垂直1--北师大版
2021高三统考北师大版数学一轮学案：第8章第5讲 直线、平面垂直的判定及性质 Word版含解析
姓名，年级：时间：第5讲直线、平面垂直的判定及性质基础知识整合1．直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线l与平面α内的错误!任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．（2）直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的错误!两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⇒l⊥α（3）直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线错误!平行⇒a∥b2．平面与平面垂直（1）平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是错误!直二面角，就说这两个平面互相垂直．（2)平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的错误!垂线，则这两个平面垂直⇒α⊥β(3）平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于错误!交线的直线与另一个平面垂直⇒l⊥α3．直线与平面所成的角（1）定义:平面的一条直线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．（2)线面角θ的范围:θ∈[0°,90°]．4．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的错误!两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2）二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱错误!垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．直线与平面垂直的五个结论（1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线．(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（4）过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．（5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l ⊂α，m⊂β,下列结论正确的是( ）A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β,则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m答案A解析根据线面垂直的判定定理知A正确;当α⊥β，l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行、相交或异面，故B错误；当l∥β,l⊂α时,α与β可能平行，也可能相交，故C错误；当α∥β，l⊂α,m⊂β时，l与m可能平行，也可能异面，故D错误．故选A.2．（2019·浙江杭州模拟)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β，则( )A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n答案C解析∵α∩β＝l,∴l⊂β，∵n⊥β，∴n⊥l.故选C.3．（2019·广东五校诊断考试)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（)A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若m⊥α，m∥n,n⊂β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n答案B解析A项，若α⊥β,m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n相交或m，n为异面直线,故不正确；C项，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α,β有可能相交但不垂直，故不正确；D项,若α∥β，m⊂α，n⊂β,则m，n有可能是异面直线,故不正确，故选B.4．若a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面,则a ⊥b的一个充分不必要条件是( ）A．a⊥c，b⊥c B．α⊥β,a⊂α,b⊂βC．a⊥α,b∥αD．a⊥α,b⊥α答案C解析对于A，B，直线a，b可能是平行直线,相交直线，也可能是异面直线;对于C，在平面α内存在c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；对于D,一定能推出a∥b.故选C.5．(2019·江西南昌模拟）如图，在四面体ABCD中,已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在平面ABC内的射影H必在（)A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部答案A解析由AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，则AC⊥平面ABD，而AC ⊂平面ABC,则平面ABC⊥平面ABD，因此D在平面ABC内的射影H必在平面ABC与平面ABD的交线AB上，故选A.6．(2019·沈阳模拟）已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题:①PA⊥BC;②PB⊥AC；③PC⊥AB;④AB⊥BC。
1.6.1 垂直关系的判定 课件(北师大必修2)
的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证： AN⊥平面PBM.
[自主解答]
设圆O所在的平面为α， α，
已知PA⊥α，且BM ∴PA⊥BM.
又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，
∴AM⊥BM.∵直线PA∩AM＝A，
∴BM⊥平面PAM. 又AN 平面PAM，
∴BM⊥AN.这样，AN与PM，BM两条相交直线垂直． 故AN⊥平面PBM.
当a＝2时，以AD为直径的圆与边BC相切，故只有一
个点Q，使PQ⊥QD. 当a>2时，以AD为直径的圆与边BC相交，故只有两个 点Q，使PQ⊥QD. 当0<a<2时，以AD为直径的圆与边BC无公共点，故
BC边上不存在点Q，使PQ⊥QD.
Байду номын сангаас
连接AD，SD. ∵∠ASB＝∠ASC， 且SA＝SB＝SC， ∴AS＝AB＝AC. ∴AD⊥BC. 又△ABS是正三角形，△BSC为等腰直角
三角形，
∴BD＝SD. ∴AD2＋SD2＝AD2＋BD2＝AB2＝AS2. 由勾股定理的逆定理，知AD⊥SD. 又∵SD∩BC＝D，∴AD⊥平面BSC.
又AD
平面ABC，
∴平面ABC⊥平面BSC.
法二：同法一证得 AD⊥BC，SD⊥BC，则∠ADS 即为 二面角 A－BC－S 的平面角． ∵∠BSC＝90° ，令 SA＝1， 2 2 则 SD＝ ，AD＝ ，∴SD2＋AD2＝SA2. 2 2 ∴∠ADS＝90° .∴平面 ABC⊥平面 BSC.
