项展开式中，2x 的系数为__________． 15．[2019·永州二模]在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，30A =︒，45C =︒，3c =，点P 是平面ABC 内的一个动点，若60BPC ∠=︒，则PBC △面积的最大值是__________．16．[2019·甘肃一诊]已知定义在R 上的偶函数()f x ，满足()()()42f x f x f +=+，且在区间[]0,2上是增函数，①函数()f x 的一个周期为4；②直线4x =-是函数()f x 图象的一条对称轴；③函数()f x 在[)6,5--上单调递增，在[)5,4--上单调递减； ④函数()f x 在[]0,100内有25个零点；其中正确的命题序号是_____（注：把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·攀枝花统考]已知数列{}n a 中，11a =，()*112,2n n a a n n n --+=∈≥N ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设141n n b a =-，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T ．18．（12分）[2019·呼和浩特调研]如图，平面四边形ABCD ，AB BD ⊥，2AB BC CD ===，BD =，将ABD △沿BD 翻折到与面BCD 垂直的位置．（1）证明：CD ⊥面ABC ；（2）若E 为AD 中点，求二面角E BC A --的大小．19．（12分）[2019·大联一模]某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人200人，第二车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间（单位：min）分别进行统计，得到下列统计图表（按照[)55,65，[)65,75，[)75,85，[]85,95分组）．第一车间样本频数分布表（1）分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于75min的人数；（2）分别估计两车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（3）从第一车间被统计的生产时间小于75min的工人中，随机抽取3人，记抽取的生产时间小于65min的工人人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．20．（12分）[2019·大兴一模]已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的离心率为12，M是椭圆C的上顶点，1F，2F是椭圆C的焦点，12MF F△的周长是6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过动点()1P t,作直线交椭圆C于A，B两点，且PA PB=，过P作直线l，使l与直线AB垂直，证明：直线l恒过定点，并求此定点的坐标．21．（12分）[2019·拉萨中学]已知()()lnf x x mx m=+∈R．（1）求()f x 的单调区间；（2）若e m =（其中e 为自然对数的底数），且()f x ax b ≤-恒成立，求ba的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·汉中联考]在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：()1sin cos x a t y a t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（0a >，t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：()π6θρ=∈R ． （1）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（2）若直线3C的方程为y =，设2C 与1C 的交点为O ，M ，3C 与1C 的交点为O ，N ， 若OMN △的面积为，求a 的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 [2019·全国大联考]已知函数()2f x x =-． （1）求不等式()41f x x >-+的解集； （2）设a ，10,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若126f f a b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求证：225b a +≥．绝密 ★ 启用前2019年高考高三最新信息卷理科数学答案（五）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】不等式11x -<成立，化为111x -<-<，解得02x <<， ∴“112x <<”是“不等式11x -<成立”的充分条件．故选A ． 2．【答案】A 【解析】∵πi 4ππe cosisin 44=+，∴πi 4i i e ⎫===⎪⎪⎝+⎭，此复数在复平面中对应的点⎝⎭位于第一象限，故选A ．3．【答案】B【解析】()2222229191sin cos sin cos sin cos αααααα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭9116≥++=， 故选B ． 4．【答案】C【解析】A ．∵()f x x x =+，∴()f x x x -=-+，而()f x x x -=--，∴不是奇函数，排除A ； D ．∵()πsin cos 2f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴()()cos f x x f x -==，即()f x 为偶函数，排除D ； B ．∵()1f x x x -=+，∴()()1f x x x f x --=--=-，∴函数()f x 是奇函数， 但令()0f x =，可知方程无解，即()f x 没有零点，∴排除B ； C ．∵()1tan f x x x =+，∴()()1tan f x x f x x-=--=-，∴()f x 是奇函数， 又由正切函数的图像和反比例函数的图像易知，1y x=-与tan y x =必然有交点，因此函数()1tan f x x x=+必有零点．故选C ． 5．【答案】C【解析】由三视图可知几何体为五棱柱，底面为正视图中的五边形，高为4，∴五棱柱的表面积为(144222442⎛⎫⨯-⨯⨯⨯+++⨯ ⎪⎝⎭C ．6．【答案】C【解析】作ln y x =关于直线y x =的对称图形，得函数e x y =的图像，再把e x y =的图像向左平移一个单位得函数1e x y +=的图像，∴()1e x f x +=．故选C ． 7．【答案】C【解析】∵()()2sin f x x ωϕ=+，∴由()01f =，得1sin 2ϕ=． 又∵π02ϕ<<，∴π6ϕ=，∴()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．又∵()f x 关于4π9x =对称，∴4ππππ962k ω⋅+=+，3944k ω=+，令1k =，则3ω=．故选C ．8．【答案】D【解析】若设中心圆的半径为r ，则由内到外的环数对应的区域面积依次为21πS r =，22224ππ3πS r r r =-=，22239π4π5πS r r r =-=，222416π9π7πS r r r =-= 22222π3π5π7π16πS r r r r r =+++=总；()i i i 1,2,3,4S P S ==总，则1116P =，2316P =，3516P =，4716P =， 验证选项，可知只有选项D 正确．故选D ． 9．【答案】D【解析】不等式组表示的区域如图阴影部分，其中AB 的中点为P ，则AP OP ⊥，∴OP 最长时，AB 最小，∵最小l 经过可行域，由图形可知点P 为直线210x y -+=与20y -=的交点()3,2时，OP 最长， ∵23OP k =，则直线l 的方程为()3224y x ---=，即32130x y +-=．故选D ． 10．【答案】C【解析】由题得22π1cos32AB AC a a ⋅==，()()()()2222111122BN CM BA AN CA AM a a a a λλλλ⋅=+⋅+=---+-22111222a λλ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，∴当1=2λ时，()f λ的最大值为2328a -=-，∴a =．故选C ．11．【答案】D【解析】设内切圆半径为r ，则29ππ16r =，∴34r =， ∵()1,0F c -，∴内切圆圆心为3,04c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由3AB =知3,2A c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()2,0F c ，∴2AF 方程为3430x cy c +-=，由内切圆圆心到直线2AF 距离为r34=得1c =， ∴2AF 方程为3430x y +-=．故选D ． 12．【答案】D【解析】∵()()()()22g x f x f a x g x -=+-=，∴()g x 是偶函数，若()()()22g x f x f a x =+-恰有4个零点，等价于当0x >时，()g x 有两个不同的零点， ∵()f x 是奇函数，∴由()()()220g x f x f a x =+-=，得()()()222f x f a x f x a =--=-，∵()f x 是单调函数，∴22x x a =-，即22a x x -=-， 当0x >时，2222a x x x x -=--=有两个根即可，设()()22211h x x x x =---=，要使当0x >时，22a x x -=-有两个根，则10a -<-<，即01a <<，即实数a 的取值范围是()01,，故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】D【解析】通过数据比对，甲、乙两人应该舍去的报告名称为D ， 当甲乙两人中某人听报告D ，则此人不能听报告B ，C ，E ，F ，故听报告D 最不合适，故答案为D ． 14．【答案】80【解析】由题得()πcos 2a x =-=，∴552ax x =⎛⎛+ ⎝⎝，设二项式展开式的通项为()35552155C 2C 2rr rrr r r T x x---+==⋅， 令3522r -=，∴2r =，∴2x 的系数为235C 280=．故答案为80． 15．【解析】∵30A =︒，45C =︒，3c =，∴由正弦定理sin sin a cA C=，可得13sin sin c A a C ⨯⋅===又60BPC ∠=︒，∴在三角形PBC 中，令PB m =，令PC n =，由余弦定理可得22912cos 22m n BPC mn +-∠==， ∴2299222m n mn mn +-=≥-，（当且仅当m n =时等号成立） ∴92mn ≤，∴1sin 2S mn BPC =∠16．【答案】①②④【解析】令2x =-得()()()2422f f f -+=-+，即()20f -=，由于函数为偶函数，故()()220f f =-=．∴()()4f x f x +=，∴函数是周期为4的周期函数，故①正确． 由于函数为偶函数，故()()()()44484f x f x f x f x -+=-=--=--， ∴4x =-是函数图像的一条对称轴，故②正确．根据前面的分析，结合函数在区间[]0,2上是增函数，画出函数图像如下图所示．由图可知，函数在[)6,4--上单调递减，故③错误．根据图像可知，()()()()2610980f f f f =====，零点的周期为4，共有25个零点，故④正确．综上所述正确的命题有①②④．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）()2*n a n n =∈N ；（2）21n nT n =+． 【解析】（1）当2n ≥时，由于121n n a a n --=-，11a =， ∴()()()()21122111321n n n n n a a a a a a a a n n ---=-+-++-+=+++-=，又11a =满足上式，故()2*n a n n =∈N ． （2）()()21111114141212122121n n b a n n n n n ⎛⎫====- ⎪--+--+⎝⎭．∴11111111112335212122121n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭． 18．【答案】（1）见解析；（2）45︒．【解析】（1）证明：∵平面四边形ABCD ，AB BD ⊥，2AB BC CD ===，BD =， 面ABD ⊥面BCD ，AB BD ⊥，面ABD 平面BCD BD =，∴AB ⊥面BCD ，∴AB CD ⊥， 又2228AC AB BC =+=，22212AD AB BD =+=，22212AD AC CD =+=， ∴AB BC⊥，AB BD ⊥，AC CD ⊥， ∵ACAB A =，∴CD ⊥平面ABC ．（2）解：AB ⊥面BCD ，如图以B为原点，在平面BCD 中，过B 作BD 的垂线为x 轴， 以BD 为y 轴，以BA 为z轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()0,0,2A，)C，()D ，∵E 是AD 的中点，∴()E，∴()2,BC =，()BE =，令平面BCE 的一个法向量为(),,x y z =n，则2020BC x BE y z⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n ，取1x =，得(1,=-n ，∵CD ⊥面ABC ，∴平面ABC 的一个法向量为()CD =，∴2cos ,CD CD CD⋅==⋅n n n E BC A --的大小为45︒． 19．【答案】（1）60，300；（2）第二车间工人生产效率更高；（3）见解析． 【解析】（1）估计第一车间生产时间小于75 min 的工人人数为6200=6020⨯（人）． 估计第二车间生产时间小于75 min 的工人人数为()4000.0250.0510300+⨯=（人）． （2）第一车间生产时间平均值约为602+704+8010+904==7820x ⋅⋅⋅⋅第一车间（min ）． 第二车间生产时间平均值约为600.25700.5800.2900.0570.5x =⨯+⨯+⨯+⨯=第二车间（min ）． ∴第二车间工人生产效率更高．（3）由题意得，第一车间被统计的生产时间小于75 min 的工人有6人，其中生产时间小于65 min 的有2人，从中抽取3人，随机变量X 服从超几何分布，X 可取值为0，1，2，()032436C C 410C 205P X ====，()122436C C 1231C 205P X ====，()212436C C 412C 205P X ====． X 的分布列为：∴数学期望()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=．20．【答案】（1）22143x y +=；（2）见解析． 【解析】（1）由于M 是椭圆C 的上顶点，由题意得226a c +=， 又椭圆离心率为12，即12c a =，解得2a =，1c =， 又2223b a c =-=，∴椭圆C 的标准方程22143x y +=．（2）当直线AB 斜率存在，设AB 的直线方程为()1y t k x -=-，联立()2234121x y y t k x ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩，得()()()2223484120k x k t k x t k ++-+--=，由题意，0∆>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则()122834k t k x x k -+=-+，∵PA PB =，∴P 是AB 的中点．即1212x x +=，得()28234k t k k --=+，340kt +=， ① 又l AB ⊥，l 的斜率为1k -，直线l 的方程为()11y t x k-=--， ②把①代入②可得114y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴直线l 恒过定点1,04⎛⎫⎪⎝⎭．