[悟一法] 常用的两个平面互相垂直的判定方法： (1)定义法，即证明这两个平面所成的二面角是直二面 角；
但l不垂直于α.
3．如图所示的是一块三角形纸片，过顶点A 翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸 片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接 触)，折痕AD与桌面垂直吗？ 提示：不一定垂直，只有当AD⊥BC时， AD才与桌面所在的平面垂直．
【学考优化指导】2022-2021学年高一数学(北师大版)必修2练习：1.6.1 垂直关系的判定
§6垂直关系6.1 垂直关系的判定A 组1.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,与BC 1垂直的平面是( )A.平面DD 1C 1CB.平面A 1B 1CDC.平面A 1B 1C 1D 1D.平面A 1DB解析:由于易证BC 1⊥B 1C ,且CD ⊥平面BCC 1B 1,所以CD ⊥BC 1.由于B 1C ∩CD=C ,所以BC 1⊥平面A 1B 1CD. 答案:B2.下列结论正确的是( )A.若直线a ∥平面α,直线b ⊥a ,b ⫋平面β,则α⊥βB.若直线a ⊥直线b ,a ⊥平面α,b ⊥平面β,则α⊥βC.过平面外的一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直D.过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直解析:A 选项中满足条件的平面β与平面α可能垂直,也可能平行或相交,故A 错;C 选项中当平面外的直线与平面垂直时,过该直线有很多个平面与已知平面垂直,故C 错;过平面外一点有很多个平面与已知平面垂直,故D 错. 答案:B3,ABCD-A 1B 1C 1D 1为正方体,下面结论中错误的个数是( )①BD ∥平面CB 1D 1; ②AC 1⊥BD ; ③AC 1⊥平面CB 1D 1.A.0个B.1个C.2个D.3个解析:由于BD ∥B 1D 1,所以①正确;由于BD ⊥AC ,BD ⊥CC 1,所以BD ⊥平面ACC 1,所以BD ⊥AC 1,故②正确;由于AC 1⊥B 1D 1,AC 1⊥B 1C ,所以AC 1⊥平面CB 1D 1,故①②③全正确. 答案:A4.在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC ,PA=8,则点P 到BC 的距离是( ) A.√5B.2√5C.3√5D.4√5解析:如图所示,作PD ⊥BC 于点D ,连接AD.由于PA ⊥平面ABC , 所以PA ⊥BC ,PD ∩PA=P ,所以CB ⊥平面PAD ,所以AD ⊥BC. 由于AB=AC ,所以CD=BD=3.在Rt △ACD 中,AC=5,CD=3,所以AD=4, 在Rt △PAD 中,PA=8,AD=4, 所以PD=√82+42=4√5,故选D . 答案:D5.在正四周体P-ABC 中,D ,E ,F 分别是AB ,BC ,CA 的中点,下面四个结论中不成立的是( ) A.BC ∥平面PDF B.DF ⊥平面PAE C.平面PDF ⊥平面ABCD.平面PAE ⊥平面ABC解析:如图所示,∵BC ∥DF ,∴BC ∥平面PDF ,故A 正确.由题设知BC ⊥PE ,BC ⊥AE ,∴BC ⊥平面PAE.∴DF ⊥平面PAE ,故B 正确.∵BC ⊥平面PAE ,∴平面ABC ⊥平面PAE ,故D 正确.答案:C6.若直线l ⊥平面α,直线m ∥l ,则m 与α的位置关系是 . 答案:m ⊥α7.已知A 是△BCD 所在平面外一点,则△ABC ,△ABD ,△ACD ,△BCD 中,直角三角形最多有 个.解析:当三棱锥底面及三个侧面同时为直角三角形时,如图,此时直角三角形最多为4个. 答案:48.如图所示,在正方形ABCD 中,E ,F 分别是BC,CD的中点,G 是EF 的中点,现在沿AE ,AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形,使B ,C ,D 三点重合,重合后的点记为H ,那么给出下面四个结论:①AH ⊥平面EFH ;②AG ⊥平面EFH ;③HF ⊥平面AEF ;④HG ⊥平面AEF.其中正确命题的序号是 .解析:在这个空间图形中,AH ⊥HF ,AH ⊥HE ,HF ∩HE=H ,所以AH ⊥平面EFH. 答案:①9.在空间四边形ABCD 中,若AB=AC ,DB=DC ,求证:BC ⊥AD.证明:取BC 的中点M ,连接AM ,MD.∵AB=AC ,DB=DC ,∴AM ⊥BC ,DM ⊥BC.又AM ∩MD=M ,∴BC ⊥平面AMD.∵AD ⫋平面AMD ,∴BC ⊥AD.10,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=AD=1,DD 1=2,点P 为DD 1的中点.