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =，此时直线l 为x 轴，也过1,04⎛⎫⎪⎝⎭．综上所述，直线l 恒过点1,04⎛⎫⎪⎝⎭．21．【答案】（1）见解析；（2）1e．【解析】（1）由()ln f x x mx =+，得()11mxf x m x x+'=+=， （ⅰ）当0m ≥时，()0f x '>恒成立，()f x 在()0,+∞上单调递增； （ⅱ）当0m <时，解()0f x '=得1x m=-， 当10,x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当1,x m ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减．（2）当e m =时，()ln e f x x x =+，令()()ln e g x x a x b =+-+，则()()1e g x a x'=+-，由（1）可知，当e a ≤时，()g x 在()0,+∞上单调递增，不合题意；当e a >时，()g x 在10e a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭,上单调递增，在1,e a ⎛⎫+∞⎪-⎝⎭上单调递减， 当1ex a =-时，()g x 取得最大值；∴10e g a ⎛⎫≤ ⎪-⎝⎭恒成立，即()11lne 0e e a b a a +-⨯+≤--，整理得()ln e 10a b --+≥， 即()ln e 1b a ≤-+，()ln e 1a b a a-+≤，令()()ln e 1a h a a-+=，()()()()2e e ln e e a a h a a a ---'=-，令()()()e e ln e H a a a =---，()()ln e 1H a a '=---，解()0H a '=得1e ea =+， 当1e,e e a ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0H a '>，()H a 单调递增；当1e ,e a ⎛⎫∈++∞ ⎪⎝⎭时，()0H a '<，()H a 单调递减；当1e e a =+时，()H a 取得最大值为11e e e e H ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，∵当e a →时，()0H a >，然而()2e 0H =，∴当()e,2e a ∈时，()0H a >恒成立，当()2e,a ∈+∞时，()0H a <恒成立， ∴()h a 在()e,2e 上单调递增，在()2e,+∞上单调递减，即函数()h a 的最大值为()12e e h =，∴b a 的最大值为1e．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）1C 是以(),0a 为圆心，a 为半径的圆，1C 的极坐标方程2cos a ρθ=； （2）2a =．【解析】（1）由已知得1sin cos xt a y t a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩平方相加消去参数t 得到2211x y a a ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即()222x a y a -+=，∴1C 的普通方程：()222x a y a -+=， ∴1C 是以(),0a 为圆心，a 为半径的圆，再将cos x ρθ=，sin y ρθ=带入1C 的普通方程，得到1C 的极坐标方程2cos a ρθ=． （2）3C 的极坐标方程()5π3θρ=∈R ， 将π6θ=，5π3θ=代入2cos a ρθ=，解得1ρ=，2a ρ=， 则OMN △的面积为21ππsin 263a ⎛⎫⨯⨯+= ⎪⎝⎭2a =． 23．【答案】（1）35,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）见解析．【解析】（1）()41f x x >-+可化为241x x ->-+，即124x x ++->， 当1x ≤-时，()()124x x -+-->，解得32x <-；当12x -<<时，()124x x +-->，无解；当2x ≥时，124x x ++->，解得52x >． 综上可得32x <-或52x >，故不等式()41f x x >-+的解集为35,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）∵a ，10,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴1212226f f a b ab ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1210a b +=，∴12222422b b a a a b a b ⎛⎫⎛⎫++=++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当22b a a b =，即15a =，25b =时取等号， ∴1042b a ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，即225b a +≥．。
(Word版)2019年全国三卷高考数学(理科)+精品解析
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B ⋂=（ ） A. {}1,0,1- B. {}0,1 C. {}1,1- D. {}0,1,22.若(1i)2i z +=，则z =（ ）A. 1i --B. 1+i -C. 1i -D. 1+i3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.84.（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为A. 12B. 16C. 20D. 245.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ）A. 16B. 8C. 4D. 26.已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ）A. ,1a e b ==-B. ,1a e b ==C. 1,1a e b -==D. 1,1a e b -==-7.函数3222x x x y -=+在[]6,6-的图像大致为A. B. C.D.8.如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面,ABCD M 是线段ED 的中点，则（ ）A. BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线B. BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线C. BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线D. BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线9.执行如图所示的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于（ ）A. 4122-B. 5122-C. 6122-D. 7122- 10.双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A.B. C. 12x xD. 11.设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ） A. 233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B. 233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C. 23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D. 23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12.设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x []0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增④ω的取值范围是[1229510，) 其中所有正确结论的编号是A. ①④B. ②③C. ①②③D. ①③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年高考高三最新信息卷理数(一)附答案解析
绝密 ★ 启用前 2019年高考高三最新信息卷理 科 数 学（一）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·吉林实验中学]在复平面内与复数2i1iz =+所对应的点关于实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+2．[2019·哈六中]03x <<是12x -<成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．[2019·衡阳联考]比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图1所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（ ）A ．乙的逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力B ．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C ．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D ．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值4．[2019·西安中学]若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．32C ．34D ．645．[2019·郑州一中]已知函数()2log ,11,11x x f x x x≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，则不等式()1f x ≤的解集为（ ）A ．(],2-∞B ．(](],01,2-∞C ．[]0,2D ．(][],01,2-∞6．[2019·烟台一模]将函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，且1π2f ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为（ ）A ．()sin 2π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()sin 2π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()sin 4π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()sin 4π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭7．[2019·聊城一模]数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有刍甍（méng ），下广三丈，袤（mào ）四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”．现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（单位：立方丈）（ ）A ．5.5B ．5C ．6D ．6.58．[2019·哈六中]实数x ，y 满足不等式组()20200x y x y y y m -⎧≤+≥-≤⎪⎨⎪⎩，若3z x y =+的最大值为5，则正数m 的值为（ ）A ．2B ．12C ．10D ．1109．[2019·镇海中学]已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项m a ，n a ，使得2116m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为（ ）班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．32B ．114 C ．83D ．10310．[2019·聊城一模]如图，圆柱的轴截面为正方形ABCD ，E 为弧BC 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（ ）A 3B 5C 30D 611．[2019·天津毕业]已知双曲线()222210,0x ya b a b -=>>，过原点的直线与双曲线交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C ，若ABC △的面积为22a ，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．2y = B ．2y x =± C ．3y = D ．3y x =±12．[2019·上高二中]定义：若数列{}n a 对任意的正整数n ，都有()1n n a a d d ++=为常数，则称{}n a 为“绝对和数列”，d 叫做“绝对公和” ．已知“绝对和数列”{}n a 中，12a =，绝对公和为3， 则其前2019项的和2019S 的最小值为（ ） A ．2019- B ．3010-C ．3025-D ．3027-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·呼和浩特质检]在52x x ⎛- ⎝的展开式中，2x 的系数为______．14．[2019·衡水二中]已知函数()22sin tan ,,0e xx x x f x x -⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，则25π4f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____． 15．[2019·福建联考]在边长为2的等边三角形ABC 中，2BC BD =，则向量BA 在AD 上的投影 为______．16．[2019·德州一模]已知函数()22f x x ax =+，()24ln g x a x b =+，设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点P ，且在P 点处的切线相同，当()0,a ∈+∞时，实数b 的最大值是______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·甘肃联考]在ABC △中，3sin 2sin A B =，tan 35C = （1）求cos2C ；（2）若1AC BC -=，求ABC △的周长．18．（12分）[2019·保山统测]某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A ，B 两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市()n n ∈*N 个人数超过1000人的大集团和8个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为415． （1）求n 的值；（2）若取出的2个集团是同一类集团，求全为大集团的概率；（3）若一次抽取4个集团，假设取出小集团的个数为X ，求X 的分布列和期望．19．（12分）[2019·河南名校]如图所示的三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，133BC BB ==，1B C 的中点为O ，若线段11A C 上存在点P 使得PO ⊥平面1AB C ．（1）求AB ；（2）求二面角11A B C A --的余弦值．20．（12分）[2019·烟台一模]已知F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点，过F 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点．