求证: (1)平面PAC ⊥平面BDD 1; (2)直线PB 1⊥平面PAC.证明:(1)在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=AD=1,所以底面ABCD 是正方形,则AC ⊥BD. 又DD 1⊥平面ABCD ,所以DD 1⊥AC. 由于BD ∩DD 1=D ,所以AC ⊥平面BDD 1. 由于AC ⫋平面PAC ,所以平面PAC ⊥平面BDD 1.(2)连接B 1C ,由题知PC 2=2,P B 12=3,B 1C 2=5,所以△PB 1C 是直角三角形,所以PB 1⊥PC. 同理可得PB 1⊥PA.由于PC ∩PA=P ,所以直线PB 1⊥平面PAC.B 组1.如图所示,BC 是Rt △ABC 的斜边,过A 作△ABC 所在平面α的垂线AP ,连接PB ,PC ,过A 作AD ⊥BC 于点D ,连接PD ,那么图中直角三角形的个数是 ( )A.4B.6C.7D.8解析:简洁证得PA ⊥BC ,又AD ⊥BC ,PA ∩AD=A ,所以BC ⊥平面PAD ,从而图中:△ABC ,△PAB ,△PAC ,△PAD ,△ABD ,△ACD ,△PBD ,△PCD 均为直角三角形.共有8个. 答案:D2,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点P 在侧面BCC 1B 1内运动,并且总保持AP ⊥BD 1,则动点P 在( ) A.线段B 1C 上 B.线段BC 1上C.BB 1中点与CC 1中点的连线上D.B 1C 1中点与BC 中点的连线上 解析:易知BD 1⊥平面AB 1C ,故P ∈B 1C. 答案:A3.如图所示,已知四边形ABCD 是正方形,PA ⊥平面ABCD ,则图中全部相互垂直的平面共有( ) A.8对 B.7对 C.6对D.5对解析:由PA ⊥平面ABCD 可得平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAC ⊥平面ABCD.又ABCD 为正方形,CD ⊥AD ,由于PA ⊥CD ,PA ∩AD=A ,所以CD ⊥平面PAD ,所以平面PCD ⊥平面PAD ,平面PAB ⊥平面PAD.同理可得,平面PBC ⊥平面PAB ,平面PAC⊥平面PBD.共7对. 答案:B4.已知矩形ABCD ,AB=1,BC=√2,将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折,在翻折的过程中( ) A.存在某个位置,使得直线AC 与直线BD 垂直B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直解析:若AB⊥CD,由于BC⊥CD,由线面垂直的判定可得CD⊥平面ACB,则有CD⊥AC,而AB=CD=1,BC=AD=√2,可得AC=1,那么存在这样的位置,使得AB⊥CD成立.答案:B5.在正四周体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论:①BC∥平面PDF;②DF⊥平面PAE;③平面PDF⊥平面ABC;④平面PAE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是.解析:画出图形,由判定定理得①②④正确.答案:①②④6,在五面体ABCDEF中,四边形ABCD是矩形,DE⊥平面ABCD.求证:(1)AB∥EF;(2)平面BCF⊥平面CDEF.证明:(1)由于四边形ABCD是矩形,所以AB∥CD,CD⫋平面CDEF,AB⊈平面CDEF,所以AB∥平面CDEF.又AB⫋平面ABFE,且平面ABFE∩平面CDEF=EF,所以AB∥EF.(2)由于DE⊥平面ABCD,BC⫋平面ABCD,所以DE⊥BC.由于BC⊥CD,CD∩DE=D,CD,DE⫋平面CDEF,所以BC⊥平面CDEF.又由于BC⫋平面BCF,所以平面BCF⊥平面CDEF.7.如下图所示,已知在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=1+√3,过点A作AE⊥CD,垂足为E,G,F分别为AD,CE的中点,现将△ADE沿AE折叠,使得DE⊥EC.(1)求证:BC⊥平面CDE;(2)求证:FG∥平面BCD.(1)证明:由已知得DE⊥AE,∵DE⊥EC,AE∩EC=E,∴DE⊥平面ABCE.又∵BC⫋平面ABCE,∴DE⊥BC.又BC⊥CE,DE∩CE=E,∴BC⊥平面DCE.(2)证明:取AB中点H,连接GH,FH.则GH∥BD,FH∥BC,则易得GH∥平面BCD,FH∥平面BCD.则易得平面FHG∥平面BCD,∴GF∥平面BCD.。
北师大版数学四年级上册《相交与垂直》说课稿1
北师大版数学四年级上册《相交与垂直》说课稿1一. 教材分析《相交与垂直》是北师大版数学四年级上册的一节课。
本节课是在学生掌握了直线、射线、线段的基础知识上进行的，旨在让学生认识相交线和垂直线，理解垂直的含义，并能用语言描述垂直的现象。
教材通过丰富的图片和实际生活中的例子，激发学生的学习兴趣，引导学生通过观察、思考、交流、操作等活动，自主探索垂直的概念，培养学生的空间观念和几何思维。
二. 学情分析四年级的学生已经具备了一定的空间观念和观察能力，他们对直线、射线、线段有了初步的认识，为本节课的学习奠定了基础。
然而，学生的认知水平参差不齐，部分学生对相交与垂直的概念理解起来可能存在一定困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，引导他们通过观察、操作等活动，加深对垂直概念的理解。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生认识相交线和垂直线，理解垂直的含义，能用语言描述垂直的现象。
2.过程与方法：培养学生观察、思考、交流、操作的能力，提高空间观念和几何思维。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养合作意识，感受数学与生活的紧密联系。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生认识相交线和垂直线，理解垂直的含义。
2.教学难点：引导学生通过观察、操作等活动，自主探索垂直的概念。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、观察、操作、交流、讨论等教学方法，引导学生主动参与课堂，提高学生的学习兴趣和积极性。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等教学辅助工具，帮助学生直观地理解垂直概念。
六. 说教学过程1.导入：通过展示生活中的一些垂直现象，如建筑物、道路等，引导学生关注垂直的概念。
2.新课导入：介绍相交线和垂直线的定义，让学生观察图片，找出相交线和垂直线。
3.自主探索：让学生分组讨论，通过观察、操作等活动，探索垂直的概念。
4.讲解与演示：教师讲解垂直的性质，利用多媒体课件和实物模型进行演示，帮助学生直观地理解垂直。
北师大版高一数学必修2《1.6.1 垂直关系的判定》
1.6.1 垂直关系的判定知识点1：直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么称这条直线和这个平面垂直.(2)画法:当直线与平面垂直时,通常把表示直线的线段画成和表示平面的平行四边形的横边垂直.如图所示.(3)直线与平面垂直的判定定理①文字叙述:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.②符号表示:若直线a⫋α,直线b⫋α,直线l⊥a,l⊥b,a∩b=A,则l⊥α.③图形表示:④作用:线线垂直⇒线面垂直。
【练习】垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是( )A.垂直B.斜交C.平行D.不能确定解析:梯形的两腰所在的直线相交,根据线面垂直的判定定理可知选项A正确.名师点拨理解线面垂直的判定定理注意以下几点:(1)定理可表述为“线线垂直,则线面垂直”.(2)“两条相交直线”是关键词,一定不要忽视这个条件,否则将导致结论错误,即“线不在多,相交就行”.(3)要证明一条直线与一个平面垂直,只需在平面内找到两条相交直线和该直线垂直即可,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点无关紧要.(4)线面垂直的判定定理与线面垂直的定义往往在证题过程中要反复交替使用.知识点2：二面角及其平面角(1)半平面的定义:一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫作半平面.(2)二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角,这条直线叫作二面角的棱,这两个半平面叫作二面角的面.(3)二面角的记法:以直线AB为棱,半平面α,β为面的二面角,记作二面角α-AB-β.(4)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.(5)直二面角:平面角是直角的二面角叫作直二面角.【练习】给出下列命题:①两个相交平面组成的图形叫作二面角;②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成的角;④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是( )A.①③B.②④C.③④D.①②解析:由二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角,可知①不对.画出图形,可知②正确.③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱,故③不对.