当直线与x 轴垂直时，4AB =． （1）求抛物线C 的方程；（2）设直线AB 的斜率为1且与抛物线的准线l 相交于点M ，抛物线C 上存在点P 使得直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列，求点P 的坐标．21．（12分）[2019·济南模拟]已知函数()()2ln 12a f x x x x a x =-+-，其导函数()f x '的最大值 为0．（1）求实数a 的值；（2）若()()()12121f x f x x x +=-≠，证明：122x x +>．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·宝鸡模拟]点P 是曲线()22124C x y -+=:上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点P 逆时针旋转90︒得到点Q ，设点Q 的轨迹为曲线2C ．（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）射线()03πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点，设定点()2,0M ，求M AB △的面积．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·上饶二模]已知函数()()10f x ax a =->．（1）若不等式()2f x ≤的解集为A ，且()2,2A ⊆-，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()1232f x f x aa ⎛⎫++> ⎪⎝⎭对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．绝密 ★ 启用前2019年高考高三最新信息卷理科数学答案（一）一、选择题． 1．【答案】B 【解析】复数()()()2i 1i 2i1i 1i 1i 1i z -===+++-，∴复数的共轭复数是1i -， 就是复数2i1iz =+所对应的点关于实轴对称的点为A 对应的复数，故选B ． 2．【答案】A【解析】解12x -<得到13x -<<，假设03x <<，一定有13x -<<，反之不一定， 故03x <<是12x -<成立的充分不必要条件．故答案为A ． 3．【答案】C【解析】对于选项A ，甲的逻辑推理能力指标值为4，优于乙的逻辑推理能力指标值为3， 所以该命题是假命题；对于选项B ，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5， 所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，所以该命题是假命题；对于选项C ，甲的六维能力指标值的平均值为()12343453466+++++=，乙的六维能力指标值的平均值为()154354346+++++=，因为2346<，所以选项C 正确； 对于选项D ，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故该命题是假命题．故选C ． 4．【答案】A【解析】由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，即2c a =， 所以离心率12c e a ==，故选A ． 5．【答案】D【解析】当1x ≥时，()1f x ≤，即为2log 1x ≤，解得12x ≤≤； 当1x <时，()1f x ≤，即为111x≤-，解得0x ≤， 综上可得，原不等式的解集为][(,01,2⎤-∞⎦，故选D ． 6．【答案】C【解析】将函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，可得πsin 6y x ωωϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象， ∵所得图象关于y 轴对称，∴πππ62k ωϕ-+=+，k ∈Z ． ∵()1sin πsin 2πf ϕϕω⎛⎫=-=+=- ⎪⎝⎭，即1sin 2ϕ=，则当ω取最小值时，π6ϕ=，∴ππ63πk ω-=+，取1k =-，可得4ω=， ∴函数()f x 的解析式为()sin 4π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选C ．7．【答案】B【解析】根据三视图知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如图所示：结合图中数据，计算该几何体的体积为111231423115232V V V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯==-三棱柱三棱锥（立方丈）． 8．【答案】A【解析】先由2020x y x y -≤+≥⎧⎨⎩画可行域，发现0y ≥，所以()0y y m -≤可得到y m ≤，且m 为正数． 画出可行域为AOB △（含边界）区域．3z x y =+，转化为3y x z =-+，是斜率为3-的一簇平行线，z 表示在y 轴的截距，由图可知在A 点时截距最大，解2y x y m ==⎧⎨⎩，得2m x y m==⎧⎪⎨⎪⎩，即,2m A m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时max352m z m =+=，解得2m =，故选A 项． 9．【答案】B【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，且0q >， 由7652a a a =+，得6662q aa a q=+，化简得220q q --=，解得2q =或1q =-（舍去），因为2116m n a a a =，所以()()11211116m n a q a q a --=，则216m n q +-=，解得6m n +=， 所以()191191919810106663n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当9n m m n =时取等号，此时96n m m n m n =+=⎧⎪⎨⎪⎩，解得3292m n ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩， 因为m ，n 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1983m n +>， 验证可得，当2m =，4n =时，19m n +取最小值为114，故选B ． 10．【答案】D【解析】取BC 的中点H ，连接EH ，AH ，90EHA ∠=︒，设2AB =，则1BH HE ==，5AH =6AE =， 连接ED ，6ED =因为BC AD ∥，所以异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠， 在EAD △中，6cos 226EAD ∠==⨯⨯，故选D ． 11．【答案】B【解析】以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点C ，∴以AB 为直径的圆的方程为222x y c +=，由对称性知ABC △的面积212222OBCS S ch ch a ==⨯==△，即22a h c =，即B 点的纵坐标为22a y c=，则由22222a x c c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得224222224a a x c c c c ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为点B 在双曲线上，则4422222441a a c c c a b--=， 即()22422222441c a a a c c c a --=-，即2222222411c a a a c c a ⎛⎫-+= ⎪-⎝⎭， 即222222241c a c a c c a -⋅=-，即2222241c a a c a -=-， 即2222222241c a c a a c a a --==-，得()24224a c a =-， 即2222a c a =-，得223a c =，得3c a =，2b a =． 则双曲线的渐近线方程为2by x x a=±=±，故选B ．12．【答案】C【解析】依题意，要使其前2019项的和2019S 的最小值只需每一项的值都取最小值即可， ∵12a =，绝对公和3d =，∴21a =-或21a =（舍）， ∴32a =-或32a =（舍），∴41a =-或41a =（舍），，∴满足条件的数列{}n a 的通项公式2,12,11,n n a n n =⎧⎪=-⎨⎪-⎩为大于的奇数为偶数， ∴所求值为()()()2345201801912a a a a a a a +++++++()2019121230252-=+--⨯=-，故选C ．二、填空题．13．【答案】80【解析】52x x ⎛ ⎝的展开式中，通项公式()()35552155C 22C 1rr r r r r r r T x x x ---+⎛ ⎝==-， 令3522r -=，解得2r =．2x ∴的系数325C 280==，故答案为80． 14．【答案】31e【解析】因为225π25π25π13sin tan 144422f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以3232331ee 2ef -⨯-⎛⎫=== ⎪⎝⎭．故答案为31e ． 15．【答案】3-【解析】2BC BD =，D ∴为BC 的中点，()12AD AB AC ∴=+， 111222cos1203222BA AD AB BA AC BA ∴⋅=⋅+⋅=-+⨯⨯⨯︒=-， 221112442223222AD AB AC AB AC =++⋅=++⨯⨯⨯则向量BA 在AD 上的投影为33BA AD AD⋅-==-316．【答案】2e【解析】设()00,P x y ，()22f x x a '=+，()24ag x x'=． 由题意知，()()00f x g x =，()()00f x g x ''=，即2200024ln x ax a x b +=+，① 200422a x a x +=，②解②得：0x a =或02x a =-（舍）， 代入①得：2234ln b a a a =-，()0,a ∈+∞，()68ln 4214ln b a a a a a a '=--=-，当140,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0b '>；当14e ,a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，0b '<．∴实数b 的最大值是1144e e e e 3e b ⎛⎫== ⎪⎝⎭e三、解答题． 17．【答案】（1）1718-；（2）511+ 【解析】（1）∵tan 35C =1cos 6C =，∴2117cos 221618C ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭．（2）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． ∵3sin 2sin A B =，∴32a b =，∵1AC BC b a -=-=，∴2a =，3b =．由余弦定理可得2222cos 13211c a b ab C =+-=-=， 则11c =ABC △的周长为511．18．【答案】（1）7n =；（2）37；（3）详见解析．【解析】（1）由题意知共有8n +个集团，取出2个集团的方法总数是28C n +，其中全是小集团的情况有28C ，故全是小集团的概率是()()282856487C C 15n n n +==++， 整理得到()()78210n n ++=，即2151540n n +-=，解得7n =．（2）若2个全是大集团，共有27C 21=种情况； 若2个全是小集团，共有28C 28=种情况， 故全为大集团的概率为21321287=+．（3）由题意知，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，计算()0487415C C 10C 39P X ===；()1387415C C 81C 39P X ===；()2287415C C 282C 65P X ===；()3187415C C 563C 195P X ===；()4087415C C 24C 39P X ===，故X 的分布列为：X 0 1 2 3 4 P139839286556195239数学期望为()182856232012343939651953915E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．【答案】（16；（26 【解析】（1）方法一：设AB 的长为t ，依题意可知BA ，BC ，1BB 两两垂直，分别以BC ，1BB ，BA 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示．则()0,0,A t ，)3,0,0C，()10,1,0B ，)13,1,0C ，31,02O ⎫⎪⎪⎝⎭，()10,1,A t ， 因此()13,1,0B C =-，()3,0,AC t =-，()113,0,AC t =-．设()1113,0,A P AC t λλλ==-，易求得点P 的坐标为()3,1,t t λλ-，所以313,2OP t t λλ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎭． 因为OP ⊥平面1AB C ，所以()11133022133102OP B C OP AC t t λλλ⎧⎪⎫⋅=⨯--=⎪⎭⎫⋅=⨯--⋅-=⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎭．解之得623t λ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩，所以AB 6方法二：如图，在平面11BCC B 内过点O 作1B C 的垂线分别交BC 和11B C 于M ，N ，连接PN ， 在平面ABC 内过点M 作BC 的垂线交AC 于R ，连接OR ．依题意易得，11RM A B PN R ⇒∥∥，M ，N ，P ，O 五点共面． 因为PO ⊥平面1AB C ，所以RM ONPO RO RMO ONP MO PN⊥⇒~⇒=△△．① 在1B ON △中，13tan30ON B O =⋅︒=1123cos30OB B N ==︒N 为线段11B C 靠近1C 的三等分点． 由对称性知，M 为线段BC 靠近B 的三等分点，因此23RM AB =，13PN AB =．代入①，得33622AB OM ON =⋅==． （2）由（1）方法一可知，31662OP ⎛= ⎝⎭是平面1AB C 的一个法向量且()13,1,0B C =-，116B A ⎛= ⎝⎭． 设平面11A B C 的法向量为n ，则1110B C B A ⋅=⇒⋅=⎧⎪⎨⎪⎩n n n 可以为()3,0．2363cos 22,OP OP OP ⋅〈〉===⨯n n n．因为二面角11A B C A --为锐角，故所求二面角11A B C A --6． 20．【答案】（1）24y x =；（2）()1,2P ±．【解析】（1）因为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，在抛物线方程22y px =中，令2p x =，可得y p =±．于是当直线与x 轴垂直时，24AB p ==，解得2p =． 所以抛物线的方程为24y x =．（2）因为抛物线24y x =的准线方程为1x =-，所以()1,2M --． 设直线AB 的方程为1y x =-，联立241y xy x ==-⎧⎨⎩消去x ，得2440y y --=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y +=，124y y =-． 若点()00,P x y 满足条件，则2PM PA PB k k k =+， 即0010200102221y y y y y x x x x x +--⋅=++--， 因为点P ，A ，B 均在抛物线上，所以2004y x =，2114y x =，2224y x =．代入化简可得()()00122200120122224y y y y y y y y y y y +++=++++，将124y y +=，124y y =-代入，解得02y =±． 将02y =±代入抛物线方程，可得01x =． 于是点()1,2P ±为满足题意的点．21．【答案】（1）1a =；（2）见解析．【解析】（1）由题意，函数()f x 的定义域为()0,+∞，其导函数()()ln 1f x x a x '=--， 记()()h x f x ='，则()1ax h x x='-．当0a ≤时，()10axh x x-'=≥恒成立，所以()h x 在()0,+∞上单调递增，且()10h =． 所以()1,x ∀∈+∞，有()()0h x f x ='>，故0a ≤时不成立；当0a >时，若10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()10ax h x x -'=>；若1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则()10ax h x x -'=<．所以()h x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减．所以()max1ln 10h x h a a a ⎛⎫==-+-= ⎪⎝⎭． 令()ln 1g a a a =-+-，则()111a g a a a'-=-=． 当01a <<时，()0g a '<；当1a >时，()0g a '>． 所以()g a 在()0,1的单减，在()1,+∞单增． 所以()()10g a g ≥=，故1a =．（2）当1a =时，()21ln 2f x x x x =-，则()1ln f x x x =+-'．由（1）知()1ln 0f x x x '=+-≤恒成立， 所以()21ln 2f x x x x =-在()0,+∞上单调递减，且()112f =-，()()()12121f x f x f +=-=，不妨设120x x <<，则1201x x <<<， 欲证122x x +>，只需证212x x >-，因为()f x 在()0,+∞上单调递减，则只需证()()212f x f x <-，又因为()()121f x f x +=-，则只需证()()1112f x f x --<-，即()()1121f x f x -+>-． 令()()()2F x f x f x =+-（其中()0,1x ∈），且()11F =-． 所以欲证()()1121f x f x -+>-，只需证()()1F x F >，()0,1x ∈， 由()()()()()21ln 1ln 22F x f x f x x x x x =--=+--+-'-'+'，整理得()()()()ln ln 2210,1F x x x x x -'=--+∈，， ()()()22102x F x x x -=-'>'，()0,1x ∈，所以()()()ln ln 221F x x x x =--+-'在区间()0,1上单调递增， 所以()0,1x ∀∈，()()()()ln ln 22110F x x x x F =--+-<'='， 所以函数()()()2F x f x f x =+-在区间()0,1上单调递减， 所以有()()1F x F >，()0,1x ∈， 故122x x +>．22．【答案】（1）1:4cos C ρθ=，2:4sin C ρθ=；（2）33【解析】（1）曲线1C 的圆心为()2,0，半径为2，把互化公式代入可得：曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=．设(),Q ρθ，则,2πP ρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则有4cos 4sin π2ρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．所以曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （2）M 到射线π3θ=的距离为2sin 33πd ==)4sin cos ππ23133B A AB ρρ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，则1332S AB d =⨯= 23．【答案】（1）3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）1,22⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】（1）12ax -≤，212ax -≤-≤，13x a a -≤≤，13,A a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦． ()2,2A ⊆-，1232aa⎧->-⎪⎪∴⎨⎪<⎪⎩，32a >，a ∴的取值范围3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）由题意3112ax x -++>恒成立，设()11h x ax x =-++，()()()()()1,1112,111,a x x h x a x x a a x x a ⎧⎪-+<-⎪⎪⎛⎫=-+-≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，①01a <≤时，由函数单调性()()min 11h x h a =-=+，312a +>，112a ∴<≤， ②1a >时，()min 11a h x h a a +⎛⎫== ⎪⎝⎭，132a a +>，12a ∴<<，综上所述，a 的取值范围1,22⎛⎫⎪⎝⎭．。
2019年高三数学最新信息卷五理
12019年高考高三最新信息卷理 科 数 学（五）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·南洋模范中学] “112x <<”是“不等式11x -<成立”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也不必要条件2．[2019·吉林调研]欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有 非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，πi 4ie 表示的复数位于复平面内（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．[2019·安阳一模]2291sin cos αα+的最小值为（ ） A ．18B ．16C ．8D ．64．[2019·桂林一模]下列函数中是奇函数且有零点的是（ ） A ．()f x x x =+ B ．()1f x x x -=+ C ．()1tan f x x x=+D ．()πsin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5．[2019·河南八市联考]如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（ ）A ．84B ．7882+C ．7682+D ．8082+6．[2019·维吾尔二模]将函数()f x 的图象向右平移一个单位长度，所得图象与曲线ln y x =关于 直线y x =对称，则()f x =（ ） A ．()ln 1x +B ．()ln 1x -C ．1e x +D ．1e x -7．[2019·河南联考]已知函数()()π2sin 02f x x ωϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，且()01f =，若函数()f x 的图象关于4π9x =对称，则ω的取值可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．[2019·天一大联考]如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等． 某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，设其命中10，9，8，7环的概率分别为1P ，2P ，3P ，4P ， 则下列选项正确的是（ ）A ．12P P =B ．123P P P +=C ．40.5P =D ．2432P P P +=9．[2019·虹口二模]已知直线l 经过不等式组21034020x y x y y -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，且与圆22:16O x y +=相交于A 、B 两点，则当AB 最小时，直线l 的方程为（ ） A ．20y -= B ．40x y -+= C ．20x y +-=D ．32130x y +-=10．[2019·凯里一中]已知ABC △是边长为a 的正三角形，且AM AB λ=，()1AN AC λ=-()λ∈R ，设()f BN CM λ=⋅，当函数()f λ的最大值为2-时，a =（ ）2A ．423B ．42C ．433D ．4311．[2019·齐齐哈尔二模]已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作垂直x 轴的直线交椭圆E 于A ，B 两点，点A 在x 轴上方．若3AB =，2ABF △的内切圆的面积为9π16，则直线2AF 的方程是（ ） A ．3230x y +-= B ．2320x y +-= C ．4340x y +-=D ．3430x y +-=12．[2019·西大附中]已知奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，若函数()()()22g x f x f a x =+-恰有4个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞ B ．()1,+∞C ．(]01,D ．()01,第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·西城期末]在某次国际交流活动中，组织者在某天上午安排了六场专家报告（时间如下，转场时间忽略不计），并要求听报告者不能迟到和早退．某单位派甲、乙两人参会，为了获得更多的信息，单位要求甲、乙两人所听报告不相同，且所听报告的总时间尽可能长，那么甲、乙两人应该舍去的报告名称为______．14．[2019·天津毕业]已知πsin dx a x =⎰，则5ax x ⎛+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 的系数为__________． 15．[2019·永州二模]在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，30A =︒，45C =︒，3c =，点P 是平面ABC 内的一个动点，若60BPC ∠=︒，则PBC △面积的最大值是__________．16．[2019·甘肃一诊]已知定义在R 上的偶函数()f x ，满足()()()42f x f x f +=+，且在区间[]0,2上是增函数，①函数()f x 的一个周期为4；②直线4x =-是函数()f x 图象的一条对称轴；③函数()f x 在[)6,5--上单调递增，在[)5,4--上单调递减； ④函数()f x 在[]0,100内有25个零点；其中正确的命题序号是_____（注：把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·攀枝花统考]已知数列{}n a 中，11a =，()*112,2n n a a n n n --+=∈≥N ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设141n n b a =-，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T ．18．（12分）[2019·呼和浩特调研]如图，平面四边形ABCD ，AB BD ⊥，2AB BC CD ===，22BD =，将ABD △沿BD 翻折到与面BCD 垂直的位置．（1）证明：CD ⊥面ABC ；（2）若E 为AD 中点，求二面角E BC A --的大小．19．（12分）[2019·大联一模]某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人200人，第二车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间（单位：min）分别进行统计，得到下列统计图表（按照[)55,65，[)65,75，[)75,85，[]85,95分组）．第一车间样本频数分布表（1）分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于75min的人数；（2）分别估计两车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（3）从第一车间被统计的生产时间小于75min的工人中，随机抽取3人，记抽取的生产时间小于65min的工人人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．20．（12分）[2019·大兴一模]已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的离心率为12，M是椭圆C的上顶点，1F，2F是椭圆C的焦点，12MF F△的周长是6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过动点()1P t,作直线交椭圆C于A，B两点，且PA PB=，过P作直线l，使l与直线AB垂直，证明：直线l恒过定点，并求此定点的坐标．21．（12分）[2019·拉萨中学]已知()()lnf x x mx m=+∈R．34（1）求()f x 的单调区间；（2）若e m =（其中e 为自然对数的底数），且()f x ax b ≤-恒成立，求ba的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·汉中联考]在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：()1sin cos x a t y a t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（0a >，t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：()π6θρ=∈R ． （1）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（2）若直线3C的方程为y =，设2C 与1C 的交点为O ，M ，3C 与1C 的交点为O ，N ， 若OMN △的面积为，求a 的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 [2019·全国大联考]已知函数()2f x x =-． （1）求不等式()41f x x >-+的解集； （2）设a ，10,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若126f f a b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求证：225b a +≥．绝密 ★ 启用前2019年高考高三最新信息卷理科数学答案（五）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】不等式11x -<成立，化为111x -<-<，解得02x <<， ∴“112x <<”是“不等式11x -<成立”的充分条件．故选A ． 2．【答案】A 【解析】∵πi 4ππ22e cosisin i 44=+=+，∴πi 4i 22i 22i i 22e i ⎛⎫===- ⎪⎪⎝+ ⎭+， 此复数在复平面中对应的点22,⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭位于第一象限，故选A ．3．【答案】B【解析】()2222229191sin cos sin cos sin cos αααααα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭22229cos sin 91216sin cos αααα≥++⋅=， 故选B ． 4．【答案】C【解析】A ．∵()f x x x =+，∴()f x x x -=-+，而()f x x x -=--，∴不是奇函数，排除A ； D ．∵()πsin cos 2f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴()()cos f x x f x -==，即()f x 为偶函数，排除D ；B ．∵()1f x x x -=+，∴()()1f x x x f x --=--=-，∴函数()f x 是奇函数， 但令()0f x =，可知方程无解，即()f x 没有零点，∴排除B ；C ．