由定义知④正确.故选B.知识点3：平面与平面垂直(1)两个平面互相垂直的定义:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.(2)画法:在画两个垂直的平面时,通常把表示直立平面的平行四边形的竖边画成和表示水平平面的平行四边形的横边垂直.如图①②所示.(3)平面与平面垂直的判定定理①文字叙述:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.②符号表示:③图形表示:④作用:线面垂直⇒面面垂直【练习】已知直线m,n与平面α,β,γ,下列可能使α⊥β成立的条件是( )A.α⊥γ,β⊥γB.α∩β=m,m⊥n,n⫋βC.m∥α,m∥βD.m∥α,m⊥β解析:选择适合条件的几何图形观察可得,A中α∥β或α与β相交,B中α,β相交,但不一定垂直,C中α∥β或α与β相交.名师点拨理解面面垂直的判定定理注意以下几点:(1)定理可简记为“线面垂直,则面面垂直”,因此要证明平面与平面垂直,只需在其中一个平面内找另一个平面的垂线,即证“线面垂直”.(2)两个平面垂直的判定定理,不仅仅是判定两个平面垂直的依据,而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据.(3)要证α⊥β,可证α经过β的某一条垂线,也可证明β经过α的某一条垂线.思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)若直线l垂直于平面α内无数条直线,则有l⊥α. ( ╳)(2)若直线l垂直于平面α内任意直线,则有l⊥α. ( √)(3)若直线l垂直于α内的一个凸五边形的两条边,则有l⊥α. ( √)(4)一个二面角的平面角有且只有一个. ( ╳)(5)若直线l与平面α交于点O,且l与α不垂直,l⫋β,则α与β一定不垂直. ( ╳)【例1】如图所示,在三棱锥A-BCD中,BC=AC,AD=BD,作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于点H.求证:AH⊥平面BCD.证明:取AB的中点F,连接CF,DF,因为AC=BC,所以CF⊥AB.同理可得,DF⊥AB.又CF∩DF=F,所以AB⊥平面CDF.因为CD⫋平面CDF,所以AB⊥CD.又BE⊥CD,且BE∩AB=B,所以CD⊥平面ABE.因为AH⫋平面ABE,所以CD⊥AH.又AH⊥BE,BE∩CD=E,所以AH⊥平面BCD.反思感悟证明线面垂直的关键是：分析几何图形,寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系,进而证明线面垂直.三角形全等、等腰三角形底边上的中线、梯形的高、菱形和正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法.变式训练1：如图所示,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆O上的点.求证:BC⊥平面PAC.分析:由AB是圆O的直径可知AC⊥BC,再结合PA⊥平面ABC,即可证明BC⊥平面PAC.证明:由AB是圆O的直径,得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC,BC⫋平面ABC,得PA⊥BC.又PA∩AC=A,PA⫋平面PAC,AC⫋平面PAC,所以BC⊥平面PAC.2,E,F分别是AB,PD的中点.【例2】如图所示,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,AD=PA=2,CD=2求证:(1)AF∥平面PCE;(2)平面PCE⊥平面PCD.分析:(1)要证AF∥平面PCE,只需证明AF平行于平面PCE内的一条直线即可,取PC的中点G,则该直线为GE. (2)要证明平面PCE⊥平面PCD,只需证明GE⊥平面PCD,而由(1)知GE∥AF,故只需证明AF⊥平面PCD即可.反思感悟怎样证明平面与平面垂直：1.证明面面垂直的方法:(1)证明两个半平面构成的二面角的平面角为90°;(2)证明一个平面经过另一个平面的一条垂线,将证明面面垂直的问题转化为证明线面垂直的问题.2.利用判定定理证明两个平面垂直时,一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图形中不存在这样的垂线,则可通过作辅助线来解决,而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明.变式训练2：已知正方形ABCD的边长为1,分别取边BC,CD的中点E,F,连接AE,EF,AF,以AE,EF,FA为折痕,折叠使点B,C,D重合于一点P.求证:(1)AP⊥EF;(2)平面APE⊥平面APF.题型三：对空间中线面关系理解不透彻而致误【典例】如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,则截面ACB1与对角面BB1D1D垂直吗?