∵()1tan f x x x =+，∴()()1tan f x x f x x-=--=-，∴()f x 是奇函数， 又由正切函数的图像和反比例函数的图像易知，1y x =-与tan y x =必然有交点，因此函数()1tan f x x x=+必有零点．故选C ．5．【答案】C【解析】由三视图可知几何体为五棱柱，底面为正视图中的五边形，高为4，∴五棱柱的表面积为()144222442+2+224=76+822⎛⎫⨯-⨯⨯⨯+++⨯ ⎪⎝⎭，故选C ．6．【答案】C【解析】作ln y x =关于直线y x =的对称图形，得函数e x y =的图像，再把e x y =的图像向左平移一个单位得函数1e x y +=的图像，∴()1e x f x +=．故选C ． 7．【答案】C【解析】∵()()2sin f x x ωϕ=+，∴由()01f =，得1sin 2ϕ=． 又∵π02ϕ<<，∴π6ϕ=，∴()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．又∵()f x 关于4π9x =对称，∴4ππππ962k ω⋅+=+，3944k ω=+，令1k =，则3ω=．故选C ．8．【答案】D【解析】若设中心圆的半径为r ，则由内到外的环数对应的区域面积依次为21πS r =，22224ππ3πS r r r =-=，22239π4π5πS r r r =-=，222416π9π7πS r r r =-= 22222π3π5π7π16πS r r r r r =+++=总；()i i i 1,2,3,4S P S ==总，则1116P =，2316P =，3516P =，4716P =， 验证选项，可知只有选项D 正确．故选D ． 9．【答案】D【解析】不等式组表示的区域如图阴影部分，其中AB 的中点为P ，则AP OP ⊥，∴OP 最长时，AB 最小，∵最小l 经过可行域，由图形可知点P 为直线210x y -+=与20y -=的交点()3,2时，OP 最长， ∵23OP k =，则直线l 的方程为()3224y x ---=，即32130x y +-=．故选D ． 10．【答案】C【解析】由题得22π1cos32AB AC a a ⋅==，()()()()2222111122BN CM BA AN CA AM a a a a λλλλ⋅=+⋅+=---+-22111222a λλ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，∴当1=2λ时，()f λ的最大值为2328a -=-，∴433a =．故选C ．11．【答案】D【解析】设内切圆半径为r ，则29ππ16r =，∴34r =， ∵()1,0F c -，∴内切圆圆心为3,04c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由3AB =知3,2A c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()2,0F c ，∴2AF 方程为3430x cy c +-=，由内切圆圆心到直线2AF 距离为r ，即2233343434c c⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=+得1c =， ∴2AF 方程为3430x y +-=．故选D ． 12．【答案】D【解析】∵()()()()22g x f x f a x g x -=+-=，∴()g x 是偶函数，若()()()22g x f x f a x =+-恰有4个零点，等价于当0x >时，()g x 有两个不同的零点， ∵()f x 是奇函数，∴由()()()220g x f x f a x =+-=，得()()()222f x f a x f x a =--=-，∵()f x 是单调函数，∴22x x a =-，即22a x x -=-， 当0x >时，2222a x x x x -=--=有两个根即可，设()()22211h x x x x =---=，要使当0x >时，22a x x -=-有两个根，则10a -<-<，即01a <<，即实数a 的取值范围是()01,，故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】D【解析】通过数据比对，甲、乙两人应该舍去的报告名称为D ， 当甲乙两人中某人听报告D ，则此人不能听报告B ，C ，E ，F ，故听报告D 最不合适，故答案为D ． 14．【答案】80【解析】由题得()πcos 2a x =-=，∴552ax x x x =⎛⎛++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设二项式展开式的通项为()35552155C 2C 2rr rrr r r T x xx ---+==⋅ ⎪⎝⎭， 令3522r -=，∴2r =，∴2x 的系数为235C 280=．故答案为80． 15．【答案】93【解析】∵30A =︒，45C =︒，3c =，∴由正弦定理sin sin a cA C=，可得13sin 322sin 2c A a C ⨯⋅===．又60BPC ∠=︒，∴在三角形PBC 中，令PB m =，令PC n =，由余弦定理可得22912cos 22m n BPC mn +-∠==， ∴2299222m n mn mn +-=≥-，（当且仅当32m n ==时等号成立） ∴92mn ≤，∴193sin 2S mn BPC =∠=．故答案为93．16．【答案】①②④【解析】令2x =-得()()()2422f f f -+=-+，即()20f -=，由于函数为偶函数，故()()220f f =-=．∴()()4f x f x +=，∴函数是周期为4的周期函数，故①正确． 由于函数为偶函数，故()()()()44484f x f x f x f x -+=-=--=--， ∴4x =-是函数图像的一条对称轴，故②正确．根据前面的分析，结合函数在区间[]0,2上是增函数，画出函数图像如下图所示．由图可知，函数在[)6,4--上单调递减，故③错误．根据图像可知，()()()()2610980f f f f =====，零点的周期为4，共有25个零点，故④正确．综上所述正确的命题有①②④．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）()2*n a n n =∈N ；（2）21n nT n =+． 【解析】（1）当2n ≥时，由于121n n a a n --=-，11a =， ∴()()()()21122111321n n n n n a a a a a a a a n n ---=-+-++-+=+++-=，又11a =满足上式，故()2*n a n n =∈N ． （2）()()21111114141212122121n n b a n n n n n ⎛⎫====- ⎪--+--+⎝⎭．∴11111111112335212122121n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭． 18．【答案】（1）见解析；（2）45︒．【解析】（1）证明：∵平面四边形ABCD ，AB BD ⊥，2AB BC CD ===，22BD =， 面ABD ⊥面BCD ，AB BD ⊥，面ABD 平面BCD BD =，∴AB ⊥面BCD ，∴AB CD ⊥， 又2228AC AB BC =+=，22212AD AB BD =+=，22212AD AC CD =+=， ∴AB BC ⊥，AB BD ⊥，AC CD ⊥， ∵ACAB A =，∴CD ⊥平面ABC ．（2）解：AB ⊥面BCD ，如图以B 为原点，在平面BCD 中，过B 作BD 的垂线为x 轴， 以BD 为y 轴，以BA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()0,0,2A ，()2,2,0C，()0,22,0D ，∵E 是AD 的中点，∴()0,2,1E ，∴()2,2,0BC =，()0,2,1BE =，令平面BCE 的一个法向量为(),,x y z =n ，则22020BC x y BE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n ，取1x =，得()1,1,2=-n ，∵CD ⊥面ABC ，∴平面ABC 的一个法向量为()2,2,0CD =-，∴2cos ,CD CD CD⋅==⋅n n n ，∴二面角E BC A --的大小为45︒． 19．【答案】（1）60，300；（2）第二车间工人生产效率更高；（3）见解析． 【解析】（1）估计第一车间生产时间小于75 min 的工人人数为6200=6020⨯（人）． 估计第二车间生产时间小于75 min 的工人人数为()4000.0250.0510300+⨯=（人）． （2）第一车间生产时间平均值约为602+704+8010+904==7820x ⋅⋅⋅⋅第一车间（min ）． 第二车间生产时间平均值约为600.25700.5800.2900.0570.5x =⨯+⨯+⨯+⨯=第二车间（min ）． ∴第二车间工人生产效率更高．（3）由题意得，第一车间被统计的生产时间小于75 min 的工人有6人，其中生产时间小于65 min 的有2人，从中抽取3人，随机变量X 服从超几何分布，X 可取值为0，1，2，()032436C C 410C 205P X ====，()122436C C 1231C 205P X ====，()212436C C 412C 205P X ====． X 的分布列为：∴数学期望()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=．20．【答案】（1）22143x y +=；（2）见解析． 【解析】（1）由于M 是椭圆C 的上顶点，由题意得226a c +=， 又椭圆离心率为12，即12c a =，解得2a =，1c =， 又2223b a c =-=，∴椭圆C 的标准方程22143x y +=．（2）当直线AB 斜率存在，设AB 的直线方程为()1y t k x -=-，联立()2234121x y y t k x ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩，得()()()2223484120k x k t k x t k ++-+--=，由题意，0∆>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则()122834k t k x x k -+=-+，∵PA PB =，∴P 是AB 的中点．即1212x x +=，得()28234k t k k --=+，340kt +=， ① 又l AB ⊥，l 的斜率为1k -，直线l 的方程为()11y t x k -=--， ②把①代入②可得114y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴直线l 恒过定点1,04⎛⎫⎪⎝⎭．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =，此时直线l 为x 轴，也过1,04⎛⎫⎪⎝⎭．综上所述，直线l 恒过点1,04⎛⎫⎪⎝⎭．21．【答案】（1）见解析；（2）1e．【解析】（1）由()ln f x x mx =+，得()11mxf x m x x+'=+=， （ⅰ）当0m ≥时，()0f x '>恒成立，()f x 在()0,+∞上单调递增； （ⅱ）当0m <时，解()0f x '=得1x m=-， 当10,x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当1,x m ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减．（2）当e m =时，()ln e f x x x =+，令()()ln e g x x a x b =+-+，则()()1e g x a x '=+-， 由（1）可知，当e a ≤时，()g x 在()0,+∞上单调递增，不合题意； 当e a >时，()g x 在10e a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭,上单调递增，在1,e a ⎛⎫+∞⎪-⎝⎭上单调递减， 当1ex a =-时，()g x 取得最大值； ∴10e g a ⎛⎫≤ ⎪-⎝⎭恒成立，即()11lne 0e e a b a a +-⨯+≤--，整理得()ln e 10a b --+≥， 即()ln e 1b a ≤-+，()ln e 1a b a a-+≤， 令()()ln e 1a h a a-+=，()()()()2e e ln e e a a h a a a ---'=-，令()()()e e ln e H a a a =---，()()ln e 1H a a '=---，解()0H a '=得1e ea =+， 当1e,e e a ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0H a '>，()H a 单调递增；当1e ,e a ⎛⎫∈++∞ ⎪⎝⎭时，()0H a '<，()H a 单调递减；当1e e a =+时，()H a 取得最大值为11e e e e H ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，∵当e a →时，()0H a >，然而()2e 0H =，∴当()e,2e a ∈时，()0H a >恒成立，当()2e,a ∈+∞时，()0H a <恒成立，∴()h a 在()e,2e 上单调递增，在()2e,+∞上单调递减，即函数()h a 的最大值为()12e e h =，∴b a 的最大值为1e．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）1C 是以(),0a 为圆心，a 为半径的圆，1C 的极坐标方程2cos a ρθ=； （2）2a =．【解析】（1）由已知得1sin cos xt a y t a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩平方相加消去参数t 得到2211x y a a ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即()222x a y a -+=，∴1C 的普通方程：()222x a y a -+=， ∴1C 是以(),0a 为圆心，a 为半径的圆，再将cos x ρθ=，sin y ρθ=带入1C 的普通方程，得到1C 的极坐标方程2cos a ρθ=． （2）3C 的极坐标方程()5π3θρ=∈R ， 将π6θ=，5π3θ=代入2cos a ρθ=，解得1ρ=，2a ρ=， 则OMN △的面积为21ππsin 263a ⎛⎫⨯⨯+= ⎪⎝⎭2a =． 23．【答案】（1）35,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）见解析．【解析】（1）()41f x x >-+可化为241x x ->-+，即124x x ++->， 当1x ≤-时，()()124x x -+-->，解得32x <-；当12x -<<时，()124x x +-->，无解；当2x ≥时，124x x ++->，解得52x >． 综上可得32x <-或52x >，故不等式()41f x x >-+的解集为35,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）∵a ，10,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴1212226f f a b ab ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1210a b +=，∴12222422b b a a a b a b ⎛⎫⎛⎫++=++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当22b a a b =，即15a =，25b =时取等号， ∴1042b a ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，即225b a +≥．。
神州智达2019届高三诊断性大联考(三)理科数学(预测卷Ⅰ)
神州智达2019届高三诊断性大联考（三）理科数学（预测卷Ⅰ）一、选择题： 1．已知集合1{|1}A x x=>，B ＝{x|x 2＜2x}，则（U A ð）∩B ＝ A ．（－1，0] B ．[－1，2） C ．[1，2） D ．（1，2]2．已知i 为虚数单位，则复数21i(1i)z -=+的虚部是 A ．－1 B ．－iC ．12-D ．1i 2-3．若等差数列{a n }的前9项和S 9＝27，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝ A ．27 B ．12 C ．9 D ．34．下列关于函数()ln(f x x =+的结论中不正确的是A ．f （x ）的定义域是RB ．f （x ）是非奇非偶函数C ．f （x ）在其定义域上是增函数D ．函数f （x ）与函数1(e e )2x xy -=-的图象关于直线y ＝x 对称5．下列结论中正确的是 A ．∃x 0∈R ，00e 1x x <+B ．∀x ＞0，lnx ＜x －1C ．∃x 0∈R ，sinx 0＋cosx 0＝32D ．∀x≥0，x≥sinx6．设不等式组240,240y x y x y ⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥0,≥≤表示的平面区域为M ，抛物线y ＝1－x 2与x 轴所围成的封闭区域为N ．在区域M 中随机取一个点，则此点取自区域N 的概率为A ．16B ．14C ．13D ．187．已知某圆锥的正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，其三视图如图．圆锥表面上的点A 、B 在正视图上对应的点分别为M 和N ，其中N 是三角形一边的中点，则在此圆锥的侧面上，从A 到B 的路径中，最短路径的长度为BC ．2 D8．执行如图所示的程序框图，则输出S ＝A ．110 B ．910C ．111D ．10119．如图是函数f （x ）＝Asin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0，||2ϕπ<）的部分图象，则()6f π=B．12 C．1 D10．已知F（c，0）是双曲线C：22221x ya b-=（a＞0，b＞0）的右焦点，圆（x－c）2＋y2＝4b2与双曲线C的一条渐近线相交于A、B两点，若|AB|＝2a，则双曲线C的渐近线的方程为A．y＝±xB．y=C．y=D．y=11．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，M是A1D1的中点，设BD1与平面ACM相交于点P，则1D PPB＝A．35B．25C．13D．1212．已知函数f（x）＝mln（1－2x）－4x2＋（4－2m）x＋m－1有且只有一个零点，则正实数m的值等于A．1B．2D．3二、填空题13．（x2＋2x－1）5展开式中含x3项的系数为________．（用数字作答）14．已知△ABC是边长为1的正三角形，点E是AC边的中点，点F满足2CF FB=，则EF AB⋅=________．15．设椭圆22221x ya b+=（a＞b＞0）的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，点Q在椭圆上，且有QF⊥OF，若△ABO面积是△OQF面积的2倍，则该椭圆的离心率为________．16．已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝3，且满足a n＋2＝3a n＋1－2a n，则数列{a n}前10项和等于________．三、解答题17．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2asinA＝ccosB＋bcosC．（1）求角A的大小；（2）若a＝2，求△ABC面积的最大值．18．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，平面PCB⊥平面ABCD，平面PCD⊥平面ABCD．（1）证明：PC⊥平面ABCD；，求PB与平面PAD所成（2）若二面角B－PA－D的大小为23角的大小．19．机动车的尾气是雾霾颗粒组成的主要成分，最新数据显示，某市雾霾颗粒中机动车尾气占22.2％，为减少汽车尾气排放，提高空气质量，各地纷纷推出汽车尾号限行措施．为做好此项工作，市交警支队对市区各交通枢纽进行调查统计，表中列出了某交通路口单位时间内通过的1000辆汽车的车牌尾号记录（尾号为字母的以最后一位数字为准）：请根据表格提供的信息回答下列问题：（1）若采用分层抽样的方法从这1000辆汽车中抽出20辆，再从这20辆中任选4辆，求选取的4辆车中恰有2辆尾号为偶数的概率；（2）以频率代替概率，在此路口随机抽取4辆汽车，奖励汽车用品．用ξ表示车尾号在第一组的汽车数目，求ξ的分布列和数学期望．20．已知直线l ：x ＝－1，点F （1，0），点M 是直线l 上任意一点，动点P 满足MP OP ∥，()0PM PF MF +⋅=，设动点P 的轨迹为C ． （1）求C 的方程；（2）设A 、B 、C 、D 是轨迹C 上的四个动点，且有AB ⊥CD ，k OA ·k OB ＝－4，k OC ·k OD ＝－4，求|AB|＋|CD|的最小值． 21．已知函数f （x ）＝mlnx －x 2＋（2m －1）x （m ∈R ）． （1）若f （x ）恰有一个零点，求m 的取值范围；（2）若f （x ）有两个不同零点x 1，x 2，证明：x 1＋x 2＞2m ． 22．已知平面直角坐标系中，椭圆C 的方程为221169x y +=，点P （4，3），直线l的参数方程为4cos ,3sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t是参数，0≤α＜π）．（1）设直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A 、B 两点，求|PA|·|PB|的最小值并写出此时直线l 的普通方程；（2）写出椭圆C 的参数方程，并在椭圆C 上求一点M ，使点M 到（1）中所得直线l 的距离最小．23．已知函数f （x ）＝＝|x －1|＋|x －a|＋|x －3|． （1）当a ＝1时，求不等式f （x ）＜4的解集； （2）当a ＝2时，求函数f （x ）的最小值．神州智达2019届高三诊断性大联考（三）理科数学参考答案（预测卷工）一、选择题二、填空题 13．40 14．71215．216．2036 三、解答题17．解：（1）由已知及正弦定理可得，2sinAsinA ＝sinCcosB ＋sinBcosC ＝sin （B ＋C ）＝sinA ， 因为A 为△ABC 的内角，所以sinA≠0， 所以1sin 2A =，又因为A 是锐角，所以6A π=．（2）由余弦定理得4＝b 2＋c 2，又b 2＋c 2≥2bc ， 所以4(2bc =（当且仅当b ＝c 时取等号），∴11sin 224ABCSbc A bc ==+≤． 所以△ABC 面积的最大值为2+18．解：（1）∵平面PCB ⊥平面ABCD ，平面PCB∩平面ABCD ＝BC ，且有AB ⊥BC ，∴AB ⊥平面PBC ，∴AB ⊥PC ， 同理可证AD ⊥PC ， 所以PC ⊥平面ABCD ．（2）如图以点C 为坐标原点，CD 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，PC 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，||AB 为一个单位长度，并设||CP a =，则A （1，1，0），B （0，1，0），D （1，0，0），P （0，0，a ），PA ＝（1，1，－a ），PB ＝（0，1，－a ），PD ＝（1，0，－a ）．设平面PAB 的法向量为m ＝（x ，y ，z ），则0,0,PA PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即0,0,x y az y az +-=⎧⎨-=⎩ 取m ＝（0，a ，1）；同理可得平面PAD 的法向量为n ＝（a ，0，1）．由cos ＜m ，n ＞＝21112a =+得a ＝1．所以PB ＝（0，1，－1），n ＝（1，0，1），所以1sin |cos ,|2PB θ=n ， 所以PB 与平面PAD 所成角的大小为6π．19．解：（1）第一、二、三、四组应抽取的汽车分别为5辆、4辆、5辆、6辆．20辆车中尾号为偶数的有10辆，所以4辆车中恰有2辆尾号为偶数的概率为221010420C C 135C 323=．（2）在此路口随机抽取一辆汽车，该辆车的车尾号在第一组的概率为14．由题意知ξ～B （4，14），则P （ξ＝k ）＝4413C ()()44k k k-，k ＝0，1，2，3，4．ξ的分布列为：Eξ＝414⨯=． 20．解：（1）由22()()()||||0PM PF MF PM PF PF PM PF PM +⋅=+⋅-=-=， 得||||PM PF =，又PM l ⊥，所以动点P 的轨迹是以F （1，0）为焦点、以x ＝－1为准线的抛物线，所以C 的方程为y 2＝4x ．（2）设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，1114OA y k x y ==，24OB k y =，由k OA ·k OB ＝－4，得y 1y 2＝－4，又124AB k y y =+，所以直线AB的方程为11124()y y x x y y -=-+，即21112124y y x y y y y y =-+++，即124(1)y x y y =-+， 即直线AB 经过抛物线的焦点F （1，0）；同理可得直线CD 经过抛物线的焦点F （1，0）．由2(1),4AB y k x y x=-⎧⎨=⎩得k AB 2x 2（2k AB 2＋4）x ＋k AB 2＝0，所以12242ABx x k +=+，由抛物线的定义可得|AB|＝x 1＋x 2＋2＝4＋24ABk ；同理可得又1AB CDk k =-，∴24||4CDCD k =+，所以|AB|＋|CD|＝22184()16AB ABk k ++≥，当且仅当k AB ＝±1时取等号，所以|AB|＋|CD|的最小值为16．21．解：（1）f （x ）的定义域为（0，＋∞），(21)()'()221m x x m f x x m x x+-=-+-=-， 当m≤0时，f'（x ）＜0，f （x ）在（0，＋∞）上单调递减，又f （1）＝2m －2＜0，当x→0时，f （x ）→＋∞， 所以f （x ）有一个零点，满足题意；当m ＞0时，若x ∈（0，m ），则f'（x ）＞0，f （x ）单调递增， 若x ∈（m ，＋∞），则f'（x ）＜0，f （x ）单调递减，最大值为f （x ）max ＝f （m ）＝mlnm ＋m 2－m ， 由f （m ）＝0得m ＝1．综上可得，m 的取值范围是（－∞，0]∪{1}．（2）由（1）可知当m≤1时，f （x ）至多有一个零点，不满足题意；当m ＞1时，f （x ）max ＞0，∵21211()(1)0e e e ef m =---<， 所以f （x ）在（1e，m ）上有一个零点，又∵f （3m －1）＝mln[（3m －1）－（3m －1）]，且易证当m ＞1时，ln[（3m －1）－（3m －1）]＜ln2－2＜0，∴f （3m －1）＜0，∴f （x ）在（m ，3m －1）上有一个零点，所以此时有两个不同的零点．不妨设x 1＜x 2，那么一定有0＜x 1＜m ＜x 2． 设x ∈（0，m ），则f （m ＋x ）－f （m －x ）＝ln 2m xm x m x+--． 设()ln2m xg x m x m x+=--， 则2222'()x g x m x=-，且m ＞0，0＜x ＜m ，∴g'（x ）＞0，g （x ）在（0，m ）上递增， ∴g （x ）＞g （0）＝m ＞0， ∴f （m ＋x ）＞f （m －x ）．所以f （2m －x1）＝f （m ＋（m －x1））＞f （m －（m －x1））＝f （x1）＝f （x2）＝0又∵f （x ）在（m ，＋∞）上单调递减，2m －x 1＞m ，x 2＞m ， ∴2m －x 1＜x 2即x 1＋x 2＞2m ． 22．解：（1）由4cos ,3sin ,x t y t αα=+⎧⎨=+⎩令x ＝0，得14cos t α=-；令y ＝0得23sin t α=-，由参数t 的几何意义可得：23|||||sin |PA t α==，14|||||cos |PB t α==，所以|PA|·|PB|＝122424|sin cos ||sin 2|ααα=≥，当且仅当34απ=时等号成立；此时直线l 的普通方程为x ＋y －7＝0． （2）椭圆C的参数方程为4cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ是参数），设M （4cosθ，3sinθ），点M 到直线l ：x ＋y －7＝0的距离d ==3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=；当且仅当θ－φ＝0时取“＝”，此时cosθ＝cosφ＝45，sinθ＝sinφ＝35，所以点M （165，95）为所求．23．解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝2|x －1|＋|x －3|＝35,1,1,13,35,3,x x x x x x -+<⎧⎪+⎨⎪->⎩≤≤，不等式f （x ）＜4可化为354,1,14,13,354,3,x x x x x x -+><⎧⎪+>⎨⎪->>⎩≤≤解得133x <<，所以f （x ）＞4的解集为1{|3}3x x <<． （2）当a ＝2时，f （x ）＝|x －1|＋|x －2|＋|x －3|，∵|x －1|＋|x －3|≥|（x －1）－（x －3）|＝2，当且仅当1≤x≤3时等号成立，∴当x ＝2时，f （x ）min ＝2．。
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2019届河北省神州智达高考数学信息卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线y2=8x上到焦点距离等于6的横坐标为（）A．2 B．4 C．6 D．82．（5分）已知z 1=1+i（其中i为虚数单位），设为复数z1的共轭复数，=+，则复数z2在复平面所对应点的坐标为（）A．（0，1）B．（1，0）C．（0，2）D．（2，0）3．（5分）（2015秋•吉林校级期末）在等差数列{a n}中，2a9=a12+6，则数列{a n}的前11项和S11=（）A．24 B．48 C．66 D．1324．（5分）（2016•邢台校级模拟）给出下列命题，其中正确的命题为（）A．若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面B．若直线a与平面α不垂直，则a与平面α内的所有直线都不垂直C．若异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直D．若直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有直线都不平行5．（5分）已知集合A={x|y=}，B={x|3x=4}，则（）A．A∪B=A B．（∁R A）∩B=∅C．若α∈A，则f（x）=xα为增函数D．若α∈B，3α+3﹣α=16．（5分）某单位共有36名员工，按年龄分为老年、中年、青年三组，其人数之比为3：2：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为12的样本，则青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）（2016•邢台校级模拟）若关于x，y的不等式组（k≠0）表示的平面区域形状是直角三角形，则该区域的面积为（）A．B．C．D．8．（5分）（2016•邢台校级模拟）运行如图所示的程序，如果输入的n是2016，那么输出的S是（）A．2015•22016+2 B．2016•22016+2 C．2015•22017+2 D．2017•22017+29．（5分）已知（1﹣2x）2016=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+…+a2015（x﹣2）2015+a2016（x﹣2）2016（x∈R），则a1﹣2a2+3a3﹣4a4+…+2015a2015﹣2016a2016=（）A．1008 B．2016 C．4032 D．010．（5分）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是一个三棱锥的三视图，该三棱锥的外接球的表面积记为S1，俯视图绕底边AB所在直线旋转一周形成的几何体的表面积记为S2，则S1：S2=（）A．4 B．2 C．4 D．211．（5分）已知命题p：函数f（x）=是奇函数的充分必要条件为k=1；命题q：曲线x2+y2=1围成的面积大于π．下列是真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧（￢q）C．p∧（￢q）D．（￢p）∧q12．