纠错心得1.因为B1O与底面不垂直,就断定截面ACB1不可能与对角面BB1D1D垂直,这是毫无根据的.2.要克服上述错误,一定要将有关定理或性质的适用条件及内涵把握清楚,不能凭想当然进行毫无逻辑的论证.课后巩固练习：1.下列各种情况中,一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两条边;②梯形的两条边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.不能保证该直线与平面垂直的是( )A.①③B.②C.②④D.①②④解析:三角形的任何两边都相交;圆的任何两条直径都相交;但梯形中任意两边不一定相交,也可能平行;正六边形中也存在平行的两条边,因此不能保证该直线与平面垂直的是②④.故选C.答案:C2.在空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,则( )A.平面ABC⊥平面ADCB.平面ABC⊥平面ADBC.平面ABC⊥平面DBCD.平面ADC⊥平面DBC解析:如图所示,∵AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,∴AD⊥平面BDC.又AD⫋平面ADC,∴平面ADC⊥平面DBC.答案:D3.如图所示,∠BCA=90°,PC⊥平面ABC,则在△ABC,△PAC的边所在的直线中,(1)与PC垂直的直线有;(2)与AP垂直的直线有.解析:(1)因为PC⊥平面ABC,AB,AC,BC⫋平面ABC,所以与PC垂直的直线有AB,AC,BC.(2)∠BCA=90°,即BC⊥AC.又BC⊥PC,AC∩PC=C,所以BC⊥平面PAC,PA⫋平面PAC.所以BC⊥AP.答案:(1)AB,AC,BC (2)BC4.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别为A1D1和AA1的中点,则下列说法正确的个数为( )①C1M∥AC; ②BD1⊥AC; ③BC1与AC所成的角为60°; ④CD与BN为异面直线.A.1B.2C.3D.45.如图所示,四边形ABCD是菱形,PC⊥平面ABCD,E是PA的中点求证:平面BDE⊥平面ABCD.。
四年级上册数学教案-2.2 相交与垂直-北师大版
四年级上册数学教案-2.2 相交与垂直-北师大版一、教学目标1. 让学生理解垂直的特征和性质，能够识别垂直现象，并能够运用垂直知识解决实际问题。
2. 培养学生的观察能力、动手操作能力和空间想象能力。
3. 培养学生合作学习的精神，增强学生运用数学语言进行表达的能力。
二、教学内容1. 垂直的概念2. 垂直的性质3. 识别垂直现象4. 解决实际问题三、教学重点与难点1. 教学重点：垂直的概念和性质，识别垂直现象。
2. 教学难点：运用垂直知识解决实际问题。
四、教学过程1. 导入新课通过生活中的实例，引导学生观察和思考，激发学生的学习兴趣。
2. 探究新知（1）让学生拿出一张白纸，用直尺和铅笔在纸上画出两条直线，观察这两条直线是否相交。
（2）引导学生思考：两条直线相交时，会形成几个角？这些角之间有什么关系？（3）让学生尝试画出垂直的两条直线，观察这两条直线相交形成的角的特点。
（4）引导学生总结垂直的定义：当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。
3. 巩固练习（1）让学生在练习本上画出垂直的两条直线，并标出直角。
（2）让学生观察教室内的物体，找出垂直现象，并说明理由。
4. 课堂小结让学生回顾本节课所学内容，用自己的话总结垂直的概念和性质。
5. 布置作业（1）完成课后练习题。
（2）观察生活中的垂直现象，与家长分享。
五、教学反思本节课通过让学生动手操作、观察和思考，使学生掌握了垂直的概念和性质。
在教学过程中，要注意引导学生运用数学语言进行表达，培养学生的空间想象能力。
同时，要关注学生的学习反馈，及时调整教学策略，提高教学效果。
需要重点关注的细节是“巩固练习”环节。
在这个环节中，学生将通过实际操作和观察，进一步理解和掌握垂直的概念和性质。
以下是对这个重点细节的详细补充和说明：1. 巩固练习的设计在巩固练习环节，教师应设计具有针对性和层次性的练习题，帮助学生巩固所学知识。
练习题可以分为基础题和提高题两个部分。
基础题旨在帮助学生巩固垂直的定义和性质，如判断两条直线是否垂直，标出直角等。
垂直-北师大版七年级数学下册教案
垂直-北师大版七年级数学下册教案教学目标本教案旨在帮助学生掌握以下知识：1.掌握垂直的定义和性质。
2.能够应用垂直的性质解决相关问题。
3.掌握相邻角、补角、余角的概念。
教学重点1.垂直的定义和性质。
2.相邻角、补角、余角的概念。
教学难点能够应用垂直的性质解决相关问题。
教学内容与方法教学内容本节课的教学内容为：垂直-北师大版七年级数学下册第二十章。