（5分）设[x]表示不大于实数x的最大整数，函数f（x）=，若f（x）有且仅有4个零点，则实数a的取值范围为（）A．a＜0或a=B．0≤a＜ C．a＞D．不存在实数a二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知角θ+的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y=2x上，则tanθ=______．14．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为线段CD（含端点）上一动点，则•的最大值为______．15．（5分）已知F1（﹣c，0）为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点，直线y=kx与双曲线交于A，B两点，若||=||，则双曲线的离心率的取值范围是______．16．（5分）已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=+1（n∈N*），数列{b n}满足b1=a6400，b n=（k∈N*），则数列{b n}的前n项和S n的最大值为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知函数f（x）=2sin2（x﹣）+cos2x﹣3．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若在△ABC中，AB=2|f（）|，AC=BC，求△ABC面积的最大值．18．（12分）一次研究性学习有“整理数据”、“撰写报告”两项任务，两项任务无先后顺序，每项任务的完成相互独立，互不影响．某班研究性学习有甲、乙两个小组．根据以往资料统计，甲小组完成研究性学习两项任务的概率都为，乙小组完成研究性学习两项任务的概率都为q．若在一次研究性学习中，两个小组完成任务项数相等，而且两个小组完成任务数都不少于一项，则称该班为“和谐研究班”．（Ⅰ）若q=，求在一次研究性学习中，已知甲小组完成两项任务的条件下，该班荣获“和谐研究班”的概率；（Ⅱ）设在完成4次研究性学习中该班获得“和谐研究班”的次数为ξ，若ξ的数学期望Eξ≥1，求q的取值范围．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面BCP，CD∥平面ABP，AB=BC=CP=BP=2CD=2．（Ⅰ）证明：平面BAP⊥平面DAP；（Ⅱ）点M为线段AB（含端点）上一点，设直线MP与平面DCP所成角为α，求sinα的取值范围．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的短轴长为2，线段AB是圆x2+y2﹣2x﹣y+m=0的一条直径也是椭圆C的一条弦，已知直线AB斜率为﹣1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设M，P是椭圆C上的两点，点M关于x轴的对称点为N，当直线MP，NP分别交x轴于点M1，N1，求证：|OM1|•|ON1|为定值．21．（12分）若函数f（x）的反函数记为f﹣1（x），已知函数f（x）=e x．（Ⅰ）设函数F（x）=f﹣1（x）﹣f（x），试判断函数F（x）的极值点个数；（Ⅱ）当x∈[0，]时，f（x）•sinx≥kx，求实数k的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+4ρsinθ=3，直线l与曲线C交于A，B两点．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|的最小值为m．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若正实数a，b，c满足a（2a+2c+b）=m﹣bc，求3a+b+c的最小值．2019届河北省神州智达高考数学信息卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线y2=8x上到焦点距离等于6的横坐标为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】由抛物线y2=8x可得2p=8，解得p．可得焦点，准线l的方程．设所求点P的坐标为（x0，y0），利用抛物线定义求解即可．【解答】解：由抛物线y2=8x可得2p=8，解得p=4．∴焦点F（2，0），准线l的方程为x=﹣2．设所求点P的坐标为（x0，y0），则|PF|=x0+=x0+2．∵|PF|=6，∴x0+2=6，解得x0=4．故选：B．【点评】本题考查了抛物线的定义、标准方程及其性质，属于基础题．2．（5分）已知z 1=1+i（其中i为虚数单位），设为复数z1的共轭复数，=+，则复数z2在复平面所对应点的坐标为（）A．（0，1）B．（1，0）C．（0，2）D．（2，0）【分析】根据复数的运算法则和共轭复数的定义进行化简即可得到结论．【解答】解：∵z1=1+i，∴=1﹣i，则由=+得，=+====1，则z2=1，即复数z2在复平面所对应点的坐标为（1，0），故选：B【点评】本题主要考查复数的几何意义以及复数的基本运算，比较基础．3．（5分）（2015秋•吉林校级期末）在等差数列{a n}中，2a9=a12+6，则数列{a n}的前11项和S11=（）A．24 B．48 C．66 D．132【分析】由等差数列通项公式求出a1+5d=6，由此能求出数列{a n}的前11项和．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，2a9=a12+6，∴2（a1+8d）=a1+11d+6，解得a1+5d=6，∴数列{a n}的前11项和：S11===11（a1+5d）=11×6=66．故选：C．【点评】本题考查等差数列的前11项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．4．（5分）（2016•邢台校级模拟）给出下列命题，其中正确的命题为（）A．若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面B．若直线a与平面α不垂直，则a与平面α内的所有直线都不垂直C．若异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直D．若直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有直线都不平行【分析】A．根据直线共面的性质进行判断；B．根据线面垂直的定义进行判断．；C．根据异面直线的定义和性质进行判断；D．根据线面平行的性质进行判断．【解答】解：A．直线a和b共面，直线b和c共面，a和c可能平行、相交也可能异面，故a和c不一定共面，故A错误，B．若直线a与平面α不垂直，如果直线a也在平面α内，则a与平面α内的有无数条直线都垂直，故B错误；C．假设过a的平面α与b垂直，由线面垂直的定义，则a⊥b，这与异面直线a、b不垂直相矛盾，故C正确，D．若直线a与平面α不平行，则直线a也可能在平面α内，则此时a与平面α内的无数条直线平行，故D 错误；故选：C【点评】本题考查命题的真假的判断，涉及空间直线和平面，直线和直线平行或垂直的判断，要证明一个结论是正确的，要经过严谨的论证，要找到能充分说明问题的相关公理、定理、性质进行说明；但要证明一个结论是错误的，只要举出反例即可．5．（5分）已知集合A={x|y=}，B={x|3x=4}，则（）A．A∪B=A B．（∁R A）∩B=∅C．若α∈A，则f（x）=xα为增函数D．若α∈B，3α+3﹣α=1【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出两集合的并集，求出A补集与B的交集，将A与B中元素代入选项C与D中判断即可．【解答】解：由A中y=，得到﹣x2+6x﹣9≥0，整理得：x2﹣6x+9≤0，即（x﹣3）2≤0，解得：x=3，即A={3}，由B中3x=4，得到x=log34，即B={log34}，∴A∪B={3，log34}；（∁R A）∩B={log34}；若α=3∈A，则f（x）=x3为增函数；若α=log34∈B，3α+3﹣α=4﹣4=0，故选C【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．6．（5分）某单位共有36名员工，按年龄分为老年、中年、青年三组，其人数之比为3：2：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为12的样本，则青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为（）A．B．C．D．【分析】先求出样本中的青年组人数，再求出总体中青年组的人数，根据古典概率公式计算即可．【解答】解：按分层抽样应该从青年组中抽取12×=2人，其中青年组共有36×=6人，设这6人分别为为甲，乙，丙，丁，戊，戌，其基本事件为甲乙，甲丙，甲丁，甲戊，甲戌，乙丙，乙丁，乙戊，乙戌，丙丁，丙戊，丙戌，丁戊，丁戌，戊戌，共15种，其中甲、乙至少有一人的基本事件有甲乙，甲丙，甲丁，甲戊，甲戌，乙丙，乙丁，乙戊，乙戌，共9种，故则青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为=故选：B【点评】本题考查古典概型及其概率的计算公式，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．7．（5分）（2016•邢台校级模拟）若关于x，y的不等式组（k≠0）表示的平面区域形状是直角三角形，则该区域的面积为（）A．B．C．D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用平面区域是直角三角形，求出k=2，结合三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，直线kx﹣y+1=0，过定点A（0，1），∵k≠0，∴若平面区域形状是直角三角形，则必有kx﹣y+1=0与直线y=﹣x垂直时，此时，此时k=2，即直线方程为2x﹣y+1=0，由得，即C（﹣，），此时△AOC的面积S==，故选：D．【点评】本题主要考查一元二次不等式组表示平面区域，以及直线垂直的等价条件，利用数形结合是解决本题的关键．8．（5分）（2016•邢台校级模拟）运行如图所示的程序，如果输入的n是2016，那么输出的S是（）A．2015•22016+2 B．2016•22016+2 C．2015•22017+2 D．2017•22017+2【分析】模拟程序的运行过程，得出该程序运行后输出的是S=1•2+2•22+3•23+…+2016•22016，再根据数列求和的公式求出S的值．【解答】解：模拟程序的运行过程，知，该程序运行后输出的是算式S=1•2+2•22+3•23+…+2016•22016①，所以2S=1•22+2•23+3•24+…+2016•22017②；②﹣①得，S=﹣2﹣22﹣23﹣24﹣…22016+2016•22017=﹣+2016•22017=2+2015•22017．所以输出的S是2+2015•22017．故选：C．【点评】本题考查了程序语言的应用问题，也考查了数列求和的应用问题，是综合性题目．9．（5分）已知（1﹣2x）2016=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+…+a2015（x﹣2）2015+a2016（x﹣2）2016（x∈R），则a1﹣2a2+3a3﹣4a4+…+2015a2015﹣2016a2016=（）A．1008 B．2016 C．4032 D．0【分析】对所给的等式两边分别对x求导数，再令x=1，可得要求式子的值．【解答】解：已知（1﹣2x）2016=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+…+a2015（x﹣2）2015+a2016（x﹣2）2016（x∈R），两边分别对x求导可得2016（2x﹣1）2015=a1 +2a2（x﹣2）+…+2015a2015（x﹣2）2014+2016a2016（x﹣2）2015（x ∈R），再令x=1，可得2016=a1﹣2a2+3a3﹣4a4+…+2015a2015 ﹣2016a2016 ，即 a1﹣2a2+3a3﹣4a4+…+2015a2015﹣2016a2016=2016，故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求函数的导数，属于中档题．10．（5分）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是一个三棱锥的三视图，该三棱锥的外接球的表面积记为S1，俯视图绕底边AB所在直线旋转一周形成的几何体的表面积记为S2，则S1：S2=（）A．4 B．2 C．4 D．2【分析】判断三视图复原的几何体的形状，底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，结合数据求出外接球的半径，由此能求出结果．【解答】解：三视图复原的几何体如图，它是底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，它的外接球，就是扩展为长方体的外接球，外接球的直径是2，该几何体的外接球的表面积为S1=4π（）2=8π．S2=2×（π×1×）=2π，∴S1：S2=8π：2π=2．故选：B．【点评】本题考查三视图求几何体的外接球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是中档题．11．（5分）已知命题p：函数f（x）=是奇函数的充分必要条件为k=1；命题q：曲线x2+y2=1围成的面积大于π．下列是真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧（￢q）C．p∧（￢q）D．（￢p）∧q【分析】根据奇函数的定义判断出命题p为假命题，根据圆的面积判断命题q为假命题，最后根据复合命题的真假判断即可．【解答】解：函数f（x）=是奇函数，∴f（﹣x）==﹣f（x）=﹣，整理可得k2﹣1=0，即k=±1，∴命题p为假命题，命题q：曲线x2+y2=1围成的面积等于π，故q为假命题，∴（￢p）∧（￢q）为真命题，故选：B．【点评】本题考查了奇函数的定义和圆的面积，复合命题的判断，属于中档题．12．（5分）设[x]表示不大于实数x的最大整数，函数f（x）=，若f（x）有且仅有4个零点，则实数a的取值范围为（）A．a＜0或a=B．0≤a＜ C．a＞D．不存在实数a【分析】根据分段函数的表达式，先讨论当x＞0时，函数零点的个数为3个，则条件等价为当x≤0时，函数f（x）的零点只有一个，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：当x＞0时，由f（x）=（lnx）2﹣[lnx]﹣2=0得（lnx）2=[lnx]+2≥0，则[lnx]≥﹣2，若[lnx]=﹣2，则﹣2≤lnx＜﹣1，此时方程等价为（lnx）2=[lnx]+2=﹣2+2=0，此时lnx=0，方程无解，不满足条件．若[lnx]=﹣1，则﹣1≤lnx＜0，此时方程等价为（lnx）2=[lnx]+2=﹣1+2=1，此时lnx=﹣1，此时x=，有一个解．若[lnx]=0，则0≤lnx＜1，此时方程等价为（lnx）2=[lnx]+2=0+2=2，此时lnx=，方程无解，不满足条件．若[lnx]=1，则1≤lnx＜2，此时方程等价为（lnx）2=[lnx]+2=1+2=3，此时lnx=，x=，有一个解．若[lnx]=2，则2≤lnx＜3，此时方程等价为（lnx）2=[lnx]+2=2+2=4，此时lnx=2，x=e2，有一个解．若[lnx]=3，则3≤lnx＜4，此时方程等价为（lnx）2=[lnx]+2=3+2=5，此时lnx=±，方程无解，不满足条件．若[lnx]=4，则4≤lnx＜5，此时方程等价为（lnx）2=[lnx]+2=4+2=6，此时lnx=±，方程无解，不满足条件，即当[lnx]≥4时，方程lnx）2=[lnx]+2无解，即当x＞0时，f（x）只有3个零点，若f（x）有且仅有4个零点，则等价为当x＜0时，若f（x）有且仅有1个零点，当x＜0时，f（x）=+x﹣a=0得=﹣x+a，作出函数y=和y=﹣x+a的图象如图：当y=和y=﹣x+a相切时，两个函数只有一个交点，此时平方得﹣x=x2﹣ax+a2，即x2+（1﹣a）x+a2=0，由判别式△=（1﹣a）2﹣4×a2=0得1﹣2a=0得a=，当直线经过原点时，函数y=和y=﹣x+a的图象有2个交点此时a=0，当a＜0时，函数y=和y=﹣x+a的图象有1个交点，综上实数a的取值范围是a＜0或a=，故选：A．【点评】本题主要考查函数零点的应用，利用分段函数的表达式判断当x＞0时函数f（x）的零点个数为3个是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知角θ+的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y=2x上，则tanθ= ．【分析】利用任意角的三角的三角函数的定义，两角和的正切公式，求得tanθ的值．【解答】解：角θ+的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y=2x上，则tan（θ+）==2，∴tanθ=，故答案为：．【点评】本题主要考查任意角的三角的三角函数的定义，两角和的正切公式的应用，属于基础题．14．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为线段CD（含端点）上一动点，则•的最大值为 4 ．【分析】设，用表示出，得出•关于λ的函数，根据λ的范围求出最大值．【解答】解：设，则==，又，∴•=（）•（）=﹣λ+（λ﹣1）=4﹣4λ．∵0≤λ＜1，∴当λ=0时，•取得最大值4．故答案为：4．【点评】本题考查了平面向量的线性运算，数量级运算，属于中档题．15．（5分）已知F1（﹣c，0）为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点，直线y=kx与双曲线交于A，B两点，若||=||，则双曲线的离心率的取值范围是（1，1+] ．【分析】连接AF2，BF2，可得四边形AF1BF2为平行四边形，即有|BF1|=|AF2|，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，结合已知条件和|AF2|≥c﹣a，运用离心率公式，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：连接AF2，BF2，可得四边形AF1BF2为平行四边形，即有|BF1|=|AF2|，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，||=||，即为|AF1|=|AF2|，可得2a=（﹣1）|AF2|，由双曲线的性质可得|AF2|≥c﹣a，即有2a≥（﹣1）（c﹣a），由e=可得e2﹣2e﹣1≤0，解得1﹣≤e≤1+，但e＞1，即有1＜e≤1+，则离心率的取值范围是（1，1+]．故答案为：（1，1+]．【点评】本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用双曲线的定义和性质，同时考查化简整理的运算能力，属于中档题．16．（5分）已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=+1（n∈N*），数列{b n}满足b1=a6400，b n=（k∈N*），则数列{b n}的前n项和S n的最大值为127 ．【分析】先求出数列{（a n﹣1）2}为以1为首项以1为公差的等差数列，得到a n的通项公式，再归纳推理得到b n，即为81，3，27，2，9，1，3，0，1，﹣1，…，由此可以得到当n=9时，S n最大，问题得以解决．【解答】解：∵a n+1=+1，∴（a n+1﹣1）2=a n2﹣2a n+2=（a n﹣1）2+1∴（a n+1﹣1）2﹣（a n﹣1）2=1，∵a1=2，（a1﹣1）2=1，∴数列{（a n﹣1）2}为以1为首项以1为公差的等差数列，∴（a n﹣1）2=1+（n﹣1）=n，∴a n=+1，∴b1=a6400=+1=81，∴b2=﹣1+log3b1=﹣1+log381=﹣1+4=3，∴b3==33=27，∴b4=﹣1+log3b3=﹣1+3=2，∴b5=32=9，∴b6=﹣1+log3b5=﹣1+2=1，…，∴当n为奇数时，数列{b2n﹣1} 是以81为首项，以为公比的等比数列，当n为奇数时，数列{b2n} 是以3为首项，以﹣1为公差的等差数列，∴b n=81×=，n为奇数，b n=3+（﹣1）•=，n为偶数，∴数列为81，3，27，2，9，1，3，0，1，﹣1，…由此可以得到当n=9时，S n最大，即S9=81+3+27+2+9+2+1+3+0+1=127故答案为：127．【点评】本题数列的通项公式和等差数列和等比数列的前n项和，以及归纳推理的问题，属于难题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知函数f（x）=2sin2（x﹣）+cos2x﹣3．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若在△ABC中，AB=2|f（）|，AC=BC，求△ABC面积的最大值．【分析】（Ⅰ）利用二倍角与两角和的余弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过正弦函数的单调减区间，直接求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设BC=a，则AC=a，利用余弦定理求出cosB，求出cos2B和sin2B，再利用三角形的面积公式化简S2△ABC，利用配方法和二次函数的性质求出面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2sin2（x﹣）+cos2x﹣3=2×+cos2x﹣3=﹣sin2x+cos2x﹣2=﹣2sin（2x﹣）﹣2由+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，得+kπ≤x≤π+kπ（k∈Z）．∴函数f（x）的单调递增区间是[+kπ，π+kπ]（k∈Z）．（Ⅱ）AB=2|f（）|=2|﹣1﹣2|=6，设BC=a，则AC=a，根据余弦定理得，cosB==﹣a，则sin2B=1﹣cos2B=2﹣﹣，根据面积公式得，S△ABC=sinB=3asinB，所以S2△ABC=9a2sin2B=﹣（a2﹣36）2+243，当a2=36，即a=6时，S2△ABC取到最大值243，即△ABC面积的最大值是9．【点评】本题考查二倍角公式与两角和与差的三角函数，函数的单调性函数值的求法，考查计算能力，转化思想．18．（12分）一次研究性学习有“整理数据”、“撰写报告”两项任务，两项任务无先后顺序，每项任务的完成相互独立，互不影响．某班研究性学习有甲、乙两个小组．根据以往资料统计，甲小组完成研究性学习两项任务的概率都为，乙小组完成研究性学习两项任务的概率都为q．若在一次研究性学习中，两个小组完成任务项数相等，而且两个小组完成任务数都不少于一项，则称该班为“和谐研究班”．（Ⅰ）若q=，求在一次研究性学习中，已知甲小组完成两项任务的条件下，该班荣获“和谐研究班”的概率；（Ⅱ）设在完成4次研究性学习中该班获得“和谐研究班”的次数为ξ，若ξ的数学期望Eξ≥1，求q的取值范围．【分析】（Ⅰ）设“甲小组完成两项任务”为事件A，“该班荣获和谐研究班”为事件B，由此利用条件概率计算公式能求出甲小组完成两项任务的条件下，该班荣获“和谐研究班”的概率．（Ⅱ）求出突击队在一次任务中荣获“先进和谐队”的概率为q﹣，ξ～B（4，p），由此能求出q的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设“甲小组完成两项任务”为事件A，“该班荣获和谐研究班”为事件B，∴P（A）=（）2=，P（AB）=（）2•（）2=，∴P（B|A）==．∴甲小组完成两项任务的条件下，该班荣获“和谐研究班”的概率为．（Ⅱ）甲小组在一次任务中荣获“先进和谐队”的概率为：P=（）[]+（）q2=q﹣，而ξ～B（4，p），∴E（ξ）=4p，由Eξ≥1，知（q﹣q2）×4≥1，解得，∴．∴q的取值范围是[，1]．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要注意二项分布的性质的合理运用．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面BCP，CD∥平面ABP，AB=BC=CP=BP=2CD=2．（Ⅰ）证明：平面BAP⊥平面DAP；（Ⅱ）点M为线段AB（含端点）上一点，设直线MP与平面DCP所成角为α，求sinα的取值范围．【分析】（I）取PA的中点E，PB的中点O，连接DE，OE，OC．则四边形CDEO为平行四边形，可通过证明OC⊥平面PAB得出DE⊥平面PAB，于是平面BAP⊥平面DAP；（II）以O为原点，以OC，OB，OE为坐标轴建立空间直角坐标系，设BM=a，求出和平面PCD的法向量，则sinα=|cos＜＞|，根据a的范围得出sinα的范围．【解答】证明：（I）取PA的中点E，PB的中点O，连接DE，OE，OC．∵OE是△PAB的中位线，∴OE，∵CD∥平面PAB，CD⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PAB=AB，∴CD∥AB，又CD=，∴OE OE，∴四边形CDEO是平行四边形，∴DE∥OC．∵AB⊥平面PBC，OC⊂平面PBC，∴AB⊥OC，∵BC=PC，∴OC⊥PB，又PB⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AB∩PB=B，∴OC⊥平面PAB，又OC∥DE，∴DE⊥平面PAB，∵DE⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB．（II）∵OE∥AB，AB⊥平面PBC，∴OE⊥平面PBC．以O为原点，以OC，OB，OE为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则P（0，﹣1，0），C（，0，0），D（，0，1），设M（0，1，a）（0≤a≤2），则=（0，2，a），=（0，0，1），=（，1，0）．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，∴，令x=1得=（1，﹣，0）．∴cos＜＞==．∴sinα=．∴当a=0时，sinα取得最大值，当a=2时，sinα取得最小值．∴sinα的取值范围是[，]．【点评】本题考查了面面垂直的判定，空间向量的应用与线面角的计算，属于中档题．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的短轴长为2，线段AB是圆x2+y2﹣2x﹣y+m=0的一条直径也是椭圆C的一条弦，已知直线AB斜率为﹣1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设M，P是椭圆C上的两点，点M关于x轴的对称点为N，当直线MP，NP分别交x轴于点M1，N1，求证：|OM1|•|ON1|为定值．【分析】（Ⅰ）由椭圆的短轴长为2，得到b=2，求出圆心坐标为（1，），利用点差法得a2=2，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设M（x3，y3），P（x4，y4），直线MP的方程为x=ny+m，代入，得（n2+2）y2+2mny+m2﹣2=0，求出直线NP的方程，由此能证明|OM1|•|ON1|为定值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的短轴长为2，∴b=2，∵线段AB是圆x2+y2﹣2x﹣y+m=0的一条直径也是椭圆C的一条弦，直线AB斜率为﹣1，∴圆心坐标为（1，），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减，得：=﹣，∴，解得a2=2，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：设M（x3，y3），P（x4，y4），直线MP的方程为x=ny+m，代入，得（n2+2）y2+2mny+m2﹣2=0，∴，，直线NP的方程为（x﹣x3），令y=0，得==，∵M1（m，0），∴|OM1|•|ON1|=2为定值．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查两线段长的乘积为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、点差法、圆的性质的合理运用．21．（12分）若函数f（x）的反函数记为f﹣1（x），已知函数f（x）=e x．（Ⅰ）设函数F（x）=f﹣1（x）﹣f（x），试判断函数F（x）的极值点个数；（Ⅱ）当x∈[0，]时，f（x）•sinx≥kx，求实数k的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，确定导数为0 的方程的根的个数即可；（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣kx=e x sinx﹣kx，即g（x）≥0恒成立，通过讨论k的范围确定函数的单调性，从而求出k的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数F（x）=f﹣1（x）﹣f（x）=lnx﹣e x，∴F′（x）=﹣e x，令y=1﹣xe x，则y′=﹣（1+x）e x，∴函数在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，+∞）上单调递减，∵x=﹣1时，y=1+e﹣1＞0，x→﹣∞，y→0，x→+∞，y→﹣∞，∴函数F（x）的极值点个数为1个；（4分）（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣kx=e x sinx﹣kx，即g（x）≥0恒成立，而g′（x）=e x（sinx+cosx）﹣k，令h（x）=e x（sinx+cosx）⇒h′（x）=e x（sinx+cosx）+e x（cosx﹣sinx）=2e x cosx，∵x∈[0，]，h′（x）≥0⇒h（x）在∈[0，]上单调递增，1≤h（x）≤，（6分）当k≤1时，g′（x）≥0，g（x）在∈[0，]上单调递增，g（x）≥g（0）=0，符合题意；当k≥时，g′（x）≤0⇒g（x）在∈[0，]上单调递减，g（x）≤g（0）=0，与题意不合；（8分）当1＜k＜时，g′（x）为一个单调递增的函数，而g′（0）=1﹣k＜0，g′（）=﹣k＞0，由零点存在性定理，必存在一个零点x0，使得g′（x0）=0，当x∈[0，x0）时，g′（x）≤0，从而g（x）在x∈[0，x0）上单调递减，从而g（x）≤g（0）=0，与题意不合，综上所述：k的取值范围为（﹣∞，1]（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，是一道中档题．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+4ρsinθ=3，直线l与曲线C交于A，B两点．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求线段AB的长．【分析】（I）曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+4ρsinθ=3，即曲线C的极坐标方程为ρ2（cos2θ﹣sin2θ）+4ρsinθ=3，利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，x=ρcosθ即可化为直角坐标方程．（II）把直线l的参数方程变形为，（m为参数）代入曲线C的方程可得：m2﹣4m﹣10=0，利用|AB|=|m1﹣m2|=即可得出．【解答】解：（I）曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+4ρsinθ=3，即曲线C的极坐标方程为ρ2（cos2θ﹣sin2θ）+4ρsinθ=3，化为直角坐标方程：x2﹣y2+4y﹣3=0．（II）把直线l的参数方程变形为，（m为参数）代入曲线C的方程可得：m2﹣4m﹣10=0，∴m1+m2=4，m1m2=﹣10．∴|AB|=|m1﹣m2|===2．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程的应用、直线与曲线相交弦长公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|的最小值为m．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若正实数a，b，c满足a（2a+2c+b）=m﹣bc，求3a+b+c的最小值．【分析】（1）由绝对值不等式得到最小值．（2）由基本不等式得到最小值．【解答】（1）∵f（x）=|x﹣1|+|x+3|≥|（x﹣1）﹣（x+3）|=4，∴当且仅当﹣3≤x≤1时，f（x）取最小值，且为4，∴m=4；（2）已知正实数a，b，c满足a（2a+2c+b）=m﹣bc，m=4，可得2a2+2ac+ab+bc=4，（a+c）（2a+b）=4，由基本不等式得，3a+b+c≥2=4，∴3a+b+c的最小值为4．【点评】本题考查绝对值不等式和基本不等式．。