教学方法本节课的教学方法如下：1.通过实例讲解垂直的概念和性质。
2.分组讨论并解决垂直相关的问题。
3.演示如何利用相邻角、补角、余角来推导证明。
教学过程导入环节1.引导学生回顾前一章所学内容，预设问题并让学生思考讨论。
2.利用教材的视频让学生了解垂直的概念和性质。
活动环节1.分组讨论垂直的性质，每组提出一个问题并解答。
2.利用实例讲解相邻角、补角、余角的概念及其应用。
3.演示如何利用相邻角、补角、余角来推导证明。
练习环节1.让学生独立完成练习题，检查学生掌握情况。
2.对于掌握不好的学生进行个别辅导，并给予认真指导。
总结环节1.请一部分同学总结本节课所学知识内容及学习收获。
2.进行课后作业布置。
教学评价1.课堂氛围良好，学生积极参与。
2.大多数学生掌握了垂直的概念和性质。
3.部分学生在应用性质解决问题的能力上还需提高。
课后作业1.完成课本上的课后练习。
2.预习下一章节内容。
小结垂直是数学中一个比较重要的概念，也是学生必须掌握的知识点之一。
在教学过程中，通过实例讲解和分组探讨的方式，帮助学生深入理解垂直的概念和性质，并能够灵活应用相邻角、补角、余角的概念来解决相关问题。
同时，本节课也让我们意识到，掌握基础知识是理解、应用高级数学知识的前提，必须扎实掌握。
北师大版必修2数学6 .1.2面面垂直的判定
安边中学高一年级1学期数学学科导学稿执笔人：邹英总第课时备课组长签字：包级领导签字：学生：上课时间：周集体备课个人空间一、课题： 6.1.2面面垂直的判定二、学习目标1.掌握平面与平面垂直的判定定理，并会应用。
2.通过定理的学习，培养和发展学生的空间想象能力，推理论证能力，运用图形语言进行交流的能力。
三、教学过程【温故知新】1、设α表示平面，a、b表示直线，给出下列四个说法①a∥α，a⊥b⇒b∥α②a∥b，a⊥α⇒b⊥α③a⊥α，a⊥b⇒b⊂α④a⊥b，b⊂α⇒a⊥α其中正确说法的序号是( )A．①②B．①④ C．②D．②④2、直线a与直线b垂直，直线b⊥平面α，则直线a与平面α的位置关系是( )A．a⊥αB．a∥α C．a⊂αD．a⊂α或a∥α【导学释疑】阅读课本P36—P37页，完成新课的学习。
1、什么是二面角、二面角的棱、二面角的面？2、两个平面互相垂直的含义是什么？3、平面与平面垂直的判定定理：文字描述：。
符号表示：图形表示：【巩固提升】例1、见课本P37页例1。
例2、见课本P38页例2。
【检测反馈】1、过空间一点的三条直线两两垂直，则此三直线的任意两条确定的三个平面中，互相垂直的个数是（）A． 0 B. 1C. 2D. 32、如图，三棱锥A-BCD中，若AD⊥BC,BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么必有（）A：平面ABD⊥平面ADCB：平面ABD⊥平面ABC：C：平面BCD⊥平面ADCD：平面ABC⊥平面BCD3、P38页练习2。
反思栏OSDCBA。
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垂线的性质
垂线的性质1：过一点有且只有一条直线与已知直 线垂直． 问题4： （1）“过一点”包括几种情况？ （2）“有且只有”是什么意思？ 本节小结 (1) 垂直的定义、记法及判定. (2) 垂线的性质.
课堂练习 1．选择题 (1) 过点 P 向线段AB所在直线引垂线，正确的是（ A B C D ）.
问题1：如右图， （ 1 ）∠ AOC 的对顶角是哪个角？ 这两个角的关系怎样？
（2）∠AOC的邻补角有几个？ 是哪几个角？ 问 题 2 ： 如 下 图 ， 当 ∠ AOC＝90°， 口 答 ∠ BOD、 ∠AOD、∠BOC等于多少度？为什么？这种位置 关系有几种？直线AB、CD的位置关系怎样？
问题3：什么样的两条直线互相垂直？
．
垂直的判定
如果直线AB、CD 相交于点O，∠AOC=90°（或三 个角中的一个角等于90°），那么 AB⊥CD. 这个推理过程可以写成： ∵∠AOC=90°（已知）， ∴AB⊥CD（垂直的定义）． 如果AB⊥CD，那么所得的四个角中，必有一个是直 角.这个推理过程可以写成: ∵AB⊥CD（已知）， ∴∠AOC＝90°（垂直的定义）．
定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角
是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直 线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 在生产和日常生活中，两条直线互相垂直的情形是 很常见的。如：
十字路口的两条道路
方格本的横线和竖线
ห้องสมุดไป่ตู้
铅垂线和水平线
垂直的记法、读法
直线AB、CD互相垂直，记作“AB⊥CD”或 “ CD⊥AB”，读作“ AB 垂直于 CD”，如果垂足为 O， 记作“AB⊥CD，垂足为O”（如图）
叫做另一条直线的______，它们的交点叫做_____.
参考答案
1．选择题 (1)D (2) C . 2．填空题 ①有且只有一条直线 ②两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角 、垂线，垂足． 作业 1.必做题:课本第70页习题2.1A组第5题.
2.选做题:课本第72页B组第5题
； 嘉信盈泰正规美原油开户平台
OE CD 于 AB 、 CD相交于 O ， (2)已知：如图， O，
BOE ，则 AOC 36
.
（A）36 （B）64 144 （C） （D）54
2．填空题
(1)过一点____________与已知直线垂直.
(2)当____时，称这两条直线互相垂直，其中一条直线
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堂彩。”蝶宵华也彬彬有礼欠身答谢：“承谢大少吉言。”便举步进后台去。苏明远也入看席。厅堂不大，挑高作三丈，周围 一圈小楼阁，垂着珠帘给有头有脸的女眷们。其中一帘后头，留给苏家女眷。明秀还跟福珞在后头说体己话，帘下只坐着宝音。 堂会上侍奉的丫头相引，说了韩姑娘正坐在那里，苏明远便在帘外入座。女眷出门，原该有人陪同、帘外守护才合适。年长女 性亲戚是最好，至亲兄弟姐妹也使得的。毓笙与苏明远一个府门里住着，苏明远帘外陪坐，说得过去。相隔有尺许，说话还是 听得见的，同别的帘间就隔得远了。别人最多只能看见他们在说话，绝听不见他们说些什么。宝音连头也没回，低道：“幸而 我没猜错。”她芙蓉花，送往重阳席上、也送去风吟坊。苏明远往外头去问，那就不是问家中人，而是问风吟坊的那位。蝶宵 华一代名伶，今天这个堂会排了名字、必定要参加，知道并不难。要截苏明远，也竟不如来此处守株待兔。苏明远慢慢道： “我想起他曾说过‘芙蓉花主’四字，故要问问。”宝音倒不知这项就里，只是见苏明远奔出去，猜着总与蝶宵华有关。听了 备细，便知苏明远果然疑得太重了，想蝶宵华不似胡嚼舌根之人，心思之重却不下于韩毓笙，苏明远这样质问他，他怎么会开 心？两个美人儿岂不就要闹起意气来。凭宝音听闻的情份，他们闹也闹不久的，回头和好了，想这趟不愉快都是因为韩毓笙， 岂不要把怨气转到毓笙头上？宝音还有求于苏明远呢，不敢担怨气，竟不如先挡住了。“现在想想，”苏明远不好意思的笑道， “他知道好歹，果然没理由嚼你的舌根，想是别人传的，我再去问问。好笙妹，亏你拉住我。”瞧，瞧，这么快就转过弯来了。 亏宝音见机得快，把人家的怨气转为了感激。“也是听你被传，着了急了。”苏明远又道。呃，这个„„这话不能乱说，谢大 少！换了别的不晓事姑娘，难免就想歪了，宝音泼辣绝情，作了鬼也是绝情的鬼，自不会听一句朦朦胧胧的话，就飘飘然自作 多情起来。“其实我与蝶老板„„我可怜他实在生得太美，怕他被人欺负，故护着他。”苏明远复道，“他又聪明，我时常心 绪乱了，找他说说话儿，当他是个朋友，你别多想。”这个么，宝音还真没多想。不，是没有必要多想。左右他们断袖分桃也 好，坏的又不是宝音的名声，苏大老爷着急，宝音不着急。他们要是清清白白呢，宝音也没什么好处，左右不打算嫁给他们之 中的任何一个人，有什么好想？因要讨苏明远的好，她顺着他说道：“毓笙明白。譬如良宵有妖精踏月来访，解语生香，怜之 重之，人情自然。若只管往邪处想，岂不糟蹋了这份情谊？”苏明远释然：“天幸笙妹妹知我！”这话越发的乱来了。她知不 知他，有什么要紧呢？除非他在乎她的感